Geometría Triángulos

Geometría

Triángulos

2015-10-02 www.njctl.org

Tabla de Contenidos

· PARCC Preguntas de Muestra y Aplicaciones · Triángulos

· Triángulos semejantes

Click sobre el tema para ir a la sección

· Teorema de la Suma de Triángulos · Teorema de los Ángulos Exteriores

de Matemática.

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos.

MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo.

MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros.

MP4: Modelar con matemática.

MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas . MP6: Ser preciso.

MP7: Buscar y hacer uso de la estructura

MP8 Buscar y expresar regularidad en razonamientos repetidos.

En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.

Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

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Figuras Geométricas

Euclides hizo ahora la transición a figura geométrica, como la que está formada por un límite que separa el espacio que está dentro de la figura del que no lo está.

Definición 13. Un límite es aquello que está en el extremo de alguna cosa

Definición 14. Una figura es aquella contenida por cualquier límtes o límite.

Sus definiciones 15 de 18 relacionadas a círculos, se discutirán más tarde. En este capítulo, discutiremos los triángulos que son un ejemplo de figuras rectilíneas: una figura limitada por líneas rectas.

Un triángulo está limitado por tres líneas.

Definición 19. Las figuras rectilíneas son aquellas contenidas por líneas rectas, siendo figuras trilaterales aquellas contenidas por tres, cuadriláteros aquellas contenidas por cuatro y multilaterales aquellas contenidas por más de cuatro líneas rectas.

Partes de un triángulo

Cada triángulo tiene tres lados y tres vértices. Cada vértice es donde se encuentran los lados

Un par de lados y el vértice definen un ángulo, de modo que cada triángulo incluye tres ángulos.

Escribe "lado" junto a cada lado y marca con círculo los vértices sobre el triángulo de abajo.

1 La letra sobre este triángulo que corresponde al lado es:

A

B

2 La letra sobre este triángulo que representa al vértice es:

A

B

C

Partes de un triángulo

C

A

B

Cada vértice se nombra con una letra.

Los lados pueden ser

nombrados con las letras de los dos vértices o con la de el lado. El triángulo es nombrado con un triángulo de símbolo

adelante, seguido de las tres letras de los vértices.

Nombra los tres lados de este triángulo ______ ______ ______

3 ¿Cuál es el nombre del lado mostrado en rojo?

A AB

B BC

C AC

C

A

B

4 ¿Cuál es el nombre del lado mostrado en rojo?

A AB

B BC

C AC

C

A

B

5 ¿Cuál es el nombre de este triángulo?

A ΔABC

B ΔBCA

C ΔACB

C

A

B

D ΔCAB

E todos

Partes de un triángulo

C

A B

Arriba el lado rojo es ________________ A,

mientras que los lados verdes son ________________ a A. Un lado está opuesto al

ángulo si éste no lo toca. De otra manera, es adyacente al ángulo.. R es pu es ta

6 ¿Qué lado está opuesto al ángulo B?

A AB

B CA

C BC

D Ninguno

C

A

B

7 ¿Qué lado está opuesto al ángulo A?

A AB

B CA

C BC

D Ninguno

C

A

B

8 ¿Qué lados son adyacentes al ángulo C?

A AB & BC

B CA & BA

C BC & CA

D Ninguno

C

A

B

9 ¿Qué lados son adyacentes al ángulo B?

A AB & BC

B CA & BA

C BC & CA

D Ninguno

C

A

B

Tipos de triángulos

En general un triángulo puede tener lados de diferentes longitudes y ángulos de diferentes medidas.

Sin embargo, hay nombres dados para triángulos que tienen ángulos especiales o algunos lados o ángulos iguales.

Euclides definió los nombres para un número de esos en sus definiciones.

Definición 20: De figuras trilaterales, un triángulo equilátero es aquel

que tiene sus tres lados iguales, un triángulo isosceles es aquel que tiene dos lados iguales y un triángulo escaleno tiene sus tres lados desiguales.

Clasificando triángulos

Los Triángulos pueden ser clasificados por sus lados o por sus ángulos.

En su definición, Euclides usó los lados.

Definición 21: Más allá de las figuras trilaterales, un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto, un triángulo obtusángulo

es que tiene un ángulo obtuso y un triángulo acutángulo es el que tiene sus tres ángulos agudos. .

Trabajaremos con ambas definiciones, ya que en muchos casos ambas aplican a los mismos triángulos.

Triángulos agudos

En un triángulo acutángulos cada uno de sus ángulos es agudo.

Observa que en este triángulo no hay ángulos iguales o mayores a 90º .

Definición 21: "...un triángulo acutángulo es que tiene sus tres ángulos agudos."

Triángulos rectángulos

Un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto y dos ángulos agudos.

Observa que sólo un ángulo tiene 90º, lo que significa que los otros dos suman 90º; y por lo tanto son agudos.

Al lado opuesto al ángulo recto se lo llama hipotenusa y a los otros dos lados se los llama catetos.

