Tópico de matemática I: diseñado para cursos desde un enfoque por competencias

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(2) Tópicos de Matemática I Diseñado desde un enfoque por competencias. Luis Enrique Eyzaguirre José Luyo Sánchez.

(3) Eyzaguirre Esino, Luis Enrique, 1964 - Tópico de Matemática I. Diseñado para cursos desde un formación enfoque por de porcompetencias competenc / Luis Eyzaguirre & José Luyo – 1a ed.– Lima : Universidad San Ignacio de Loyola , 2017. 495 p. ; cm. ISBN: 978-612-4370-09-0 ejercicios, etc. I. Luyo, José. 515 E98 TÓPICOS MATEMÁTICA I Diseñado desde un enfoque por competencias © Luis Enrique Eyzaguirre Espino © José Raúl Luyo Sánchez © De esta edición Universidad San Ignacio de Loyola Fondo Editorial Av. La Fontana 750, LaMolina Teléfono: 3171000, anexo 3705 Dirección de Estudios Generales - USIL Primera edición, agosto 2017 Diseño de portada: Fondo Editorial Diseño y diagramación: Renato Vara Sánchez Hecho el Depósito Legal en la Biblioteca Nacional del Perú Nº 2017-10965 Impresión: Calle Luisa Beausejour No. 2049-Urb. Chacra Ríos Norte, Lima Agosto 2017 Tiraje 1000 ejemplares Se prohibe la reproducción total o parcial de este libro, por cualquiermedio, sin permiso expreso del Fondo Editorial..

(4) Los autores agradecemos la valiosa colaboración recibida por los docentes de la Dirección de Estudios Generales de la Universidad San Ignacio de Loyola, durante el proceso de elaboración de este texto..

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(6) ÍNDICE GENERAL Í NDICE GENERAL Presentación. 9. Introducción. 11. 1. Inecuaciones lineales. 15. 2. Inecuaciones lineales. Aplicaciones. 33. 3. Inecuaciones cuadráticas. 49. 4. Inecuaciones cuadráticas. Aplicaciones. 67. 5. Inecuaciones polinómicas y racionales. 83. 6. Solución gráfica de SIL con dos incógnitas. 101. 7. Programación lineal. 117. 8. Función real de variable real. 135. 9. Transformaciones de funciones. 155. 10. Modelamiento Funcional. 171. 11. Función lineal. 191. 12. Aplicaciones a la economía. 207. 13. Función cuadrática. 223. 14. Función cuadrática. Aplicaciones. 243. 15. Función polinómica y racional. 261. 16. Función exponencial y logarítmica. 279. 17. Funciones exponenciales y sus aplicaciones. 295. 18. Matemática financiera. Introducción. 313.

(7) 19. Límite de funciones. 329. 20. Límites infinitos y al infinito. 349. 21. Asíntotas de funciones. 367. 22. La derivada. 383. 23. Análisis de una función. 399. 24. Optimización de funciones. 415. 25. Aplicaciones a la administración y economía. 431. 26. Razón de cambio. 449. 27. Diferencial de una función. 465. 28. Derivación: implícita, logarítmica y paramétrica. 481. Bibliografía. 495.

(8) Presentación El libro que tienen entre sus manos es muy interesante y está escrito por autores de reconocida solvencia, a los cuales conozco por mi relación con las personas interesadas en la mejora de la Educación Matemática en el Perú. Sabía de su seriedad teórica y metodológica, la cual se ha vuelto a confirmar con la lectura de este libro. Este texto se encuentra concebido como parte de la propuesta formativa de los Estudios Generales en un enfoque de formación por competencias. El mismo que responde a la demanda y expectativa de la sociedad actual en relación con un primer curso de matemática en la formación universitaria, formulado desde un modelo socioconstructivista. Se ha organizado en tres unidades: los números reales, las funciones reales de variable real y los límites y las derivadas. Además, cada una de estas unidades presenta un conjunto de lecciones que disponen de una secuencia didáctica que facilita y orienta tanto al estudiante como al docente en los procesos de aprendizaje-enseñanza en el aula y fuera de esta, tomando como eje la participación activa del estudiante en la construcción del conocimiento, el logro de aprendizajes significativos en forma progresiva, y complementado con actividades para el desarrollo de habilidades de trabajo colaborativo, indagación y pensamiento crítico. En tal sentido, el docente adquiere el rol de mediador en los procesos de aprendizaje. Se trata de un texto diseñado de acuerdo a algunas de las tendencias actuales sobre las que se enmarca la mejora de la enseñanza de las matemáticas: una enseñanza en la que se presentan unas matemáticas que surgen de la realidad y que emergen de la acción y la construcción del estudiante; una enseñanza en la que se incorporan las nuevas tecnologías y en las que se pretende desarrollar la competencia matemáticas de los estudiantes y su autonomía. Por una parte, se han tenido en cuenta los elementos característicos de los enfoques y las teorías de La Educación Matemática actual, en particular los estándares formulados por el NCTM (National Council of Teachers of Mathematics) y, por la otra, el contexto institucional en las que dichas tendencias y enfoques se han de aplicar. La propuesta curricular en la que se enmarca el texto busca desarrollar la competencia matemática de forma secuencial e integrada a través de la potenciación de las capacidades de comunicación matemática, matematización y representación y la de estrategias y cálculo; considerando como eje transversal la resolución de problemas..

