Álgebra
A
r t u r oA
g u i l a rM
á r q u e zF
a b i á nV
a l a p a iB
r a v oV
á z q u e zH
e r m á nA
u r e l ioG
a l l e g o sR
u izM
i g u e lC
e r ó nV
il l e g a sR
i c a r d oR
e y e sF
i g u e r o aR E V I S I Ó N T É C N I C A
Ing. Carlos Lozano So usa (M.Sc.)
I n s tit u to T e c n o ló g ic o y d e E s tu d i o s S u p e r i o r e s d e M o n t e r r e y C a m p u s E s ta d o d e M é x ic o
Prentice Hall
Álgebra Primera edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2009
ISBN: 978-607-442-289-4
Área: Matemáticas
form ato: 20 X 25.5 cm Páginas: 480
T odos los d e re c h o s reserv ad o s
E d ito res: L ilia M o ren o O I vera
e-m ail: lilia.m o ren o @ p earso n ed .co m E d ito r de d e sa rro llo : A le ja n d ro G óm ez R uiz
S up erv iso r d e producción: J u a n Jo s é G a rc ía G u zm án
P R IM E R A E D IC IÓ N , 200 9
D .R . © 2 0 0 9 por P e a rso n E d u ca ció n d e M éxico, S A . d e C.V.
A tlaco m u lco 5 0 0 -5 ° Piso In d u strial A toto
53519 N au calp an de Ju á rez , E sta d o d e M éx ico
C á m a ra N a c io n a l d e la In d u stria E d ito rial M exicana. R eg. núm . 1031
P ren tice-H all e s m arca reg istrad a d e P e a rs o n E ducación d e M é x ico , S .A . de C.V.
R eservados to d o s los d erech o s. N i la to ta lid a d ni p arte d e e s ta p u b lic a ció n p u ed en re p ro d u cirse, registrarse o tran sm itirse, p o r un sistem a d e re cu p e rac ió n d e inform ación, e n nin g u n a fo rm a ni p o r n in g ú n m edio, s e a e le ctró n ico , m ecán ico , fotoquím ico, m agnético o e le ctro ó p tic o , por fotocopia, g ra b ac ió n o c u a lq u ie r otro, s in p erm iso prev io por e s c rito d e l editor.
E l préstam o, a lq u ile r o cu alq u ier o tra fo rm a d e c esió n de uso d e este e je m p la r req u erirá tam b ién la a u to riza c ió n d e l e d ito r o d e sus representantes.
ISB N : 9 7 8 -6 0 7 -4 4 2 -2 8 9 -4
P re n tice H a ll
es una m arca de
P E A R S O N
Im preso e n M éx ico . P rin te d in M éxico.
Para los que enseñan y para los que aprenden
El p o d er d e las m atem áticas
El que dom ina las m atem áticas
piensa, ra zo n a , a n a liz a y por ende
actúa con ló g ica en la v id a co tid ia n a ,
por tanto, dom ina a l mundo.
P refacio
E
l re g u la riz a c ió n e n l a s á r e a s d e M a te m á tic a s , F ísic a y Q u ím ic a , c o n r e s u lta d o s a lta m e n te sa tis fa c to rio s . Colegio N a cio n a l d e M atem áticas e s u n a in s titu c ió n q u e , d e s d e s u fu n d a c ió n , h a im p a r tid o c u r s o s d e E s p o r e llo q u e s u f u n d a d o r y d ir e c to r g e n e ra l, e l In g e n ie ro A r t u r o S a n ta n a P in e d a , d e c id ió p la s m a ry c o m p a r tir la e x p e rie n c ia a d q u irid a e n e s te lib r o q u e re c o p ila l o a p r e n d id o e n to d o s e s to s a ñ o s y c u y o
p rin c ip io f u n d a m e n ta l e s q u e la p e r s o n a q u e a p r e n d e m a te m á tic a s , p ie n s a , a n a liz a , r a z o n a y p o r ta n to a c tú a
c o n ló g ic a .
A tra v é s d e e s t a in s titu c ió n y s u s d o c e n te s , s e h a lo g ra d o n o s ó lo r e s o lv e r e l p r o b le m a d e re p ro b a c ió n
c o n e l q u e lle g a e l e s tu d ia n te sin o , ta m b ié n , c a m b ia r s u a p r e c ia c ió n s o b r e la m a te ria , d e ta l fo rm a , q u e s e v a
c o n v e n c id o d e q u e e s fá c il a p r e n d e r m a te m á tic a s y q u e p u e d e in c lu s o d e d ic a r s e a ella s. D e a h í q u e jó v e n e s
q u e h a n lle g a d o c o n s e r io s p r o b le m a s e n e l á r e a , u n a v e z q u e d e s c u b re n s u p o te n c ia l h a n d e c id id o e s tu d ia r
a lg u n a c a r r e r a a fín .
D e e s t a fo rm a, s e d e c id e u n i r á lo s d o c e n te s c o n m a y o r e x p e rie n c ia y tra y e c to ria d e n tr o d e la in s titu c ió n
p a r a q u e c o n ju n ta m e n te e s c rib a n u n lib r o q u e le jo s d e p r e s u n c io n e s fo rm a le s , m u e s tre l a p a r te p r á c tic a q u e
r e q u ie r e u n e s tu d ia n te a l a p r e n d e r M a te m á tic a s y q u e l e s ir v a d e r e fu e r z o p a r a l o s c o n o c im ie n to s a d q u ir id o s
e n e l a u la .
Enfoque
E l lib r o tie n e u n e n fo q u e 1 0 0 % p rá c tic o , p o r lo q u e la te o r ía q u e s e tr a t a e s l o m á s b á s ic a p o sib le, s ó lo s e
a b o r d a n lo s c o n c e p to s e le m e n ta le s p a r a q u e e l e s tu d ia n te c o m p r e n d a y s e e je rc ite e n l a a p lic a c ió n d e l a te o r ía
a n a liz a d a e n e l a u la , e n s u lib r o d e te x to y c o n s u pro feso r.
D e e s t a m a n e ra , s e p o n e m a y o r é n fa s is e n l o s e je m p lo s , e n d o n d e e l e s tu d ia n te t e n d r á l a re fe re n c ia
p a r a re s o lv e r lo s e je r c ic io s q u e v ie n e n a l fin a l d e c a d a t e m a y p o d e r a s í r e a f ir m a r lo a p re n d id o . E s ta m o s
c o n v e n c id o s d e q u e e s u n a m a te ria e n l a c u a l e l ra z o n a m ie n to e s f u n d a m e n ta l p a r a s u a p re n d iz a je , s in
e m b a rg o , la p r á c tic a p u e d e lo g ra r q u e e s te ra z o n a m ie n to s e d é m á s rá p id o y s in t a n t a d ific u lta d .
Estructura
E l lib r o e s t á fo r m a d o p o r d ie c is ie te c a p ítu lo s , lo s c u a le s lle v a n u n o r d e n e s p e c ífic o t o m a n d o e n c u e n ta
s ie m p re q u e e l e s tu d io d e la s M a te m á tic a s s e v a c o n s tru y e n d o , e s d e c ir, c a d a c a p ítu lo s ie m p r e v a lig a d o c o n
lo s c o n o c im ie n to s a d q u ir id o s e n lo s a n te rio re s.
C a d a c a p ítu lo e s tá e s tr u c tu r a d o c o n b a s e e n l a te o ría , e je m p lo s y e je rc ic io s p ro p u e s to s . L o s e je m p lo s s o n
d e s a rro lla d o s p a s o a p a so , d e ta l fo rm a q u e e l le c to r p u e d a e n te n d e r e l p ro c e d im ie n to y p o s te rio rm e n te re s o lv e r
to s e je rc ic io s c o rre s p o n d ie n te s . L a s re s p u e s ta s a lo s e je rc ic io s s e e n c u e n tr a n a l fin al d e l libro, d e ta l fo rm a q u e e l
e s tu d ia n te p u e d e v e rific a r s i l o s re s o lv ió c o rre c ta m e n te y c o m p r o b a r s u a p re n d iz a je . P o r o tr o la d o , e n a lg u n o s
c a p ítu lo s a p a re c e u n a se c c ió n d e p ro b le m a s d e a p lic a c ió n , l a c u a l tie n e c o m o o b je tiv o h a c e r u n a v in c u la c ió n
c o n c a s o s d e la v id a c o tid ia n a e n d o n d e s e p u e d e n a p lic a r lo s c o n o c im ie n to s a d q u ir id o s e n c a d a te m a .
C o m o r e c o m e n d a c ió n s e p r o p o n e q u e s e re s u e lv a n lo s e je rc ic io s p r e lim in a r e s d e a ritm é tic a q u e s e
e n c u e n tr a n e n u n a n e x o a l fin al d e l lib ro , a fin q u e e l le c to r h a g a u n d ia g n ó s tic o d e su s c o n o c im ie n to s
e n A ritm é tic a , l o s c u a le s s o n f u n d a m e n ta le s p a r a p o d e r in ic ia r e l a p r e n d iz a je d e l Á lg e b ra . D e t e n e r a lg ú n
p ro b le m a c o n d ic h o s e je rc ic io s , s e r e c o m ie n d a r e to m a r l o s te m a s c o r re s p o n d ie n te s y c o n s u lta r lo s e n e l lib ro
E l p r im e r c a p ítu lo a b o r d a l a te o r ía d e c o n ju n to s y ló g ic a , te m a s c la v e e n e l e s tu d io d e la s M a te m á tic a s .
