Tema 11

TEMA 11 F. MATEM ´ATICOS.

TEMA 11

Autovalores y autovectores. Diagonalizaci´

on y formas can´

onicas.

1.

Introducci´

on.

Definici´on 1 (Matrices semejantes) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n. Decimos que A es semejante a B si existe una matriz cuadrada P invertible tal que A=P−1_BP.

Propiedades de las matrices semejantes

1. Si A es semejante a B, entonces |A|=|B|. 2. Si A es semejante a B,Ak _{es semejante aB}k_.

3. Si A es semejante a B y p(t) es un polinomio con coeficientes enR, entonces p(A) es semejante a p(B).

4. Si A es semejante a B y A es regular, entonces B es regular yA−1 _{es semejante aB}−1_.

2.

Autovalores y Autovectores

Definici´on 2 Dada una matriz cuadrada A, decimos que λ∈K es un autovalorovalor propiode A si ∃ X∈Kn_{, X 6= Θ / AX=λX.}

Al vectorX se le llama autovectorovector propio asociado al autovalor λ.

Definici´on 3 Se llama espectrodeA, y se designa σ(A), al conjunto de todos los autovalores de la matrizA

σ(A) ≡ {λ∈K/λes autovalor de A}

Definici´on 4 (Subespacio propio) Al conjunto de todos los autovectores asociados a un autovalor λ junto con el vector ~0 se le suele notar Aλ y se le llama subespacio propio asociado al autovalor λ.

Aλ={X / AX=λX} ∪ {~0}

2.1.

Propiedades de los autovalores.

1.- Dos autovalores distintos no tiene autovectores comunes. λ1, λ2∈σ(A)

λ16=λ2

¾

⇒ Aλ1∩Aλ2 ={~0}

Es equivalente a decir: “Un autovector X admite s´olo un autovalor”. El rec´ıproco, en general, no es cierto.

2.- A yAt_{tienen los mismos autovalores.}

3.- Si λ es autovalor de A, kλ es un autovalor de kA.

5.- Si λ es un autovalor deA, yA es regular (|A| 6= 0), 1

λ es autovalor de A

−1_.

6.- Autovectores correspondientes a autovalores distintos son linealmente independientes. 7.- Si λ es autovalor de A, ⇒ λk _{es autovalor de A}k_.

3.

Polinomio caracter´ıstico

λ∈K es unautovalorovalor propiodeAsi ∃ X∈Kn_{, X 6= Θ/ AX=λX.}

En este caso

AX−λX= Θ = (A−λI)X = Θ

Esta ´ultima relaci´on representa un sistema homog´eneo. Recordemos que para que un sistema ho-mog´eneo admita soluci´on distinta de la trivial, debe ocurrir que el determinante de la matriz del sistema sea cero, es decir

|A−λI|= 0

Para obtener pues, los autovalores de A, bastar´a resolver la ecuaci´on|A−λI |= 0 , llamada ecuaci´on caracter´ısticadeA.

|A−λI |= ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

a11−λ a12 · · · a1n

a21 a22−λ · · · a2n

..

. ... ... ... an1 an2 · · · ann−λ

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯

= 0

que desarrollando se obtiene el polinomio en λ

P(λ) = a0λn + a1λn−1 + · · · + an−1λ + an = 0

llamadopolinomio caracter´ısticodeA.

Los autovalores deAson, pues, los ceros de su polinomio caracter´ıstico.

Definici´on 5 (Multiplicidad algebraica) Si λ0 es una ra´ız de multiplicidad α de la ecuaci´on

caracter´ıstica deA, se dir´a que λ0 es un autovalor de orden α deA. A α se le llamamultiplicidad

algebraica de λy se suele notar ma(λ).

Se observa f´acilmente que:

a0= (−1)n a1= (−1)n−1traza(A) an =|A|

Teniendo en cuenta las relaciones existentes entre los coeficientes de una ecuaci´on y sus soluciones, se observa que si λ1, λ2, · · · , λn son las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico (no necesariamente autovalores

deA, pues pudiera darse el caso de que λi∈/K).

λ1 + λ2 + · · · + λn= traza(A) λ1λ2· · ·λn=|A|

Una vez resuelta la ecuaci´on caracter´ıstica y obtenidos por tanto, los autovalores de A, para calcular los autovectores habr´a que resolver el sistema (A − λiI)X = Θ para obtener los autovectores

correspondientes.

Nota.- De la igualdad λ1λ2· · ·λn =|A |, se deduce que si Aes una matriz regular, no puede tener

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C´

alculo del polinomio caracter´ıstico de una matriz mediante sus menores

di-agonales

Anteriormente, al estudiar el polinomio caracter´ıstico |A−λI| de una matriz, s´olo obtuvimos tres de sus coeficientes. Intentamos ahora calcular esos coeficientes que restan sin necesidad de desarrollar |A−λI|.

