Capítulo1.ERRORES

(1)

(2)

Capítulo 1. Errores y Aritmética del Computador Lic. Elizabeth Vargas 6

1.1 INTRODUCCIÓN.

El Análisis Numérico proporciona métodos numéricos para encontrar soluciones aproximadas de problemas que no puedan resolverse con métodos analíticos o cuya solución sea muy difícil de hallar. Los valores obtenidos de esta manera se llaman soluciones numéricas y como se obtienen con la ayuda de una calculadora o de la computadora están sujetas a errores.

Cuando se usa un método numérico se debe analizar el problema dado y determinar que tan próximo al valor exacto se desea la solución numérica. Es decir, se debe señalar el número de cifras significativas que debe tener la solución aproximada ( esto se conoce como la tolerancia (TOL) ) . Si esta no se especifica, entonces no se pude determinar si la solución numérica encontrada es “ suficientemente correcta “ .

1.2 CAUSAS PRINCIPALES DE ERROR EN LOS MÉTODOS

NUMÉRICOS

Algunas de ellas son:

a) El error de truncamiento: son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un proceso matemático exacto y dependen solamente del método empleado. La serie de Taylor es el método más importante que se emplea para obtener modelos matemáticos y analizar los errores de truncamiento.

(3)

b) El error de redondeo: se debe a que el computador solo guarda un

número finito de cifras significativas durante los cálculos. El error surge porque las operaciones aritméticas realizadas en el computador incluyen exclusivamente un número finito de dígitos, de manera que los cálculos se realizan con aproximaciones de los números. Este tipo de error no se puede evitar pero si se puede controlar reduciendo el número de operaciones a realizar y reformulando el problema.

c) Los errores inherentes o heredados: son aquellos propios de datos experimentales ( se deben tanto al instrumento como a las condiciones en que se realiza la medición) . Este tipo de error también se debe a que se obtienen de cálculos previos: por ejemplo si se usan aproximaciones de 2 y 3 para efectuar otros cálculos.

d) Errores generados por el programador. En la Sección 1.7 se darán algunas recomendaciones para evitar estos errores.

1.3 ERROR ABSOLUTO Y ERROR RELATIVO

Definición 1.1. Sí el número real X* es una aproximación del número X, el

error absoluto cometido en esta aproximación está dado por Ea = X −X* ,

y el error relativo por ER =

X X

X − *

sí X ≠0. El error relativo porcentual

ER% = ERx100%.

(4)

1.4 CIFRAS SIGNIFICATIVAS. EXACTITUD Y PRECISIÓN DE

UNA MEDIDA.

DEFINICIÓN 1.2 . Cifras Significativas.

Se llaman cifras significativas de un número a todas sus cifras, a excepción de los ceros puestos a la izquierda de la primera cifra distinta de cero. Los ceros puestos al final de un número son siempre significativos (en caso contrario no deben escribirse). Los ceros que se encuentran entre dos cifras significativas no nulas son significativos, ya que forma parte de la medida. El número de cifras significativas es independiente del sistema de medición que se use.

Ejemplo 1.1

Número Cifras Significativas

0.004603 4

50800 5

500x103 3

0.40x105 2

9x105 1

La precisión se refiere al número de cifras significativas que tiene la medida. Se refiere a que tan cercano esta un valor aproximado con respecto a los otros.

La exactitud se relaciona con la cercanía entre un valor aproximado de una medida y su valor exacto. Mucha precisión no es garantía de gran exactitud.

(5)

Definición 1.3. Se dice que el número *

X aproxima a X con k cifras significativas si k es el mayor entero no negativo para el cual se cumple:

k

*

x

X

−

_<

−

10

5

(1.0)

Ejemplo 1.2. En cada caso P* es una aproximación de P. Calcule el error absoluto, el error relativo, el error relativo porcentual. ¿Cuántas cifras significativas comparten P* y P?

a) P =π , P*=3.14123 b) P =2643.198 , P* = 2643.195

c) P = 0.513 , P*=0.510 d) P 10 , P*= 9.995

Solución.

a) Error absoluto = 3.62654559.10-4 Error relativo = 1.15436223 .10-4

Error relativo porcentual = 1.15436223.10-2 %

Para hallar el número de cifras significativas que comparten P* y P aplique la definición 1.3:

0.000115436 x100 5x100

P P P

< =

− ∗

así k =0

= 0.00115436x10−1<5x10−1 así k =1

= 0.115436x10−3 <5x10−3 así k =3

=1.15436x10−4 <5x10−4 así k =4

=11.5436x10−5 <5x10−5.