Definición 21: "...un triángulo rectángulo es el que tiene un ángulo recto..."

Triángulo Isósceles

Un triángulo isósceles tiene dos lados de igual longitud.

Los ángulos opuestos a aquel formado por dos lados iguales son de la misma medida.

x x

Definición 20: "...Un triángulo isósceles es

aquel que tiene dos de sus lados de igual longitud..."

Triángulo Isósceles

A los ángulos iguales de medida x en el diagrama se los llama ángulos de la base. Al lado que está entre ellos se lo llama base.

A los otros dos lados, opuestos a los

ángulos de la base y congruentes entre sí se los llama catetos.

Es un caso especial de triángulo acutángulo.

x x

Triángulo obtusángulo

Un triángulo obtusángulo tiene un ángulo que es mayor que 90º y dos ángulos agudos.

Observa que un ángulo es mayor que 90º, lo que significa que la suma de los otros dos es menor que 90º; y que son agudos..

Definición 21: "...un triángulo

obtusángulo es el que tiene un ángulo obtuso..."

Equiangular / Triángulo equilátero

Un triángulo equiangular o equilátero tiene los tres ángulos de igual medida y los lados de igual longitud.

Definición 20: "...un triángulo equilátero

es el que tiene sus tres lados iguales..."

Todos los lados tienen la misma medida y todos los lados son de igual longitud.

Cada ángulo mide 60º.

Es un triángulo agudo especial.

x

x

x

Triángulo Escaleno

Ninguno de los lados o ángulos de un triángulo escaleno son congruentes entre sí.

Definición 20: "...un triángulo

escaleno es que que tiene sus tres lados desiguales..."

Observa que en este triángulo

ninguno de sus lados o ángulos son iguales.

10 Un triángulo isósceles es _______________ un

triángulo equilátero

A

Algunas veces

B

Siempre

11 Un triángulo obtusángulo es _______________

triángulo isósceles.

A

Algunas veces

B

Siempre

C Nunca

12 Un triángulo puede tener más de un ángulo obtuso.

Verdadero

Falso

13 Un triángulo puede tener más de un ángulo recto.

True

False

14 En un triángulo equilátero cada ángulo mide 60°

15 Un triángulo equilátero también es un triángulo

isósceles

Verdadero

Falso

16 Este triángulo es clasificado como _____.

(Marca todo lo que aplica)

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

60º

8.6

60º

60º

8.6

8.6

17 Este triángulo es clasificado como _____.

(Marca todo lo que aplica)

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

57º

79º

44º

6.1

_8.7

7.4

18 Este triángulo es clasificado como _____.

(Marca todo lo que aplica.)

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

26°

128°

26°

2.5

2.5

4.5

19 Este triángulo es clasificado como _____.

Marca todo lo que aplica.

A agudo

B recto

C isósceles

D obtuso

E equilátero

F equiangular

G escaleno

4.8

4.8

45°

45°

6.8

Mide y clasifica el triángulo por sus lados y ángulos

isósceles, agudoClick para la respuesta

Mide y clasifica el triángulo por sus lados y ángulos

Ejemplo

escaleno, obtusoClick para la

Mide y clasifica el triángulo por sus lados y ángulos

escaleno, agudoClick para la

20 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Longitud de los lados: 3 cm, 4 cm, 5 cm

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

21 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Longitudes de lado: 3 cm, 2 cm, 3 cm

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

22 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Longitudes del lado: 5 cm, 5 cm, 5 cm

A Equilátero

B Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F Recto

G Obtuso

23 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Medidas de los ángulos: 25°, 120°, 35°

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

24 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Medidas de los ángulos: 30°, 60°, 90°

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

25 Clasifica el triángulo a partir de la información dada:

Longitud de los lados: 3 cm, 4 cm, 5 cm

Medidas de los ángulos: 37°, 53°, 90°

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

26 Clasifica el triángulo a partir de sus lados y ángulos

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

A

_120°

B

C

L

M

N

27 Clasifica el triángulo a partir de sus lados y ángulos

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

H

J

K

45°

85°

50°

28 Clasifica el triángulo a partir de sus lados y ángulos

A

Equilátero

B

Isósceles

C Escaleno

D Agudo

E Equiangular

F

Recto

G

Obtuso

Teorema de la

Suma de

Triángulos

Volver a la tabla de contenidos

Teorema de la Suma de Triángulos

A

B C

Podemos usar lo que aprendimos sobre las rectas paralelas para determinar la suma de las medidas de los ángulos de cualquier triángulo.

Primero, vamos a trazar dos rectas paralelas. La primera entre la base del triángulo y la otra pasando por el vértice opuesto.

Y extender AB para hacerla transversal.

Luego, vamos a nombrar algunos de los ángulos.

A B C x x y y

29 ¿Cuál es el nombre para el par de ángulos nombrado

como x y qué relación hay entre ellos?

