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Simulación de propagación de ondas en fibra óptica método FDTD (Finite-Difference Time-Domain)

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Academic year: 2020

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(1)SIMULACIÓN DE PROPAGACIÓN DE ONDAS EN FIBRA ÓPTICA MÉTODO FDTD 'FINITE-DIFFERENCE TIME-DOMAIN'. NICOLÁS DÍAZ RACHE. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERIA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA BOGOTÁ, D. C . 2003.

(2) IEL1-2002-II-07. SIMULACIÓN DE PROPAGACIÓN DE ONDAS EN FIBRA ÓPTICA MÉTODO FDTD: 'FINITE-DIFFERENCE TIME-DOMAIN'. Tesis para optar al título de Ingeniero Eléctrico. Autor: NICOLAS DIAZ RACHE. Asesor: Ing. NESTOR M. PEÑA. UNIVERSIDAD DE LOS ANDES FACULTAD DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA BOGOTÁ D.C . 2003. 2.

(3) AGRADECIMIENTOS Agradezco a Dios por haberme dado los elementos necesarios para llegar hasta esta instancia de mi vida. Agradezco a mis Padres por haberme dado todo el apoyo necesario a lo largo de esta etapa de estudios universitarios. Agradezco al sistema de bibliotecas de la Universidad de los Andes, en especial a la Sala Virtual por su desinteresada y oportuna colaboración. Agradezco por ultimo, al ingeniero Néstor Peña, por sus enseñanzas en las áreas de electromagnetismo y telecomunicaciones, así como por sus valiosos aportes para el desarrollo y la culminación de este proyecto..

(4) IEL1-2002-II-07. A mi Hijo, Samuel. A Mi Amor, Alexandra. 2.

(5) IEL1-2002-II-07. TABLA DE CONTENIDO 1. INTRODUCCION. 5. 2. MARCO TEORICO. 8. 2.1 ECUACIÓN DE PROPAGACION DE ONDA 2.1.1 ECUACIÓN DE ONDA EN UNA DIMENSIÓN 2.1.2 RELACIÓN DE DISPERSIÓN 2.1.3 VELOCIDAD DE FASE 2.1.4 VELOCIDAD DE GRUPO 2.2 ECUACIONES DE MAXWELL 2.2.1 ECUACIONES DE MAXWELL EN TRES DIMENSIONES 2.2.2 ECUACIONES DE MAXWELL - REDUCCIÓN A UNA DIMENSIÓN 2.3 DIFERENCIAS FINITAS 2.3.1 RELACIÓN DE DISPERSIÓN NUMÉRICA. 8 8 9 10 11 11 13 14 17 20. 3. FIBRA OPTICA. 23. 3.1 RESEÑA HISTÓRICA 3.2 FIBRA OPTICA: MEDIO DISPERSIVO Y NO LINEAL 3.2.1 DISPERSIÓN 3.2.2 NO-LINEALIDAD 3.3 ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN FIBRA ÓPTICA. 23 24 24 25 26. 4. SOLITONES. 29. 4.1 4.2. 29 32. RESEÑA HISTÓRICA SOLITONES OPTICOS. 5. METODO FDTD: DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 35 5.1 INTRODUCCION AL METODO FDTD 5.1.1 CARACTERÍSTICAS DEL MÉTODO FDTD 5.1.2 CLASES DE ALGORITMOS PARA TÉCNICAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 5.1.3 ASPECTOS COMPUTACIONALES DEL MÉTODO FDTD. 3. 35 36 37 37.

(6) IEL1-2002-II-07. 5.2 METODO FDTD 5.2.1 CELDA CÚBICA DE YEE 5.3 ALGORITMO FDTD 1-D 5.3.1 ALGORITMO BÁSICO: MEDIO IDEAL 5.3.2 ALGORITMO FDTD: MEDIO DISPERSIVO 5.3.2.1 Medio con Dispersión de Debye 5.3.2.2 Medio con Dispersión de Lorentz 5.3.3 ALGORITMO FDTD : DISPERSIÓN Y NO-LINEALIDAD. 38 40 44 45 47 48 52 55. 6. ESTUDIO DE SOLITONES: METODO FDTD. 62. 6.1 SOLITÓN: CASO DE REFERENCIA 6.2 VARIACION EN LOS PARAMETROS DEL METODO FDTD. 6.2.1 Parámetro De Longitud De Celda 6.2.2 Parámetro De Estabilidad De Courant 6.3 VARIACION EN LOS PARAMETROS DEL SOLITON. 6.3.1 TIPO DE PULSO INCIDENTE 6.3.2 VARIACIONES EN EL MEDIO 6.3.2.1 Variación De Las Características Dispersivas Del Medio 6.3.2.2 Variaciones De Las Características No Lineales Del Medio. 62 63 63 66 69 69 80 81 88. 9. OBSERVACIONES. 95. 10. CONCLUSIONES DEL PROYECTO. 97. REFERENCIAS. 99. ANEXO A: Código en C++. 87. ANEXO B: Simulaciones: Medio Ideal. 97. ANEXO C: Simulaciones: Medio Dispersivo. 103. ANEXO D: Simulaciones: Medio Dispersivo y No lineal. 109. 4.

(7) IEL1-2002-II-07. 1. INTRODUCCION En esta, la denominada Era de las telecomunicaciones, en donde la sociedad se mueve a un ritmo frenético, donde gracias a los estudios en diversas áreas y al desarrollo de la tecnología que permita el aprovechamiento de todo este conocimiento, podemos comunicarnos a grandes distancias transmitiendo cantidades de información en cuestión de segundos, información en la que van desde fríos datos, pasando por notas de interés general así como información clasificada, hasta llevar mensajes con cálidos sentimientos inmersos en ceros y unos; pero a su vez, una sociedad acelerada y cambiante en donde los requerimientos son cada vez más exigentes; los aspectos como la capacidad de transmisión de datos, la velocidad a la cual estos puedan ser enviados, y la equivalencia entre los datos transmitidos y los recibidos, se vuelven los más relevantes en cuanto a sistemas de comunicaciones se refiere, para suplir adecuadamente las necesidades que esta sociedad ávida de información instantánea demanda. Ha sido la fibra óptica, uno de los principales, si no el principal, engranaje en todo este sistema que conforma la Era de las telecomunicaciones. Este dispositivo, que ha evolucionado, desde la década de los 70´s hasta la actualidad, tratando de acomodarse cada vez más a los requerimientos de la sociedad pero a su vez, también creando más necesidades, aumentando su capacidad, velocidad, y eficiencia en el transporte de la información. Los avances en esta área continúan, y apuntan siempre hacia el desarrollo de sistemas más eficientes, veloces y capaces para transmitir información, ¡mucha mas información!. Para esto, y en general, la ingeniería a dispuesto de herramientas de simulación basadas en modelos matemáticos, que permitan el estudio de los fenómenos físicos, así como el comportamiento de estos bajo diversas condiciones, sin tener que incurrir en excesivos costos (tiempo y dinero) en construcción de prototipos que a su vez cumplirían con el mismo objetivo de las simulaciones. En el caso de las ondas electromagnéticas y su propagación en diversos medios,. 5.

(8) IEL1-2002-II-07. los estudios comienzan con las ecuaciones de Maxwell. Para su estudio, se han desarrollado herramientas computacionales de simulación utilizando diferentes métodos, como el desarrollo en ecuaciones integrales, métodos en el dominio de la frecuencia, y métodos en el dominio del tiempo. Por otra parte, el estudio de propagación de ondas, en un medio con características dispersivas y no lineales, conduce al estudio de un fenómeno de ondas llamado Soliton Optico, el cual se da por la interacción del efecto de dispersión y el efecto de no-linealidad, para formar un pulso estable en forma y amplitud. La fibra óptica, tiene las características esenciales (dispersión y no-linealidad) para que se de la formación de estos pulsos, que han aportado al desarrollo de los sistemas de telecomunicaciones en fibra óptica y a suplir los requerimientos del transporte de información. El desarrollo de la presente investigación, esta basado en el estudio de la fibra óptica [1], y el comportamiento de las ondas electromagnéticas [3] en este dispositivo, específicamente el fenómeno Solitón [2], utilizando un método de simulación en el dominio del tiempo, adoptado por la ingeniería en la década de los 90's, llamado FDTD (Finite-Difference Time-Domain.) [2,4-9] El presente documento recopila el trabajo realizado a lo largo del proyecto, y se presenta siguiendo la secuencia general desarrollada durante el mismo. En el capitulo 2, se introduce un marco teórico con los elementos básicos de diferencias finitas y ecuaciones de Maxwell. Después se presenta un estudio en los temas principales: fibra óptica, solitones, y FDTD. De los 2 primeros, se presenta una breve reseña histórica, las características, y los fundamentos matemáticos de cada uno, en los capítulos 3 y 4 respectivamente. En el capitulo 5 se estudia el método FDTD, comenzando con las características básicas, después se presenta la implementación del método para un medio ideal (Conductor Perfecto), luego la implementación para medios dispersivos, y por ultimo el algoritmo para medios con dispersión y no-linealidad. En el capítulo 6 se hace el estudio del fenómeno de los solitones utilizando el algoritmo FDTD implementado para medios no lineales y dispersivos. En el capitulo 7, se presentan las principales observaciones con respecto al fenómeno estudiado. Por ultimo, en el capitulo 8 presenta las conclusiones con respecto al proyecto en general.. 6.