Esta última desigualdad es falsa, por lo tanto el mayor entero positivo

(6)

Para (b) , (c) y (d) los resultados son:

Error absoluto Error relativo Error relativo porcentual

Nº de cifras

significativas que comparten P y P*

( b ) 0.003 1.1349x10-6 1.1349x10-4 6

( c ) 0.003 5.847x10-3 5.847x10-1 2

(d) 0.005 0.5x10-3 0.05 3

Observe que en los casos (b) y (c) el error absoluto es el mismo, por lo que con este criterio no se puede determinar si la aproximación es buena o no. En cambio el error relativo y la definición 1.3 aportan más información.

Con el caso (d) se quiere ilustrar que el número de cifras significativas que comparten P y P* no son los primeros dígitos iguales que ellos comparten. Si el lector tiene duda al respecto aplique la definición 1.3

1.5 NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE. ERROR DE

TRUNCAMIENTO. ERROR DE REDONDEO

.

En el sistema de Numeración Decimal, un número real X ≠0 se puede expresar en la forma:

X =±

(

0.d₁d₂d₃...d_kd_k₊₁...

)

x10m (1.1)

(7)

Sí d₁ ≠0 entonces se dice que X está normalizado y se cumple que

1 . . . . 0 1 .

0 ≤ d₁d₂d₃ < .

En un computador los números reales se representan con un número finito de dígitos, tal representación se denomina punto flotante y se denota así:

X =±

(

0.d₁d₂d₃...d_k

)

x10m (1.2)

donde d₁≠0 + ∈Z

k : número de cifras significativas.

Z

m∈ : exponente e indica cuantos lugares, a la izquierda o a la derecha, debe moverse el punto decimal (por eso el nombre de punto flotante).

(

0.d₁d₂d₃...d_k

)

: mantisa normalizada, comprendida entre 0.1 y 1.

Existen dos formas de obtener (1.2) a partir de (1.1):

a) Por truncamiento: este proceso consiste en cortar la mantisa en el dígito k, y descartar los dígitos d_k₊₁,d_k₊₂ ,.... Una cota para el error relativo,

usando aritmética de truncamiento a k dígitos, es:

( )

k

X X fl

X ₋

≤

− ₁₀1

( 1.3)

Demostración:

Sean X =0.d₁d₂d₃...d_kd_k₊₁...10m, d₁ ≠0 y fl

( )

X =0.d₁d₂...d_k10m,

con 0. ... 1

10 1

3 2

1 <

(8)

( )

k k k m k m k k m m k .. . . d d d . . . . d d d . . . . d d . . . . d d d . . . . d . . . . X X fl X − − − − + + + = ≤ ≤ = = − 1 3 2 1 3 2 1 2 1 3 2 1 1 10 10 10 10 0 1 10 0 10 0 10 0 10 0 0 0

Luego:

( )

k

X X fl

X − _≤ 1₋

10

b) Por redondeo: A X se le suma 5x10m−( )k+1 y luego se trunca. De manera equivalente: sí d_k₊₁≥5 se le suma 1 al dígito d_k y luego se

trunca; y sí d_k₊₁<5 simplemente se trunca. Una cota para el error relativo,

usando aritmética de redondeo a k dígitos, es:

( )

x k X X fl X ₋ ≤ − 10

5 (1.4)

Demostración: Sean X =0.d₁d₂d₃...d_kd_k₊₁...10m, d₁≠0:

a) Si dk+1 < 5 entonces fl

( )

X =0.d₁d₂...d_k 10m :

( )

m k m k k m m k d d d d d d d d d X X fl X 10 .. . . . 0 10 . . . . 0 10 . . . . 0 10 . . . 0 . . . 0 . 0 3 2 1 2 1 3 2 1

1 + + −

+ ₌

= −

pero 0. ... 1

10 1

3 2

1 <

≤ dd d dk y 0.dk+1dk+2.. < 0.5 , luego:

( )

k

k x x X X fl

X − ₋

(9)

b) si dk+1_≥5 entonces fl

( )

X =0.d₁d₂...d_k 10m+10m-k , luego :

( )

k k k k m k m m k m k k d . . d d d . x ) . . . d d . ( . . . d d d . ) d . . . d d d . ( . . . d d . . . d d d . X X fl X 3 2 1 2 1 3 2 1 3 2 1 1 3 2 1 0 10 1 0 10 0 10 10 0 10 0 − + + − + − = + − = −

pero 0.d_k₊₁d_k₊₂...−1 ≤0.5 y 0. ... 1 10

1

3 2

1 <

≤ d d d entonces

( )

X X fl X−

≤ 0.5 x 10-k x10 = 5x10-k

En ambos casos se satisface (1.4).

En (1.3) sea E_T =101−k y en (1.4) sea E_R =5x10−k. Como E_R <E_T

las aproximaciones obtenidas por redondeo son más precisas, y el número de dígitos reservados para la mantisa (precisión k) está directamente relacionado con la unidad de error por redondeo (E_r).

