Guia Ejercicios Resueltos Clase 14 Unidad V

1

Guía de Ejercicios

Unidad V: Riesgo, Incertidumbre y Sensibilización de Proyectos

Ejemplo Nº1

El ajuste en la tasa de descuento se realiza porque supone que los flujos, al ser más riesgosos se deben descontar a una tasa de descuento más alta.

SOLUCIÓN:

Verdadero. En este caso para determinar la tasa de descuento ajustada por riesgo se realiza con la siguiente expresión:

Rriesgo=r sin riesgo + premio por riesgo

Ejemplo Nº2

Defina que se entiende por riesgo e incertidumbre e indique la diferencia entre ambos conceptos. SOLUCIÓN:

Por riesgo se entiende cuando la Información existe con naturaleza aleatoria y existen supuestos de probabilidades de ocurrencia de cómo se distribuyen los posibles eventos. Es decir, existe una probabilidad de ocurrencia para los eventos. Ejemplos son la dinámica de los mercados y la economía. Por incertidumbre se entiende cuando las probabilidades de ocurrencia de un evento no son bien cuantificadas. Esto se puede deber a Información inexacta, sesgada, falsa o contradictoria. O por desconocimiento del mercado, errores de interpretación y errores de manipulación de información. La principal diferencia es que cuando existe riesgo se conocen las probabilidades de ocurrencia de los eventos y cuando existe incertidumbre, éstas no se conocen.

Ejemplo Nº3

En el análisis de sensibilidad se determinan cambios en los flujos de caja a partir del cambio de las variables más significativas.

SOLUCIÓN:

Verdadero. Entre algunas de las variables más significativas tenemos el precio de venta e insumos, costos de producción, costo de oportunidad, volúmenes de venta, inversión, entre otros.

Ejemplo Nº4

Señale como el análisis de escenarios se complementa con el análisis de sensibilidad para determinar las variables sensibles y riesgosas que afectan a un proyecto.

SOLUCIÓN:

En el análisis de escenarios se toman diversos estados en los que la variable crítica o riesgosa, definida en el análisis de sensibilidad, toma distintos valores para un escenario Pesimista, Base (más probable) y

2 misma distribución de probabilidades.

Ejemplo Nº5

La empresa “Américas S.A.” ha determinado la siguiente distribución de probabilidades directa para los flujos de fondos e inversión generados por un proyecto. La tasa de descuento pertinente es de un 10%.

Inversión Periodo 1 Periodo 2 Periodo 3 Probab. Flujo Probab. Flujo Probab. Flujo Probab. Flujo

0,4 80 0,5 20 0,3 40 0,2 30

0,2 60 0,1 40 0,4 55 0,6 75

0,4 100 0,4 45 0,3 60 0,2 105

a).- Determine el valor actual de los beneficios netos más probables del proyecto.

b).- Determine la desviación estándar de dicho valor probable considerando que los flujos de los distintos períodos son independientes entre sí.

SOLUCIÓN:

Dado que los flujos y la inversión de este proyecto son variables aleatorias entonces lo indicado es reemplazar cada una de estas variables (aleatorias) por su correspondiente valor esperado, que no es otra cosa que la representación promedio de su distribución de probabilidades.

Entonces si:

Es una variable aleatoria que podría tomar diversos valores, todos con su correspondiente probabilidad, es reemplazada por su valor esperado.

Donde

Usando los valores de la tabla se calculan los siguientes valores esperados:

Estados Inversión Año1 Año2 Año3

Probab. Flujo Probab. Flujo Probab. Flujo Probab. Flujo 1 40% 80 50% 20 30% 40 20% 30 2 20% 60 10% 40 40% 55 60% 75 3 40% 100 40% 45 30% 60 20% 105 Valor esperado E(flujo) 84 32 52 72

Con estos datos se calcula el valor esperado del VAN. T j j ji i

r

Flujo

Inversión

VAN

1

(

1

)

T j j j

r

Flujo

E

Inversión

E

VAN

E

1

(

1

)

)

(

)

(

)

(

i n i i

prob

Flujo

Flujo

E

(

)

*

1

16

,

42

)

1

,

1

(

72

)

1

,

1

(

52

)

