Unidad 8: Integral Indefinida

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(1)IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. UNIDAD 8 INTEGRAL INDEFINIDA 1. PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN E INTEGRAL INDEFINIDA. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL INDEFINIDA Dadas dos funciones f ( x ) y F ( x ) definidas en un dominio D, decimos que:. F (x ) es una primitiva de f ( x ) si F ′( x ) = f ( x ). Derivación. f. f´. Integración Ejemplos: Derivación e integración a) Si f ( x ) = 2x, entonces F ( x ) = x 2 ya que F ′( x ) = 2 x = f ( x ). son procesos inversos. b) Si f ( x ) = cos x, entonces F ( x ) = sen x ya que F ′( x ) = cos x = f ( x ).. c) Si f ( x ) = cos x, entonces F (x ) = 5 + sen x ya que F ′( x ) = cos x = f ( x ).. Fíjate en el último ejemplo: Si la función primitiva tiene una constante, ésta “se pierde” al derivar F ( x ). Por tanto: Si F ( x ) es una primitiva de f ( x ) ⇒ F ( x ) + k también lo es Es decir, todas las primitivas de una función se diferencian en una constante. Integral indefinida de f : Es el conjunto formado por todas las primitivas de la función f .. ∫ f (x ) dx = F (x ) + k con k ∈ ℜ → Integral indefinida de ∫ → Símbolo integral. f respecto a x. f ( x ) → Integrando dx → Indica la variable respecto a la que estamos integrando k → Constante de integración. A pesar de ser operaciones inversas, la derivación y la integración NO tienen el mismo grado de dificultad: Derivación: De modo mecánico se calcula la derivada de cualquier función “complicada”. Integración: Existen funciones sencillas, cuya integral no se puede expresar con funciones elementales, como por ejemplo:. ∫. sen x dx x. Propiedades de la integral indefinida: a) b) c) d). [∫ f (x) dx]′= f (x). ∫ f ′(x ) dx = f (x ) + k k ∈ ℜ ∫ [ f (x ) ± g (x )] dx = ∫ f (x ) dx ± ∫ g (x ) dx ∫ k ⋅ f (x ) dx = k ⋅ ∫ f (x ) dx. ¡¡Cuidado!! ∫ f (x ) ⋅ g (x ) dx ≠ ∫ f (x ) dx ⋅ ∫ g (x ) dx. Ejemplo: Comprueba que F ( x ) = x 5 y G( x ) = x5 + 7 son primitivas de la función f ( x ) = 5 x 4 . Solución: F ′( x ) = 5 x 4 ⇒ F ′(x ) = f ( x ) , por tanto, F es una primitiva de f.. G′( x ) = 5 x 4 ⇒ G′( x ) = f ( x ) , por tanto, G es una primitiva de f.. Fíjate: F y G se diferencian en una constante. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 1. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 8: Integral Indefinida.

(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 2. INTEGRALES INMEDIATAS TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS Funciones simples Funciones compuestas. ∫ 0dx = k ∫ dx = x + k x n+1 ∫ x dx = n + 1 + k 1 ∫ x dx = ln x + k n. ∫ e dx = e x. x ∫ a dx =. x. ∀ n ≠ −1. +k. ax +k ln a. f n+1 +k n +1. ∫. f ⋅ f ′ dx =. ∫. f′ dx = ln f + k f. n. ∫e. f ′ dx = e f + k. f. f ∫ a ⋅ f ′ dx =. af +k ln a. ∫ sen x dx = − cos x + k. ∫ sen ( f ) ⋅ f ′ dx = − cos f + k. ∫ cos x dx = sen x + k. ∫ cos ( f ) ⋅ f ′ dx = sen f + k. 1 2 ∫ cos 2 x dx = ∫ sec x dx = = ∫ 1 + tg 2 x dx = tg x + k. ∫ cos. 1 2 ∫ sen 2 x dx = ∫ cos ec x dx = = ∫ (1 + cot g 2 x ) dx = − cot g x + k. ∫ sen. (. ∫ ∫. ). 1 1− x. 2. −1 1− x2. 1. ∫ 1+ x. 2. dx = arcsen x + k dx = arccos x + k. dx = arctg x + k. f′ 2. dx = ∫ sec 2 ( f ) ⋅ f ´dx =. f. (. ). = ∫ 1 + tg 2 f ⋅ f ′dx = tg f + k f′ 2. (. f. dx = ∫ cos ec 2 ( f ) ⋅ f ´dx =. ). = ∫ 1 + cot g 2 f ⋅ f ´ dx = − cot g f + k. ∫ ∫. f′. 1− f 2 − f′ 1− f 2 f′. ∫ 1+ f. 2. dx = arcsen f + k dx = arccos f + k. dx = arctg f + k. Ejemplo: Halla una primitiva de la función f (x ) = x 2 + 2 x , sabiendo que esa primitiva se anula para x = 1. Solución:. F ( x ) = ∫ (x 2 + 2 x )dx =. x3 x3 + x 2 + k ⇒ F (x ) = + x 2 + k 3 3. Como F (1) = 0 ⇒ 13 + 1 + k = 0 ⇒ k = − 43. Por tanto: F ( x ) =. 4 x3 + x2 − . 3 3. Ejercicio 1: Dada la función f ( x) = x 3 − 2 x + 1, calcula: a) La primitiva cuya gráfica pasa por el punto A(2,1). b) La primitiva que se anula para x = 2.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 8: Integral Indefinida.

