Una prueba de hipótesis en modelos no lineales con variables retrasadas

Texto completo

(1)UNA PRUEBA DE HIPOTESIS EN MODELOS NO LINEALES CON VARIABLES RETRASADAS* Bernardo Chaves Côrdoba". 3. REVISION DE LITERATURA En este estudjo se usa el criterio de Wald y el procedimiento de estimación de los parámetros de interés en un niodelo de regresión no lineal con estructura autorregresiva de orden q en los errores, propuestos por Gallant y Goebel (5), para probar hipOtesis sobre funciones de los parmetros. Mediante aigunas transformaciones se logra reducir un modelo no lineal de series de tiempo autorregresivo en primer orden, al cual se Ic aplican los procedimientos anteriores para estirnar los paranietros y su respectiva inferencia. 2. INTRODUCCION Los estudios niás conocidos con respecto a la teona de los modelos no lineales se refieren principalmente al comportamiento asintótico de los estimadores y a las pruebas de hipótesis sobre los parámetros. Recientemente se ha desarrollado una teorIa que permite ci estudio de la inferencia sobre funciones de los parámetros, sobresaliendo los trabajos de Gallant (4), Souza (13) y Burguete (1).. En este trabajo, aprovechando la analogfa que realizO Gallant (4) de los modelos no lineales con el modelo de regresión lineal, se construye una prueba de hipótesis asintótica para funciones de los parámetros en un modelo de regresión no lineal con una estructura autorregresiva de orden q en los errores. Tanibién se presenta la utilización del modelo no lineal con estructura autorregresiva en el procedimiento de estimacion y Ia inferencia estad(stica en otros modelos.. La revision comprende cuatro tópicos importantes en el desarrollo del trabajo, los cuales a su vez son antecedentes básicos para el logro de los obtejivos, éllos son: 3.1. EL CRITERIO DE WALD La prueba de Wald que supone la existencia de. o (X,2), el estimador de maxima verosimiitud del parámetro U , donde 2 F, IR, tiene comoyegla de decisiOn: no se rechaza H0 : O"E cosi h(O (X, 2) ) está "suficientemente cercano" a cero, donde ( 0 : li(0) = o} yh es una función que maw= pea de Q a Rr. Silvey (12).. 3.2. IRUEBA DE WALD EN REGRESION LINEAL MULTIPLE Todas las pruebas de liipdtesis acerca de combinaciones lineales de los parámetros en un modelo lineal se pueden escribir de manera general asI: H0 : k'j3=rn vs Ha : k'j3. '2 '. (3.2.1). Contribución de la Seccion de Métodos Estadisticos, Division de Estadistica y Biometr(a del Instituto Colombiano Agropecuario - CA. Estad(stico M.S. Sección Métodos Estathsticos. Apartado Aéreo 151123 Eldorado Bogota—Colombia. Revista ICA Bogota (Colombia) Vol. XVIII 1\1075-38313jcjembre 1983 CK-ISSN-0018-8794.. 375.