S e d a n d e fin ic io n e s b á s ic a s , o p e r a c io n e s c o n c o n ju n to s , d ia g r a m a s d e V e n n , p ro p o s ic io n e s ló g ic a s y a lg u n o s
p ro b le m a s d e a p lic a c ió n .
E n e l s e g u n d o c a p ítu lo s e p r e s e n ta n lo s c o n c e p to s b á s ic o s d e l Á lg e b ra , s im p lific a c ió n d e té r m in o s
se m e ja n te s, le n g u a je a lg e b ra ic o , o p e r a c io n e s c o n p o lin o m io s y a lg u n a s a p lic a c io n e s d e e s to s te m a s.
E n lo s c a p ítu lo s 3 y 4 , s e a n a liz a n lo s p r o d u c to s n o ta b le s y l a fa c to riz a c ió n re s p e c tiv a m e n te , te m a s q u e
s o n h e r ra m ie n ta s ú tile s e n e l d e s a rr o llo d e lo s sig u ie n te s a p a rta d o s , p o r lo q u e s u e s tu d io d e b e s e r c o m p le to
p a r a p o d e r fa c ilita r e l a p re n d iz a je d e o t r o s te m a s . A m b o s c a p ítu lo s n o s lig a n d ir e c ta m e n te a l c a p ítu lo 5,
fra c c io n e s a lg e b ra ic a s , e n e l c u a l s e in c lu y e n t e m a s c o m o e l m á x im o c o m ú n d iv is o r y e l m ín im o c o m ú n
m ú ltip lo , p a r a p a s a r a s í, a l e s tu d io d e l a s fra c c io n e s d e s d e s u sim p lific a c ió n h a s ta s u s o p e ra c io n e s .
E l c a p ítu lo 6 , c o m p r e n d e e c u a c io n e s d e p r i m e r g ra d o , e n d o n d e e l o b je tiv o e s q u e e l e s tu d ia n te re s u e lv a
e c u a c io n e s c o n u n a in c ó g n ita e n s u s d if e r e n te s fo rm as, y p u e d a lle g a r a u n a d e la s g r a n d e s a p lic a c io n e s q u e
tie n e e l Á lg e b ra : e l p o d e r r e p r e s e n ta r u n p r o b le m a d e la v id a re a l c o n u n a e c u a c ió n , la c u a l, a l re s o lv e rla , d é
a> lu ció n a d ic h o p r o b le m a . A l fin al h a y u n a s e c c ió n p a r a d e s p e je s d e fó rm u la s.
L a f u n c ió n lin e a l y a lg u n a s a p lic a c io n e s s e e s tu d ia n e n e l c a p ítu lo 7 , p a r a d a r p a s o a lo s s is te m a s d e
tc u a c io n e s e n e l c a p ítu lo 8 , e n e l c u a l s e v e n l o s m é to d o s p a r a r e s o lv e r u n s is te m a d e d o s y tr e s e c u a c io n e s
c o n s u s re sp ec tiv o s p r o b le m a s d e a p lic a c ió n ; te r m in a e l c a p ítu lo c o n s o lu c ió n d e fra c c io n e s p a rc ia le s .
E n e l c a p ítu lo 9 , s e e s tu d ia la p o te n c ia c ió n , d e s d e l a s d e fin ic io n e s y te o r e m a s b á s ic o s c o m o e l d e s a rr o llo
d e b in o m io s e le v a d o s a u n a p o te n c ia “ n ” , y a s e a p o r e l te o r e m a d e N e w t o n o p o r e l d e triá n g u lo d e P a s c a l.
E n e l c a p ítu lo 10, s e sim p lific a n ra d ic a le s y s e r e s u e lv e n o p e r a c io n e s c o n e llo s, d a n d o p a u ta a l c a p ítu lo 11
q u e c o r r e s p o n d e a l o s n ú m e r o s c o m p le jo s c o n s u s u m a , re s ta , m u ltip lic a c ió n y d iv is ió n .
E l c a p ítu lo 12 c o r r e s p o n d e a l a s e c u a c io n e s d e s e g u n d o g r a d o — c o n s u s m é to d o s p a r a re s o lv e rla s — ,
a p lic a c io n e s y s is te m a s d e e c u a c io n e s q u e c o n tie n e n e x p re s io n e s c u a d rá tic a s .
E n e l c a p ítu lo 13, e s tu d ia m o s la s d e s ig u a ld a d e s lin e a le s, c u a d rá tic a s , r a c io n a le s y c o n v a lo r a b s o lu to .
L o s lo g a r itm o s s e in tr o d u c e n e n e l c a p ítu lo 14, d e s d e s u d e fin ic ió n , f o r m a e x p o n e n c ia l, p ro p ie d a d e s ,
a p lic a c io n e s , e c u a c io n e s c o n lo g a ritm o s y e x p o n e n c ia le s , fo rm a n p a r te d e é s te c a p ítu lo .
E n e l c a p ítu lo 15, s e e s tu d ia n la s p ro g re s io n e s , a r itm é tic a s y g e o m é tric a s . A l final, s e d a u n a a p lic a c ió n
fin a n c ie ra c o n e l te m a d e in te ré s c o m p u e s to .
E l c a p ítu lo 16, a n a liz a e l t e m a d e m a tric e s, la s c u a le s s e a b o r d a n p o r m e d io d e s u d e fin ic ió n , o p e r a c io n e s
y a p lic a c io n e s . T a m b ié n s e d a u n a in tr o d u c c ió n a lo s d e te rm in a n te s .
E l c o n te n id o d e l c a p ítu lo 17, e s e l d e r a íc e s d e u n p o lin o m io , e n d o n d e s e e s tu d ia c ó m o o b te n e rla s , lo s
A g ra d e cim ie n to s
S e g ú n B e n ja m ín F ra n k l in , in v e rtir e n c o n o c im ie n to s p r o d u c e s ie m p r e l o s m e jo re s in tereses, p o r lo q u e e s p e ro
q u e o b te n g a s , a tra v é s d e e s te libro, l a s m á s g r a n d e s g a n a n c ia s p a r a tu fu tu ro p ro fe s io n a l.
Ar t u r o Sa n t a n a Pi n e d a
Di r e c t o r Ge n e r a ld eC O N A M A T
A m i m a d re p o r d a r m e la v id a y e n s e ñ a r m e a v iv irla , A n d r e y p o r s e r y e s t a r c o n m ig o , C h e m a e H ir a m
lo s a lu m n o s q u e s e v o lv ie ro n m is h e r m a n o s , a m i fa m ilia (E c h e v e rría , P in e d a y S á n c h e z ), a la U N A M , a l
in g e n ie ro S a n ta n a , R o x lle g a s te a tie m p o , a lo s c u a t r o fa n tá s tic o s : H e r m á n , F a b iá n , R ic a r d o y M ig u e l, fue
u n p la c e r c o m p a r tir e s te tra b a jo . A m is a lu m n o s q u e fu e ro n y se rá n .
Ar t u r o Ag u i l a r Má r q u e z
A m is p a d r e s M a r ía E le n a y A lv a ro , p o r b r in d a r m e l a v id a , p o r s u s e n s e ñ a n z a s y c o n s e jo s ; a m i e s p o s a e h ijo s
(A n a , L ia m y D a n ie l), p o r q u e s o n l a r a z ó n d e m i v id a y m i in s p ira c ió n ; a m is h e r m a n o s B e le m , A d a lid y
T a n ia p o r a p o y a rm e in c o n d ic io n a lm e n te y s o b r e t o d o a m is c o m p a ñ e r o s y a m ig o s: R ic a rd o , M ig u e l, A r tu r o
y H e rm á n .
Fa b i á n Va l a p a i Br a v o Vá z q u e z
A E li y J o s é F e r n a n d o q u e s o n e l m o to r d e m i v id a y q u e s e h a n sa c rific a d o c o n m ig o ; a m is q u e r id o s p a d re s
H e r m á n y M a rb e lla , a m is h e r m a n o s F e r y L a lo ; a la m e m o ria d e m i q u e r id o tío C é s a r (q .e .p .d .); a m i tía
B la n c a ; a m is p r im o s C é s a r y B la n q u ita ; a l In g e n ie ro A r t u r o S a n ta n a y m is c o m p a ñ e r o s : F a b iá n , A rtu ro ,
M ig u e l y R ic a r d o q u e s i n e llo s n o h u b ie s e s id o p o s ib le r e a liz a r e s te lib ro .
He r m á n A . Ga l l e g o s Ru i z
A t o d a m i fa m ilia m u y e n e s p e c ia l a L u p ita y A g u s tín , p o r h a b e r m e d a d o l a v id a y s e r u n e je m p lo a se g u ir;
a m is h e r m a n o s E liz a b e th y H u g o p o r q u e r e r m e y s o p o rta rm e . Q u ie r o a d e m á s , re c o n o c e r e l e s f u e r z o d e m is
a m ig o s y c o m p a ñ e r o s A r tu r o , F a b iá n , H e r m á n y R ic a r d o c o n q u ie n tu v e l a o p o r tu n id a d d e v e r c r is ta liz a d o
e s te su e ñ o .
Mi g u e l Ce r ó n Vi l l e g a s
A m is p a d r e s R o s a y G e r a r d o , p o r d a r m e la v id a ; a m is h e r m a n o s Ja v ie r, G e r a r d o y A r tu r o ; u n e s p e c ia l
a g r a d e c im ie n to a m i e s p o s a M a . M e rc e d e s ; a m is h ijo s R ic a r d o y A lia n p o r s u sa c rific io , c o m p r e n s ió n y
to le ra n c ia ; u n r e c o n o c im ie n to a m is a m ig o s H e r m á n , A r tu r o A ., F a b iá n , M ig u e l, R o x a n a y A r t u r o S. p o r
h a c e r re a lid a d n u e s tro s u e ñ o .
