TEMA 1. VECTORES Y MATRICES 1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

(1)

1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE

(2)

1.3. TRAZA Y DETERMINANTE DE UNA

MATRIZ

1.3.1. Concepto de Traza.

1.3.2. Propiedades de la traza.

1.3.3. Determinante de una matriz.

1.3.4. Cálculo de determinantes de orden 2 y orden 3.

1.3.5. Menor complementario y adjunto de un

elemento.

1.3.6. Desarrollo de un determinante por los adjuntos

de una fila o de una columna.

1.3.7. Propiedades de los determinantes

1.3.8. Cálculo general de determinantes

(3)

1.3.1. CONCEPTO DE TRAZA

DEFINICIÓN DE TRAZA

Sea una matriz cuadrada de orden n

                 mn m m m n n n a a a a a a a a a a a a a a a a A          3 2 1 3 33 32 31 2 23 22 21 1 13 12 11

Se define la traza de la matriz A y se denota por Tr(A) como la suma de los elementos de la diagonal principal:

EJEMPLO

Calcula la traza de las siguientes matrices:

              2 7 9 9 2 1 2 0 3 A              3 7 0 7 2 1 0 1 1 B            3 8 9 8 2 3 9 3 1 C              1 2 7 6 3 2 7 3 2 5 2 1 3 c b a D

(4)

Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n, se verifican las siguientes propiedades: 1) EJEMPLO: 2) EJEMPLO 3) EJEMPLO 4) EJEMPLO 5) En general EJEMPLO

6) En general si la matriz A tiene inversa entonces EJEMPLO

(5)

1) Dadas las matrices

y comprobar que

2) Demostrar que se verifica

3) Si A es una matriz antisimétrica ¿Cuánto vale su traza? 4) Demostrar que si A es una matriz simétrica entonces

5) Dadas dos matrices cuadradas de orden n A y B, tales que demostrar que

1.3.2. PROPIEDADES DE LA TRAZA: EJERCICIOS.

Ejercicios: Libro

“Problemas y cuestiones

de álgebra lineal” P.

Ortega

Pág. 166,167

Ejercicios 1,2,4

(6)

DEFINICIÓN FORMAL:

Dada una matriz cuadrada A de orden n, se define el determinante de A y se denota por |A| o det(A) como la suma de los n! productos con signo formados por n-factores obtenidos de multiplicar n elementos de la matriz de forma que cada producto contenga un solo

elemento de cada fila y columna de A. De forma analítica:

Donde :

- es una de las n! permutaciones del conjunto {1,2,…,n}

- es el NÚMERO DE TRASPOSICIONES o cambios requeridos para reordenar la permutación en el orden de {1,2,…,n}

OBSERVACIÓN

- Según esta definición la matriz NULA de orden n, tiene siempre determinante 0

(7)

Sea _       22 21 12 11 a a a a

A _{, se define el determinante de la matriz A y se denota por det(A) o |A| al}

siguiente valor numérico: 11 22 12 21 22 21 12 11 ) det( a a a a a a a a A      _.

El primer producto, que contiene el elemento a₁₁, es a₁₁a₂₂:

El segundo producto, con el elemento a12, es a12a21 : EJEMPLOS:

1) Calcula los siguientes determinantes: a) 2 3 2 5  b) 1 5 1 2   c) 0 3 0 1 d) 7 1 4 3

2) Calcula el valor de x para que se verifiquen la siguientes igualdades: a) 19 7 8 5  x b) 7 22 2 6     x c) 9 9 3   x x d) 8 2 3  x x x

(8)

REGLA DE SARRUS:

Productos con signo positivo Productos con signo negativo

1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 3

Sea            33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a

A _{una matriz cuadrada de orden 3, se define el}

determinante de la matriz

A

, y se denota por det(A)| A|_{, al resultado de la}

suma de los siguientes 9 productos:

 | | ) det(A A  ₁₁ ₂₂  ₃₃  ₁₂  ₂₃  ₃₁  ₁₃  ₂₁ ₃₂  33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a a a a a a a a a a a₁₁a₂₃ a₃₂ a₁₂ a₂₁a₃₃ a₁₃ a₂₂ a₃₁._.

