CAPITULO II
MÉTODOS QUE IMPLICA LA SEPARACIÓN DE VARIABLES EN UNA E.D
2.1 Ecuaciones de primer grado por variables separables
Se dice que en una ecuación diferencial se pueden separar sus variables si es posible escribirla de la forma
( ) ( ) ( ) ( )
Multiplicando por el factor ( ) ( ) , se obtiene la expresión:
( ) ( )
( )
( )
Lo cual resulta fácil de integrar siendo ( )( ) una función de la variable y ( )( )
una función de , sin embargo, para la obtención de la solución es importante considerar si las funciones son integrables.
Ejemplo 1. Encontremos la solución de la ecuación diferencial ( ) ( )
Solución:
( ) ( ) (1) Multiplicando (1) por ( )( ):
(2) Despejando e integrando (2)
∫
∫
(3) De la integral∫
∫
( )( ) ∫ [ ] Por fracciones parciales se obtiene que
( ) ( )
Haciendo uso de los ceros relativos que se obtienen de , y de , se tiene que
Si
Y si
( ) ( )
Luego la integral nos queda de la forma
∫
∫ [ ] ∫ [ ] Sustituyendo en (3)
∫ [
]
∫
(
) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) (
) ( )
(
) ( )
( )
(
)
Donde ( ) Es la solución general de la EDO ( ) ( )
Ejemplo 2. Encontremos la solución de la ecuación diferencial ( ) ( ) ( ) Solución:
Dividiendo por el factor ( ) ( ) obtenemos
( )
( )
( ) Y al integrar
∫
( ) ∫
( )
Simplificando
| | | ( )| | |
| ( )|
| | | | ( )
( )
Observe que el factor ( ) y ( ) son cero cuando y ( ) con , al sustituirlas en la ecuación original se comprueba que son soluciones, pero se obtienen de la solución general tomando y , respectivamente. Ejemplo 3. La pendiente de una familia de curvas está dada por:
Encuentre el miembro de la familia que pasa por el punto ( ). Solución:
Separando variables
Integrando
∫
∫ | | | | | | Simplificando
|| || || | | ( )( )
Evaluando en el punto ( ) obtenemos que , con lo cual el miembro de la familia buscado es
( )( )
Ejemplo 4. Resolver la ecuación diferencial
Solución:
No es separable, pero se convierte en separable al hacer el cambio de variable .
Sustituyendo:
( ) ( )
∫ ∫
Reemplazando
Obteniendo así la solución deseada.
2.1.1 Existencia y unicidad
Cuando un problema de valor inicial modela matemáticamente una situación física, la existencia y unicidad de la solución es de suma importancia, pues, con seguridad se espera tener una solución, debido a que físicamente algo debe suceder. Por otra parte, se supone que la solución sea única, pues si repetimos el experimento en condiciones idénticas, cabe esperar los mismos resultados, siempre y cuando el modelo sea determinístico. Por lo tanto, al considerar un problema de valor inicial es natural preguntarse por:
Existencia: ¿Existirá una solución al problema ?
Unicidad: ¿En caso de que exista solución, será única ?
Determinación: ¿En caso de que exista solución, como la determinamos ?
Ejemplo 5: Dado el problema de valor inicial
√ , ( )
no resulta difícil comprobar que es solución, pues separando variables e integrando obtenemos que
√ √
Y usando la condición inicial ( ) obtenemos que , con lo cual la solución sería . Observe que al resolver la ecuación diferencial dividimos por √ lo cual supone que , pero podemos verificar que es solución, en este caso una solución singular. En conclusión, el problema de valor inicial dado tiene solución pero no es única, como poder predecir este comportamiento sin tener que resolverlo; el siguiente teorema nos da una respuesta parcial.
Teorema
Sea [ ] [ ] tal que ( ) . Si ( ) y son continuas en , entonces existe un intervalo abierto , centrado en y una función ( ) definida en , que satisface el problema de valor inicial
{
( ) ( )
Ejemplo 6: En el ejemplo anterior tenemos que ( ) √ y
√ , las
cuales son continuas en el semiplano definido por ; por consiguiente, el teorema garantiza que para cada punto ( ) con de ese semiplano, hay un intervalo centrado en en el cual la ecuación diferencial tiene una solución única. Así por ejemplo, sin resolverlo sabemos que el problema de valor inicial
{
√ ( )
2.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas
Existen algunas ecuaciones diferenciales que al hacer un cambio de variable adecuado se reducen en ecuaciones de variables separables, como el ejemplo anterior.
Antes de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas es necesario definir lo que es una función homogénea.
