Curso de economía matemática

(1)

Econom´ıa Matem´

atica 1

Facultad de Estudios Superiores Acatl´an

Licenciatura en Actuar´ıa Semestre 2018-2

(2)

1 Introducci´on

2 Evaluaci´on y Lineamientos

Evaluaci´on Lineamientos

3 T´opicos del curso

Teor´ıa de la Decisi´on (Decisiones y Preferencias)

Teor´ıa del Consumidor (Demanda Individual)

Teor´ıa de la Producci´on y la Oferta

(3)

Contenido

1 Introducci´on

(4)

Concepto

Econom´ıa.- Administraci´on de

los bienes escasos, es decir, se

estudia la produducci´on,

intercambio y distribuci´on de

(5)

Introducci´

on

Concepto

Macroeconom´ıa.- Estudia el

comportamiento econ´omico a

nivel global (incremento de los precios, tipo de cambio, inflaci´on, etc.).

(6)

Concepto

Microeconom´ıa.- Estudia el

comportamiento econ´omico de

los individuos (empresas, trabajadores, etc.).

(7)

Introducci´

on

Concepto

Teor´ıa de la Decisi´ on.-Estudia la forma de modelar matem´aticamente el

comportamiento del consumo indivial, optimizando su bienestar sujeto a ciertos requisitos.

1er Axioma del an´alsis econ´omico.- Cada persona hace lo mejor para si misma.

(8)

Concepto

Teor´ıa del Equilibrio.- Se encarga del estudio de grupos de individuos.

(9)

Contenido

1 Introducci´on

(10)

1 Introducci´on

(11)

Evaluaci´

on

Examenes 80%

Primer examen ordinario 80%

Exposici´on final 20%

Recompensas

Lectura del libro: Against the Gods: The Remarkable Story of Risk; Peter L. Bernstein. 20%

Consideraciones

Los examenes podr´an ser realizados en casa, en cuyo caso deber´an ser entregados en equipos de a lo mas 5

(12)

Examenes 80%

Recompensas

Consideraciones

(13)

Evaluaci´

on

Examenes 80%

Recompensas

Consideraciones

(14)

1 Introducci´on

(15)

Lineamientos

Consideraciones

La clase terminar´a 9:30.

Respetar la clase.

Cumplir en tiempo y forma.

No comer dentro del salon.

(16)

Consideraciones

Respetar la clase.

(17)

Lineamientos

Consideraciones

Respetar la clase.

(18)

Consideraciones

Respetar la clase.

(19)

Contenido

1 Introducci´on

(20)

1 Introducci´on

(21)

Discusión.-¿Por qué un individuo toma un curso acción determi-nado, cuando existe todo una gama de acciones?

(22)

Discusión.-¿Por qué un individuo toma un curso acción determi-nado, cuando existe todo una gama de acciones?

”Cada persona hace lo mejor para si misma”

Objetivo.- Modelar matem´aticamente el comportamiento de un in-dividuo, a manera que este nos permita predecir su comportamiento ante nuevas situaciones.

A fin de dar cumplimiento con el objetivo del an´alisis econ´omico se dan por ciertos los siguientes supuestos:

(23)

Supuestos:

Cada individuo hace lo mejor para si mismo.

Cada individuo es capaz de jerarquizar los elementos de cualquier conjunto de acciones.

Su comportamiento es estable.

Preferencia por la variedad.

No hay saciedad.

Definici´on.- Un problema de decisi´on es expresado por conjunto F que contiene el universo de acciones.

(24)

Consecuencia del supuesto 1 y 2 (Cada individuo hace lo mejor para si mismo, y es es capaz de jerarquizar sus acciones):

Definici´on.- Sea una relaci´on en F definida con las siguientes caracter´ısticas:

∀a∈_F (aa)

∀a,a∗∈_F(aa∗ ∨ a∗ a ∨ a∼a∗)

∀a,a∗,a∗∗∈F(aa∗ ∧ a∗ a∗∗ → aa∗∗)

(25)

Consecuencia del supuesto 3(Su comportamiento es estable):

En un problema de decisi´on un individuo toma la acci´ona∗ ∈A, si

y s´olo si, a∗a ∀a∈A

Notemos que a∗ depende del universo de acciones alcanzables por

un individuo, es decir,a∗=a(A).