(9) Este texto se complementa metodológicamente con dos puntos. Primero con el uso de una plataforma virtual, espacio donde el estudiante puede desarrollar actividades autónomas de aprendizaje y evaluación permanente. Segundo, el desarrollo de proyectos formativos, que busca potenciar habilidades blandas como las de comunicación, indagación, uso de tecnologías y trabajo en equipo.. Lima, agosto de 2017. Vicenç Font.

(10) Introducción La matemática se manifesta constituyendo armoniosos tejidos de códigos o símbolos, algunos de los cuales buscan describir fenómenos del universo y las relaciones entre ellos, y ha permitido asociar el desarrollo cognitivo en el proceso de su evolución, puesto que, a mayor paciencia y gentileza en el uso de sus herramientas, el tratamiento y la interpretación de sus resultados se verán enriquecidos en su práctica y utilidad. Esta ciencia acompaña al hombre desde que comienza a relacionar su entorno, los espacios y las formas. El modo de aprendizaje y enseñanza de dicha disciplina se ha convertido en un tema de investigación de muchas personas apasionadas en este tipo de proyectos. Los métodos y ensayos modernos aplicados han permitido evolucionar y mejorar el trabajo con los estudiantes, ya que ellos son protagonistas de la formación activa del siglo XXI y tienen como objetivo fortalecer la capacidad de movilizar recursos de sus pensamientos para hacer frente a diversas situaciones de su entorno y construir conocimientos innovadores. Este libro, que presenta la Dirección de Estudios Generales de la Universidad San Ignacio de Loyola, debe ser junto con sus docentes, un pilar de esfuerzo donde el estudiante tenga como desafío resolver, con su experiencia, problemas cotidianos y sea capaz de autoevaluarse para definir mecanismos, que mejoren la retroalimentación positiva y a través de la metacognición. Por tal razón, hemos constituido el texto en sesiones de aprendizaje donde cada unidad está organizada para un trabajo cooperativo e individual, con una serie de ejercicios propuestos que van desde el desarrollo intuitivo y natural hasta los que exigen un resumen de conocimientos previos, que presentamos a continuación. Logros de aprendizaje. Al iniciar cada lección, se declaran los aprendizajes que se esperan que logren los estudiantes, los mismos que se evidenciarán a través de desempeños individuales o grupales. Se precisan las habilidades relacionadas con comunicación matemática, matematización y representación, así como estrategias y cálculos. De igual forma, los conocimientos con contenidos conceptuales, procedimentales y epistémicos es otro de los componentes de esta sección. Nota histórica. Se incluye un breve e interesante texto para que el estudiante conozca aspectos de la vida y obra de algunos matemáticos que, a lo largo de la historia,.