(9) IEL1-2002-II-07. 2. MARCO TEORICO Esta reseña teórica incluye aspectos como la ecuación de onda, ecuaciones de Maxwell, y diferencias finitas. Los dos primeros, básicos en la teoría de propagación de ondas, y el tercero, la herramienta base para entender el algoritmo FDTD (Diferencias finitas en el dominio del tiempo). 2.1. ECUACIÓN DE PROPAGACION DE ONDA. La Ecuación de Propagación de Onda [2] y sus conceptos básicos de propagación serán de gran ayuda para entender el comportamiento de las ondas en determinado medio. Estos ayudarán también para exponer algunos conceptos que serán mas adelante utilizados en el estudio del método FDTD.. 2.1.1 Ecuación De Onda En Una Dimensión Para empezar, se toma la Ecuación de Onda en su forma general para una dimensión, (t es el tiempo, x el espacio y c la velocidad de la luz): 2 ∂ 2u 2 ∂ u = c ∂t 2 ∂x 2. (2.1). Para hallar las soluciones de esta ecuación diferencial con derivadas parciales de segundo orden, considérese la ecuación de la siguiente forma: u ( x, t ) = F ( x + ct ) + G ( x − ct ). (2.2). Para verificar que esta ecuación (2.2) es solución de la ecuación de onda, se hace un desarrollo de cálculo, este consiste en tomar las segundas derivadas parciales con respecto al tiempo y el espacio, cada uno por aparte, y remplazar en la ecuación de onda para verificar que se cumple, así: Tomando la primera y segunda derivada con respecto a x de u(x,t). 8.

(10) IEL1-2002-II-07. ∂u ∂F ( x + ct ) ∂ ( x + ct ) ∂G( x − ct ) ∂( x − ct ) = + = F ′( x + ct ) + G ′( x − ct ) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂2 u ∂F ′( x + ct ) ∂ ( x + ct ) ∂G′( x − ct ) ∂ ( x − ct ) = + = F ′′( x + ct ) + G′′( x − ct ) ∂x 2 ∂x ∂x ∂x ∂x. (a). Ahora la primera y segunda derivada respecto al tiempo de u(x,t) ∂u ∂F ( x + ct ) ∂ ( x + ct ) ∂G( x − ct ) ∂ ( x − ct ) = + = cF ′( x + ct ) − cG ′( x − ct ) ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t ∂ 2 u c∂F ′( x + ct ) ∂ ( x + ct ) c∂G′( x − ct ) ∂ ( x − ct ) = − = c 2 F ′′( x + ct ) + c 2 G ′′( x − ct ) 2 ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t. (b). Remplazando (a) y (b) en (2.1) se verifica que la ec. (2.2) es solución de la Ecuación de Onda (2.1) c 2 F ′′( x + ct ) + c 2 G′′( x − ct ) = c 2 [F ′′( x + ct ) + G ′′( x − ct )] F y G se conocen como las soluciones de propagación de onda.. 2.1.2 Relación De Dispersión Dispersión 1: Variación de la longitud de onda λ de una onda propagándose con frecuencia f . También es definida por conveniencia como la variación del numero de onda k = 2π λ de una onda propagándose con frecuencia angular. ω = 2πf . De una manera mas simple, dispersión significa, en propagación de onda, que cuando una onda es enviada a través de una estructura, si esta tiene diferentes componentes de frecuencia, cada una de estas componentes viaja a diferente velocidad, entonces al final de la estructura llegaran mas espaciadas de lo que empezaron cuando entraron en el medio de propagación.. 1. Ref. [2] pag. 36.. 9.

(11) IEL1-2002-II-07. Se puede hacer un análisis matemático para la ecuación de onda en una dimensión (2.1). Para esto consideramos la solución de la ecuación de onda como una onda senosoidal, escrita en forma fasorial.. u ( x , t) = e. j ( ω t − kx ). (2.3). Derivando parcialmente u(x,t) en forma fasorial, 2 veces con respecto al tiempo; y también derivando u(x,t) , 2 veces con respecto a la posición se obtienen las siguientes expresiones :. ∂u = ( jω )e j ( ωt −kx ) ∂t. ∂u = ( − jk )e j ( ωt −kx ) ∂x. ∂ 2u 2 j (ωt − kx ) 2 = ( j ω) e ∂t. ∂ 2u 2 j (ω t − kx ) 2 = ( − jk ) e ∂x. Remplazando en la ecuación de onda (2.1). ( j ω ) 2 e j (ω t −kx ) = c 2 (− jk ) 2 e j ( ωt −kx ) ( j ω ) 2 = c 2 ( − jk ) 2 se obtiene. ω 2 = c2 k 2. k =±. ω c. (2.4). Esta ecuación (2.4) muestra que el número de onda k, es directamente proporcional a la frecuencia de la onda. A partir de este se pueden obtener los valores para la velocidad de fase y velocidad de grupo.. 2.1.3 Velocidad De Fase La velocidad de fase se define como la velocidad que lleva el plano formado por los campos E y H. Este plano es perpendicular a la dirección en la que la onda se va propagando. A partir de la Relación de dispersión (2.4) se obtiene la expresión para la Velocidad de fase de la onda que matemáticamente es definida como:. 10.

(12) IEL1-2002-II-07. vp =. ω k. (2.5). y para el caso de la ecuación de onda en una dimensión (2.1): vp =. ω ω = = ±c k ±ω c. Lo que indica que la velocidad de fase es constante, significando que todos los planos de onda se mueven con la misma velocidad, en este caso la de la luz. Si esta condición se cumple se dice que no hay dispersión de onda.. 2.1.4 Velocidad De Grupo También se puede obtener a partir de la ecuación (2.4) la velocidad de grupo o también llamada velocidad de energía, definida por: dω vg = (2.6) dk Para la ecuación de onda en una dimensión, considerando la frecuencia angular como función del número de onda y derivando con respecto a este: 2ω. 2.2. dω = c 2 ( 2k ) dk. →. vg =. dω c 2 c 2  ω = ( 2k ) =  ±  = ±c dk 2ω ω  c. ECUACIONES DE MAXWELL. Se presentan las Ecuaciones de Maxwell [2] [3]; estas son las que describen el comportamiento de los campos electromagnéticos y la relación que hay entre estos. Las ecuaciones de Maxwell en su forma diferencial, para regiones en las cuales no hay fuentes de carga eléctricas o magnéticas, están dadas por: Ley de Faraday. Ley de Ampere. 11.

(13) IEL1-2002-II-07 r r r ∂B = −∇ × E − M ∂t. r r r ∂D =∇×H −J ∂t. (2.7). Ley de Gauss para campo Eléctrico Magnético v ∇⋅D = 0. Ley. de. gauss. v ∇⋅B = 0. (2.9). (2.8). para. campo. (2.10). Para medios Lineales (independientes del campo), isotrópicos (independientes de la dirección), y no dispersivos (independientes de la frecuencia) se tienen las siguientes relaciones constitutivas, así: v v v D = εE = εr ε0 E. v v v B = µH = µr µ0 H. (2.11). (2.12). ε : Permitividad eléctrica (farads/ m) µ: Permeabilidad magnética (henrys/m) También se puede decir que la densidad de corriente eléctrica J y el equivalente en corriente magnética M, pueden actuar como fuentes independientes de la energía de los campos E y H. Así mismo, para materiales isotrópicos, con pérdidas magnéticas y eléctricas no dispersivas, que atenúan los campos E y H convirtiendo la energía en calor, se pueden relacionar los respectivos campos con J y M, así: v v v J = J source + σE. v v v M = M source + σ ∗ H. (2.13). (2.14). σ : Conductividad eléctrica (siemens/m) σ∗ : Perdidas magnéticas equivalentes (ohm/m) Suponiendo que no hay fuentes independientes y que no hay perdidas en el material. v v J source = M source = 0 σ = σ* = 0 Teniendo en cuenta estas condiciones y las relaciones constitutivas, las ecuaciones de Maxwell, para un medio lineal, isotrópico, no dispersivo y sin perdidas quedan:. 12.

(14) IEL1-2002-II-07 v v ∂H 1 = − ∇×E ∂t µ. (2.15). v v ∂E 1 = ∇×H ∂t ε. (2.16). 2.2.1 Ecuaciones De Maxwell En Tres Dimensiones Operador Gradiente:.  aˆ v  x ∇ × U =  ∂ ∂x U x . aˆ y ∂. ∂y. Uy. aˆ z    ∂U z ∂U y ∂ − ∂z  =  ∂y ∂z  U z .   ∂U x ∂U z − aˆ x +  ∂x  ∂z .  ∂U y ∂ U x   aˆ y +  ∂x − ∂ y  aˆ z   . Desarrollando las operaciones respectivamente en las ecuaciones (2.15, 2.16) se obtienen las seis componentes de los campos electromagnéticos en coordenadas rectangulares. Estas son las ecuaciones básicas para desarrollar el método FDTD en 3 dimensiones para un medio con características ideales, es decir, lineal, no dispersivo y sin perdidas.. (2.17.a) (2.17.b) (2.17.c). (2.18.a) (2.18.b) (2.18.c). ∂H x 1  ∂E ∂E  =  y − z ∂t µ  ∂z ∂y  ∂H y 1  ∂E z ∂E x  =  − ∂t µ  ∂x ∂z  ∂H z 1  ∂E x ∂E y  =  −  ∂t µ  ∂y ∂x . ∂E x 1  ∂H z ∂H y  =  −  ∂t ε  ∂y ∂z  ∂E y 1  ∂H x ∂H z  =  − ∂t ε  ∂z ∂x  ∂E z 1  ∂H y ∂H x  =  −  ∂t ε  ∂x ∂y . Para ver la relación de este grupo de ecuaciones con la ecuación de onda, por facilidad se reducirá el sistema a una dimensión, esto se ve en la siguiente sección.. 13.

