Material complementario sobre la aplicación de teoremas no tratados en pregrado en la disciplina Circuitos Eléctricos

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(1)Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Electroenergética. TRABAJO DE DIPLOMA. Material complementario sobre la aplicación de teoremas no tratados en pregrado en la disciplina Circuitos Eléctricos. Autor: Fernando Y. Pérez Muñoz Tutores: Dr. C. Ileana Moreno Campdesuñer MSc. Juan Curbelo Cancio. Santa Clara 2015 “Año 57 de la Revolución”.

(2) Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas Facultad de Ingeniería Eléctrica Departamento de Estudios Electroenergéticos. TRABAJO DE DIPLOMA Material complementario sobre la aplicación de teoremas no tratados en pregrado en la disciplina Circuitos Eléctricos. Autor: Fernando Y. Pérez Muñoz Email: [email protected] Tutores: Dr. C. Ileana Moreno Campdesuñer Email: [email protected] MSc. Juan Curbelo Cancio Email: [email protected]. Santa Clara 2015 “Año 57 de la Revolución”.

(3) Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad de Ingeniería Eléctrica, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución, para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.. Firma del Autor Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.. Firma del Autor. Firma del Jefe de Departamento donde se defiende el trabajo. Firma del Responsable de Información Científico-Técnica.

(4) i. PENSAMIENTO. Después de saber cuándo debemos aprovechar una oportunidad, lo más importante es saber cuándo debemos renunciar a una ventaja. Benjamín Disraeli..

(5) ii. DEDICATORIA.

(6) iii. AGRADECIMIENTOS. Escriba aquí el texto de los agradecimientos (Opcional).

(7) iv. TAREA TÉCNICA.  Revisión y estudio de la bibliografía existente acerca de teoremas de circuitos eléctricos no tratados en pregrado.  Estudiar los contenidos fundamentales del lenguaje de programación MatLab y el empleo de su simulador Simulink, que permitan elevar los conocimientos en el área de la programación y simulación.  Resolver de forma analítica, ejercicios típicos, adecuadamente seleccionados, que ilustren de manera coherente la aplicación de teoremas de circuitos eléctricos no tratados en pregrado en la solución de circuitos eléctricos.  Llevar a cabo la solución de los ejercicios seleccionados, total o parcialmente, mediante programas elaborados en MatLab y finalmente obtener la solución elaborando modelos, utilizando el simulador Simulink.  Elaborar como resultado final del trabajo, un material complementario acerca del empleo de teoremas de circuitos eléctricos no tratados en pregrado, en la solución de circuitos eléctricos.  Organizar adecuadamente la estructura de la tesis basándose en un diseño metodológico estratégico según la didáctica de la asignatura y las orientaciones y normas aprobadas por el MES.. Firma del Autor. Firma del Tutor.

(8) v. RESUMEN. Se propone un material complementario para la solución de ejercicios de circuitos eléctricos aplicando teoremas no tratados en pregrado. En este trabajo se realizó una amplia recopilación bibliográfica sobre teoremas no tratados en pregrado utilizados en la solución de circuitos eléctricos, explicando en cada caso las características de cada uno, los mecanismos para la aplicación en la solución de determinados circuitos partiendo de fórmulas generales y el análisis de varios ejemplos (tanto en CA como CD) que ilustran la implementación de los mismos. Se profundizó en el estudio de los contenidos fundamentales del lenguaje de programación MatLab y Simulink, para su implicación en la solución de dichos ejercicios. Como cuestión novedosa en este trabajo se elaboró un programa en MatLab referente al teorema de Rosen (Kennelly) que permite transformar cualquier número de impedancias conectadas en estrella, en impedancias conectadas en polígono. El informe de investigación constituye un material que podrá ser utilizado como fuente de consulta de la temática que aborda y de otras asignaturas. Todo lo cual se consideró novedoso, oportuno, necesario, factible e importante para la institución..

(9) vi. TABLA DE CONTENIDOS. INTRODUCCIÓN ................................................................................................................. 1 CAPÍTULO 1.FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO ............................................................................................ 4 1.1 Teorema de Millman ................................................................................................. 4 1.2 Teorema de Rosen (Kennelly) ................................................................................ 8 1.3 Teorema de sustitución o teorema de Miller ....................................................... 12 1.4 Teorema de compensación ................................................................................... 14 1.5 Teorema de bisección de Bartlett ......................................................................... 15 1.6 Conclusiones del capítulo ...................................................................................... 19 CAPÍTULO 2.APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB ....................................................................................... 20 2.1 Aplicaciones del teorema de Millman................................................................... 20 2.2 Aplicaciones del teorema de Rosen (Kennelly) .................................................. 27 2.4 Aplicaciones del teorema de Compensación ...................................................... 41 2.5 Aplicaciones del teorema de Bisección de Bartlett ............................................ 56 CONCLUSIONES .............................................................................................................. 73 RECOMENDACIONES ..................................................................................................... 74 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS................................................................................ 75.

(10) INTRODUCCIÓN. A lo largo de la teoría desarrollada para el análisis de circuitos eléctricos se presentan varias herramientas y métodos que ayudan a resolver redes eléctricas lineales. Estas técnicas son muy útiles y de gran aplicación en muchas ramas de la ciencia, como la electrónica, las telecomunicaciones y la automática, entre muchas otras. Dentro de estas herramientas cabe destacar, por su gran uso y eficiencia, las conocidas leyes de tensión y corriente de Kirchhoff, los métodos generales de solución como Análisis Nodal y Análisis de Mallas, así como las transformaciones de fuentes reales y los divisores de tensión y corriente. En muchas situaciones reales resulta interesante el análisis de alguna parte de un circuito complejo, generalmente relacionada con la carga. Si se pudiera modelar el resto de la red con un circuito equivalente simple, la tarea se hace mucho más sencilla. En este principio se basan los Teoremas de Thévenin y de Norton, de gran utilidad en ingeniería. Una red lineal, en particular, puede ser analizada usando cualquiera de las técnicas mencionadas; produciendo, por supuesto, cada una de ellas un resultado lógico y perfectamente interpretable desde el punto de vista físico. Por tal motivo, estos contenidos están recogidos en los planes de estudio de las carreras de perfil eléctrico que se cursan en la Facultad de Ingeniería Eléctrica (FIE) de la Universidad Central de Las Villas (UCLV): Ingeniería Eléctrica, Ingeniería en Telecomunicaciones y Electrónica e Ingeniería Automática. No obstante, con el fin de simplificar el análisis de circuitos más complejos existen un conjunto de teoremas que por su poco uso en la actualidad y no estar incluidos en los planes de estudio de las carreras mencionadas anteriormente, ya no son tratados en la.

(11) INTRODUCCIÓN. 2. disciplina Circuitos Eléctricos pero que en determinado momento pueden ayudar a sustituir un circuito por uno más sencillo, simplificar su análisis e introducir conceptos básicos fundamentales. Ejemplo de tales teoremas son: Teorema de Millman, Teorema de Rosen, Teorema de sustitución, Teorema de compensación y Teorema de bisección de Bartlett. La información sobre estos teoremas no se encuentran en los libros a los cuales tienen acceso los estudiantes de la FIE; por lo general aparece en documentos editados por universidades [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] y en libros publicados en ingles [8], [9], [10], encontrados en Internet, teniendo la dificultad que en ocasiones aparecían disímiles enfoques al abordar dichos teoremas por diferentes autores. Esta situación dificulta una mejor preparación metodológica por parte de los profesores y un mayor estudio independiente por parte de los estudiantes que quieran profundizar en la temática. Por otra parte, es necesario ilustrar cómo pueden ser utilizados estos teoremas en el análisis de circuitos típicos y de la profesión, con su correspondiente respuesta utilizando el Simulink del MatLab, que es el programa que se utiliza en la disciplina y los estudiantes deben poseer cierta destreza en su manejo. De aquí que el problema científico a resolver en este trabajo es: ¿Cómo facilitar el acceso a la temática relacionada con el empleo de teoremas de circuitos eléctricos no tratados en pregrado ejemplificando su solución con ayuda del MatLab? Para dar respuesta a este problema se declara el siguiente sistema de objetivos: Objetivo general: Elaborar un material complementario sobre la aplicación de teoremas no tratados en pregrado en la disciplina Circuitos Eléctricos que sirva como fuente de consulta a profesores y estudiantes de perfil eléctrico. Para cumplimentar dicho objetivo se establecen los objetivos específicos siguientes: 1. Describir los teoremas de Millman, Rosen, de sustitución, de compensación y de bisección de Bartlett usando textos básicos y materiales de estudio publicados en Internet. 2. Seleccionar un conjunto de ejercicios de circuitos eléctricos que ilustren de manera coherente el tratamiento de dichos teoremas..

