Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

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Introducci´

on a las ecuaciones

diferenciales

1.1. Ecuaciones Diferenciales en las Ciencias y la

Inge-nier´ıa

1.1.1. Ley de enfriamiento de Newton

Ecuaciones diferenciales aparecen muy frecuentemente en los modelos matem´aticos que su usan en las ciencias aplicadas y en la ingenier´ıa.

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Figura 1.1: Ley de En-friamiento de Newton

A modo de ejemplo consideremos la siguiente si-tuaci´on:

Ejemplo 1.1 Supongamos que queremos conocer la evolución, a lo largo del tiempo, de la temperatura de una barra metálica que ha sido calentada hasta una cierta temperatura y depositada en un habitáculo cerrado que se mantiene constantemente a una tem-peratura constante Ta tal y como muestra la Figura

1.1. Podemos pensar que la temperatura de dicho ob-jeto depende de la diferencia de la temperatura del propio objeto y la temperatura ambiente (la del ha-bitáculo). Si la barra de hierro está muy caliente y el habitáculo muy fr´ıo la pérdida de calor de la barra será muy rápida; si por el contrario las temperaturas de la barra y del habitáculo son casi iguales, la barra perderá calor muy lentamente.

Esto es lo que se deduce precisamente la ley de enfriamiento de Newton: Cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, la variación en el tiempo del calor transferido hacia el cuerpo o desde el cuerpo por conducción, convección y/o radiación es aproximadamente proporcional a la diferencia de temperatura entre el cuerpo y el medio externo y a la superficie del cuerpo. ¿Cómo podemos expresar esta ley matemáticamente?. Si Q(t) representa la cantidad de calor del objeto en el instante t ¿qué concepto matemático nos da una idea de la variación del calor; es decir de la variación de la función Q?. No es otro sino el de derivada. En efecto, sabemos que la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente en ese punto a la curva que representa dicha función. Si la pendiente es grande la función crece muy rápidamente, y si es pequeña la función apenas crece. As´ı pues, la derivada de una función en un punto mide la variación de la función en dicho punto y, aplicando esto a nuestro caso, la variación de la función calor, Q(t), en cada instante t es Q0(t) = dQ_dt. La ley de enfriamiento de Newton se expresa, entonces, mediante la fórmula

dQ

dt = αA(T − Ta)

donde α es el coeficiente de transmisión (o intercambio) de calor y A el área del cuerpo. Por otra parte, si se transfiere una pequeña cantidad de calor, dQ, entre un sistema (en nuestro caso la barra de hierro) de masa m y su entorno y el sistema experimenta una pequeña variación de temperatura, dT , entonces se define la capacidad calor´ıfica espec´ıfica, c, del sistema (también llamada calor espec´ıfico) como

c = 1 m

dQ dT

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o, equivalentemente, dQ = mc dT. As´ı pues mcdT dt = αA(T − Ta), o m´as simplificadamente: dT dt = k(T (t) − Ta) (1.1) siendo k = αA

mc una constante asociada al material y superficie de que está hecha la barra. Vemos de esta forma que la variación de la temperatura del objeto es directamente propor-cional a la diferencia de las temperaturas del objeto y el medio ambiente; ley que concuerda completamente con nuestra intuición y experiencia.

La ecuación (1.1) es nuestro primer ejemplo de una ecuación diferencial: es una ecuación en la que aparece una función incógnita T (t) y su derivada T0(t). Aunque no es el caso de la ecuación (1.1), en las ecuaciones diferenciales también puede aparecer la variable indepen-diente. As´ı pues, un ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una función, que es la incógnita, la variable o variables independientes y la derivada o derivadas de la función. Alguno de estos objetos: las variables independientes o la función incógnita, pueden no estar presentes en la ecuación diferencial. As´ı por ejemplo:

x0(t) = 3 o x0− 3 = 0

exp(t) − x0(t) = 1 o et_{− x}0_{− 1 = 0}

x00(t) − x + t2 _{= 0 o x}00_{− x + t}2 _{= 0}

son ecuaciones diferenciales.

Asociada a cada ecuación diferencial hay varios adjetivos que describen su tipo. En parti-cular, la ecuación 1.1 es una ecuación de primer orden porque contiene sólo primeras deri-vadas de la función incógnita (también llamada variable dependiente) y es una ecuación diferencial ordinaria porque no contiene derivadas parciales. Cuando la función incógnita depende de más de una variable y en la ecuación aparecen las derivadas parciales, la ecuación diferencial correspondiente recibe el nombre de ecuación en derivadas parciales. Ëstas son las más comunes en las aplicaciones, pero su estudio está más allá del alcance de este corto curso.