1

,

1

(

32

84

)

(

VAN

_{2 3}

E

3

Esto significa que el VAN promedio de este proyecto es igual 42.16, es decir este proyecto en promedio es conveniente. Lo que falta por evaluar es la variabilidad de esta medida, es decir cuál es su desviación estándar. El cálculo de la desviación estándar requiere primero el cálculo de la varianza (con flujos independientes entre sí), por lo que la varianza de cada flujo, incluyendo el periodo 0, se calcula de la siguiente forma:

Con esto la desviación estándar del VAN al ser flujos de caja independientes, se utiliza la expresión:

La desviación estándar no puede ser interpretada en forma aislada, es decir, no se puede decir si 26,7 es chica o grande. Debe ser interpretada en relación a su valor esperado. Suponiendo una distribución normal y un nivel de confianza del 95% el intervalo para el VAN es aproximadamente E(VAN) – 2*Sigma(VAN), es decir, –11,3 y 95,6.

Con esto se puede concluir que este es un proyecto riesgoso que puede tener un alto VAN de hasta 95,6 como también puede tener pérdidas de hasta 11,3.

Ejemplo Nº6

Una empresa está estudiando la conveniencia de invertir en algunos proyectos cuyos flujos tienen distribución normal. La información disponible es la siguiente:

Proyecto A B C

E(F) σ (F) E(F) σ (F) E(F) σ (F)

Año 1 60 7,7 60 10 45 5

Año2 54 8 60 5 54 4,9

Inversión 80 100 50

Tasa de descuento 10%

Considerando que los proyectos son independientes ¿qué proyectos realizaría si la compañía no acepta más de un 5% de probabilidad de tener un VAN negativo?

SOLUCIÓN:

Aplicando las siguientes expresiones para el valor esperado del VAN y la desviación estándar del proyecto (considerando que los proyectos y flujos son independientes) se calculan las probabilidades que se muestran en la tabla adjunta.

j N i i i

E

Flujo

prob

Flujo

Flujo

VAR

2 1 2

*

))

(

(

)

(

7

,

26

)

1

,

1

(

576

)

1

,

1

(

66

)

1

,

1

(

146

224

)

(

VAN

_{2 4 6} n j j

r

j

VAN

0 2 2

)

1

(

)

(

4

A B C

E (VAN) 19,17 4,13 35,54

σ (VAN) 9,6 9,99 6,09

Por el Teorema del Límite Central, si una variable aleatoria X sigue una distribución normal con media µ y desviación estándar σ, entonces la variable aleatoria Z = (X- E(VAN))/σ sigue una distribución normal de media 0 y desviación estándar 1. Dados que los flujos siguen una distribución normal, buscamos para cada proyecto el estadístico Z.

Donde x=0 dado que se busca la Prob. (VAN>0). El estadístico Z se ingresa a la tabla de distribución normal y se encuentra la probabilidad asociada.

A B C E (VAN) 19,17 4,13 35,54 σ (VAN) 9,6 9,99 6,09 Zn (0,1) Z=(0-19,17)/9,6=-1,99 Z=(0-4,13)/9,99=-0,41 Z=(0-35,54)/6,09=-5,8 Prob. (VAN>0) 98% 66% 100% Prob. (VAN<0) 2% 34% 0 A y C cumplen el requisito

Se adjunta la tabla de distribución normal. n j j

r

j

VAN

0 2 2

)

1

(

)

(

j j j

r

Flujo

E

Inversión

E

VAN

E

1

(

1

)

)

(

)

(

)

(

j N i i i

E

Flujo

prob

Flujo

Flujo

VAR

2 1 2

*

))

(

(

)

(

6

Se tiene un proyecto que presenta los siguientes flujos:

0 1 2 3 4

Flujo de Caja -100 20 30 40 50

Rentabilidad Libre de Riesgo 3% Prima por Riesgo 5% Costo de Capital 8%

Determine la rentabilidad del VAN a través del ajuste a la tasa de descuento y a través del ajuste de los flujos del proyecto.