Definici´on 7 (Menor diagonal) Se llamamenor diagonalde orden p de una matriz a los menores de las submatrices de orden p que est´an situadas sim´etricamente respecto de la diagonal; esto es, aquellas que se obtienen tomando los ´ındices de sus filas iguales a los de sus columnas.

Teorema 1 Se verifica

|A−λI|= (−1)nλn+ (−1)n−1Traza(A)λn−1+an−2λn−2+· · ·+a2λ2+a1λ+|A|

donde ah= (−1)h

·

suma de los µ

n h ¶

menores de orden n−hde A ¸

.

4.

Subespacios invariantes

Proposici´on 8 El subespacio propio asociado a un autovalor λ(Aλ) de una matriz es un subespacio

vectorial invariante.

Definici´on 9 (Multiplicidad geom´etrica) Se llama multiplicidad geom´etrica de λ al n´umero de autovectores linealmente independientes asociados o, lo que es lo mismo, a dim(Aλ). Se suele notar

mg(λ).

Proposici´on 10 SeaA∈Mn yλ∈σ(A). La dimensi´on del subespacio vectorial propio Aλ viene dado

por

dim(Aλ) =dim(N(A−λI)) =n−rango(A−λI)

Proposici´on 11 Sea A ∈ Mn y λ ∈ σ(A). Si ma(λ) = r entonces la multiplicidad geom´etrica de λ

verifica

1≤ma(λ)≤r

5.

Teorema de Cayley-Hamilton

Teorema 2 (Teorema de Cayley-Hamilton) Toda matriz cuadradaA sobre un cuerpoKes ra´ız de su polinomio caracter´ıstico.

Es decir, si p(λ) =a0λn+a1λn−1+· · ·+an es el polinomio caracter´ıstico y Θn es la matriz nula de

orden n, entonces

5.1.

Aplicaci´

on al c´

alculo de

A

Sea Auna matriz invertible (es decir, |A| 6= 0 )

Teniendo en cuenta que a0An+a1An−1+· · ·+anI= Θn , se obtiene

a0An+a1An−1+· · ·+an−1A=−anI

Al ser an=|A| 6= 0,

I=−a0 anA

n₋a1

anA

n−1₋a2

anA

n−2_{− · · · −}an−1

an A

Multiplicando por A−1

A−1₌₋a0

anA

n−1₋a1

anA

n−2₋ a2

anA

n−3_{− · · · −}an−1

an I

6.

Matrices diagonalizables.

Definici´on 12 (Matriz diagonalizable) Sea A ∈ Mn(K). Diremos que A es diagonalizable sobre K

si es semejante a una matriz diagonal.

Dada una matrizA∈Kn_{, queremos ver si es semejante a una matriz diagonal, es decir, si∃P ∈M} n tal

queP−1_{AP =D.}

Supongamos

P = 

   

 X1 X2 . . . Xn 

   

 D=D{d1, . . . , dn}=     

d1

d2

. .. dn

    

Si σ(A) = {λ1, λ2, . . . , λn} y existe una base deAλ formada por autovectoresB={~x1, ~x2, . . . , ~xn},

entonces se verifica queP−1_{AP =D{λ}

1, . . . , λn}.

Rec´ıprocamente, si A es diagonalizable, entonces ∃P ∈ Mn tal que P−1AP = D y, por lo tanto,

B={~x1, ~x2, . . . , ~xn}, donde las coordenadas de cada vector x~i vienen dadas por las componentes de la

columnaide la matrizA, es una base formada por autovectores.

As´ı pues, es bastante importante obtener la mencionada base formada por autovectores. ¿Es siempre posible encontrar dicha base?

En general, la respuesta esNO.

Teorema 3 La condici´on necesaria y suficiente para que una matriz sea diagonalizable sobre el cuerpo

Kes:

a) que el polinomio caracter´ıstico se pueda factorizar en K

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7.

Forma can´

onica de Jordan.

Hasta ahora hemos visto cu´ando una matriz es diagonalizable. Hemos dado condiciones en las cuales una matriz cuadrada A era semejante a una matriz diagonal.

Ahora bien, ese resultado no es siempre posible (basta encontrar autovalores m´ultiples cuya multipli-cidad algebraica no coincida con su multiplimultipli-cidad geom´etrica, o bien que el polinomio caracter´ıstico no se pueda factorizar en el cuerpo en que estemos trabajando).

Ejemplo.- La matriz cuadrada de orden n:

J_λ(n)= 

         

λ 1 0

0 λ 1 0

0 λ 1 0

. .. ... ... ...