Ejemplo 1.3. Para cada uno de los números dados , halle la representación

en la forma punto flotante con 5 dígitos significativos, usando aritmética de : a) Truncamiento b) Redondeo

i) π ii ) e iii ) 2 iv ) 27.39 v) -0.00124

Solución.

i) El número π tiene la representación decimal : 3.14159265…… = 0.314159265 x 101

(10)

Usando redondeo a 5 cifras se obtiene: 0.31416 x 101

El lector debe realizar los ejercicios restantes y en cada caso verificar que se satisfacen las desigualdades (1.3) y (1.4).

1.6 ARITMÉTICA DEL COMPUTADOR.

Sean fl

( )

x y fl

( )

( )

y

)

Ejemplo 1.4. Sean U =9.5575 , V =4.3869 , Z = 1.5573 , P =0.4381x10 -1 , F = 0.136389x104 , M = 983,156 . Usando aritmética de truncamiento con 4 cifras en la mantisa , efectúe las siguientes operaciones :

a) U + V b) U-V c) Z + P d) F x M e) F÷M

Solución. Primero se expresan los números dados en la representación

punto flotante que se pida:

U =0.9557x101 V =0.4386x101 Z = 0.1557x101 P =0.4381x10 -1 F =0.1363x104 M = 0.9831 x103

a) Como U y V tienen igual exponente se suman las mantisas y los exponentes se conservan, así: U + V =1.3943 x101 y después se lleva a la representación pedida: U + V =0.1394 x101

(11)

c) Cuando los números a sumar o restar tienen distintos exponentes primero hay que igualar los exponentes: para ello el número que tiene la mantisa con exponente más pequeño es modificado de tal manera que los exponentes de ambos sumandos sean iguales:

P =0.4381x10 -1 → P = 0.004381 x 101 → P = 0.0043 x 101 Luego:

Z + P =0.1600 x 101

d) Para efectuar la multiplicación las mantisas se multiplican y los exponentes se suman , luego el resultado se normaliza , se trunca o redondea según el caso:

F x M =0.1339 x 107

e) Para efectuar la división las mantisas se dividen y los exponentes se restan , luego el resultado se normaliza , se trunca o redondea según el caso:

F÷M = 0.1383 x 101

Se deja al lector repetir el ejemplo pero usando redondeo. Comparar los resultados con los valores exactos. ¿ Cuál de las dos aproximaciones es más exacta ?

1.7 OBSERVACIONES Y RECOMENDACIONES PARA EL

este número tiene (k-i) cifras significativas.

Se debe evitar la Sustracción de números relativamente iguales ya que se pierden cifras significativas durante la operación.

Ejemplo 1.5 .

a) fl

( )

x =0.13457896x107 , fl

( )

y =0.13457123x107 ambos tiene 8 cifras significativas .

( )

_x _fl

( )

_y ₀_._0000773_x₁₀7

₀_.₆₉_x₁₀2

x − = − = : hay dos cifras significativas (se

(13)

1.7.2

Divisiones por cantidades muy pequeñas ( o multiplicar

por números muy grandes);

Si el número x es aproximado por fl

( )

x con un error de redondeo igual a

ξ entonces se tiene que x= fl

( )

x +ξ .

a) Al dividir x por δ ≠0:

( )

δξ δ

δ = +

x fl x

. Así el nuevo error de redondeo

resulta ser

δ ξ

:

Sí δ es “relativamente” grande entonces

δ ξ

será pequeño.

Sí δ es pequeño entonces

δ ξ

será grande.

b) Al multiplicar x por δ ≠0: δ.x=δ.fl

( )

x +δ.ξ Si δ es grande entonces δ.ξ es grande (aumenta) Si δ es pequeño entonces δ.ξ es pequeño (disminuye)

1.7.3 Sumar números positivos en magnitud decreciente:

Se recomienda sumar números positivos de menor a mayor, esto con el fin de que las pequeñas contribuciones a la suma total sean consideradas .

Sean 0< A<B<C <D: no es aconsejable sumar así: D+C+B+A. Recomendación:

(

A+B

)

+C

)

+D.

Ejemplo 1.6. Sean a=10000000, a_i =0.1, i=1,2,3,..., 9. Usando aritmética

de redondeo con 8 dígitos y calcule

∑

=

+ 9

1

i i

a

a y

∑

= +

9 1

i

i a

(14)

Solución. 10000000 9

1

= +

∑

=

i i

a

a y 10000001

9

1

= +

∑

=

i

i a

a ( Valor exacto )

1.7.5 Se debe evitar la proliferación de evaluaciones

funcionales y el uso de expresiones “complicadas”.

evaluar P(X) en X=X0 se requieren n sumas y

∑

=

+ = n

i

n n i

1 2

) 1 (

multiplicaciones.