(26)

Consecuencia del supuesto 3(Su comportamiento es estable):

En un problema de decisi´on un individuo toma la acci´ona∗ ∈A, si

y s´olo si, a∗a ∀a∈A

Notemos que a∗ depende del universo de acciones alcanzables por

un individuo, es decir,a∗=a(A).

¿Como medir y determinar si a∗a?

Definici´on.- Sea F−→u _Rtal queaa∗ → u(a) ≤u(a∗), entonces

decimos queu representa la relaci´on de preferencia. A la funci´on u

(27)

Proposici´on.- Sean P(a) = {a∗ ∈ A|a∗ a} y M(a) = {a∗ ∈

A|a∗ a} cerrados ∀a ∈ A, entonces, ∃_F−→u _R continua que

representa la relaci´on de preferencia.

Discusi´on.- En caso de que en el problema de decisi´on exista una

funci´on de utilidad la soluci´on se reduce a encontrar el siguiente

valor:

a∗ =argmaxa∈Au(a)

Proposición.- Cualquier transformación monótona creciente de una función de utilidadu, es función de utilidad.

(28)

Proposici´on.- El conjunto l(a) := P(a)∩M(a) 6= φ. El conjunto

l(a) es comunmente llamado curva de indiferencia.

Proposici´on.- SeaL={l(a) |a∈A}, enntonces:

l(a)∩l(a∗)6=φ↔a∼a∗

La proposici´on anterior nos muestra que no existe intersecci´on entre las curvas de indiferencia.

Proposici´on.- Seau una funci´on de utilidad, entonces:

(29)

Definici´on.- SeaF=R+

n

entonces, se define como canasta de

ser-vicios o art´ıculos a cualquier vectorx∈_R+n_{, en donde}_x

i representa

la cantidad del servicio o art´ıculoi−´esimo en la canasta.

Definici´on.- En art´ıculo o servicio i, se denomina biensi _∂x∂u

i >0,

mal si _∂x∂u

i <0 y neutro si

∂u ∂xi = 0.

Proposici´on.- Si se cumple el principio de no saciedad, entonces,

todo incremento positivo en los bienes denotados por x ∈Rn,

im-plica un incremento positivo en la funci´on de utilidad, es decir:

(30)

¿C´omo evaluaremos los caso en los que dxi >0 i ∈Nm y dxj <0 j ∈_N_n−m?

Definici´on.- Una curva de indiferencia es un conjunto de canastas

x∈Rn tal que u(x) =u.

Notemos que para el caso de las curvas de indiferencia, la utilidad se matiene constante sin importar el incremento o decremento de un determinado bien:

(31)

Proposici´on.- Sea F =R+

2

, entonces, la derivada de la curva de indiferencia esta dada por:

dx2 dx1 =− ∂u ∂x1 ∂u ∂x2

Proposici´on.- Para una canasta de bienes, la curva de indiferencia es decreciente.

Definici´on.- Se define la Tasa Marginal de Sustituci´on Subjetiva

(TMS) como la m´axima cantidad del bien 2 que el individuo esta

dispuesto a entregar por una unidad del bien 1:

TMS =|dx2

dx |= u1

(32)

Con base en el supuesto 4(Preferencia por la variedad):

Entendiendo preferencia por la variedad como preferencia por combi-naciones lineales de canastas con igual utilidad (u(xa) =u(xb) =u)

, es decir,

λ∗xa+ (1−λ)∗xb u con λ∈[0,1]

Proposici´on.- SeaF=R+

2

un conjunto de canastas de dos bienes, entonces, las curvas de indiferencia son convexas.

2

un conjunto de canastas de dos bienes

con curvas de indiferencia convexas, entonces la funci´on de utilidad

(33)

Definici´on.- Para el caso de canastas con n bienes (F = R+

n

),

el universo de acciones que un individuo con ingreso m tiene a su

alcance esta dado por:

A(p,m) ={x∈F|x·p ≤m}

En dondep es el vector de costos de los bienes de la canasta x.