A exteriores de afuera, son desiguales

B interiores alternos, son desiguales

C interiores alternos, son iguales

D exteriores de afuera, son iguales

¿Esto es igual para el par de ángulos nombrados

como y?

A

B C

Por lo tanto, ambos ángulos etiquetados como x son iguales y los dos pueden ser llamados x y tienen igual medida que B.

x

x

Repite el mismo proceso con el lado AC y calcula el ángulo a lo largo de la paralela de arriba que es igual al ángulo C.

A B C x x y y

Vamos a volver a nombrar a los ángulos con A, B y C.

A

B C

La suma de aquellos ángulos a lo largo de la recta paralela superior es igual a 180º, de modo que A + B + C = 180º

B C

No hacemos suposiciones especiales sobre este triángulo, de manera que esta demostración aplica a todos los triángulos: la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180º.

La medida de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

Click aquí para ir al laboratorio llamando "Teorema de la suma de Triángulos".

A

B C

Teorema de la Suma de Triángulos

Pr ác tic a de M ate m áti ca

Ejemplo: Teorema de la Suma de Triángulos

32º J

K 20º L

Calcula la medida del ángulo que falta.

R

es

pu

es

30 ¿Cuál es la m∠B?

A

B

C

52°

53°

31 ¿Cuál es la medida del ángulo que falta?

57°

L

M

N

32 En ΔABC, si m

∠ B es 84° y m∠ C es 36°, ¿cuál

es la m

∠ A?

33 En el ΔDEF, si m

∠ D es 63° y la m∠ E es 12°, calcula

la m

∠ F.

Resuelve para x

55°

(12x+8)°

(8x-3)°

P

Q

R

Ejemplo

Q

2x°

5x°

S

8x°

34 Resuelve para x.

Entonces calcula:

m

∠ Q =

m

∠ R =

m

∠ S =

35 ¿Cuál es la medida de

∠ B?

C

B

A

Corolario para el Teorema de la

Suma de Triángulos

Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

A B

Dado: Triángulo ABC es un triángulo rectángulo

Demostración: sus ángulos agudos, ángulos B y C, son complementarios

A B

C

Demostración del Corolario del Teorema

de la Suma de Triángulos

A Propiedad de Sustracción de la Igualdad

B Propiedad de Sustitución de la Igualdad

C Dado

D Definición de Triángulo Rectángulo

E Definición de un ángulo recto

A C

Afirmación Razón

1 E triángulo ABC es un triángulo _rectángulo ? 2 Los Triángulos Rectángulos _{contienen un ángulo recto.} ?

3 ? Teorema de los ángulos _interiores

4 m∠ A = 90º ? 5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ? 7 ? Definición de complementario R es pu es ta

37 ¿Qué razón aplica al paso 2?

A B

C

Afirmación Razón

1 El triángulo ABC es un _{triángulo rectángulo} ? 2 Los triángulos rectángulos _{contienen un ángulo recto.} ?

3 ? Teorema de los ángulos _interiores

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ?

7 ? Definición de complementario

A Propiedad de Sustracción de la Igualdad

B Propiedad de Sustitución de la Igualdad

C Dado

D Definición de Triángulo Rectángulo

E Definición de un ángulo recto

pu

es

ta

D Definición de triángulo

rectángulo

A C

A La medida de un ángulo llano es 180º

B m∠A + m∠B + m∠C = 180º

C m∠B + m∠C = 90º

D m∠B + m∠C = 180º

E ∠A es un ángulo recto

Afirmación Razón

1 El triángulo ABC es un _{triángulo rectángulo} ? 2 Los triángulos rectángulos _{contienen un ángulo recto.} ?

3 ? Teorema de los ángulos _interiores

4 m∠ A = 90º ? 5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ? 7 ? Definición de complementario R es pu es B m∠A + m∠B + m∠C = 180º

39 ¿Qué razón aplica al paso 4?

A B

C

Afirmación Razón

1 El triángulo ABC es un _{triángulo rectángulo} ? 2 Un triángulo rectángulo _{contiene un ángulo recto.} ?

3 ? Teorema de los ángulos _interiores

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ?

7 ? Definición de complementario

A Propiedad de Sustracción de la Igualdad

B Propiedad de Sustitución de la Igualdad

C Dado

D Definición de Triángulo Rectángulo

E Definición de un ángulo recto

pu

es

ta

_{E Definición de ángulo}

A C

Afirmación Razón

1 El triángulo ABC es un _{triángulo rectángulo} ? 2 Un triángulo rectángulo _{contiene un ángulo recto} ?

3 ? Teorema de los ángulos _interiores

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ?

7 ? Definición de complementario

A Propiedad de Sustracción de la Igualdad

B Propiedad de Sustitución de la Igualdad

C Dado

D Definición de Triángulo Rectángulo

E Definición de un ángulo recto

es

ta

_{B Propiedad de}

Sustitución de la

Igualdad

41 ¿Qué razón aplica al paso 6?