En general el orden de una ecuaci´on diferencial es el orden de la derivada de mayor orden presente en la ecuaci´on. As´ı si x(j)_{(t) representa la j-´}_{esima derivada de la funci´}_{on x(t), y}

de acuerdo con la definición que hemos dado de una ecuación diferencial ordinaria, la forma general de una ecuación diferencial de orden n es:

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Ejemplos de ecuaciones diferenciales de primer, segundo y tercer orden son las siguientes:

(i) Primer Orden dx_dt + x(t) = kt

(ii) Segundo Orden x00(t) + x(t)x0(t) − kt2 = 0 (iii) Tercer Orden x000(t) + ax00(t) + b(x(t))2 _{= 2t + 3.}

Para cada una de estas ecuaciones las funciones F (t, x(t), x0(t), x00(t), . . . , x(n)_{(t)) ser´ıan las}

siguientes:

(i) F (t, x(t), x0(t)) = x0(t) + x(t) − kt = 0

(ii) F (t, x(t), x0(t), x00(t)) = x00(t) + x(t)x0(t) − kt2 = 0

(iii) F (t, x(t), x0(t), x00(t), x000(t) = x000(t) + ax00(t) + b(x(t))2_{) − 2t − 3 = 0.}

Por otra parte, a fin de abreviar la notación y puesto que suele ser claro cuál es la función y cuál la variable independiente, se omite la dependencia de la primera respecto de la segunda. As´ı

x2_y000_{(x) + e}y(x)_y0_{(x) + sen(y(x)) = x + cos(x),}

x2y000+ eyy0+ sen(y) = x + cos(x),

t2x000(t) + ex(t)x0(t) + sen(x(t)) − t − cos(t) = 0 y t2_x000_{+ e}x_x0_{+ sen(x) = t + cos(t)}

(1.2)

son formas diferentes de expresar la misma ecuaci´on diferencial.

Antes de proseguir conviene hacer algunas observaciones acerca de la notación. Muchas de las ecuaciones diferenciales ordinarias que sirven como modelos de problemas reales tienen que ver con procesos que discurren a largo de un per´ıodo de tiempo. Es por eso que, por lo general, la variable independiente se designará por t, y la variable dependiente (o función incógnita) por x. No obstante, en muchos textos (y también aqu´ı en algunas ocasiones) se representa con x la variable independiente y con y la dependiente.

1.1.2. Flujo calor´ıfico radial

De todas formas, cuando una ecuación diferencial surge en el estudio de un problema real, lo habitual es designar a las variables con letras significativas que nos recuerden los objetos que se están estudiando. Esto es lo que hicimos en el ejemplo del estudio de la variación de la temperatura de la barra. En esa situación la función incógnita la designamos con la letra T , por ser la temperatura el objeto de estudio, y por ser el tiempo la variable independiente, la designamos por t.

Un ejemplo en el que la variable independiente no es el tiempo es el de la transmisión radial de calor a través de un conductor cil´ındrico: Una tuber´ıa cil´ındrica de longitud L está compuesta de dos superficies metálicas y un material separador entre ellas (una sección

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b a T r T 1 2

Figura 1.2: Flujo radial de calor a trav´es de una tuber´ıa cil´ındrica.

transversal de la misma se representa en la Figura 1.2). Por el interior de la tuber´ıa circula aire caliente de modo que la pared interior de la tuber´ıa se mantiene a una temperatura constante igual a T1. La parte exterior de la misma tambi´en se mantiene a una temperatura

constante T2. Suponemos que T1 ≥ T2 y se pretende estimar la distribuci´on de temperatura

en el interior del material separador.

Para llegar a una ecuación matemática (el modelo matemático del problema real) vamos a hacer algunas suposiciones (simplificaciones del fenómeno real) bastante naturales en nuestro problema: la temperatura en cada punto de la tuber´ıa se mantiene constante a lo largo del tiempo (la tuber´ıa está en estado estacionario) y el flujo de calor es radial; es decir, el calor se propaga perpendiculamente a las paredes de la tuber´ıa de la que tiene una mayor temperatura a la que tiene una temperatura menor (tal y como muestran las flechas gruesas de la Figura 1.2).

Ahora debemos aplicar un modelo f´ısico. En este caso, aplicamos la Ley de Fourier del calor: La corriente calor´ıfica (o flujo de calor) que pasa por una sección de una superficie perpendicular a la trayectoria del calor (por unidad de tiempo) es directamente proporcional al área de dicha sección y a la variación de la temperatura respecto a la distancia de la sección al foco de calor. Es decir, si H representa el flujo calor´ıfico en todos los puntos de la superficie separadora que están a una distancia r del eje central de la tuber´ıa, T la temperatura en esos puntos y A el área de la sección longitudinal de la tuber´ıa (que ser´ıa un cilindro) a una distancia r del eje, entonces:

H = −kAdT

dr. (1.3)

siendo k una constante positiva denominada conductividad t´ermica del material. El signo − se debe a que el flujo de calor es, como hemos dicho, en la direcci´on en la que disminuye la

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temperatura. Las unidades de H son energ´ıa por unidad de tiempo (o potencia); en unidades del sistema internacional la unidad de H ser´ıa 1 J/s. Y en este mismo sistema la unidad de k ser´ıa 1 J · (s· m · Co₎−1_.