(12) INTRODUCCIÓN. 3.. Resolver, de forma analítica, los ejercicios seleccionados,. 3. presentando la. solución de los mismos, total o parcialmente, mediante programas elaborados en MatLab y el simulador Simulink. Para el desarrollo de este trabajo se elaboraron dos capítulos, además de la introducción, conclusiones, recomendaciones y referencias bibliográficas. El Capítulo I recoge los fundamentos teóricos y la definicion de conceptos sobre los teoremas seleccionados que llevan a especificaciones matematicas de los mismos. El Capítulo II contiene la solución de ejercicios seleccionados, total o parcialmente, de forma analítica y mediante programas elaborados en MatLab, finalmente se obtiene la solución de los mismos elaborando modelos utilizando el simulador Simulink como forma de comprobación..

(13) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. En la solución de circuitos eléctricos son importantes los teoremas ya que permiten reducir la complejidad de un circuito antes de proceder a su análisis. En este capítulo se detallan los teoremas de Millman, Rosen, de sustitución, de compensación y de bisección de Bartlett, que no son tratados en los textos básicos utilizados en las carreras que se estudian en la FIE pero que pueden ser de mucha utilidad para resolver problemas propios de la profesión de los ingenieros de perfil eléctrico. 1.1 Teorema de Millman El teorema de Millman se llamó así en honor al ingeniero electrónico ruso Jacob Millman y no es más que la aplicación rápida para un circuito de configuración específica de las leyes de Kirchhoff. El teorema de Millman no se puede aplicar cuando existan en el circuito impedancias acopladas. El teorema de Millman permite sustituir cualquier número de fuentes reales de voltaje y/o fuentes de corriente (reales o ideales) conectadas en paralelo por una fuente real de voltaje (fuente real de corriente) equivalente. El teorema de Millman constituye una herramienta útil para reducir los circuitos, puede considerarse como una generalización del concepto de transformación de fuentes [3]. En la figura 1.1, por ejemplo, las tres fuentes reales de voltaje pueden ser reducidas a una. Esto permitiría hallar la corriente por o el voltaje a través de una resistencia RL sin tener que aplicar algunos de los métodos generales de solución o teoremas..

(14) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 5. El teorema de Millman permite obtener el equivalente de una forma más simple y directa. El circuito equivalente de Millman es un equivalente externo del circuito original. Puede describirse el teorema con claridad aplicándolo a la red de la figura 1.1. Tres pasos básicos se requieren para su aplicación [11].. Figura 1.1: Teorema de Millman. Paso 1: Convertir todas las fuentes reales de voltaje (FRV) en fuentes reales de corriente (FRC). Esto se muestra en la figura 1.2.. Figura 1.2: Conversión de FRV en FRC. Paso 2: Combinar las fuentes reales de corriente. La red resultante se muestra en la figura 1.3. Donde: IT = I1+I2+I3 GT = G1+G2+G3.

(15) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 6. Figura 1.3: FRC equivalente. Paso 3: Convertir la fuente real de corriente equivalente a una fuente real de voltaje, obteniéndose la red con una sola fuente real de voltaje, como se muestra en la figura 1.4.. Figura 1.4: FRV equivalente. En general, el teorema de Millman establece que para cualquier número de fuentes reales de voltaje en paralelo:. Eeq . IT  I1  I 2  ...  I N  GT G1  G2  ...  GN. En términos de conductancia:. Eeq .  E1G1  E2G2  ...  EN GN G1  G2  ...  GN. Los signos más y menos aparecen en las ecuaciones anteriores, para incluir los casos donde las fuentes puedan no estar suministrando energía en la misma dirección. La conductancia equivalente es:. GT  G1  G2  ...  GN.

(16) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 7. En términos de resistencia:. E1 E2 E   ... N R1 R2 RN Eeq  1 1 1   ...  R1 R2 RN . La resistencia equivalente es:. Req . 1 1 1 1   ...  R1 R2 RN. En el caso más general, consistente en fuentes reales de voltaje y fuentes reales o ideales de corriente conectadas en paralelo, las expresiones generales que permiten obtener el voltaje y la conductancia equivalente, de acuerdo al teorema de Millman, serán: p. m. Eeq .  EsGs   I j s 1. j 1. n. G k 1. k. n. Geq   Gk k 1. En las expresiones anteriores:. m : Número de fuentes reales de voltaje. p : Número de fuentes de corriente.. n : Número de ramas con conductancia. Por tanto en las expresiones generales puede considerarse que: . El numerador es la suma algebraica de las corrientes de corto circuito de las ramas activas.. . El denominador es la conductancia total de la red, en la cual intervienen todas las ramas, independientemente de si tienen o no fuentes de voltaje.. . Si no hay fuente de voltaje en la rama, el término respectivo ( EG ) desaparece del numerador de la ecuación, permaneciendo su conductancia en el denominador..

(17) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 8. Al calcular el valor de la fuente de voltaje equivalente, se afectan con signo (+) aquellas fuentes de voltaje cuyo terminal positivo se dirige al nodo superior y con signo (-) aquellas fuentes de voltaje cuyo terminal positivo se dirige al nodo inferior, considerándose asimismo positivas aquellas fuentes de corriente que aportan corriente al nodo superior [5], [12]. Aplicando principios de dualidad, puede obtenerse el dual del teorema de Millman. Este dual se muestra de forma clara en la figura 1.5.. Figura 1.5: Dual del teorema de Millman. Las expresiones generales serán:. I eq .  I1R1  I 2 R2  ...  I N RN R1  R2  ...  RN. Req  R1  R2  ...  RN 1.2 Teorema de Rosen (Kennelly) El teorema de Rosen (Kennelly) plantea, que un circuito pasivo constituido por n impedancias Z1 , Z 2 ,...  Z n conectadas en estrella, puede ser sustituido por otro circuito equivalente. formado. por. conectadas en polígono [7].. n(n  1) 2. impedancias. Z12, Z13,..., Z1n , Z 23,..., Z 2n ,..., Z mn.

(18) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 9. Figura 1.6: Impedancias conectadas en estrella.. Figura 1.7: Impedancias conectadas en polígono. Cuando el número de impedancias conectadas en estrella es tres, el teorema es nombrado como teorema de Kennelly. La relación general que representa el teorema de Rosen está dada por:.

(19) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. Ypq . 10. YpYq. . n. Y. k 1 k. Z pq  Z p Z q (. 1 1 1   ...  ) Z1 Z 2 Zn. El teorema de Rosen permite obtener a partir de los elementos de una estrella, los elementos del polígono equivalente. El proceso contrario solo es posible para el caso especial cuando n  3 (teorema de Kennelly) [11]. Las ecuaciones de transformación en función de las impedancias y de las admitancias para el caso en que n  3 , se muestran a continuación: Transformación de delta a estrella (   Y ):. Figura 1.8: Transformación   Y . En función de las impedancias:. En función de las admitancias:. Y1* Y 3 Y2. Za . Z1 * Z 3 Z1  Z 2  Z 3. Ya  Y1  Y 3 . Zb . Z1 * Z 2 Z1  Z 2  Z 3. Yb  Y1  Y 2 . Y1 * Y 2 Y3.