A B

C

Afirmación Razón

1 El triángulo ABC es un _{triángulo rectángulo} ? 2 Un triángulo rectángulo _{contiene un ángulo recto.} ?

3 ? Teorema de los ángulos _interiores

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m∠ B + m∠ C = 90º ?

7 ? Definición de complementario

A Propiedad de Sustracción de la Igualdad B Propiedad de Sustitución de la Igualdad C Dado

D Definición de Triángulo Rectángulo

E Definición de un ángulo recto Res

pu

es

ta _{A Propiedad de}

Sustracción de la Igualdad

A C

Afirmación Razón

1 El triángulo ABC es un _{triángulo rectángulo} ? 2 Un triángulo rectángulo _{contiene un ángulo recto.} ?

3 ? Teorema de los ángulos _interiores

4 m∠ A = 90º ?

5 90º + m∠ B + m∠ C = 180º ? 6 m_{∠ B + m∠ C = 90º} ?

7 ? Definición de complementario

A La medida de un ángulo recto es 180º

B La suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º

C Los ángulos agudos son complementarios D Los ángulos agudos son suplementarios

E ∠A es un ángulo recto R

es

pu

es

ta _{C Los ángulos agudos}

A B

C

Dado: El triángulo ABC es un triángulo rectángulo Prueba: Sus ángulos agudos, ángulos B y C, son complementarios

Afirmación Razòn

1 El triángulo ABC es un triángulo _rectángulo Dado

2 Un triángulo rectángulo contiene un _{ángulo recto.} Definición de triángulo _rectángulo

3 m∠A + m∠B + m∠C = 180º Teorema de los ángulos _interiores

4 m∠A = 90º Definición de ángulo recto

5 90º + m∠B + m∠C = 180º Propiedad de sustitución _{de la igualdad}

6 m∠B + m∠C = 90º Propiedad de sustracción _{de la igualdad}

7 Los ángulos agudos son _{complementarios complementario}Definición de

Ejemplo

La medida de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es cinco veces la medida del otro ángulo agudo.

Calcula la medida de cada ángulo agudo.

R

es

pu

es

43 En un triángulo rectángulo, la suma de los dos ángulos

agudos es 90°.

Verdadero

Falso

44 ¿Cuál es la medida del ángulo que falta?

57°

L

M

45 Resuelve para x.

A

B

C

C

B

A

¿Cuáles son las

medidas de los

tres ángulos?

x+57 = 90

46 Resuelve para x.

¿Cuáles son las

medidas de los

tres ángulos?

47 m∠1 + m∠2 =

1

2

3

A

48 m∠1 + m∠3 =

1

2

3

20°

X°

49 Calcula el valor de x en el diagrama

R

es

pu

es

Teorema de los Ángulos

Exteriores

Volver a la Tabla de Contenidos

Los ángulos exteriores están formados por la extensión de un lado cualquiera de un triángulo.

El ángulo exterior es entonces el ángulo entre el lado extendido y el lado más cercano del triángulo.

Abajo se muestra un lado exterior. Tómate un momento y traza otro.

Ángulos Exteriores

A

B C

Ya que un triángulo tiene tres vértices y dos ángulos externos puede ser trazado en cada vértice, es posible trazar seis

ángulos externos al triángulo.

Traza el otro ángulo externo al vértice A.

A

B C

xº

A

B C

xº xº

Los ángulos exteriores en cada vértice son congruentes, ya que son ángulos verticales u opuestos por el vértice.

Los ángulos interiores de un triángulo son ∠A, ∠ABC y ∠C. Una vez que se traza un ángulo exterior, un ángulo interior es adyacente y los otros dos son remotos.

Ya que se puede trazar ángulos exteriores en cualquier vértice, cualquier ángulo anterior puede ser remoto

dependiendo sobre qué vértice se traza el ángulo externo.

Ángulos Interiores Remotos

A

B C

En este caso, ∠A y ∠C son los ángulos interiores

remotos y ∠ABC es el ángulo adyacente interior

50 ¿Cuáles son los ángulos interiores remotos en este

ejemplo?

A ∠A y ∠B

B ∠A y ∠C

C ∠B y ∠C

A

B

C

51 Si AB es una línea recta, ¿Cuál es la suma de ∠2 y

∠1?

1

A

B

52 En este diagrama, ¿cuál es la suma de P, Q y R?

P

R

Q

A

B C

D

La medida de cualquier ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de sus ángulos interiores remotos.

m∠DBA = m∠A + m∠C ó

x = m∠A + m∠C

Teorema de los Ángulos Exteriores

Dado: ∠DBA es un ángulo exterior al ΔABC y ∠A y ∠C son ángulos remotos interiores.

Prueba: m∠DBA = m∠A + m∠C

Demostración del Teorema de los

Ángulos Exteriores Remotos

A

B C

D

A Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

B Definición complementario

C Teorema de los ángulos interiores

D Propiedad de sustitución de la igualdad

E Definición de ángulo recto

A

B C

D

xº

Afirmación Razón

1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y _{∠ C son ángulos interiores remotos} Dado

2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?