( )

X

en X = X₀ (se reduce el número de operaciones aritméticas por lo que

disminuye el error de redondeo).

EJERCICIOS RESUELTOS 1.1

1) Mostrar con un ejemplo que, en aritmética del computador, a+

(

b+c

)

puede diferir de

(

a+b

)

+c.

Solución: Sean a=0.36x106, b=0.18x105, c=0.27x105. Use dos dígitos en la mantisa y aritmética de truncamiento.

ALGORITMO DE HORNER: Para evaluación de polinomios.

( )

X a X a 1X 1 ... a1X a0

P = _n n + _n₋ n− + + +

ENTRADA: grado del polinomio: n . Coeficientes : a₀, a₁,....,a_n₋₁, a_n

valor en el cual se va a evaluar el polinomio: X₀

SALIDA: valor de P

( )

X en X = X₀

PASO 1. Hacer y=a_n

PASO 2. Para j=n−1, n−2,...,2,1,0, calcular

y= x₀y+a_j.

(16)

)

6 5

10 27 . 0 10 37 .

0 x x

c b

a+ + = +

(

)

6 6

10 02 . 0 10 37 .

0 x x

c b

a+ + = +

(

)

6

10 39 . 0 x c b

a+ + =

ii) a+

c b

a+ + = +

(

)

6 6

10 04 . 0 10 36 .

0 x x

c b

a+ + = +

(

)

6

10 40 . 0 x c b

a+ + =

Observe que a+

(

b+c

) (

≠ a+b

)

+c

iii)

(

b+c

)

+a =

(

b+ + =

2) Efectúe los cálculos indicados en la siguiente forma: i) Exactamente.

ii) Usando aritmética cortando a tres dígitos significativos. iii) Usando aritmética redondeando a tres dígitos significativos. ¿Cuál de los resultados es mejor? ¿Por qué?

a)

(

14.1+0.0981

)

b)

(

0.0218 x179.

)

c)

(

164.+0.913

) (

− 143.+21

)

d) 3 1 5 4

(17)

Solución.

10

2 ( igualando los exponentes )

1 2

10 981 0 10 141

0. x + . x − =0.141x102 +0.000x102 ( truncando)

2 1

2

10 141 . 0 10 981 . 0 10 141 .

0 x + x − = x ( Sumando )

iii) 0.141x102+0.981x10−1=0.141x102+0.000981x102

= 0.141x102 +0.001x102 → redondeando

= 0.142x102

En cada caso se calcula el error relativo obteniéndose:

2 2

10 5 10 69093 .

0 − < −

= x x

ER_T , k=2. Esto significa que 14.1 y 14.1981 comparten dos cifras significativas. Al efectuar la operación y usar truncamiento se perdió una cifra significativa.

4 4

10 5 10 33 .

1 − < −

= x x

ER_R , k=4. Así 14.1 y 14.1981 comparten 4 cifras significativas (se ganó una cifra significativa). La aproximación por redondeo fue mejor. Los resultados para las demás operaciones son :

Operación (i) Valor exacto (ii) Truncamiento (iii) Redondeo

a 14.1981 14.1 14.2

b 3.9022 3.90 3.90

c 0.913 0 1.00

d 17/15 1.13 1.13

e 4/15 0.266 0.266

(18)

3) Sea y= f

( )

x =1.01e4x−4.62e3x −3.11e2x+12.2ex−1.99. Evaluar f en x=1.53, usando aritmética de redondeo a 3 dígitos:

a) En forma directa. b) Usando el método de Horner.

Solución. Hacer z =ex, luego:

y=1.01z4−4.62z3−3.11z2+12.2z−1.99 ( a )

Sí x=1.53 entonces z=e1.53=4.62 y el valor exacto es: f

( )

1.53 =−7.6078714

1.99 01

.

1 4− 3− 2+ −

=

y

99 1 62 4 2 12 3 21 11 3 4 98 62 4 455 01

1. . . . . . . .

y= × − × − × + × −

+12.2

)

−1.99 Se evalúa así: a=1.01z−4.62 ⇒ a=4.67−4.62=0.05 b=z×a−3.11⇒b=−2.88

c= z×b+12.2 ⇒ c=−1.1

d =z×c−1.99 ⇒ d =−7.07= f

( )

1.53

El error relativo es 0.070699.

El valor obtenido en (b) es más exacto que el valor obtenido en (a).