Ri c a r d o Re y e s Fi g u e r o a
U n a g ra d e c im ie n to e s p e c ia l a lo s a lu m n o s q u e to m a r o n c la s e c o n a lg u n o d e n o so tro s, y a q u e g ra c ia s a e llo s
lo g ra m o s a d q u ir ir l a e x p e r ie n c ia p a r a p o d e r e s c rib ir e s te libro.
A c e r c a d e los autores
A r tu r o A g u ila r M á rq u e z . L le g ó c o m o e s tu d ia n te a C o le g io N a c i o n a l d e M a te m á tic a s , d e s a r r o lló h a b ilid a d e s y a p titu d e s q u e le p e r m itie r o n in c o r p o r a r s e a l a p la n tilla d e d o c e n te s d e l a In s titu c ió n . R e a liz ó e s tu d io s d e
A c tu a r ía e n l a F a c u lta d d e C ie n c ia s d e l a U n iv e rs id a d N a c io n a l A u tó n o m a d e M é x ic o y h a im p a r tid o c la s e s
d e M a te m á tic a s p o r m á s d e 11 a ñ o s e n C O N A M A T .
F a b iá n V alap ai B rav o V ázq u ez. D e s d e m u y te m p r a n a e d a d , c o n l a p r e p a r a c ió n d e p r o f e s o r e s d e C O N A M A T , p a rtic ip ó e n c o n c u r s o s d e m a te m á tic a s a n iv e l n a c io n a l. P o s te rio rm e n te , s e i n c o r p o r ó a l a p la n tilla d o c e n te
d e l a m is m a in s titu c ió n d o n d e h a im p a r tid o l a m a te ria d e M a te m á tic a s d u r a n te 12 a ñ o s . A l m is m o tie m p o ,
e s tu d ió la c a r r e r a d e D is e ñ o G r á f ic o e n l a E s c u e la N a c io n a l d e A r te s P lá stic a s.
H e rm á n A u re lio G alleg o s R u iz . S e in ic ió c o m o p r o f e s o r e n C O N A M A T . R e a liz ó e s tu d io s e n la E s c u e la S u p e r io r d e F ís ic a y M a te m á tic a s d e l I n s titu to P o lité c n ic o N a c i o n a l y A c tu a r ía e n la F a c u lta d d e C ie n c ia s
d e l a U n iv e r s id a d N a c io n a l A u tó n o m a d e M é x ic o . H a im p a r tid o c la s e s d e M a te m á tic a s y F ís ic a p o r m á s d e
15 a ñ o s e n C o le g io N a c io n a l d e M a te m á tic a s .
M ig u el C e ró n V illegas. E s e g re s a d o d e la U n i d a d P ro fe s io n a l In te rd is c ip lin a ria d e In g e n ie ría y C ie n c ia s S o c ia le s y A d m in is tr a tiv a s d e l In s titu to P o lité c n ic o N a c io n a l, re a liz ó e s tu d io s d e In g e n ie ría I n d u s tr ia l y tie n e
m á s d e 15 a ñ o s d e e x p e rie n c ia e n d o c e n c ia .
R ic a rd o R ey es F ig u e r o a . In ic ió s u tra y e c to r ia e n l a d is c ip lin a d e l a s M a te m á tic a s t o m a n d o c u r s o s e n C O N A M A T . D e ja n d o v e r s u g r a n c a p a c id a d p a r a tr a n s m itir e l c o n o c im ie n to , s e in c o r p o r a c o m o d o c e n te e n
la m is m a in s titu c ió n d o n d e h a im p a r tid o la m a te ria d e M a te m á tic a s y F ís ic a d u r a n te 19 a ñ o s . R e a liz ó s u s
e s tu d io s d e M a te m á tic a s e n l a E s c u e la S u p e r io r d e F ísic a y M a te m á tic a s d e l I n s titu to P o lité c n ic o N a c io n a l,
C o n ten id o
Álgebra
C a p í t u l o
1 Conjuntos y lógica
Sim bología, 4 . Conjuntos, 5 . Conjuntos d e núm eros, 6 . Tipos d e números, 6 . Escritura y representación d e conjuntos, 7 . C a rd in a lid a d , 8 . Conjuntos equivalentes, 9 . C onjuntos ¡guales, 1 0 . Conjuntos disjuntos,
1 0 . Subconjuntos, 1 1. Conjunto p o ten cia , 1 1. C onjunto universo, 1 2 . D iagram as d e Venn, 1 2 . Unión de conjuntos, 1 4 . Intersección d e conjuntos, 1 5 . Conjunto complemento, 1 7 . D iferencia d e conjuntos, 19. O p eracio n es d e conjuntos con diagram as d e Venn, 2 1 . Á lgebra d e conjuntos, 2 8 . Lógica, 2 9 . Tipos d e pro p o sicio n es, 3 0 . Proposiciones compuestas, 3 0 . leyes d e D e M organ, 3 3 . Proposiciones condicionales, 3 3 . Relación d e proposiciones abiertas con conjuntos, 3 4 . C á lc u lo proposicional, 3 8 . Construcción d e las
tablas d e verd a d , 4 0 . Producto cartesiano d e conjuntos, 4 3 .
C a p í t u l o
2 Conceptos básicos de álg ebra
Á lg e b ra , 4 6 . Expresiones a lg eb ra ica s, 4 6 . Red ucción d e términos sem ejantes, 4 6 . Valor num érico, 4 8 .
Lenguaje a lg eb ra ico , 5 0 . Polinomios, 5 2 . Suma, 5 2 . Resta, 5 4 . Sig nos d e ag ru pación, 5 6 . Reglas p a ra suprimir los sig n o s d e a g ru p a ció n , 5 6 . M u ltip lica ció n , 5 8 . División, 6 3 . Ley d e los exp on en tes p a r a la división, 6 4 .
C a p í t u l o
3 Productos notables
Definición, 7 4 . C u a d ra d o d e un binomio, 7 4 . C u a d ra d o d e un trinomio, 7 5 . Binomios conjugados, 7 7 .
Productos d o n d e s e a p lica n binom ios co n ju g a d o s, 7 8 . Binomios con término común, 8 0 . C u b o d e un binomio, 8 3 . M ultiplicaciones que se resuelven con la ap licació n d e productos notables, 8 4 .
C a p í t u l o
4 Facto rizació n
Definición, 8 8 . Factor común, 8 8 . Factor común por agrupación d e términos, 8 9 . Diferencia d e cuadrados, 9 1 . Trinomio cu ad rad o perfecto, 9 2 . Pasos p a ra factorízar un trinomio cu a d ra d o p erfecto , 9 2 . Trinomio de la form a x 2 + b x + c , 9 5 . Trinomio d e la form a a x 2 + b x + c, 9 8 . Por agrupación d e términos, 9 9 . C a so s esp ecia les, 1 0 0 . Sum a o diferencia d e cubos, 1 0 2 . Sum a o diferencia d e potencias impares iguales, 1 0 4 . Factorización q u e com bina un trinomio cuad rad o perfecto y una diferencia d e cuadrados, 1 0 5 . Factorización para com pletar el trinomio cuad rad o perfecto, 1 0 6 . Expresiones alg eb raicas donde se utilizan dos o más ca so s, 1 0 7 . Descom posición en factores d e un polinomio por división sintética, 1 0 8 .
C a p í t u l o
5 Fracciones alg e b raica s
M áxim o común divisor (M C D ), 1 1 2 . M ínim o común múltiplo |mcm), 1 1 2 . Sim plificación d e fracciones a lg e b ra ic a s, 1 1 4 . Sum a y resta d e fraccio nes con denom inador común, 1 1 6 . Sum a y resta d e fraccio nes con denominadores diferentes, 1 1 7 . M ultiplicación d e fracciones alg eb raicas, 1 2 1 . División d e frac ciones alg eb raicas, 1 2 3 . C om binación d e operaciones con fracciones, 1 2 5 . Fracciones com plejas, 1 2 7 .
C a p í t u l o
6 Ecuaciones de prim er g rad o
monedas, 1 4 9 . Problemas so bre costos, 1 5 0 . Problemas sobre el tiempo requerido para re aliza r un trabajo, 1 5 2 . Problemas sobre com paración d e distancias y tiempos, 1 5 4 . Problemas d e ap lica ció n a la geometría plana, 1 5 6 . D espejes d e fórmulas, 1 5 8 .
C a p í t u l o
7 Función lineal
Plano cartesiano, 1 6 2 . Lo calizació n d e puntos, 1 6 2 . Función, 1 6 3 . Constante, 1 6 3 . £ cu a c /ó n x = k, 1 6 3 .
lineal, 1 6 4 . G e n era lid a d es, 1 6 5 .
C a p í t u l o
8
Sistem as de ecuaciones
Ecuación lin eal, 1 7 4 . S o lu ció n d e una e cu a c ió n lineal, 1 7 4 . G rá fic a , 1 7 6 . Sistem a d e d o s ecu acio n es lineales con dos v ariab le s, 1 7 8 . M é to d o s d e solución, 1 8 0 . Sistem a d e dos ecuaciones que se reducen a lineales, 1 9 2 . M étodos para resolver un sistema d e tres ecuaciones lineales con tres variables, 2 0 1 . Reducción (suma y resta), 2 0 1 . Determinantes, 2 0 6 . Descom posición d e una fracción a lg e b ra ic a en sum a d e fracciones parciales, 2 0 9 .
