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MATLAB PARA EL ANALISIS DE SISTEMAS ELÉCTRICOS DE

POTENCIA

Elaborado por:

Hernan Catari Ramos Rodmy Miranda Ordoñez

INDICE GENERAL

1. ENTORNO BÁSICO DE MATLAB ... 3

1.1. INTRODUCCIÓN ... 3

1.2. AMBIENTE MATLAB ... 3

1.3. BUSQUEDA DE AYUDAS EN MATLAB ... 4

1.4. MANEJO DE VARIABLES Y MATRICES EN MATLAB ... 4

1.4.1. TIPOS DE VARIABLES ... 4

1.4.2. MANEJO DE VARIABLES ... 5

1.4.3. MANEJO DE MATRICES ... 6

1.5. SOLUCION DE SISTEMAS LINEALES ... 11

1.6. MANEJO DE NUMEROS COMPLEJOS ... 13

2. DESARROLLO DE GRÁFICOS EN MATLAB ... 13

2.1. CREACION DE GRÁFICOS BIDIMENSIONALES ... 13

2.2. GRÁFICOS EN 3D ... 17

3. ENTORNO DE PROGRAMACIÓN DE MATLAB ... 18

3.1. MODOS DE TRABAJO EN MATLAB ... 18

3.2. FACILIDADES QUE OFRECE MATLAB EN PROGRAMACIÓN ... 19

3.3. OPERADORES COMUNES ... 19

3.4. COMANDOS BASICOS DE PROGRAMACIÓN ... 19

3.4.1. COMANDO IF ... 19

3.4.2. COMANDO WHILE ... 20

3.4.3. COMANDO FOR ... 20

3.4.4. SENTENCIA SWITCH ... 22

4. MANEJO BÁSICO DE SIMULINK... 23

4.1. INTRODUCCION ... 23

4.2. MODELADO DE ECUACIONES ... 24

4.3. MODELADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES ... 25

4.4. MODELADO MEDIANTE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA ... 27

5. DINÁMICA Y MODELADO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS ... 32

5.1. INTRODUCCIÓN ... 32

5.2. DESCRIPCIÓN DE LOS PRINCIPALES COMPONENTES DEL SISTEMA ELÉCTRICO .. 32

5.2.1. Generador Sincrónico ... 32

5.2.2. Sistemas de excitación ... 36

5.2.3. Motores Primos y Sistemas de Control ... 36

5.2.4. Cargas Eléctricas ... 37

5.3. CONDICIONES INÍCIALES Y PARAMETRIZACION DE MODELOS ... 38

5.4. OPTIMIZACIÓN DE MODELOS MEDIANTE EL USO DE SUBSISTEMAS ... 41

6. CONTROL DE POTENCIA ACTIVA Y FRECUENCIA ... 44

6.1. FUNDAMENTOS DE CONTROL DE FRECUENCIA ... 44

6.1.1. Modelo del Gobernador ... 44

6.1.2. Modelo de las líneas de interconexión de áreas ... 46

6.2. CONTROL AUTOMÁTICO DE GENERACIÓN EN SISTEMAS INTERCONECTADOS Y SISTEMAS AISLADOS ... 47

6.3. RECHAZO DE CARGA POR BAJA FRECUENCIA ... 48

6.3.1. Factores que influencian la disminución de la frecuencia ... 48

6.3.2. Transferencia Máxima por Seguridad de Áreas ... 50

6.4. ESQUEMA AUTOMÁTICO DE ALIVIO DE GENERACIÓN DEL SISTEMA NORTE ... 52

7. ESTABILIDAD DE FRECUENCIA ... 57

7.1. REPRESENTACIÓN DEL SISTEMA ELÉCTRICO DE POTENCIA ... 57

7.1.1. Ecuaciones generales del sistema. ... 57

7.1.2. Tratamiento de las ecuaciones diferenciales del Generador ... 58

7.2. ANÁLISIS DE LA ESTABILIDAD DE FRECUENCIA EN SEP ... 60

1. ENTORNO BÁSICO DE MATLAB

1.1. INTRODUCCIÓN

Es un paquete de software orientado hacia el cálculo numérico científico e ingenieril, el cual integra cálculo numérico, computación de matrices y gráficos en un entorno de trabajo cómodo para el usuario. Teniendo también un lenguaje de programación propio de tipo interprete. Se debe tener en cuenta que MATLAB optimiza el tiempo de ejecución de cálculos al máximo. MATLAB dispone de un código básico y de varias librerías especializadas (toolboxes), entre las cuales tenemos el SIMULINK, SimPowerSystem y otros.