4) Usando aritmética a tres dígitos evalúe

(19)

Solución: En la siguiente tabla se muestran los cálculos obtenidos

( verifíquelos teniendo en cuenta la aritmética de 3 dígitos ) :

x 2

x x3 2.1x3 6 x.1 2 3.2x Exacto 4.71 22.1841 104.48711 219.4229 135.32301 15.072 Corte 4.71 22.1 104. 218 134. 15.0 Redondeo 4.71 22.2 105. 221 135. 15.1

2.1x 6.1

)

x 3.2

)

x 1.8

f = − + + = − + +

y evaluando f(4.71) se obtiene:

en el corte 100 y el error relativo 0.0096256768

en el redondeo 101 y el error relativo 0.0002780664

En la anidación se redujo el error relativo en la aproximación de redondeo, esto se debe a la disminución de las operaciones aritméticas realizadas: de seis multiplicaciones y tres adiciones, a tres multiplicaciones y tres adiciones.

(20)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.1

1. Calcule el error absoluto, el error relativo, donde p* es una aproximación de p. ¿ Cuántas cifras significativas comparten p y p* ?

a) p=π, p*=22/7 b) p=π, p*=3.1416 c) p=e, p*=2.718

d) p= 2, p*=1.414 e) p=e10, p*=22000 f) p=10π, p*=1400

g) p=8!, p*=39900 h) p=9!, p*= 18π

( )

9/e9

2. Encuentre el intervalo más grande en que debe encontrarse p* para que aproxime a p con un error relativo menor que 10−4 para cada valor de P :

a) π b) e c) 2 d) 3 ₇

3. Aplique la aritmética de redondeo a tres dígitos para realizar los siguientes cálculos. Calcule los errores absolutos y relativo con el valor exacto determinado por lo menos a cinco dígitos.

a) 133+0.921 b) 133−0.499 c)

(

121−0.327

)

−119 d)

(

121−119

)

−0.327

e)

4 . 5 2

7 6 14 13

− −

e f) 62

3 6

10 + −

− π e g) 

          

7 9 . 9 2

h) 17 1

7 27 −

π

4. Repita el ejercicio 3 aplicando la aritmética de corte a tres dígitos.

5. Evalúe el polinomio f(x) = 25x3 −6x2 +7x−88 en x = 0.213 usando a) método de Horner ( respuesta -86.53962408 )

b) directamente. ( respuesta -86.53962408 )

5. Sea el polinomio

(21)

a) Directamente

b) Usando h(x) = (x-1)8 .

c) Aplicando el método de Horner. Compare los resultados obtenidos.

7. Encuentre el intervalo más grande en que debe encontrarse p* para que aproxime a p compartan cuatro cifras significativas :

a) π b) e c) 2 d) 3 ₇

Compare estos resultados con los obtenidos en el ejercicio 2.

8 ) Sean a=10000000, b_i =0.4, i =1,2,...,25. Usando una calculadora con 8

dígitos y aritmética de truncamiento, efectuar:

a)

∑

= + 25

1 i

i b

a b) b a i

i+

∑

=

25

1

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.2

1) Usando una computadora evalúe

∑

= 20

1 2 1

n n

(Use cuatro dígitos decimales)

sumando los términos así:

a) En orden creciente b) en orden decreciente

c) Compare ambos resultados.

2) Escriba y ejecute un programa para evaluar las funciones:

f(x)= x2 +1−1, g(x) =

1 1 2

2

+ +

x x

, para una sucesión de valores

(22)

Observe que: las funciones f y g son iguales, pero la computadora dará

resultados distintos. ¿Porqué?.

Sugerencia: Para evaluar f y g genere una sucesión de números de la forma

. 8 ,..., 8 ,

8−1 −2 −25

3) Repita el ejercicio anterior pero con las funciones:

H(x) =

(

4 4

)

) ( ,

2 4

4 4 4

+ + =

− +

x x x

M x

4) El polinomio de Taylor de grado n para f(x) = ex es Pn (x) =

(23)

Existen muchas formas de aproximar una función mediante polinomios, pero sólo se tratará los llamados polinomios de Taylor.

TEOREMA 1.1 POLINOMIOS DE TAYLOR.

Sea f una función continua en un intervalo cerrado

[ ]

a,b tal que sus n

f = _n + _n (1.5) donde

n n

n x x

n x f x x x f x x x f x f x

P .( )

! ) ( ... ) .( ! 2 ) ( ) ).( ( ) ( )

( 0 ₀

) ( 2 0 0 ) 2 ( 0 0 ) 1 (

0 + − + − + + −

= (1.6)

y ₀ 1

) 1 ( ) .( )! 1 ( ) ( ) ( + + − +

= n n

n x x

n f x

R ε (1.7)

A P_n(x) se le llama polinomio de Taylor de grado n para la función f alrededor de x₀.