(20) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. Zc . Z 2* Z3 Z1  Z 2  Z 3. Yc  Y 2  Y 3 . 11. Y 2 *Y 3 Y1. Transformación de estrella a delta ( Y   ):. Figura 1.9: Transformación Y   .. Za * Zb  Zb * Zc  Zc * Za Z1  Zc. Za * Zb  Zb * Zc  Zc * Za Z2  Za Za * Zb  Zb * Zc  Zc * Za Z3  Zb. Y1 . Ya * Yb Ya  Yb  Yc. Y2 . Yc * Yb Ya  Yb  Yc. Y3 . Yc * Ya Ya  Yb  Yc. El empleo del teorema de Rosen (Kennelly) al permitir transformar un circuito de un tipo en otro, puede facilitar el análisis de circuitos complejos..

(21) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 12. 1.3 Teorema de sustitución o teorema de Miller Las aplicaciones de este teorema se dan especialmente en la investigación asociada con los circuitos eléctricos. Se usa bastante en las demostraciones de otros teoremas y en el análisis de los sistemas de potencia. Se aplica a cualquier circuito sin limitaciones, lineal o no, variante o invariante con el tiempo. Permite incluso, convertir un circuito no lineal por la presencia de un solo elemento no lineal en uno lineal, al sustituirlo por una fuente de corriente o voltaje. Es de gran utilidad cuando se analizan circuitos complejos formados por diversas redes pasivas, puesto que permite simplificar el esquema inicial del circuito, el uso más común de este teorema es para remplazar un elemento de impedancia por una fuente de corriente o voltaje, y viceversa. El teorema de Miller permite sustituir cualquier elemento de un circuito por otro elemento que al ser recorrido por la misma corriente que el elemento original ocasione en él la misma caída de voltaje. Bajo estas condiciones las corrientes y voltajes en el resto del circuito permanecen inalteradas tras realizar la sustitución [4].. Figura 1.10: Teorema de sustitución. En otras palabras, el teorema de la sustitución dice que si en un circuito semejante al indicado en la figura 1.10 se sustituye la red pasiva por un generador que imponga el mismo voltaje VR , la corriente I R será la misma en ambos casos [5]. El teorema de sustitución se enuncia de la siguiente forma:.

(22) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 13. “Si el enésimo elemento de un circuito de una red arbitraria (figura 1.11.a) no está mutuamente acoplado, es decir, no es una fuente dependiente ni un inductor acoplado, se puede reemplazar por una fuente independiente de voltaje. es (t )  vn (t ) (figura 1.11.d). igual al que se produce a través de él en el circuito original, siempre y cuando ambos circuitos tengan solución única. De la misma forma, si a través del elemento en consideración circula una corriente de corriente. in (t ) se puede sustituir por una fuente independiente. is (t )  in (t ) (figura 1.12.d)” [7].. Figura 1.11: Caso de la fuente de voltaje del teorema de sustitución.. Figura 1.12: Caso de la fuente de corriente del teorema de sustitución..

(23) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 14. Tanto en la figura 1.11 como en la 1.12 se puede ver paso a paso la justificación del teorema, se observa que cuando se conectan los nodos b y c en la figura 1.11.c no circula corriente a través de la fuente, se unen dos nodos a igual potencial, y además por el elemento continua circulando la misma corriente que en el circuito original, puesto que el voltaje entre sus bornes sigue siendo. vn (t )  es (t ) . El enésimo elemento en paralelo con. una fuente independiente de voltaje (figura 1.11.c) se convierte en un elemento redundante y por lo tanto se puede retirar del circuito. De igual forma el voltaje a través de la fuente independiente de corriente en cortocircuito (figura 1.12.b) es nulo, la fuente opera en vacío, y el elemento en serie con esta fuente es también redundante. Este teorema es de gran utilidad cuando se analizan circuitos complejos formados por diversas redes pasivas diferenciadas, puesto que permite simplificar el esquema inicial. 1.4 Teorema de compensación Este teorema resulta de aplicar el teorema de sustitución al problema de determinarla alteración que se produce en las corrientes de un circuito lineal cuando se da un incremento al parámetro que define uno de sus elementos pasivos. Se aplica ampliamente para estudiar y comparar los errores posibles de los diferentes dispositivos de medida y para determinar las tolerancias de los parámetros que constituyen un circuito y en los problemas de sensitividad (análisis de sistemas de potencia) [11]. El circuito debe ser lineal y variante o invariante en el tiempo. Enunciado: Si la corriente en una rama de una red lineal y activa es I y la impedancia Z de esta rama se incrementa una cantidad ∆Z, el incremento de corriente y voltaje en cada rama de la red es el que produciría una fuente de voltaje de valor I*∆Z que posea la misma polaridad de la caída de voltaje sobre ∆Z producida por la corriente I, actuando sobre la red ya afectada por el cambio ∆Z y con todas las demás fuentes independientes nulas [7]..

(24) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 15. Figura 1.13: Teorema de compensación. En general el teorema de compensación se aplica a la resolución de circuitos cuando varía la impedancia de una de sus ramas (figura 1.14). Un ejemplo de estas variaciones pudiera ser la introducción de un amperímetro en serie para conocer el valor de la corriente (en este caso IL), cuyo valor de forma específica seria:. IL . ZM IM Z M  Z. Figura 1.14: Teorema de compensación aplicación. 1.5 Teorema de bisección de Bartlett El teorema de bisección fue publicado por Bartlett en 1930, y es útil para la obtención de redes equivalentes y para el cálculo de la resistencia característica de redes simétricas a través del planteo de que las redes que tienen simetría especular pueden reducirse a una estructura equivalente más simple. El teorema de Bartlett es de gran utilidad cuando se tienen circuitos que pueden dividirse en dos partes simétricas mediante una línea denominada eje de simetría, tal como se muestra en la figura 1.15. Cada una de las partes debe ser la imagen especular de la otra con respecto al eje de simetría. Además de proporcionar un método para el análisis de las redes que presentan estas características, este teorema ofrece una forma de estudiar y utilizar las propiedades de las redes simétricas..

(25) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 16. Eje de simetría Figura 1.15: Simetría de la red para el teorema de bisección de Bartlett Como se indica en la figura anterior, las dos redes simétricas deben ser lineales y no deben contener fuentes independientes. Estas son externas a las redes, y se identifican '. como V1 y V1 . Entre las dos redes simétricas puede haber cualquier número de conexiones. El teorema de bisección de Bartlett trata sobre el comportamiento de las redes simétricas, cuando se les aplica lo que se conoce como excitaciones simétricas o de modo común ( V1  V1'  VC ) y antisimétricas o de modo diferencial ( V1  V1  VD ) '. Enunciado del teorema: 1ra Parte: Cuando se excita una red que posee un eje de simetría como el indicado en la figura 1.15 utilizando el modo común, tal como se observa en la figura 1.16.a, las corrientes y voltajes de toda la red se cortan y se dejan en circuito abierto (figura 1.16.b). 2da Parte: Cuando se excita una red que posee un eje de simetría como el indicado en la figura 1.15 utilizando el modo diferencial, tal como se observa en la figura 1.16.c, las corrientes y voltajes de toda la red no se modifican si las conexiones entre las dos partes de la red se cortan y se unen entre sí con un cortocircuito, como se indica en la figura 1.16.d..

(26) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 17. Figura 1.16: Planteamiento del teorema de la bisección de Bartlett. De igual forma podemos decir que cuando tenemos un cuadripolo simétrico a su eje vertical (figura 1.17), este puede ser alimentado por una excitación simétrica o una excitación antisimétrica.. Figura 1.17: Forma de visualizar la simetría del cuadripolo. En el caso de excitación simétrica, por la simetría de la red, se ve fácilmente que los puntos 1-1’, m-m’ estarán a igual potencial, por lo que se deduce que por todas aquellas ramas que corten al eje de simetría no circula corriente, de donde puede decirse que la red se transforma en:. Figura 1.18: Red transformada..