Los usos más comunes de MATLAB son:

 Cálculos matemáticos

 Desarrollo de algoritmos  Modelado y simulación

 Análisis de datos, exploración y explotación.  Gráficas científicas y de Ingeniería.

1.2. AMBIENTE MATLAB

Al ingresar a Matlab se mostrará la siguiente ventana, siendo en el caso de MATLAB 7.0 el mostrado en la figura 1.1.

Fig. 1.1. Ventana de trabajo de MATLAB

Entre los principales elementos que se visualizan al ingresar a MATLAB tenemos:

 Ventana de comandos (Command window): Es la ventana donde se pueden introducir las sentencias mediante teclado. El signo característico de esta ventana es el prompt “>>”, que nos indica que el programa esta preparado para recibir instrucciones.

 Ventana histórica de comandos(Command history): Nos muestra los últimos comandos ejecutados.

 Directorio actual (current directory): Nos muestra el directorio en el cual se está desarrollando los programas.

 Herramientas propios de Windows: Son los componentes propios del ambiente o plataforma WINDOW como: La Barra de menú, y la barra de herramientas.

1.3. BUSQUEDA DE AYUDAS EN MATLAB

Debido a la gran variedad de herramientas que posee el software, éste presenta ayudas con varias formas de acceso:

a) Ayuda en línea

Se debe escribir en la ventana de comandos de la siguiente manera:

>>help calendar

>>help clear

>>help inv

b) Navegador de ayuda (help)

Se encuentra en el menú help.

c) Ayuda mediante demos

MATLAB contiene varios ejemplos con los códigos fuentes con acceso libre, denominados demos.

d) Comando lookfor

Nos permite encontrar palabras claves relacionadas a un comando.

>>lookfor laplace

1.4. MANEJO DE VARIABLES Y MATRICES EN MATLAB

1.4.1. TIPOS DE VARIABLES

Existen dos tipos de variables principales que maneja este Software:

1.4.2. MANEJO DE VARIABLES

La sentencia:

>>A=3

Asigna el valor numérico 3 en la variable A.

>>b=’Hola’

Asigna el valor String Hola en la variable B.

Se puede observar que las variables se definen de forma automática, dependiendo del valor asignado.

>>C=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]

En forma extendida se tiene:

C =

1 2 3

4 5 6

7 8 9

De esta forma se ha creado una matriz de dimensiones 3x3, asignándolo a la variable C.

Hasta aquí se ha creado 3 variables.

Para ver el contenido de cada variable simplemente tecleamos la variable:

>>A

A =

3

Para listar las variables:

>>who

your variables are:

A b C

Para eliminar alguna variable de la memoria:

>>clear b

>>who

your variables are:

1.4.3. MANEJO DE MATRICES

MATLAB trabaja sobre matrices mediante operadores y mediante funciones, existiendo también los matrices predefinidos. En la Tabla 1.1 se muestra las operaciones más comunes que se puedan realizar con matrices mediante operadores:

OPERACIONES MAS COMUNES CON MATRICES

SIMBOLO PROCESO REALIZADO EJEMPLOS OBS

1 + Suma >>A+B

2 - Resta >>A - B

3 * Producto >>A*b

4 ' Transpuesta >>A'

5 ^ Potenciacion >>A^2 >>A*A

6 .* Producto elemento a elemento >>A .*5

7 .^ Elevar a una potencia elemento a elemento >>A .^4

Tabla 1.1. Operadores comunes que trabajan con matrices

OPERACIÓN MEDIANTE FUNCIONES

inv() inversion de matriz >>inv(A)

Size() Devuelve el tamaño de una matriz cuadrada >>size(A)

[m,n]=size(B)

Devuelve el número de filas y columnas en una

matriz rectangular >>[m,n]=size(B)

d=det(A) Devuelve la determinante de la matriz cuadrada A >>d=det(A)

Tabla 1.2. Funciones que actúan sobre matrices

MATRICES PREDEFINIDOS

eye(4) Forma la matriz unidad de tamaño 4x4

zeros(2,3) Forma la matriz de ceros de tam. 2x3

rand(4)

forma una matriz de num. Aleatorios entre 0 y 1, de distribución uniforme de tamaño 4x4

randn(4)

Forma una matriz de num aleatorios(4x4), con distribucion normal, de valor medio 0 y varianza 1

