ALGEBRA 22

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD PEDAGÓGICA EXPERIMENTAL LIBERTADOR INSTITUTO DE MEJORAMIENTO PROFESIONAL DEL MAGISTERIO

EXTENSIÓN ACADÉMICA VALERA

MATRICES

MATRICES

Definición de matriz

Es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Una matriz es un cuadrado o tabla de números ordenados. Se llama matriz de dimensión a un conjunto de números reales dispuestos en filas y columnas de la siguiente forma

Matriz numérica:

Conjunto de números colocados en filas y en columnas.

mxn

• Matriz de orden (m,n): Conjunto de números reales, dispuestos en filas m, i en columnas n. Cada uno de los números que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posición.

• Subíndices: Cada elemento tiene unos subíndices que sirven para indicar su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica la columna. • Orden de la matriz: El número de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz está determinado por un par de números naturales; m y n.

figura 1.1

Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera

fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ].

Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la

primera columna estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].

Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m filas

y n columnas.

Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.

Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posición, la cual queda definida por su fila y su columna.

Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7 (figura 1.1), sería de la siguiente forma: am,n es a2,3

m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo

mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.

En matemáticas, una matriz es una ordenación rectangular de números, o más generalmente, una tabla consistente en cantidades abstractas que pueden sumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de

ecuaciones lineales, realizar un seguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Las matrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Tipo de matriz Definición Ejemplo

FILA

Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n

COLUMNA

Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1

RECTANGULAR

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,

TRASPUESTA

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando

ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At

ó AT}

OPUESTA La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su

opuesto. La opuesta de A es -A.

NULA

Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciendose que la matriz es de orden n.

Diagonal principal : son

los elementos a11 , a22 , ..., ann

Diagonal

secundaria : son los

elementos aij con i+j

= n+1

Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A. Diagonal principal : Diagonal secundaria : SIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.

ANTISIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la

opuesta de su traspuesta.

A = -At , aij = -aji

Necesariamente aii = 0

DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

IDENTIDAD

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

a 1. Tambien se denomina matriz unidad

TRIANGULAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente

cuadrada e

invertible : A-1 = AT

La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.

El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, anti simétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que :

A·A-1 = A-1·A = I

Para establecer las reglas que rigen el cálculo con matrices se desarrolla un álgebra semejante al álgebra ordinaria, pero en lugar de operar con números lo hacemos con matrices.

ORDEN DE UNA MATRIZ

Es el número que designa, en una matriz cuadrada, el número de filas o columnas.

Matriz numérica: Conjunto de números colocados en filas y en columnas.

mxn

• Matriz de orden (m,n): Conjunto de números reales, dispuestos en filas m, i en columnas n. Cada uno de los números que consta la matriz es un elemento, que se distingue entre los otros, por su posición.

• Subíndices: Cada elemento tiene unos subíndices que sirven para indicar su posición dentro de la matriz. El primer indica la fila, y el segunda indica la columna. • Orden de la matriz: El número de filas y columnas de una matriz determina el orden de la matriz. El orden de la matriz está determinado por un par de números naturales; m y n.

Las filas son los números dispuestos en m horizontales. En el ejemplo, la primera fila estaría formada por los números [ 1 2 3 ].

Las columnas son los números dispuestos en n verticales. En el ejemplo, la primera columna estaría formada por los números [ 1 1 4 6 ].Una matriz de orden (m,n) es el conjunto de números dispuestos en m filas y n columnas.

Siguiendo el mismo ejemplo, vemos que es una matriz 4x3. Se clasifica así porque la matriz contiene 4 filas y 3 columnas.

Si queremos señalar un elemento de la matriz, estos se distinguen por su posición, la cual queda definida por su fila y su columna.

Por ejemplo, si queremos dar la posición del número 7 , sería de la siguiente forma: am,n es a2,3

m indica la fila en la cual se encuentra el número. Pasa exactamente lo

mismo n, que indica la columna en la que se encuentra.

DIAGONAL DE UNA MATRIZ

En álgebra lineal, una matriz diagonal es una matriz cuadrada en que las entradas son todas nulas salvo en la diagonal principal, y éstas pueden ser nulas o no. Así, la matriz D = (di,j) es diagonal si:

Ejemplo:

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior) y (si las entradas provienen del cuerpo R o C) normal.