Definición: Funciones homogéneas
Una función se dice homogénea de grado si ( ) ( )
Para todo y todo ( ) .
Ejemplo 7.
1. La función ( ) √ es homogénea de grado . 2. Las funciones ( )
y , ( )
, son homogéneas de
grado 0.
3. Las funciones ( ) , ( ) , ( ) son homogéneas de grado 2.
Ahora definimos lo que es una ecuación diferencial homogénea.
Definición: Ecuación diferencial homogénea
Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, ( ), es homogénea si la función ( ), es homogénea de grado cero.
Observación: si la ecuación diferencial está escrita en la forma
( ) ( )
Teorema
Si la ecuación diferencial ordinaria de primer orden ( )
Es homogénea, entonces el cambio de variable la reduce a una ecuación diferencial en variables separadas.
Demostración:
Al hacer la sustitución obtenemos
( )
Pero como ( ) es una función homogénea de grado cero tenemos que
( ) De donde
( )
( )
La cual es separable, como se quería.
Ejemplo 8. Resuelva la ecuación diferencial
( )
La ecuación diferencial es homogénea pues ( ) y ( ) son homogéneas de grado dos
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( ( ) ) ( )( ) ( )
(
)
de donde
Integrando y volviendo a las variables a obtenemos
| | | ( ) |
Note que es una solución singular de la ecuación diferencial dada.
Observación: Cuando la ecuación diferencial homogénea está escrita en la forma
( ) ( )
Conviene más rescribirla en la forma
( ) ( )
y aplicar aquí el cambio de variable .
Ejemplo 9. Resuelva la ecuación diferencial
√
Factorizando
Haciendo la sustitución
√
Integrando
( ) | | | |
Sustituyendo y despejando
( ) | |
( | |)
Observación: al dividir por el factor √ se pudo haber perdido algunas soluciones, pero no es solución y ( ) que son soluciones singulares.
Ejemplo 10. Resolver por el método de las homogéneas, la siguiente E.D.
( ) , con ( )
Solución:
( ) , es homogénea de grado 1
( ) , es homogénea de grado 1
Haciendo uso de las sustituciones
Sustituyendo en la E.D
O sea que
Separando variables e integrando se obtiene:
| | La solución general es:
| |
Para obtener la solución particular que pasa por el punto ( ) , se sustituye y en la solución general
| |
Por tanto, la solución particular es
2.3 Ecuaciones de primer grado reducibles a homogéneas
Consideremos la ecuación:
( )
Para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales hay que distinguir dos casos:
Caso I.
Supongamos en primer lugar que las rectas y se cortan en el punto ( ) Así, tendremos que:( ) ( ) ( ) ( ) Hagamos ahora el cambio de variable y de función
Con lo cual
( ( ) ( )
( ) ( ) ) (
) ( )
Es decir, hemos reducido la ecuación a homogénea.
Caso II.
Supongamos que y son rectas paralelas, con lo cual podrá ponerse ( ) ( ) para algún . Efectuamos ahora el cambio de función . Derivando, , osea, . Si sustituimos en la E.D. original obtenemos
(
) Que es de variables separadas.
Ejemplo 11. Resolver
Las rectas y se cortan en el punto ( ) ( ), con lo que efectuamos el cambio de variable
Sustituyendo en la E.D, se obtiene la ecuación homogénea
Para resolverla, se hace uso de la sustitución de donde se obtiene . Sustituyendo se obtiene:
( )
Ahora se distinguirá cuando, y cuando no, se anula la expresión
Esto ocurre cuando , analizando para , se tiene ( )
| | | | | |
( ) ( )
Sustituyendo se llega a:
( ) ( )
Y volviendo a las variables originales que implican , , se obtiene la solución de la ecuación diferencial.
(( ) ( )) (( ) ( )) ( ) ( )
Finalmente, con tenemos, respectivamente, las soluciones e que, sustituyendo e por su valor, se traducen en
Ejemplo 12:
Resolver
Solución:
Se efectúa el cambio de función , de donde . Sustituyendo, se tiene
( )
∫( ) ∫
( )
Sustituyendo de nuevo y denotando se obtiene la solución de las E.D. Original, que es:
2.4 Aplicaciones
2.4.1 Crecimiento Y Decaimiento Naturales
La ecuación diferencial
ec. 2.1
Sirve como un modelo matemático para una amplia variedad de fenómenos naturales, cualquiera que implique una cantidad cuya tasa de cambio con respecto al tiempo sea proporcional a su tamaño actual. A continuación están algunos ejemplos:
2.4.1.1 Crecimiento Poblacional.
Suponga que ( ) es el número de individuos en una población (humanos, insectos o bacterias) que tienen tasa de natalidad y mortalidad constante y (en el nacimiento o muerte de individuos por unidad de tiempo). Entonces, durante un breve intervalo de tiempo , ocurren ( ) nacimientos y ( ) muertes, aproximadamente, de modo que el cambio en ( ) esta dado en forma aproximada por
( ) ( )
Y por consiguiente
ec. 2.2
Donde ( )
2.4.1.2 Interés compuesto.
anual . (Observe que el 10% de interés anual significa que ) Interés compuesto continuamente significa que durante un pequeño intervalo de tiempo , el monto de interés sumado a la cuenta es aproximadamente ( ) de manera que
ec. 2.3
2.4.1.3 Descomposición (o desintegración) radiactiva.
Considere una muestra de una material que contiene ( ) átomos de cierto isótopo radiactivo en el instante . Se ha observado que una fracción constante de aquellos átomos radiactivos se descompone de manera espontánea (en átomos de otros elementos o en otros isótopos del mismo elemento) durante cada unidad de tiempo. En consecuencia, la muestra se comporta exactamente como una población con tasa de mortalidad constate y sin nacimientos, para escribir un modelo para ( ), utilizamos la ecuación 2.2 con ( ) en lugar de , con en lugar de , y con . Así obtenemos la ecuación diferencial
El valor de depende del isótopo radiactivo particular.
La clave del método de fechado por medo de carbono radiactivo es que una proporción constante de átomos de carbón en cualquier criatura viviente está formada por un isótopo radiactivo del carbono. Esta proporción permanece constante ya que la fracción de en la atmósfera permanece casi constante, y la materia viva está tomando carbono continuamente del aire o está consumiendo otras materias vivientes que contienen la misma razón constante de átomos de a los átomos de carbono ordinario . Esta misma proporción permanece toda la vida ya que los procesos orgánicos parecen no hacer distinción entre los dos isótopos.
La razón de al carbono normal permanece constante en la atmósfera pues aunque es radiactivo y se descompone lentamente, la cantidad se repone de manera continua mediante la conversión de (nitrógeno ordinario) a por el bombardeo de los rayos cósmicos en la atmosfera superior. Durante la larga historia del planeta, este proceso de desintegración y reposición se ha convertido en un estado casi estable.
normal empieza a disminuir. Midiendo esta razón, puede estimarse la cantidad de tiempo transcurrido desde la muerte del organismo. Para tales propósitos es necesario medir la constante de desintegración . Para , se sabe que si es medida en años.
(La cuestión no es tan sencilla como hemos hecho parecer. La aplicación del fechado mediante carbono radiactivo debe tomarse con extremo cuidado evitando la contaminación de la muestra con materia orgánica o incluso con el aire fresco ordinario. Además, los niveles de los rayos cósmicos no han sido constantes, de modo que la razón de en la atmósfera ha variado en los siglos pasado. Mediante el uso de métodos independientes de fechado de muestras, los investigadores en esta área han compilado tablas de factores de corrección para aumentar la precisión de este proceso).
2.4.1.4 Eliminación de medicamento.
En muchos casos la cantidad ( ) de cierto medicamento en la corriente sanguínea, medida por el exceso sobre el nivel natural de la misma, disminuirá a una tasa proporcional a la cantidad excedente actual. Esto es,
Donde . El parámetro se denomina constante de eliminación del medicamento.
2.4.2 Enfriamiento y Calentamiento.
De acuerdo con la Ley de enfriamiento de Newton, la tasa de cambio con respecto al tiempo de la temperatura ( ) de un cuerpo inmerso en un medio de temperatura constante es proporcional a la diferencia . Esto es,
( )
2.4.3 Ley de Torrricelli.
Suponga que un tanque de agua tiene un agujero de área en el fondo, por el cual está saliendo el agua, denotamos con ( ) la profundidad de agua en el tanque en el instante , y con ( ) el volumen del agua en el tanque en ese momento. Es plausible (y cierto en condiciones ideales) que la velocidad del agua que sale a través del agujero es: √
Que es la velocidad que una gota de agua adquiría en caída libre desde la superficie del agua hasta el agujero. Esta fórmula se puede deducir comenzando con la suposición de que la suma de las energías cinética y potencial del sistema permanece constante. En condiciones reales, se debe tomar en cuenta la contracción que sufre un chorro de agua en un orificio, √ , donde es una constante empírica entre 0 y 1 (por lo común 0.6 para una pequeña corriente de agua). Por simplicidad tomamos en el análisis siguiente:
√
ec. 2.4 O de manera equivalente
√
Donde√
Esta es una fórmula de la Ley de Torrecelli para un tanque desaguando. Si ( ) denota el área de la sección transversal horizontal del tanque a la altura por encima del agujero, el método del volumen por secciones transversales da
∫ ( )
De modo que el teorema fundamental del cálculo implica que ( ) y por consiguiente que
( )
ec. 2.5 Finalmente, de las (2.4) y (2.5)
( )
√ √
Agujero circular de área a 𝑉(𝑡)
y(t)