FUNCIONES QUE ACTUAN SOBRE VECTORES

[xm,ym]=max(x) Devuelve el valor máximo en xm y su posicion en ym

min(x) Devuelve el valor mínimo y su posición

sum(x) Suma de los elementos de un vector

cumsum(x) Devuelve la suma acumulativa de los elementos del vector

mean(x) Valor medio de los elementos de un vector

Std(x) Desviación típica

prod(x) Producto de los elementos de un vector

cumprod(x) Producto acumulativo

[y,i]=sort(x) Ordenación de menor a mayor en y, y las posiciones en i

Tabla 1.4. Funciones importantes aplicados a vectores

Para mayor información podemos buscar en el help de MATLAB

Trabajemos con las anteriores matrices:

Hallemos la transpuesta:

>>C’

ans’ =

1 4 7

2 5 8

3 6 9

para acceder mediante filas y columnas tendremos:

>>m=C(2,2)

m =

5

Para acceder a toda una fila:

>>C(2 , : )

ans =

4 5 6

para acceder a toda una columna

ans =

1

4

7

Para mostrar componentes en la fila de 1 a 2, y las columnas de 2 a 3 tendremos:

>>C(1:2,2:3)

ans =

2 3 5 6

Para modificar un componente

>>C(2,3)=10

ans =

1 2 3

4 5 10

7 8 9

>>C(4,4)=11

ans =

1 2 3 0

4 5 10 0

7 8 9 0

0 0 0 11

Para crear un vector de términos crecientes:

>> D = [0:2:10]

D =

0 2 4 6 8 10

Para crear un vector de términos decrecientes:

>>E = [0:-1:-3]

E =

0 -1 -2 -3

Suma de matriz con escalar

>>A=[1 2 3 4 5];

>>B=A + 5

A =

6 7 8 9 10 El escalar es sumado a cada componente.

Suma entre matrices

>>B=[0 1 2 1 1];

>>C= A + B

C =

1 3 5 5 6

La suma entre matrices debe ser entre matrices de las mismas dimensiones, caso contrario no se realizará la suma.

Algunos aspectos con la multiplicación de matrices

Esta operación es muy importante  para desarrollar  bases de tiempo 

Ahora practiquemos con MATLAB

>>A=[1 2;3 4] >>A =

1 2 2 4 >>B=[1 ; 3]

B= 1 3 >>C=A*B C=

7 15

Se puede observar que se aplica el producto de matrices definidos en Álgebra lineal.

Pero también en MATLAB existen otras herramientas, como en el siguiente caso: >>A=[1 3 5];

>>B=[2 0 2]; >> C = A*B

??? Error using ==> mtimes

Inner matrix dimensions must agree.

Ahora apliquemos lo siguiente: >>C=A . *B

C=

2 0 10

Para aplicar este operador los vectores deben ser de la misma dimensión, y se debe tomar en cuenta que MATLAB no aumenta ceros en caso de no ser iguales las dimensiones.

Producto escalar >>A=[2,3]; >>B=[4,2]; >>c=sum(A.*B) c =

14

>> C=A^2

??? Error using ==> mpower Matrix must be square.

Esto es debido a que la multiplicación no es coherente. Probemos lo siguiente:

>> A=[1 2 3]; >> C=A.^2

C =

1 4 9

Composición de una matriz a partir de otras matrices

Para esto las submatrices deben ser coherentes en las dimensiones. Ejemplo:

>> J1=[1 2;4 5]; >> J2=[3;6]; >> J3=[7 8]; >> J4=[9];

>> jacobiano=[J1 J2;J3 J4]

jacobiano =

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1.5. SOLUCION DE SISTEMAS LINEALES

Resolvamos el siguiente problema de despacho económico:

Minimizar

200

50

400

100

600

150

850

00482

.

0

97

.

7

78

)

(

00194

.

0

85

.

7

310

)

(

001562

.

0

92

.

7

561

)

(

3 2 1 3 2 1 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 2 1











































P

P

P

P

P

P

P

P

P

F

P

P

P

F

P

P

P

F

F

F

F

Z

Aplicando el método de Lagrange se tiene:





i i

dP

dF

max , min

, i i

i

P

P

P





2N inecuaciones

load N

i

i

P

P





1

1 restricción

Formándose el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Ingresando los datos en MATLAB tendremos:

>> A=[2*0.001562 0 0 -1 0 2*0.00194 0 -1

0 0 2*0.00482 -1 1 1 1 0]