(9)

1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 3

REGLA DE SARRUS

Productos con signo positivo Productos con signo negativo

EJEMPLOS:

1) Calcula el determinante de las siguientes matrices: a)             6 2 1 6 4 1 6 2 3 A b)             3 2 1 3 4 1 3 2 3 B

2) Calcula el valor de a para que se verifiquen las siguientes igualdades:

a) 7 2 0 3 1 2 3 1  x x b) 6 8 0 2 2 1 2 4 3    x x x

(10)

1) Calcula los siguientes determinantes:

a)

4

8

3

3 

b)

4

2

1 



c)

6

2

1

0 

d)

1

3

7

4 

e)

2

3

0

0 2) Determina el valor que debe tener la incógnita x para que

se verifiquen las siguientes ecuaciones:

a)

12

4

3 



x

b)

21

7

0

3

8

1

2







x

1.3.4. DETERMINANTE DE MATRICES DE ORDEN 2 Y 3:

EJERCICIOS

EJERCICIOS: Libro “Problemas y cuestiones

de álgebra lineal” Pedro Ortega

Páginas 168-170

Ejercicios 5,6,7

(11)

Sea

_A

una matriz cuadrada de orden n. Definimos el menor complementario del elemento aij de la

matriz

_A

, al determinante de la matriz de orden n-1 que se obtiene al suprimir la fija i-ésima y la columna j-ésima de la matriz A. Al menor complementario del elemento

a

ij de la matriz A se le

denota como

M

_ij. EJEMPLO                3 0 9 1 2 2 7 3 1 3 2 1 0 4 2 1 A _.Entonces 6 6 0 2 27 0 25 3 0 1 2 2 3 1 3 1 12          M _.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se define el adjunto o cofactor del elemento aij, y lo

denotamos por

A

_ij, como

A

_ij



(



1 )

ij

M

_ij.

EJEMPLO: si consideramos la matriz A de orden 4 anterior, entonces

25 ) 25 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 2 ₁₂ ₁₂ 12             M M A y A₃₃ (1)33M₃₃  M₃₃ 19.

EJEMPLO: Sea la matriz:

                2 0 2 8 7 2 1 3 7 5 2 2 6 1 2 3 A . Calcula:

M

₁₃

,

M

₂₄

,

M

₄₄

,

M

₂₂ y

A

₁₃

,

A

₂₄

,

A

₄₄

,

A

₂₂

(12)

1)Dada la matriz             1 2 3 7 2 1 5 1 2

A _{, calcula todos sus menores complementarios}

y sus adjuntos.

2)Calcula el menor complementario de los elementos

23 a y a₄₄ en la matriz                 0 4 1 6 3 1 2 0 3 5 2 1 4 2 0 3 A .

1.3.5. MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO DE UN ELEMENTO:

EJERCICIOS.

EJERCICIOS: Libro “Problemas y

cuestiones de álgebra lineal” P. Ortega

Pág. 170 ejercicio 8

(13)

Sea A una matriz cuadrada de orden n. El determinante de A se puede obtener mediante la suma de los productos de los elementos de una fila o de una columna por sus adjuntos correspondientes.

a) Desarrollo de un determinante por los adjuntos de la fila i-ésima:

in in i i i i i i A a A a A a A a A|      ...  | ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃

b) Desarrollo de un determinante por los adjuntos de la columna j-ésima:

nj nj j j j j j j A a A a A a A a A|      ...  | ₁ ₁ ₂ ₂ ₃ ₃ _.

1.3.6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS

DE UNA FILA O UNA COLUMNA

EJEMPLO: Considera la matriz

                  5 2 4 3 2 1 2 3 1 2 0 3 1 0 3 2

A _{. Para calcular el determinante de esta matriz por los}

adjuntos de la segunda fila:



















₂₁ ₂₁ ₂₂ ₂₂ ₂₃ ₂₃ ₂₄ ₂₄

|

A

a

A

a

A

a

A

a

A





































    24 4 2 23 3 2 22 2 2 21 1 2

)

1 (

)

1 (

)

1 (

2 )

1 (

0 )

1 (

3 M

M

               2 4 3 1 2 3 0 3 2 5 4 3 2 2 3 1 3 2 2 5 2 4 2 1 2 1 0 3 3                   3(15 4 4 12) 2( 20 18 12 6 45 16) ( 8 9 18 8) 76 9 29 2 3 3       _.

(14)

1.3.6. DESARROLLO DE UN DETERMINANTE POR LOS ADJUNTOS

DE UNA FILA O UNA COLUMNA: EJERCICIOS

1 Calcula los siguientes determinantes desarrollando por alguna de sus filas o

columnas:

a)

3 8 4 0 2 0 5 2 1 

b)

3 0 5 8 5 1 7 0 4 3 0 2 1 0 3 2

2) Calcula el determinante de la matriz:

               1 2 0 7 1 2 3 2 5 0 3 2 3 2 0 1 A

a)

Desarrollando por los adjuntos de la segunda fila.

b) Desarrollando por los adjuntos de la segunda columna.

EJERCICIOS: Libro “Problemas

y cuestiones de álgebra lineal”

P. Ortega

Págs. 170,171

Ejercicio 9

(15)

1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (1/4)

1. El determinante de una matriz cuadrada coincide con el determinante de su traspuesta: A  At _.

EJEMPLO: Comprobar con la matriz 

       6 1 7 1 A

2. Si una matriz cuadrada tiene una fila o una columna de ceros, entonces su determinante es cero. EJEMPLO:  0 3 0 10 y  1 3 7 0 0 0 1 3 2 .