Ahora bien, como estamos suponiendo que la tuber´ıa está en estado estacionario, no hay variación de la energ´ıa calor´ıfica en el tiempo. Por lo tanto, H, el flujo total de calor, es el mismo através de cualquier superficie que rodea el tubo (como la del cilindro imaginario de radio r de la la figura). As´ı pues, la ecuación (1.3) da lugar a la siguiente ecuación diferencial (recuérdese que el área lateral de un cilindro de radio r y altura L es 2πrL):

dT dr = − H 2πkL 1 r (1.4)

donde H, k y L son constantes.

Nótese que, en efecto, los s´ımbolos que se usan para designar los objetos que aparecen en la ecuación están directamente relacionados con su significado f´ısico, pero que la ecuación (1.4) y, digamos,

y0 = a x

son exactamente la misma. En otras palabras, si supiéramos resolver la ecuación y0 = a x sabr´ıamos resolver la ecuación (1.4).

1.1.3. Un problema de cin´

etica qu´ımica

Como un tercer ejemplo significativo del empleo de las ecuaciones diferenciales en la ingenier´ıa qu´ımica presentamos el siguiente ejemplo de cin´etica qu´ımica:

Problema 1.1 Se combinan 260 gr. de CH3COOC2H5 (acetato et´ılico) con 175 gr. de

N aOH (hidr´oxido de sodio) en una soluci´on acuosa de V litros para producir CH3COON a

(acetato de sodio) y C2H5OH (alcohol et´ılico) tomando la reacci´on:

CH3COOC2H5+ N aOH −→ CH3COON a + C2H5OH (1.5)

como irreversible. Al cabo de 10 minutos se han formado 60 gr. de acetato de sodio. Se quiere saber la cantidad de acetato de sodio y de alcohol et´ılico que habr´a al cabo de media hora. O, en general, se pretende conocer la evoluci´on de la cantidad de estas sustancias que se va formando.

Vamos a llamar A al acetato et´ılico, B al hidróxido de sodio, C al acetato de sodio y D al alcohol et´ılico. La reacción irreversible (1.5) se escribe esquemáticamente:

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y significa que una molécula de A se combina con una molécula de B para producir una molécula de C y una de D. En cinética qu´ımica, a las reacciones representadas mediante este tipo de esquemas se les llama ecuaciones estequiométricas. As´ı pues, estas ecuaciones tienen la siguiente forma general:

a A + b B + · · · = p P + q Q + · · · (1.6)

en la que los s´ımbolos A, B, . . . son en la práctica fórmulas qu´ımicas que representan las sustancias que reaccionan (reactantes) para dar productos P, Q, . . .. La presencia de los números a, b, . . . y p, q, . . . en la ecuación significa que a moléculas de A reaccionan con b moléculas de B, . . ., para dar p moléculas de P , q moléculas de Q, etc.. Por ejemplo, como es bien sabido,

2H2+ O2 = 2H2O

quiere decir que dos moléculas de hidrógeno reaccionan con una de ox´ıgeno para producir dos moléculas de agua.

En termodinámica y cinética, la reacción qu´ımica general se escribe en la forma:

0 = X

B

νBB

donde la suma se extiende a todas las sustancias presentes, tanto reactantes como productos, y los números νB, llamados números estequiométricos, son los números a, b, p, q, . . . en

(1.6) pero con los reactantes cambiados de signo. En esta forma la ecuaci´on (1.6) es: 0 = −a A − b B − . . . + p P + q Q + . . . =

νAA + νBB + . . . + νPP + νQQ + . . .

y la ecuaci´on del agua:

0 = −2H2− O2+ 2H2O.

Por otra parte, de la misma forma que en el primer ejemplo sobre el enfriamiento de un objeto metálico dispon´ıamos de la ley de Newton como modelo del fenómeno f´ısico que se produc´ıa, en este problema de cinética qu´ımica necesitamos un modelo que explique lo que sucede en el interior de la reacción qu´ımica. Corresponde a los ingenieros qu´ımicos la expe-rimentación que permita llegar a modelos que se ajusten a la realidad. Por ahora, nosotros vamos a suponer que el modelo por el que se rige nuestra reacción es la Ley de Acción de Masas: Si la temperatura se mantiene constante, la velocidad de una reacción qu´ımica es proporcional al producto de las concentraciones de las sustancias que toman parte en la reacción. La Ley de Acción de Masas no es más que un caso particular de un modelo más general para las reacciones qu´ımicas. En cualquier caso, aparece aqu´ı un nuevo con-cepto: velocidad de reacción. Ésta es la variación de la concentración de cada sustancia (en moles/cm3_{) dividida por el correspondiente n´}_{umero estequiom´}_{etrico. Para todas las}