A =

0.0031 0 0 -1.0000 0 0.0039 0 -1.0000

0 0 0.0096 -1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0

>> b=[-7.92 -7.85 -7.97 850]'

b =

-7.9200 -7.8500 -7.9700 850.0000

>> x=A\b

x =

393.1698 334.6038 122.2264 9.1483

También se puede resolver el sistema de ecuaciones mediante el método de la inversa, como sigue a continuación:

>> x=inv(A)*b x =

393.1698 334.6038 122.2264 9.1483

1.6. MANEJO DE NUMEROS COMPLEJOS

Realicemos la siguiente operación: >>b=sqrt(-1)

b =

0 + 1.0000i

>>c = 3 + 4j c =

3.0000 + 4.0000i

También podemos definir de la siguiente manera: >>d=complex(2,3)

d =

2.0000 + 3.0000i

Hallemos algunos valores importantes de el número complejo c:

>>abs(c) %nos permite hallar el modulo del número complejo ans =

5

>>angle(c) %nos permite hallar el ángulo en radianes ans =

0.9273

>>angle(c)*180/pi %nos permite hallar el ángulo en grados ans =

53.1301

>>c’ %hallamos la conjugada

ans =

3.0000 - 4.0000i

>>real(c) %hallamos la parte real ans =

3

>>imag(c) %hallamos la parte imaginaria ans =

4

2. DESARROLLO DE GRÁFICOS EN MATLAB

La forma más práctica de crear gráficos bidimensionales es con el comando plot.

Lo primero que se debe hacer es formar un dominio de puntos para el eje x, luego se genera el conjunto imagen en base al dominio dado, por ejemplo grafiquemos la función f(x)=x^2, en el rango 1 a 4:

>> x=1:1:4;%generamos el dominio

>> y=x.^2;%generamos la imagen para cada punto del dominio >> plot(x,y)%graficamos x versus y

En la figura 2.1. se muestra el gráfico obtenido:

Fig. 2.1. Grafica con MATLAB

Realicemos la siguiente operación

>> x=0:0,01:2*pi; y=sin(x); plot(x,y),gris, title (‘Funcion sen(x)’)

Fig.2.2. Gráfica de una función senoidal

>>z=cos(x);

si deseamos ver las graficas en ventanas separadas tendremos: >>plot(x,y);

>>figure; >>plot(x,z)

si deseamos ver las dos graficas en la misma ventana tendremos: >>plot(x,y);

>>hold on; >>plot(x,z)

Las opciones de la función plot son las siguientes:

Superponer gráficas sobre las mismos ejes: >>plot(x,y,x,z)

Usar distintos tipos de línea para el dibujo de la gráfica: >>plot(x,y,’+’)

Etiqueta en el eje X >>xlabel(‘texto’)

Etiqueta en el eje Y >>ylabel(‘texto’)

Título en la cabecera de la gráfica actual >>title(‘texto’)

Fig. 2.3. Dos gráficas en la misma ventana

Si deseamos mostrar las dos gráficas en una misma ventana tendremos:

>>subplot(1,2,1); %crea una ventana de 1x2 y selecciona el primer grafico >>plot(x,y); %realiza el grafico de la funcion sen(x)

>>subplot(1,2,2); %selecciona la ventana 2 >>plot(x,z) %grafica la función cos(x)

Obtendremos la siguiente gráfica:

Ejemplo:

Dada la función:

y



x



sen

(

x

)

. Realizar la correspondiente gráfica en el intervalo[0,10].

El código será el siguiente: >> plot(x,y)

>> x=[0:0.1:10]; >> y=x.*sin(x);

>> plot(x,y),title('grafica de la funcion y=x*sen(x)')

Se debe tener en cuenta que se esta realizando operaciones con vectores, de tal forma que el producto debe ser coherente. Finalmente el gráfico obtenido es el siguiente:

Fig.2.5. Gráfica obtenido en MATLAB

Practica:

Dada la función :

y



10



1



e

x/3

sen

(

10

x

)



, definida en el intervalo [0,10]. Realizar la correspondiente gráfica.

