NÚMEROS PRIMOS Y
FACTORIZACIÓN
Múltiplos y divisores:
• Def: decimos que b es un múltiplo de a si b = na para algún
número entero n.
• si a y b son ambos números enteros y b es un múltiplo de a, entonces a es un divisor de b.
• Propiedades:
• Cualquier número natural, a, es múltiplo de sí mismo y de la unidad, ya que a x 1 =a
• Un número natural, a, distinto de cero, tiene infinitos múltiplos, los que se obtienen al multiplicar a por cada uno de los infinitos números naturales, incluido el cero.
• Def: Un divisor de un número entero n, (también se
llama factor de n), es un número entero que divide n de
manera exacta. (el resto es cero).
• Un número m divide a n, se escribe: m/n Si existe un
entero k tal que n = km
Propiedades:
• 1 y
−
1 dividen (son divisores de) cualquier número
entero.
• Todo número entero es divisor de sí mismo,
• Todo entero es divisor de 0, excepto el 0 (por
convención).
• Los números divisibles entre dos se llaman pares y los
que no son divisibles entre dos, impares
El número 12 se puede escribir como el producto de: 3 y 4, o 6 y 2 ó 12 y 1, ó 2,2 y 3
• En este caso, 1,2,3,4,6,12 son factores de 12.
Cuando factorizas un número, estás escribiendo ese número como producto de sus factores.
NÚMEROS PRIMOS Y NÚMEROS COMPUESTOS
• Un número es primo si solamente tiene dos divisores: el 1 y él mismo.
• Un número es compuesto si tiene más de dos divisores. • El número 1 no es ni primo ni compuesto.
• Eratóstenes de Cirene (276-194 a. de C.) matemático griego, ideó
una forma de determinar los primeros números primos al construir la denominada Criba de Eratóstenes
La criba de Eratóstenes.
Teorema Fundamental de la aritmética:
• Todo número entero positivo mayor que 1 se
puede escribir de manera única (salvo el orden)
como producto de uno ó más números primos.
(este teorema requiere excluir al 1 como número
primo)
n = p
1· p
2· ... · p
tEs una descomposición de un número n en un
número finito de factores primos. Esta
descomposición en p
1, p
2, ... hasta p
tse
llama factorización de n en números primos.
Mind puede que algún factor primo se repita
varias veces.
Ejemplo:
• Un criterio de divisibilidad es una regla que
permite reconocer, sin efectuar la división, si un
número es o no divisible por otro número dado.
Esto hace que podamos saber si un número es
o no divisor de otro sin tener que hacer a
división.
• Ej.: criterio de divisibilidad por 2, que dice:
"Un número es divisible por 2 si la cifra de sus
unidades es cero o par “
• Los criterios de divisibilidad son especialmente
útiles en la descomposición de los números
en sus factores primos.
Criterio de divisibilidad por...
Enunciado Ejemplos
2 Un número es divisible por 2 si la cifra de sus
unidades es cero o un número par.
1708 es divisible por 2 porque 8 es par.
5 Un número es divisible por 5 si la cifra de sus unidades es cero o 5. 280 es divisible por 5 porque termina en 0. 10395 es divisible por 5 porque termina en 5. 3
Un número es divisble por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3.
1428 es divisible por 3 porque 1+4+2+8 = 15 es divisible por 3.
9
Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9.
40626 es divisible por 9 porque 4+0+6+2+6 = 18 es divisible por 0.
10 Un número es divisible por 10 si la cifra de sus
unidades es cero.
1120 es divisible por 10 porque termina en 0.
100 Un número es divisible por 100 si las cifras de
sus decenas y unidades son ceros
4900 es divisible por 100 porque termina en 00.
1000 Un número es divisible por 1000 si las cifras de sus centenas, decenas y unidades son ceros.
703000 es divisible por 1000 porque termina en 000.
11
Un número es divisible por 11 si lo es la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan lugar par y las que ocupan lugar impar en número dado. (Si esta resta no se puede hacer porque resulta negativa, se calcula la diferencia de la suma de las cifras que ocupan lugar impar y las ocupan lugar par.) Si la resta da cero también es divisible por 11, ya que el cero es divisible por todos los números.
709181 es divisible por 11 porque (8+9+7) - (1+1+0) = 24-2 = 22, siendo 22 divisible por 11.
LEAST COMMON MULTIPLE
• EL mínimo común múltipo de dos o más números
enteros a y b…, se denota por MCM(a, b…), es el menor entero positivo que es múltiplo de ambos números, a y b
• Si alguno de los dos, a o b es 0, MCM(a, b) es cero.
Ejemplo: • ¿Cuál es el MCM de 4 y 6? • Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76 etc. Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...
• Los Múltiplos comunes de 4 y 6 son los números que están en
las dos listas:
12, 24, 36, 48, 60, 72, ....
• Por lo tanto, el menor múltiplo común de 4 y 6 es el más pequeño de ellos: 12
• Hallar el mínimo común múltiplo con la factorización
en números primos:
• El mínimo común múltiplo de dos números será el
producto de los factores primos comunes y no comunes,
elevados al mayor exponente.
• Ejemplo: Halla el valor de mcm(8,9,21).
8=2*2*2 =2^3 9=3*3
21=7*3
• El mcm será el producto de multiplicar los factores
primos con mayor exponente. Los números primos que
aparecen son 2, 3, and 7, la mayor potencia de cada
uno es 2^3, 3^2, y 7^1.
•
Luego,
Máximo común divisor:
• el máximo común divisor (MCD), de dos ó más números distintos de cero es el mayor entero positivo que divide a cada uno de los números sin que haya resto
• Ejemplo:
• El número 54 se puede expresar como producto de números de diferentes formas:
– 54*1=27*2=18*3=9*6
• Entonces, los divisores de 54 son:
– 1,2,3,6,9,18,27,54
• De la misma manera, los divisores de 24 son:
– 1,2,3,4,6,8,12,24
• Los números que están en las dos listas son los divisores comunes de 54 y 24:
– 1,2,3,6
• El mayor de ellos es 6. Por lo tanto, el máximo común divisor de 54 y 24 es 6
– mcd(54,24)=6
Cálculo con factorización en números primos
• el máximo común divisor de dos o más números se calcula multiplicando los factores primos comunes, elevados al menor exponente.
• Ejemplo: para calcular mcm(18,84), la factorización en números primos es 18 = 2 · 3^2
• Y 84 = (2^2) · 3 · 7
• Por tanto, 2 y 3; son los divisores comunes con menor exponente mcd(18, 84) = 6.