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ejemplo, en la reacci´on 2H2+ O2 = 2H2O. Ya sabemos que esto quiere decir que dos mol´

ecu-las de hidrógeno reaccionan con una de ox´ıgeno para producir dos de agua. Por cada mol de ox´ıgeno que “desaparece”, “desaparecen” dos de hidrógeno y se “forman” dos de agua. Por lo tanto la velocidad de “desaparición” del hidrógeno y de la “formación” de agua es el doble que la del ox´ıgeno; y en consecuencia 1/2 de la velocidad de “desaparción” del hidrógeno y de “formación” de agua es igual a la del ox´ıgeno. En general, y en relación a la ecuación estequiométrica (1.6), si escribimos [A], [B], [P ], [Q], etc. para representar la concentración de las sustancias A, B, P , Q, . . . , (lo que es bastante habitual) entonces la variación de la concentración de la sustancia A es d[A]_dt , la variación de la sustancia B es d[B]_dt , etc. Por lo tanto v = −1 a d[A] dt = − 1 b d[B] dt = 1 p d[P ] dt = 1 q d[Q] dt = · · · es la velocidad de dicha reacción. Y para la reacción del agua tend´ıamos:

v = −d[O2] dt = − 1 2 d[H2] dt = 1 2 d[H2O] dt .

Estamos ya en condiciones de exponer la ecuación que representa lo que sucede en la reacción qu´ımica del problema que tenemos planteado, Problema 1.1. El primer paso, y uno de los más importantes, consiste en decidir cuál es la función incógnita. En nuestro caso, ésta viene determinada por el modelo que vamos a utilizar: la Ley de Acción de Masas. Esta ley establece una relación entre la velocidad de reacción (variación de la concentración de cada sustancia) y las concentraciones de las mismas, medida ésta en moles/cm3. Por lo tanto, nuestra función incógnita debe ser la concentración de cada sustancia en cada instante t. Y aplicando la ley de acción de masas al compuesto A (velocidad de reacción= k · producto de concentraciones):

−d[A]

dt = k[A][B].

Esta es la ecuación diferencial que sirve como modelo matemático para estudiar la evo-lución de las concentraciones de los reactantes. Ahora bien, teniendo en cuenta que en el problema se nos pide la cantidad de cada sustancia presente en la reacción al cabo de un cierto tiempo, es conveniente considerar como funciones incógnita las cantidades de moles de cada sustancia que han reaccionado después de t minutos. As´ı si xA(t) y xB(t) representan

estas cantidades y nA y nB los moles iniciales de estas sustancias, tenemos que

[A] = nA− x(t) V moles/cm 3 [B] = nB− x(t) V moles/cm 3

Adem´as, dado que la ecuaci´on es de la forma A + B = C + D, por cada mol de A que reacciona, reacciona uno de B; tenemos que xA(t) = xB(t) para todo t.

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Debe observarse, finalmente, que x(0) = 0 porque hasta que no comienza la reacci´on ning´un mol ha reaccionado todav´ıa. As´ı pues:

−d (nA−x(t)) V dt = k nA− x(t) V nB− x(t) V

A la constante k se le llama constante de velocidad de la reacci´on y se suele expresar en

cm3

mol×min.

Si ponemos K = k

V la ecuaci´on anterior queda: dx

dt = K(nA− x)(nB− x) (1.7)

En el próximo cap´ıtulo veremos cómo resolver esta ecuación diferencial anal´ıticamente. Podremos entonces responder con exactitud a la primera pregunta de cuánto acetato de sodio y alcohol et´ılico habrá al cabo de media hora de haber comenzado la reacción.

1.2. Soluciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

Consideremos una ecuaci´on diferencial ordinaria de orden n:

F (t, x, x0, . . . , x(n)) = 0. (1.8)

Si en esta ecuación podemos “despejar” la n-ésima derivada de la función incógnita x(n)

entonces la ecuaci´on puede ponerse en forma expl´ıcita: x(n) = f (t, x, x0, . . . , x(n−1)).

Este es el caso, por ejemplo, de la ecuaci´on (1.2), cuya forma expl´ıcita es: x000 = 1

t2(−e

x_x0_{− sen(x) + t + cos(t)).}

Dada la ecuación diferencial (1.8), una solución de esta ecuación diferencial es una función de la variable dependiente, x(t), que al ser sustitu´ıda en la ecuación como la variable de-pendiente, satisface todos los valores de la variable independiente. Por ejemplo, la función f (t) = 3et es solución de la ecuación dx dt = x porque df dt = d(3et) dt = 3e t_{= f (t) para toda t.}

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Sin embargo, la función g(t) = sen t no es solución de esta ecuación porque dg

dt =

d(sen t)

dt = cos t,

y claramente la función cos t no es la misma que la función g(t) = sen t para todo t. (Lo es para algún t, por ejemplo para t = π₄ rad., pero no para todo posible valor de t).

