11.1
DEFINITION INFORMAL:
El límite de una función es el “valor esperada” de la función para un valor de x específico.
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
¿Cuál es el “valor esperado” de f(x) para x = a?
x = a y = L
El “valor esperado” de f(x) para x = a es L.
¿Cómo determinamos el “valor esperada” de la
función para un valor de x específico?
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
1. Por inspección determinamos
que el valor de y que corresponde a x = a es L.
x = a y = L
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
¿Cuál es el valor “esperado” de f(x) para x = 1?
𝑙𝑖𝑚
𝑥→1𝑓(𝑥) =
5
DEFINICION:
A medida que x se acerca a a, el límite de f (x) es L,
si todos los valores de f (x) están cercanos a L para valores de x muy cercanos a, pero no iguales a a.
lim
xa f (x) L,
¿Cómo determinamos el “valor esperado” de la función para un valor de x específico?
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
1. Por inspección determinamos que el valor de y que
corresponde a x = a es L. 2. Observamos los valores
correspondientes a los valores de x que están antes o después de x = a.
TEOREMA:
A medida que x se acerca a a, el límite de f (x) es L, si
• el límite por la izquierda existe • el límite por la derecha existe y • ambos límites son iguales a L.
Esto es, si
1)
2) entonces
lim
xa f (x) L,
lim
xa f (x) L,
lim
xa f (x) L,
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 1
Sea
a) ¿Cuánto es ?
b) ¿Cuál es el límite de a medida que se acerca a ?
2
9 ( )
3
x f x
x
(3)
f
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 1: Solución parte a
1.) Como , sustituiremos por , que nos da
la nueva ecuación
2.) Resolvemos ,
Por lo tanto, no existe.
2 9 ( ) 3 x f x x
2 x 3
3 9
(3) .
3 3
f
(3)
f
2
3 9 9 9 0
(3) .
3 3 3 3 0
f
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 1: Solución parte b)
Primero se acerca a por la izquierda: (examinamos valores menores que 3)
Los valores de la tabla reflejan que es .
Luego dejamos que se acerque a por la derecha: (por valores mayores que 6).
Los valores de la tabla reflejan que es .
Por lo tanto, .
x 3
3
x
( )
f x
2.5 2.9 2.99 2.999
5 5.5 5.9 5.99 5.999
3
lim ( )
x f x
6
x 3
4 3
x
( )
f x
3.5 3.1 3.01 3.001
7 6.5 6.1 6.01 6.001
3
lim ( )
x
f x
6
3
lim ( ) 6
x f x
2
¿ 𝑙𝑖𝑚𝑥→3 𝑥2−9
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Observemos la gráfica de
2
9 ( )
3
x f x
x
f(3) no existe, pero .
3
lim ( ) 6
Ejemplo 1:
Considere la función H dada porGrafique la función, y determine cada límite, si existe.
a)
limx1 H(x) xlim3H(x)
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
a) Determinando el límite numéricamente
Primeramente, dejamos que x se acerque a 1 por la izquierda (o sea por valores menores que -1):
De la tabla observamos que
0 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999
H(x)
1 x
lim
x1 H(x) 4.
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
2 3 3.6 3.8 3.98 3.998
lim
x1 H(x)
a) Determinar el límite numéricamente (cont.)
Ahora, dejamos que x se acerque a 1 por la derecha (valores que son mayores que 1):
Observamos que, aparentemente,
2 1.8 1.1 1.01 1.001 1.0001
H(x)
1 x
lim
x1 H(x) 2.
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
0 –0.4 –1.8 –1.98 –1.998 –1.9998
lim
x1 H(x)
a) Determinar el límite numéricamente (conclusión)
Como 1)
y
2)
Podemos concluir que , NO existe.
lim
x1 H(x) 4
lim
x1 H(x) 2
lim
x1 H(x)
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
lim
x1 H(x)
El Método de la “Pared” :
Si tenemos la gráfica de una función, una alternativa para determinar el límite es, dibujar una “pared” atravesando el valor donde
queremos determinar el límite.
Luego, seguimos la curva de izquierda a derecha hasta que
choquemos con la pared y escribimos una marca en ese lugar.(×)
Luego, seguimos la curva de derecha a izquierda, marcando
nuevamente la localización donde chocamos con la pared. (×) Si las localizaciones son iguales, tenemos el límite. De otro modo, el
límite NO existe.
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
NO existe.
b) Determinar gráficamente: si
lim
x1 H(x)
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
lim
x1 H(x)
lim
x1 H(x) 4
lim
b) Determinar el límite numéricamente
Primeramente, dejamos que x se acerque a –3 por la izquierda:
Observamos que, aparentemente,
–4 –3.5 –3.1 –3.01 –3.001
H(x)
3
x
lim
x3 H(x) 4.
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
–6 –5 –4.2 –4.02 –4.002
lim
x3H (x)
b) Determinar el límite numéricamente (cont.)