C a p í t u l o
9 Potenciación
Definición, 2 1 8 . h o re m a s d e los exp on en tes, 2 1 8 . Potencia d e un binomio, 2 2 7 . Factorial d e un número,
2 2 7 . Binom io d e N ew to n , 2 2 7 . C á lcu lo d e l i-ésimo término, 2 3 0 . Triángulo d e Pascal, 2 3 1 .
C a p í t u l o
1 0 R ad icació n
R adical, 2 3 4 . Elementos d e un ra d ica l, 2 3 4 . R a íz p rin cip a l d e un radical, 2 3 4 . Radical com o exponente, 2 3 4 . Teorem as, 2 3 5 . Representación d e un exponente fra c cio n a rio co m o ra d ic a l, 2 3 6 . Teorem as, 2 3 7 .
C á lcu lo d e raíces, 2 3 8 . Simplificación, 2 4 0 . Introducción d e factores, 2 4 2 . Sum a y resta, 2 4 4 . M ultiplicación, 2 4 6 . C o n ín d ices diferentes, 2 4 8 . División, 2 4 9 . C o n ín d ices ¡guales, 2 4 9 . C o n ín d ices diferentes, 2 5 0 . Racionalización, 2 5 1 . Racionalización del denominador d e una fracción, 2 5 1 . Racionalización del numerador de una fracción, 2 5 4 .
C a p í t u l o
1 1 Núm eros complejos
la m e ro s im aginarios, 2 5 8 . N úm ero im aginario pu ro , 2 5 8 . Sum a y resta, 2 5 9 . Potencias d e i, 2 6 0 . M ulti p lica ció n y división, 2 6 1 . Números com plejos, 2 6 3 . Sum a y resta, 2 6 4 . M ultiplicación p o r un e sc a la r, 2 6 5 . M ultiplicación, 2 6 7 . División, 2 6 9 . Representación g rá fica , 2 7 0 . \6lor absoluto o m ódulo, 2 7 2 . C on ju ga do,
2 7 3 .
C a p í t u l o
1 2 Ecuaciones de segundo g rad o
Definición, 2 7 8 . Solución d e una ecuación d e segundo g ra d o com pleta, 2 7 8 . Fórm ula g en eral, 2 8 1 . Fac-torización, 2 8 4 . Solución d e una ecuación d e segundo g ra d o incom pleta, 2 8 6 . M ixta s, 2 8 6 . Puras, 2 8 7 . Función cu ad rática, 2 9 3 . A nálisis d e u n a función cu adrática, 2 9 3 . Relación entre las ra íces d e u n a ecu ación de se g u n d o g ra d o , 2 9 6 . Deducción d e una ecu ación d e segundo g ra d o d a d as las raíces, 2 9 8 . Ecuaciones con radicales, 2 9 9 . Sistem a d e ecuaciones cu ad ráticas, 3 0 1 . Procedim iento p a ra la resolución d e un sistem a de ecu acion es cu ad ráticoJinea l con d o s incógnitas, 3 0 1 . Procedim iento p a ra la resolución d e un sistem a d e
cbs ecu acion es cuadráticas, 3 0 2 . Procedim iento p a ra la resolución d e un sistem a cu ad rático mixto, 3 0 2 .
C a p í t u l o
1 3 D esigualdades
Definición, 3 0 6 . P ropieda des d e la s desig ua ldades, 3 0 6 . Desigualdad lineal con una variable, 3 0 7 . Desigual d a d cu ad rática con una variable, 3 1 0 . M é to d o p o r ca so s, 3 1 0 . M é to d o p o r intervalos, 3 1 0 . M é to d o gráfico,
C C N TE N D O
tiene la expresión (x - a ) ( x - b) ( x - c ) ..., 3 2 0 . D esigualdades con valor absoluto, 3 2 1 . C a so s e sp e cia le s d e d esig u a ldades co n valor absoluto, 3 2 2 . G rá fic a d e una desigualdad lineal con dos variables, 3 2 4 . Sistema de desigualdades lineales con dos variables, 3 2 6 .
C a p í t u l o
1 4 Logaritmos
Definición, 3 3 0 . A p lica c ió n d e la defin ición d e logaritmo, 3 3 1 . Propiedades, 3 3 2 . A plicación d e las propie d ad es p a ra el desarrollo d e expresio nes, 3 3 3 . Ecuacio nes logarítm icas, 3 3 8 . Ecuacio nes expo n en ciales, 3 4 0 .
C a p í t u l o
1 5 Progresiones
Sucesión infinita, 3 5 2 . Sum a, 3 5 4 . Progresión aritmética o sucesión aritmética, 3 5 5 . Fórmula p a ra determ inar el n-ésimo término en u n a progresió n aritmética, 3 5 6 . Fórmulas p a r a determ inar e l prim er término, núm ero d e términos y la razón, 3 5 7 . Sum a d e los n prim eros términos en u n a progresión aritmética, 3 6 0 . Interpolación de m edios aritméticos, 3 6 3 . M e d ia aritm ética o p ro m e d io aritmético, 3 6 4 . Progresión geom étrica o sucesión geom étrica, 3 6 5 . Fórm ula p a ra obtener e l n-ésimo térm ino en una p ro g resió n g eo m étrica , 3 6 6 . Fórmulas p a ra obtener e l I a término, núm ero d e términos y la razón, 3 6 8 . Sum a d e los n prim eros términos d e una progresión geo m étrica , 3 7 1 . Progresión g eo m étrica infinita, 3 7 4 . Interpolación d e m edios geo m étrico s, 3 7 6 .
Interés com puesto, 3 7 8 . D e p re d a ció n , 3 8 1 .
C a p í t u l o
1 6 M atrices
Definición, 3 8 4 . O rd e n d e una matriz, 3 8 4 . N jm e r o d e elem entos d e una matriz, 3 8 5 . Tipos d e matrices,
3 8 5 . M u ltip lica ció n p o r un e sc a la r, 3 8 8 . Sum a, 3 8 9 . Resta, 3 9 1 . M ultiplicació n, 3 9 3 . Propiedades de las m atrices, 3 9 4 . Determinantes, 3 9 5 . S e a la matriz d e ord en 2 , 3 9 5 . S e o la m atriz d e ord en 3 , 3 9 6 . Propiedades, 3 9 6 . M atriz inversa, 3 9 8 . M é to d o d e Gauss-Jordan, 3 9 8 . Inversa d e una matriz para resolver sistemas d e ecuaciones, 4 0 0 .
C a p í t u l o
1 7 Raíces de un polinom io
Teorema del factor y del residuo, 4 0 4 . R aíces, 4 0 5 . C á lcu lo d e las ralees p o r división sintética, 4 0 8 . Regla
ab los signos d e D esca rtes, 4 0 8 .
Solución a los e je rc ic io s, 41 3.
C
a p í t u l o
]
C
o n ju n t o s
y
l ó g ic a
Teoría d e co n ju n to s
G
eorg Cantor fue un matemático alemán,
quien con Dedekind inventó la teoría
de conjuntos, base d e las matemáticas
modernas. G racias a la presentación axiomáti
ca de su teoría de los conjuntos, fue el primero
ca p az de formalizar la noción de infinito, bajo
la forma de números transfinitos (cardinales y
ord i na les).
Cantor descubrió que los conjuntos infinitos no siempre tienen el mismo
tamaño, el mismo cardinal: por ejemplo, el conjunto de los racionales es
enumerable, es decir, del mismo tamaño que el conjunto de los naturales,
mientras que el de los reales no lo es: existen, por tanto, varios infinitos,
más grandes los unos que los otros.
L ó g ic a m a tem á tica
Hasta casi finales del siglo
XIXse pensaba que la validez de una demos
tración, de un razonamiento matemático, consistía principalmente en que
“ nos convenciera-, en que se presentara como evidente a nuestra mente
y lo aceptáramos como válido. Ésta era, por ejemplo, la forma de entender
la argumentación del mismo René Descartes (1596-1650).
Se cita, como ejemplo, la frase del matemático francés Jean Marie Duha-
mel (1797-1 8 7 2 ): “El razonamiento se hace por el sentimiento que nos
produce en la mente la evidencia de la verdad, sin necesidad de norma
o regla alguna-.
Giuseppe Pea no (1858-193 2) se levantó contra esta forma de argumentar
y, en esencia, defendía que “el valor de una demostración, de un proceso
argumentativo, no depende del gusto o sentimientos interiores de nadie,
sino de que el argumento tenga una propiedad de validez universalmente
comprobable-.
Para Peano la lógica matemática era, realmente, la lógica de la matemá
tica, un instrumento
cuyo
objetivo era dar el rigor y adecuado valor a las
argumentaciones del quehacer de la matemática.
Sim b o lo g ía
É stos so n los sím b o lo s q u e s e u tilizarán e n e l cap ítu lo :
{ } C o n ju n to .
€ E s un e le m e n to d e l co n ju n to o perten ece a l c o n ju n to .
e N o es un ele m e n to d e l c o n ju n to o no pertenece a l c o n ju n to .
I T a l q u e.
n ( C ) C a rd in a lid a d d e l c o n ju n to C.
U C o n ju n to universo.
<t> C o n ju n to vacío,
c S u b co n ju n to de.
<= S u b co n ju n to pro p io de.
<Z N o es s u b c o n ju n to p ro p io de.
> M ay o r que.
< M en o r que.
> M ay o r o igu al q u e.
< M e n o r o igu al q u e.
n In ters ec ció n d e co n ju n to s,
u U nión de co n ju n to s.
A ' C o m p le m en to d e l co n ju n to A.
= S ím bolo d e igualdad.
* N o e s igual a.