(15) IEL1-2002-II-07. 2.2.2 Ecuaciones de Maxwell - Reducción a una Dimensión Se asume que la estructura que se esta modelando no tiene ninguna variación en la dirección y ni en z, y que los campos son uniformes en esas direcciones, entonces se puede asumir que las derivadas parciales de cada campo con respecto a estas variables son cero. Las ecuaciones (2.17) y (2.18). quedan de la siguiente manera: ∂H x =0 ∂t ∂H y 1  ∂E z  =  ∂t µ  ∂x . ∂E x =0 ∂t ∂E y 1  ∂H z  = − ∂t ε  ∂x . ∂H z 1  ∂E y  = −  ∂t µ  ∂x . ∂E z 1  ∂H y  =   ∂t ε  ∂x . Suponiendo que la onda se propaga solamente en la dirección x, y sabiendo que los vectores de campo E y H en un instante t forman un plano normal a la dirección de propagación, podemos decir que ninguno de los dos campos tiene componente en esta dirección. Es decir que E x = 0 y H x = 0 , y sus respectivas derivadas respecto a x también son cero. En estas condiciones se tienen 2 casos distintos de propagación de onda en la dirección x : Modo Transversal electromagnético con polarización en Y Modo Transversal electromagnético con polarización en Z Modo TEM - Polarización En Y La polarización la determina la dirección del campo E. Como se refiere a polarización en y, quiere decir que el vector de campo Eléctrico solo apunta en esta dirección. Como se dijo antes, E y H deben formar un plano perpendicular a la dirección de propagación, entonces la única componente de H debe apuntar en dirección z, como se ve en el siguiente esquema. Ey. z x. X. y 14. Hz.

(16) IEL1-2002-II-07. Y las 2 ecuaciones que modelan este modo de propagación en la dirección x son: ∂E y. 1  ∂H z  − ε  ∂x . (2.19). ∂H z 1  ∂E y  = − ∂t µ  ∂x . (2.20). ∂t. =. Ahora, se verificara que las ecuaciones de estos modos de propagación, responden al comportamiento de la ecuación de onda Ecuación De Onda Para El Campo Ey: Para comprobar la equivalencia del modo TEM con polarización en y propagándose en la dirección x, con la ecuación de onda, sabemos que: c= 1. µε. →. c2 =. 1 µε. Tomando la derivada parcial respecto al tiempo en (2.19) y la derivada parcial respecto al espacio en (2.20): ∂  ∂E y  ∂t  ∂t.  ∂  1 ∂H z   =  −   ∂t  ε ∂x . ∂  ∂H z  ∂  1 ∂E y  −   = ∂x  ∂t  ∂x  µ ∂x . →. →. ∂ 2 Ey ∂t 2. 1 ∂2 H z =− ε ∂t∂x. 2 ∂2 H z 1 ∂ Ey =− ∂x∂t µ ∂x 2. (*). (**). Dado que el sistema es lineal, el orden de la derivación es irrelevante. Entonces remplazando (**) en (*): ∂ 2 Ey ∂t 2. 2 1  1 ∂ E y =− − ε  µ ∂x 2.    . →. 15. ∂2 Ey ∂t 2. =c. 2. ∂2 Ey ∂x 2.

(17) IEL1-2002-II-07. que corresponde a la Ecuación de Onda presentada en la sección anterior (Ec. 2.1). Ecuación de onda para el campo Hz: Tomando la derivada parcial respecto a x en (2.19) y la derivada parcial respecto al tiempo en (2.20): ∂  ∂E y  ∂  1 ∂H z   = −  ∂x  ∂t  ∂x  ε ∂x . →. ∂  ∂H z  ∂  1 ∂E y   = − ∂t  ∂t  ∂t  µ ∂x. →.   . ∂ 2 Ey ∂x∂t. =−. 1 ∂2 H z ε ∂x 2. 2 ∂2 H z 1 ∂ Ey = − ∂t 2 µ ∂t∂x. (·). (··). Utilizamos la linealidad del sistema, podemos remplazar (·) en (··): ∂ 2 Hz 1  1 ∂2 H z = −  − ∂t 2 µ  ε ∂x 2.   . 2 ∂ 2 Hz 2 ∂ Hz =c ∂t 2 ∂x 2. →. se verifica que también corresponde a la Ecuación de Onda (2.1). Modo TEM - Polarización En Z Polarización en z indica que el campo E solo tiene esta componente, y por lo tanto el campo H solo tendrá componente en y, como se ve en el siguiente esquema. z x. Ez. y. Hy. X. Y las 2 ecuaciones que corresponden a este modo de propagación son: ∂E z 1 ∂H y = ∂t ε ∂x. (2.21). 16.

(18) IEL1-2002-II-07. ∂H y ∂t. =. 1 ∂E z µ ∂x. (2.22). La equivalencia de estas ecuaciones con la Ecuación de Onda, se desarrolla de la misma manera que para el modo TEM polarización en Y.. 2.3. DIFERENCIAS FINITAS. Se hace una breve introducción a las diferencias finitas, ya que esta es la base para el método FDTD. Considere la expansión de Taylor para u ( x , t n ) desde un punto xi hasta un punto x i + ∆x en un instante de tiempo fijo t n : u (xi + ∆x ) t = u n. xi , tn. + ∆x ⋅. ∂u ∂x. + xi , tn. (∆x )2 ⋅ ∂ 2 u 2. ∂x 2. +. (∆x )3 ⋅ ∂ 3u ∂x 3. 6. xi , tn. +. (∆x )4 ⋅ ∂ 4 u 24. x i , tn. ∂x 4. ξ1 , t n. Ahora tomando la expansión de Taylor para u ( x , t n ) desde un punto xi hasta un punto x i − ∆x en un instante de tiempo fijo t n : u (xi − ∆x ) t = u n. xi ,tn. − ∆x ⋅. ∂u ∂x. + xi ,tn. (∆x )2 ⋅ ∂ 2u 2. ∂x 2. −. (∆x )3 ⋅ ∂ 3u. x i , tn. ∂x 3. +. 6. (∆x )4 ⋅ ∂ 4 u. xi ,tn. 24. ∂x 4. ξ 2 ,tn. sumando estas 2 ecuaciones se obtiene: u (x i + ∆x ) t n + u (x i − ∆x ) t n = 2u. + (∆ x ) ⋅ 2. xi ,t n. ∂2 u ∂x 2. + xi , t n. (∆ x )4 12. ⋅. ∂ 4u ∂x 4. ξ 3 ,t n. El último término es la suma de los términos de error de cada una de las ecuaciones, en adelante será O[( ∆ x)2 ] . Despejando para el término de interés de la ecuación de onda en una dimensión: ∂ 2u ∂x 2. [. xi ,t n.  u ( x + ∆x ) − 2u ( xi ) + u ( xi − ∆x)  2 = i  + Ο (∆ x ) 2 (∆ x )   tn. 17. ]. (2.23).

(19) IEL1-2002-II-07. Ahora, realizando el mismo análisis en expansiones de Taylor para u ( x , t n ) en un instante t n hasta un instante t n + ∆t en una posición fija x i . u (t n + ∆t ) x = u i. tn , xi. + ∆t ⋅. ∂u ∂t. + tn , xi. (∆t )2 ⋅ ∂ 2u. +. ∂t 2. 2. t n , xi. (∆t )3 ⋅ ∂ 3u. +. ∂t 3. 6. t n , xi. (∆t )4 ⋅ ∂ 4 u ∂t 4. 24. ξ1 , xi. Para u ( x , t n ) en un instante t n hasta un instante t n − ∆t en una posición fija x i . u (t n − ∆t ) x = u t i. n,xi. − ∆t ⋅. ∂u ∂t. + t n , xi. (∆t )2 ⋅ ∂ 2 u. −. ∂t 2. 2. t n,xi. (∆t )3 ⋅ ∂ 3u. +. ∂t 3. 6. t n , xi. (∆t )4 ⋅ ∂ 4 u ∂t 4. 24. ξ2 , x i. sumando estas dos ecuaciones se obtiene: u (t n + ∆t ) xi + u (t n − ∆t ) xi = 2u t n , xi. ∂ 2u + (∆ t ) ⋅ 2 ∂t. +. 2. t n , xi. (∆ t )4 12. ⋅. ∂ 4u ∂t 4 ξ. 2 , xi. El último término es la suma de los términos de error de cada una de las ecuaciones, en adelante este término será O[( ∆ t)2 ] . Despejando para el término de interés de la ecuación de onda en una dimensión:. [.  u (t + ∆t ) − 2u (t n ) + u (t n − ∆t )  ∂ 2u 2 = n  + Ο (∆ t ) 2 2 ∂ t t n , xi  (∆ t )  xi. ]. (2.24). remplazando (2.23) y (2.24) En la ecuación de onda (2.1). (2.25).   u (t n + ∆t ) − 2u (t n ) + u (t n − ∆t )  2 2 2  u ( x i + ∆x ) − 2u ( x i ) + u ( xi − ∆x )    + Ο (∆t ) = c    + Ο (∆x) 2 2 (∆t ) (∆x )  x   t. [. ]. [. i. n. . ] . por conveniencia se adoptara el subíndice i para la posición en el espacio, y el superíndice n para el instante de observación. Con esta notación u in denota el valor del campo calculado en el punto del espacio x i = i ∆x en el momento t n = n∆t . Reescribiendo (2.25) se tendrá la ecuación de onda como una expresión en diferencias finitas:. 18.