0 λ 1 0

0 λ 1

0 λ



         

no es diagonalizable (estas matrices se conocen con el nombre de bloques de Jordan).

El problema es que aunque λtiene multiplicidad algebraica igual an, no da lugar an autovectores independientes sino a uno s´olo.

Finalizaremos con el resultado m´as conocido para matrices no diagonalizables: el teorema de Jordan. Este teorema prueba que cualquier matriz cuadrada es semejante a una matriz formada por bloques de Jordan.

Teorema 4 Sea A una matriz cuadrada. Entonces existen r autovaloresλ1, λ2, . . . , λr (que pueden ser

iguales) yrn´umeros naturales m1, m2, . . . , mrtales queAes semejante a la matriz diagonal por bloques:

J =      

J(m1)

λ1

J(m2)

λ2 . ..

J(mr) λr

     

Esta matriz recibe el nombre deforma can´onica de Jordande la matrizA. En ella un mismo autovalor λaparece en tantos bloques como indicamg(λ) y el n´umero de veces que aparece en la diagonal deJ es

ma(λ).

Si P es la matriz que reduceAa su forma de Jordan, entonces sus m1primeras columnas satisfacen:

Ax1=λ1x1, i.e., x1es un autovector correspondiente a λ1

Axi =λ1xi+xi−1 i= 2,· · · , m1

Los vectores xi (i = 2, . . . , m1) se llaman autovectores generalizados de A, y la sucesi´on x1,· · ·, xm1 se dice que es una cadena de Jordan correspondiente a λ1. Naturalmente, cada bloque tiene su cadena

correspondiente.

P−1_{AP =B=}       

D I2

D I2

. .. ... D I2

D       

siendo D = ·

a b −b a

¸

e I2 =

· 1 0 0 1

¸

para λ=a±ib, pues si λ es un autovalor, tambi´en lo es su conjugado ¯λ y con la misma multiplicidad.

Para clarificar los conceptos veamos un ejemplo:

Sea A una matriz cuadrada de orden 9 con λ1 autovalor real simple siendo~x1 su correspondiente

autovector,λ2 autovalor real doble siendo~x2 su autovector y~x3su autovector generalizado,λ3=a+ib

autovalor complejo simple y~x4=~u1+i~v1su correspondiente autovector y por ´ultimoλ4=c+idautovalor

complejo doble con~x5=~u2+i~v2 como autovector y~x6=~u3+i~v3 como autovector generalizado:

A~x1=λ1~x1

A~x2=λ2~x2

A~x3=λ2~x3+~x2

A~x4=λ3~x4⇐⇒A(~u1+i~v1) = (a+ib)(~u1+i~v1)⇐⇒

½

A~u1=a~u1−b~v1

A~v1=b~u1+a~u1

A~x5=λ4~x5⇐⇒A(~u2+i~v2) = (c+id)(~u2+i~v2)⇐⇒

½

A~u2=c~u2−d~v2

A~v2=d~u2+c~u2

A~x6=λ4~x4+~x5⇐⇒A(~u3+i~v3) = (c+id)(~u3+i~v3) + (~u2+i~v2)⇐⇒

½

A~u3=c~u3−d~v3+~u2

A~v3=d~u3+c~u3+~v2

En definitiva, AP=PB siendoP =     .. . ... ... ... ... ... ... ... ... ~x1 ~x2 ~x3 ~u1 ~v1 ~u2 ~v2 ~u3 ~v3

.. . ... ... ... ... ... ... ... ...    y B =              

λ1 _·

λ2 1

λ2 ¸ · a b −b a ¸     · c d −d c ¸ · 1 0 0 1 ¸ · c d −d c ¸                  

8.

M´

etodo de Caros para el c´

alculo de

J

1o¯ Se calculan los autovalores de A λ1, λ2, · · ·, λk con sus multiplicidades correspondientes

m1, m2, · · · , mk

2o¯ Para cada autovalor λ de multiplicidad m se calculan los rangos de las matrices (A−λI)p _(a

lo sumo habr´ıa que calcular la potencia (A−λI)m

rg(A−λI) = r1 →x1 = n−r1 si x1 < m, seguimos

rg(A−λI)2 _=r

2 →x2 = r1−r2 si x1+x2 < m, seguimos

..

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x1 + x2 + · · · + xp = multiplicidad de λ

3o¯ Al valor propio λ le corresponden:

x1 − x2 bloques de Jordan de orden 1

x2 − x3 bloques de Jordan de orden 2

..

. ... ...

xp−1 − xp bloques de Jordan de orden p − 1

xp bloques de Jordan de orden p

9.