(2) donde 9es un vector de parámetros desconocidos de orden (pxl), k' es una matriz de orden (rxp) y T es un vector de constantes especificadas de orden r. La teoria que se genera para probar la hipátesis H0 : k' Q= ni esta sujeta a las siguientes condiciones: a) ci sistema de ecuaciones k' 3= m debe ser consistente y b) k' I3debe ser estimable.. W =(k'3-rn) [k' (X' X) k. I' (k'-rn) "-'x 2 (rX). donde: El punto de partida de la teoria es suponer que se puede construir el siguiente modelo:. X =(k'i)' [k' (X' X) k]. (k'-rn)/2 (3.2.4). (3.2.2) Dc (3.2.4) es claro que bajo I-1: k'13= rn la variable aleatoria W tiene distribución ji-cuadrada con r grados de libertad; de tal forma que probar donde Y es un vector aleatorio de variables dependientes de orden n, X es una matriz de constantes conocidas de orden (nxp), con rango menor o igual que es un vector de (pxl) de parámetros desconocip es un vector de variables aleatorias no obserdoly vables, con p, "N (0,02 I). Sin pérdida de generalidad asumimos que 0 2 = 1.. H0 : k' 3= rn es equivalente a probar I-la: A = 0 Dado lo anterior, la prueba de Wald de tamaflo a, para probar H0 : k' i = rn esta dada por la siguiente función: lsiw) 2 (a) (r). Osiw( x 2. El estimador de minimos cuadrados de I3es. 13=(X' X) - '. (3.2.3). del supuesto de normalidad en los errores se tiene que:. (a). donde. x 2 (a) se determina de PH { x 2 )x 2 (a)}=a (r). ° (r) (r). N((X'X)X'X3, (X' X)_. y por la condición de estimabilidad.. k'—rn"N(k' -m,k'(X' X) k) implica que 376. 3.3 REGRESION NO LINEAL Gallant (4) estableció una analogIa entre la teoria y los mtodos estadIsticos de la regresión no lineal con la teorIa y métodos estadIsticos de layegresion lineal, y de esa forma obtuvo ci estimador 0 de O , un estimador de la varianza de los errores, como también las propiedades y las pruebas de hipótesis sobre los parámetros..

(3) A continuación se presenta el modelo de regresiOn no lineal en forma "matricial" y Ia notación necesaria para desarrollar Ia teoria. Sea el modelo. +. donde f( 1 ;). y. (nxl). f(X ;O). (nxl). Y es un vector ateatorio de variables dependientes, f( ;O) un vector de funciones no lineales en 0, Xt es un vector de p variables independientes y i, es un vector de variables aleatorias no observables.. Sea af(x1 ;?). öf(x 1 'p-). a 02. (i 3. F(0)= 01. 30. 3f(X;0). 3f(x ; O). (nxp) 3 01. 3 02. 377.

(4) esta matriz desempena un papel importante en la estructura de las fornias lineales y cuadráticas que se generan en la teorIa de regresión no lineal. El estimador de nhinimos çuadrados del vector de parmetros* es un valor deQ que minimiza: SCE(0 )=[Y.f(X. )]' [i- (. ;)]. Y ci estimador de 02 correspondiente aO es 02. =__ SCE(0) n-p. Gallant (4) menciona las siguientes propiedades de los estimadores: 0 es un estimador consistente para 0* -. 2. es un estimador consistente para C 2. - 0 se distribuye asintóticamente normal con media y matriz de varianza convarianza Cu2, donde C = [ F' (0*) F(0*)] 1. Los métodos de cálculo para obtener la estimación de 0*, mds frecuentemente usados, son el algoritmo de Marquardt (10) y ci método de Gauss-Newton nbdificado por Hartley (7), quien demostró, bajo ciertas condiciones, que el estimador de mi'nirnos cuadrados es el mInimo absoluto. La teoria actual de muestras grandes en modelos no lineales tiene como punto de partida los trabajos de Jenrich (8) y Malinvaud (9). Jeririch estableció condiciones bajo las cuales se garantiza la consistencia y la normalidad asintótica de una secuencia de estimadores de mi'nimos cuadrados en un rnodelo no lineal con errores aditivos y probó, bajo el supuesto de normalidad en los errores, que los estimadores de minimos cuadrados son iguales a los estimadores de máxima verosimilitud. Malinvaud a su vez encontró condiciones bajo las cuales se da la consistencia de los estimadores en modelos no lineales multivariados. 3.4 SERIES DE TIEMPO AUTORREGRESIVAS Una serie de tiempo autorregresiva Z:tE(0,+1 ,+2,. . de orden q esta definida implicitamente como una secuencia de variables aleatorias que satisfacen las ecuaciones lineales en diferencia de orden q con coeficientes constantes,. - (n-p)a 2 / 02 se distribuye asintóticamente como una ji-cuadrada con (n-p)grados de libertad 0 y 0 2 son asintóticamente independientes. - Puesto que lamatriz C no es observable,ella se puede estimar por = [F' (0) F ()J'. Z+a1 Z1+•..+ct q Z. =e,. donde, ci proceso et} es una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media cero, variariza CF2 y mornento de cuarto orden finito. Si se supone que las raices del polinomio 1. Para establecer las propiedades de los estimadores en muestras grandes, se necesitan condiciones de regularidad de las cuales las más importantes son:. t—q. —1 +. 2. + .. .+. q. =0. son menores que uno en valor absoluto, el proceso { Z} se puede expresar explicitamente como un proceso de promedios móviles infinito en términos de las ponderaciones {w.} defInidas por las ecuaciones: J j=o. - Las p variables de X se deben seleccionar de una muestra aleatoria de una distribución con momento de primer orden finito o bien por repetición de un conjunto fIjo de puntos. La función de respuesta f(X t ;O) debe ser continua en sus argumentos (X t ;O). AsI mismo, su primera y segunda derivadas pa2rciales, es decir, (aIao)f(x (a iao ao.)f(X ;O),deben ser continuas en. W0 =1 W1 W2. = = — ct1 W1 —a2 W0. (x .2). - El tim 1[f(X1 ;O) - f(X1 ;O*)]2 , tiene un mInin—. n mo dnico en 0*.. Wq_1 = _ 1 Wq _ 2 a7 w q3 -. - q-1 O. El urn ± [F' (0*) F(O*)] es no singular. n-+ oo n 378. yWj. u Wj_l2Wj_2m... q Aj_ q jq,q±1,....