Definici´on.- El conjunto formado por la ecuaci´on x ·p = m es

(34)

Definici´on.- Sea F = R+

2

, se define el costo de oportunidad del

bien 1 en t´erminos del bien 2 o la Tasa Marginal de Sustituci´on

de Mercado (TMSM), como el valor absoluto de la pendiente la restricci´on presupuestaria.

x2 =

m p1

−p1

p2

x1

Es decir,TMSM = p1

p2. Lo que representa que un individuo deber´a

disminuir el bien dos en TMSM = p1

p2 al aumentar una unidad del

(35)

Con base en el supuesto 5(No hay saciedad):

El individuo mostrar´a preferencia por cualquier canasta que se

en-cuentre el conjuntox·p =m a cualquier canasta que se encuentre

en el conjuntox·p <m.

De lo anterior el problema de decisi´on se reduce a resolver el siguiente

problema de maximizaci´on:

Max u(x)

x∈F

s.a.x·p=m xi>0

Para resolver el problema anterior se utiliza el m´etodo de

(36)

M´etodo de Kuhn-Tucker

Se plantea el Lagrangeano:

L=u(x) +λ(m−x·p)

y se plantean las condiciones de primer orden (CPO) y las condi-ciones de segundo orden (CSO).

CPO

∂L ∂xi

=ui −λpi = 0

∂L

= (m−x·p) = 0

CSO

|H| > 0

Donde H es el Hessiano orlado

(37)

2

, entonces, una condici´on necesaria para

que el problema de soluci´on tenga soluci´on esTMS =TMSM.

La proposici´on anterior se conoce como condici´on de tangencia entre

(38)

Proposici´on.- La TMS es una funci´on decreciente en x1. Hint: Utilizar las CSO, es decir, que:

|H|=

0 p1 p2

p1 u11 u12

p2 u21 u22

>0

Proposici´on.- S´ı la TMS es una funci´on decreciente enx1, entonces las curvas de indiferencia son convexas.

(39)

Ejercicio.- Con base en la funci´on de utilidad u(x1,x2) = x1x2 y

consderando la restricci´on presupuestaria, realice lo siguiente:

Describa las curvas de indiferencia de la funci´on de utilidadu.

Determine la TMS.

Demuestre que las curvas de indiferencia son convexas.

(40)

1 Introducci´on

(41)

Demanda ordinaria y compensada

Los problemas a los que da soluci´on la teor´ıa del consumidor son a

maximizar la utilidad dado un ingreso y minimizar los costos dada una utilidad deseada, es decir:

(1)

Max u(x)

x∈F

s.a.x·p=m xi>0

(2)

Min x·p x∈_F

s.a.u(x)=u u>0

Notemos que para cada uno de los problemas anteriores se tienen las podemos obtener las siguientes observaciones:

(42)

Problema

(1)

Max u(x)

x∈_F

s.a.x·p=m xi>0

(2)

Mix x·p x∈F

s.a.u(x)=u u>0

Observaci´on

(1)

a∗=

argmax u(x)

x∈_F =x∗(p,m)

Demanda ordinaria

(2)

a∗ =

argmin x·p

x∈_F =x∗(p,u)

(43)

Definici´on (Demanda ordinaria).- La demanda ordinaria o mar-shaliana por el bienies una funci´onx_iM :R+

n+1

→_Rcon la siguiente

regla de correspondencia:

x_iM : (p,m)7−→xi

dondexi es el i−´esimo elemento dex∗.

Definici´on (Demanda compensada).- La demanda compensada

o hicksiana por el bien i es una funci´on x_iH : R+

n+1

→ _R con la

siguiente regla de correspondencia:

x_iH : (p,u)7−→xi

(44)

¿Cu´al es la m´axima utilidad que se puede obtener con un vector de precios p y un nivel de ingreso m?

(45)

¿Cu´al es la m´axima utilidad que se puede obtener con un vector de precios p y un nivel de ingreso m?

Seav la m´axima utilidad que puede alcanzar un individuo, entonces:

v =u(x∗) =u(xM) =v(p,m)

(46)

¿Cu´al es la m´ınimo costo que se puede obtener con un vector de precios p y un nivel de utilidad u?