3. Si en una matriz cuadrada intercambiamos dos de sus filas (o dos de sus columnas), entonces el determinante de la matriz resultante cambia de signo.

EJEMPLO: 

2 1

2 3

; intercambiando las columnas 

1 2 3 2 .    5 2 3 1 7 2 1 0 2 y    1 7 2 5 2 3 . 1 0 2 .

(16)

1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (2/4)

4. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son iguales entonces su determinante es nulo. Ejemplo,  2 1 2 1 y  1 5 2 6 6 3 1 5 2

5. Si multiplicamos por el mismo número real k todos los elementos de una fila o una columna de una matriz cuadrada A, entonces el determinante de la matriz

B resultante verifica que det(B)  kdet(A).

Ejemplos: _  1 1 2 3 _  1 1 2 3k k _  k k 2 3 .

6. Si dos filas o dos columnas de una matriz cuadrada son proporcionales entonces su determinante es nulo.

Por ejemplo,  4 2

6 3

(aplicando las propiedades 4 y 5).

 9 4 3 3 2 1 6 1 2

(17)

1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (3/4)

7. Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces det(k  A)  kn det(A). Demostración: n a k a k a k A k  )   1  .2    det(  k a1 k a.2  k a.n  ) det( ... 1 2 2 1 2 A k a a a k a k a a k  n   n n  n           .

8. Si a la fila (o columna) de una matriz le sumamos una combinación lineal de una o varias paralelas a ella, entonces su determinante no varia.

Ejemplo, _  3 2 1 7 y _ _ _ _ _  1 2 3 7 2 2 1 7 .

9. Si una matriz cuadrada tiene una fila (o columna) que es combinación lineal de otras, entonces el determinante de la matriz es nulo. Además si el determinante de una matriz es nulo, entonces existe al menos una fila (o columna) que es combinación lineal de las demás.

Ejemplo, 0 7 5 2 1 3 2 3 2 1    pues a1  a2  a3

(18)

1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES (4/4)

TEOREMA: Un conjunto de n-vectores de n-componentes es linealmente

independiente si y sólo si el determinante de orden n de la matriz formada por

sus n-vectores colocados en fila (o en columna) es no nulo.

10. Para cualquier fila (o columna de una matriz) se verifica que:

11 12 13 11 12 13 11 12 13 13 21 22 23 21 22 23 21 22 23 23 31 32 33 31 32 33 31 32 33 33 a a a a a b a a a b a a a a a b a a a b a a a a a b a a a b     

Ejemplo, comprobemos que

6

7

9

2

7

6

2

8

7

3

2 





;

11. El determinante del producto de dos matrices cuadradas es el producto de

sus determinantes:

|

A



B

|



|

A

|



|

B

|

_.

Por ejemplo, comprobemos que

5

2

1

7

4

3

5

2

1

7

4

3 































.

(19)

1.3.7. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES : EJERCICIOS

1)Sabiendo que 1 5 2 3 2 1 1  z y x

, calcula sin aplicar la regla de Sarrus los

determinantes: a) 3 3 3 3 2 5 2 x y z b) 15 3 2 9 3 2 3 3 1 z y x c) 5 3 1 7 5 2 z y x

2) Halla los siguientes determinantes aplicando las propiedades: a) x x 6 3 10 5 b) 2 1 1 a a c) _y _x y x 2 2  

3) Demuestra, sin desarrollarlos, que los siguientes determinantes son nulos: a) 2 0 4 7 0 3 1 0 2  b) 17 7 0 3 1 4 5 2 1   c) 9 0 2 6 1 2 3 1 0 

EJERCICIOS: Libro

“Problemas y cuestiones de

álgebra lineal” P. Ortega

Págs. 171-173

Ejercicios 10,11,12

(20)

1.3.8. CÁLCULO GENERAL DE DETERMINANTES

Hemos visto que el determinante se obtiene desarrollando por cualquiera de las filas o columnas de la matriz.

En consecuencia, para calcular el determinante elegiremos una fila o columna que tenga el mayor número de ceros para que los cálculos se simplifiquen.

Por otro lado, utilizando las propiedades de los determinantes, en concreto, haciendo uso de la propiedad 8, es posible calcular el determinante de una matriz por medio de otra que tenga una fila o columna con el mayor número de ceros. HACIENDO CEROS: EJEMPLO 5 12 4 12 2 5 2 3 1 0 0 0 1 2 3 5 5 2 4 3 2 1 2 3 1 2 0 3 1 0 3 2 | | 4 2 3 3 4 3 1 1                   C C C C C C A