(20) IEL1-2002-II-07. [. ]. [. ]. n n n uin +1 − 2uin + uin −1 2 2  2  ui +1 − 2ui + u i −1 ( ) ( ) + Ο ∆ t = c + Ο ∆ x   (∆ t )2 (∆x )2  . (2.26). Esta aproximación es de segundo orden de precisión en el espacio y el tiempo. [. ]♠. como lo indican los términos de error O (∆t )2 + (∆x )2 . Despreciando estos términos de error de las expansiones de Taylor, y resolviendo para el término de valor de campo en el instante siguiente (n+1), en la posición de actual i:. u. n +1 i.  u in+1 − 2u in + u in−1  n n−1 ≅ c (∆t )   + 2u i − ui 2 (∆x )   2. 2. (2.27). Esta es una expresión completa de solución numérica para la ecuación de onda (2.1) , teniendo en cuenta que todos los términos del lado derecho de la ecuación son conocidos ya sea del instante anterior n-1, o del instante actual n. En la figura siguiente se muestra un esquema que explica claramente de donde provienen los términos del lado derecho de la ecuación, para la obtención del valor en la posición actual (i), en el instante siguiente (n+1).. n-1 n n+1. i-1. i. i+1. i-1. i. i+1. i-1. i. i+1. Fig. 2.1.Esquema de diferencias finitas para u(x,t) en la posición i, en el instante n+1. ♠. Ref. [2] Pag. 39. 19.

(21) IEL1-2002-II-07. Es importante que cada uno de estos términos de la expresión en diferencias finitas de la ecuación de onda quede muy claro para entender de donde sale la solución para el instante siguiente en la posición i-esima: uin+1 uin+1. : Valor de campo en el instante actual n en la posición siguiente i+1.. u. : Valor de campo en el instante actual n en la posición actual i.. uin−1. : Valor de campo en el instante actual n en la posición anterior i-1.. uin −1. : Valor de campo en el instante anterior n-1 en la posición actual i.. ∆t ∆x. : Tamaño de las discretizaciones en el tiempo. : Tamaño de las celdas de la malla.. n i. Este proceso de solución numérica esta en el dominio del tiempo, y es un proceso iterativo en t, por lo tanto los términos del instante anterior deben estar guardados en la memoria del computador, y los valores de campo del instante actual en las posiciones contiguas los dará la malla creada para determinada superficie. Continuando con el proceso iterativo, después de obtener uin+1 , y de haber actualizado los datos en la memoria se puede obtener u in+2 . Repitiendo el proceso un numero n de veces se obtiene la solución numérica FDTD para la ecuación de onda.. 2.3.1 Relación De Dispersión Numérica En una malla de diferencias finitas, se presenta dispersión numérica [2], basada en el mismo principio de la dispersión en un medio. Esto significa que diferentes modos de la onda numérica se propagan a diferente velocidad, y la onda se dispersa numéricamente. Haciendo el mismo análisis en el tiempo que se hizo para la ecuación de onda en una dimensión: ~. u in = e j (ω n∆ t −k i∆x ) ahora remplazando en la solución numérica para la ecuación de onda (Ec. 2.27). 20.

(22) IEL1-2002-II-07. e. j[ω(n+1)∆t−~ ki∆x]. 2. {. }. ~ ~ ~ ~ ~  c∆t  =   e j[ωn∆t −k (i +1)∆x] − 2e j[ωn∆t−ki∆x] + e j[ωn∆t −k (i −1)∆x] + 2e j[ωn∆t−ki∆x] − e j [ω( n−1)∆t −ki∆x]  ∆x . que lo podemos rescribir factorizando el termino exponencial para la posición i y el momento n así:. e. j[ωn∆t −k~i∆x ]. {. 2. ⋅e. jω∆t. }. ~ ~ ~  c∆t  j[ωn∆t −~ki∆x] − jk~∆x = e − 2 + e jk∆x + 2e j[ωn∆t −ki∆x] − e j[ωn∆t −ki∆x] ⋅ e − jω∆t  e  ∆x . dividiendo a ambos lados de la igualdad por el termino: e j [ωn ∆ t − k i ∆ x ] ~. e. {. }. ~ c∆t  − j ~k ∆x =  − 2 + e j k ∆x + 2 − e − jω ∆ t  e  ∆x  2. j ω∆ t. Agrupando las exponenciales de tiempo y las del espacio a cada lado de la igualdad, y dividiendo por 2 a ambos lados de la igualdad: 2  e jω ∆t + e − jω ∆t  c∆t   e − j k ∆ x + e j k ∆ x = − 1 + 1   2 2  ∆x    ~. ~. Aplicando la identidad de Euler para exponenciales complejas c∆t  ~ cos (ω∆t ) =   [cos (k ∆x ) − 1] + 1  ∆x  2. (2.28). o despejando k~ :  ∆x  [cos(ω∆t ) − 1] + 1 = cos(k~∆x ) →    c∆t  2.  ∆x  2  ~ cos   [cos (ω∆t ) − 1] + 1 = k ∆x  c∆t   −1. 2   1 ~ −1   ∆ x  k = cos   [cos(ω∆t ) − 1] + 1 ∆x  c∆t  . (2.29). Las expresiones (2.28) y (2.29) corresponden a la relación numérica de dispersión para la ecuación de onda en su forma de diferencias finitas, y como se puede ver es diferente a la relación de dispersión obtenida para la ecuación (2.1). En este. 21.

(23) IEL1-2002-II-07. caso, la propagación y dispersión de la onda numérica dependen, de acuerdo a (2.29) del tamaño de ∆t y ∆x , que son los valores de muestreo en el tiempo y tamaño de las divisiones de la malla respectivamente.. 22.

(24) IEL1-2002-II-07. 3. FIBRA OPTICA Se presentan en esta sección algunos aspectos básicos para entender la propagación en fibra óptica y los efectos a tener en cuenta para la implementación de los efectos dispersivos y no lineales con el algoritmo FDTD.. 3.1. RESEÑA HISTÓRICA. Esta breve reseña historica [1], comienza en 1966, con el desarrollo de las telecomunicaciones en fibra óptica, cuando se realizaron los primeros experimentos de propagación de onda en fibra, estos mostraban perdidas de alrededor de 1000 dB/km. Un gran paso se dio cuando en 1970, cuando las perdidas se redujeron a 20 dB/km. Paralelamente, con la evolución del laser, empieza la carrera comercial de la fibra óptica como medio de transmisión de datos. En 1980, aparece la primera generación de sistemas ópticos de comunicaciones, estos operaban en los 850 nm., y tenían tasas de transmisión de 45 Mb/s, con repetidores cada 10 km. Este tipo de fibra era multimodo. Después de largas investigaciones, que tuvieron comienzo en los años 70´s, y que continuaron en la década de los 80´s, surge en 1987, la primera fibra comercial monomodo, esta marco la segunda generación en sistemas ópticos de transmisión, la longitud de onda de operación era de 1.300 nm. Estos operaban a velocidades de transmisión de 1.7 Gb/s, y se utilizaban repetidores cada 50 km. Las perdidas para este nueva generación se lograron bajar a 0.5 dB/km. Una tercera generación, aparece comercialmente el año de 1990, la ventana de transmisión ahora estaba en 1.550 nm. Las tasas de transmisión aumentaron a 2.5 Gb/s, con regeneración de la señal cada 70 km. La cuarta generación, comienza en 1989 con el descubrimiento de los amplificadores ópticos, en estos nuevos sistemas las perdidas en fibra son compensadas con tramos de la estructura dopados con Erbio. Se realizan experimentos que demuestran la transmisión para vario miles de kilómetros. En 1996, entra en funcionamiento el cable submarino TPC-5, con velocidades de transmisión de 5 Gb/s a través de 11.300 Km. 23.

(25) IEL1-2002-II-07. Una quinta generación, se gesta paralelamente, debido a las necesidades de incrementar las tasas de transmisión, comienza cuando se implementa en estos sistemas de comunicación optica, el sistema WDM (wavelenght división multiplexing). Estos sistemas reciben el nombre de sistemas de comunicaciones multicanal. En 1996, sistemas WDM empiezan a operar, con una capacidad total de 40 Gb/s (8 canales de 5 Gb/s cada uno), en el año 2000, el cable submarino TPC-6 empieza a operar a 100 Gb/s (20 canales de 5 Gb/s cada uno). La sexta generación de los sistemas ópticos de comunicaciones consiste en soluciones al problema de dispersión. Esta etapa es liderada por los sistemas basados en Solitones ópticos. Estos son pulsos que mantienen su forma y amplitud a través de largas distancias. Con este sistema se sobrepasan la barrera de 5 Gb/s por canal. En el año 1997, un experimento muestra que se pueden enviar, con esta técnica, datos con velocidad de 10 Gb/s a través de 9000 km. En el año 2000 entran en funcionamiento los cables interoceánicos TCPN-5, y el TCPN-6, los cuales transmiten información por medio de solitones ópticos. En la actualidad (2002) los sistemas de comunicación por fibra óptica usan, sistemas que operan con el esquema de codificación NRZ (Non return cero) y WDM, o combinaciones entre WDM y tecnología de solitones para alcanzar tasas de transmisión del orden de 100 Gb/s.. 3.2. FIBRA OPTICA: MEDIO DISPERSIVO Y NO LINEAL. 3.2.1 Dispersión Uno de los efectos característicos de la fibra óptica es el de dispersión. En especial el tipo de Dispersión de Lorentz2. Un medio de Lorentz es caracterizado por una función de susceptibilidad compleja en el dominio de la frecuencia, con uno o más polos conjugados complejos a frecuencias separadas. En el caso de la fibra óptica, el medio característico solo tiene un polo complejo conjugado. Se dice que es un medio con dispersión de Lorentz de segundo orden (un par de polos complejos conjugados). La función de susceptibilidad en el dominio de la frecuencia es: χ(ω) =. 2. (εs − ε∞ )ω02 ω02 + 2 j ωδ − ω2. Ref. [2], cap. 9.2. 24. (3.1).