E l c o n ju n to co n tin ú a.
=> E ntonces.
<=> S i y só lo si.
N o (es fa ls o que).
a y
E
je
m
p
lo
s
Conjuntos
U n co n ju n to e s u na c o le c c ió n d e c o s a s u o b je to s c o n c a ra c te rís tic a s defin id as. L o s co n ju n to s s e re p re se n tan c o n letras
m ayúsculas y su s e le m en to s s e d e lim ita n c o n llaves y se p a ra n c o n co m as.
Ejem plos
a ) E l c o n ju n to d e las vocales.
A = { a, e, i, o, u }
b ) E l c o n ju n to d e los d ígitos.
B = { 0 , 1 ,2 , 3 , 4 , 5 ,6 , 7 , 8 , 9 }
c ) E l c o n ju n to d e los nú m ero s naturales.
N = { 1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 , . . . }
O b serv ació n : los puntos su sp en siv o s in d ican q u e e l c o n ju n to c o n tin ú a y qu e los e le m e n to s sig u ien tes c o n se rv a n la m ism a característica.
d ) E l c o n ju n to d e los d ías d e la sem an a.
S = (lunes, m artes, m iércoles, ju ev es, viernes, sá b a d o , dom ingo}
é ) E l c o n ju n to d e los núm eros naturales e n tre 5 y 10.
P = [ 6 , 7 , 8 , 9 }
Para in d icar que un e le m e n to perten ece o no a un co n ju n to s e u tilizan los sím b o lo s e y í .
E J E M P L O S --- •
• • S e a e l c o n ju n to A = {a , e , i, o , u}, e n to n c e s
u p ertenece a l c o n ju n to A y se re p re se n ta u e A.
x no perten ece a l co n ju n to A y s e re p re se n ta x «éA.
2 • •
S ea e l c o n ju n to B ={
2 ,3 , 4 , 5 , 8, 9 , 10 }, en to n ces2 € f í , 5 € f í , 1 e B , 11 t B
_________________________________________________________________________________________________________________________ C a p í t u l o 1 Conjuntos y lógica
EJE ÍC IC IO 1
D ados tos conjuntos: A - {a , e, i, o , u } y 8 - {1 , 2 , 3 , 4 , 5 } colo ca e o e se g ú n correspond a:
1. a
___
_ B 7 .___
A2. c
___
_ A 8 . o ____
B3. 2 _____B 9 . e
_
___
A4 . 3 ___ __A 10. 8 _
___
B5 . u
___
__A 11. b_
___
B6 . 5 _______B 12. 1 _ __ A
Conjuntos d e números
O N úm eros n a tu ra le s : N = { 1 ,2 , 3 , 4 , 5, 6 ...}
O N úm eros e n te r o s : Z = { ... - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 ,2 , 3 , ...}
O N úm eros racio n ales: Q = \ x \ x = — , p , q e Z , q * 0 \
l
J
Ejem plos
O N úm eros irra c io n a le s. N ú m ero s q u e no p u ed en ex p resarse co m o e l co cien te d e dos núm eros en tero s.
Ejem plos
s¡2, l [ 5 , l ¡ 6 4 , e ,
O N úm eros re a le s. Es la u n ión d e los núm eros racio n ales c o n los ¡n acio n ales.
Tipos d e números
O N úm eros d íg ito s. F orm an la base d e l siste m a de cim al 0, 1 ,2 , 3 ,4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9
O N ú m ero p ar. Son los divisibles e n tre 2.
Ejem plos
ú 2 ,4 , 6 , 8, 10, 12, 14, 1 6 , .. .
O N ú m ero im p ar. Son los n o divisibles e n tre 2.
Ejem plos
1, 3 ,5 , 7 , 9 , 1 1 , 1 3 ,1 5 , 17, 1 9 , .. .
O N úm ero p rim o . S ólo tie n e dos divisores, e n tre s í m ism o y la unidad.
Ejem plos
2 ,3 , 5 , 7 ,1 1 , 13, 17, 1 9 , .. .
O N úm ero co m p u esto . T iene dos o m ás d iv iso res prim os.
Ejem plos
4, 6 , 8, 9 , 10, 12, 14, 15, . . .
O M últiplo d e u n n ú m ero . E l m ú ltiplo d e un n ú m ero k , e s n k , do n d e n e s un natural.
Ejem plos
M últiplos d e 3: 3 ,6 , 9 , 12, 15, 18, ...
E
je
m
p
lo
s
C a p í t u l o 1 Conjuntos y lógica
Escritura y rep resen tació n de conjuntos
L os co n ju n to s s e re p re se n tan de dos form as:
< F o rm a d e s c rip tiv a o p o r c o m p re n sió n . Se hace m en c ió n a la c a ra c te rís tic a p rin cip al d e los e le m e n to s d el conjunto.
EJEM PLO S
• • R e p resen ta e n fo rm a desc rip tiv a e l co n ju n to S = { x e NI xe s d iv iso r de 6 }.
S o lu ció n
Este co n ju n to s e lee:
x pertenece a l c o n ju n to de los núm eros n atu rales, ta l q u e .r e s un d iv iso r d e se is .
x e s u n a variab le q ue cu m p le c o n la s cara cte rística s d e l co n ju n to S .
2 • •
• Si Q = [2, 3 , 5 ,7 ,11}
re p re se n ta s u fo rm a d e scrip tiv a.S o lu ció n
Q = [q € NI q e s p rim o m enor que 12}
O F o rm a e n u m e r a tiv a o p o r e x te n s ió n . Se e n lista n los e le m en to s d e l c o n ju n to , s i a lg ú n ele m e n to se repite s e co n sid era u n a s o la vez.
EJEM PLO S
• • R e p resen ta e n fo rm a e n u m erativ a e l c o n ju n to M = {m e. N \ m < 5 ) .
S o lu ció n
E l co n ju n to s e lee:
los núm eros n atu rales q ue s o n m enores q ue 5 y s u rep resen tació n e n fo rm a en u m erativ a es:
M = { 1 ,2 , 3 ,4 }
2
• • R e p r e s e n t a e n fo rm a e n u m erativ a e l c o n ju n to : A = [ x e Z l x + 8 = 1 0 } .S o lu ció n
Este c o n ju n to lo fo rm an los núm eros e n te ro s q ue su m ad o s c o n 8 d a n co m o re su lta d o 10, por tan to , s u fo rm a e n u m e
rativa es:
A = { 2}
E JE R C IC IO 2
Transforma a la fo rm a descriptiva o enum erativa lo s sig u ien tes conjuntos:
1. R = { 1 , 2 , 5 , 1 0 }
2 . A = {at€AM 1 <at< 9 }
3 . { jce^V lA T + 3 = 7 }
4 . C = [ 1 ,2 , 4 , 5 , 1 0 ,2 0 }
5 . V = [ y e Z \ - 2 < y < 3 }
6 . Q ={ x I x es u n a vocal de la p a la b ra núm ero }
7 . T = [ x e s u n díg ito d e la c ifra 4 5 3 4 2 5 }
8. 5 = { Ares u n d íg ito prim o de la c ifra 7 2 9 6 3 4 }
9 . U = [ 4 , 8 , 12, 1 6 , . . . }
10. M = { x € N\Ares d iv iso r par de 5 0 }
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s a c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n t e
C a rd in a lid a d
E s e l núm ero d e e le m en to s q u e co n tien e un c o n ju n to .
Ejem plo
¿ C u á l e s la c a rd in alid ad del c o n ju n to A = { at I x e s co m p u e sto m en o r qu e 10, x e N } ?
S o lu c ió n
E l co n ju n to A, e n fo rm a enum erativa, es:
A = { 4 , 6 , 8, 9 }
E ntonces s u c a rd in alid ad e s 4 y s e den o ta: rt(A) = 4
C o n ju n to finito. Es a q u e l co n ju n to c o n c a rd in a lid a d definida.
Ejem plo
¿ E l c o n j u n t o B = { x I A res u n d í a d e l a s e m a n a } e s fin i to ?
S o lu c ió n
E l co n ju n to B e n fo rm a e n u m erativ a es:
B = ( lunes, m artes, m iércoles, ju ev e s, viernes, sá b a d o , d o m in g o }
El co n ju n to tie n e 7 ele m en to s, e s d e c ir s u c a rd in alid ad e s tá definida, por ta n to e s finito.
C o n ju n to infinito. Es a q u é l c u y a c a rd in alid ad no e s tá definida, por se r d e m a siad o g ran d e p a ra cu an tific arlo .
Ejem plo
¿ E l c o n ju n to C = { x s N I Ares m ú ltiplo de 3 } e s infinito? S o lu c ió n
E l co n ju n to C e n s u fo rm a e n u m erativ a es:
C
a p ít u l o1
Conjuntos y lógicaEJ co n ju n to c o n tin ú a indefin id am en te, no s e puede d e te rm in a r s u núm ero d e ele m en to s, por tan to , s u c a rd in alid ad es
infinita y s e esc rib e com o:
n ( C ) = «o
C o n ju n to vacío o nulo. E s a q u e l que c are ce d e e le m en to s y s e d e n o ta c o n e l sím b o lo <|> o b ie n { }.
EJEM PLO S
1 • • ¿ E l c o n ju n to D = { * G W I 2 r - l = 0 } e s vacío ?
S o lu ció n
El único v alo r d e x q u e sa tis fa c e la igualdad e s - p ero no perten ece a l co n ju n to d e los núm eros n aturales, por tan to ,
d c o n ju n to D e s vacío.