(27) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 18. En la excitación antisimetrica, al igual que en el caso anterior, por la simetría de la red, se observa (figura 1.19) que ahora los potenciales de los puntos que están sobre el eje de simetría son iguales, y su suma da cero.. Figura 1.19: Excitación antisimétrica. Por lo que pueden ser cortocircuitados, con lo que red se transforma en:. Figura 1.20. Red transformada Entonces si tenemos a la red original alimentada por dos fuentes E1 y E2, por el teorema de superposición podemos suponerlas descompuestas en: E1=Es+Ea. E2=Es-Ea. Figura 1.21. Red transformada Sumando ambas, tenemos:.

(28) CAPÍTULO 1. FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LOS TEOREMAS NO TRATADOS EN PREGRADO. 19. Restando ambas, se tiene:. Vemos así que la aplicación del teorema de bisección conduce a simplificaciones en la red que agilizan la resolución del circuito. 1.6 Conclusiones del capítulo Además de los teoremas estudiados en la disciplina Circuitos Eléctricos, aparecen los teoremas de Millman, de Rosen, sustitución, compensación y de bisección de Bartlett, que permiten resolver circuitos complejos donde de forma general (por el orden mencionado): a. Hayan varias fuentes reales de voltaje y/o corriente conectadas en paralelo b. Aparezcan un gran número de impedancias (más de 3) conectadas en estrellas. c. Sean lineales o no lineales, formados por diversas redes pasivas. d. Se vean diferentes dispositivos de medida (amperímetro, voltímetro, etc.) que puedan alterar los parámetros que constituyen un circuito, ya sea corriente o voltaje. e. Permitan dividirse en dos partes simétricas mediante una línea denominada eje de simetría. Estos teoremas completan la teoría estudiada en Circuitos Eléctricos, lo cual favorece la preparación de los estudiantes en esta disciplina..

(29) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. La aplicación de la teoría a la solución de circuitos es de vital importancia para el ingeniero. En este capítulo se brindan ejemplos resueltos de forma analítica y se comprueban los resultados utilizando el Simulink del MatLab. 2.1 Aplicaciones del teorema de Millman Ejemplo 2.1 Empleando el teorema de Millman, determinar la corriente (I L) por y el voltaje (VL) a través del resistor RL de la figura 2.1.. Figura 2.1: Circuito con fuentes reales de voltaje en paralelo. R: El valor de la fuente equivalente se determina mediante la expresión:.

(30) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 21. E1 E2 E3   R1 R2 R3 Eeq  1 1 1   R1 R2 R3 El signo menos se usa en el término. E2 debido a que esa fuente tiene una polaridad R2. opuesta a las de las otras dos. La polaridad de referencia escogida es la de E1 y E3 . Sustituyendo valores:. 10 16 8   5 4 2  2,105 V Eeq  1 1 1   5 4 2 La resistencia equivalente se determina mediante:. Req . 1 1 1 1   R1 R2 R3. Sustituyendo valores:. Req . 1  1,053  1 1 1   5 4 2. La fuente real de voltaje resultante se muestra en la figura 2.2.. Figura 2.2: Circuito resultante de aplicar el teorema de Millman..

(31) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. Por tanto:. IL . 2,105  0,519 A 1,053  3. VL  I L RL  (0,519)(3)  1,557 V R. MATLAB: >> Eeq=(10/5-16/4+8/2)/(1/5+1/4+1/2) Eeq = 2.1053 >> Req=1/(1/5+1/4+1/2) Req = 1.0526 R. SIMULINK:. Figura 2.3: Archivo .mdl del circuito original (a) y del circuito correspondiente a la aplicación del teorema de Millman (b).. 22.

(32) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 23. Ejemplo 2.2 Empleando el teorema de Millman, determinar la corriente I L que circula por el resistor. RL de la figura 2.4.. Figura 2.4: Circuito con fuentes reales de voltaje y corriente en paralelo. R: Aplicando el teorema de Millman a las cuatro ramas a la izquierda de los puntos a y b, que se encuentran conectadas en paralelo: El valor de la fuente equivalente se determina mediante la expresión: p. m. Eeq .  EsGs   I j s 1. j 1. n. G k 1. k. Sustituyendo valores:. 10 5  3 Eeq  4 6  1,7778 V 1 1 1   4 3 6 El terminal positivo de la fuente equivalente está dirigido al nodo superior (a). El valor de la conductancia equivalente se determina mediante la expresión: n. Geq   Gk k 1.

(33) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 24. Sustituyendo valores:. Geq . 1 1 1    0,75 S 4 3 6. Por tanto:. Req . 1 1   1,3333  Geq 0,75. El circuito resultante de aplicar el teorema de Millman al circuito original se muestra en la figura 2.5.. Figura 2.5: Circuito resultante de aplicar el teorema de Millman. La corriente I L que circula por el resistor RL se determina:. IL . Eeq Req  RL. .  1,7778  0,1569 A 1,3333  10. R. MATLAB: >> Eeq=-1.7778; >> Req=1.3333; >> RL=10; >> IL=Eeq/(Req+RL) IL = -0.1569.

(34) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 25. R. SIMULINK:. Figura 2.6: Archivo .mdl del circuito original (a) y del circuito correspondiente a la aplicación del teorema de Millman (b). Ejemplo 2.3 Usando el teorema de Millman, determinar la corriente I C que circula por el capacitor de la figura 2.7.. Figura 2.7: Circuito en estado estable sinusoidal..

(35) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. R: El valor de la fuente equivalente se determina mediante la expresión:. 1000 500  2000 j 4000 Eeq   70  j 60  92,1940,6 V 1 1  2000 j 4000 . La polaridad de referencia escogida es la de la fuente de valor 1000 V . La impedancia equivalente se determina mediante:. Z eq . 1 1 1  2000 j 4000.  1600  j800  178926,56 . La fuente real de voltaje resultante se muestra en la figura 2.8.. Figura 2.8: Circuito resultante de aplicar el teorema de Millman. La corriente I C se determina mediante:. 92,1940,6 IC   0,025104,03 A   178926,56  4000  90 R. MATLAB: >> Ic=(92.19*exp(j*40.6*pi/180))/(1789*exp(j*26.56*pi/180)+4000*exp(-j*90*pi/180)) Ic = -0.0062 + 0.0250i >> magnitudIc=abs(Ic). 26.

(36) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 27. magnitudIc = 0.0258 >> anguloIc=angle(Ic)*180/pi anguloIc = 104.0326 R. SIMULINK:. Figura 2.9: Archivo .mdl del circuito original (a) y del circuito correspondiente a la aplicación del teorema de Millman (b). 2.2 Aplicaciones del teorema de Rosen (Kennelly) Ejemplo 2.4 En el circuito mostrado, empleando MatLab, sustituya las cuatro impedancias (resistivas puras) conectadas en estrella, por un circuito equivalente de impedancias conectadas en polígono. Con ayuda del Simulink, determine la corriente que circula por la línea 1..

(37) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 28. Figura 2.10: Circuito con cuatro impedancias conectadas en estrella. R: R. MATLAB:. Figura 2.11: Archivo.m: para determinar las impedancias del polígono. Número de impedancias conectadas en estrella = 4 Entre el vector fila de los valores de las impedancias conectadas en estrella (Ohm) [Z1,Z2,...,Zn] = [4 3 1 4] Valores de las impedancias conectadas en estrella (Terminal, Impedancia):.