(47)

¿Cu´al es la m´ınimo costo que se puede obtener con un vector de precios p y un nivel de utilidad u?

Al igual que en el problema de decisi´on estudiado en la secci´on

anterior, el m´ınimo costo se obtiene al dar soluci´on al problema

s.a.u(x)=u u>0

Por medio del lagrangeanoL=x·p+λ(u−u(x)) con las condiciones

(48)

CPO

∂L ∂xi

=pi −λui = 0

∂L

∂λ = (u−u(x)) = 0

Con base en lo anterior, sea c el m´ınimo costo para un vector de

preciosp y una utilidad u, entonces:

c =x∗·p=xH·p =c∗(p,u)

(49)

Esquema de Teor´ıa del Consumidor

Maximizaci´on de utilidad Minimizaci´on de costos Max u(x)

x∈F

s.a.x·p=m xi>0

Min x·p x∈F

s.a.u(x)=u u>0

↓ ↓

Demanda ordinaria Demanda compensada x_iM(p,m) x_iH(p,u)

↓ ↓

(50)

Ejercicio 1.- Muestre que con base en la funci´on de utilidadu(x1,x2) =

x1x2 se obtienen demandas ordinaria y compensada con los valores

de:

xM

i (p,m) = (2mp1,

m

2p2) x

H

i (p,u) = (

up2

p1

1₂ ,up1

p2

1₂

)

As´ı como funci´on de utilidad indirecta y la funci´on de m´ınimo costo

con valores de:

v(p,m) = ₄_pm2

1p2 c

∗₍_p_,_u_{) = 2}√_p

(51)

Proposici´on (Teorema de la envolvente).- SeaL∗(p,m) =L(x∗, λ∗), entonces se cumple que:

∂V ∂a =

∂L ∂a

cona=pi parai ∈Nn ∨a=m.

Proposici´on (Identidad de Roy).- Sea V una funci´on de utilidad

indirecta yLel Lagrangeano asociado al problema de optimizaci´on,

entonces se cumple que:

x_iM(p,m) =−

∂V ∂pi

∂V ∂m

(52)

Proposici´on (Lema de Shepard).- SeaC∗ una funci´on de m´ınimo

costo y L el Lagrangeano asociado al problema de optimizaci´on,

entonces se cumple que:

x_iH(p,u) = ∂C

∂pi

Ejercicio 2.- Con base en los resultados del Ejercicio 1, verifique que se cumplen las proposiciones anteriores (Identidad de Roy y Lema de Shepard).

(53)

x∈F

s.a.x·p=m xi>0

Min x·p x∈F

s.a.u(x)=u u>0

↓ ↓

↓↑ ↓ ↑

(54)

Observaci´on.- A partir de la funci´on de utilidad indirecta V y un

nivel de utilidad deaeado u podemos obtener la funci´on de m´ınimo

costo:

V(p,m) =u

Observaci´on.- A partir de la funci´on de m´ınimo costoC∗ y un nivel

de ingresosm podemos obtener la funci´on de utilidad indirecta:

(55)

x∈F

s.a.x·p=m xi>0

Min x·p x∈F

s.a.u(x)=u u>0

↓ ↓

↓↑ ↓ ↑

(56)

Observaci´on.- A partir de la funci´on de utilidad indirecta V y la

funci´on de demanda compensadax_iH(p,u) podemos obtener la

de-manda ordinariax_iM(p,m):

x_iM(p,m) =x_iH(p,V(m,p))

Observaci´on.- A partir de la funci´on de m´ınimo costo C∗ y la

funci´on de demanda ordinariax_iM(p,m) podemos obtener la funci´on

de demanda compensada:

(57)

x∈F

s.a.x·p=m xi>0

Min x·p x∈F

s.a.u(x)=u u>0

↓ ↓

Demanda ordinaria Demanda compensada x_iM(p,m) ↔ x_iH(p,u)

↓↑ % - ↓ ↑

(58)

Elasticidad precio/cruzada.- Es el cambio porcentual en la

de-mandai ante un cambio porcentual ante el precioj,ηij = ∆%xi

∆%pj

S´ıηij >0 decimos que el bieni es sustituto del bienj.