A R_n(x) se le llama residuo o error de truncamiento asociado a P_n(x). A la igualdad (1.7) también se le conoce con el nombre de forma de Lagrange para el residuo.

OBSERVACIONES:

(24)

Capítulo 1. Errores y Aritmética del Computador Lic. Elizabeth Vargas 28 n ) n ( n n ) k ( ) k ( n n ) x x ( ! n ) x ( f ) x ( P ) x ( P . n ,..., , , k ), x ( f ) x ( P ) x ( f ) x ( P 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 − + = = = = −

ii) Si se toma x0 =0 en la fórmula (1.6) se obtienen los llamados polinomios

de Maclaurin ( no es más que los polinomios de Taylor alrededor de cero).

iii) Para estimar el error cometido al aproximar f(x) por un polinomio de

Taylor se usa R_n(x) ( fórmula 1.7 ), para ello hay que hallar un número

ε

(que depende de x) entre x y x₀, de tal manera que R_n(x) tienda a cero. Esto tiene sus inconvenientes ya que no hay una regla general para hacer dicha elección de

ε

; en lugar de ello se acota el resto de la siguiente manera: De (1.5) se tiene:

R_n(x) = f(x)−P_n(x)

(

)

(

)

0 1

1 0 1 0 1 1 1 1 + + + + − + = − + = n n n n x x f n x y x x x n f . ) ( . ! entre . )! ( ) ( ) ( ) ( ε ε ε

Si existe M > 0 tal que f n+ x ≤M

) ( ) 1 (

para todo x∈

[ ]

a,b , entonces

. ₀ 1

)! 1 ( ) ( − + + ≤ n

n x x

n M x

R

Sea . ,

)! 1 ( 1 0 + − + = n x x n M

E luego: f(x)−P_n(x) = R_n(x) ≤E

(25)

v) Al evaluar funciones trigonométricas recuerde realizar los cálculos en el sistema radián.

Ejemplo 1.6. Sea f(x)=sen(x):

a) Halle el polinomio de Taylor de grado 3 para f alrededor de x0 = 0.

b) Usando el polinomio obtenido en (a) aproxime sen(0,1), y evaluar la precisión de esta aproximación.

c) Halle el polinomio de Taylor de grado n para f alrededor de cero. Halle la formula para el error.

Solución: a) Para hallar el polinomio de Taylor de grado 3 se requiere las

tres primeras derivadas de f evaluadas en x0 = 0:

1 0 0 0 1 0 0

0 1 2 3

3 2 1 − = = = = − = − = = = ) ( ) ( , ) ( , ) ( ) cos( ) ( ) ( ) ( ), cos( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( f y f f f x x f y x sen x f x x f x sen x f

Aplicando la fórmula ( 1.6 ) se obtiene:

! 3 ) ( 3 3 x x x

P = − .

El error de truncamiento asociado es:

₃

(

0

)

4

4 −

= sen x x R x ! ) ( )

( ε , con ε_x entre 0 y x.

Así, 4

3 ! 4 ) ( ! 3 )

(x x x sen x

sen = − + εx , con

ε

_x entre 0 y x. b) Evaluando P3(x) y R3(x) en x = 0,1 se obtienen:

sen(0,1)≈P₃(0,1)=0,09983333

( )

4 6

3 (0,1) . ( ) 4,16666 10

! 4 1 1 ,

0 = sen ≤ x −

(26)

Así : R3

( )

0,1 = sen(0,1)−P3(0,1) ≤0,00000416

de donde: 0,099829≤sen(0,1)≤0,099837. El valor de sen(0,1) que arroja la calculadora es sen(0,1)=0,0998334 (el cual se toma como valor exacto) ,

por lo que el error absoluto es: sen(0,1)−P3(0,1) =0,0000034<0,00000416.

En la siguiente tabla se muestran aproximaciones para la función f(x) = sen(x) con el polinomio de Taylor de grado 3:

X 0,1 1 3,1415

P3(x) 0,0998333 0,8333333 -2,0257556

Sen(x) 0,0998334 0,8414710 9,2654x10-5

Observe que para valores de x lejanos al cero, las aproximaciones no son buenas.

c) Para hallar el polinomio de Taylor de grado n se buscan las n primeras derivadas.