(26) IEL1-2002-II-07. Aplicando la transformada inversa de Fourier se obtiene la respuesta en el tiempo, que corresponde a una señal senosoidal decayendo exponencialmente: χ( t ) =. (εs − ε∞ )ω02 ω −δ 2 0. 2. e −δ t sin. ( ω − δ t) 2 0. 2. (3.2). εs : ε∞ : ω0 :. Permitividad a frecuencia estática o frecuencia cero. Permitividad a frecuencia infinita. Es la frecuencia de resonancia del polo complejo del medio de Lorentz. δ:. Coeficiente de amortiguamiento.. 3.2.2 No-linealidad Uno de los efectos no lineales de gran importancia en la fibra óptica, es el efecto de dispersión no lineal de Raman 3. En este, cuando la luz es dispersada, la frecuencia disminuye. Cuando el foton llega al medio con características no lineales, choca y entrega su energía para que se forme otro foton con menor energía y menor frecuencia. (colisión inelástica) La diferencia de energía es absorbida por el material en forma de vibraciones moleculares, en el caso de la dispersión no lineal de Raman, estas vibraciones se llaman phonones ópticos. A bajos niveles de potencia estos efectos son despreciables, en cambio a altos niveles de potencia estos efectos no lineales producen en la fibra altos niveles de perdidas o deformaciones en la señal enviada a través de esta. Otro efecto no lineal que afecta el comportamiento de la fibra, es el efecto No lineal de Tercer orden de Kerr, en donde transiciones electrónicas virtuales no resonantes, que ocurren en el orden de femtosegundos 4, afectan la forma de la onda. Estos dos efectos son modelados matemáticamente a partir de las ecuaciones que describen el comportamiento no lineal de la fibra óptica, y que veremos más adelante. 3 4. Ref. [1], pag. 60, pag 379 Ref. [5]. 25.

(27) IEL1-2002-II-07. 3.3. ECUACIONES DE PROPAGACIÓN EN FIBRA ÓPTICA. El comportamiento de los campos electromagnéticos en fibra óptica, es descrito por las ecuaciones de Maxwell. Para un medio no conductor y sin cargas libres estas son: v v ∂B = −∇ × E ∂t v ∇⋅D = 0. (3.3). r v ∂D =∇×H ∂t. (3.4). (3.5). v ∇⋅B = 0. (3.6). y las relaciones constitutivas, teniendo en cuenta que es un medio no lineal y dispersivo son: v v r D = ε0 E + P. v v r B = µ0 H + M. (3.7). (3.8). M = 0, por la naturaleza no magnética del silicio, material del que esta hecha la fibra. P es la polarización eléctrica. Esta tiene componentes lineal, y no lineal. P = P L + P NL. (3.9). Teniendo en cuenta que la propagación de onda, en fibra monomodo se da a través de grandes distancias, y si asumimos un modo de propagación Transversal electromagnético (TEM), en donde las componentes transversales se mantienen constantes, el problema lo podemos reducir a una dimensión. De esta manera las ecuaciones para la propagación de onda en una dimensión para fibra óptica quedan de la siguiente forma: ∂H y ∂t. =. 1 ∂E z µ0 ∂x. (3.10). ∂Dz ∂H y = ∂t ∂x. (3.11). 26.

(28) IEL1-2002-II-07. Ez =. Dz − ( Pz L + Pz NL ) ε∞ ε0. (3.12). En donde cada termino de P, tiene su correspondiente ecuación, y sus respectivos parámetros:[5, 6] ∞. PzL ( x, t ) = ε 0 ∫ χ (1) (t − τ )E z ( x, t )dτ. (3.13). −∞. PzNL ( x, t) = ε 0 ∫. ∞. ∫ ∫ [χ ∞. ∞. −∞ −∞ −∞. (3). (t − τ 1 , t − τ , t − τ 3 ) ⋅ E z ( x, τ 1 )E z (x,τ 2 )E z (x,τ 3 ). ]. (3.14). Efecto de Dispersión: El termino PL, es la convolusión entre el campo eléctrico y la función de susceptibilidad de primer orden χ(1 ) (t ) . El termino χ(1 ) representa físicamente el fenómeno de dispersión asociado a la dependencia que hay entre el parámetro de permitividad del medio con la frecuencia. Las características de la fibra óptica responden a un medio simple de Lorentz (un polo, complejo conjugado), para el cual su función de permitividad dependiente de la frecuencia se puede expresar a partir de la función de susceptibilidad de orden 1 Ec. (3.1). − ε∞ )ω02 ε(ω) = ε∞ + χ (ω) = ε∞ + 2 ω0 + 2 jωδ − ω2 (1). (εs. (3.15). Efecto de No-linealidad: El termino P NL , es la convolusión entre el campo eléctrico E y la función de susceptibilidad de tercer orden. El termino χ( 3 ) es el que representa físicamente el comportamiento no lineal del material, teniendo en cuenta los efectos de retardo o memoria. Este termino, y la convolusión proveen la equivalencia a nivel macroscópico del material óptico para los efectos que lideran la no-linealidad. Para el silicio estos ocurren a escalas de tiempo de entre 1 a 100 femtosegundos. En el caso de los materiales ópticos, la no-linealidad se puede expresar como una convolusión simple.. 27.

(29) IEL1-2002-II-07. ∞. Pz NL ( x, t ) = ε0 χ0(3 ) E z ( x, t ) ∫ g (t − τ)[ Ez ( x, t )] 2 dτ −∞. (3.16). Esta ecuación (3.16), solo tiene en cuenta efectos no lineales de tercer orden. Estos son interacción entre phonones (Raman) y efectos electrónicos no resonantes (Kerr). Estos efectos se modelan con las siguientes ecuaciones: g ( t ) = αδ (t ) + (1 − α) g R (t ). (3.17).  τ2 + τ2   t  g R (t ) =  1 2 2  e −t τ 2 sin  U ( t )  τ1τ2   τ1 . (3.18). en donde: χ0( 3 ) : coeficiente que parametriza la fuerza del efecto no lineal de Raman δ (t ) : Función Delta de Dirac que modela las transiciones electrónicas virtuales no resonantes del efecto no lineal de Kerr, las cuales ocurren a ordenes de 1 fs. g R (t ) : Modela el transiente en la dispersión no lineal de Raman. 1 τ1 es la frecuencia del phonon. τ2 es el tiempo de vida del phonon. α : coeficiente que parametriza la relación entre los efectos transitorios de la nolinealidad de Kerr y la no-linealidad de Raman. El valor χ0( 3 ) es el coeficiente de no linealidad que representa la fuerza del efecto de Raman.. 28.

(30) IEL1-2002-II-07. 4. SOLITONES El fenómeno de los solitones es en la actualidad de gran importancia para las telecomunicaciones en fibra óptica. Esto se debe a estabilidad de la forma y amplitud aun en medios dispersivos; así como a su corto ancho de pulso, lo cual favorece la transmisión a mayor velocidad, ya que a menor ancho, mayor cantidad de bits por segundo se pueden enviar.. 4.1. RESEÑA HISTÓRICA. La historia acerca de los solitones se remonta a la era de la revolución industrial (S. XIX), época en la que fue descubierto este fenómeno y en la cual se realizaron los primeros estudios al respecto. El descubrimiento estuvo a cargo de un ingeniero de origen escocés, llamado John Scott Russell (1808-1882). La historia es bastante interesante. 5 Por esos días, el joven ingeniero, se dedicaba al diseño de botes para navegar a través de los canales. Un día de Agosto de 1834, cuando dirigía un experimento para determinar el diseño más eficiente para dichos botes, en el cual un bote era halado por unos caballos desde fuera del canal ocurrió el evento que determino el descubrimiento de los solitones. El siguiente es un extracto del texto escrito por Russell describiendo el descubrimiento: Yo estaba observando el bote, que se movía rápidamente a lo largo del canal, halado por 2 caballos, cuando de repente el bote se detuvo, mas no la masa de agua que se había puesto en movimiento en el canal; esta que se había acumulado alrededor de la proa del barco en estado de violenta agitación, entonces se alejo de este, siguiendo hacia adelante con gran velocidad, tomando la forma de una larga y solitaria elevación, una redondeada, lisa y bien definida cantidad de agua, la cual continuo su curso a lo largo del canal, aparentemente sin ningún cambio de forma o disminución de velocidad. Yo la seguí a caballo y le di alcance mas adelante, y esta continuaba avanzando a una velocidad de ocho o nueve millas por hora conservando su forma de unos treinta pies de largo y cada pie más adelante 5. http://www.ma.hw.ac.uk/~chris/scott_russell.html. 29.

