ELECTROSTÁTICA EN PRESENCIA DE MEDIOS CONDUCTORES

ELECTROSTÁTICA EN PRESENCIA DE MEDIOS CONDUCTORES 3.1.- CAMPO ELECTROSTÁTICO CREADO POR UNA ESFERA

CONDUCTORA. IMÁGENES ELÉCTRICAS

3.2.- DETERMINACIÓN DE LA CAPACIDAD DE CONDUCTORES ESFÉRICOS Y DEL CONDENSADOR ESFÉRICO

Objetivo

En esta práctica se analizan las relaciones que existen entre diferentes magnitudes electrostáticas cuando tenemos presentes medios conductores.

En primer lugar mediremos el campo electrostático generado por una esfera conductora cargada y su evolución frente al voltaje aplicado para cargarla y frente a la distancia.

En la segunda parte de la práctica estudiaremos la capacidad que tienen los conductores para almacenar carga eléctrica cuando se les aplica un potencial electrostático. En particular realizaremos el estudio para esferas conductoras de diferentes tamaños. Ampliaremos la experiencia a un sistema de dos conductores esféricos en influencia total, lo que nos permitirá determinar experimentalmente la capacidad del condensador esférico.

Teoría

El campo electrostático creado por un conductor esférico de radio R cargado con una carga Q, en puntos exteriores al conductor, es el mismo que el que crearía una carga puntual Q colocada en el centro del conductor. Por tanto puede expresarse mediante la ley de Coulomb

rˆ r Q 4 1 ) r ( E ₂ 0 πε = r (1)

donde r es la distancia desde el centro de la esfera al punto donde medimos el campo. Para medir tal campo electrostático utilizaremos el medidor descrito en la práctica 1. Dado que la sonda de medición, de forma circular, tiene un diámetro de

45 mm y mide exclusivamente la componente normal del campo sobre ella, necesitaremos tener campos uniformes, sobre el área de la sonda, para no cometer errores. Esta dificultad la solventamos superponiendo un plano conductor, con un agujero del tamaño de la sonda, al medidor. El efecto de este plano conductor, a potencial nulo, nos asegura que el campo sobre la sonda es normal a ella y uniforme pero debemos tener en cuenta que el campo real ahora sobre el medidor es el creado por la esfera conductora más el creado por su carga imagen, figura 1.

Figura 1.

Consecuentemente el campo total vendrá expresado por

n r Q 2 4 1 ) r ( E ₂ 0 ) r πε = (2)

donde r es ahora la distancia del centro de la esfera al plano donde está la sonda y n) la dirección normal a dicho plano. La carga Q almacenada en un conductor aislado, en situación de equilibrio electrostático, viene dada por

V C

Q= ⋅ (3)

donde V es el potencial al cual se encuentra el conductor. El coeficiente de proporcionalidad C, llamado capacidad eléctrica del conductor, es puramente geométrico y no depende de la configuración electrostática del sistema

En el caso de conductores esféricos, la aplicación del teorema de Gauss a puntos exteriores al conductor, junto con la continuidad de la función potencial, nos proporciona el siguiente valor para C

R 4πε

=

C (4)

donde ε es la permitividad dieléctrica del medio en el cual está inmerso el conductor. En el caso del vacío ε₀ =8.86⋅10−12 A⋅s/V⋅m.

A partir de las expresiones (3) y (4) podemos expresar el campo sobre la placa conductora en función del potencial V al cual cargamos la esfera conductora

n V r R 2 ) r ( Er = ₂ ) (5)

Cuando en vez de un conductor aislado tenemos un sistema de n conductores, la carga almacenada en el conductor i-ésimo, Qi, viene dada por

∑

Φ

=

c

Q

donde Φj es el potencial del conductor j-ésimo. Los coeficientes cij son los coeficientes de capacidad o influencia eléctrica que dependen únicamente de la configuración geométrica del sistema.

En el caso particular de un condensador, dos conductores en equilibrio electrostático y en situación de influencia eléctrica total , Q1 = - Q2 = Q, obtenemos una expresion similar a la 2.1 ) (Φ₁−Φ₂ =C Q (6)

donde C recibe ahora el nombre de capacidad del condensador y de nuevo no depende de la configuración electrostática del sistema.