Así: f(0)=0, f(1)(0)=1, f(2)(0)=0, f(3)(0)=−1, en general f(n)(0)=0 para n par. Luego el polinomio de Taylor de grado n para f alrededor de cero es:

)! i (

x ) ( )! n (

x ) ( ... ! x ! x ! x x ) x ( P

i n

i

i n

n n

1 2 1 1

2 1 7

5 3

1 2 0

1 2 7

5 3

+ −

= + −

+ + − + −

= +

∑

d) A continuación se muestran las aproximaciones obtenidas para sen(0,1) usando polinomios de Taylor de diversos grados.

n 1 3 5 7

(27)

Ejemplo 1.7 a) Halle el grado del polinomio de Taylor, centrado en x0 =1, que debe usarse para aproximar Ln(1,2) con un error menor que 0,001. b) Evalúe Ln(1,2) usando el polinomio obtenido en (a). c) Evalúe el polinomio obtenido en (a) en 0,5 ; 0,8 ; 0,9 ; 1,01 ; 1,1 ; 1,2 ; 1,8 ; 2. d) Aproxime Ln(1.2) usando polinomios de grado 1,2,3,4,5,6,7,8

Solución: a) Sea f(x) = Ln(x), con x > 0, derivando f se obtiene:

4 4 3 3 2 2

1 1 1 2 23

x x f x x f x x f x x

f( )( )= , ( )( )=− , ( )( )= , ( )( )=− . ..,

n n n x n x

f ( ) ( 1) .( 1)! 1

)

( = − −

+

. El error asociado al aproximar Ln(1,2) mediante el

polinomio de Taylor de grado n viene dado por:

(1,2 1) . ( )

)! 1 ( 1 ) 2 , 1

( − +1 ( +1) ε

+

= n n

n f

n

R , con

ε

entre 1 y 1.2 .

Pero ( ) ( 1) ₁. ! !₁ ! 2 ) 1 ( n n n

f _n _n

n

n = − = <

+ + + + ε ε

ε pues 1 <1

ε . Luego

1 ) 2 , 0 ( ! . )! 1 ( ) 2 , 0 ( ) 2 , 1 ( 1 1 + = +

< + +

n n n R n n n

Se pide que el error sea menor que 0,001, por lo que:

001 0 1 2 0 2 1 1 , ) , ( ) , ( < + < + n R n

(28)

El menor entero positivo que satisface la desigualdad (1.8) es n = 3. Luego, el polinomio de Taylor centrado en x0 = 1, es de grado 3:

₃ 2 ( 1)3 3

1 ) 1 ( 2 1 ) 1 ( )

(x = x− − x− + x−

P (1.9)

b) Para aproximar Ln(1,2) usando P3(x) se sustituye x = 1,2 en (1.9)

obteniéndose Ln(1,2)≈P3(1,2)=0,182667. El valor de Ln(1,2) que arroja la

calculadora es Ln(1,2)=0,182326 (el cual se toma como valor exacto) por lo

que el error absoluto es: Ln(1,2)−P₃(1,2) =0,34x10−3. ¿Cuántas cifras significativas comparten Ln(1,2) y P3(1,2)?.

c) En la tabla 1.1 se muestran los resultados obtenidos al evaluar P₃(x)y

f(x)=Ln(x) en distintos valores. Para ello se elaboro un programa en MATLAB ( identificado con el nombre PROGRAMA 1.1), el cual realiza las evaluaciones funcionales de ambas funciones , calcula el error absoluto y las graficas.

x Ln(x) p(x) error absoluto

0.50000 -0.69315 -0.66667 0.02648 0.80000 -0.22314 -0.22267 0.00048 0.90000 -0.10536 -0.10533 0.00003 1.01000 0.00995 0.00995 0.00000 1.10000 0.09531 0.09533 0.00002 1.20000 0.18232 0.18267 0.00035 1.80000 0.58779 0.65067 0.06288 2.00000 0.69315 0.83333 0.14019

(29)

A continuación se muestra la grafica de P3(x) y f(x)=Ln(x):

0 0.5 1 1.5 2

-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1

POLINOMIO DE TAYLOR DE GRADO 3 PARA F(X)=Ln(X)

y=P(X) --->

<---y=Ln(X)

PROGRAMA 1.1

%________________________________________________________ %Programa para aproximar la función f(x)=Ln(x) mediante

%el polinomio de Taylor de grado n, alrededor de 1.

%________________________________________________________ %VARIABLES USADAS:

(30)

w=input ('introduzca el número de evaluaciones que desea '); n=input ('entre el grado del polinomio: n entero positivo '); salida=[];

for j=1:w

x=input('entre los valores de x a evaluar');

%EVALUACION DEL POLINOMIO EN EL VALOR x s=0;

for i=1:n

m=((-1)^(i+1))/ i ; m1=m*((x-1)^i); s=s+m1; end

% EVALUACION DE LA FUNCION LOGARITMO EN x( valor exacto, denotado por ve)

ve=log(x);