(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 3. MÉTODOS BÁSICOS DE INTEGRACIÓN 3.1. INTEGRACIÓN INMEDIATA Y POR DESCOMPOSICIÓN Función integrando → Se expresa (si no es inmediata) como combinación lineal de funciones que sabemos integrar de modo inmediato, aplicando las propiedades de la integral indefinida. Ejercicio 2: Calcula las siguientes integrales:. 1) ∫ 2dx. 24) ∫. x dx 3 4) ∫ x 5 dx. 3) ∫. 5) ∫ 12 x 5 dx 6) ∫ 2 x 7 dx 7) ∫ x −3 dx. 7 dx x4 9) ∫ (5 x − 2) dx. 8) ∫. 10) ∫ x 7 ( x 3 − 2)dx. 11) ∫ ( x 2 − 3)( x 3 + 1)dx. 12) ∫ 5 x 7 dx 13) ∫ 2 x. 2. dx. x 2x dx 25) ∫ 3 5x 1 ⎛ 26) ∫ ⎜ x − x ⎝. 2) ∫ 3x dx. 2 3. 1 3. 4. x dx. 14) ∫ x 3 x dx x3 − 2 x 2 + 4 x 15) ∫ dx x x −3 16) ∫ 7 dx x 17) ∫ 2x5 −3x4 +2x2 −7x +3 dx. (. ). 1⎞ ⎛ 18) ∫ ⎜ 5 x + 3 ⎟ dx x ⎠ ⎝ ⎛ x3 1 ⎞ 19) ∫ ⎜⎜ − 5 ⎟⎟ dx ⎝ 2 x ⎠ 1 2. 20) ∫ 7 x dx 5 x dx 4 22) ∫ 7 x dx 21) ∫. 23) ∫ 4 x 7 dx. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. ⎞ ⎟ dx ⎠. x7 − 2x x + 3 27) ∫ dx x 3 28) ∫ 6 dx 5x 4 29) ∫ dx 3x 1 30) ∫ dx x+2 2x − 3 31) ∫ 2 dx x − 3x + 6 x 32) ∫ 2 dx x +7 5x 33) ∫ 2 dx x +7 8x 2 34) ∫ 3 dx 7x − 2 ex dx 35) ∫ 1 + ex sen x 36) ∫ dx cos x 3 x 2 + cos x + 2e 2 x 37) ∫ 3 dx x + sen x + e 2 x x 38) ∫ dx x+5 2 5 ⎞ ⎛ 39) ∫ ⎜ 2 3 x 5 − + ⎟ dx x x⎠ ⎝ 11 ⎛ 3 5⎞ 40) ∫ 3 ⎜ x 2 − x + ⎟ dx x ⎝ 4 9⎠ 41) ∫. (x − 3)2 x. 3. 42) ∫. x dx 1 + x2. 43) ∫. x +2. ( 44) ∫ (. ). 2. dx. ). 25 x + 3x 5 dx. 1− x dx x x 4 − 5 x 2 + 10 46) ∫ dx x2 x3 + 4x + 3 47) ∫ dx x 45) ∫. x + 5x3 48) ∫ dx 3x 49) ∫ 5 x dx 3. 50) ∫ 57 x dx. 51) ∫ 57 x+2 dx 52) ∫ 57 x ⋅ 14 x dx 2. 53) ∫ 53 x −1 ⋅ x dx 2. 54) ∫ e 4 x dx. 55) ∫ e 4 x+7 dx 56) ∫ e 6 x ⋅ x dx 3. 9x + 6x dx 57) ∫ 3x 5 58) ∫ (3x − 2 ) dx. 59) ∫ 3(5 x − 1) dx 7. 1 dx (x − 3)3 7 61) ∫ dx (x − 2)4 ln x 62) ∫ dx x 60) ∫. dx. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 8: Integral Indefinida.