(11) han efectuado aportes significativos a esta disciplina. Estos testimonios también ofrecen una visión sobre la contribución de dichas personalidades al pensamiento científico actual. Dichas referencias históricas orientan el acercamiento a los conocimientos epistémicos de la Matemática. Saberes previos. Antes de desarrollar cada lección, se presenta al estudiante un conjunto de ítems o situaciones que le permitirán evocar sus conocimientos previos para el abordaje y, en algunos casos, generar el conflicto cognitivo que estimulará su interés y acercamiento inicial a cada tema. Asimismo, estas situaciones promoverán su reflexión y valoración del estado de sus conocimientos previos, favoreciendo los posteriores aprendizajes significativos. Ficha de trabajo. Cada lección contiene actividades contextualizadas que permiten a los estudiantes explorar situaciones que le favorecerá el surgimiento de conceptos matemáticos. Asimismo, dicho accionar se ve reforzado por diversos procedimientos y estrategias que confluirán en aprendizajes significativos. Ejercicios propuestos. Esta sección presenta una selección de actividades y problemas variados que plantean situaciones intra y extra matemáticos. Por lo tanto, su proceso de solución requiere del dominio de la competencia matemática planteado en el curso y los conocimientos (conceptuales, procedimentales y epistémicos) así como la valoración sobre el propio aprendizaje. Trabajo colaborativo. Corresponde a actividades diseñadas específicamente para que los estudiantes, al resolverlas en forma dialogada, reflexiva y sistemática, potencien la competencia matemática planteada en el curso. Estos trabajos se encuentran orientados a promover las habilidades blandas en los estudiantes, tales como trabajo en equipo, comunicación, responsabilidad, entre otros. Trabajo autónomo. Actividades diseñadas específicamente para que los estudiantes las resuelvan en forma independiente y se apropien de estrategias que le permitan aprender a aprender. Saberes. Breve sección de institucionalización de los conocimientos conceptuales, procedimentales y epistémicos trabajados a lo largo de toda la lección. Se busca obtener una mirada clara e integrada de los conceptos, teoremas y propiedades que sustentan el tema tratado en la lección..

(12) e-portafolio. Conjunto de actividades virtuales que los estudiantes deben desarrollar de manera autónoma y en relación con cada lección, apoyándose en el uso e integración de las TICs para la consecución de los aprendizajes esperados. De esta forma, se podrá evidenciar el logro de los aprendizajes esperados y desarrollo de la competencia matemática de manera progresiva. Por otra parte, también permitirá que los docentes elaboren un registro y proceso de realimentación en relación con el progreso de cada estudiante. Ficha de evaluación. Contiene un conjunto de problemas diseñados para que los estudiantes puedan valorar la calidad de sus propios aprendizajes, alcanzados al final de cada lección. Finalmente, consideramos este libro una herramienta didáctica al servicio de la educación matemática universitaria que va permitir estructurar el conocimiento que se extrae de la realidad, para el desarrollo del pensamiento crítico y darle el valor debido a la toma de decisiones oportunas.. La Molina, agosto 2017. Los autores.

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(14) 1. Inecuaciones lineales. En esta lección, estudiaremos las inecuaciones lineales, su definición, propiedades, las formas de representación del conjunto solución, sus aplicaciones y estrategias de solución. Aprenderemos también acerca de cómo resolver las inecuaciones utilizando las TIC, haciendo énfasis en el análisis, la comprensión de conceptos y procedimientos y su relación con lo ya aprendido.. Logros de aprendizaje: Argumenta procedimientos o proposiciones vinculados con las inecuaciones lineales haciendo uso de definiciones, teoremas, propiedades y contraejemplos. Explica conceptos, relaciones y procedimientos de las inecuaciones lineales haciendo uso de representaciones, simbólicas y/o en lenguaje natural. Resuelve problemas relacionados a las inecuaciones lineales, aplicando propiedades y procedimientos matemáticos.. Nota histórica: Tales de Mileto (Mileto, actual Turquía, 624 a.C.-?, 548 a.C.) Fue un filósofo y matemático griego. Entre sus aportes en geometría destacan la elaboración de un conjunto de teoremas generales y de razonamientos deductivos a partir de los primeros y la medición de la altura de las pirámides por medio de su sombra. Asimismo, es conocido por ser el pionero en reflexionar sobre los ángulos, las líneas y demás aspectos a partir de abstracciones. En física, dedujo los cambios en el estado del agua; y en astronomía, predijo un eclipse. Fallece en 543 a.C., mientras contemplaba los juegos olímpicos..