3 ? _{suplementarios}Definición de

4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?

5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + _{m∠ C} ?

6 ? sustracción de la Propiedad de igualdad Re sp ue st a

54 ¿Qué afirmación aplica al paso 3?

A m∠DBA + m∠ABC = 180°

B m∠DBA = m∠A + m∠C

C m∠A + m∠B = 180°

D m∠DBA + m∠A = 90°

E m∠DBA + m∠A = 180°

1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y∠ A y _{∠ C son ángulos interiores remotos} Dado

2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?

3 ? _{suplementario}Definición de

4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?

5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + _{m∠ C} ?

6 ? sustracción de la Propiedad de igualdad R es pu es ta

A

B C

x D

Afirmación Razón

1 ∠ DBA es un ángulo exterior la ΔABC y ∠ A _{y ∠ C son ángulos interiores remotos} Dado

2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?

3 ? _{suplementario}Definición de

4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?

5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + _{m∠ C} ?

6 ? sustracción de la Propiedad de

igualdad

A Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

B Definición de complementario

C Teorema de los ángulos interiores

D Propiedad de sustitución de la igualdad

E Definición de ángulo recto

es

pu

es

56 ¿Qué razones aplican al paso 5?

1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y _{∠ C son ángulos interiores remotos} Dado

2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?

3 ? _{suplementario}Definición de

4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?

5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + _{m∠ C} ?

6 ? sustracción de la Propiedad de

igualdad

A Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

B Definición complementario

C Teorema de los ángulos interiores

D Propiedad de sustitución de la igualdad

E Definición de ángulo recto

pu

es

A m∠DBA + m∠ABC = 180°

B m∠DBA = m∠A + m∠C

C m∠A + m∠B = 180°

D m∠DBA + m∠A = 90°

E m∠DBA + m∠A = 180°

1 ∠ DBA es un ángulo exterior a ΔABC y ∠ A y _{∠ C son ángulos interiores remotos} Dado

2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios ?

3 ? _{suplementarios}Definición de

4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° ?

5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC + _{m∠ C} ?

6 ? sustracción de la Propiedad de igualdad R es pu es ta

Afirmaciones Razón

1 ∠ DBA es un ángulo ΔABC y ∠ A y ∠ C

son ángulos interiores remotos Dado

2 ∠ DBA y ∠ ABC son suplementarios Los ángulos que forman un

par lineal son suplementarios

3 ∠ DBA + m∠ ABC = 180° Definición de suplementarios 4 m∠ A+ m∠ ABC + m∠ C = 180° Teorema de los ángulos

interiores

5 m∠ DBA + m∠ ABC = m∠ A + m∠ ABC +

m∠ C Propiedad de sustitución de la igualdad

6 m∠ DBA = m∠ A + m∠ C Propiedad de sustracción de la

igualdad

Dado: ∠ DBA es un ángulo

exterior a ΔABC y ∠ A y ∠ C son ángulos interiores remotos.

Prueba: m∠ DBA = m∠ A + m∠ C

A

B C

x

58 En esta caso, ¿cuál debe ser la relación entre los

ángulos interiores de ΔPQR y

∠1?

A m∠Q = m∠1

B m∠1 = m∠P

C m∠1 = m∠Q + m∠R

D m∠1 = m∠P + m∠R

E m∠1 = m∠Q + m∠P

P

R

Q

59 En este caso, ¿cuál debe ser la relación entre los

ángulos interiores de ΔPQR y ∠2?

A m∠Q = m∠2

B m∠2 = m∠P

C m∠2 = m∠Q + m∠R

D m∠2 = m∠P + m∠R

E m∠2 = m∠Q + m∠P

Ejemplo: usando el Teorema de los ángulos

exteriores

Ejemplo

xº yº 75º 50º

Ejemplo

60 Resuelve para x.

xº yº

60º

55º

61 Resuelve y.

xº

yº

60º

55º

62 Calcula el valor de x.

2xº

yº

60º

94º

63 Calcula el valor de x.

(2x+3)º

yº

100º

51º

64 Calcula el valor de x.

(x+2)°

y°

(3x-5)°

33°

65 El segmento PS bisecta a ∠RST, ¿cuál es el valor de w?

25°

P

S

T

R

wº

Ejemplo

Calcula los ángulos que faltan en el diagrama.

60° 7 103° 43° 45° 30° 5 4 3 2 1 N ota s pa ra e l Pr ofe so r

40º

1

2

4

5

3

60º

66 Calcula la medida de ∠1.

67 Calcula la medida de∠2.

40º

1

2

4

₅

3

60º

68 Calcula la medida de ∠3.

40º

1

2

4

5

3

60º

69

40º

1

2

4

5

3

60º

Calcula la medida de ∠4.