(31) IEL1-2002-II-07. observando la mitad de la altura del anterior. Su altura gradualmente disminuyo, y después de una persecución de unas dos millas, la perdí en las ondulaciones del canal. Fue en el mes de Agosto de 1834 que tuve la primera oportunidad de ver este singular y bonito fenómeno que he llamado La onda de Traslación. Después del descubrimiento, Russell construyo un canal de 30 pies de largo en el patio de atrás de su casa y realizo importantes observaciones de las propiedades de la onda solitaria. En 1844, Russell reporto las observaciones de lo que el había llamado La onda de Traslación a la Asociación Británica de Descubrimientos Científicos. Sin embargo su descubrimiento fue considerado como una curiosidad, pero a nivel científico no tuvo trascendencia en ese momento. Russell, en su reporte, demostró cuatro aspectos principales para la Onda de Traslación: § Una masa suficientemente grande de agua, puede producir dos o más ondas solitarias independientes. § Las ondas solitarias atraviesan a través de otras sin cambio de forma o amplitud. § La velocidad de la onda solitaria depende de su altura. Entre mayor sea la amplitud de la onda, mayor será su velocidad. En la figura 6.1 se ve la recreación de un solitón hecha en 1995. En 1895, Korteweg y de Vries (KdV), demostraron que la formación de ondas solitarias en el agua, era teóricamente posible 6 . Uno de sus resultados fue mostrar la ecuación no lineal con derivadas parciales que describía el comportamiento de este tipo de ondas en el agua. ∂u ∂u ∂3 u ∂u +c + ε 3 + γu =0 ∂t ∂x ∂x ∂x donde c es una constante de velocidad para ondas con pequeñas amplitudes, ε es un parámetro de dispersión, γ es un parámetro no lineal. En general, la ecuación es no lineal con soluciones exactas para ondas que viajan con la forma: u ( x, t ) = h sec h 2 [k ( x − vt )] k = γh 12ε. 6. http://people.deas.harvard.edu/~jones/solitons/solitons.html. 30.

(32) IEL1-2002-II-07. De acuerdo a esto, ellos demostraron que a mayor amplitud de la onda, esta viajaba a mayor velocidad y a su vez era más delgada. No fue sino hasta mediados de los años 60 (S. XX), cuando los científicos, empezaron a profundizar en las ondas solitarias descubiertas por Russell. En 1965, Zabusky y Kruskal, reportaron observaciones numéricas de la ecuación de KdV, en donde ondas solitarias pasaban a través de otras sin sufrir cambios de velocidad ni forma. Determinaron que las ondas solitarias no lineales, podrían ocurrir naturalmente, con las condiciones adecuadas. Fueron ellos quienes establecieron el termino Solitón para las ondas solitarias. Es en este momento, en donde varios miembros de la comunidad científica, empezaron a estudiar paralelamente el fenómeno solitón, observando que esta onda solitaria obedecía en su comportamiento, en uno similar al de una partícula. Desde 1970, el concepto de solitón se estableció en investigación para diferentes áreas de la ciencia como la física, biología y la electrónica, con estudios en variedad de tópicos los cuales estaban regidos por la teoría matemática desarrollada para los solitones, entre las cuales están la hidrodinámica, colisión de ondas, estudios en estructuras como el plasma, transporte de energía en el DNA y en estructuras ópticas no lineales, entre otras.. 31.

(33) IEL1-2002-II-07. Fig 6.1. Soliton. Recreación del descubrimiento de Russell.. 4.2. SOLITONES OPTICOS. Un Solitón Optico [1], es un pulso que permanece invariante en forma y amplitud en medios dispersivos y no lineales. La estabilidad de los solitones se da en ciertas condiciones, en donde se compensan exactamente los fenómenos de dispersión y no linealidad. Se produce básicamente por que mientras el efecto de dispersión trata de ensanchar el pulso, el efecto de la no-linealidad trata de confinarlo. Su comportamiento es similar al de una partícula, en el sentido que cuando se da una colisión entre 2 solitones, estos interactúan durante esta no http://www.ma.hw.ac.uk/solitons/soliton1.html. 32.

(34) IEL1-2002-II-07. destructivamente, después, su forma y amplitud vuelven a ser las mismas al instante previo a la colisión. Otra de las características importante de los solitones, relaciona la magnitud con la velocidad. Entre mayor sea la amplitud del pulso, su velocidad también será mayor. La ecuación más general, que describe el comportamiento de este tipo de pulsos a través de un medio dispersivo y No lineal, llamada la Ecuación No lineal de Schrodinger (NSE) : ∂U 1 ∂ 2U 2 i − sgn( β2 ) + N2U U =0 2 ∂ξ 2 ∂τ donde:. τ=. t − β1 z T0. ξ=. z LD. U =. A P0. LD = T02 β2. (4.1). (4.2). cambiando la notación, y normalizando la amplitud u=UN esta ecuación se puede escribir como: ∂u 1 ∂ 2 u 2 i + +u u=0 2 ∂ξ 2 ∂τ. (4.3). la cual tiene como solución principal [1]. u (0,τ ) = N sec h (τ). (4.4). T 02 ~ N = γPo β2. (4.5). 2. N : Orden del Solitón. γ~ : Parámetro de no linealidad relacionado con el índice de refracción no lineal. P0 : Potencia pico del pulso β2 : Relacionado con el parámetro de Dispersión D = − 2πc λ2 Cuando un pulso con la forma (4.2) es lanzado a través de fibra óptica, este se mantiene invariante en forma y amplitud cuando N = 1. Cuando N > 1, este. 33.

(35) IEL1-2002-II-07. sigue un patrón de periodicidad en el cual la forma del pulso que entra en la onda es recuperada cada ξ = mπ 2 donde m es un entero. Cuando N = 1, el pulso óptico se llama Solitón Optico Fundamental, si N > 1, se dice que son solitones de orden mayor. Para que se de la formación de un solitón en fibra óptica se debe cumplir que el pulso que entra en la estructura tenga forma de secante hiperbólica, y además que los efectos de no linealidad, dispersión, y los parámetros de ancho y amplitud de pulso se compensen en la ecuación (4.5) de tal manera que N = 1. Es en esta condición de Solitón fundamental, en que estos pulsos mantienen su forma y amplitud. Las características del pulso necesarias para producir un solitón fundamental se pueden obtener imponiendo ξ = 0 . En unidades físicas la amplitud del pulso esta dada por: A( 0, t ) = P0 sec h(t T0 ). (4.6). La potencia pico se puede obtener de la ecuación (4.5) haciendo N = 1. Una de las características que los hace importantes para la transmisión de información en fibra óptica, es su estabilidad en forma y amplitud, otra, también importante para los sistemas de comunicación, es que para que se produzca un solitón de orden 1, el ancho del pulso debe ser muy pequeño, esto favorece las tasas de transmisión, ya que entre más pequeño sea el ancho del pulso, más podrán ser enviados en un segundo.. 34.

(36) IEL1-2002-II-07. 5. METODO FDTD: DIFERENCIAS FINITAS EN EL DOMINIO DEL TIEMPO 5.1. INTRODUCCION AL METODO FDTD. Se presenta una breve introducción de algunos aspectos históricos característicos del método FDTD. [2]. y. Hacia 1960, las técnicas existentes para el análisis de los campos electromagnéticos, como las técnicas de ecuaciones integrales, y técnicas en el dominio de la frecuencia, con sus avances y limitantes, indujeron al estudio de una nueva alternativa, esta era la solución directa en el dominio del tiempo para las ecuaciones diferenciales de Maxwell. En 1966, Kane Yee, introdujo el método FDTD (Finite-Difference TimeDomain), que fue el primer desarrollo de la técnica de solución directa en el dominio del tiempo. A partir de ese momento, empiezan la evolución y profundización en estos métodos. Hacia 1980, Allen Taflove, quien profundizo en el área desde 1975, patenta el acrónimo FDTD (Finite-Difference Time-Domain). El método siguió evolucionando, y hacia los años 90`s, la ingeniería lo adopta como herramienta eficaz de simulación, análisis y diseño para problemas en donde intervenían ondas electromagnéticas. Estas soluciones en el dominio del tiempo han tenido gran aceptación por su relativa facilidad para implementar, rapidez, y versatilidad para simular diferentes geometrías de estructuras. En general, el desarrollo de las soluciones numéricas esta fuertemente ligado al desarrollo a nivel computacional, los métodos en el dominio del tiempo no son la excepción, ya que los cálculos realizados por estas técnicas tienen como parámetros críticos el tiempo de computación y la memoria requerida. En la medida en que los recursos computacionales mejoren sus capacidades, mayores serán las aplicaciones numéricas que se puedan implementar.. 35.

