Unidad 5: Matrices
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(2) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. En una matriz cuadrada distinguimos: Diagonal principal: formada por los elementos a11 , a22 ,..., ann . Son de la forma aii .. ⎛ 2 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 4⎟ ⎜ 9 7 6⎟ ⎝ ⎠ Diagonal secundaria: formada por los elementos a1n , a2 n −1 ,..., an1 , es decir, los. que van del elemento superior derecho al elemento inferior izquierdo.. ⎛ 2 1 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 4⎟ ⎜ 9 7 6⎟ ⎝ ⎠. Cumplen que i + j = n + 1. Matriz diagonal: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son nulos.. ⎛ 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ C = ⎜ 0 − 3 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ Matriz escalar: Matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.. ⎛ 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ D = ⎜0 2 0⎟ ⎜ 0 0 2⎟ ⎝ ⎠ Matriz unidad o matriz identidad de orden n (I n ) : Matriz diagonal (por tanto también cuadrada), en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1 (y por tanto también es escalar).. I1 = (1). ⎛1 0⎞ ⎟⎟ I 2 = ⎜⎜ ⎝0 1⎠. ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ I3 = ⎜ 0 1 0 ⎟ ⎜0 0 1⎟ ⎝ ⎠. ⎛1 ⎜ ⎜0 I4 = ⎜ 0 ⎜ ⎜0 ⎝. 0 1 0 0. 0 0 1 0. 0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 1 ⎟⎠. Matriz triangular superior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por debajo de la diagonal principal son nulos (cero).. ⎛2 1 7⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 2 4⎟ ⎜0 0 6⎟ ⎝ ⎠ Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada en la que todos los elementos situados por encima de la diagonal principal son nulos (cero).. ⎛ 2 0 0⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ −1 2 0 ⎟ ⎜ 9 7 6⎟ ⎝ ⎠ Matriz nula: Todos sus elementos son iguales a cero.. ⎛0 0 0⎞ ⎟⎟ O = ⎜⎜ ⎝0 0 0⎠ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 2. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(3) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. ( ). Matriz traspuesta de A A t : Se obtiene intercambiando en la matriz A las filas por. ( ). columnas. Consecuentemente, si dim( A) = m × n , dim At = n × m.. ⎛ 2 1⎞ ⎜ ⎟ At = ⎜ − 5 7 ⎟ dim At = 3 × 2 ⎜ 3 0⎟ ⎝ ⎠. ⎛ 2 − 5 3⎞ ⎟ dim( A) = 2 × 3 A = ⎜⎜ 7 0 ⎟⎠ ⎝1. ( ). Matriz opuesta de A (-A): Formada por los opuestos de los elementos de la matriz A.. ⎛ 2 − 5 3⎞ ⎟ A = ⎜⎜ 7 0 ⎟⎠ ⎝1. 5 − 3⎞ ⎛− 2 ⎟ − A = ⎜⎜ 0 ⎟⎠ ⎝ −1 − 7. Matriz simétrica: Matriz cuadrada que coincide con su traspuesta, es decir, A = At . Consecuentemente, aij = a ji .. ⎛ 1 6 − 5⎞ ⎛ 1 6 − 5⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ A=⎜ 6 0 4 ⎟ es simétrica ya que At = ⎜ 6 0 4⎟ ⎜−5 4 ⎜−5 4 6 ⎟⎠ 6 ⎟⎠ ⎝ ⎝ Matriz antisimétrica: También llamada hemisimétrica, es una matriz cuadrada en la que su opuesta coincide con su traspuesta, es decir, At = − A.. 2⎞ ⎛ 0 1 ⎛ 0 −1 − 2 ⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ t A = ⎜1 0 3 ⎟ es antisimétrica ya que A = ⎜ − 1 0 − 3 ⎟ = − A . ⎜− 2 3 ⎜2 −3 0 ⎟⎠ 0 ⎟⎠ ⎝ ⎝ Observa que la diagonal principal de una matriz antisimétrica es nula.. 2. OPERACIONES CON MATRICES 2.1. SUMA DE MATRICES Dadas las matrices A = aij y B = bij ambas de la misma dimensión m × n, definimos la. ( ). ( ). suma de A y B como:. A + B = (aij + bij ). Es decir, para sumar matrices sumamos los elementos situados en la misma posición. Fíjate, la dimensión de la matriz A + B sigue siendo m × n. Ejemplo:. ⎛ 2 −1 5 ⎞ ⎛ 4 0 − 7⎞ ⎟⎟ ⎟ A = ⎜⎜ B = ⎜⎜ 1 ⎟⎠ 2 x 3 ⎝ 6 5 − 4 ⎠ 2 x3 ⎝−3 9 − 1 + 0 5 + (−7) ⎞ ⎛ 2+4 ⎛ 6 −1 − 2 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ A + B = ⎜⎜ + − + − + − 6 ( 3 ) 5 9 4 1 3 14 3 ⎝ ⎠2 x3 ⎝ ⎠2 x3 Si A y B No tienen la misma dimensión, entonces NO SE PUEDEN SUMAR Ejemplo:. ⎛ 2 3⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜1 4⎟ ⎜3 7⎟ ⎝ ⎠3 x 2. 1 − 2 6⎞ ⎛−5 ⎟ No se pueden sumar. B = ⎜⎜ 1 9 ⎟⎠ 2 x 4 ⎝ 0 −4 dim(B ) = 2 × 4. Fíjate que dim( A) = 3 × 2. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 3. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(4) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Propiedades: • Conmutativa: A + B = B + A. • Asociativa: A + (B + C ) = ( A + B ) + C • Existencia de elemento neutro: Si considero la matriz nula O.. A+O = A = O + A. • Existencia de elemento opuesto: Dada una matriz A existe − A de modo que. A + (− A) = O = (− A) + A La existencia de elemento opuesto nos permite definir la diferencia de dos matrices A y B como: A − B = A + (− B ) es decir, A − B = aij + − bij = aij − bij. ( ) (. ) (. ). Ejemplo:. ⎛1 4⎞ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝0 1⎠. ⎛ 5 4⎞ ⎟⎟ B = ⎜⎜ ⎝4 1⎠. ⎛ 1− 5 4 − 4⎞ ⎛ − 4 0⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ A − B = ⎜⎜ ⎝ 0 − 4 1 −1 ⎠ ⎝ − 4 0⎠. 2.2. PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ Dada una matriz A = aij y un número real k , definimos el producto de k por A como:. ( ). k ⋅ A = (k ⋅ aij ). Ejemplo:. ⎛ 3 4⎞ ⎟⎟ ⎝− 2 7⎠. Si k = 2 y A = ⎜⎜. ⎛ 3 4⎞ ⎛ 6 8 ⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 2 ⋅ A = 2 ⋅ ⎜⎜ ⎝ − 2 7 ⎠ ⎝ − 4 14 ⎠. Propiedades: • k ( A + B ) = kA + kB. • (k1 + k 2 )A = k1 A + k 2 A • k1 (k 2 A) = (k1k 2 )A • 1 ⋅ A = A = A ⋅1. 2.3. PRODUCTO DE MATRICES NO SIEMPRE, es posible multiplicar dos matrices. Es necesario que:. NÚMERO DE COLUMNAS DE LA ⎫ ⎧ NÚMERO DE FILAS DE LA ⎬=⎨ PRIMERA MATRIZ ⎭ ⎩SEGUNDA MATRIZ En caso contrario, NO se pueden multiplicar. Caso particular: Producto de una matriz fila por una matriz columna. Si A = (a11. Entonces:. a12 ... a1n ) ;. A ⋅ B = (a11 a12. ⎛ b11 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ B = ⎜ 21 ⎟ ... ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n1 ⎠. ⎧dim( A) = 1× n Observa que : ⎨ ⎩dim(B ) = n × 1. ⎛ b11 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ... a1n ) ⋅ ⎜ 21 ⎟ = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b21 + ... + a1n ⋅ bn1 ... ⎜ ⎟ ⎜b ⎟ ⎝ n1 ⎠. Observa: el resultado es un número real (matriz de orden 1).. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 4. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(5) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Ejemplo:. A = (2 3 − 4) ;. ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ B = ⎜− 7⎟ ⎜ − 2⎟ ⎝ ⎠. ⎛ 5⎞ ⎜ ⎟ A ⋅ B = (2 3 − 4)1x 3 ⋅ ⎜ − 7 ⎟ = 2 ⋅ 5 + 3 ⋅ (− 7 ) + (− 4) ⋅ (− 2) = 10 − 21 + 8 = −3 . ⎜ − 2⎟ ⎝ ⎠3 x1 Por tanto A ⋅ B = −3. Caso general: Si dim( A) = m × n. dim(B ) = n × p. ( ). El producto de dos matrices A y B , es otra matriz A ⋅ B = cij de dimensión m × p en la que el elemento cij se obtiene multiplicando la fila i de la matriz A por la columna j de la matriz B:. ⎛ b1 j ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ b2 j ⎟ cij = (ai1 ai 2 ... ain ) ⋅ ⎜ ⎟ = ai1 ⋅ b1 j + ai 2 ⋅ b2 j + ... + ain ⋅ bnj 144 42444 3 ... ⎜ ⎟ Fila i de la matriz A ⎜b ⎟ nj ⎠ ⎝12 3 Columna j de la matriz B. ⎛ −1 2 3⎞ ⎛ 2 − 1⎞ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ Ejemplo 1: A = ⎜ 3 1 2⎟ ; B = ⎜1 2⎟ ⎜ 2 1 − 1⎟ ⎜ 1 − 1⎟ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠ ⎛ −1 2 3 ⎞ ⎜ ⎟ A⋅ B = ⎜ 3 1 2⎟ ⋅ ⎜ 2 1 − 1⎟ ⎝ ⎠3 x 3. B ⋅ A → No se puede realizar. ⎛ 2 −1 ⎞ ⎛ (− 1) ⋅ 2 + 2 ⋅1 + 3 ⋅1 (− 1) ⋅ (− 1) + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ (− 1)⎞ ⎛3 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 3 ⋅ (− 1) + 1⋅ 2 + 2 ⋅ (− 1) ⎟ = ⎜ 9 − 3⎟ ⎜ 1 2 ⎟ = ⎜ 3 ⋅ 2 + 1 ⋅1 + 2 ⋅ 1 ⎜ 1 −1 ⎟ ⎜ 2 ⋅ 2 + 1⋅1 + (− 1) ⋅1 2 ⋅ (− 1) + 1⋅ 2 + (− 1) ⋅ (− 1) ⎟ ⎜4 1 ⎟ ⎝ ⎠3 x 2 ⎝ ⎝ ⎠3 x 2 ⎠3x 2. ⎛− 2 9⎞ ⎟ ⎜ ⎛ − 1 − 3⎞ ⎟ Ejemplo 2: A = ⎜ 1 1 ⎟ ; B = ⎜⎜ 0 ⎟⎠ 2×2 ⎝ 2 ⎜ 4 0⎟ ⎠ 3×2 ⎝ ⎛− 2 9⎞ ⎜ ⎟ A⋅ B = ⎜ 1 1 ⎟ ⋅ ⎜ 4 0⎟ ⎝ ⎠3 x 2. B ⋅ A → No se puede realizar. 