70 Calcula la medida de ∠5.

40º

1

2

4

5

3

60º

Desigualdad en

triángulos

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Desigualdades en un triángulo

Para determinar desigualdades en un triángulo descargar el esquema, "desigualdades en un triángulo" y la hoja de trabajo "desigualgades en un triángulo" Ir al esquema, "Desigualdades en un triángulo." Ir a la hoja de trabajo, "Desigualdades en un triángulo."

Ángulos desiguales en un triángulo

El lado más largo está opuesto siempre al ángulo más grande. El lado más corto está siempre opuesto la ángulo más pequeño.

71 Nombra el lado más largo del triángulo.

A AB

B BC

C CA

D todos son iguales

A

B

C

35°

60°

85°

72 Nombra el lado más corto de este triángulo.

A AB

B BC

C CA

D son todos iguales

A

B

C

35°

60°

85°

73 Nombra el lado más corto de este triángulo.

A AB

B BC

C CA

D son todos iguales

A

B

C

35°

105°

40°

74 Nombra el ángulo más grande de este triángulo.

A ∠A

B ∠B

C ∠C

D Son todos iguales

A

B

C

10

14

8

75 Nombra el ángulo más pequeño de este triángulo.

A ∠A

B ∠B

C ∠C

D Son todos iguales

A

B

C

10

14

8

A

C

10

10

10

76 Nombra el ángulo más pequeño de este triángulo.

A ∠A

B ∠B

C ∠C

D Son todos iguales

B

Desigualdades de longitud en

un triángulo

Un lado no puede ser más largo que la suma de los otros dos lados. Un lado no puede ser más corto que la diferencia de los otros dos lados.

Ningún lado puede ser más largo que la suma de los otros dos lados.

Esto se deriva del hecho de que si los dos lados más cortos no pueden ser ubicados en un ángulo de 180º y excede la longitud del lado más largo, no se puede formar un triángulo.

Como se muestra abajo, si el lado azul es más largo que la suma del lado rojo y del lado verde, no se puede formar un triángulo. Mueve los lados de abajo e intenta formar un triángulo.

Desigualdades de longitud en

un triángulo

Ningún lado puede ser menor a la diferencia entre los otros dos lados.

Esto se deriva del hecho de que si los lados más largos no

pueden ser ubicados en un ángulo de 0° grado para alcanzar el extremo del lado más corto, no se puede formar un triángulo. Como se muestra abajo, si el lado azul también es corto para alcanzar a la línea roja, incluso cuando la línea roja está en el ángulo más pequeño, no se puede formar un triángulo.

Desigualdades de longitud en

un triángulo

77 ¿Cuál es la máxima longitud del tercer lado para formar

un triángulo si los otros lados son de 4 y 6?

R

es

pu

es

78 ¿Cuándo es la máxima longitud del tercer lado para

formar un triángulo si los otros lados son de 8 y 7?

R

es

pu

es

79 ¿Cuál es la mínima longitud del tercer lado para formar

un triángulo si los otros lados son de 4 y 6?

R

es

pu

es

80 ¿Cuál es la mínima longitud del tercer lado para formar

un triángulo si los otros lados son de 7 y 8?

R

es

pu

es

Triángulos Semejantes

Volver a la tabla de contenidos

Recuerda que:

Congruencia

Dos objetos son congruentes si pueden ser movidos, por alguna combinación de traslación, rotación y reflexión de manera que cada parte de cada objeto se superponga. Este es el símbolo para congruencia:

Si a es congruente a b se mostraría como

lo cuál se lee como "a es congruente a b"

Sólo los segmentos con la misma longitud son congruentes.

También, todos los segmentos congruentes tienen la misma longitud. Antes aprendimos que:

Segmentos Congruentes

a

b c d

c _d a b

Recuerda:

Ángulos Congruentes

A B

∠

∠

Dos ángulos son congruentes si tienen la misma medida.

Dos ángulos no son congruentes si tienen diferentes medidas.

A

B

C

D

Triángulos Congruentes

Los triángulos están construidos por tres segmentos Y tres ángulos.

Para que un triángulo sea congruente con otro los tres lados Y los tres ángulos deben ser congruentes.

Triángulos Semejantes

Si los tres lados de dos triángulos son congruentes, vamos a demostrar que los tres ángulos también son congruentes.

Por consiguiente, los triángulos son congruentes.

Además, dos triángulos pueden tener todos sus ángulos congruentes, con todos o ninguno de sus lados siendo congruentes.

Triángulos Congruentes

Los Triángulos Congruentes también son Triángulos Semejantes ya que todos sus ángulos son congruentes. Los Triángulos Congruentes son además un caso especial de

triángulos semejantes. Nos enfocaremos primero en los triángulos semejantes, y luego trabajaremos con los triángulos

congruentes en una unitad posterior.

Los triángulos Semejantes representan una gran herramienta para resolver problemas y son el fundamento de la

Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero pueden tener diferentes tamaños.