(15) 16. Inecuaciones lineales. 1.1. Saberes previos. Antes de iniciar el presente estudio, recordemos algunos contenidos que nos ayudarán a comprender íntegramente lo estudiado en esta lección. Conjuntos númericos Operaciones algebraicas directas e inversas Valor absoluto Ecuaciones lineales y sus propiedades Manejo básico de la calculadora/computadora Resuelva los siguientes ejercicios en su cuaderno, luego compare las soluciones con sus compañeros. 1. La solución de la ecuación 3x − 5 = 0 es un número: a) entero b) racional c) natural d) irracional 2. Clasifique los números según los conjuntos numéricos:. p p 22 ; 0 ; 1 ; 2 + 3 ; 0, 12 ; 0, 33. 7. µ ¶ x − 0, 3 x −2 3. Resuelva la ecuación −1 = 3 . 3 2 4. ¿Cuál de las siguientes desigualdades representa el siguiente gráfico?. a) |x + 4| ≤ 2. b) |x − 4| ≤ 2. 5. Resuelva la ecuación |x| + 3 = 17 − |x|. 6. Resuelva las siguientes ecuaciones: x 1 1 x + = − 2 6 3 5 a + 3x c b) = b 2 1 c) (x − 1) = 1 3 d) 3 + x (6x − 2 (3x − 1)) = 11 a). c) |x − 2| ≤ 4. d) |x + 2| ≤ 4.

(16) 17. Inecuaciones lineales. 1.2. Ficha de trabajo. A continuación, se presenta una actividad colaborativa, por lo que se sugiere lo siguiente: Conformen grupos, lean con atención la información presentada en la actividad, planteen las preguntas que consideren necesarias, dialoguen sobre los posibles argumentos, procedimientos o estrategias que se vayan a emplear para resolverlas, aplíquenlas; luego compartan sus resultados con toda la clase. Integrantes:. Desigualdades Las desigualdades se usan todo el tiempo en el mundo que nos rodea. Sólo debemos saber dónde buscar. Encontrar la manera de interpretar el lenguaje de las desigualdades es un paso importante para aprender a resolverlas en contextos cotidianos.. Plantee en cada caso la desigualdad que corresponda. Considere para esto las variables y restricciones necesarias: • Velocidad máxima: 45 km/h. ............................................................................................ • El pago mínimo para adquirir un vehículo es el 10 % de su valor de venta. ............................................................................................ • Se dispone de 120 minutos como máximo para llamar por el celular al mes. .............................................................................................

(17) 18. Inecuaciones lineales. • El tiempo que me toma llegar a la escuela es de 15 a 20 minutos. ............................................................................................ • La nota mínima aprobatoria en el curso de matemática es 11. ............................................................................................ • El precio del par de zapatos está entre S/ 120 y S/ 150. ............................................................................................ De lo anterior se puede apreciar que las desigualdades pueden ser usadas para modelar situaciones cotidianas, formule tres nuevos ejemplos de desigualdades. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Explique: a) ¿Cómo se puede verificar si un número es o no solución de una inecuación? ............................................................................................ b) ¿Pueden existir inecuaciones con infinitas soluciones? ¿Con una solución? ¿Sin solución? Formule ejemplos para cada una de ellas. ............................................................................................ c) ¿Qué son inecuaciones equivalentes? ............................................................................................ Analice la siguiente secuencia. Encuentre si en algún paso se cometió algún el error y si fuera ese el caso, realice la corrección Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Paso 6. 4<8 1 1 > 4 8 µ ¶2 µ ¶3 1 1 > 2 2 µ ¶2 µ ¶3 1 1 ln > ln 2 2 1 1 2 × ln > 3 × ln 2 2 2>3.

(18) 19. Inecuaciones lineales. 1.3. Ejercicios propuestos. Ejercicio 1.1 Determine si la desigualdad 3x + 4 < 5 (8x − 7) + 5 es una inecuación lineal. Solución:. Ejercicio 1.2 Resuelva la siguiente inecuación: x 1 x 1 − ≤ + 2 6 3 4 Solución:. Ejercicio 1.3 Resuelva la inecuación 12 − Solución:. 3x 5x + 13 9(2 + x) < < y escriba su solución como un intervalo. 2 3 5.

(19) 20. Inecuaciones lineales. Ejercicio 1.4 En cada caso marque la proposición verdadera. 1 a) Si 2x 2 + 5 > 2(x 2 + 10x), entonces x > . 4 b) La inecuación. 1 − 3x 8x − 9 3x − 1 9 − 8x < es equivalente a > . 6 5 6 5. c) Para el intervalo [−2/3, +∞[ existe más de una inecuación que lo tiene como conjunto solución. d) Toda inecuación lineal tiene solución. Solución:. Ejercicio 1.5 Resuelva el sistema de inecuaciones y calcule la suma de los enteros que la verifican.  4x − 5   < x +3   7     3x − 8 > 2x + 5 4 Solución:.