6 ⎞ ⎛ 20 ⎜ ⎟ ⎛ − 1 − 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜ 1 − 3 ⎟ 0 ⎠2 x 2 ⎝ 2 ⎜ − 4 − 12 ⎟ ⎝ ⎠3 x 2. Ejemplo 3: ¿Qué ocurre si se multiplica una matriz columna por una matriz fila?. ⎛ 3⎞ ⎛ 3⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A = ⎜ − 4 ⎟ ; B = (1 2 5)1×3 ⇒ A ⋅ B = ⎜ − 4 ⎟ ⋅ ⎜ 7⎟ ⎜ 7⎟ ⎝ ⎠3x1 ⎝ ⎠ 3×1 Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 5. ⎛ 3 6 15 ⎞ ⎜ ⎟ (1 2 5)1x3 = ⎜ − 4 − 8 − 20⎟ ⎜ 7 14 35 ⎟ ⎝ ⎠3x3 Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(6) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Propiedades: • Asociativa: A ⋅ (B ⋅ C ) = ( A ⋅ B ) ⋅ C. Siempre que dim( A) = m × n; dim(B ) = n × p; dim(C ) = p × q. Observa que la matriz producto de estas tres tendrá dimensión m × q. • Distributiva del producto respecto a la suma de matrices: A ⋅ (B + C ) = A ⋅ B + A ⋅ C siempre que dim( A) = m × n; dim(B ) = dim(C ) = n × q.. ( A + B ) ⋅ C = A ⋅ C + B ⋅ C siempre que dim( A) = dim(B ) = m × n; dim(C ) = n × q. • Elemento neutro: Si dim( A) = m × n , entonces I m ⋅ A = A ⋅ I n = A EL PRODUCTO DE MATRICES NO ES CONMUTATIVO, es decir, en general:. A⋅ B ≠ B ⋅ A. ⎛2 ⎝4 ⎛1 B = ⎜⎜ ⎝3. Ejemplo 1: A = ⎜⎜. 1⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 1 7 ⎞ ⎛ 5 14 ⎞ ⎟⎟ A ⋅ B = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 5⎠ ⎝ 4 5 ⎠ ⎝ 3 0 ⎠ ⎝19 28 ⎠ 7⎞ ⎛ 1 7 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛ 30 36 ⎞ ⎟⎟ B ⋅ A = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 0⎠ ⎝ 3 0 ⎠ ⎝ 4 5⎠ ⎝ 6 3 ⎠. ⎛ 2 1 ⎞ ⎛1 3 5 ⎞ ⎛ 5 6 11⎞ ⎛ 2 1⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ A ⋅ B = ⎜⎜ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝ 3 0 1 ⎠ ⎝ − 3 0 − 1 ⎠ ⎝ 0 − 1⎠ ⎛1 3 5 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞ ⎛1 3 5 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ← No se puede realizar ⎟⎟ B ⋅ A = ⎜⎜ B = ⎜⎜ ⎝ 3 0 1 ⎠ ⎝ 0 − 1⎠ ⎝3 0 1 ⎠. Ejemplo 2: A = ⎜⎜. 2.4. POTENCIA DE UNA MATRIZ n A ⋅4 A2 ⋅K A Si A es una matriz cuadrada, se define: A = 1 4⋅3 n veces. Por tanto: A = A 1. A2 = A ⋅ A A3 = A ⋅ A ⋅ A = A2 ⋅ A ⎛ 2 3⎞ ⎟⎟ , calcula A2 y A3 . ⎝ 1 5⎠ ⎛ 2 3 ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎛ 7 21⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ A2 = A ⋅ A = ⎜⎜ ⎝ 1 5 ⎠ ⎝ 1 5 ⎠ ⎝ 7 28 ⎠. Ejemplo 1: Dada la matriz A = ⎜⎜. ⎛ 7 21 ⎞ ⎛ 2 3 ⎞ ⎛ 35 126 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ A3 = A 2 ⋅ A = ⎜⎜ ⎝ 7 28 ⎠ ⎝ 1 5 ⎠ ⎝ 42 161 ⎠ ⎛0 1⎞ ⎟⎟ , calcula A200 . ⎝1 0⎠ ⎛0 1⎞ ⎛0 1⎞ ⎛1 0⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = I 2 A2 = ⎜⎜ ⎝1 0⎠ ⎝1 0⎠ ⎝0 1⎠ ⎫ ⎧ A, si n es impar ⎪ n 3 2 A = A ⋅ A = I2 ⋅ A = A ⎬ ⇒A =⎨ ⎩ I 2 , si n es par ⎪ A4 = A3 ⋅ A = A ⋅ A = A2 = I 2 ⎭. Ejemplo 2: Dada la matriz A = ⎜⎜. Por tanto: A200 = I 2. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 6. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(7) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Observación 1: Dadas dos matrices A y B , en general se cumple que:. a) ( A + B ) ≠ A2 + B 2 + 2 A ⋅ B 2. b) ( A − B ) ≠ A 2 + B 2 − 2 A ⋅ B c) ( A + B ) ⋅ ( A − B ) ≠ A 2 − B 2 2. ¡Compruébalo con un ejemplo! ¿Por qué no se cumple la igualdad?. Observación 2: Si A es una matriz diagonal:. ⎛ a11 0 ⎜ ⎜ 0 a22 A=⎜ L L ⎜ ⎜ 0 0 ⎝. 0 ⎞ ⎛ a11p 0 ⎜ ⎟ 0 ⎟ ⎜ 0 a22p p ⇒ A =⎜ L L⎟ ⎜L L ⎟ ⎟ ⎜0 L ann ⎠ 0 ⎝ L L. 0 ⎞ ⎟ L 0 ⎟ L L ⎟⎟ L annp ⎟⎠ L. ⎛2 0 0⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo 3: Dada la matriz A = ⎜ 0 3 0 ⎟ , calcula A3 y A5 . ⎜0 0 7⎟ ⎝ ⎠. ⎛ 23 0 ⎜ A3 = ⎜ 0 33 ⎜0 0 ⎝. 0 ⎞ ⎛8 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ = ⎜ 0 27 0 ⎟ 73 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 343 ⎟⎠. ⎛ 25 ⎜ A5 = ⎜ 0 ⎜0 ⎝. 0 35 0. 0 ⎞ ⎛ 32 0 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ = ⎜ 0 243 0 ⎟ 7 5 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 0 16807 ⎟⎠. Ejercicio: Dadas las matrices:. 1 2⎞ ⎛ 1 ⎛ 2 − 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛1 − 2 − 5 ⎞ ⎛ 1 − 2⎞ ⎟⎟; C = ⎜⎜ ⎟⎟; D = (1 − 2 4 ) y E = ⎜ − 1 − 2 0 ⎟ . 0 ⎟; B = ⎜⎜ A=⎜ 1 3⎠ 0⎠ ⎝3 4 ⎝2 ⎜ 2 ⎜ − 3 4⎟ 0 3 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Calcula, si es posible:. a) A ⋅ B y B ⋅ A e) E ⋅ D t. b) A ⋅ C y C ⋅ A f ) C2 − B ⋅ A. c) B ⋅ C y C ⋅ B g) E2 − E. d) D ⋅ E y E ⋅ D h) D ⋅ D t y D t ⋅ D. 2.5. INVERSA DE UNA MATRIZ Matriz regular o invertible: Es una matriz cuadrada A de orden n para la que existe otra matriz A−1 tal que:. A ⋅ A−1 = A−1 ⋅ A = I n A la matriz A−1 se le llama matriz inversa de A . Si una matriz A no tiene inversa se llama singular. Propiedades:. • ( A ⋅ B ) = B −1 ⋅ A−1 −1. • (kA) = −1. •. (A ). −1 −1. 