(5) Estas ponderaciones son absolutamente convergen00 tes, es decir, f w iK y Z=Z W. e t jQ J j0 J casi segurarnente. La representación en promedios móviles permite expresar La función de autocovarianza del proceso de la siguiente forma y(h) =02 w3 W j+h j=0. el cual tiene las caracterIsticas descritas en (3.3), pero co se asume que el proceso (U1 J t = _que genera los errores { = 1 es una serie de tiempo autorregresiva de orden q, cbn los supuestos mencionados en (3.4). El estimador "apropiado" de 0, cuando se conoce es el valor de 0 que minirniza a f. (ii =0,1-1, +2, . . ,)la cual esuna funión par, satisface las siguientes ecuaciones ilarnadas ecuaciones de Yule-Walker:. t. 'F n '. cuando 'n' no se conoce, como generalmente sucede, una forma natural de estimarO* es sustituir por un estimador.. W (j 2 y(11). 1. —l)+.. .+aq. Gallant y Goebel (5) propusieron el siguiente procedimiento de estimación:. _q) 0. y. 00. son. j(0. j)0. absolutarnente convergentes, es decir, 1-y(h) I( . Por medio de las ecuaciones. de Yule-Walker se pueden estirnar los parámetros y a 2 (i = 1, 2 ..... q) de Ia siguiente forma:. a. -- Se estima 0* mediante ci estimador de minimos cuadrados 0 el cual mininhiza - '( t. ;2) ]' [ -. ;)]. usando el método de Gauss-Newton modificado o el algoritmo de Marquardt. - Se estiman los residuales de ]a siguiente forma. q= q ' q. 02. y. =(0)+a'qq U=. donde:. -. t ). y con estos se estirnan las q autocovarianzas de retraso de los errores usando y. (0 ). y(1). 7(q--l). -t (0) . . . y(q-2). y(h)=.L sn--h n t=l. t. t+h'. li=0, 1 ..... q. - Una vez calculados y(q----l). y(q-2) . . . y(0). 4. METODOS 1q 4.1 PROCEDIMIENTO DE ESTIMACION DE PA— RAMETROS EN UN MODELO DE REGRESION NO LINEAL CON ESTRUCTURA AUTORREGRESIVA DE ORDEN Q EN LOS ERRORES. El objetivo principal de esta acción es dar un procediniiento de estirnación del parárnetro f en el modelo: yt =f(.t ;2.*) 1-Ut. t=l,2 ..... n. (0). y(l). .... y(l). 'y(0). ... y(q—l) (q--2). .... y(q2). (0). Zq = (y(l) ......y(q) ). Se estima aqy 02 de Ia siguiente manera: q y. u2=. 379.