Otro ejemplo de matriz diagonal es la matriz identidad.

CONDICION PARA SUMAR MATRICES

La suma de dos matrices A=(aij), B=(bij) de la misma dimensión, es otra matriz S=(sij) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico

sij=aij+bij. Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.

La suma de las matrices A y B se denota por A+B. Ejemplo

Propiedades de la suma de matrices

A + B = B + A (propiedad conmutativa) A + 0 = A (0 es la matriz nula)

La matriz -A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (-A) = 0.

La diferencia de matrices A y B se representa por A-B, y se define como: A-B = A + (-B)

2. Operaciones con matrices.

Suma.

Las matrices se pueden sumar y restar entre sí, con la condición que sean del mismo orden. La suma se obtiene sumando los elementos de dos matrices que pertenecen a la misma fila y a la misma columna. Dada las matrices A y B del mismo orden, la matriz sumante se obtiene sumando cada término de A correspondiente en B:

Resultado de A+B

Propiedades de la suma:

Conmutativa: A + B= B + A Elemento neutro: A + 0 = A

Elemento simétrico: A - B = A + ( - B )

2.2 Producto por un escalar.

Con un nombre real k y la matriz A de orden (m,n), definimos el producto de K por A el producto de cada elemento que les forma cada uno. Igual que la siguiente forma:

K= 2

Resultado

Propiedades del producto escalar:

k ( A + B ) = kA + kB ( k + h )A = kA + hA k ( hA) = ( kh ) A 1A = A

Producto de matrices

El producto entre dos matrices es la suma de los productos de los elementos de las filas y columnas, según el subíndice. Para poder realizar el producto es

obligatorio que se cumpla una condición; el nombre de filas m de la matriz A sea el mismo número de columnas p de la matriz B. El orden del resultado de este

Propiedades del producto:

Asociativa: ( AB ) C = A ( BC )

Distributiva: A ( B + C ) = AB + AC | ( A + B) C = AC + BC

No Conmutativa: AB no es igual a BA. Sólo se cumple en determinados casos (y a estas matrices se les llama permutables)

Dadas las matrices y encuentra AB:

Solución

Una matriz es un arreglo rectangular de números colocados entre paréntesis, cuadrados o líneas dobles.

0 1 2 , 1 0 4 , [1 , 2] -1 4 3 0 3

Una matriz se representa mayormente por paréntesis o corchetes.

Matriz invertible

En

matemáticas

, en particular en

álgebra lineal

, una

matriz

cuadrada

A de orden n se dice que es invertible, no singular, no

degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n,

llamada matriz inversa de A y representada como A

_{, tal que: A*A}

₌

A

_{I_{n} ,, donde I}

n

es la

matriz identidad

de orden n y el producto

utilizado es el

producto de matrices

usual.

Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una

matriz es singular

si y solo si

su

determinante

es nulo. La inversión de

matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz

dada

Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que

AB = BA = I

siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1_.

Puesto que AB = BA = I, A y B son invertibles, siendo cada una la inversa de la otra.

1.6. Matrices invertibles por determinantes.

Desde luego que encontrar la matriz inversa es muy relevante en muchas áreas de las ciencias y la ingeniería, por ello además de haber ensayado por G-J, ahora lo haremos por determinantes.

Sea A una matriz cuadrada, nosotros sabemos que A es invertible si el Det A es diferente de cero. Obtener la matriz M, que es la de cofactores de A, donde A es de orden n x n y el ij-ésimo cofactor de A denotado como Aij, esta determinado por

Aij=(-1)i+j|Mij|

Es decir el cofactor Aij se obtiene del determinante ij-ésimo menor Mij y multiplicando por

(-1)i+j

Considere esta matriz A, donde m=n, ósea es cuadrada

Det A= a11A11+ a12A12+a13A13 + …+a1nA1n =

Esta expresión se le llama, determinante por cofactores.