S´ıηij <0 decimos que el bieni es complemento del bienj.

Elasticidad ingreso.- Es el cambio porcentual en la demandai ante

un cambio porcentual en el nivel de ingresosm,ηim = ∆%xi

∆%m

S´ıηim>0 decimos que el bieni es superior.

S´ıηim= 0 decimos que el bien i es neutro.

(59)

Proposici´on.- Con base en las funciones de demanda y las defini-ciones de elasticidad se cumple que:

ηij = ∂x

∗

i ∂pj

pj xi

=

∂lnx∗_i ∂pj

∂lnpj

∂pj

ηim = ∂x∗_i

∂m m xi

=

∂lnx∗_i ∂m ∂lnm

∂m

Proposición (Descomposición de Slutsky).- Con base en la proposición anterior y la equivalencia entre demanda compensada y ordinaria se cumple que:

η_ijH =η_ijM+αjηim αj = xjpj

(60)

Proposición (Agregación de Engel).- Con base en la ecuación de

restricci´on presupuestaria se cumple que:

n X

i=1

αiηim = 1

Proposici´on (Semetr´ıa de Hicks).- Con base en Lema de Shepard se cumple que:

∂x_iH ∂pj

= ∂x

H j ∂pi

(61)

Contenido

1 Introducci´on

(62)

Objetivo.- Modelar el comportamiento de las empresas en mercados competitivos.

(63)

Discusi´on.-¿Qu´e le interesa maximizar a una empresa?

(64)

”Las ganancias”

(65)

”Las ganancias”

Discusi´on.-¿Cuales serian las variables del modelo?

Variables tipo 1 Variables tipo 2

No. de bienes a producir (q) → Precio del bien (p)

(66)

Con base en las variables anteriores podemos definir los siguientes

conceptos, considerando un vector de insumosz ∈_R+n

y un vector

de costosw ∈_R+n

:

Concepto Ecuaci´on de c´alculo

Costo de producci´on → ¿ ?

Importe de ventas → ¿ ?

(67)

y un vector

de costosw ∈_R+n

:

Costo de producci´on → z·w

Importe de ventas → ¿ ?

(68)

y un vector

de costosw ∈_R+n

:

Importe de ventas → p·q

(69)

y un vector

de costosw ∈_R+n

:

Importe de ventas → p·q

(70)

Discusi´on.-¿Puedo producir un n´umero no finito de bienes?

”No, ya que necesitar´ıa una cantidad no finita de insumos”

Definición.-El número de bienes (q) que puede producir una em-presa se encuentra acotado por la frontera de posibilidades de pro-ducción:

q≤f(z)

La funci´onf :R+

n

→R recibe el nombre de funci´on de producci´on

y resume la tecnolog´ıa con la que cuenta la empresa para producir art´ıculos.

(71)

Definici´on.-Una isocuanta es la curva de nivel que se genera al

igualar la funci´on de producci´on a una cierta cantidad de bienes q

(f(z) =q).

Notemos que para el caso de las isocuantas, la producci´on se matiene

constante sin importar el incremento o decremento de un determi-nado insumo:

(72)

Proposici´on.- Sea z ∈ _R+2

, entonces, la derivada de la isocuanta esta dada por:

dz2 dz1 =− ∂f ∂z1 ∂f ∂z2

Definición.- Se define la Tasa Marginal de Sustitución Técnica

(TMST) como la cantidad que necesito del insumo 1 para mantener

el mismo nivel de producci´on si dejamos de contratar una unidad

del insumo 2:

TMST =|dz2

dz1

|= f1

(73)

Podemos generar otro tipo de preguntas respecto a la relaci´on entre tecnolog´ıa de la empresa y los insumos:

¿Qu´e ocurre con la cantidad producida al variar alg´un

insumo?

¿Qu´e ocurre con la cantidad producida al variar todos

(74)

¿Qu´e ocurre con la cantidad producida al variar alg´un insumo?