(37) IEL1-2002-II-07. Los avances a nivel computacional, si bien son importantes para todas las técnicas de solución numéricas por su carácter iterativo, son de especial interés para el método FDTD que demanda gran cantidad de recursos computacionales, ya que hace discretizaciones tanto espaciales como temporales, las divisiones volumétricas requieren una capacidad significativa de Memoria de acceso aleatorio (RAM), en este campo, los estudios en materiales y semiconductores, así como los avances en física quántica han redundado en el desarrollo de la microelectrónica y con esto el aumento de las capacidades de memoria. Otros aspectos que favorecieron el desarrollo del método FDTD como herramienta de simulación en ingeniería, son: •. • • •. • •. Precisión: El método FDTD tiene un margen superior de precisión con respecto a otros métodos, además los errores producidos por sus cálculos, son fácilmente identificables y entendibles. Robusto: El método FDTD esta capacitado para modelar gran variedad de tipos de problemas en los que intervengan ondas electromagnéticas. Versátil: El método FDTD es capaz de modelar complicadas geometrías. General: El método FDTD esta capacitado para modelar: Comportamientos de onda tanto lineales como no lineales, y también la respuesta de estado estable, así como la respuesta impulsiva (transiente). Simple: El método FDTD es una solución fácil de implementar con respecto a otros métodos. Sistemático: El método FDTD facilita el modelamiento de nuevas estructuras convirtiendo el problema simplemente en una nueva generación de malla, en vez de posibles complejas reformulación de ecuaciones integrales. 5.1.1 Características Del Método FDTD La técnica FDTD es una solución que utiliza discretizaciones espaciales en el dominio del tiempo para la simulación de propagación de ondas a partir de las ecuaciones de Maxwell. Esta basado en un muestreo volumétrico de los campos desconocidos (E, H), dentro y alrededor de la estructura de interés durante un periodo de tiempo. El. 36.

(38) IEL1-2002-II-07. muestreo de las cantidades físicas relevantes en los nodos de la malla son utilizadas para representar los fenómenos de manera continua. El muestreo del espacio se hace a longitudes menores que la longitud de la onda que viaja a través de la estructura. La resolución debe ser apropiadamente dispuesta por el usuario de acuerdo a la frecuencia que este manejando en el problema. FDTD lo que hace es simular la propagación de ondas electromagnéticas en un espacio finito por medio de valores numéricos análogos muestreados propagándose en un espacio de datos computacional (malla). A medida que el tiempo aumenta, las ondas numéricas se propagan a través de la malla que modela la región física de interés conectando cada punto de manera que representa la propagación de la onda numérica en forma análoga a la onda real. 5.1.2 Clases De Algoritmos Para Técnicas En El Dominio Del Tiempo Los métodos numéricos en el dominio del tiempo resuelven explícitamente las 6 componentes de los campos E y H con el esquema de particiones en el tiempo para una región discretizada. Las diferencias en los algoritmos radican en la malla, y la manera de ponerla para acomodarse a las estructuras en donde se va a analizar la propagación de ondas. Los métodos para dividir el espacio se establecen de acuerdo a la regularidad de sus particiones. • Completamente estructurado: La malla tiene celdas lo más congruente posible, lo que significa que todas tienen el mismo tamaño y forma. • Medianamente estructurado: En este caso toda la malla se distorsiona para acomodarse a la estructura de interés. Además la malla puede dividirse en múltiples zonas para acomodarse a las diferentes características del medio. • Completamente inestructurado: La estructura que se va a modelar es discretizada con celdas distintas en tamaño y forma de tal manera que se acomoden lo más cercanamente posible a la estructura, y las características del medio. 5.1.3 Aspectos Computacionales Del Método FDTD. 37.

(39) IEL1-2002-II-07. Para la implementación del método FDTD es importante tener en cuenta los siguientes aspectos computacionales: •. •. •. 5.2. Numero de celdas volumétricas (N): Las 6 componentes de los vectores E y H serán actualizadas para cada celda en cada momento de tiempo, esto hace que el problema tenga un escalamiento de orden N. Podemos modelar ondas electromagnéticas interactuando, y su solución puede tener más de 108 vectores de campo en determinado instante. Numero de pasos de tiempo (nmax): Una solución consistente para el dominio del tiempo debe permitir que las ondas numéricas se propaguen a través del malla lo suficiente para conectar los puntos de la región de interés. Errores de propagación acumulativos: Es necesario desarrollar algoritmos que limiten los errores que se propagan en el espacio numérico. Para esto se hacen mallas más finas o de mayor precisión de tal manera que el error de posición acumulativo o los errores de fase sean limitados a medida que la malla se hace más grande.. METODO FDTD. En 1966, Kane Yee [1] introduce un nuevo método numérico de simulación para los campos Electromagnéticos. A diferencia de los que existían en ese momento que eran en el dominio de la frecuencia, o con ecuaciones integrales, este era novedoso porque trabajaba en el dominio del tiempo. El método, básicamente establece un conjunto de ecuaciones en diferencias finitas modelando las ecuaciones diferenciales (Ecuaciones de Maxwell) que describen la dinámica de los campos eléctrico y magnético. Teniendo en cuenta, como ya se mostró, que las ecuaciones de Maxwell obedecen el comportamiento de la Ecuación de onda., podemos hacer el mismo tratamiento y obtener las expresiones en diferencias finitas para las ecuaciones de Maxwell.. 38.

(40) IEL1-2002-II-07. Generalizando para una función u(x,t), y sus respectivas derivadas con respecto al espacio y al tiempo ( ∂u ∂x , ∂u ∂t ), y ahora haciendo la expansión de Taylor, pero tomando para un punto en el espacio x i ± ∆x 2 ∆x   u xi +  =u 2  tn  ∆x   u xi −  =u 2  tn . xi , tn. xi , tn. +. −. ∆x ∂u ⋅ 2 ∂x ∆ x ∂u ⋅ 2 ∂x. +. (∆x 2) 2 ⋅ ∂ 2u 2. xi , tn. +. ∂x 2. +. 2. ∂x 2. −. ∂x 3. 6. xi , tn. (∆x 2) 2 ⋅ ∂ 2u. xi , tn. (∆x 2)3 ⋅ ∂ 3u. + xi , tn. (∆x 2)3 ⋅ ∂ 3u ∂x 3. 6. xi ,tn. + xi , tn. (∆x 2)4 ⋅ ∂ 4u 24. ∂x 4. ξ1 , tn. (∆x 2) 4 ⋅ ∂ 4u 24. ∂x 4. ξ1 ,tn. restando la segunda ecuación de la primera: ∆x   u xi +  2  . tn. ∆x  ∂u  − u xi −  = ∆x ⋅ 2 t ∂x  n. +. (∆ x 2 )3 3. xi , t. ⋅. ∂ 3u ∂x 3. x i , tn. Despejando para el diferencial de primer orden, y asumiendo el de tercer orden como término de error se obtiene la expresión para ∂u ∂x : ∂u ∂x. =. u (x i + ∆x 2) t − u ( xi − ∆x 2) t n. ∆x. xi ,t n. n. [. + O ( ∆x ) 2. ]. (5.1). El mismo tratamiento de hace para las otras 2 variables y, z. Haciendo la expansión de Taylor en un tiempo t ± ∆t 2 se obtiene una expresión similar para ∂u ∂t : ∂u ∂t. =. u (t n + ∆t 2) x − u (t n − ∆t 2) x i. ∆x. xi ,t n. i. [. + O ( ∆t ) 2. ]. (5.2). en notación de diferencias finitas y despreciando los términos de error:. ∂u ∂x. = xi ,tn. uin+1 2 − uin−1 2 ∆x. 39. (5.3).

(41) IEL1-2002-II-07. ∂u ∂t. = x i ,tn. uin+1 2 − uin−1 2 ∆t. (5.4). Ahora, generalizando para 3 dimensiones: u (i ∆x, j ∆y, k ∆z , n ∆t ) = u in, j ,k. (5.5). uin+1 2, j ,k − u in−1 2, j, k ∂u ( i∆x, j∆y , k∆z, n ∆t ) = ∂x ∆x. (5.6). u in, +j 1,k 2 − u in, +j1,k2 ∂u (i∆x , j∆y , k∆z , n∆t ) = ∂t ∆t. (5.7). Yee escogió esta notación, porque el pretendía intercalar las componentes de los campos eléctrico y magnético en intervalos de tiempo establecidos cada 1 2 ∆t , para poder implementar su método. 7. 5.2.1 Celda Cúbica De Yee La figura 5.1 corresponde a la celda original introducida por Yee en 1966 [4]. Esta es una celda tridimensional, en donde los valores de campo están intercalados de tal manera que los contornos para cada campo siguen las leyes de Ampere y de Faraday.8. 7 8. Ref. [2] Pag. 79 Ref [2] Pag. 76. 40.

(42) IEL1-2002-II-07. Ey. Ex. i-1 , j+1, k+1. i, j, k+1. Hz. Ex. Ey. Ez. Ez. Hy. Hx Ez. Z. i, j, k. Ex Ey ♣ ♣ i, j+1 ,k Figura 5.1. Celda Y Cúbica unitaria para una malla del algoritmo de Yee X. El algoritmo resuelve para los campos eléctrico y magnético simultáneamente, en el dominio del tiempo y para valores discretos en el espacio, utilizando las Ecuaciones de Maxwell para ondas electromagnéticas, en vez de hacerlo solo para uno de los dos campos utilizando la ecuación de onda. En este algoritmo se asume que no hay perdidas por el material, es decir que es un conductor perfecto, y además se supone que no hay fuentes para ninguno de los 2 campos. J sourceZ = M sourceY = 0. σ∗ = σ = 0. Con respecto a la celda cabe hacer las siguientes observaciones: • Cada vector de campo, ya sea eléctrico o magnético, se encuentra sobre un plano, en el cual hay 4 vectores tangenciales. Así como se ve en la figura, cada r componente de H esta en un plano en el que circulan cuatro componentes de r E , y también, aunque no se vea en la figura por ser una celda, cada r componente de E , esta sobre un plano en el que hay cuatro vectores r tangenciales de H . • Las ecuaciones de cada vector, dependen de los vectores que conforman el plano sobre el que se encuentra. • Las expresiones que se obtienen a partir de la celda de Yee, son en diferencias finitas centradas. ♣. Kane Yee, 1966 Ref. [4]. 41.