C´

alculo de

P

Una vez calculada la matriz J por el m´etodo de CAROS, procedemos a calcular la matriz P . Para ello, llamemos Nk,λ = N(A − λI)k . Tomemos un vector

~vi ∈ Ni,λ \ Ni−1,λ

o lo que es lo mismo, un vector para el cual, seg´un el m´etodo de CAROS, exista un bloque de Jordan de orden i.

Una vez obtenido v~i , calculamos:

~vi−1 = (A − λI)~vi

~vi−2 = (A − λI)~vi−1

· · · ·

~v2 = (A − λI)~v3

~v1 = (A − λI)~v2

y el vector ~v1 resulta ser un autovector de A (o una combinaci´on lineal de ellos) y los vectores

{~vj}j = 2,· · ·, i son sus autovectoresgeneralizados.

Esta operaci´on se repite para cada bloque de Jordan que nos indique el m´etodo de CAROS, obteniendo as´ı m autovectores (propios o generalizados) asociados al autovalor λ.

Ejercicios

1. Calcular los autovalores y subespacios invariantes asociados a las matrices: A=



 _{−1 3 1}1 2 0 0 1 1



 _B=



 5 0_{0 3} −4₀ 2 0 −1





2. Diagonalizar las siguientes matrices, calculando la matriz de paso A=



 1 0_{0 1} −2₋₄ 0 0 −1



 _B=



 −7₋₅ −5₂ −5₋₄ −5 −4 2





3. Determinar la matrizA= (1ad2be3cf de manera que admita por autovectores a los vectores (1,0,1), (-1,1,0) y (0,1,-1).

4. Sea la matrizA= 

 a_b 1₂ p_q c −1 r



_.

Sabiendo que admite como autovectores (1,1,0), (−1,0,2), (0,1,−1), hallar los autovalores y los elementos de la matriz.

5. SeaA= 

 _{−1 2 1}1 0 2 1 1 2



_{. ExpresarA}−1_{en funci´on deI}

3 y deA.

6. Dada la matrizA= 

 1_{a −2}0 1₂

3 0 −1



_.

a) Calcular los valores deapara los queAes diagonalizable.

b) Para dichos valores dea, calcular los autovalores y los autovectores deA−1_.

c) Para dichos valores de a, calcularAn_.

7. Dada la matrizA= 

 3_{3 −1}0 a_b −2 0 c

 

a) CalcularAde forma que (2,0,−1) sea un autovector cuyo autovalor correspondiente esλ=−1. b) Hallar los dem´as autovalores y autovectores.

8. Estudiar para qu´e valores de los par´ametrosayb, la matriz A=



 5_{0 −1}0 0_b

3 0 a



_{es diagonalizable. Calculando:}

a) Forma can´onica de Jordan y matriz de paso para los valores a=−1 y b= 1.

b) Forma can´onica de Jordan y matriz de paso paraa= 1 yb= 10. Calcular en este casoA129_.

9. a) Determinar una matriz Acuadrada de orden tres, sabiendo que tiene por autovaloresλ=−1 (doble) y λ = 0 y siendo los autovectores para λ=−1 el (1,−2,1) y su vector asociado es (0,1,0) y el autovector asociado aλ= 0 es (1,-2,0).

b) Dada la matrizA= (111011000 , obtener la forma can´onica de Jordan y su matriz de paso.

10. Sabiendo que la matriz A = 

 0_{1 0}c a_b 

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11. Estudiar, seg´un los diferentes valores deayb, la diagonabilidad de la matriz

A=    

11 0 −9

9 a b

12 0 b

   .

Obtener la forma de Jordan y la matriz de paso paraa= 2 yb= 3. 12. Dada la matriz

A= 

 2α₀+ 4 1₄−₋α_α −2α₀

0 0 4





(a) Estudiar para qu´e valores deαes diagonalizable.

(b) Calcular la forma can´onica de Jordan y la matriz de paso paraα= 0.

13. Hallar la forma can´onica de Jordan de la matriz, calculando la matriz de paso, de las matrices:

A= 

  

2 0 2 0

1 2 0 −2

0 0 2 0

0 0 1 2



 

 B=



  

2 0 1 0 3 2 0 1 0 0 2 0 0 0 3 2



  

14. Resolver la ecuaci´on en diferenciasZn =Zn−1−1

2Zn−2 con valores inicialesZ1= 2 yZ2= 1 15. Resolver la ecuaci´on en diferencias dada por xn = 3xn−1+ 4xn−2, conx1= 1 y x2= 4.

16. Obtener la expresi´on general de la sucesi´on{Xn}dada por la ecuaci´on en diferenciasXn= 2n−1+

3Xn−2,X1= 1, X2= 2.