Encontrar soluciones de ecuaciones diferenciales es una tarea complicada la mayor parte de las veces. Verificar si una función es o no solución es, sin embargo, muy sencillo: basta derivar, sustituir en la ecuación y comprobar si se obtiene una identidad o no para todos los valores posibles de la variable independiente para los que la ecuación tiene sentido. Por ejemplo, puede resultarnos, por ahora, dif´ıcil imaginar cómo obtener una solución de la ecuación lineal

x00− 2x0 + x = 0.

Comprobar si la función x(t) = (1 + 2t)et es o no solución es muy sencillo. En efecto, calculamos las derivadas presentes en la ecuación

x0(t) = (3 + 2t)et y x00(t) = (5 + 2t)et, y sustitu´ımos en la ecuaci´on:

x00(t)−2x0(t)+x(t) = (5+2t)et−2(3+2t)et+(1+2t)et= [(5−6+1)+(2−4+2)t]et= 0, para todo t. En consecuencia, la funci´on x(t) = (1 + 2t)et _{es soluci´}_{on de la ecuaci´}_{on dada. Esta es una}

solución expl´ıcita de la ecuación: la podemos escribir expl´ıcitamente en función de t. Hay soluciones en las que sin embargo esto es imposible. Consideremos, por ejemplo, la ecuación

dx dt =

x x2_{+ 1}.

Resulta que cualquier funci´on, x(t), que verifique ln |x(t)| + x(t)

2

2 = t + C (1.9)

cualquiera que sea la constante C es una soluci´on de la ecuaci´on. Para comprobarlo proce-demos de la siguiente forma: Escribimos

g(t, x) = ln |x| +x

2

2 − t − C. de modo que la ecuaci´on (1.9) es equivalente a

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Esto es una ecuación en t y x que bajo ciertas condiciones permite definir x como función de t en algún intervalo de la recta -hay un teorema importante en matemáticas, el Teorema de la función impl´ıcita, que establece dichas condiciones e intervalos-. Es como si pudiéramos despejar x como función de t para ciertos valores de t. En algunos casos, de hecho, se puede despejar x expl´ıcitamente. Por ejemplo, si g(t, x) = x2 − t entonces la ecuación g(t, x) = 0 define dos funciones de t: x(t) =√t y x(t) = −√t. Nótese que g(t, x) = x2 _{− t es continua}

y derivable de cualquier orden en todos los puntos del plano, pero las dos funciones que define la ecuación x2− t = 0 sólo están definidas para t ≥ 0 y son derivables para t > 0. La mayor´ıa de las veces, sin embargo, no es posible despejar x expl´ıcitamente. Se dice entonces que g(t, x) = 0 define una función x(t) impl´ıcitamente (y también, claro, una función t(x) impl´ıcitamente. Los papeles de las variables t y x en g(t, x) son intercambiables).

Aún cuando no podamos despejar expl´ıcitamente x como funcion de t en g(t, x) = 0, podemos saber si la función o funciones x(t) definidas impl´ıcitamete por esta ecuación son o no soluciones de una determinada ecuación. Basta, para ello, aplicar cualquiera de los dos siguientes métodos que son equivalentes:

Derivar impl´ıcitamente: Por ejemplo, en nuestro caso, derivar impl´ıcitamente en g(t, x) = ln |x| + x2

2 − t − C = 0 o en la ecuaci´on (1.9) consiste en derivar ambas partes

de la ecuaci´on viendo x como una funci´on de t. As´ı, derivando impl´ıcitamente en ln |x(t)| + x(t)₂2 = t + C obtenemos:

x0(t)

x(t) + x(t)x

0

(t) = 1 y para todos los valores de t:

x0(t) + x(t)2x0(t) = x(t) ⇒ x0(t) 1 + x(t)2 = x(t) ⇒ x0(t) = x(t) 1 + x(t)2,

con lo que x(t) verifica la ecuaci´on diferencial.