(38) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 1. 4. 2. 3. 3. 1. 4. 4. 29. Valores de las impedancias conectadas en polígono (Terminal 1 - Terminal 2, Impedancia): 1. 2. 22. 1. 3. 7.3333. 1. 4. 29.333. 2. 3. 5.5. 2. 4. 22. 3. 4. 7.3333. R. SIMULINK:. Figura 2.12: Archivo .mdl del circuito original (a) y del circuito correspondiente a la aplicación del teorema de Rosen (b). Ejemplo 2.5 En el circuito mostrado, empleando MATLAB, sustituya las cuatro impedancias conectadas en estrella, por un circuito equivalente de impedancias conectadas en polígono. Con ayuda del Simulink, determine la corriente que circula por la línea 1..

(39) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 30. R: R. MATLAB: Empleando el archivo .m que se utiliza en el ejemplo 2.4 (figura 2.11) se determinan las impedancias del polígono. Numero de impedancias conectadas en estrella = 4 Entre el vector fila de los valores de las impedancias conectadas en estrella (Ohm) [Z1,Z2,...,Zn] = [12, -j*4, 8+j*3, 10+j*5] Valores de las impedancias conectadas en estrella (Terminal, Impedancia): 1. 12. 2. 0-. 4i. 3. 8+. 3i. 4. 10 +. 5i. Valores de las impedancias conectadas en polígono (Terminal 1 - Terminal 2, Impedancia): 1. 2. 8.1074 -. 13.1i. 1. 3. 20.12 +. 26.04i. 1. 4. 22.616 +. 36.644i. 2. 3. 8.68 -. 6.7067i. 2. 4. 12.215 -. 7.5388i. 3. 4. 5.9167 +. 30.083i.

(40) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 31. R. SIMULINK:. Figura 2.13: Archivo .mdl del circuito original (a) y del circuito correspondiente a la aplicación del teorema de Rosen (b). 2.3 Aplicaciones del teorema de sustitución Ejemplo 2.6 Mediante el teorema de sustitución, aplicado a la resistencia de 2  del circuito de la figura 2.14, hallar el voltaje V0.. Figura 2.14. Circuito original.

(41) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. R: Determinación del voltaje V0 aplicando el método de los voltajes de nodos:. Figura 2.15. Aplicación del método de los voltajes de nodos.. Va  6 Va Va Va    0 1 1 2 11. 2Va  12  2Va  Va  Va  0 6Va  12 Va . 12  2V 6. Aplicando división de voltaje:. V0  Va. 1  1V 11. Determinación del voltaje V0 aplicando el teorema de sustitución:. Figura 2.16. Determinación del voltaje V0 aplicando el teorema de sustitución.. 32.

(42) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 33. La resistencia equivalente: Req=(1+1) // 2 = 1Ω a la derecha de a-b es el resultado de la combinación en paralelo de la resistencia de 2Ω con la combinación en serie de serie de las dos resistencias de 1Ω. Haciendo de nuevo un paralelo entre las resistencias, se obtiene el valor de 0,5Ω y a este circuito se le aplica un divisor de voltaje para hallar V1.. V1 . 6(0,5)  2V 1  0,5. Figura 2.17. Circuito equivalente para obtener el valor de V1. Aplicando el teorema de sustitución, se remplaza la resistencia de 2Ω del circuito original por una fuente ideal de voltaje de valor 2V como se muestra en la figura 2.16.. Figura 2.18. Aplicación del teorema de sustitución para hallar el valor de V0.

(43) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 34. Aplicando un divisor de voltaje se tiene el valor de V0, pedido inicialmente.. V0 . 2(1)  1V 11. El resultado obtenido es similar al que se obtuvo aplicando el método de los voltajes de nodos. R. MATLAB: >> Req=1+((1*((2*2)/(2+2)))/(1+((2*2)/(2+2)))) Req = 1.5000 >> I=6/1.5 I= 4 >> V=4*0.5 V= 2.

(44) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 35. R. SIMULINK:. Figura 2.19: Archivo .mdl del circuito original y del circuito correspondiente a la aplicación del teorema de sustitución a la resistencia de 2  . Ejemplo 2.7 Determinar la corriente I L aplicando el teorema de sustitución a la resistencia de 2  del circuito de la figura 2.20.. Figura 2.20: Aplicación del teorema de sustitución para hallar el valor de I L . Determinación de la corriente I L aplicando el método de las corrientes de mallas:.

(45) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 36. Figura 2.21: Aplicación del método de las corrientes de mallas. En la malla de la izquierda:.  10  3I1  j 4I1  j5( I1  IL)  0 (3  j 4  j5) I1  j5IL  10 (3  j1) I1  j5IL  10. (I). En la malla de la derecha:.  j5( IL  I1)  2IL  (9,5  j 2,5) IL  0 j5I1  ( j5  2  9,5  j 2,5) IL  0 j5I1  (11,5  j 2,5) IL  0. (II). Resolviendo el sistema de ecuaciones (I) y (II) con ayuda de MATLAB:. I L  0,8322  71,5629 A . Empleando el teorema de sustitución se remplaza la resistencia de 2Ω, por una fuente de voltaje, con un valor igual al voltaje en los terminales de la resistencia:. V2  2( I L )  2(0,8322  71,5629 )  (1,6644  71,5629 ) V .. Figura 2.22: Circuito donde se cambia la resistencia de 2Ω por la fuente V2..

(46) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. Determinación de la corriente I L aplicando el método de las corrientes de mallas:.  10  3I1  j 4I1  j5( I1  IL)  0. (3  j 4  j5) I1  j5IL  10 (3  j1) I1  j5IL  10. (I).  j5( IL  I1)  1,6644  71,5629  (9,5  j 2,5) IL  0. j5I1  ( j5  9,5  j 2,5) IL  1,6644  71,5629 j5I1  (9,5  j 2,5) IL  1,6644  71,5629. (II). Resolviendo el sistema de ecuaciones (I) y (II) con ayuda de MATLAB:. I L  0,8322  71,5629 A . R. MATLAB: Aplicación del método de las corrientes de mallas en el circuito original: >> A=[3-1i 5i;5i 11.5-2.5i] A= 3.0000 - 1.0000i. 0 + 5.0000i. 0 + 5.0000i 11.5000 - 2.5000i >> b=[10;0] b= 10 0 >> I=A\b I= 1.9474 + 0.2105i. 37.

(47) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 0.2632 - 0.7895i >> IL=0.2632 - 0.7895i IL = 0.2632 - 0.7895i >> moduloIL=abs(IL) moduloIL = 0.8322 >> anguloIL=angle(IL)*180/pi anguloIL = -71.5629 Aplicación del teorema de sustitución en la resistencia de 2  : >> A=[3-1i 5i;5i 9.5-2.5i] A= 3.0000 - 1.0000i. 0 + 5.0000i. 0 + 5.0000i 9.5000 - 2.5000i >> b=[10;-1.6644*exp(j*-71.5629*pi/180)] b= 10.0000 -0.5264 + 1.5790i >> I=A\b I= 1.9474 + 0.2105i 0.2632 - 0.7895i >> IL= 0.2632 - 0.7895i. 38.

(48) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 39. IL = 0.2632 - 0.7895i >> moduloIL=abs(IL) moduloIL = 0.8322 >> anguloIL=angle(IL)*180/pi anguloIL = -71.5629 El valor de I L obtenido al aplicar el método de las corrientes de mallas, coincide con el valor de I L obtenido al aplicar el teorema de sustitución. R. SIMULINK:. Figura 2.23: Archivo .mdl del circuito original y del circuito correspondiente a la aplicación del teorema de sustitución a la resistencia de 2  ..

(49) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 40. Figura 2.24: Ventana de dialogo del botón Powergui.. Figura 2.25: Información que brinda la opción Steady-State Voltages and Currents de la ventana de diálogo del botón Powergui.

(50) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 41. 2.4 Aplicaciones del teorema de Compensación. Ejemplo 2.8 En el circuito de la figura 2.26, hallar la corriente de carga I L cuando se pone un amperímetro con una resistencia interna de 1  en serie con la impedancia de carga.. Figura 2.26: Circuito con impedancia de carga. R: Determinación de la corriente I L en el circuito original, aplicando el método de las corrientes de mallas:. Figura 2.27: Cálculo de la corriente I L en el circuito original..