1 −1 A k. =A. Veamos dos formas de calcular la matriz inversa de una matriz regular. La siguiente unidad aportará un método alternativo basado en el concepto de determinante de una matriz.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 7. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(8) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. CÁLCULO DE LA MATRIZ INVERSA: 1ª Forma: A partir de la definición. (Método no adecuado para matrices de orden >2). ⎛ 2 − 1⎞ ⎟⎟ ⎝ 1 3⎠. ⎛a b ⎞ ⎟⎟ A−1 = ⎜⎜ ⎝c d ⎠ ⎛ 2 − 1⎞ ⎛ a b ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 2a − c 2b − d ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ Como A ⋅ A −1 = I 2 ⇒ ⎜⎜ ⎝ 1 3 ⎠ ⎝ c d ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ a + 3c b + 3d ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ 2a − c = 1 ⎫ 2a − c = 1 ⎫ ⎫ ⎬ ⇒ a = 73 ; c = −71 ⎪ ⎪ 2b − d = 0⎪ a + 3c = 0⎭ ⎛ 73 17 ⎞ ⎪ −1 ⎜⎜ −1 2 ⎟⎟ ⇒ ⇒ = ⇒ A ⎬ ⎬ a + 3c = 0 ⎪ 2b − d = 0⎫ ⎝ 7 7⎠ ⎬ ⇒ b = 17 ; d = 72 ⎪ ⎪⎭ b + 3d = 1 ⎪⎭ b + 3d = 1 ⎭. Ejemplo: A = ⎜⎜. ⎛ 2 1⎞ ⎛ 0 − 1⎞ ⎟⎟ ⇒ A −1 = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ −1 0 ⎠ ⎝1 2⎠. Ejercicio: A = ⎜⎜. ¡Compruébalo!. 2ª Forma: Método de Gauss-Jordan. ⎛1 1 0⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo 1: A = ⎜ 1 1 1 ⎟ ⎜3 4 3⎟ ⎝ ⎠ −1 Partimos de ( A I ) y queremos obtener (I A ) . Si aparece en la transformación de A una fila o una columna de ceros, la . matriz NO es regular (NO tendrá inversa). Se pueden reordenar filas pero NO columnas.. ⎛1 ⎜ (A I 3 ) = ⎜ 1 ⎜3 ⎝ ⎛1 1 ⎜ → ⎜0 1 ⎜0 0 ⎝. ⎛1 1 0 1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎯ → 1 1 0 1 0 ⎟ ⎯⎯ ⎜0 F2 − F1 F3 −3 F1 ⎟ ⎜0 4 3 0 0 1⎠ ⎝ ⎛1 1 0 1 0 0⎞ ⎟ ⎜ ⎯→⎜ 0 1 3 − 3 0 1 ⎟ ⎯⎯ F2 −3 F3 ⎜0 0 1 − 1 1 0 ⎟⎠ ⎝. ⎛1 0 0 1 3 − 1⎞ ⎜ ⎟ → ⎜ 0 1 0 0 − 3 1 ⎟ = I 3 A −1 ⎜ 0 0 1 −1 1 0 ⎟⎠ ⎝. (. ). 1 0 1 0 0⎞ ⎟ ⎯→ 0 1 − 1 1 0 ⎟ ⎯⎯ F3 ↔ F2 ⎟ 1 3 − 3 0 1⎠ 0 1 0 0⎞ ⎟ ⎯→ 0 0 − 3 1 ⎟ ⎯⎯ F1 − F2 ⎟ 1 −1 1 0 ⎠. 3 − 1⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ ⇒ A −1 = ⎜ 0 − 3 1 ⎟ ⎜ −1 1 0 ⎟⎠ ⎝. ⎛ 2 0 6⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo 2: B = ⎜ − 1 4 4⎟ ⎜ 1 −1 2⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 0 6 1 0 0⎞ ⎛ 1 −1 2 0 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (B I 3 ) = ⎜ − 1 4 4 0 1 0 ⎟ ⎯⎯ ⎯ → − ⎯→ 1 4 4 0 1 0 ⎜ ⎟ ⎯⎯ F1 ↔ F3 F2 + F1 ⎜ 1 −1 2 0 0 1 ⎟ ⎜ 2 0 6 1 0 0 ⎟ F3 −2 F1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠. ⎛ 1 −1 2 0 0 ⎛ 1 −1 2 0 0 1 ⎞ 1⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 1 → ⎜0 3 6 0 1 ⎯ → ⎯→ 1 ⎟ ⎯⎯ 0 1 2 0 ⎜ ⎟ ⎯⎯ 3 3 F2 ÷3 F3 − F2 ⎜ 0 2 2 1 0 − 2 ⎟ F3 ÷2 ⎜ 0 1 1 1 0 − 1⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 8. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(9) IES Padre Poveda (Guadix). ⎛ 1 −1 2 0 ⎜ → ⎜0 1 2 0 ⎜ 0 0 −1 1 2 ⎝. Matemáticas II. 0 1 3 −1 3. ⎛ 1 −1 0 1 1⎞ ⎟ ⎜ 1 ⎯→⎜ 0 1 0 1 3 ⎟ ⎯⎯ F2 + 2 F3 F1 + 2 F3 ⎜ 0 0 −1 1 −4 ⎟ 3 ⎠ 2 ⎝. ⎛ 1 0 0 2 −1 − 4 ⎞ ⎜ ⎟ → ⎜ 0 1 0 1 −31 −37 ⎟ = I 3 B −1 ⎜ 0 0 1 −1 1 4 ⎟ 2 3 3 ⎠ ⎝. (. ). ⇒. ⎛2 ⎜ B =⎜1 ⎜ −1 ⎝2 −1. ⎛ 2 −1 0 ⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo 3: C = ⎜ − 1 1 2⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 2 −1 0 1 0 0⎞ ⎛ −1 1 ⎜ ⎟ ⎜ (C I 3 ) = ⎜ − 1 1 2 0 1 0 ⎟ ⎯⎯ ⎯ → ⎜ 2 −1 F1 ↔ F2 ⎜ 0 0 1 0 0 1⎟ ⎜ 0 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ −1 1 2 0 1 0⎞ ⎛ −1 1 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ → ⎜ 0 1 4 1 2 0 ⎟ ⎯⎯ ⎯ → ⎜ 0 1 0 1 F1 − 2 F3 ⎜ 0 0 1 0 0 1 ⎟ F2 −4 F3 ⎜ 0 0 1 0 ⎝ ⎠ ⎝ ⎛ 1 −1 0 0 −1 2 ⎞ ⎛1 0 0 1 ⎜ ⎟ ⎜ → ⎜ 0 1 0 1 2 − 4 ⎟ ⎯⎯ ⎯ → ⎜0 1 0 1 F1 + F2 ⎜0 0 1 0 0 ⎟ ⎜0 0 1 0 1⎠ ⎝ ⎝ ⎛1 1 − 2⎞ ⎜ ⎟ −1 ⇒ C = ⎜1 2 − 4⎟ ⎜0 0 1 ⎟⎠ ⎝. ⎞ ⎟ ⎯→ ⎟ ⎯⎯ F1 + F2 ( − 1 ) ⋅F3 ⎟ −1 −4 3 3 ⎠ −1 − 4 ⎞ ⎟ −7 −1 3 3 ⎟ 1 4 ⎟ 3 3 ⎠ −2 3. −5 3. −1 3. −7 3. 2 0 1 0⎞ ⎟ ⎯→ 0 1 0 0 ⎟ ⎯⎯ F2 + 2 F1 ⎟ 1 0 0 1⎠ 1 − 2⎞ ⎟ ⎯→ 2 − 4 ⎟ ⎯(⎯ −1)⋅F1 ⎟ 0 1⎠ 1 − 2⎞ ⎟ 2 − 4 ⎟ = I 3 C −1 0 1 ⎟⎠. (. ). ⎛ 1 0 2⎞ ⎜ ⎟ Ejercicio: Comprueba que la matriz D = ⎜ 2 1 1 ⎟ no tiene inversa. ⎜ 1 1 − 1⎟ ⎝ ⎠ Propiedades de la traspuesta de una matriz • At t = A. ( ). • ( A + B ) = At + B t t. • (kA) = kAt t. ¡Compruébalo con ejemplos!. • (A ⋅ B) = B ⋅ A t. t. t. ( ) ( ). • A−1 t = At. −1. 