D = { } = <|> s u c a rd in alid ad e s n (D ) = 0
2
• •¿El
c o n ju n to E = {xI
.r e s u n núm ero par e im p ar } e s v a cío ?S o lu ció n
El c o n ju n to E e s vacío, y a que n o h ay ningún n ú m ero que s e a par e im p ar a la vez.
E JE R C IC IO 3
Encuentra la cardinalidad d e b s sig u ien tes conjuntos:
1. A = { x e N \ x e s \ i n div iso r d e 30 }
2. B - { x es v o cal d e la palab ra c a s a }
3. S = { x I x es u na e s ta c ió n d e l a ñ o }
4. R = [ x e N \ x + 3 = 1 |
5. Q = { x e N \ x > 6 )
6 . T = { x g R \x = 6 )
7. M = { x < = N \ x < 1 }
8. L - { * € N I .* es p a r d iv iso r de 2 0 }
9. J = { x € s n atu ral }
10. O = {x I x e s un mes d e l a ñ o }
V srifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n t e
Conjuntos equivalentes
S ean A y B co n ju n to s no v acío s, s e d ic e q ue A e s equ iv alen te a B s i y só lo s i tie n e la m ism a c a rd in alid ad ; s e den o ta:
A = B y s e lee A e s eq u iv alen te a B.
Ejem plo
Si A = [ x e N \ x e s d iv iso r de 6 } y B = { a, e, i, o ) c o m p ru e b a que A e s eq u iv alen te a B.
S o lu ció n
Conjuntos ig uales
S o n aq u ello s q u e tie n e n la m ism a c a rd in alid ad y los m ism os ele m en to s.
Ejem plo
¿ S o n iguales los c o n ju n to s A = { x € NI * e s d iv iso r d e 6 } y B = { 1, 2 , 3 , 6 )?
S o lu c ió n
L o s co n ju n to s e n s u fo rm a e n u m erativ a son:
Sus card in alid ad es so n : n (A ) = n (B) = 4
A m b o s tien en la m ism a card in alid ad y los m ism os elem entos, por tanto, lo s conjuntos so n iguales, es decir, A = B.
Conjuntos disjuntos
S o n aq u ello s q u e no tie n e n ele m en to s co m u n es.
Ejem plo
¿ S o n d isjuntos los c o n ju n to s R = { x e N \ x e s d iv iso r de 5 } y S = { x e N \ 2 < x < 5 }?
S o lu c ió n
L o s co n ju n to s e n s u fo rm a e n u m erativ a son:
L o s co n ju n to s no tie n e n e le m en to s e n c o m ú n , por tan to , los c o n ju n to s R y S s o n disju n to s.
Verifica si son eq u ivalentes, iguales o disjuntos lo s sig uientes p ares d e conjuntos:
1. A y C
2 . D y E
3 . B y F
4 . F y D
5 . A y D
6 . E y B
7 . C y E
8. F y C
9 . A y F
10. B y D
V# rifle a t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n t e
A = { l , 2 , 3 , 6 } y B = { 1, 2 , 3 , 6 }
R = { 1 ,5 , } y 5 = { 3 , 4 , }
E JE R C IC IO 4
Sean tos conjuntos:
A = { x < = N \ x < 5 }
B = { x € N I x es d iv iso r d e 8 }
C = { 1, 2, 3 , 4 }
D = { 1, 2 , 4, 8 }
E = [ a , e, i, o )
C a p í t u l o 1 Conjuntos y lógica
Subcon ¡untos
D ado un c o n ju n to Ss e dice q u e >4 e s s u b c o n ju n to d e S, s i todos lo s e le m e n to s d e A e stá n c o n te n id o s e n e l co n ju n to S
y s e d e n o ta por A c S. E l co n ju n to vacío e s su b co n ju n to d e c u alq u ier co n ju n to .
Ejem plo
D ados los c o n ju n to s S = {x I A res d íg ito } y A = { 2 , 4 ,6 , 8 }, v erifica que A c 5. S o lu c ió n
El c o n ju n to S e n fo rm a en u m erativ a e s : S = { 0 , 1 ,2 , 3 , 4 , 5 ,6 , 7 , 8, 9 }
L o s e le m en to s d e A e stá n c o n te n id o s e n 5, por ta n to , A c S .
S u b c o n ju n to p ro p io . D a d o s d o s c o n ju n to s A y B, s e d ic e q u e B e s su b c o n ju n to pro p io d e A s i to d o s los e le m e n to s de
B e s tá n e n A y no so n eq u iv alen tes.
Ejem plo
Sean lo s c o n ju n to s L = { 2 ,4 , 5 , 6 , 8 } y M = { 2 , 4 , 6 }, verifica que M <zL.
S o lu ció n
Los e le m en to s d e M e s tá n c o n te n id o s e n L , y M no e s equ iv alen te a L, por co n sig u ie n te, A / <= L.
N úm ero d e su b c o n ju n to s d e u n c o n ju n to . E l núm ero d e su b co n ju n to s e s tá d a d o por la fórm ula:
N( s ) = 2" c o n ti = c ard in alid ad
Ejem plo
D eterm ina e l núm ero de su b co n ju n to s d e l con ju n to :
R = { a , b, c , d }
S o lu ció n
L a c a rd in alid ad d e l co n ju n to e s 4, e n to n c es n = 4 y a l a p lic a r la fó rm u la s e obtiene:
N ú m ero d e s u b c o n ju n to s = 2 4 = 16
Conjunto potencia
Se le lla m a a s í a l co n ju n to que fo rm an todos los su b co n ju n to s d e un c o n ju n to .
Ejem plo
E n cu e n tra e l co n ju n to p o ten cia de:
T = { 2 , 4 , 6 }
S o lu ció n
El núm ero d e su b c o n ju n to s d e Tes:
N ( s ) = 2 3 = 8
El c o n ju n to p o ten cia e s tá fo rm ad o por 8 su b co n ju n to s d e c e ro , uno, dos y tres ele m en to s, lo s cu ales son:
Conjunto universo
S e a n A, B, C, . .. , su b c o n ju n to s d e un co n ju n to U, a este últim o s e le lla m a co n ju n to universo d e lo s c o n ju n to s dad o s.
Ejem plo
S e a U = { 0 , 1 , 2 , 3, 4 ,5 , 6 , 7 ,8 , 9 } y los c o n ju n to s A, B y C ta le s que:
A = [ 2 , 4 , 6 , 8 ) , B = [ 1 , 2 , 3 , 4 } y C = { 1, 2, 6 , 7 )
C o m o A ( z U, B c z U , C c U , sie n d o í / e l co n ju n to universo.
E JE R C IC IO 5
Resuelve b q u e se indica e n b s sig u ien tes e jercid o s:
1. S i W = { x , y, z}, h a lla e l núm ero d e su b c o n ju n to s d e W.
2 . S i T = { x g N I 1 < x < l}, d e te rm in a e l núm ero d e s u b c o n ju n to s d e T.
3 . S i A = { x e N I x es p a r m en o r qu e 10 }, h alla e l núm ero de su b c o n ju n to s d e A.
4 . S ea e l c o n ju n to L = { a ,fi, 6}, d e te rm in a e l c o n ju n to potencia.
5 . S ea e l c o n ju n to M = [ a , c, e , f ) , d e te rm in a e l c o n ju n to potencia.
6 . S ea e l c o n ju n to N = {1 ,2 ,3 ,6 }, h a lla e l c o n ju n to potencia.
7 . S ea e l c o n ju n to P = [ x e N I * e s un d iv iso r d e 9 }, d e te rm in a e l co n ju n to potencia.
8. S ea e l c o n ju n to Q = [ x e N \ 4 < x < 1 }, d e te rm in a e l c o n ju n to potencia.
V erifica t u s r e s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n t e
D ia g ra m a s de Venn
E s la re p re se n ta c ió n d e u n c o n ju n to o c o n ju n to s y s u s o p e ra c io n e s, q u e d e lim ita n figuras p lan a s c o m o c írc u lo s o
re ctán g u lo s; p o r lo g e n e ra l los c írc u lo s d e lim ita n a los e le m e n to s d e l c o n ju n to o c o n ju n to s d a d o s y los rectán g u lo s
d e lim ita n a l co n ju n to universo.
EJEM PLO S
• • R e p resen ta e n un d ia g ra m a d e V enn e l co n ju n to A = { 1, 2 , 3 , 4 }.
S o lu c ió n
2
• • R e p resen ta e n un d ia g ra m a d e V enn e l con ju n to :C a p í t u l o 1 Conjuntos y lógica
S o lu ció n
EJ c o n ju n to f i e n fo rm a e n u m erativ a e s : f i = { 3 , 6 , 9 , 12, 15 } y e l c o n ju n to univ erso so n los núm eros n aturales.
P o r tan to , e l d ia g ra m a es:
N
B
3
• • 'R e p r e s e n t a e n un d ia g ra m a de V enn los c o n ju n to s Q ={
1, 3 , 5}
y P = { 1, 2 ,3 , 4 , 5 }.S o lu ció n
E l co n ju n to Q e s un su b c o n ju n to pro p io de P, y a que to d o s los e le m en to s d e Q so n ele m en to s d e P, por co n sig u ien te,
la rep resen tació n d e am b o s co n ju n to s e n un d ia g ra m a d e Venn es:
P
4
• • ■ R e p r e s e n ta e n u n d ia g r a m a d e V enn lo s c o n ju n to s U = { 2 ,4 ,6 ,8 ,1 0 ,1 2 ,1 4 ,1 6 ,1 7 ,1 8 ,1 9 } , A = { 2 ,6 ,1 0 ,1 2 } y f i = { 4 ,6 ,8 ,1 0 ,1 7 }S o lu ció n
L os e le m en to s q ue s e re p iten s e c o lo c an e n la región c o m ú n d e los c o n ju n to s A y B. L o s e le m en to s fa ltan tes de c a d a
co n ju n to s e co lo c an , resp ectiv am en te, e n la región so b ra n te. Los e le m e n to s d e l univ erso qu e no a p are ce n e n lo s c o n
ju n to s s e c o lo c an fu era de ellos.