% Calculo del error absoluto error=abs(s-ve);

salida=[salida;n,x,ve,s,error]; end

fprintf('\n')

fprintf(' n x Ln(x) p(x) error absoluto\n') for h=1:w

fprintf('%3.0f %10.5f %10.5f %10.5f %10.5f',salida(h,:)) fprintf('\n')

end

% creación del polinomio de Taylor con el fin de graficarlo p=[];

for k=n:-1:1

c=((-1)^(k+1))/k; p=[p,c]; end

p=[p,0];

(31)

x2=0.1:.1:2; x3=x2-1;

z=polyval(p,x3); y1=log(x2); q=[];

for l=0.1:.1:2; q=[q,0]; end

plot(x2,z,'r',x2,y1,'b',x2,q) fprintf('\n')

title('POLINOMIO DE TAYLOR DE GRADO 3 PARA F(X)=Ln(X)') gtext('y=P(X) --->') ; gtext('<---y=Ln(X) ')

d) En la tabla 1.2 se muestran los resultados obtenidos al evaluar la función f(x)=Ln(x) en x=1.2 mediante polinomios de Taylor de distintos grados :

n x Ln(x) p(x) error absoluto 1 1.20000 0.18232 0.20000 0.01768 2 1.20000 0.18232 0.18000 0.00232 3 1.20000 0.18232 0.18267 0.00035 4 1.20000 0.18232 0.18227 0.00005 5 1.20000 0.18232 0.18233 0.00001 6 1.20000 0.18232 0.18232 0.00000 7 1.20000 0.18232 0.18232 0.00000 8 1.20000 0.18232 0.18232 0.00000

(32)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.3

1) Obtenga el polinomio de Taylor de tercer grado de la función coseno en 4

/

π y la forma de Lagrange del residuo.

2) Estimar el error cometido al aproximar 0.6

e por

! 5 ! 4 ! 3 ! 2 1

5 4 3 2

x x x x

x+ + + +

+

3) ¿Qué grado de polinomio de Maclaurin para f(x)=Ln(1+x) se debe usar para hallar Ln(1.5) con un error menor que 0,0001?

4) a) Obtenga el polinomio de Taylor de grado 3 para 2 ) 1 ( )

(x = +x − f

alrededor de x0 = 0, y use este polinomio para aproximar f(0,05). Compare con el valor exacto.

b) Encuentre una cota para el error en esta aproximación . Compare su resultado con el error exacto de f(0,05).

c) Use el polinomio obtenido en (a) para aproximar

∫

0.05 + − 0

2 . ) 1

( x dx.

5) Encuentre el menor entero n necesario para aproximar

x x

f( )=1 en x = 1,25 con un error menor que 10-8, usando el polinomio de

Taylor de grado n alrededor de x0 = 1.

6) Sea f(x)=Ln(1+x), encuentre el polinomio de Taylor de cuarto grado para f, expandido alrededor de x0 = 0 y úselo para aproximar Ln(1,1). Encuentre una cota para el error en esta aproximación.

(33)

_a₎ _cos(_x_), _b₎ _e−x_, _c₎ _sec(_x_), _d₎ _arctg₍_x_), _e₎ _arcsen₍_x_), _f₎ _x2_. _e−x

8) Use los polinomios obtenidos en (7) con n = 3 para aproximar cos(0,3), arcsen(0,4), arctg(0,5). Determine el error en cada aproximación.

AUTOEVALUACIÓN 1

1) CALCULE:

3 1 9 1 2

− −

X X

en X =0.3334 usando :

a) Aritmética de redondeo a cuatro dígitos

c) Aritmética de truncamiento a cuatro dígitos

Compare ambos resultados con el valor exacto.

2) CALCULE: -10π + 6 e -62

3

usando :

a) Aritmética de redondeo a tres dígitos

b) Aritmética de truncamiento a tres dígitos

c) Calcule el valor exacto con 6 cifras significativas.

(34)

3) CALCULE:

17 1

7 23 − π

usando :

a) Aritmética de redondeo a tres dígitos

b) Aritmética de truncamiento a tres dígitos

c) Calcule el valor exacto con 6 cifras significativas.

d) Compare ambos resultados con el valor exacto.

4) Considere la función f definida por: f(x) = sen(5ππππ x)

a) Halle el polinomio de Taylor de grado 2 para f alrededor de X0=0.5

y úselo para aproximar f(0.8) .

b) Calcule una cota superior para el error de truncamiento .

5) Sea F definida por F(x) = ex .cos(x). Obtenga el polinomio P4 (x) de Taylor de grado 4 para F alrededor de x0 = 0.

6) Sea la función F definida por F(x)= arctan(x)

a) Halle el polinomio de Taylor de grado 3 para F alrededor de X0=0.

b) Aproximar el valor de

π

usando el polinomio obtenido en (a) y la

siguiente expresión _ + )_ 3 1 arctan( )

2 1 arctan(