3. RANGO DE UNA MATRIZ Dada una matriz A . Una combinación lineal de filas F1 , F2 ,L, Fk de A es: a1 F1 + a2 F2 + L + ak Fk. Una combinación lineal de columnas C1 , C2 ,L, Cl de A es: b1C1 + b2C2 + L + bl Cl. ⎛ 2 0 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo 1: A = ⎜1 3 1 0⎟ ⎜4 6 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. Observa que F1 + 2 F2 = F3 . Por tanto, F3 es combinación lineal de F1 y F2 .. 9. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(10) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Una fila (o columna) depende linealmente de otras si es combinación lineal de ellas. En ese caso decimos que las filas son linealmente dependientes. En caso contrario, serán linealmente independientes.. ⎛ 2 0 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo 2: a ) A = ⎜1 3 1 0 ⎟ → Las tres filas son linealmente dependientes: ⎜4 6 1 1 ⎟ ⎝ ⎠ F1 + 2 F2 = F3 2 4⎞ ⎛1 ⎟⎟ → F1 y F2 son linealmente independientes. b) B = ⎜⎜ ⎝ 3 −1 5 ⎠ Rango de una matriz: Número de filas (o columnas) no nulas y linealmente independientes. Se representa por rang ( A) ó r ( A) .. Cálculo del rango de una matriz (Gauss): Transformamos A en una matriz escalonada. . Rang(A) es el número de filas no nulas de la matriz escalonada que resulta.. ⎛ 2 ⎜ Ejemplo 3: A = ⎜ 3 ⎜ −1 ⎝ ⎛1 ⎜ → ⎜0 ⎜0 ⎝. 4 6 −1 0 5 6 2. 3. −7 −9 7. 9. 0⎞ 2 ⎛ 1 ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎯⎯ ⎯→⎜ 3 − 1 F1 ÷2 ⎜ −1 5 ⎟ − 1⎠ ⎝ 0⎞ 2 ⎛1 ⎜ ⎟ 1 ⎟ ⎯⎯ ⎯→⎜ 0 − 7 F3 + F2 ⎜0 0 ⎟ − 1⎠ ⎝. 0⎞ ⎟ ⎯→ 1 ⎟ ⎯⎯ F2 −3 F1 F3 + F1 ⎟ 6 − 1⎠ 3 0⎞ ⎟ − 9 1 ⎟ ⇒ rang ( A) = 2 0 0 ⎟⎠. 3 0. ⎛1 − 1 ⎛ 1 −1 2 ⎞ ⎛ 3 −3 6 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 1 −1 2 ⎟ 2 −2 4 ⎟ ⎜0 0 ⎜ ⎜ Ejemplo 4: B = ⎯⎯ ⎯→⎜ ⎯→⎜ F2 −F1 F1 ÷3 ⎟ ⎜ − 1 1 − 2 ⎟ ⎯⎯ 0 0 −1 1 − 2 ⎟ F3 +F1 ⎜ ⎟ F2 ÷2 ⎜ ⎜ ⎜ 5 − 5 10 ⎟ F4 ÷5 ⎜ 1 − 1 2 ⎟ F4 −F1 ⎜ 0 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝. ⎛ 2 ⎜ Ejemplo 5: C = ⎜ 1 ⎜ −1 ⎝ ⎛1 ⎜ → ⎜0 ⎜0 ⎝. 1 3 1⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎜ 1 2 2 ⎟ ⎯⎯ ⎯→⎜ 2 F1 ↔ F2 ⎜ −1 4 3 − 1⎟⎠ ⎝ 1 2 2⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ − 1 − 1 − 3 ⎟ ⎯⎯ ⎯ → ⎜0 F3 + 5 F2 ⎟ ⎜0 5 5 1⎠ ⎝. 2⎞ ⎟ 0⎟ ⇒ rang (B ) = 1 0⎟ ⎟ 0 ⎟⎠. 1 2 2⎞ ⎟ 1 3 1 ⎟ ⎯⎯ ⎯→ F2 − 2 F1 F3 + F1 ⎟ 4 3 − 1⎠ 1 2 2⎞ ⎟ − 1 − 1 − 3 ⎟ ⇒ rang (C ) = 3 0 0 − 14 ⎟⎠. ⎛1 − 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ Ejemplo 6: Calcula el rango, según los valores de k, de la matriz A = ⎜ 1 1 3 ⎟. ⎜ 5 −1 k ⎟ ⎝ ⎠. 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛1 − 2 ⎛1 − 2 ⎛1 − 2 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 1 3 ⎟ ⎯F⎯ 0 3 2 A = ⎜1 0 3 2 ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ → ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − F F − 3 F 2 1 3 2 ⎜ ⎟ ⎜ 5 − 1 k ⎟ F3 −5 F1 ⎜ 0 9 k − 5⎠ 0 k − 11⎟⎠ ⎝0 ⎝ ⎝ ⎠ Por tanto: Si k = 11 ⇒ rang ( A) = 2 Si k ≠ 11 ⇒ rang ( A) = 3 Propiedad: Una matriz cuadrada A es inversible si y sólo si rang ( A) = Ord ( A). La siguiente unidad nos proporcionará un método alternativo para determinar el rango de una matriz cuadrada. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 10. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(11) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 4. ECUACIONES Y SISTEMAS MATRICIALES Ecuación matricial: Ecuación en la que las incógnitas son matrices Sean A y B matrices y A regular: Si la ecuación matricial tiene la forma AX = B entonces:. A−1 AX = A−1B ⇒ I n X = A−1B ⇒ X = A−1 B Si la ecuación matricial tiene la forma XA = B entonces: XAA−1 = BA−1 ⇒ XI n = BA−1 ⇒ X = BA−1 ⎛ 1 − 3⎞ ⎛ − 1 10 ⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ . ⎝0 4 ⎠ ⎝ 4 − 12 ⎠ Hallar X tal que AX = B .. Ejemplo 1: Dadas las matrices A = ⎜⎜. ⎛1. Como ∃ A−1 = ⎜⎜ ⎝0. ⎞ ⎟; 1⎟ 4⎠ 3 4. ⎛1 X = A −1 B = ⎜⎜ ⎝0. 3 4 1 4. 