(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. 3.2. INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE Dada. ∫ f (x ) dx. “NO INMEDIATA”. 1) Realizamos el cambio de variable:. t = g (x ). ⇓ dt = g ′( x ) dx. x = g (t ). o bien:. ⇓ dx = g ′(t )dt. 2) Sustituimos en el integrando y calculamos la nueva integral. 3) Deshacemos el cambio de variable. Ejemplos:. 3x + 4 = t dt 1 1 = ∫ cos t = ∫ cos t dt = sen t + k = 3dx = dt ⇒ dx = dt / 3 3 3 3 1 = sen (3x + 4) + k 3. a) ∫ cos(3x + 4) dx =. 3. 1 1 + 2x2 = t t2 2 3 2 = ∫ t dt = ∫ t 2 dt = + k = t +k = b) ∫ 4 x 1 + 2 x dx = 3 3 3 4 x dx = dt 2. 2. (1 + 2 x ). 2 3. +k. 1. 8 + x2 = t dt dt t2 −1 =∫ = ∫ 1 = ∫ t 2 dt = + k = 2 t + k = 2 8 + x 2 + k dx = 1 t 2 x dx = dt t2 8 + x2 2 2x. c) ∫. Ejercicio 3: Calcula estas integrales:. a) ∫. (ln x )8 x. dx. e) ∫ 2 x 1 + 3x 2 dx i) ∫. (1 + ln x )2 x. dx. b) ∫ cos x ⋅ e senx dx. c) ∫ sen 2 x ⋅ cos x dx. f ) ∫ xe1+ x dx. g) ∫. 2. j) ∫. 2x dx 1 + 2x. e. x. −3 dx x. d ) ∫ (4 x − 2) dx 5. h) ∫. 1 dx 3 x(1 + ln x ). k ) ∫ etg x sec 2 x dx. Problemas selectividad: 1. Dada la función f ( x) = x +. 4 con x > 0, encuentra la primitiva de f que pasa por (2, 5). x2. (Asturias. Junio 2005) 2. Determinar la función f (x) que verifica f ′( x) − x 3 − 1 = 0 y f (−2) = 0. (Baleares. Septiembre 2002) 3. Sea la función f ( x) = − x 2 + 7 x − 12. Encontrar una primitiva F de f verificando. que F (6) = f ′(6 ) .. (Asturias. Septiembre 2007) 4. Si f ( x) = ax 3 + 11, donde a es un parámetro real, se pide determinar el valor de a para que f (x) tenga una primitiva cuya gráfica pase por el origen y por el punto (1, 1). (Aragón. Junio 2002) Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 8: Integral Indefinida.

(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. Ejercicios propuestos por la Ponencia de Matemáticas Aplicadas a las CC SS II 1. Se considera la función f ( x) = ax 3 + bx + 11. a) (1 punto) Calcule los valores de a y b para que f (x) tenga un extremo en el punto (2, 5). 3 −9 b) (1 punto) Para, a = y b = , estudie sus extremos relativos. 8 2 c) (0.5 puntos) Calcule. ∫ (x. 2. + 3x +. 6 2 − ) dx x x2. si x ≤ −3 ⎧ a−x ⎪ 2 2. Se considera la función dada por f ( x ) = ⎨ − 3a − x si − 3 < x ≤ 2 ⎪ x 2 − 8 x + 17 si x>2 ⎩ a) (1.5 puntos) Determine el valor de a para que f sea continua en todo su dominio. Para ese valor de a, ¿es f derivable en todo su dominio? b) (0.5 puntos) Para, a = −3, esboce la gráfica de la función f . c) (0.5 puntos) Calcule. ∫ (x. 3. Se considera la función f ( x ) =. 2. − 8 x + 17) dx − 4x + 1 . 2x − 5. a) (1.2 puntos) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la función f . b) (0.8 puntos) Calcule las asíntotas de la función f . c) (0.5 puntos) Calcule. 9. ∫ (−2 − 2 x − 5 ) dx. (. ). 4. Dada la función f ( x ) = 2 x + e 2 x , calcule: a) (1 punto) Los puntos de inflexión de la función f en caso de que existan. b) (1 punto) La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa. x = 0.. c) (0.5 puntos) Calcule la función F (x ) sabiendo que F ′( x ) = f ( x ) y que su gráfica pasa por el punto (0, 2 ).. 5. De una cierta función f , sabemos que su función derivada es f ′( x) = 3 x 2 − 6 x − 9 . a) (0.75 puntos) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f y calcule las abscisas de los puntos extremos relativos. b) (0.5 puntos) Determine la curvatura de la función f y la abscisa de su punto de inflexión. c) (0.5 puntos) Sabiendo que la función f pasa por el punto (0, 1), calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en dicho punto. d) (0.75 puntos) Calcule la expresión de la función f , sabiendo que la gráfica de la función pasa por el punto (0, 1). 6. La función de beneficios de una empresa, expresada en miles de euros, depende de la cantidad de producto fabricada, x, expresada en miles de kg, según la función B ( x ). Si la función de beneficios marginales de la empresa (derivada de la función de beneficios) tiene la expresión B′( x) = 140 −. 180 − 40 x, se pide: x +1. a) (1 punto) Determine la cantidad a producir por la empresa para maximizar los beneficios. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 5. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 8: Integral Indefinida.

(6) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas Aplicadas a las CCSS II. b) (1 punto) Obtenga los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función de beneficios de la empresa. c) (0.5 puntos) Obtenga la expresión de la función de beneficios B( x ), si se considera que, si no se produce nada, el beneficio es nulo, es decir, B (0 ) = 0.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 6. Bloque II: Análisis de Funciones Unidad 8: Integral Indefinida.

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