Es necesario definir la matriz Adjunta de A –Adj A- como Mt_{, donde esta última se le}

conoce como matriz de cofactores. En otras palabras

en tanto que

Obtengamos primero la matriz de cofactores M. , , , , , , , y Mt _{, la cual es} Igual a Adj F. y el Det F= 17 , por lo tanto A-1₌

1.7. Teorema de Cramer´s Rule

Nosotros sugerimos haber revisado la inversa por determinantes para abordar el teorema de Cremer’s Rule que nos sirve para encontrar las soluciones de un sistema lineal de ecuaciones

Considérese el sistema lineal (en forma de matriz aumentada) AX=B donde A es la matriz de coeficientes, B el termino no homogéneo, y X la columna matriz desconocida.

Teorema: El sistema lineal AX=B tiene una solución única, sí y sólo sí A es invertible, en este caso la solución puede encontrarse a través de las formulas Cramer’s.

, para i = 1, 2, … n

donde Xi son las incógnitas del sistema y la matriz Ai es obtenida desde A, al remplazar la i

columna por la columna B. en otras palabras:

donde bi son los elementos columna de B.

En Particular si el sistema AX=B es homogéneo, B=0, significa que si A es invertible, la única solución es la trivial, X=0. Así, si estamos buscando una solución no cero al sistema,

la matriz de coeficientes A, es imperativo que sea singular o no homogénea.

Ejemplo 1: Resolver el sistema lineal en forma AX=B Donde

Det A = 13

Existe el determinante, implica que la matriz de coeficientes es invertible, existe A-1_=M

Así que usaremos las fórmulas de Cramer

Ejercicios:

1) .- Resolver el sistema lineal en forma AX=B, donde

,

Sol.-Det A= 34

Existe el determinante, implica que la matriz de coeficientes es invertible, existe A-1_=M

, AX=B, por G-J

, ,

1.8. Matriz exponencial.

El rol de ésta, radica en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales. Para definir tal matriz, es necesario enunciar la función exponencial ex _{y extender su significado}

en los polinomios de Taylor.

La matriz exponencial es dada para este caso por:

Para matriz A=0, recordar que e0_=I

En general para la matriz identidad eA_eA-1_=e0_=I

Para eA_eB_{= e}(A+B)

Ejemplo:

A2₌

A2₌

A2_{= y pude verse que A}3₌₀

Para este caso tenemos

1.9. Independencia y dependencia lineal.

Un conjunto de dos o más funciones, ecuaciones o vectores f1,f2,f3, …fn, en son

linealmente independiente si y sólo si el conjunto: a1f1 + a2 f2 + …+an fn =0

si el conjunto:

a1f1 + a2 f2 + …+an fn =0

tiene una solución que por lo menos un ai, es diferente de cero.

Una matriz A será linealmente independiente en si y sólo si a) Det |A| es diferente de cero, ó

b) Es invertible, o bien

c) Es equivalente por renglones a In

Una matriz A es linealmente dependiente en si y sólo si a) Det |A| =0, ó

b) A es singular,

c) A no es equivalente por renglones a In

Ejemplo 1: AX=B determinar si la dependencia lineal.

,

Al tratar de realizar G-J encontramos que el sistema es inconsistente. 1.- La A-1 _{se encuentra que es una matriz singular, -no}

invertible-2.- El del Det |A| es = 0

3.- Al cancelarse los renglones dos y tres por combinaciones lineales no es posible reducirla a la equivalente por renglones I3. Podemos observar además que los renglones

Ejemplo 2: AX=B determinar la dependencia lineal.

,

El sistema por G-J tiene solución:

tiene como única solución el cero.

1.- A-1_{es invertible}

2.- El Det |A| = 12, el determinante es diferente de cero.

3.- Finalmente por si hubiera duda, es posible a A reducirla por renglones equivalentes en I3.

,

Solución.

Por G-J AX=B: 2.- Det |A|=

3.- A-1_{es invertible}

Finalmente por si hubiera duda, es posible a A reducirla por renglones equivalentes en I4.

Ejemplo 4: AX=B determinar la dependencia lineal.

El sistema por G-J demuestra ser inconsistente, es decir no tiene solución:

2.- El Det |A| = 0, el determinante es cero.

3.- La A-1 _{, se encuentra que es una matriz singular, -no}

invertible-4.- A no es posible reducirla por combinaciones lineales a I4.

Ejemplo 5.- AX=B determinar la dependencia lineal.

,

Por G-J AX=B:

3.- La A-1₌