(6) Usando el método de la raiz cuadrada, Graybiil (5) se factoriza i -1 = ' P , donde. -----. -0. .... 0. 5.1 LAPRUEBA Para estabiecer la prueba se necesitan supuestos y condiciones que a continuación se presentan.. q hileras El verdadero paránletro A0 =(0*, y*) depende del. aq 0q-1 aq. taniaño de la muestra y el urn A = X , donde * = —n * (y (0)......y*(q) ) corresponde a los panetros ra de n_+. a1 1 0...0 a 2 a1 1...0. p=.. n—q hilcras. o. q ..2a1 1. ruido. Existe 0 que converge casi segraumente a Jn(y7*)=)0p (1). Existen puntos ánicos 0*, 0 . . . corresponX, dientes a A, X, . . . que minimiza la función continua.. - Obtener el estimador ö tipo Aitken que minimiza [) Q() ....l [. I'. (5.1.1). f(X;0 )j. sobre Q, donde 2={e IOERP} . Finalmentc se supone que ci puntoQ* satisface que. usando el método de Gauss-Newton modifIcado o el algoritmo de Marquardt. De este valor se obtiene. h(O*)=0 y Jn(O 0 O) 8 =o(l), donde ii cumple las siguientes conliciones: a) h es una funciOn continua que mapea de Q a 1r b) l-I. —PY - (t1' E = y. -. t;.?1 I°P. C =[F'(0)P' P F(0)] 1. Gallant y Goebel (5) demostraron las siguientes propiedades de estos estimadores:. -- 0 converge casi seguramente a. - converge 52 casi seguramente a - Jn (0_0*) se distribuye asintOticamente normal con matriz de varianza covarianza a 2 C, para la cual 2 C es un estiinador fuertemente consistente, bajo condiciones apropiadas de regularidad.. h(0)=Qr es de. rango completo, c) ci jacobiano de la función Ii. la matriz If de (rxp), es continuo y de rango completo en0* y h(0*) X=Or. Utilizando las condiciones sobre h y ci supuesto anterior, Ilamado desviación de Pitnian, se puede concluir qUe: 0 estimador de0°, uue minimiza (5.1.1), converge casi seguramente a 0 1,. -- fn (O. -- 0*) converge en Icy a una distribuciOn. normal con media 8 y matriz de covarianza C para la coal. - El estimador y(h) converge casi seguramente a y(h) = 5. RESULTADOS En esta sección se presenta una prueba de hipOtesis de funciones de Los parárnetros de un modelo de regresión no lineal con un esquerna de errores autorregresivos, usando como criterio la prueba de Wald; tarnbién se utiliza el modelo anteriormente mencionado en la estimación e inferericia de parámetros en otros modelos. 380. F. P' P F(01). 1. es consistente.. Bajo ci esquetna anterior, la estadistica de prueba para probar la hipótesis H0 : h (00n) = 0 'en,- es.