SOLUCIÓN:

Para esto tenemos lo siguiente:

Donde se aprecia que en el primer término, a la derecha del VAN, se realiza el ajuste a los flujos con αt (equivalente cierto) y se utiliza la tasa (rentabilidad) libre de riesgo para determinar el VAN. En el segundo término, a la derecha del VAN, el ajuste se realiza a la tasa de descuento donde se aplica una prima por riesgo p.

En primer término se realizará el ajuste a los flujos:

Luego el VAN obtenido es t t t LR t LR t t LR t t LR t t n t t LR t n t t LR t t

p

r

r

p

r

FC

r

FC

p

r

FC

FC

r

FC

FC

VAN

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

)

1

(

1 1 0 0

827

,

0

)

08

,

0

1

(

)

03

,

0

1

(

867

,

0

)

08

,

0

1

(

)

03

,

0

1

(

910

,

0

)

08

,

0

1

(

)

03

,

0

1

(

954

,

0

)

08

,

0

1

(

)

03

,

0

1

(

4 4 4 3 3 3 2 2 2 1

74

,

12

)

03

,

0

1

(

50

827

,

0

)

03

,

0

1

(

40

867

,

0

)

03

,

0

1

(

30

910

,

0

)

03

,

0

1

(

20

954

,

0

100

:

_{2 3 4}

VAN

7

En segundo término se realizará el ajuste a la tasa de descuento:

Como se aprecia, en ambos casos se obtiene el mismo valor para el VAN.

Ejemplo Nº8

Evalúe las siguientes alternativas si usted es adverso o preferente al riesgo y sabe que la tasa de descuento es del 10%

Proyecto N°1

Año 1 Año 2 Año 3

Probab. Flujo Probab. Flujo Probab. Flujo

20% 10000 25% 15000 10% 10000

30% 15000 20% 14000 20% 15000

20% 18000 15% 20000 30% 16000

30% 12000 40% 15000 40% 20000

La inversión inicial es de 20000 y los flujos de caja son independientes. Proyecto N°2

Año 1 Año 2 Año 3

Probab. Flujo Probab. Flujo Probab. Flujo

10% 5000 30% 8333 15% 11000

35% 8525 10% 7000 30% 14000

5% 9998 20% 10000 35% 12000

50% 8000 40% 10121 20% 11533

La inversión inicial es de 13294 y los flujos de caja son dependientes (perfectamente correlacionados). SOLUCIÓN:

Proyecto N°1

Aplicando las siguientes expresiones para el valor esperado del VAN y la desviación estándar del proyecto (considerando que los flujos son independientes) se calculan las probabilidades que se tienen a continuación:

74

,

12

)

08

,

0

1

(

50

)

08

,

0

1

(

40

)

08

,

0

1

(

30

)

08

,

0

1

(

20

100

:

_{2 3 4}

VAN

n j j

r

j

VAN

0 2 2

)

1

(

)

(

T j j j

r

Flujo

E

Inversión

E

VAN

E

1

(

1

)

)

(

)

(

)

(

j N i i i

E

Flujo

prob

Flujo

Flujo

VAR

2 1 2

*

))

(

(

)

(

8 Luego el Coeficiente de Variabilidad (CV) será:

Proyecto N°2

Aplicando las siguientes expresiones para el valor esperado del VAN y la desviación estándar del proyecto (considerando que los flujos son dependientes perfectamente correlacionados) se calculan las probabilidades que se tienen a continuación:

Luego el Coeficiente de Variabilidad (CV) será:

Conclusiones:

1.- El inversionista preferente al riesgo elije el Proyecto N°2 (CV mayor). 2.- El inversionista adverso al riesgo elije el Proyecto N°1 (CV menor).

64

,

2794

1

84

,

1909

2 3

3091

,

92

T 11,2 11,4 11,6

87

,

17927

1

,

1

16800

1

,

1

15550

1

,

1

13700

20000

)

(

VAN

_{2 3}

E

2112

,

0

87

,

17927

11

,

3787

)

(VAN

E

CV

T n j j j

r

VAN

0

(

1

)

)

(

T j j j

r

Flujo

E

Inversión

E

VAN

E

1

1(

)

)

(

)

(

)

(

j N i i i

E

Flujo

prob

Flujo

Flujo

VAR

2 1 2

*

))

(

(

)

(

53

,

1093

1

73

,

1083

2 3

1125

,

37

11, 2735,27 37 , 1125 1, 1 73 , 1083 1, 1 53 , 1093 3 2 T

78

,

10890

1

,

1

6

,

12356

1

,

1

3

,

9248

1

,

1

65

,

7983

13294

)

(

VAN

_{2 3}

E

2512

,

0

78

,

10890

27

,

2735

)

(VAN

E

CV

T

9

3.- El inversionista indiferente al riesgo elije el Proyecto N°1 (Mayor E(VAN)).