1⎞ ⎞ ⎛ − 1 10 ⎞ ⎛ 2 ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎠ ⎝ 4 − 12 ⎠ ⎝ 1 − 3 ⎠. Observación: Si A no es cuadrada no podemos calcular su inversa, ¿cómo lo hacemos entonces?. ⎛3 − 2⎞ ⎛ 6 − 5⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Ejemplo 2: Dadas las matrices A = ⎜1 2 ⎟ y B = ⎜2 9 ⎟ . Hallar X tal que AX = B . ⎜4 1 ⎟ ⎜8 8 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎛ 3 − 2⎞ ⎛ 6 − 5⎞ ⎟ ⎛a b ⎞ ⎜ ⎟ ⎛a b ⎞ ⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜ 1 ⎟⎟ = ⎜ 2 Sea X = ⎜⎜ 9⎟⇒ 2 ⎟ ⋅ ⎜⎜ c d⎠ ⎜ ⎝c d ⎠ ⎜4 8 ⎟⎠ 1 ⎟⎠ ⎝ ⎝ ⎝8 a = 2⎫ ⎛ 3a − 2c 3b − 2d ⎞ ⎛ 6 − 5 ⎞ 3a − 2c = 6 3b − 2d = −5⎫ ⎪ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎪ b =1 ⎪ ⇒ ⎜ a + 2c b + 2 d ⎟ = ⎜ 2 9 ⎟ ⇒ a + 2c = 2 b + 2 d = 9 ⎬ ⇒ ⎬ c=0⎪ ⎟ ⎪ ⎜ 4a + c 4b + d ⎟ ⎜ 8 8 ⎠ 4a + c = 8 4b + d = 8 ⎭ ⎠ ⎝ ⎝ d = 4⎪⎭ ⎛2 1⎞ ⎟⎟ Por tanto, X = ⎜⎜ ⎝ 0 4⎠ Fíjate: El Ejemplo 1 también se puede hacer de este modo. Ejemplo 3: Resuelve la ecuación matricial AX + B = C , siendo. ⎛ 0 1 1⎞ ⎛1 1 0 ⎞ ⎛ 1 1⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ y C = ⎜⎜ ⎟⎟; B = ⎜⎜ A = ⎜⎜ ⎝ 1 1 3⎠ ⎝1 2 1 ⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎛ −1. Como ∃ A−1 = ⎜⎜ ⎝ 2. 1⎞ ⎟ (calcúlala) despejamos la matriz X: − 1⎟⎠. AX + B = C ⇒ AX = C − B ⇒ { A −1 A X = A −1 [C − B ] ⇒ X = A −1 [C − B ] I2. ⎛ − 1 1 ⎞ ⎡⎛ 0 1 1 ⎞ ⎛1 1 0 ⎞⎤ ⎟⎟ ⋅ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟⎥ = X = A −1 [C − B ] = ⎜⎜ ⎝ 2 − 1⎠ ⎣⎝ 1 1 3 ⎠ ⎝1 2 1 ⎠⎦. ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎛ −1 1 ⎞ ⎛ −1 0 1 ⎞ ⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ ⇒ X = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ ⎜⎜ ⎝ − 2 1 0⎠ ⎝ 2 − 1⎠ ⎝ 0 − 1 2 ⎠ ⎝ − 2 1 0 ⎠ Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 11. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(12) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial AX + X = B , siendo. ⎛ 0 2⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ y B = ⎜⎜ ⎟⎟ A = ⎜⎜ ⎝ 2 4⎠ ⎝ 2 1⎠ ⎛1 − 7⎞ ⎟ Pista: Sacar factor común X . Solución: X = ⎜⎜ 3 ⎟⎠ ⎝0 Ejercicio: Resuelve la ecuación matricial AX = BX + C , siendo ⎛ 0⎞ ⎛ − 3 1⎞ ⎛ −1 2⎞ ⎟⎟ C = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟⎟ B = ⎜⎜ A = ⎜⎜ ⎝ − 1⎠ ⎝ 1 2⎠ ⎝ − 2 0⎠ ⎛ − 1⎞ Solución: X = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠ Sistema de ecuaciones matriciales: Sistema de ecuaciones en el que las incógnitas son matrices. Ejemplo 4: Resolver el siguiente sistema matricial:. ⎛ 2 5 ⎞ ⎫ ⇒ X = ⎛⎜ 2 5 ⎞⎟ − 2Y ⎜ 0 3⎟ ⎟⎟ ⎪ X + 2Y = ⎜⎜ ⎠ ⎝ ⎝ 0 3⎠ ⎪ ⎬ ⎛ 1 − 3 ⎞⎪ ⎟ 2 X − 3Y = ⎜⎜ 2 ⎟⎠⎪⎭ ⎝4 ⎡⎛ 2 5 ⎞ ⎤ ⎛ 1 − 3 ⎞ ⎛ 4 10 ⎞ ⎛ 1 − 3⎞ ⎟⎟ − 2Y ⎥ − 3Y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ ⎜⎜ ⎟⎟ − 4Y − 3Y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ 2 ⎢⎜⎜ 0 3 4 2 0 6 4 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎛ 1 − 3 ⎞ ⎛ 4 10 ⎞ ⎛ − 3 − 13 ⎞ 1 ⎛ − 3 − 13 ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ −7Y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ Y = − ⎜⎜ ⎟⇒ ⇒ −7Y = ⎜⎜ 2⎠ ⎝0 6 ⎠ 7 ⎝ 4 − 4 ⎟⎠ ⎝4 ⎝ 4 −4 ⎠ 1 ⎛ 3 13 ⎞ ⎟ ⇒ Y = ⎜⎜ 7 ⎝ − 4 4 ⎟⎠ ⎛ 2 5 ⎞ 2 ⎛ 3 13 ⎞ 1 ⎛ 8 9 ⎞ 1 ⎛8 9 ⎞ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ X = ⎜⎜ ⎟ X = ⎜⎜ 7 ⎝ 8 13 ⎟⎠ ⎝ 0 3 ⎠ 7 ⎝ − 4 4 ⎠ 7 ⎝ 8 13 ⎠ Ejercicio: Resolver, por reducción, el siguiente sistema matricial:. ⎛ 1 4 ⎞⎫ ⎟⎟⎪ 2 X + Y = ⎜⎜ ⎝ 2 0 ⎠⎪ ⎬ ⎛ 1 − 1⎞ ⎪ ⎟⎟ X − Y = ⎜⎜ ⎝1 0 ⎠ ⎪⎭ ⎛2. Solución: X = ⎜⎜ 3 ⎝1. 1⎞ ⎛ −1 2 ⎞ ⎟⎟; Y = ⎜⎜ 3 ⎟⎟ 0⎠ ⎝ 0 0⎠. Ejercicio: Halla la matriz X 2 + Y 2 si X e Y son dos matrices cuadradas que verifican:. ⎛ 2 0⎞ ⎛ 1 − 1⎞ ⎟⎟ ⎟⎟ 5 X + 3Y = ⎜⎜ 3 X + 2Y = ⎜⎜ ⎝ − 4 15 ⎠ ⎝ − 2 9⎠ ⎛ 1 3⎞ ⎛ −1 − 5⎞ ⎛ − 14 17 ⎞ ⎟⎟; Y = ⎜⎜ ⎟⎟ ⇒ X 2 + Y 2 = ⎜⎜ ⎟⎟ Solución: X = ⎜⎜ 0⎠ ⎝ − 2 3⎠ ⎝ 2 ⎝ − 10 − 7 ⎠. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 12. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(13) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. 5. APLICACIONES DE LAS MATRICES Son muchas las aplicaciones de las matrices para representar y analizar situaciones que se plantean en temas tan diversos como redes de transporte y distribución de mercancías, redes de Ingeniería Eléctrica o Telefónica, redes de computadoras, estructuras moleculares en Química, estructuras de datos o de organización de Sociología y Economía, mapas de carreteras, trenes, metro... El núcleo central de muchos de estos problemas lo constituyen los grafos. GRAFOS: La teoría de grafos tiene su origen histórico en “El problema de los siete puentes de Königsberg (Prusia)” propuesto por Euler en 1736: “En la ciudad de Königsberg hay una isla y el río que la rodea (Pregel) se divide en dos brazos. En la época de Euler al río lo rodeaban siete puentes. ¿Habrá algún camino que nos permita pasar una sola vez por todos los puentes y volver al punto de partida?”