(7) de hecho: W=nh'(0) [HnC;i ' H]'h(8),. W=nh'(00) LHC 1. r' h(o). tiene distribución ji-cuadrada con central con r grados de libertad y parámetro de no centralidad.. donde Hn =ah(0)/ ao'. X=---'H' [Hc 1 H']-1H6 El siguiente teorema proporciona la convergencia en distrjbucjón de W n. - Teorema 1: Bajo los supuestos acerca del vector X, el supuesto de desviación de Pitman y las con&ciones sobre la función h, W converge en distribución a una ji-cuadrada no central con r grados de libertad y parámetros de no centralidad.. x=I. ö'H' [HC 1 H']' HcS 2 -. Bajo H0 : la distribución de W es ji-cuadrada central con r grados de libertad. - Prueba: Expandiendo la función h(n) en una serie de Taylor airededor del punto O se tiene que:. Bajo H0 : h(0) = 0 por tanto la expansion en Sene de Taylor se puede escribir asI:. 0=Jn(h(0)_h(0*))= [H+o5 (l)]1n (0 0 _0*) bajo ci supuesto de que fn ( 0 _*) = ,se concluye que [16 = 0 y por (5.12 n se distribuye asintOticamente normal como una ji-cuadrada con r grados de libertad. AsI probar H0 : h(O ) =0 'In es equivalente a probar H0 : X =0. La prueba de Wald de tamanoapara probar H0 : h(0) = 0 Vn está dada por la siguiente función: 1 siW )x(a) 41 (y)=. h(0)=h(0*) + [H + o5(l)iI J. (0. 0 si W - Xr2 (ce). 0*). donde x (a) se determina de PH0( X ) x (a)) =a y puesto que Hn es una función continua de O, por la convergencia de0 aO* se tiene que H=H + o(l) Corno h(0*) = 0 entonces Jn h(6n)=[H+os(l)]Jn(0n _0 *) de donde Jn h(0) y H Jn(0 - 0 *) tienen la misma distribuSión asintótica normal de media H6 y VarianzaHC H'. Para n suficientemente grande la matriz n C'H' n i½ existe y converge casi seguramente a [HC' H'}—½ . Por el teorema de Slutzky (11). [iNC —'. 5.2 UTILIZACION DEL MODELO NO LINEAL CON ERRORES AUTORREGRESIVOS EN LA ESTIMAC ION DE PARAMETROS EN OTROS MODE LOS. Suponga que se tiene el modelo Yt=pYt_i +f(X ; * )+& t. (52A). donde: Y es una variable aleatoria dependiente, p es un parárnetro de ruido. es un vector de variables independientes, O =(0 X, 0,, . . . , 0 ) un vector de parámetros desconocidos y los F, son errores aleatorios distribuidos idëntica e independienternente con media cero y varianza uno. Se tiene interés en estirnar el parárnetro Q,' del modelo (5.2.1) para do priniero se estima el parámetro p de la siguiente forma:. H]fn h(0)" L N([HC_ l H]_'6H8 , Id (5.1.2). py(0). (1) indica que los elementos de una matriz C convergen a cero casi seguramente.. 381.