5
• • * Sean lo s conjuntos U = { 3 , 4 , 6 ,9 ,1 0 ,1 2 ,13 ,17 }, P = { 3 ,6 ,9 ,1 0 } y Q = { 4 ,12 }, represéntalos e n u n d iag ra m a d e Venn.S o lu ció n
N o h ay e le m e n to s e n co m ú n ; e n e l d ia g ra m a los co n ju n to s e stá n se p a ra d o s c o n su s resp ectiv o s e le m e n to s y los e le
6 • • • D ib u ja e n un d iag ra m a d e Venn los conjuntos U= { 2 ,4 ,5 ,6 ,9 ,1 0 ,1 1 ,1 2 ,1 3 ,1 6 ,2 1 ,2 3 } , M = { 2 ,5 ,9 ,1 0 J, N = { 2 , 4 ,6 , 9 }
y L = { 2 ,4 ,5 ,1 6 ,2 1 }
S o lu c ió n
L o s e le m e n to s que s e re p iten s e c o lo c a n e n la reg ió n c o m ú n de los 3 co n ju n to s y los d e m á s e le m en to s s e c o lo c a n e n
sus c o n ju n to s c o rre sp o n d ie n te s, d e la m ism a fo rm a qu e e n los ejem p lo s an te rio re s.
Unión de conjuntos
S e a n A y B co n ju n to s no vacíos, en to n ces la u n ión de A y B, s e define:
A \ j B = { x \ x e A ox< = B }
Su diag ra m a d e V enn se re p re se n ta so m b re an d o am b o s co n ju n to s.
La u n ión d e dos co n ju n to s e s e l c o n ju n to form ado por los e le m en to s d e am b o s co n ju n to s.
E JE M P L O S --- •
“o . 1 • • S ean lo s c o n ju n to s A = { 3 , 5 , 6 , 8, 10 } y B = { 2 ,6 , 8, 10, 12 }, h a lla Ak jB.
.SL S o lu c ió n
iu
E l c o n ju n to so lu c ió n d e la u n ión de los c o n ju n to s A y B s o n to d o s los e le m e n to s d e am b o s co n ju n to s, lo s e le m en to s
q ue s e re p iten só lo s e e s c rib e n u na vez.
P or tan to , e l co n ju n to es:
C a p í t u l o 1 Conjuntos y lógica
2 • • ■ S i 5 = { x € N I Ares d iv is o r d e 2 0 } y 7 ’= [ x e N I ^ e s d iv is o r d e 6 }, h a lla y re p re se n ta e n un d ia g ra m a d e Venn
Sk jT.
S o lu ció n
L a rep resen tació n e n fo rm a e n u m erativ a d e los c o n ju n to s es:
S = { 1 , 2 , 4 , 5 , 1 0 ,2 0 }
T = { 1 ,2 , 3 , 6 }
E l c o n ju n to so lu ció n de la unión de los c o n ju n to s S y T e s:
S u T = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 1 0 ,2 0 }
D iag ram a d e V enn
N S T
3 • • - P a r a los co n ju n to s U = { *1 Ares un d íg ito } ,/* = { x s U \ x e s p a r } y Q = { x e U \ x e s im p ar }.
D eterm ina y re p re se n ta e n un d ia g ra m a d e V enn P u Q .
S o lu ció n
L a rep resen tació n e n fo rm a e n u m erativ a d e los c o n ju n to s es:
U = { 0 , 1, 2 , 3 ,4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 } , P = { 0 , 2 ,4 , 6 , 8 } y Q = { 1 ,3 , 5 , 7 , 9 }
El c o n ju n to so lu ció n de la u n ión d e P y Q es:
P u < ? = { 0 , 1 ,2 , 3 ,4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 }
D iag ram a d e V enn
Intersección de conjuntos
S ean A y B co n ju n to s no vacíos, en to n ces la in tersecció n d e A y B s e define:
E
je
m
p
lo
s
S u diag ra m a d e V enn se re p re se n ta so m b re an d o la región c o m ú n de a m b o s co n ju n to s.
En e s ta o p e rac ió n s e to m a n únicam ente los e le m en to s q ue s e re p iten e n los dos co njuntos.
EJEM PLO S
1 • • - S e a n los c o n ju n to s U = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }, A = { 1, 2 , 5 , 6 } y B = { 1, 4 , 5 , 6 , 7 }, p re c is a y re p re se n ta e n un
d ia g ra m a d e V enn A r B .
S o lu c ió n
f ó r a e n c o n tra r e l c o n ju n to so lu c ió n de la in tersecció n d e lo s c o n ju n to s A y B, s e to m a n ún icam en te los e le m e n to s que
se re p iten e n los co n ju n to s.
P or tan to , e l co n ju n to e s
D iag ram a d e V enn
A n f l = { 1 , 5 , 6 }
E n c u e n tra la intersección de los c o n ju n to s C = { x I x e s un d íg ito } , D = { . r e W l . r > 6 } y s u d ia g ra m a d e Venn.
S o lu c ió n
L a tran sfo rm a ció n e n s u fo rm a e n u m erativ a de los co n ju n to s es:
C = { 0 , 1, 2 ,3 , 4 , 5 , 6 ,7 , 8 , 9 } , D = { 6 , 7 , 8, 9 , 10, 11... }
Para h a lla r e l co n ju n to so lu c ió n d e la in tersecció n de los c o n ju n to s C y D , s e to m a n únicam ente los ele m en to s q u e se
repiten e n los 2 co n ju n to s.
P or co n sig u ien te, e l co n ju n to so lu ció n es:
C n D = { 6 , 7 , 8 , 9 }
C a p í t u l o 1 Conjuntos y lógica
3 • • ■ P a r a : U = [ 0 , 1 ,2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 } , S = { x e U \ Ares p a r } y T = { x e U I x e s im par ). D eterm in a y re p re se n ta e n
un d ia g ra m a d e V enn S n T .
S o lu ció n
L a fo rm a e n u m erativ a de los co n ju n to s es:
S = [ 0 , 2 ,4 , 6 , 8 }
T = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 }
L o s c o n ju n to s no tienen ele m en to s e n com ún.
P o r tan to , e l co n ju n to so lu c ió n e s vacío:
A n B = { } = (J>
D iag ram a d e V enn
E l d ia g ra m a de V enn no se so m b re a
Conjunto com plem ento
S ea U e l co n ju n to u niverso y A un su b c o n ju n to d e U, e l co m p le m e n to de A s e define:
A ' = { x \ x < = U y x e A )
E l co n ju n to so lu c ió n c o n tien e a los e le m e n to s que p e rte n ec e n a U y no p e rte n ec e n a l c o n ju n to A y s e re p re se n ta
c o m o A ' o A c.
Su d ia g ra m a d e Venn se re p re se n ta so m b rean d o la región fu e ra d e l c o n ju n to A.
E J E M P L O S --- •
"o_ 1 • • D e te rm in a d co m p lem en to y s u d iag ra m a d e V enn del co n ju n to A = { 2 , 3 , 5 , 7 }, s i e l un iv erso es U = [ x e N \ x < 10 }.
.SL S o lu ció n
U J
E l c o n ju n to U en s u fo rm a en u m erativ a es:
U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ,7 , 8 , 9 , 1 0 }
(c o n tin u a ció n )
P or co n sig u ien te, e l c o m p le m e n to d e A es:
A ' = { 1 , 4 , 6 , 8 , 9 , 1 0 }
D iag ram a d e V enn
2
• • - S e a í / = { ^ € V I ^ : e s u n núm ero c o m p u e sto m enor q u e 16 }. D e term in a e l co m p lem en to del co n ju n toM = { x e UI .r e s im p ar }.
S o lu c ió n
L o s co n ju n to s e n s u fo rm a e n u m erativ a son:
U = { 4 , 6 , 8 , 9 , 10, 12, 14, 15 }
M = { 9 , 15 }
P or tan to , e l co n ju n to c o m p le m e n to d e M e s : M ' = { 4 , 6 , 8, 10, 12, 14 }
D iag ram a d e V enn
3
• • ■ S e a n los co n ju n to sU = { 2 , 3 , 5 ,6 , 8, 9 , 1 0 ,1 2 ,1 3 , 1 4 }
A = { 2 , 5 , 6, 9, 12 }
f i = { 3 , 5 , 6, 8 , 9 }
D eterm in a A ' n B.