2.4.4 Solución de la ecuación del crecimiento natural.
El prototipo de la ecuación diferencial
(1)
con
( )
y una constante (ya sea positiva o negativa) se resuelve con facilidad separando las variables.∫ ∫
( )
Ya que es una constante, también lo es . Es claro que ( ) , de esta manera la solución particular de la ecuación con la condición inicial ( ) es sencillamente,
Es importante anotar que:
Si hay un crecimiento natural Si hay un decaimiento natural
EJEMPLO 13.
Crecimiento de bacterias
En un principio, un cultivo al inicio tiene P0cantidad de bacterias. En hora se determina que el número de bacterias es 0
2 3
P . Si la rapidez de crecimiento es
proporcional al número de bacterias ( ) presentes en el tiempo , determine el tiempo necesario para que se triplique el numero de bacterias.
Solución Primero se resuelve la ecuación diferencial en (1), donde el símbolo se reemplaza por . Con t0 0, la condición inicial es P(0)P0. Entonces se
usa la observación empírica de que 0
2 3 ) 1
( P
P para determinar la constante de
Observe que la ecuación diferencial es separable, y su solución general es:
( )
Por tanto kt
ce t
P( ) . En se deduce que P0 ce0 c, y en consecuencia
kt e P t
P( ) 0 . En se tiene k e P
P0 0
2
3 o bien
2 3
k
e . De la última
ecuación se obtiene 0.4055 2
3
ln
k , entonces P t Pe0.4055t
0 )
( . Para determinar
el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, se resuelve
t e P
P0 0 0.4055
3 para t. Se deduce que , o
h
t 2.71
4055 . 0 3 ln
Observe en el ejemplo 13 que el número real P0de bacterias presentes en el tiempo no tuvo que ver en el cálculo del tiempo que se requirió para que se triplicara el número de bacterias en el cultivo. El tiempo necesario para que se triplique una población inicial de, por ejemplo 100 bacterias o 1.000.000 es aproximadamente 2.71 Horas. Observamos la grafica de crecimiento y decaimiento poblacional.
Como se ilustra en la grafica, la función exponencial kt
Vida Media
En física, la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente el tiempo que tarda en desintegrarse, o transmutar en átomos de otro elemento, la mitad de los átomos de una cantidad inicial Ao. Mientras más grande sea la vida media de una sustancia, más estable es ésta.
EJEMPLO 14.
Vida Media del Plutonio
Un reactor autor regenerador convierte el uranio 238 relativamente estable en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que se desintegró 0.043% de la cantidad inicial Ao de plutonio. Calcule la vida media de este isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad presente.
Solución Sea A(t) la cantidad de plutonio presente en el tiempo t. Como en el Ejemplo 1, la solución de problema de valor inicial
kA dt dA
, A(0) Ao
es Kt
oe
A t
A( ) . Si 0.043% de los átomos de Ao se ha desintegrado, entonces aún queda 99.957% de la sustancia. Para hallar la constante de decaimiento k, se utiliza 0.99957Ao A(15) , esto es, Ao Aoe K
15 99957
.
0 . Al despejar de esta
ecuación el valor de la constante se obtiene que ln0.99957 0.00002867 15 1 k .
Por consiguiente, t
oe
A t
A( ) 0.0000286 . Ahora la vida media es el valor del tiempo en
el que A t Ao 2 1 )
( . Al resolver para t se obtiene 0 0.00002867
2
1 t
o Ae
A ó
t
e 0.00002687
2 1
. La última ecuación genera:
s a
t 24180 ño
00002867 . 0 2 ln
EJEMPLO 15.
Edad de un Fósil
Se encuentra que un hueso fosilizado contiene una milésima de la concentración de C-14 que se encuentra en la materia viva. Estime la edad del fósil.
Solución:
De nuevo, el punto de partida es Kt
oe
A t
A( ) . Para determinar el valor de la
constante de decaimiento k, se usa el hecho de que (5600) 2
1
A
k
o Ae
A 0 5600
2
1
(5600 años es aproximadamente la vida media del reactivo C-14).
De ln2
2 1 ln
5600k se obtiene k (ln2)/56000.00012378 . Por
consiguiente, At Aoe t
0001237 . 0 ) ( .