Definici´on.- Se define la productividad marginal comoPMgj:

PMgj :=

∂f ∂zj

=fj

Proposici´on.-∀i,j ∈_N_n se cumple que:

∂PMgj

∂zi

= ∂PMgi

(75)

Definici´on

.-Los factores son complementarios si ∂PM_∂zgj

i >0.

Los factores son anticomplementarios si ∂PM_∂zgj

i <0.

Definici´on.- Se define la productividad media comoPMej:

PMgj :=

q zj

(76)

Elasticidad insumo-producto.- Es el cambio porcentual de la

can-tidad producida q ante un cambio porcentual ante el insumo j,

q,zj =

∆%q

∆%zj.

Proposici´on.- Con base en la definici´on anterior se cumple que:

q,zj =

PMgj

(77)

¿Qu´e ocurre con la cantidad producida al variar todos insumos?

Definici´on.- Si cambian todos los insumos en una misma proporci´on

(λ−1)%, decimos que q tiene:

Rendimientos crecientes a escala si ∆%q >(λ−1)%

Rendimientos decrecientes a escala si ∆%q <(λ−1)%

(78)

Elasticidad producto total.- Es el cambio porcentual de la cantidad

producidaq ante un equiproporcional en los insumos,PT = ∆%_%_aq.

Proposici´on.- Con base en la definici´on anterior se cumple que:

q tiene rendimientos crecientes siPT >0.

q tiene rendimientos decrecientes si PT <0.

(79)

Proposici´on.- Con base en la definici´on de elasticidad total se cumple que:

PT = X

j∈Nn

q,zj

Proposici´on.- Si f es homog´enea de grador, entonces,PT =r.

Hint.- Teorema de Euler.- Sif es una funci´on homog´enea de grado

r, entonces:

X

i∈Nn

(80)

Considerando que la cantidad producida por la empresa se encuentra

en función de su producción, el problema se reduce a dar solución a

lo siguiente:

Max π=p·q−z·w s.a q≤f(z)

Sin embargo, el no producir todos los art´ıculos significar´ıa dejar de ganar sin aumentar los precios, por lo tanto:

Max π=p·q−z·w s.a q=f(z)

(81)

El problema anterior puede ser resulto de dos formas distintas:

Paso Demanda condicionada Demanda no condicionada

1

Min C=z·w s.a q=f(z)

Max π=p·f(z)−z·w s.a z∈_R+n

2

Max π=p·q−C(z∗)

s.a q∈R+

(82)

Demanda condicionada

Definición.- Las curvas de nivel generadas como resultado de igualar la función de costos de producción a un costo fijo (C(z) =z·w =c), reciben el nombre de curvas de isocostos.

Para el caso dez ∈_R2_{, tenemos:}

z·w =c

→ z1·w1+z2·w2 =c

→ z2=

c w2

−w1

w2

(83)

Definici´on.- La pendiente generada por la recta anterior (w1

w2), es

llamadaTasa Marginal de Sustituci´on de Mercado (TMSM).

Retomando el problema 1 de la Demanda Condicionada de Factores:

Min C =z·w s.a q=f(z)

podemos identificar la soluci´on al problema de minimizaci´on por

(84)

M´etodo de Kuhn-Tucker

Se plantea el Lagrangeano:

L=z·w+λ(q−f(z))

y se plantean las condiciones de primer orden (CPO) y las condi-ciones de segundo orden (CSO).

CPO

∂L ∂zi

=wi−λfi = 0

∂L

= (q−f(z)) = 0

CSO

|H| > 0

Donde H es el Hessiano orlado

(85)

Proposici´on.- Seaz ∈_R+2

, entonces, una condici´on necesaria para

que el problema de soluci´on tenga soluci´on esTMST =TMSM.

Proposici´on.- La TMST es una funci´on decreciente en z1. Hint: Utilizar las CSO, es decir, que:

|H|=

0 f1 f2

f1 −λ·f11 −λ·f12

f2 −λ·f21 −λ·f22

≤0

Proposici´on.- S´ı la TMST es una funci´on decreciente en z1, en-tonces las curvas de isocostos son convexas.