(51) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 42.  10  (3) I1  ( j 4) I1  ( j5)( I1  I 2)  0 (3  j1) I1  ( j5) I 2  10. (I). ( j5)( I 2  I1)  (2) I 2  (9,5  j 2,5) I 2  0 ( j5) I1  (11,5  j 2,5) I 2  0. (II). Resolviendo el sistema de ecuaciones con ayuda de MatLab:. I 2  0,8322  71,5629 A I L  I 2  0,8322  71,5629 A Circuito en el que se considera la resistencia interna del amperímetro.. Figura 2.28: Circuito en el que se considera la resistencia interna del amperímetro. Determinación de la nueva corriente ( I LM ) a través de la carga en el circuito en el que se considera la resistencia del amperímetro, empleando el método de las corrientes de mallas:.

(52) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 43. Figura 2.29: Cálculo de la corriente I LM en el circuito modificado.  10  (3) I1  ( j 4) I1  ( j5)( I1  I 2)  0 (3  j1) I1  ( j5) I 2  10. (I). ( j5)( I 2  I1)  (2) I 2  (1) I 2  (9,5  j 2,5) I 2  0 ( j5) I1  (12,5  j 2,5) I 2  0. (II). Resolviendo el sistema de ecuaciones con ayuda de MatLab:. I 2  0,7906  71,5651 A I LM  I 2  0,7906  71,5651 A Determinación de la corriente I LM empleando el teorema de compensación: Se determina el valor de la fuente de voltaje I L Z : Donde: I L es la corriente en el circuito original y Z es la resistencia interna del amperímetro:. I L Z  (0,8322  71,5629 )(1)  0,8322  71,5629 V Circuito de acuerdo al teorema de compensación:.

(53) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 44. Figura 2.30: Circuito con la fuente I L Z , en el que se considera la afectación Z y las fuentes independientes originales desactivadas.. Figura 2.31: Cálculo de la corriente I de acuerdo al teorema de compensación, empleando el método de las corrientes de mallas.. (3) I1  ( j 4) I1  ( j5)( I1  I 2)  0 (3  j1) I1  ( j5) I 2)  0. (I).  ( j5)( I 2  I1)  (2) I 2  0,8322  71,5629  (1) I 2  (9,5  j 2,5) I 2  0 ( j5) I1  (12,5  j 2,5) I 2  0,8322  71,5629. (II).

(54) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 45. Resolviendo el sistema de ecuaciones con ayuda de MATLAB:. I 2  0,0416108,4785 A I  0,0416108,4785 A De acuerdo al teorema de compensación la corriente a través de la carga ( I LM ) cuando se pone un amperímetro con una resistencia interna de 1  en serie con la impedancia de carga tendrá el valor:. I LM  I L  I  0,8322  71,5629  0,0416108,4785  0,7906  71,5651 A El valor de I LM calculado empleando el teorema de compensación coincide con el valor de I LM calculado empleando el método de las corrientes de mallas en el circuito en que se considera la resistencia interna del amperímetro. R. MATLAB: Cálculo de la corriente I L en el circuito original: >> A=[3-1i 5i;5i 11.5-2.5i] A= 3.0000 - 1.0000i. 0 + 5.0000i. 0 + 5.0000i 11.5000 - 2.5000i >> b=[10;0] b= 10 0 >> I=A\b I= 1.9474 + 0.2105i.

(55) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 46. 0.2632 - 0.7895i >> I2= 0.2632 - 0.7895i I2 = 0.2632 - 0.7895i >> IL=I2 IL = 0.2632 - 0.7895i >> moduloIL=abs(IL) moduloIL = 0.8322 >> anguloIL=angle(IL)*180/pi anguloIL = -71.5629 Cálculo de la corriente I LM en el circuito en el que se considera la resistencia del amperímetro: >> A=[3-1i 5i;5i 12.5-2.5i] A= 3.0000 - 1.0000i. 0 + 5.0000i. 0 + 5.0000i 12.5000 - 2.5000i >> b=[10;0] b= 10 0.

(56) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. >> I=A\b I= 2.0000 + 0.2500i 0.2500 - 0.7500i >> I2=0.2500 - 0.7500i I2 = 0.2500 - 0.7500i >> ILM=I2 ILM = 0.2500 - 0.7500i >> moduloILM=abs(ILM) moduloILM = 0.7906 >> anguloILM=angle(ILM)*180/pi anguloILM = -71.5651 Cálculo de la corriente I de acuerdo al teorema de compensación: >> A=[3-1i 5i;5i 12.5-2.5i] A= 3.0000 - 1.0000i. 0 + 5.0000i. 0 + 5.0000i 12.5000 - 2.5000i >> b=[0;-0.8322*exp(j*-71.5629*pi/180)] b=. 47.

(57) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 0 -0.2632 + 0.7895i >> I=A\b I= 0.0526 + 0.0395i -0.0132 + 0.0395i >> I2=-0.0132 + 0.0395i I2 = -0.0132 + 0.0395i >> DeltaI=I2 DeltaI = -0.0132 + 0.0395i >> moduloDeltaI=abs(DeltaI) moduloDeltaI = 0.0416 >> anguloDeltaI=angle(DeltaI)*180/pi anguloDeltaI = 108.4785 Cálculo de la corriente I LM de acuerdo al teorema de compensación: >> IL=0.8322*exp(j*-71.5629*pi/180) IL = 0.2632 - 0.7895i >> DeltaI=0.0416*exp(j*108.4785*pi/180). 48.

(58) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 49. DeltaI = -0.0132 + 0.0395i >> ILM=IL+DeltaI ILM = 0.2500 - 0.7500i >> magnitudILM=abs(ILM) magnitudILM = 0.7906 >> anguloILM=angle(ILM)*180/pi anguloILM = -71.5651 R. SIMULINK:. Figura 2.32: Archivo .mdl del circuito con la resistencia interna del amperímetro..

(59) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 50. Figura 2.33: Archivo .mdl del circuito sin el amperímetro conectado y del circuito correspondiente a la aplicación del teorema de compensación. Ejemplo 2.9 Calcular la corriente que se obtiene cuando se inserta un amperímetro entre las terminales c y d de la figura 2.34, con una resistencia interna de 100 Ω.. Figura 2.34: Circuito original..

(60) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. R: Hallando el equivalente de Thévenin entre los terminales c y d se tiene:. (250)(500) 1400   250  500 3 500 2 Vth  10( ) V 250  500 3 Rth  300 . Figura 2.35. Equivalente de Thévenin del circuito. Aplicando el teorema de compensación se obtiene el siguiente circuito:. Figura 2.36. Aplicación del teorema de compensación. La resistencia total del circuito será:. Rm  Rth  RL  R . 1400 2300  200  100   3 3. Para hallar la corriente I en el circuito original:. I. 10  1,91* 0,01A (500)(600) 250  500  600. Aplicando un divisor de corriente:. 51.

(61) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. I m  1*. 52. 500 500  1,91* 0,01( )  0,00869 A 500  600 500  600. Para hallar la corriente que se obtiene cuando se ingresa la impedancia del amperímetro se utiliza la siguiente ecuación:. IL . Rm * I m Δ Rm  R. R. MATLAB: >> Rth=300+(250*500)/(250+500) Rth = 466.6667 >> Vth=10*(500/(250+500)) Vth = 6.6667 >> RL=200 RL = 200 >> Ra=100 Ra = 100 >> Rm=Rth+RL+Ra Rm = 766.6667 >> I=10/(250+((500*600)/(500+600))) I= 0.0191.

(62) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. >> Im=I*(500/(500+600)) Im = 0.0087 >> IL=Rm*Im/(Rm-Ra) IL = 0.0100 R. SIMULINK:. (a). (b) Figura 2.37: a) Circuito original. b) Aplicación del teorema de compensación.. 53.