Si tienen igual forma y son del mismo tamaño, son semejantes y congruentes. A B C D E F

Triángulos Semejantes tienen Lados

Proporcionales

Triángulos Semejantes

Este es el símbolo para semejanza

De modo que, la afirmación simbólica para El triángulo ABC es semejante al triángulo DEF

es:

DEF DEF ΔABC Δ

Nombrando Triángulos Semejantes

Esta afirmación nos dice más que dos triángulos son semejantes.

Nos dice también que los ángulos son iguales En este caso, que

m∠A = m∠D m∠B = m∠E

m∠C = m∠F

Y así que son lados correspondientes y proporcionales. AB corresponde a DE BC corresponde a EF CA corresponde a FD DEF DEF ΔABC Δ

De manera que, cuando estás nombrando triángulos semejantes, el orden de las letras importa.

No tienen que ser alfabéticas.

Pero tienen que ser nombrados de manera que ángulos iguales correspondan con los otros iguales.

DEF DEF ΔABC Δ

Demostrando triángulos semejantes

Si puedes probar que los tres ángulos de los dos triángulos son congruentes, directamente queda comprobado que son semejantes.

Además, hay atajos para demostrar que son triángulos semejantes.

Exploraremos tres conjuntos de condiciones que implican que los tres ángulos de los dos triángulos son congruentes,

Teorema de la Semejanza

Ángulo a Ángulo

Sabemos del Teorema de la Suma de Triángulos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo siempre es igual a 180º.

De modo que, si dos triángulos tienen dos pares de ángulos congruentes que suman x, entonces el tercer ángulo en

ambos triángulos debe ser (180 - x)º ....formando tres pares de ángulos congruentes.

Una forma de demostrar que dos triángulos son semejantes es probar que dos de sus ángulos en cada

Si dos ángulos de un triángulo son congruentes a dos ángulos en otro triángulo, sus terceros ángulos son congruentes y los triángulos son semejantes. Aquí está la demostración

Afirmación Razón

1 ∠ A y ∠ B en ΔABC son ≅ a ∠ D y ∠ E

en ΔDEF Dada

2 m∠ A = m∠ D; m∠ B = m∠ E Definición de ángulos _congruentes

3 m∠ A+ m∠ B + m∠ C = 180º

m∠ D+ m∠ E + m∠ F = 180º Teorema de la suma de triángulos

4 m∠ C =180º - (m∠ A + m∠ B)

m∠ F =180º- (m∠ D + m∠ E) Propiedad de sustracción de la igualdad

5 m∠ C =180º - (m∠ A + m∠ B)

m∠ F =180º- (m∠ A + m∠ B) Propiedad de sustitución de la igualdad

6 m∠ C = m∠ F Propiedad de sustitución _{de la igualdad}

Si dos triángulos tiene sus lados proporcionales, los triángulos serán equiangulares y tendrán aquellos ángulos iguales a los que sus lados correspondientes subtienden.

Euclides- Libro 7: Proposición 5

Los triángulos equiangulares son semejantes, de modo que esto establece que los triángulos con lados proporcionales son semejantes.

Esta es la segunda forma para demostrar que los triángulos son semejantes:

Si se puede demostrar que los tres pares de lados en dos triángulos son proporcionales, entonces se habrá

demostrado que los triángulos son semejantes.

Esto se deriva de la forma que contruimos ángulos congruentes. Hicimos uso del hecho de que si dos ángulos son congruentes, sus lados se separan a la misma razón a medida que se alejan del

vértice.

Aquí está el dibujo que usamos para construir ∠ABC de modo que sería congruente a ∠FGH.

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

F

G _H

A

C B

Si trazamos los segmentos verdes conectando los puntos donde los arcos azules intersecan las semirrectas, podemos ver que la

longitud de ese segmento sería la misma para ambos ángulos. Ya que los ángulos son congruentes, el segmento opuesto a aquellos ángulos también serán congruentes, si este interseca ambos lados del ángulo a la misma distancia desde el vértice en ambos casos.

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

F G _H A C B D E

En este caso los segmentos AC y DE serán congruentes ya que los segmentos GD y GE también son congruentes a los segmentos AB y BC.

De modo que el ΔDEG es congruente al ΔABC, ya que todos los ángulos y lados son iguales.

Cambiando la escala del ΔABC no cambiará la medida de sus

ángulos. Los lados serán proporcionales a aquellos del ΔDEG, pero no iguales.

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

F G _H A C B D E

El diagrama de abajo muestra una ampliación del ΔABC y podemos ver que las medidas de los ángulos no cambiaron.

Aún son triángulos semejantes. Los lados correspondientes son proporcionales.

Teorema de la Semejanza Lado-Lado-Lado

A C B F G _H D E

A

C B

Removiendo los arcos y desplazando el triángulo más pequeño dentro del más grande se hace claro que todos los ángulos son congruentes y los lados están en proporción.

Así que, la segunda forma de demostrar triángulos semejantes es mostrar que todos sus lados están en proporción.

F D

E

G H

Si dos triángulos tienen un ángulo igual a otro y los lados

alrededor del ángulo igual están en proporción, los triángulos serán equiangulares y tendrán aquellos ángulos iguales con los correspondientes ángulos que subtienden.