(86)

Notemos que una vez resuelto el problema anterior podemos obtener lo siguiente:

z∗ =

argmin C=z·w s.a q=f(z)

Definici´on (Demanda condicionada de factores).- La demanda

condicionada de factores del insumo i es, zC

i : R+

n+1

→ R con la

siguiente regla de correspondencia:

z_iC : (w,q)7−→zi

(87)

Definici´on (Funci´on de m´ınimo costo).- El m´ınimo costo que se

puede conseguir para un nivel de de producci´on q, se define como

C∗ =C(z∗) =C(w,q).

Definici´on.- Se define el costo marginal como CMg:

CMg = ∂C∗

∂q

Definici´on.- Se define el costo medio comoCMe:

CMg = C∗

(88)

Definici´on.- Decimos que una empresa tiene:

Deseconom´ıas a escala.- ∂CMe

∂q >0 .

Econom´ıas a escala.- ∂CMe

∂q ≤0 .

Proposici´on.- Con base en la definici´on de costo marginal y costo medio se cumple que:

∂CMe ∂q =

CMg −CMe q

(89)

Elasticidad costo total.- Es el cambio porcentual en el costo m´ınimo

C∗ ante un cambio porcentual en la cantidad producida q, ct =

∆%C∗

∆%q

S´ıct >1 tenemos deseconom´ıas a escala.

S´ıct ≤1 tenemos econom´ıas a escala.

Proposici´on.- Con base en la definici´on de elasticidad costo total, se cumple que:

ct = CMg CMe

(90)

Una vez resuelto el problema de la Demanda Condicionada de

Fac-tores, estamos en posibilidades de dar soluci´on al problema 2, es

decir:

Max π =p·q−C(z∗)

s.a q∈R+

Planteando las condiciones de primer orden (CPO) y las condiciones de segundo orden (CSO):

CPO

∂π ∂q =p−

∂C∗ ∂q = 0

CSO

∂2π ∂q2 =−

∂2C∗ ∂q2 <0

(91)

Notemos que una vez resuelto el problema anterior podemos obtener lo siguiente:

q∗ =

argmax π=p·q−C(z∗)

s.a q∈_R+

Definici´on (Curva de oferta).- La curva de oferta es una funci´on,

q∗:R+

n+1

→_R con la siguiente regla de correspondencia:

(92)

Proposici´on (Lema de Shepard).- Con base en la funci´on de costo

m´ınimo (C∗) y el teorema de la envolvente, se cumple:

∂C∗ ∂q =z

∗

i(w,q)

Proposici´on (Elasticidad precio).- La elasticidad preioηii se define

como el cambio porcentual en la cantidad demanda de un insumoi

(z_i∗(w,q)) ante el cambio porcentual en el precio del insumoi (wi),

es decir,ηii =

∆%z_i∗(w,q)

∆%wi . Entonces se cumple:

ηii = ∂z

∗

i ∂wi

·wi

(93)

Clasificaci´on de factores (insumos).- Decimos que un factor (in-sumo) es:

Factor superior si ∂zi∗(w,q)

∂q >0.

Factor neutro si ∂zi∗(w,q)

∂q = 0.

Factor inferior si ∂zi∗(w,q)

(94)

Demanda No Condicionada de Factores

Retomando la segunda soluci´on al problema del productor, tenemos

el problema siguiete:

Max π=p·f(z)−z·w s.a z ∈R+

n

Definici´on.- Notemos que una vez resuelto el problema anterior

podemos obtener la demanda no condicionada de factores (zNC),

como una funci´on, z_iNC : R+

n+1

→ _R con la siguiente regla de

correspondencia:

(95)

Observación.- La relación entrezC yzNC, esta dada por la siguiente relación:

z_iNC(w,p) =z_iC(w,q∗(w,p))

(96)

1 Introducci´on

(97)

Temas de exposici´on:

Competencia Perfecta y Equilibrio Walrasiano

Equilibrio parcial

Monopolio y discriminaci´on de precios

Oligopolio y Modelo de Cournot

(98)

Requesitos de exposici´on:

Vestimenta formal

Presentaci´on formal

Contexto hist´orico

Explicaci´on y planteamiento del modelo

Ejemplo