(43) IEL1-2002-II-07. Para obtener las ecuaciones a partir de la celda de Yee se debe tener en cuenta: • Remplazar cada derivada con su respectiva notación en diferencias finitas. • Observar con atención las coordenadas de cada vector en la celda cúbica. • Cada vector depende de cuatro vectores que están sobre el plano en que reposa. • En el plano, los vectores que apuntan hacia una misma esquina son positivos; los otros dos, son negativos. * El siguiente esquema muestra como se obtiene una componente de las ecuaciones de Maxwell a partir de la celda de Yee, las demás se obtienen de manera similar. Figura 5.2. Esquema para obtención de los términos en la celda de Yee. Diferencias finitas centradas. Hy. n+1 2 i−1 2, j +1,k+1 2. − Hy. n−1 2 i−1 2, j+1,k+1 2. ∆t. ∂H y ∂t. =. 1  ∂E z ∂E x  − µ  ∂x ∂z . n n  n   n  1  Ez i , j+1,k+1 2 − Ez i−1, j+1,k+1 2   Ex i−1 2, j+1,k +1 − Ex i−1 2, j+1,k  =   −  µ  ∆x ∆z     . i, j, k+1 Ex Ez. Positivos *. Hy. Negativos. Ez i-1, j+1, k. j, klas seis componentes de las E x Se obtienen cada unai,de ecuaciones de Maxwell, en i, j+1, k diferencias finitas siguiendo el esquema anterior. Se presentan el grupo de las. 42.

(44) IEL1-2002-II-07 r r seis ecuaciones que describen tanto el campo E como el campo H en la celda, solucionadas para el instante siguiente. Ecuaciones para campo Magnético ∂H x 1  ∂E y ∂E z  =  −  : ∂t µ  ∂z ∂y . Hx. n +1 2 i, j +1 2, k +1 2. (5.8.a).  ∆t  E y = µ  . n i , j+1 2, k +1. − Ey. n i, j+1 2, k. ∆z. −. Ez. n i, j +1, k +1 2. − Ez. n i , j , k +1 2. ∆y.  +H x  . n −1 2 i, j +1 2 ,k +1 2. ∂H y 1  ∂Ez ∂Ex  =  − : ∂t µ  ∂x ∂z . (5.8.b). n n n  n  n−1 2 ∆t  Ez i , j +1,k+1 2 − Ez i −1, j +1,k +1 2 Ex i −1 2, j+1,k+1 − Ex i −1 2, j+1,k  Hy i−1 2, j +1,k+1 2 = − + Hy i −1 2, j+1,k+1 2  µ ∆x ∆z   n +1 2. ∂H z 1  ∂E x ∂E y  =  −  : ∂t µ  ∂y ∂x .  ∆t  E x n+1 2 H z i −1 2, j+1 2,k +1 = µ  . (5.8.c). − Ex i−1 2, j +1,k +1 n. ∆y. n i−1 2, j , k +1. −. Ey. n i, j +1 2,k +1. − Ey ∆x. n i−1, j +1 2,k +1.  +H z  . n−1 2 i −1 2, j+1 2, k +1. Ecuaciones para campo Eléctrico ∂ E z 1  ∂H z ∂H y  =  −  : ∂t ε  ∂y ∂z . (5.9.a). n+1 2 n+1 2 n+1 2  H n+1 2  H − H − H y y ∆ t z z n+1 n i−1 2, j+3 2,k +1 i−1 2, j+1 2,k +1 i−1 2, j+1,k +3 2 i−1 2, j+1,k +1 2   Ex i −1 2, j+1,k +1 = − + Ex i−1 2, j+1,k +1   ε ∆y ∆z  . ∂E y ∂t. =. 1  ∂H x ∂H z  − : ε  ∂z ∂x . (5.9.b). 43.

(45) IEL1-2002-II-07. n+1 2 n+1 2 n+1 2  Hx n+1 2  − H H − H n x z z ∆t  i, j+1 2,k +3 2 i, j +1 2,k+1 2 i+1 2, j+1 2,k+1 i−1 2, j+1 2,k+1  + Ey Ey i, j +1 2,k+1 = − i, j+1 2,k+1 ε  ∆z ∆x    n+1. ∂E z 1  ∂H y ∂H x  =  −  : ∂t ε  ∂x ∂y . (5.9.c). n+1 2 n +1 2 n+1 2 n+1 2   ∆t  H y i +1 2, j +1,k +1 2 − H y i−1 2, j+1,k +1 2 H x i, j+3 2,k +1 2 − H x i , j+1 2,k +1 2  E z i, j +1,k +1 2 = − + Ez  ε  ∆x ∆y   n+1. n i, j+1, k +1 2. Con este sistema de ecuaciones (5.8) y (5.9) en Diferencias Finitas Centradas, se obtiene el valor de campo para cada componente en el instante siguiente. Cada componente depende de los valores anteriores en el mismo punto, y de los valores anteriores del otro vector de campo en puntos adyacentes. Si implementamos estas ecuaciones para cada punto de la malla en que se ha discretizado la estructura y calculamos n veces estos valores, obtendremos la dinámica de los campos en toda la malla.. 5.3. ALGORITMO FDTD 1-D. Para los estudios de propagación en fibra óptica monomodo, y teniendo en cuenta que la propagación se hace para distancias muy largas, se asume que la luz se propaga en una sola dirección, suponiendo también que los campos transversales permanecen constantes (Modo TEM), y que la estructura no sufre variaciones a lo largo de las componentes normales a la dirección de propagación, se hace valida la aproximación a una estructura unidimensional. Teniendo en cuenta estas condiciones, las derivadas con respecto a estas variables transversales (y,z) se hacen cero y también los subíndices j y k desaparecen. Para implementar el algoritmo FDTD en una dimensión para medios Dispersivos y no lineales se sigue un proceso, en el cual se empieza por el algoritmo básico para medios ideales, luego se hace la implementación para medios con dispersión, y por ultimo se incluyen las características no lineales.. 44.

(46) IEL1-2002-II-07. 5.3.1 ALGORITMO BÁSICO: MEDIO IDEAL Para implementar el algoritmo FDTD en una dimensión, se va a tomar el modo TEM polarización en z, asumiendo que la onda se propaga en la dirección x. Las ecuaciones de acuerdo a la celda de Yee, modificadas para una dimensión quedan de la siguiente forma: n +1 2. Hy. Ez. i −1 2. n +1 i. ∆t  Ez  = µ .  ∆t  H y = ε  . n i. n +1 2 i +1 2. − Ez ∆x − Hy ∆x. n i−1.  +Hy . n +1 2 i −1 2. n−1 2 i −1 2.  +E z  . n i. (5.10.a). (5.10.b). El algoritmo FDTD para un medio con características ideales: No dispersivo, Lineal, isotrópico, sin perdidas; donde la luz se propaga en una sola dirección y la estructura es unidimensional, es el siguiente: Paso 1: Inicializar los arreglos para los campos E y H. Paso 2: Estimular borde de la estructura con pulso que va a viajar a través de esta. Paso 3: Actualizar campos Magnéticos Hy. ec. (5.10.a) Paso 4: Actualizar campos Eléctricos Ez. ec(5.10.b). Paso 5: Volver al paso 2 para n iteraciones de tiempo. Para este algoritmo básico se realizaron pruebas con diferentes pulsos y diferentes frecuencias (Anexo B). Se observo que los pulsos que se propagaban a través de la malla permanecían invariantes por las condiciones de medio ideal. En la figura 5.3 se ve el resultado cuando viaja un pulso senosoidal con frecuencia f=0.1 Ghz, y tamaño de celda dx = λ 25 . Se observa también que el pulso se refleja, con un cambio de fase de 90º, que corresponde a las condiciones de frontera para un conductor perfecto.. 45.

(47) IEL1-2002-II-07. SIMULACION FDTD 1-D 1 0.8. Campo Electrico V/m. 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 it=20 it=70 it=130 it=190. -0.8 -1 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. Celdas. Fig. 5.3. Algoritmo FDTD: Medio Ideal L=20 m, f=0.1 Ghz, dx = λ 25 = 119 mm , S=1. Pulso en 2.4m, 7.7m, 14.8m, 17.8m. Se variaron parámetros como el tamaño de la celda y el número de Courant , con el fin de observar el comportamiento del algoritmo implementado. En la siguiente figura se muestran los efectos de la dispersión numérica cuando se varia el parámetro de Courant, S = 0.9. SIMULACION FDTD 1-D 1 0.8. Campo Electrico V/m. 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 it=20 it=70 it=130 it=220. -0.8 -1 0. 20. 40. 60. 80. 100. 120. 140. 160. Celdas. Fig. 5.4. Algoritmo FDTD: Dispersión numérica L=20 m, f=0.1 Ghz, dx = λ 25 = 119mm , S=0.9. Pulso en 1.7m, 7.1m, 13.7m, 16.6m. También se comprobó la inestabilidad numérica del algoritmo cuando se cambia el parámetro de Courant por encima del limite de estabilidad para una dimensión, es decir S=1. La figura 5.5 corresponde a la simulación cuando S = 1.002. Se observa como el algoritmo se hace inestable en pocas iteraciones, aun cuando el factor de estabilidad solo a aumentado en 0.2 %.. 46.

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