S o lu c ió n
Se ob tien e e l co m p le m e n to d e A:
A ' = { 3 , 8, 10, 13, 1 4 }
Se ob tien e la in te rse cc ió n d e A ' c o n e l co n ju n to B:
A ' n B = ( 3 , 8, 10, 13, 14 } n { 3 ,5 , 6 , 8, 9 } = { 3 , 8 }
P or tan to , e l co n ju n to so lu ció n es:
A ' n B = { 3 , 8 }
4 • •
S ean los c o n ju n to s:A = { ^ € V U e s p a r m en o r qu e 10 }
f i = { A T € V I 6 < J C < 1 0 }
C = { x e N \ x e s im p ar }
C a p í t u l o 1 Conjuntos y lógica
S o lu ció n
L os co n ju n to s e n fo rm a e n u m erativ a son:
A = { 2 , 4 , 6 , 8 } , » = { 6 , 7, 8 , 9 } y C = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 1 5 , . . . }
Se h a lla A u f l :
A u B = { 2 , 4 , 6 ,7 , 8 , 9 }
C o n e l c o n ju n to C y e l co n ju n to a n te rio r se h a lla la intersección:
( A u f i ) n C = { 2 , 4 , 6 , 7 , 8 , 9 } n { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11, 13, 1 5 , . . . } = { 7 , 9 }
F inalm ente, e l co n ju n to so lu ció n es:
(A u f l ) n C = { 7 , 9 }
D iferen cia de conjuntos
S ean A y B c o n ju n to s no vacío s, s e define la d ife re n c ia c o m o e l c o n ju n to que c o n tien e a los e le m e n to s q ue p erten ecen
a A y que no p e rte n ec e n a l c o n ju n to B. L a d ife re n c ia s e re p re se n ta c o m o A - B.
A - B = A c \ E f = [ x \ x z A y x í B )
Su d ia g ra m a d e V enn se re p re se n ta d e la m an e ra siguiente:
Ejem plo
S i A = { a , b, c, d , e ) y B = { a, e, /, o, u }, h a lla r A - B y s u d ia g ra m a d e Venn.
S o lu ció n
El co n ju n to so lu c ió n c o n tien e a los e le m en to s q ue p erten ecen a A y qu e no p erten ecen a l co n ju n to B, en to n ces:
A - B = { a, b , c, d , e } - {a , e, i, o, u ]
P or tan to , e l co n ju n to es:
A - B = [ b , c , d }
D iag ram a d e V enn
EJE LC IC IO 6
Sean b s conjuntos: U = { x e Z l - 4 < x < 7 ) A = { x e l / l x < 3 i
B = {* g UI Ares un núm ero p a r m ay o r que 1}
Representa e n diagram a d e Venn y determ in a:
1. A u f i 3 . A ' 5 . A - B
2 . A n B 4 . B ' 6 . B - A
V erifica t u s re s u lta d o s e n la s e c d ó n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n t e
E n los sig u ien tes ejem p lo s, se c o m b in a n las o p eracio n es d e co njuntos.
EJEM PLO S
1 • • - D a d o s los c o n ju n to s i / = { A r e 7 V l j c < 9 }, A = {j ceTVI 3 < * < 8 } y B = { 1, 4 ,7 , 9 }, e n c u e n tra e l c o n ju n to so lución
d e: A ' c \ B '
S o lu c ió n
Se e sc rib e n los c o n ju n to s U y A e n s u fo rm a en u m erativ a:
U = { 1, 2 , 3 ,4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 } A = { 4 , 5 , 6 , 7 }
Se b u scan los c o m p lem en to s d e a m b o s conjuntos:
A ' = { 1 , 2 , 3 , 8 , 9 } B ' = { 2 , 3 , 5 , 6 , 8 )
Se e fe c tú a la op eració n y e l co n ju n to so lu ció n es:
A ' n B ' = { 1 , 2 , 3 , 8, 9 } n { 2, 3, 5, 6, 8 }
= { 2 , 3 , 8 }
2
• • ' P a r a los c o n ju n to s:P = [ x e N \ - 3 < x < 6 } R = { x e NI x e s p a r m enor que 16 }
Q = { x e N \ x e s d iv iso r d e 2 0 } S = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 ,6 , 7 , 8, 9 }
D eterm in a ( P - Q ) u ( R r S)
S o lu c ió n
L o s co n ju n to s e n fo rm a en u m erativ a son:
P = { “ 2 , - 1, 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ) P = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 1 4 }
Q = { 1 , 2 , 4 , 5 , 1 0 , 2 0 } S = { 0 , 1, 2 , 3 ,4 , 6 , 7 , 8, 9 }
Se ob tien e la d ife re n c ia e n tre los c o n ju n to s P y Q:
P - Q = { - 2 , - 1 , 0 , 1, 2 ,3 , 4 , 5 , 6 } - { 1 , 2 , 4 , 5, 1 0 , 2 0 }
P - 6 = { - 2, - 1 , 0, 3, 6 }
Se d e te rm in a la in tersecció n d e R y S:
R n S = { 2 , 4 , 6 , 8, 10, 12, 1 4 } n { 0 , 1 , 2 , 3 , 4, 6, 7, 8 , 9 }
R n S = { 2, 4, 6 , 8 }
Se d e te rm in a la unión:
( P - f i ) u (P n S ) = [ - 2 , - 1 , 0 , 3 , 6 } v j {2, 4 , 6 , 8 }
C a p í t u l o 1 Conjuntos y lógica
EJE IC IC IO 7
Sean los conjuntos:
U = [ 0 , 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8, 9 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18} A = [ x e UI Ares p a r m en o r qu e 10}
B = { x € UI Ares d iv iso r de 12 } C = { x e U \ x < 6 }
D = [ x e U \ 2 < x < 6 )
E = { a: € £ / 1 * e s u n d íg ito }
F = { j r e í / l j c > 1 3 }
G = {x € U1 Ares p a r m ay o r qu e 10 }
Determina:
1. A u f l 12. D '
2. B u C 13. A - B
3. Ck jD 14. C - D
4. Dk jB 15. E - B
5. A n f l 16. B - A
6. A n D 17. A ' C \ B
7. C n E 18. Ak jB'
8. B n C 19. B ' n E '
9. A' 20. A ' - G
10. B' 21. ( A u f l ) '
11. C 22. ( A n f l ) '
23 . ( A K j F ) n C
24. Bk j( F - G )
25 . ( F - G ) n E '
26 . ( F n G ) u D
27 . £ ' n ( A u G )
28 . ( E \ j F ) n ( A \ j G )
29. ( C u £ ) n ( F u G )
30. ( S u D ) u ( F n G )
31 . ( B u D ) '- ( E k jG Y
3 2 . ( A ' n B ' ) - ( E ' n F ' )
M irifica t u s re s u lta d o s e n la s e c c ió n d e s o lu c io n e s c o r r e s p o n d ie n t e
O p e ra c io n e s de conjuntos con d ia g ra m a s de Venn
EJEM PLO S
• • R e p resen ta e n un d ia g ra m a de V enn la sig u ien te o p e rac ió n ( A u B ) ' :
S o lu c ió n
Se d e te rm in a e l d ia g ra m a de la u n ión del
c o n ju n to A c o n B.
E l co m p lem en to e s to d o lo que no pertenece a la unión,
por tan to , s u d ia g ra m a d e \fenn es:
2
• •■ R e p r e s e n ta e n un d ia g ra m a d e V enn la sig u ien te o p e rac ió n ( i í u f l ) n C.S o lu c ió n
D iag ram a d e Venn de ( A u B ) D ia g ram a de \fenn d e l c o n ju n to C
Ü A B
L a intersección de la unión d e A c o n B y e l co n ju n to C , es la región c o m ú n entre las áreas so m b read as.
3
• • R e p resen ta e n un d ia g ra m a d e V enn la sig u ien te o p e rac ió n ( A n B ) u ( A - C ) .S o lu c ió n
D iag ram a d e Venn (A n B ) D ia g ram a de \fen n ( A - C )
F in alm en te, e l c o n ju n to so lu c ió n es la u nión d e las á re a s so m b read as.
U A B
C a p í t u l o 1 Conjuntos y lógica
E JE R C IC IO
8
Realiza e l diagram a d e Venn d e cad a una d e las sig uientes operaciones:
1. A ' 4. A n B n C 7 . ( A u C ) n ( B - C ) 10. ( A n B ) u ( B n C )
2. (A n B Y 5. ( A u S ) n C 8. ( A - f i ) u ( A n C ) 11. ( ( A - B ) u ( B n C ) ) '
3. A ' n B ' 6. B ' n ( A - C) 9. ( A n f i n C ) ' 12. ( A ' u f l ,) - ( A , u C ' )
^ M irifica t u * re s u lta d o s a n la s a c c ió n d a s o lu c io n a * c o r r e s p o n d ia n t a
Ejem plo
Sean los c o n ju n to s:
U = { a , b , c , d f g , h , i ) B = ( b , d , g , h }
A = [ a , b , c , d ) C = ( b , f g , h )
R ep resen ta e n d ia g ra m a de V enn y h alla e l co n ju n to so lu c ió n (A ' - B ) n C.
S o lu ció n
Para d e te rm in a r e l c o n ju n tó s e procede d e la sig u ien te m anera:
Se h a lla p rim e ro A ', s e realiza la d ife re n c ia c o n e l c o n ju n to B y, finalm ente, c o n e s ta ú ltim a o p e rac ió n s e realiza
la in tersecció n c o n e l co n ju n to C.
«
i
_
A '
B
(A ' - B ) n C = ( f )
EJE ÍC IC IO 9
Sean b s conjuntos: U = {x l * e s u n d íg ito }
A = { x e U \ x < 5 }
B = { x g UI Arsea p rim o }
C = { 2 , 4 , 5 , 8 }
Representa en diagram a d e Venn y determ ina e l conjunto so lu ció n.
1. A u B 4 . A ' n B ' 7. ( A ' - B ' ) n C
2. A n B 5. ( A u B ) n C 8. ( A - B ) ' n ( f l n C ) '
3. A 'k jB ' 6. ( A u f i u C ) ' 9. ( A - f l ) ' u C *
M irifica t u s r e s u lta d o s a n la s a c c ió n d a s o lu c io n a s c o r re sp o n d ia n ta
10. ( A n B ) ' n ( A ' n B ' )
11. (A - B ) ' n ( B - C ) '