. Nota: Königsberg es la actual de Kaliningrado, ciudad rusa a orillas del Báltico situada a 50 km de Polonia. Los siete puentes fueron destruidos durante la Segunda Guerra Mundial. Euler redujo el problema a cuatro puntos A, B, C y D (vértices) unidos por siete rutas (arcos o aristas), es decir, un grafo. Ahora el problema consiste en recorrer el diagrama, sin levantar el lápiz del papel, pasando por todos los vértices una sola vez y volviendo al punto de partida. Euler demostró que tal recorrido era imposible. Nota: Algunos autores usan el término arco para las aristas dirigidas.. Grafo: Conjunto finito de puntos llamados vértices o nodos, y unas líneas que unen parejas de esos puntos llamadas aristas o arcos. Grafo dirigido o digrafo: Es un grafo en el que las aristas o arcos están dirigidos.. Bucle o lazo: arista de un grafo cuyos extremos coinciden en un mismo vértice. Grafo (o digrafo) simple: grafo (o digrafo) en el que dos vértices cualesquiera están unidos, a lo sumo, por una única arista y que no posee bucles. En el caso de un digrafo pueden existir dos aristas por cada par de vértices pero con orientación contraria (“ida” y “vuelta”). Multigrafo: grafo que permite aristas múltiples entre dos vértices. Si además se permiten bucles se llama pseudografo. Estos conceptos se extienden para digrafos Fíjate: En los siguientes ejemplos los dos últimos casos no son grafos simples.. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 13. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(14) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Grafo mixto: grafo que posee aristas dirigidas y no dirigidas. Grafo (o digrafo) completo: grafo (o digrafo) simple que posee u arco para cada par de vértices. Fíjate que esta definición implica que, en el caso de un digrafo, éste será completo si cada pareja de vértices está unida por dos aristas dirigidas de forma opuesta.. Los extremos de una arista se dice que son vértices incidentes con la arista. Dos vértices incidentes con una misma arista se dicen adyacentes.. ( ). Matriz de adyacencia asociada a un grafo: Matriz cuadrada M = mij de orden el número. de vértices del grafo que va a determinar la estructura de éste. Se construye así:. mij = Número de aristas que unen el vértice correspondiente a la fila i de la matriz M con el vértice correspondiente a la columna j. Ten en cuenta que: • En el caso de grafos simples existirá, a lo sumo, un arco para una pareja determinada de vértices. Por tanto, colocaremos un 1 o un 0 en la casilla correspondiente de la matriz de adyacencia, dependiendo de si hay o no un arco que conecte los vértices correspondientes a esta casilla. Fíjate que en este caso mij = m ji , y por lo tanto la matriz de adyacencia será simétrica.. •. En el caso de un digrafo simple habrá que tener en cuenta la orientación del arco para construir la matriz de adyacencia, ya que en este caso mij = m ji únicamente. cuando existan dos arcos con orientación contraria que conecten los vértices correspondientes (pondremos un 1 en ambas casillas), o bien no exista ningún arco que los una (en ese caso pondremos un 0 ). Ejemplo 1: Construye la matriz de adyacencia en cada caso:. Solución: A B C A ⎛1 ⎜ B ⎜1 M = C ⎜1 ⎜ D ⎜1 E ⎜1 ⎝. A B C. D E. A ⎛1 ⎜ B ⎜1 N = C ⎜1 ⎜ D ⎜1 E ⎜1 ⎝. 1 1 1 1⎞ ⎟ 0 0 1 0⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 1 0 0 1⎟ 0 0 1 0 ⎟⎠. D E. 1 0 0 1⎞ ⎟ 0 0 1 0⎟ 0 0 0 0⎟ ⎟ 1 0 0 1⎟ 0 0 0 1 ⎟⎠. Ejemplo 2: Dibuja un grafo o digrafo que corresponda a cada matriz de adyacencia: A A⎛0 ⎜ a) M = B ⎜ 0 C ⎜⎝ 1. A B C A⎛0 0 1⎞ ⎜ ⎟ 1 0 ⎟ b) N = B ⎜ 1 C ⎜⎝ 1 0 0 ⎟⎠. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. B 0 0 1. C 0⎞ ⎟ 1⎟ 1 ⎟⎠. 14. a). b). Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(15) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Camino entre dos vértices A y B: Sucesión de vértices y arcos que conectan A y B. Al número de arcos que forman el camino se le llama longitud del camino. Relación con la matriz de adyacencia M : • Matriz M → Muestra si existe o no un arco entre cada par de vértices. • Matriz M 2 → Muestra la existencia y número de caminos de longitud 2 entre cada par de vértices. 3 • Matriz M → Muestra la existencia y número de caminos de longitud 3 entre cada par de vértices. • Matriz M n → Muestra la existencia y número de caminos de longitud n entre cada par de vértices. EJEMPLOS RESUELTOS: Ejemplo 1: El mapa de la figura muestra los senderos que unen las tres aldeas de una isla. a) Obtén un grafo que modelice la red de comunicaciones de la isla y escribe la matriz de adyacencia M asociada a ese grafo. b) Calcula M 2 e interpreta su significado.. Solución: A A⎛1 ⎜ M = B ⎜0 C ⎜⎝ 1. a). A A⎛2 ⎜ b) M 2 = B ⎜ 1 C ⎜⎝ 1. B 0 0 1. C 1⎞ ⎟ 1⎟ 0 ⎟⎠. B C 1 1⎞ 2 ⎟ 1 0 ⎟ M muestra el número de caminos existentes entre dos aldeas cualesquiera en dos etapas. 0 2 ⎟⎠. Ejemplo 2: Consideremos cinco pueblos A, B, C, D y E representados en el siguiente grafo. a) Calcula la matriz de adyacencia de ese grafo. b) Obtén la matriz de distancias asociada a ese grafo. Solución: A B C A ⎛0 ⎜ B ⎜1 a) M = C ⎜ 0 ⎜ D ⎜0 E ⎜1 ⎝. D E. 1 0 0 1⎞ ⎟ 0 1 1 0⎟ 1 0 1 0⎟ ⎟ 1 1 0 1⎟ 0 0 1 0 ⎟⎠. A B C. D E. A ⎛ 0 6 11 10 12 ⎞ ⎜ ⎟ B ⎜ 6 0 5 4 13 ⎟ b) D = C ⎜ 11 5 0 4 13 ⎟ ⎜ ⎟ D ⎜10 4 4 0 9 ⎟ E ⎜12 13 13 9 0 ⎟ ⎝ ⎠. Ejemplo 3: En un grupo de cinco amigos y amigas se pregunta ¿Quién es tu mejor amigo o amiga?, obteniéndose las siguientes respuestas: • Para Alberto (A) es: Carlos y Diana. • Para Beatriz (B) es: Carlos. • Para Carlos (C) es: Alberto. • Para Diana (D) es: Beatriz y Enrique. • Para Enrique (E) es: Alberto, Carlos y Diana. a) Relaciona mediante un grafo las relaciones de amistad que se dan en el grupo. b) Obtén la matriz de adyacencia. c) ¿Quién ofrece más amistad? ¿Quién es considerado mejor amigo?. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 15. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
(16) IES Padre Poveda (Guadix). Matemáticas II. Solución: a). 6447448. Amistad recibida. A ⎧ A⎛0 ⎪ B ⎜⎜ 0 ⎪ M = Amistad manifiesta ⎨C ⎜⎜ 1 ⎪D ⎜ 0 ⎪ ⎜ ⎩E ⎝ 1. b). B C D E 0 1 1 0⎞ ⎟ 0 1 0 0⎟ 0 0 0 0 ⎟⎟ 1 0 0 1⎟ ⎟ 0 1 1 0⎠. c) Es claro que Enrique ofrece más amistad y que Carlos es considerado mejor amigo. También podemos observar que solamente se consideran amigos mutuos, Alberto y Carlos por un lado y Diana y Enrique por otro. Ejemplo 4: Una fábrica decide distribuir tres productos A, B y C a cuatro países de África P1 , P2 , P3 y P4 , según se describe en la matriz M (cantidades en toneladas). Esta fábrica ha recibido presupuestos de dos empresas para el transporte de los productos a los países de destino, como indica la matriz N (en euros por tonelada). A B C P1 P2 P3 P4 P1 ⎛ 200 100 120 ⎞ ⎜ ⎟ E 500 450 375 350 ⎞ ⎛ P ⎜ 110 130 200 ⎟ ⎟ N = 1 ⎜⎜ M = 2⎜ E 2 ⎝ 510 400 400 350 ⎟⎠ P3 220 200 100 ⎟ ⎜ ⎟ P4 ⎜⎝ 150 160 150 ⎟⎠ Efectúa el producto de las matrices y responde a las cuestiones: a) ¿Qué representa el elemento a11 de la matriz producto? b) ¿Qué elemento de la matriz producto nos indica lo que cuesta transportar el producto C con la empresa E 2 ? c) Indica qué elementos de la matriz producto permiten averiguar cuál es la empresa que transporta más barato el producto B a todos los países. Solución: ⎛ 284500 239500 240000 ⎞ a) N ⋅ M = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 286500 239000 233700 ⎠. El elemento a11 de la matriz producto representa el coste total del presupuesto de la empresa E1 por llevar el producto A a todos los países. b) El elemento a 23 = 233700 €. c) El elemento a 22 , es decir, la empresa E 2 por 239000 €. Se obtiene comparando los elementos a12 y a 22 .. Departamento de Matemáticas Profesor: Ramón Lorente Navarro. 16. Bloque II: Álgebra Lineal Unidad 5: Matrices.
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