(20) 21. Inecuaciones lineales. Ejercicio 1.6 Si x ∈ ]−2; 5], determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) 2 ≤ x + 2 ≤ 7. b) 0 < x 2 ≤ 25. c). 1 8. ≤. 1 x+3. <1. Solución:. Ejercicio 1.7 Norma nació 20 años antes que Andrea. Si las edades de ambas suman menos de 86 años, ¿cuál es la máxima edad que podría tener Norma? Solución:.

(21) 22. Inecuaciones lineales. Ejercicio 1.8 La tarifa de telefonía celular de la empresa Telcel es S/ 120 fijos mensuales más S/ 0,10 por minuto de conversación; y la tarifa de la empresa Axtel es S/ 108 fijos más S/ 0,18 por minuto de conversación. ¿A partir de cuántos minutos empieza a ser más rentable la tarifa de la empresa Telcel? Solución:. Ejercicio 1.9 Si 0 < m < n, determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones y justifique. a). 1 1 < m n. b) (m − n)(n − m) > 0 m n c) < m −n m −n m m +1 < d) n n +1 Solución:. e). n m <1< n m. f) m <. m +n <b 2. g) m 2 < n 2.

(22) 23. Inecuaciones lineales. 1.4. Trabajo colaborativo. Ejercicios propuestos 1. Resuelva las siguientes inecuaciones expresando el conjunto solución en términos de intervalos y represéntelas gráficamente. a) x − 2 < 7. h) Si 2x + 5 < x + 1 entonces (2x + 5)2 < (x + 1)2 .. x −2. +x −2 < 0 3 ¡ ¢ g) x 2 + 1 (4x − 5) + x 2 + 1 < 0 h) (x − 3) (x + 2) < 5 + x (x − 1) i) 2x − 1 < 5 − x ≤ 3x − 7 j). 5x − 3 4. x +1 3. (. 4(x − 7) − 1 − 4x ≥ 5(x − 9) + 1 2(x − 6) − 1 − 5x < 4(1 − 5x). (. 5(x − 3) − 1 + x ≥ 6(x − 8) + 1 3(x − 1) − 1 + 5x < 4(1 + x). (. x − 3 − 4(1 + x) ≥ x − 8 −1 + 5x < 3(1 − x). k). l). m). + 3x − 2 ≤. entonces ( ). g) Si x 2 (x + 5) < (4x − 1) x 2 entonces x + 5 < 4x − 1. ( ). x. +3 > x −9 2 x +1 d) 2 >0 x +3 ¢ ¡ e) x 4 + 3 (x + 5) > 0 f). e) Si 3 (x − 1) ≤ 6 (x + 2) x − 1 ≤ 2 (x + 2).. f ) Si x (3x + 2) ≥ 2x (x + 3) entonces 3x + 2 ≥ 2x + 6. ( ). b) 3x + 2 > 14 c). d) El conjunto solución de la inecuación 3x − 2 ≤ 0, es R − {−2/3}. ( ). 2. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justifique su respuesta. a) Si x ∈ ]5; +∞[ entonces 3x − 6 > 9. ( ) b) El conjunto solución de la inecuación x + π ≤ 0 es ] − ∞; π]. ( ) c) Cualquier x ∈ R verifica la desigualdad 2x + 5 x +1 < x +2 < . ( ) 2. ( ). 3. Norma es una estudiante universitaria. En su tiempo libre trabaja en un restaurante tres tardes a la semana. Cada tarde, trabaja cuatro horas y gana S/ 20 por hora. Cada semana, gana además S/ 80 en propinas y ahorra exactamente la mitad de la cantidad de dinero que gana cada semana.. a) Si Norma necesita ahorrar por lo menos S/ 1 440 para hacer un viaje de vacaciones, ¿cuál es la cantidad mínima de semanas que tendrá que trabajar? b) Norma desea viajar en 12 semanas y sabe que el gasto total a efectuar estará comprendido entre S/ 3 000 y S/ 3 144. ¿Cuál será ser el nuevo pago por hora, a fin de que cumpla con su deseo? Justifique su procedimiento..