Aplicar la regla de la cadena: Como g(t, x) = 0 define una función x(t) impl´ıcitamente, tenemos que g(t, x(t)) es una función de t, digamos h(t). As´ı, la ecuación g(t, x(t)) = 0 es equivalente a h(t) = 0, de modo que h0(t) = 0. Pero, por la regla de la cadena

h0(t) = ∂g ∂x dx dt + ∂g ∂t = 0 En nuestro caso, g(t, x) = ln |x| + x2 2 − t − C = 0, de modo que 0 = ∂g ∂x dx dt + ∂g ∂t = 1 x+ x x0− 1 ⇒ 1 + x 2 x x 0 = 1 ⇒ x0 = x 1 + x2,

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Si x(t) está definida de forma impl´ıcita, para t en un cierto intervalo [a, b], por una ecuación de la forma g(t, x) = 0 y es derivable en dicho intervalo, y su derivada verifica la ecuación (1.8), entonces se dice que x(t) es una solución impl´ıcita de la ecuación diferencial.

Resumimos todo lo anterior en la siguiente definici´on formal:

Definición 1.2 .- La función x(t) se dice que es una solución expl´ıcita de la ecuación (1.8) en el intervalo [a, b] si

(a) x(t) es diferenciable hasta de orden n en el intervalo [a, b], y

(b) F (t, x(t), x0(t), . . . , x(n)(t)) = 0 es una identidad para todo t ∈ [a, b].

Si g(t, x) = 0 representa una curva que define una solución de (1.8), se dice que es una solución impl´ıcita y define una curva solución de la ecuación. A las soluciones,sean expl´ıcitas o impl´ıcitas, se les llama también curvas integrales de la ecuación.

Una observaci´on adicional. Consideremos la siguiente ecuaci´on diferencial: y0 = x

y 2

. Una soluci´on impl´ıcita de esta ecuaci´on es:

x3− y(x)3_{− 1 = 0.}

En efecto, derivando impl´ıcitamente en x3− y(x)3_{− 1 = 0 tenemos}

3x2_{− 3y(x)}2_y0_{(x) = 0 ⇒ y}0_{(x) =} x

y 2

que es precisamente la ecuaci´on diferencial dada. Sin embargo, esta soluci´on impl´ıcita puede darse expl´ıcitamente:

y(x) = (x3− 1)13.

La observaci´on es que siempre que una soluci´on pueda darse expl´ıcitamente, debe hacerse.

1.3. ¿ C´

omo obtener informaci´

on sobre las soluciones?

1.3.1. An´

alisis cualitativo

Consideremos de nuevo la ecuaci´on diferencial que, aplicando la ley de enfriamiento de Newton, nos proporciona un modelo para estudiar la evoluci´on de la temperatura de

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una barra met´alica que ha sido calentada hasta una cierta temperatura, T0, que llamaremos

temperatura inicial, y que a continuaci´on ha sido introducida en un habit´aculo a temperatura constante T = Ta:

dT

dt = k(T (t) − Ta) (1.10)

En primer lugar debemos considerar la temperatura inicial: la temperatura de la barra no evolucionar´a igual si la temperatura inicial de la barra es 50o_{C o si es 75}o_{C. Al problema de}

hallar la o las soluciones de la ecuaci´on (1.10) sabiendo que T (0) = T0 se le llama problema

de condiciones iniciales para la ecuaci´on (1.10), y lo escribimos de la siguiente forma: T0_{(t) = k(T (t) − T}

a)

T (0) = T0

(1.11)

Nuestro objetivo es tener tanta información como sea posible de la solución (veremos más adelante en el curso que sólo hay una) de este problema de condiciones iniciales. Es decir, conocer tanto como sea posible acerca de la función T (t) que es solución de la ecuación T0(t) = k(T (t) − Ta) y cumple la condición T (0) = T0. (Si alguien siente incomodidad al usar

las letras T0 y Ta para designar los valores de las temperaturas inicial de la barra y ambiente

del habitáculo, puede sustituir estos s´ımbolos por números concretos). Lo ideal ser´ıa tener una expresión expl´ıcita de la función T (t). Veremos más adelante que en este caso es posible, pero salvo que necesitemos saber con precisión extrema el valor de T en un instante concreto (digamos T (60), que ser´ıa el valor de la temperatura de la barra después de 60 minutos) un simple análisis de la ecuación a partir del significado del concepto de derivada, es suficiente para obtener información muy valiosa sobre la solución.

Observamos en primer lugar que si T (t) = Ta en todo instante, entonces T (t) − Ta= 0 y,

al sustituir en la ecuaci´on, dT_dt = 0 para todo t. Por lo tanto T (t) = Ta es una soluci´on de la

ecuación. Este tipo especial de soluciones reciben el nombre de soluciónes de equilibrio porque son constante para todo t. Su significado es claro y sencillo: la barra no cambia de temperatura si y sólo si la temperatura de la barra y del medio ambiente es la misma siempre.