La expresión teórica para la capacidad de un condensador esférico formado por dos conductores esféricos, concéntricos, de radios R1 y R2, (R1 < R2), la podemos obtener mediante la aplicación del teorema de Gauss a la región comprendida entre ambos conductores, supuesta rellena de un dieléctrico de permitividad ε, obteniendo la siguiente expresión       = 1 2 2 1 R -R R R 4 πε C (7)

De manera análoga se puede determinar la capacidad de un condensador plano obteniéndose

d S

C =ε (8)

siendo S la superficie de las placas conductoras y d la distancia entre ellas.

Material básico

- Esferas conductoras de diferentes radios - Condensador esférico

- Resistencia de 10 MΩ

- Fuente de alto voltaje, 0-10 kV

- Amplificador de medida - Medidor de campo eléctrico - 2 polímetros

- Cable de alta tensión

Atención: Al final del guión de la práctica 1 se adjunta manual básico medidor de campo electrostático y al final del de la práctica 2 del amplificador de medida así como de la fuente de alimentación. Es conveniente leérselo antes de hacer la práctica

Precaución: En esta práctica se manejan tensiones que pueden resultar peligrosas por lo que se recomienda se extremen las precauciones básicas.

- No encender los aparatos hasta que no esté el dispositivo experimental totalmente conectado.

- Solicitar cualquier aclaración que sea necesaria.

Medidas a realizar y montaje experimental:

1.- Evolución del campo electrostático creado por una esfera conductora frente a la tensión (carga) de la esfera.

Para estudiar esta variación dispondremos del montaje experimental de la figura 2.

Figura 2.-

El conductor esférico de aproximadamente 2 cm de diámetro, situado sobre una de las varillas aisladas, es conectado a la fuente de alta tensión por medio de un cable de alta tensión y una resistencia de 10 MΩ, conectada directamente a la fuente como medida de protección. Esta esfera la utilizaremos como terminal de contacto para cargar la esfera que nos va a generar el campo. El polo negativo de la fuente de alimentación es conectado a masa. Seleccionamos en la fuente de alimentación un voltaje VA y al poner en contacto el terminal de contacto con la esfera, esta adquiere una carga una carga Q = C VA. Después de esta operación bajaremos el voltaje de la fuente de alta tensión a

0 V para evitar la influencia eléctrica sobre el sistema. El medidor de campo electrostático nos proporcionará el valor del campo.

Las medidas las realizaremos sistemáticamente de la siguiente manera: - Colocamos el medidor de campo a la distancia elegida.

- Fijamos 1 kV en la fuente de alta tensión.

- Ponemos en contacto brevemente el terminal de contacto con la esfera - Bajamos la tensión en la fuente de alimentación a cero.

- Anotamos el valor del campo suministrado por el medidor.

- Incrementamos en 1 kV la tensión aplicada en la fuente de alimentación anteriormente y repetimos las medidas, Asi hasta llegar a la tensión de 10 kV.

La tabla 1 está preparada para apuntar tales medidas. A partir de la representación gráfica de E frente a VA podemos obtener experimentalmente el cociente de 2R/r2 y compararlo con el medido. Realizaremos esta experiencia para esferas de diferentes radios y a diferentes distancias, según se indique en el laboratorio.

2.- Evolución del campo electrostático creado por una esfera conductora frente a la distancia

Con el mismo montaje del apartado anterior, cargando la esfera con un potencial de 10 kV medir el campo a diferentes distancias.

Se aconseja comenzar en los puntos más cercanos e irse alejando de la esfera. La tabla 2 está preparada para apuntar tales medidas. La representación gráfica de log E frente a log (r) es una línea recta de pendiente m = –2 como puede deducirse de la expresión (5) y que corresponde a la ley de la inversa del cuadrado de la distancia (Ley de Coulomb).

Log E = log (2RV) - 2log r (9)

Obtener dicha pendiente y comparar con el valor teórico.

3.- Determinación de la capacidad de conductores esféricos.