(63) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 54. Ejemplo 2.10 Aplicar el teorema de compensación para determinar el ∆R que se debe introducir para que la corriente que pasa por la resistencia de 160Ω sea de 0,6A, en lugar de 0,5A, en el circuito de la figura 2.38.. Figura 2.38: Circuito original. R: Se requiere encontrar el ∆R que se introduce cuando la corriente que pasa por la resistencia de 160Ω pasa a valer 0,6A, para lo que se eliminan las fuentes de voltaje y se redibuja el circuito:. Figura 2.39. Aplicación del teorema de compensación.. I  0,5 A I+∆I=0,6. ;. ∆I=0,6-0,5=0,1A.  I  (160  R)I  (20 // 20)I Despejando ∆R:. ;. 0,1 .  0,5R (160  R)  (20 // 20).

(64) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 17  0,1R  0,5R. ;. R  . 17  28,333 0,6. Por lo tanto el valor requerido de la resistencia, al haber un incremento ∆R será:. R  (160  R)  160  28,333  131,67 R. MATLAB: >> I=0.5 I= 0.5000 >> Ia=0.1 Ia = 0.1000 >> Ra=((-Ia-(10*Ia))/Ia)-160 Ra = -171 >> R=160+Ra R= -11. 55.

(65) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. R. SIMULINK:. (a). (b) Figura 2.40: a) Circuito original. b) Aplicación del teorema de compensación.. 2.5 Aplicaciones del teorema de Bisección de Bartlett. Ejemplo 2.11 Aplicar el teorema de Bartlett para determinar la corriente I1 .. 56.

(66) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 57. Figura 2.41: Red cuya simetría permite la aplicación del teorema de Bartlett. Determinación de la corriente I1 aplicando el método de las corrientes de mallas:. Figura 2.42: Aplicación del método de las corrientes de mallas en el circuito simétrico..  20  6( I1  I 2)  0. (I). 6( I 2  I1)  1( I 2  I 5)  8( I 2  I 3)  0. (II). 8( I 3  I 2)  1( I 3  I 5)  6( I 3  I 4)  0. (III). 6( I 4  I 3)  10  0. (IV).

(67) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 4( I 5)  10( I 5  I 6)  4( I 5)  1( I 5  I 3)  1( I 5  I 2)  0 2( I 6)  2( I 6)  10( I 6  I 5)  0. 58. (V) (VI). Resolviendo el sistema de ecuaciones con ayuda de MATLAB:. I1  10.1367 A Determinación de la corriente I1 empleando el teorema de Bartlett: El circuito se dibuja simétricamente con respecto al eje vertical que puede dibujarse en su parte central, para lo cual se divide la resistencia de 10  en dos resistencias conectadas en serie, cada una de valor 5  (la mitad del valor de la resistencia de 10  ) y se separa la resistencia de 8  en dos resistencias conectadas en paralelo, cada una con un valor de 16  (el doble del valor de la resistencia de 8  ). El circuito de la figura 2.43 muestra el circuito equivalente:. Figura 2.43: Circuito dibujado simétricamente con respecto al eje vertical ubicado en su parte central..

(68) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 59. Se calculan las fuentes de modo común y modo diferencial: Vcomún . 20  10  15 V 2. Vdiferenci al . 20  10  5V 2. El circuito correspondiente al modo común se muestra a continuación:. Figura 2.44: Circuito correspondiente al modo común. Determinación de la corriente I1común aplicando el método de las corrientes de mallas:. Figura 2.45: Aplicación del método de las corrientes de mallas para determinar la corriente I1común ..

(69) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB.  15  6( I1  I 2)  0. (I). 6( I 2  I1)  1( I 2)  16( I 2)  0. (II). 60. Resolviendo el sistema de ecuaciones con ayuda de MATLAB: I1  3,3824 A I1común  3,3824 A. El circuito correspondiente al modo diferencial se muestra a continuación:. Figura 2.46: Circuito correspondiente al modo diferencial. Determinación de la corriente I1diferencia l aplicando el método de las corrientes de mallas:. Figura 2.47: Aplicación del método de las corrientes de mallas para determinar la corriente I1diferencia l ..

(70) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB.  5  6( I1  I 2)  0. (I). 6( I 2  I1)  1( I 2  I 4)  16( I 2  I 3)  0. (II). 16( I 3  I 2)  0. (III). 4( I 4)  5( I 4  I 5)  1( I 4  I 2)  0 2( I 5)  5( I 5  I 4)  0. 61. (IV) (V). Resolviendo el sistema de ecuaciones con ayuda de MATLAB: I1  6,7544 A I1diferencia l  6,7544 A. La corriente total I1 , se obtiene aplicando superposición: I1  I1común  I1diferencia l  3,3824  6,7544  10,1368 A. El valor de I1 obtenido al aplicar el método de las corrientes de mallas, coincide con el valor de I1 obtenido al aplicar el teorema de Bartlett. R. MATLAB: Resolviendo el sistema de ecuaciones para determinar I1 : >>I=solve('-20+6*(I1-I2)=0','6*(I2-I1)+1*(I2-I5)+8*(I2-I3)=0','8*(I3-I2)+1*(I3I5)+6*(I3-I4)=0','6*(I4-I3)+10=0','4*I5+10*(I5-I6)+4*I5+1*(I5-I3)+1*(I5I2)=0','2*I6+2*I6+10*(I6-I5)=0','I1,I2,I3,I4,I5,I6') I= I1: [1x1 sym] I2: [1x1 sym] I3: [1x1 sym] I4: [1x1 sym] I5: [1x1 sym].

(71) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 62. I6: [1x1 sym] >> I1=I.I1 I1 = 19645/1938 >> I1=numeric(I1) I1 = 10.1367 Resolviendo el sistema de ecuaciones para determinar I1común : >> I=solve('-15+6*(I1-I2)=0','6*(I2-I1)+1*I2+16*I2=0','I1,I2') I= I1: [1x1 sym] I2: [1x1 sym] >> I1=I.I1 I1 = 115/34 >> I1=numeric(I1) I1 = 3.3824 Resolviendo el sistema de ecuaciones para determinar I1diferencia l : >>. I=solve('-5+6*(I1-I2)=0','6*(I2-I1)+1*(I2-I4)+16*(I2-I3)=0','16*(I3-. I2)=0','4*I4+5*(I4-I5)+1*(I4-I2)=0','2*I5+5*(I5-I4)=0','I1,I2,I3,I4,I5') I= I1: [1x1 sym].

(72) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. I2: [1x1 sym] I3: [1x1 sym] I4: [1x1 sym] I5: [1x1 sym] >> I1=I.I1 I1 = 385/57 >> I1=numeric(I1) I1 = 6.7544 R. SIMULINK:. Figura 2.48: Archivo .mdl del circuito original.. 63.

(73) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 64. Figura 2.49: Archivo .mdl correspondiente a la aplicación del teorema de Bartlett. Ejemplo 2.12 Aplicar el teorema de Bartlett para determinar la corriente I1 .. Figura 2.50: Red cuya simetría permite la aplicación del teorema de Bartlett.. Determinación de la corriente I1 aplicando el método de las corrientes de mallas:.

(74) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 65. Figura 2.51: Aplicación del método de las corrientes de mallas en el circuito simétrico.  20  1( I1  I 3)  j 2( I1  I 2)  0 (1  j 2) I1  ( j 2) I 2  (1) I 3  20. (I). j 2( I 2  I1)  1( I 2  I 3)  10  0  ( j 2) I1  (1  j 2) I 2  (1) I 3  10. (II).  j1( I 3)  1( I 3  I 2)  1( I 3  I1)  0  (1) I1  (1) I 2  (2  j1) I 3  0. (III). Resolviendo el sistema de ecuaciones con ayuda de MATLAB: I1  8,744847,7261 A. Determinación de la corriente I1 empleando el teorema de Bartlett: El circuito se dibuja simétricamente con respecto al eje vertical que puede dibujarse en su parte central, para lo cual se divide la impedancia  j1  en dos impedancias conectadas en serie, cada una de valor  j 0,5  (la mitad del valor de la impedancia de  j1  ) y se separa la impedancia j 2  en dos impedancias conectadas en paralelo, cada una con un valor de j 4  (el doble del valor de la impedancia de j 2  ). El circuito de la figura 2.52 muestra el circuito equivalente:.