Luego, dejamos que x se acerque a –3 por la derecha:
Observamos que, aparentemente
–2 –2.5 –2.9 –2.99 –2.999
H(x)
3
x
lim
x3 H(x) 4.
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
–2 –3 –3.8 –3.98 –3.998
lim
x3H(x)
b)
Determinar el límite numéricamente
(conclusión)
Dado que 1)
y
2)
Concluímos que ,
lim
x3 H(x) 4
lim
x3 H(x) 4
lim
x3 H(x) 4.
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
lim
x3H(x)
Determinar gráficamente para
lim
x3H(x) 4
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
lim
x3H(x)
lim
x3 H(x) 4
lim
Ejemplo 2:
Considerar la función
f
dada por
Trace la gráfica de
f,
y use la gráfica para
determinar si los siguientes límites existen o no.
a)
limx3 f (x) limx2 f (x)
f (x) 1
x 2 3
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
a) Determinar el límite numéricamente:
Dejar que x se acerque a 3 por la izquierda y por la derecha:
Por lo tanto,
2.1 2.5 2.9 2.99
f (x)
3 x
3.5 3.2 3.1 3.01
f (x)
3 x
4.11 4.01
3.66 3.83 3.9090 3.9900
lim
x3 f (x) 4
lim
x3 f (x) 4
lim
x3 f (x) 4.
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
13 5
f(x) 1
x 2 3
lim
a) Determinar el límite gráficamente
Observe en la gráfica que: 1)
y
2)
Por lo tanto,
lim
x3 f (x) 4
lim
x3 f (x) 4
lim
Dada determinar
b) Determinar el límite numéricamente
Dejar que x se acerque a 2 por la derecha y la izquierda:
Por lo tanto, no existe.
1.5 1.9 1.99 1.999
f (x)
2 x
2.5 2.1 2.01 2.001
f (x)
2 x
lim
x2 f (x)
lim
x2 f (x)
lim
x2 f (x)
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
1 –7 –97 –997
5 13 103 1003
f(x) 1
b)
Determinar el límite graficamente
Se observa en la gráfica que
1)
2)
Por lo tanto,
no existe.
lim
x2 f (x)
lim
x2 f (x)
lim
x2 f (x)
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Ejemplo 3:
Considerar, nuevamente, la función
f
dada por
Determinar
limx f (x).
f (x) 1
x 2 3
Determinar el límite numéricamente
Note que acercarse a
∞ implica asignarle a x valores cada vez mayores:
Por lo tanto,
5 10 100 1000
f (x)
x
3.3
lim
x f (x) 3.
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
3.125 3.0102 3.001
f(x) 1
x 2 3 limx f (x).
Determinar el límite graficamente
Se observa en la gráfica que
si x asume valores que son cada vez mayores,
la gráfica se queda alrededor
de y = 3
Por lo tanto,
lim
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Prácticas Adicionales
Calcule los siguientes límites basado en la gráfica de
a.)
b.)
c.)
.
f
2
lim ( )
x
f x
2
lim ( )
x
f x
2
lim ( )
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 2 Solución
2
lim ( )
x f x x 2
lim ( )
x
f x
2
lim ( ) 3
x f x
2
lim ( ) 3
x
f x
2
lim ( ) 3
x
f x
a.) : Observando la gráfica, a medida que se acerca a 2 por la
izquierda,
b.) : Observando la gráfica observamos que a medida que x se
acerca a 2 por la derecha , .
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 3
Sea Determine los siguientes límites
numéricamente. Luego verifique, gráficamente:
a.)
b.)
c.)
1
( ) 6. 1
h x
x
lim ( )
xh x
1
lim ( )
x h x
2
lim ( )
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 3 Solución
a.) : Deteminar los límites por la izquierda y por la derecha en x = 1:
Límite por la izquierda
Como the Left-Hand Limit por la izquierda se va para goes to y el límite por la derecha se va para , el NO existe.
1
lim ( )
x h x
1
1
x h x( )
0 0.5 0.9 0.99 0.999 ( ) h x 7 8 16 106 1006 1
x
2 1.5 1.1 1.01 1.001 5 4 4 94 994
Límite por la dercha
1
lim ( )
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 3 Solución (cont.)
b.) : Deteminar los límites por la izquierda y por la derecha en x = 2:
.
Límite por la izquierda
Como ambos límites son iguales, tenemos que
2
lim ( )
x h x
2
x h x( ) 1.1 1.5 1.9 1.99 1.999 4 4 4.8 4.98 4.998 2
x h x( )
3 2.5 2.1 2.01 2.001 5.5 5.3 5.09 5.0099 5.000999 2
lim ( ) 5.
x h x
Limites:
Un enfoque numérico y gráfico
Práctica 3 Solución (conclusión)
c.) : Determinar el límite a medida que x se acerca a (se hace más grande.) :
Como ambos límites son iguales, tenemos que lim ( )
xh x
x h x( )
5
10
100
1000
5.75
5.8
5.98
5.998
lim ( ) 6.