Si T0 = T (0) 6= Ta entonces en el momento inicial t = 0

dT

dt(0) = k(T0− Ta) 6= 0

y en consecuencia hay variaci´on de temperatura; es decir, la temperatura de la barra no se mantiene constante. Si k > 0 y T (0) > Ta entonces dT_d0 > 0 y la temperatura estar´ıa

creciendo. Esto no concuerda con lo que sucede en la realidad: si la temperatura de la barra es superior a la del medio ambiente, la temperatura de la barra decrece, es decir la barra se enfr´ıa. As´ı que conviene añadir a nuestra ecuación o bien que la constante k es negativa, o bien escribir la ecuación como

dT

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tiempo Temperatura T t A T(t)

Figura 1.3: Posible soluci´on para la con-dici´on inicial T (t0) > Ta. tiempo Temperatura T t A T(t)

Figura 1.4: Posible soluci´on para la con-dici´on inicial T (t0) < Ta.

siendo k una constante positiva, que es lo que se suele hacer habitualmete. As´ı pues escribi-remos nuestro problema de condiciones iniciales de la siguiente forma:

T0_{(t) = −k(T (t) − T} a)

T (0) = T0

(1.12) Ahora, si T (0) > Ta entonces dT_dt < 0 con lo que la temperatura de la barra decrecer´a; es

decir, para t1 > 0 pero muy pr´oximo a t = 0, T (t1) < T (0) y T (t1) − Ta< T (0) − Ta. Por lo

tanto,

dT

dt(t1) = −k(T (t1) − Ta) > −k(T (0) − Ta) = dT

dt(0).

Si t1 está próximo a 0, la temperatura de la barra decrecerá, pero no lo suficiente como para

que sea inferior a Ta. As´ı pues, T (t1) − Ta > 0 y 0 > T0(t1) > T0(0). Es decir, la derivada

será negativa, por lo que la temperatura seguirá decreciendo. As´ı si t2 > t1 y es próximo

a t1 tendremos que T (t2) < T (t1), y un an´alisis como el que hemos hecho para 0 y t1 nos

permitir´a concluir que dT

dt(t2) = −k(T (t2) − Ta) > −k(T (t1) − Ta) = dT

dt(t1).

Podr´ıa pensarse que es posible que T (t2) < Ta. La observaci´on de la realidad nos dice que

esto nunca ocurre. Ahora no podemos demostrarlo pero veremos m´as adelante en el curso que esto tambi´en se deduce de las propiedades de las ecuaciones diferenciales. Todav´ıa no estamos preparados para hacerlo, pero vamos a seguir suponiendo que T (t2) > Ta de modo

que 0 > T0(t2) > T0(t1). Y podr´ıamos seguir el an´alisis con un t3 > t2 pero pr´oximo a t2.

En conclusión, la derivada T0(t) siempre es negativa, cada vez mayor y, por lo tanto, cada vez más próxima a 0. Esto significa que la gráfica de T (t) es una curva decreciente pero que este decreciemiento es cada menor a medida que el tiempo t aumenta (ver la gráfica1.3). En definitiva, a medida que transcurre el tiempo el valor de la temperatura de la barra se acerca

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más y más, pero cada vez más lentamente, al valor de la temperatura del habitáculo. Esto concuerda completamente con lo que la observación de la realidad nos dice que sucede.

Si comenzamos con una condición inicial diferente obtendremos una función T (t) dife-rente. Podr´ıa ser, por ejemplo, que lo que suceda es que el habitáculo sea un horno que se mantiene a una temperatura constante Ta, y lo que se pretende es calentar la barra,

inicialmente más fr´ıa que la temperatura del horno. En este caso, la condición inicial es T0 = T (0) < Ta. Haciendo un análisis como el de más arriba tenemos que dT_dt > 0 en t = 0 y

la función temperatura es creciente. La diferencia Ta− T (t) es cada vez más pequeña para

t > 0 y previsiblemente la gráfica de la función temperatura será parecida a la de la Figura 1.4.

Este análisis de la manera en la que T (t) evoluciona cuando t aumenta se llama análisis cualitativo de la ecuación diferencial. Si lo que nos interesa es tener una idea de cómo evoluciona la temperatura de la barra a medida que pasa el tiempo, este análisis es suficiente: predice que cualquiera que sea su temperatura inicial (la condición inicial del problema) la temperatura de la barra se aproxima más y más a la temperatura del medio ambiente a medida que trascurre el tiempo. Además, predice también que la rapidez con la que T (t) se aproxima a Ta depende de la constante k. En efecto, como k > 0 la variación de T ; i. e. dT_dt

es tanto mayor (si T (t) − Ta < 0), o tanto menor (si T (t) − Ta > 0), cuanto mayor sea k.

Por lo tanto T (t) se aproxima a Ta tanto m´as r´apidamente cuanto mayor sea la constante k.

Esta constante k depende de la materia de la que est´a hecha la barra y est´a relacionada con su calor espec´ıfico.