Ejemplo Nº9

La fundación METAC evaluará un proyecto que producirá una nueva línea de tubos fundidos. El proyecto tiene una vida útil de 3 años. Los siguientes son los antecedentes que se disponen para la evaluación. Inversión: 100 millones, depreciación lineal

Capacidad de producción: 30.000 unidades Valor Residual : 0

Costos de operación anuales: Costos variables $1.600 por unidad Costos fijos $30 millones

Tasa de riesgo de la empresa 5% (prima por riesgo) Cantidad demandada año 1:

16.000 unidades 30% 20.000 unidades 40% 26.000 unidades 30%

Se espera un aumento de un 10% anual del valor esperado de la demanda del primer año. Precios:

Año 1 Año 2 y 3 Tasa anual Tributación esperada Precio Prob. Precio Prob.

$4.000 20% $5.000 10% 35% $6.000 20% $6.000 30% 45% $8.000 50% $8.000 40% 31% $10.000 10% $10.000 20%

Tasa de interés cero riesgo, esperadas. Año 1 Año 2 Año 3 8% 0,2 6% 0,2 6% 0,3 10% 0,6 8% 0,3 7% 0,3 11% 0,2 10% 0,5 8% 0,4

Evalúe el proyecto realizando el ajuste correspondiente a la tasa de descuento del proyecto. SOLUCIÓN:

Se deben obtener los valores promedios o esperados para todos aquellos datos que tienen probabilidades asociadas.

Cantidad demandada año 1:

16.000 30%

₄₈₀₀

20.000 40%

8000

26.000 30%

7800

Promedio

20600

Precios:

Año 1 Año 2 y 3

Precio Prob. Precio Prob. $ 4.000 20% $ 5.000 10% $ 6.000 20% $ 6.000 30%

10 $ 10.000 10% $ 10.000 20%

Promedio

$ 7.000

_Promedio

$ 7.500 Tasa anual Tributación

esperada

35%

45%

31%

Promedio

37,00%

Tasa de interés cero riesgo, esperadas. Año 1

Año 2

Año 3

8% 0,2 6% 0,2 6% 0,3 10% 0,6 8% 0,3 7% 0,3 11% 0,2 10% 0,5 8% 0,4

Promedio

9,8%

Promedio

8,6%

Promedio

7,1%

Tasa descuento

1 año

9,8%

2 años

19,2% 1,098*1,086-1

3 años

27,7% 1,098*1,086*1,071-1

Luego el flujo de caja del proyecto es:

0 1 2 3 Ingresos $ 144.200.000 $ 169.950.000 $ 186.945.000 (i) Costos fijos -$ 30.000.000 -$ 30.000.000 -$ 30.000.000 Costos variables -$ 32.960.000 -$ 36.256.000 -$ 39.881.600 Depreciación -$ 33.333.333 -$ 33.333.333 -$ 33.333.333 UAI $ 47.906.667 $ 70.360.667 $ 83.730.067 Impuestos $ 17.725.467 $ 26.033.447 $ 30.980.125 UDI $ 30.181.200 $ 44.327.220 $ 52.749.942 Depreciación $ 33.333.333 $ 33.333.333 $ 33.333.333 Inversión -$ 100.000.000 Flujo de Caja -$ 100.000.000 $ 63.514.533 $ 77.660.553 $ 86.083.275 Flujos de caja descontados -$ 100.000.000 $ 55.326.249 $ 62.507.086 $ 64.866.173 (ii) VAN $ 82.699.508

(i) Precio x Cantidad recordando que a partir del año 1 la demanda crece a razón de 10% al año

(ii)

Flujo de caja descontado por las tasas de descuento más primas por riesgo, por ejemplo año