El código es el siguiente:

>> x=[0:0.1:10];

>> y=10*(1-exp(-x/3).*sin(10*x)); >> plot(x,y),title('grafica de una funcion')

2.2. GRÁFICOS EN 3D

Primeramente se debe crear un dominio de puntos en forma de malla rectangular en el plano (x,y),

Ejemplo. Graficar la función : 2 2

1

x

y

z







, en el dominio dado por el plano (x,y) comprendido entre (-1.25,-1.25) y (1.25,1.25). El código será el siguiente:

>> [x,y]=meshgrid(-1.25:0.1:1.25,-1.25:0.1:1.25); >> z=sqrt(1-x.^2-y.^2);

>> mesh(z)

Obteniéndose la siguiente gráfica:

Fig. 2.6. Grafica tridimensional

3. ENTORNO DE PROGRAMACIÓN DE MATLAB

3.1. MODOS DE TRABAJO EN MATLAB

En MATLAB se puede trabajar de dos maneras distintas:

a) Mediante la introducción directa de comandos:

3.2. FACILIDADES QUE OFRECE MATLAB EN PROGRAMACIÓN  Elección automática del tipo de variables

 Dimensionamiento automático de las matrices

 Posibilidad de manejar números complejos(similar a los operadores sobrecargados utilizados en lenguajes de alto nivel)

 Posibilidad de funcionamiento en modo interpretado  Entorno de depuración integrado

3.3. OPERADORES COMUNES

a) Operadores relacionales

A==B Igualdad

A<B verifica si A es menor que B

A>B verifica se A es mayor que B

A<=B verifica si A es menor o igual que B

A>=B verifica si A es mayor o igual que B

A~=B verifica se A es diferente a B

b) Operadores lógicos

OPERADOR DESCRIPCION

& Y(AND)

| O(OR)

~ NO(NOT)

3.4. COMANDOS BASICOS DE PROGRAMACIÓN

El estilo de programación es similar al entorno C. Del menú new, elegimos la opción M-File, de ésta manera ingresaremos al editor de MATLAB, donde crearemos nuestros programas o ficheros .m.

3.4.1. COMANDO IF

base=230;

a = input(‘ingrese valor de tensión final en la carga:’); d=abs(base-a);

disp(‘ La caída de voltaje es aceptable’); else

disp(‘ La caída no es aceptable ‘);

end

3.4.2. COMANDO WHILE

Realiza un trabajo mientras se cumple una condición, su sintaxis es la siguiente

while condicion

sentencias end

Ejemplo

Resolver mediante método numéricos la siguiente ecuación no lineal de dos variables:

3

1





x

x

Despejando valores tenemos

x

x



3



1

Para la iteración se forman las siguientes ecuaciones:

1

1

3



_



_k

k

x

x

realizar n iteraciones introducidas por el usuario

n=input('dame el numero de iteraciones:');%guardamos en n el num de iteraciones i=2; %inicializamos contador

x(i-1)=0.5; %inicializamos el vector x(1) while i<n+1

x(i)=3-1/x(i-1); i=i+1;

end

x %mostramos las iteraciones

3.4.3. COMANDO FOR

Esta sentencia repite un conjunto de sentencias un número predeterminado de veces. En MATLAB esta sentencia es muy flexible, a diferencia de otros lenguajes como el C/C++.

for i=1:n

sentencias end

Para ir aumentando con un paso de 0.2 tendremos: for i=1:0.2:n

sentencias end

Una parte interesante de este bucle es la siguiente donde A es un vector:

for i=A

sentencias end

Donde la variable i es un vector que va tomando en cada iteración el valor de una de las columnas de A.

Ejemplo:

Hallar las corrientes en el siguiente circuito eléctrico:

Fig.3.1. Circuito eléctrico

Planteando mediante el método de las corrientes de malla:

Finalmente en forma matricial tendremos:

Práctica:

Desarrollar la siguiente serie:

2

1 







n n

n

x

x

x

donde:

1

0

1 0





x

x

Debe generarse los siguientes valores:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,….

La serie generada es llamado como la serie de Fibonacci, la cual se puede encontrarse en varios aspectos de la naturaleza:

Fig. 3.2. El primer cuadro nos muestra un Nautilos El segundo cuadro nos muestra un piñon de pehuén.

En ambos se puede observar la serie de Fibonacci

3.4.4. SENTENCIA SWITCH

Su forma general es el siguiente:

   

  V=[50;50]; 

for  i=1:2      for j=1:2 

        mensaje1=sprintf('dame el componente [%d %d] de Z',i,j);          disp(mensaje1); 

        Z(i,j)=input('');      end 

end 

I=inv(Z)*V; 

for i=1:2 

    mod(i,1)=abs(I(i,1)); 

    angulo(i,1)=angle(I(i,1))*180/pi;      

end 

disp(' modulo        angulo '); 

for i=1:2 

    res=sprintf('  %f       %f ',mod(i,1),angulo(i,1)); 

  disp(res); 

switch switch_expresion

case case_expr1,

bloque1

case {case_expr2,case_expr3,…}

bloque2 : :

otherwise, %opción por defecto bloque_fin

end

4. MANEJO BÁSICO DE SIMULINK  

4.1. INTRODUCCION

Es una librería de MATLAB, que nos permite representar diagramas de bloques de un sistema y a continuación proceder a su simulación. Para ingresar a Simulink, se debe teclear simulink desde la ventana de comandos. Al cargar el programa se debe mostrar la siguiente ventana:

Fig. 4.1. Librería de Simulink

En la librería Simulink, podemos observar varias bibliotecas de las cuales pocas son las que generalmente son muy requeridas, revisemos las bibliotecas mas utilizadas:

Commonly Used Blocks

En la figura 4.2 se muestra los bloques mas usados de ésta biblioteca para la implementación de un modelo sencillo:

 

Fig. 4.2. Bloques comúnmente utilizados de Commonly Used Blocks

Sources

En la figura 4.3 se muestra los bloques mas usados de ésta biblioteca para la implementación de un modelo sencillo:

Fig.4.3. Bloques comúnmente utilizados de Sources

Existen varios bloques, que se irán desarrollando posteriormente en los siguientes capítulos.

4.2. MODELADO DE ECUACIONES

Modelemos la siguiente ecuación, la cual representa la conversión de grados centígrados a grados Fahrenheit.

32

5

9

_

_



_C

F

T

T

Entrada 

T

_C

Salida 

T

_F

Luego despejamos la salida, obteniendo la ecuación anterior. Procedemos a la elección de Bloques de SIMULINK tal como se muestra en la siguiente figura:

Fig. 4.2. Modelado de ecuación

Los bloques: Gain, Scope, Sum y Constant, se encuentran en la dirección: simulink/Commonly Used Blocks

El bloque Ramp se encuentra en la dirección: simulink/Sources.

En el bloque Ramp, se puede elegir la pendiente en la opción slope, al cual se ingresa haciendo doble click en el bloque.

4.3. MODELADO DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Modelar la siguiente ecuación diferencial:

u

x

x

'





2



Identificando variables tenemos:

Entrada 

u

Salida 

x

Para el modelado mediante bloques, se debe despejar la derivada de mayor orden. El modelo obtenido es el siguiente:

Fig.4.3. Modelado de una ecuación diferencial

El bloque integrador se encuentra en la dirección: simulink/ Commonly Used Blocks

Modelar la siguiente ecuación diferencial mediante bloques:

)

(

'

5

25

''

_{1 1}

1

x

x

f

t

x









Se debe realizar el siguiente cambio de variables:

2 1

'

x

x



Por lo tanto tendremos:

)

(

5

25

'

_{1 2}

2

x

x

f

t

x









Ya una vez ordenado, procedemos a la formación de bloques. Obteniéndose la siguiente figura:

Fig.4.4. Modelado de una ecuación diferencial de segundo grado

Queda como practica su implementación en SIMULINK.

La señal de entrada puede ser un escalón unitario.

Ejemplo

Modelar la siguiente ecuación diferencial:

x

K

x

B

x

M

t

f

(

)





''





'





Identificando variables tenemos:

Entrada 

f

(

t

)

Salida 

x

Luego debemos despejar la derivada de mayor orden:

)

(

'

''

B

x

K

x

f

t

x

M













 

Fig.4.5. Modelado de una ecuación diferencial

4.4. MODELADO MEDIANTE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

Debido a que la representación de modelos se realiza mediante ecuaciones diferenciales, se hace un tanto difícil su manejo. Uno de los métodos utilizados para facilitar esto, es el uso de la Transformada de Laplace.

La transformada de Laplace nos permite hallar la Función de transferencia G(s).

Implementemos el modelo de la figura 4.6. mediante la ventana de comandos y Simulink:

v(t)

y(t)

i(t)

Fig.4.6. Sistema Eléctrico

Del cual resultan las siguientes ecuaciones diferenciales:











i

t

dt

C

t

i

R

t

v

(

)

(

)

1

(

)

donde





i

t



dt

C

t

y

(

)

1

(

)

Aplicando La Place con condiciones iniciales igual a cero tendremos:

)

(

1

)

(

)

(

I

s

Cs

s

I

R

s

V









(

)

1

I

(

s

)

Cs

s

Y





 

entrada

de

Laplace

de

da

Transforma

salida

de

Laplace

de

da

Transforma

Realizando operaciones obtendremos la Función de Transferencia:

1

1

1

1

)

(

)

(

)

(











Ts

RCs

s

V

s

Y

s

G

Consideremos que: R=2200Ω y C=1000µF, de donde RC=T= 2.2seg.