1.3.2. C´

alculo an´

alitico de soluciones

Ahora bien, si lo que necesitamos es saber el valor de T (10) o T (100), el análisis cualitativo no es suficiente; necesitamos una información más precisa de la función T (t). Lo ideal ser´ıa obtener una “fórmula” expl´ıcita para T (t).

Una solución del problema de condición 1.12 es una función T (t) que satisface ambas ecuaciones. En primer lugar, debemos encontrar una función T (t) que sea solución de la ecuación diferencial T0 = −k(T − Ta). Es decir (recordemos la definición de solución de una

ecuación diferencial), debemos encontrar funciones cuya derivada sea el producto de −k por T (t) − Ta. Aparentemente esto no parece una cuestión muy fácil. Estudiaremos métodos para

resolver este tipo (y otros más complicados) de ecuaciones diferenciales. Por ahora, y para hacer plausible la búsqueda de soluciones de nuestra ecuación, vamos a realizar un cambio de la variable independiente. Pongamos

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entonces

dP dt =

dT dt

Por lo tanto, seremos capaces de encontrar soluciones de la ecuaci´on dT

dt = −k(T (t) − Ta) (1.13)

si encontramos soluciones de la ecuaci´on dP

dt = −kP (t) (1.14)

(y rec´ıprocamente). En efecto, si P (t) es soluci´on de (1.14) entonces P0(t) = −kP (t). Pero P0(t) = T0(t), as´ı que T0(t) = −kP (t) = −k(T (t) − Ta), por lo que T (t) es soluci´on de (1.13).

Y rec´ıprocamente, si T (t) es soluci´on de (1.13) entonces, como T0(t) = P0(t) tenemos que P0(t) = T0(t) = −k(T (t) − Ta) = −kP (t). Se dice que las ecuaciones (1.13) y (1.14) son

equivalentes.

Ahora bien, es más fácil hallar soluciones de la ecuación (1.14) porque ésta nos pide encontrar una función cuya derivada coincida (salvo el factor −k) con la propia función. Sabemos que una función que cumple esta propiedad es la función exponencial. En efecto, si x(t) = et entonces x0(t) = et = x(t). Esto quiere decir que x(t) = et es una solución de la ecuación

dx

dt = x(t)

Esta ecuaci´on se parece mucho a la nuestra y, de hecho, si x(t) = eat tenemos que x0(t) = aeat _{= ax(t). As´ı pues}

P (t) = e−kt

es una soluci´on de la ecuaci´on (1.14). En efecto, P0(t) = −ke−kt = −kP (t). Claro que ´

esta no es la única solución, porque si P (t) = ce−kt (donde c es una constante cualquiera) entonces P0(t) = c(−ke−kt) = −k(ce−kt) = −kP (t). De nuevo, P0(t) = −kP (t) para toda t. Conclu´ımos que todas las funciones P (t) = ce−kt, con c una constante cualquiera, son solución de la ecuación (1.14). Y deshaciendo el cambio P (t) = T (t)−Ta; i.e. T (t) = P (t)+Ta, resulta

que todas las funciones de la forma T (t) = Ta+ ce−kt, con c una constante cualquiera, son

soluciones de la ecuaci´on diferencial (1.13). Podemos comprobarlo directamente: dT

dt = −kce

−kt

= −k[(Ta+ ce−kt) − Ta] = −k(T (t) − Ta), para toda t

Observamos, adem´as, que para c = 0 obtenemos la soluci´on de equilibrio T (t) = Ta.

Hemos encontrado un número infinito de soluciones de la ecuación diferencial, una para cada valor de c. Una pregunta natural es si habrá más soluciones de las que hemos encon-trado. Veremos que la respuesta es negativa, pero por ahora no podemos justificarlo. Para

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determinar cuál de todas las soluciones encontradas cumple la segunda condición del Pro-blema de Condición Inicial debemos encontrar aquella (o aquellas, veremos más adelante que sólo hay una) que verifica la segunda ecuación T (0) = T0. Se debe cumplir que

T0 = T (0) = Ta+ cek0 = Ta+ ce0 = Ta+ c

Por lo tanto c = T0 − Ta, y una soluci´on del problema de condici´on inicial es

T (t) = Ta+ (T0− Ta)e−kt. tiempo Temperatura T t A

Figura 1.5:Gr´aficas de Varias soluciones de la ecuaci´on dT_dt = −k(T (t) − Ta).

Hemos obtenido una fórmula para nuestra solución, no sólo una imagen cualitativa de su gráfica. La función T (t) obtenida se llama solución del problema de condición inicial y también solución particular de la ecuación diferencial. El conjunto de funciones T (t) = Ta+ce−kt se llama solución general de la ecuación diferencial (1.13) porque podemos usarla

para encontrar cada solución particular correspondiente a cualquier problema de condición inicial. En la Figura 1.5 se muestran las gráficas de las funciones T (t) = Ta + ce−kt para