Para determinar la capacidad C en un conductor esférico utilizaremos el montaje experimental de la figura 3. Para cargar las esferas conductoras seguiremos las mismas instrucciones del primer apartado

Para medir la carga Q utilizaremos un condensador auxiliar, CM = 10 nF, conectado en paralelo a un cable BNC preparado para actuar como sonda de medida. Al poner en contacto esta sonda con el conductor problema, la carga Q se redistribuye entre

el conductor y el condensador. La diferencia de potencial que se mide entre los terminales de este condensador VM puede relacionarse con la carga Q de la siguiente manera

(

)

V

C

V

C

Q

=

⋅

=

⋅

Para realizar la medida de VM es necesario conectar el condensador de medida al voltímetro a través del amplificador de medida en su modo “electrometer”, caracterizado por tener una muy alta resistencia de entrada (≈ 1013Ω), para evitar que el condensador se descargue a través del voltímetro.

Es necesario ajustar el cero del amplificador antes de iniciar las medidas y descargar el condensador mediante el pulsador correspondiente, cada vez que se vaya a realizar una medida

Figura 3.- Montaje experimental para determinar la capacidad de conductores esféricos.

Realizar las medidas para los tres conductores esféricos problema que se suministran de diámetros aproximados 2, 4 y 12 cm. La tabla III está preparada para apuntar tales medidas. A partir de la representación gráfica de Q frente a VA podemos obtener experimentalmente la capacidad C de cada conductor.

Para obtener la capacidad teórica exacta de cada conductor mida los radios de dichos conductores con un calibre.

Precauciones: Estamos utilizando alta tensión, no tocar las partes sometidas a alta tensión con las manos ni dejar los terminales desconectados.

No aplicar bajo ningún concepto alta tensión al amplificador de medida.

4.- Determinación de la capacidad de un condensador esférico

En la figura 4 se muestra el montaje experimental de este apartado. Dos hemisferios de Cavendish se ponen en contacto para formar una esfera completa con un pequeña agujero en la parte superior.

Figura 2.- Montaje experimental para determinar la capacidad de un condensador esférico. Una esfera de plástico con superficie

conductora se suspende mediante un hilo de cobre en el centro de la esfera. El hilo de cobre se introduce en un capilar de vidrio forrado exteriormente con papel de aluminio que se mantiene a potencial nulo para minimizar capacidades parásitas, figura 5.

Figura 5.- Detalle de la esfera interna. 1 = Hilo de cobre; 2 = tubo capilar; 3 = papel de aluminio

La esfera interior se conecta al terminal central de la fuente de alta tensión a través de la resistencia de protección de 10 MΩ. El terminal negativo de la fuente es conectado a masa.

Aplicaremos voltajes sobre la esfera interior entre 0 – 1000 V por seguridad del voltímetro digital. Una vez aplicado el voltaje conectaremos brevemente la esfera exterior a tierra para que adquiera la misma carga que la interior, aunque de signo contrario De manera similar al apartado anterior mediremos ahora la carga sobre la esfera exterior con el condensador auxiliar. Realizaremos dicha medida para diez voltajes diferentes (Tabla IV).

A partir de la representación gráfica de los datos, Q frente a VA, obtener la capacidad del condensador esférico.

Precaución: Después de cada medida es necesario descargar la esfera exterior para evitar voltajes inducidos.

HOJA DE RESULTADOS EXPERIMENTALES

Tabla de datos I: Valores del campo eléctrico para varias tensiones de carga y distancias.

R= mm d= mm R= mm d= mm R= mm d= mm R= mm d= mm VA (kV) E (kV/m) E (kV/m) E (kV/m) E (kV/m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla de datos II: Campos medidos en función de la distancia

V= 10 kV, R=12 cm d (cm)

E (kV/m)

Fecha: - - 200 .-

Práctica realizada por:………

Tabla de datos III: Voltajes medidos con el amplificador de medida para diferentes conductores esféricos. C = 10 nF (500 V).

(Si tiene que utilizar ganancias superiores a la unidad tengalo en cuenta a la hora de apuntar los datos)

R1 = R2 = R3 = VA (kV) VS (V) Q(C) VS(V) Q(C) VS (V) Q(C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla de datos IV: Voltajes medidos con el amplificador de medida para condensador esférico. C = 10 nF (500 V).

(Si tiene que utilizar ganancias superiores a la unidad tengalo en cuenta a la hora de apuntar los datos)

R1 = R2 = VA (V) VS (V) Q(C) 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000