a) Para una señal tipo impulso unitario tendremos:

1

)

(

)

(

)

(

t



t



V

s



v



Luego:

1

1

)

(

)

(

)

(









Ts

s

V

s

G

s

Y

Aplicando la transformada inversa de La Place tendremos:

T t

e

T

t

y







1

)

(

Resolvamos el problema mediante código de MATLAB

>> T=2.2; >> num=1; >> den=[T 1];

>> funcion=tf(num,den)

Transfer function: 1

--- 2.2 s + 1

>> [h1,t1]=impulse(funcion); >> plot(t1,h1)

Fig.4.7. Respuesta a función impulso

b) Resolvamos para el caso de una entrada de tipo escalón unitario.

En forma analítica tendremos:

s

s

V

t

v

(

)



1



(

)



1

1

1

1

)

(

)

(

)

(











Ts

s

s

V

s

G

s

Y

Aplicando la transformada inversa de La Place tendremos:

T t

e

t

y







1

)

(

Para la resolución con los codigos de MATLAB tendremos:

>> T=2.2; >> num=1; >> den=[T 1];

>> funcion=tf(num,den)

Transfer function: 1

--- 2.2 s + 1

>> step(funcion)

Fig. 4.8. Respuesta a función paso

Resolvamos el mismo sistema con SIMULINK

Las direcciones de los bloques nuevos son las siguientes: - Para el bloque Mux

Commonly Used Blocks/Mux - Para el bloque Transfer Fcn Continuous/Transfer Fcn

El modelo debe implementarse como en la figura 4.9.

Fig. 4.9. Modelo en Simulink

Fig. 4.10. Resultado mediante Simulink

Practica

Construir el diagrama de bloques del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales:

xy

cz

dt

dz

y

z

b

x

dt

dy

x

y

a

dt

dx















)

(

)

(

donde: a = 10

b = 28 c = -(2 + 2/3)

Simular su comportamiento: representar la variable x(t), dibujar el diagrama de fase z(t) respecto x(t).

Fig. 4.11. El Atractor de Lorenz es una figura geométrica similar a una mariposa y que para ser contenida necesita más de dos dimensiones y menos de tres (2.06), por lo tanto es un fractal. (el inverso del exponente de Hurst es igual a la

5. DINÁMICA Y MODELADO DE SISTEMAS ELÉCTRICOS  

5.1. INTRODUCCIÓN

La respuesta dinámica del sistema eléctrico depende del conjunto de componentes y de la disposición de los mismos. Cada uno de los componentes influye de manera particular a la respuesta dinámica del sistema. El esquema del modelo y el grado de detalle del mismo depende de los fenómenos dinámicos a ser representados.

5.2. DESCRIPCIÓN DE LOS PRINCIPALES COMPONENTES DEL SISTEMA ELÉCTRICO

Todos los elementos de la red eléctrica que puedan ser representados como una resistencia, inductancia y capacitancia son los que determinan los modos de oscilación natural del sistema. Estos elementos son las líneas de transmisión, transformadores, la carga y los devanados de las unidades generadoras. Los elementos mencionados conectados entre sí constituyen la topología de la red eléctrica para determinado punto de operación y la dinámica sub-transitoria del sistema eléctrico obedece a la configuración de la topología de la red.

Los generadores contribuyen con la dinámica de la red a través del regulador automático de voltaje (RAV) y el regulador de velocidad (Gobernador).

El RAV aporta de manera determinante con la dinámica del sistema, está contribución dependiendo del sistema de excitación puede influenciar incluso en el comportamiento transitorio del sistema. Los estabilizadores de potencia (PSS) actúan en este tipo de dinámica.

El gobernador de las unidades generadoras contribuye en la dinámica de la red a través del control de la potencia mecánica que influye directamente al control de la frecuencia del sistema.

5.2.1. Generador Sincrónico

En el modelo del generador para análisis de estabilidad transitoria y dinámica, asumiremos un circuito amortiguador para el eje directo y dos circuitos amortiguadores para el eje de cuadratura, en la representación de un generador de polos lisos, utilizado en las Centrales Termoeléctricas (Figura 5.1), y un circuito amortiguador en el eje directo y el eje de cuadratura, en la representación de un generador de polos salientes, utilizado en las Centrales Hidroeléctricas. En la representación en diagramas de bloques del generador sincrónico de polos lisos y polos salientes se usan los modelos GENROU y GENSAL respectivamente, presentados en la Figura 5.2.