(23) 24. Inecuaciones lineales. 1.5. Trabajo autónomo. Ejercicios propuestos 1. Resuelva las inecuaciones y exprese la solución en términos de intervalos. x +1 x +3 x +5 < < 2 4 6 x +3 b) x + 1 < < x +5 2 c) 3(x − 2) ≥ 2(x − 3) 5 2 1 d) x + > x 3 6 5 a). 3 1 (x + 10) ≤ x − x + 1 5 2 µ ¶ 1 3 f ) 2x x + ≥ 2x 2 − x + 6 3 8 e). 2. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: a) El conjunto vacío es conjunto solución de la inecuación 3x + 1 <. 6x − 3 . 2. b) El conjunto de los números reales es el conjunto solución de la 2x + 9 . inecuación x + 5 > 2 c) Si x < 5 entonces 25 − 5x > 0.. a) Está formado por todos los números reales mayores que 3 y que no superan a 10. b) Está formado por todos los números reales que no son menores que 5. c) Está formado por todos los números reales positivos que no son menores que 7. d) Está formado por todos los números reales no negativos que no son mayores que 10. 5. Resuelva cada inecuación y escriba la solución en términos de intervalos: a) 2x −. c) 2x − 1 ≤ x − 2 < 3x + 5 d) 3(x + 2) < 3x + 8 6. Resuelva las siguientes inecuaciones: a) 3x + b). e) El intervalo ]−∞; −3] es conjunto solución de la inecuación x +3 < 0.. c). 3. En cada caso, encuentre dos inecuaciones cuyo conjunto solución sea:. d). b) [−4; +∞[ 4. En cada caso, encuentre una inecuación lineal cuyo conjunto solución es descrito de la siguiente manera:. 3. <x−. 5 10 b) −4 ≤ 3x − 1 ≤ 5. d) El intervalo ]−∞; 1] es conjunto solución de la inecuación x −1 > 0.. a) R. x. 2 (x − 1) 5. 3 (x − 1) 2. > −3x −. x −1. ≤ 3x + 2 < 5 +. 2 x 2. 3. 1 2 (5x − 1) + < (7 − x) + x 4 2 3 3x − 1 4. +1 <. x −2 5. +. x −1 2. 7. Un número natural es tal que la sexta parte del número anterior es menor que 6; además la sexta parte del número natural siguiente es más que 6. ¿Cuál será la raíz cuadrada del número natural, disminuido en 1?.

(24) 25. Inecuaciones lineales. 1.6. Saberes. Sistema de los números reales Es el conjunto denotado por R cuyos elementos son llamados números reales donde está definida una operación de adición + y multiplicación (·), tal que para cada x, y ∈ R se tiene que x + y ∈ R y x · y ∈ R, además satisfacen las siguientes condiciones llamadas axiomas.. Axioma Conmutatividad Asociatividad Elemento neutro Elemento inverso Distributividad. Adición Multiplicación ∀x, y ∈ R, ∀x, y ∈ R, x +y = y +x x ·y = y ·x ∀x, y, z ∈ R, ∀x, y, z ∈ R, x + (y + z) = (x + y) + z x · (y · z) = (x · y) · z ∃ 0 ∈ R tal que ∀x ∈ R, ∃ 1 ∈ R tal que ∀x ∈ R, x +0 = 0+x = x x ·1 = 1·x = x ∀x ∈ R, ∃ − x ∈ R, ∀x ∈ R \ {0}, ∃ x −1 ∈ R, x + (−x) = (−x) + x = 0 x · x −1 = x −1 · x = 1 ∀x, y, z ∈ R, (x + y) · z = x · y + y · z. Entre los elementos de R hay una relación ≤, para cada x, y ∈ R se puede determinar si x ≤ y o no.. Axioma Reflexividad Antisimetría Transitividad Comparación. Desigualdad ∀ x ∈ R, x ≤ x x ≤ y ∧ y ≤ x =⇒ x = y x ≤ y ∧ y ≤ z =⇒ x ≤ z ∀ x, y ∈ R, x ≤ y ∨ y ≤ x. Conexión entre la adición, multiplicación y orden en R.. Adición Si x, y, z ∈ R, x ≤ y =⇒ x + z ≤ y + z. Multiplicación Si, x, y ∈ R, 0 ≤ x ∧ 0 ≤ y =⇒ 0 ≤ x · y.

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