Los Elementos de Euclides - Libro Sexto- Proposición 6

La tercera forma de demostrar que son semejantes es mostrar que pueden compartir un ángulo que es igual y los dos lados formando ese ángulo son proporcionales en los dos

triángulos.

Esto deriva directamente del trabajo que hemos hecho para mostrar que la proporcionalidad Lado-Lado-Lado puede ser usada para demostrar triángulos semejantes.

Si recuerdas, el segmento que forma el tercer lado de un

triángulo está completamente definido por el ángulo opuesto y la longitud de los otros dos lados.

Si los ángulos son congruentes y los dos lados del ángulo están en proporción, el tercer lado debe estar también en proporción.

Si los tres lados están en proporción, los triángulos deben ser semejantes debido al Teorema Lado-Lado-Lado.

Puedes ver esto en la página siguiente.

A B

C D

E

F

Si ∠B ≅ ∠E y los segmentos AB y BC son proporcionales a los segmentos ED y EF, entonces el segmento AC también debe ser proporcional al segmento DF. Ya que los tres lados están en

proporción, los triángulos son semejantes.

Error común

NO PUEDES demostrar triángulos semejantes Lado- Lado. Ángulo.

No es lo mismo que Lado-Ángulo-Lado.

Como se muestra abajo, dos triángulos pueden tener dos lados correspondientes y un ángulo correspondientes congruente, pero NO ser semejantes.

81 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

x

x

E No son semejantes

82 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

83 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

6

4

8

8

12

16

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D No son semejantes

84 ¿Qué teoremas te permiten demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

4

8

3

6

6

10

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

85 ¿Qué teoremas te permiten demostrar que estos

triángulos son semejantes?

4

8

3

6

x

x

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

86

_{¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos}

triángulos son semejantes?

4

3

x

8

6

x

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

87 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

88 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

es

pu

es

89 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

es

pu

es

90 ¿Qué teorema te permite demostrar que estos dos

triángulos son semejantes?

A

B

C

D

E

Nota que BC es paralelo a DE.

A Ángulo- Ángulo

B Lado- Ángulo- Lado

C Lado- Lado- Lado

D Podrían no ser semejantes

E No son semejantes

B

A

B C

D E

Teorema del Divisor de Lado

Cualquier recta paralela a un lado de un triángulo formará un

triángulo que es semejante al primer triángulo.

Como aprenderemos más tarde, también hace todos los lados

proporcionales, dividiéndolos...de ahí el nombre del teorema.

A

B C

D E

Dado: BC es paralelo a DE Prueba: ΔABC ~ ΔADE.

Demostración del Teorema del

Divisor de Lado

A Teorema de Semejanza Ángulo- Ángulo

B Teorema de la Semejanza Lado- Lado- Lado

C Propiedad Reflexiva de Congruencia

D Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos correspondientes son congruentes

E Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos interiores alternos son

congruentes

92 ¿Cuál es la razón para el paso 3?

A Teorema de Semejanza Ángulo- Ángulo

B Teorema de la Semejanza Lado- Lado- Lado

C Propiedad Reflexiva de Congruencia

D Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos correspondientes son congruentes

E Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos interiores alternos son

congruentes

93 ¿Cuál es la razón para el paso 4?

A Teorema de Semejanza Ángulo- Ángulo

B Teorema de la Semejanza Lado- Lado- Lado

C Propiedad Reflexiva de Congruencia

D Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos correspondientes son congruentes

E Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una

transversal, los ángulos interiores alternos son

congruentes

Demostración del Teorema Lado Divisor

Dado: BC es paralelo a DE

Prueba: ΔABC ~ ΔADE _{B C}

D E

Afirmación Razón

1 BC es paralelo a DE Dada

2 ∠ ABC ≅ ∠ D; ∠ ACB ≅

∠ E

Cuando dos rectas paralelas son intersecadas por una transversal, los

ángulos correspondientes son congruentes

3 ∠ A ≅ ∠ A Propiedad Reflexiva de la _Congruencia

Los triángulos semejantes tienen la misma forma, pero

pueden tener diferentes tamaños. Si tienen la misma forma y el mismo tamaño, son congruentes.

Si tienen igual forma y son de diferentes tamalos, son semejantes y sus lados están en proporción.

A B

C D

E

F

Teorema Triángulos Semejantes

tienen Lados Proporcionales

Lo contrario también es cierto y demostrará ser muy útil.

Si dos triángulos son semejantes, todos sus lados correspondientes están en proporción.

*Mientras Euclides si probó ese teorema, sus demostraciones resultaron en otros teoremas que tendrían que ser probados primero y se irían de los objetivos de este curso. Así que, sólo relacionaremos sobre ese teorema y observa que la

demostración está disponible en Los Elementos de Euclides- Libro Sexto: Proposición 5

Teorema Triángulos Semejantes

tienen Lados Proporcionales