(75) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 66. Figura 2.52: Circuito dibujado simétricamente con respecto al eje vertical ubicado en su parte central. Se calculan las fuentes de modo común y modo diferencial: Vcomún . 20  10  150 V 2. Vdiferenci al . 20  10  50 V 2. El circuito correspondiente al modo común se muestra a continuación:. Figura 2.53: Circuito correspondiente al modo común. Determinación de la corriente I1común aplicando el método de las corrientes de mallas:.

(76) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 67. Figura 2.54: Aplicación del método de las corrientes de mallas para determinar la corriente I1común .  15  (1  j 4) I1  0 I1  0,8824  j3,5294 A I1común  0,8824  j3,5294 A. El circuito correspondiente al modo diferencial se muestra a continuación:. Figura 2.55: Circuito correspondiente al modo diferencial. Determinación de la corriente I1diferencia l aplicando el método de las corrientes de mallas:.

(77) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 68. Figura 2.56: Aplicación del método de las corrientes de mallas para determinar la corriente I1diferencia l .  5  1( I1  I 3)  j 4( I1  I 2)  0 (1  j 4) I1  ( j 4) I 2  (1) I 3  5. (I). j 4( I 2  I1)  0  ( j 4) I1  ( j 4) I 2  0. (II).  ( j 0,5) I 3  1( I 3  I1)  0  (1) I1  (1  j 0,5) I 3  0. (III). Resolviendo el sistema de ecuaciones con ayuda de MATLAB: I1  5,0000  j10.0000 A I1diferencia l  5,0000  j10,0000 A. La corriente total I1 , se obtiene aplicando superposición: I1  I1común  I1diferencia l  0,8824  j3,5294  5,0000  j10,0000  5,8824  j 6,4706 A I1  8,744847,7261 A. El valor de I1 obtenido al aplicar el método de las corrientes de mallas, coincide con el valor de I1 obtenido al aplicar el teorema de Bartlett..

(78) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. R. MATLAB: Resolviendo el sistema de ecuaciones para determinar I1 : >> A=[1+2i -2i -1;-2i 1+2i -1;-1 -1 2-i] A= 1.0000 + 2.0000i. 0 - 2.0000i -1.0000. 0 - 2.0000i 1.0000 + 2.0000i -1.0000 -1.0000. -1.0000. >> b=[20;-10;0] b= 20 -10 0 >> I=A\b I= 5.8824 + 6.4706i 4.1176 +13.5294i -0.0000 +10.0000i >> I1=5.8824 + 6.4706i I1 = 5.8824 + 6.4706i >> moduloI1=abs(I1) moduloI1 = 8.7448. 2.0000 - 1.0000i. 69.

(79) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. >> anguloI1=angle(I1)*180/pi anguloI1 = 47.7261 Resolviendo el sistema de ecuaciones para determinar I1diferencia l : >> A=[1+4i -4i -1;-4i 4i 0;-1 0 1-0.5i] A= 1.0000 + 4.0000i 0 - 4.0000i -1.0000. 0 - 4.0000i -1.0000 0 + 4.0000i 0. >> b=[5;0;0] b= 5 0 0 >> I=A\b I= 5.0000 +10.0000i 5.0000 +10.0000i 0.0000 +10.0000i >> I1=5.0000 +10.0000i I1 = 5.0000 +10.0000i. 0. 1.0000 - 0.5000i. 70.

(80) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 71. R. SIMULINK:. Figura 2.57: Archivo .mdl del circuito original.. Figura 2.58: Archivo .mdl correspondiente a la aplicación del teorema de Bartlett..

(81) CAPÍTULO 2. APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS EN CIRCUITOS ELÉCTRICOS Y SU SOLUCIÓN EN MATLAB. 72. 2.6 Conclusiones del capítulo. En el capítulo se presentan doce ejemplos distribuidos de la siguiente forma: . Teorema de Millman: 3. . Rosen: 2. . Sustitución: 2. . Compensación: 3. . Bisección: 2. Los mismos permiten comprender de forma sencilla el desarrollo de los teoremas tanto en corriente directa como en corriente alterna, por lo cual pueden ser útiles para las asignaturas CE I y CE II. El hecho de presentar la solución de los circuitos por los resultados obtenidos a través del Simulink del MatLab da la posibilidad de comprobar los resultados teóricos obtenidos y poner en práctica los conocimientos adquiridos en la disciplina Computación..

(82) CONCLUSIONES. 1. El estudio de los fundamentos teóricos sobre los teoremas de Millman, Rosen, sustitución, compensación y de bisección de Bartlett permitió establecer el hilo conductor de la investigación, dando las pautas para la sistematización de los mismos de forma clara y coherente. 2. Los ejercicios seleccionados para presentar como ejemplos que ilustren los teoremas se caracterizan por ser de carácter académico, lo que facilita su comprensión por parte de los estudiantes. 3. La solución de los ejercicios en MatLab responde a la estrategia de computación de la disciplina y le da carácter interdisciplinario a la propuesta de este trabajo. 4. Los ejercicios resueltos mediante el MatLab y el Simulink, aplicando los teoremas ya mencionados, sirven de apoyo a otras investigciones referentes al tema, donde se requiera resolver problemas de mayor complejidad..

(83) 74. RECOMENDACIONES. 1. Resolver, en futuros trabajos, ejercicios más complejos y más estrechamente vinculados con la práctica profesional.. 2. Hacer uso del material complementario diseñado en tareas extraclases y en el estudio independiente, permitiendo la consulta del mismo a través de los sitios creados para este propósito..

(84) REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICA. [1]. Circuit theorems. Bhandout.pdf. Available:. http://ocw.nthu.edu.tw/ocw/upload/12/236/04-. [2]. (2012). Teoria de Circuitos I. Available: http://cmap.upb.edu.co/rid=1149710706859_362072617_127854/Cap5.pdf. [3]. J. Alvarez. (2010). Teoremas de circuitos electricos. Available: http://www4.frba.utn.edu.ar/html/Electrica/archivos/Apuntes_EI/Unidad_Tematica_ 2_Teoremas_de_circuitos.pdf. [4]. R. G. Araugas. (2014). Teoria de los Circuitos I. Available: http://www.profesores.frc.utn.edu.ar/electronica/teoriadeloscircuitosi/material/apunt e_teorico.pdf. [5]. C. d. T. d. C. I. (2012). Teoria de Circuitos I.. [6]. F. López and M. Zambrano. (2010). Teoría de Circuitos Eléctricos I [sitio web]. Available: http://aulavirtual.utp.edu.pe/file/20111/IE/E1/05/CE55/20111IEE105CE55T049.pdf. [7]. J. R. G. Vásquez. (2008). Teoremas fundamentales de circuitos eléctricos. Available: http://hdl.handle.net/11059/1042. [8]. R. A.DeCarlo, Linear Circuit Analysis. New York: Oxford University Press, 2001.. [9]. A. M. Davis, Linear Circuit Analysis. Boston: PWS Publishing Company, 1998.. [10]. T. L. Floyd, Principles of Electric Circuits vol. Tercera edicion. United States of America: Merrill Publishing Company, 1989.. [11]. J. R. Lucas. (2001). Network Theorems http://www.elect.mrt.ac.lk/EE201_network_theorems.pdf. [12]. J. Martinez, "Teoremas de circuito eléctricos," 2012.. Available:.

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