(8) asI el modelo (5.2.1) se puede escribir como yt= pY t _ l If( t ; * )+. 6. DISCUSION. t=1 .....n. E t. aplicando el operador de atraso L se tiene que Yt z pL Yt +f(xt ;0* )+ e t ,. Buse (2) basado en ci supuesto de que Ia función log LU), donde L(0) es la función de mxirna verosimilitud, es cuadrätica, conciuye que las tres estadIsticas tienen ci mismo valor y por lo tanto son iguaies.. entonces Y(1 _pL). f(Xt. 0*)+. El aprovechamiento del procedimiento de estimadon e inferencia es un modelo no lineal con errores autorregresivos de orden uno en Ia estimación e inferencia de otros modelos, resulta ser bastante Otil, pucs no se tenIa un proceso de estimación del parámetro en el modelo (5.2.1).. de donde (t 0*) Yt=. Et +. 1-pL. Además del criterio de Wald para probar hipótesis, existen otros dos criterios de prueba, ci criterio de razón de verosimilitud y el criterio del multiplicador de Lagranje. Las estadisticas usadas en cada uno de los tres criterios tienen la misma distribución asintótica x2 no central y se ha demostrado que las tres pruebas son asintóticamente equivalentes, pués la función de poder de las pruebas es la misma.. 1—pL CONCLUSIONES Sc estableció una metodologIa para probar hipOtcsis referentes a funciones de los parárnetros en modelos de regresiOn no lineal con estructura autorregresiVa en los errores, empleando la tcorIa actual de los modelos no lineaies. Tal metodoiogIa permite realizar la estimaciOn de parámetros y la inferencia respectiva en modelos no lineales de series de tiempo con estructura autorregresiva en primer orden.. si Ip I K 1, entonces ;L,0*)+. pJLJEt 3=0. lo cual es equivalente a Yt. La aplicación inmediata está en el cstudio de respuestas de interés en funciOn de uno o varios peri'odos de retraso de las mismas, tales como, tendencia de precios, efectos residuales en ci suelo debido a la aplicación de nutrientes y otras de particular importancia.. ('P ;L,O*)+ j=0. y por la reprcsentación de un proceso autorregresivo de orden uno en un proceso de promedios mOviles infirtito, se tiene que: Yt=. ;L,0*)+u t. donde( Ut) es generado por un proceso t u)°°. (5.2.2). t=autorregresivo de orden uno. De modo que un estimador deO* en el modelo (5.2.1) estarIa "bien" aproximado por un estimador del parametro,Q* en el modelo (5.2.2) y la inferencia estadIstica seria equivalente en ambos casos. 382. SUMMARY Testing hypotesis in non-linear modeis with lag variables In the present work the Wald's criterium is used and the estimation procedure for the interest parameters in a non-linear regression model with autorregresive structure of order q in the errors, proposed by Gallant and Goebel (5), in order to test hypotesis about functions of the parameters. Using some transformations in a non-linear model of autorregresive times series of first average in the errors; the above procedures are applied for estimating its parameters and its respective inferences..

(9) REFERENCIAS BIIBLIOGRAFICAS BURGUETE, J.F. Asimptotic theory of instrumental variables in nonlinear regression. Umpublished Ph.D. dissertation. North Carolina State University, Raleigh, N.C. 1980 BUSE, A. The likelihood ratio, Wald, and Lagranje multiplier test: an expository note. The American Statistician, Vol. 36, No.3, part 1, pp. 153-157. 1982 FULLER, W.A. Introduction to statistical times series. John Wiley and Sons. New York. 1976 GALLANT, A. R. Nonlinear regression. The American Statistician, Vol. 29, No.2, pp. 73-81. 1975 --------. ; GOEBEL, J.J. Nonlinear regression with autocorrelated errors. Journal of the American Statistical Association, Vol. 71, No. 356, pp. 961-967. 1976 GRAYBILL, A.F. Introduction to matrices with applications in statistics. Wadsworth Publishing Company, Inc. Belmont, r'alifornia. 1969 HARTLEY, H.O. The modified Gauss-Newton method for the fitting of monlinear regression functions by least squares. Technometrics, Vol.3, pp. 269-280. 1961 JENRICH, R.I. Asimptotic properties of non-linear least squares estimators. The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 40, pp. 633-643. 1969 MALINVAUD, E. The consistency of non-linear regression. The Annals of Mathematical Statistics, Vol. 1970. 41, pp. 956-969.. MARDUARD, D.W. An algorithm for least squares estimation of non-linear parameters. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Vol. 11, pp. 431-441. 1963 ROHATGI, W.K. An introduction to probability theory and mathematical statistics. John Wiley and Sons Inc. New York. 1976 SILVEY, S.D. The Iargrangain multiplier test. The Annals of Mathematical Statistics. Vol. 30, pp. 387-407. 1959. SOUZA, G. Statistical inference in non linear models; a pseudo likelihood aprroach. Umpublished Ph.D. dissertation, North Carolina State University, Raleigh, N.C. 1979 THEIL, H. Principlies of econometrics. John Wiley and Sons, Inc. New York. 1971. 383.

(10)