Luego para calcular el tiempo se usa: A t Ao 1000
1 )
( (milésima concentración de
C-14), se tiene t
o
o A e
A 0.00012378
1000
1
, de modo que
1000 ln 1000 1 ln 00012378 .
0
t . Por consecuencia, la edad del fósil es cercana
a:
os a
t 55800 ñ
00012378 . 0 1000 ln
EJEMPLO 16.
Torricelli
Por un agujero circular de área , en el fondo de un tanque, sale agua. Debido a la fricción y a la contracción de la corriente cerca del agujero, el flujo de agua, por segundo, se reduce a √ , donde . Deduzca una ecuación diferencial que exprese la altura del agua en cualquier momento , que hay en el tanque cúbico de la siguiente figura. El radio del agujero es de 2 pulgadas (recuerde que ).
Solución:
volumen del tanque Arista del cubo
Base cuadrada del tanque=
Altura del agua en el tiempo
De modo que;
(1)
Derivando, respecto al tiempo , ambos miembros de la ecuación (1), se halla la relación entre las razones de cambio del volumen y la altura del tanque:
Pero
√ ( ) √ ( ( ) ) √ (
) √
√ (3)
Sustituyendo (3) en (2), se obtiene:
√
√
TALLER 2.
METODO DE VARIABLES SEPARABLES
I.- En los problemas de 1 al 18 determine las soluciones generales (implícitas si es
necesario, explicita si es conveniente) de las ecuaciones diferenciales.
1) 2) 3) 4) ( ) 5) √ √ 6) √ 7) ( ) 8) 9) ( ) 10) ( ) ( ) 11)
12) ( ) 13) ( ) 14) √
√
15) ( ) ( )
16) ( ) 17) 18)
II.- Determine las soluciones particulares explícitas de los problemas con condición inicial en los problemas del 19 al 28
19) , ( ) 20) ( ), ( ) 21) √ , ( ) 22) , ( )
24) , ( ) 25) ( ) 26) , ( ) 27) , ( ) 28) √ ( )
III.- Determine las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales en los problemas 29 42.
29) ( ) 30) 31) √ 32) ( ) 33) ( ) ( ) 34) ( )
35) 36) 37) 38) 39) ( ) 40) √ 41) √ 42) √
43) ( ) ( ) 44) ( ) ( ) 45) ( ) ( ) 46) ( ) ( ) 47) ( ) ( ) 48) ( ) ( ) 49) ( ) ( ) 50) ( ) ( ) 51) ( ) ( ) 52) ( ) ( ) 53) Demostrar que la ecuación diferencial
( )
Se puede transformar en una ecuación diferencial homogénea haciendo el cambio de variable
( )
Se puede transformar en una ecuación homogénea haciendo el cambio de variable de variable
IV.- Analice y resuelva los siguientes problemas
55) Cierta ciudad tuvo una población de 25.000 en 1960 y una población de 30.000 en 1970. Suponga que su población continuará creciendo de forma exponencial a una tasa constante. ¿cuánta población pude esperar esta ciudad para el año 2000 y el 2050?
56) En cierto cultivo de bacterias, número de estas se sextuplico en 10 horas ¿Cuánto tardo la población en duplicarse?
57) El carbono extraído de un antiguo cráneo sólo contenía un sexto de que el carbono extraído de un hueso actual. ¿Qué edad tiene el cráneo?
58) El carbono extraído de una supuesta reliquia característica de los tiempos de Cristo contenía átomos de por gramo. El carbono extraído de una espécimen actual de la misma sustancia contiene átomos de por gramo. Calcule la edad aproximada de la reliquia. ¿Cuál es su opinión sobre la autenticidad de la reliquia?
59) Cuando nació su primer hijo una pareja deposito $5000000 en una cuenta de ahorro que paga el 8% anual de interés compuesto continuamente. Se dejó que se acumulara los intereses devengados. ¿A cuánto ascenderá la cuenta en el decimoctavo cumpleaños del hijo?
60) La vida media del cobalto radiactivo es de 5.27 años. Suponga que un accidente nuclear ha dejado que el nivel de cobalto radioactivo ascienda en cierta región a 100 veces el nivel aceptable para vida humana. ¿Cuánto tiempo pasará para que la región vuelva a ser habitable? (ignore la presencia de otros elementos radiactivos).
62) Un tarro de crema, inicialmente a 25 ºC, se va a enfriar colocándolo en el pórtico donde la temperatura es de 0 ºC. Suponga que la temperatura de la crema ha descendido a 15 ºC después de 20 min. ¿Cuándo estará a 5 ºC?