d



ad



q



aq

Modelo GENROU

Modelo GENSAL

Por otra parte, el generador sincrónico puede ser representado mediante una f.e.m. detrás de una reactancia subtransitoria, para un análisis simplificado del sistema, donde se despreciarán las resistencias del sistema, y  representará la diferencia angular entre la f.e.m. y el voltaje de la red y el diagrama de bloques que representa el sistema generador – carga que considera un tiempo de arranque mecánico (M = 2H) y una constante de amortiguamiento de la carga (D), es el siguiente:

Figura 5.3. Modelo del generador y la carga

Ejemplo 5.1

Los parámetros de un generador sincrónico de polos salientes son presentados en las siguientes Tablas, utilizando el modelo Gensal (Ver Figura 5.2) determine la respuesta del sistema para una entrada escalón unitario en el voltaje del sistema de excitación (Efd) y una corriente en el eje directo y el eje de cuadratura (id, iq) igual a cero. Debe tenerse en cuenta que en cantidades por unidad, el valor de las inductancias es igual al valor de las respectivas reactancias (Li = Xi).

REACTANCIAS (1) (en valores por unidad referidos a los valores nominales del generador)

MAGNITUD SÍMBOLO UNIDAD VALOR

Reactancia sincrónica de eje directo no saturada Xd pu 1.300

Reactancia sincrónica de eje en cuadratura no saturada Xq pu 0.900

Reactancia transitoria de eje directo no saturada X’d pu 0.300

Reactancia transitoria de eje en cuadratura no saturada X’q pu 0.900

Reactancia subtransitoria de eje directo no saturada X”d pu 0.250

Reactancia subtransitoria de eje en cuadratura no saturada X”q pu 0.320

Reactancia de Dispersión Xl pu 0.130

Reactancia de secuencia negativa no saturada X2 pu 0.280

Reactancia de secuencia cero no saturada X0 pu 0.100

Reactancia de Potier Xp pu

---CONSTANTES DE TIEMPO(1)

MAGNITUD SÍMBOLO UNIDAD VALOR

Cte. de tiempo transitoria de eje directo a circuito abierto T’do s 8.480

Cte. de tiempo subtransitoria de eje directo a circuito abierto T”do s 0.110

Cte. de tiempo transitoria de eje en cuadratura a circuito abierto T’qo s 0.000

Cte. de tiempo subtransitoria eje en cuadratura a circuito abierto T”qo s 0.400

Cte. de tiempo transitoria de eje directo en cortocircuito T’d s 1.970

Cte. de tiempo subtransitoria de eje directo en cortocircuito T”d s

---Cte. de tiempo transitoria de eje en cuadratura en cortocircuito T’q s

---Cte. de tiempo subtransitoria eje en cuadratura en cortocircuito T”q s 0.100

En la saturación magnética del eje directo del modelo Gensal (Figura 5.2), se considerada una curva de característica no lineal en el tramo de saturación del flujo del entrehierro (φat > 0.8 p.u.), representada por la siguiente relación exponencial:

) ( at T1

Sat B sat

I

A

e

 



_

_



Donde Asat y Bsat son constantes dependientes de la característica de saturación, cuyos valores se determinan con ayuda de los factores de saturación, de la siguiente manera:

82

.

5

2

.

1

5

045

.

0

2

.

1

1.0

2 . 1 2 . 1 2 0 . 1



























S

S

Ln

B

S

S

A

sat sat

Finalmente la función de saturación será igual a φat cuando φat <= 0.8 p.u y φat + φI cuando φat > 0.8 p.u. Es importante señalar que φat = E’q, en la representación del modelo Gensal. La respuesta obtenida con Simulink, se presenta en la siguiente figura.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1 Fuerza Electromitriz Inducida vs. Tiempo

Tiempo (segundos) V ol taj e ( p. u. ) OTROS DATOS

MAGNITUD SÍMBOLO UNIDAD VALOR

Cte. de Inercia del conjunto turbina + generador H(3) MWs/MVA 1.352

Resistencia de armadura por fase (dc) @20ºC Ra(1) Ω 0.00417

Resistencia del arrollamiento de campo (dc) @120ºC Rf

(1)

Ω 0.0967

Factor de Saturación en Vacío a Tensión Terminal 1.0 p.u. _S (2)

1.0 - 0.143

Factor de Saturación en Vacío a Tensión Terminal 1.2 p.u. (2)

S1.2 - 0.382

Corriente de campo para MVA, Tensión y cos ϕnominales I fnom(1) A 1127

Relación de cortocircuito SCR(1) p.u. 0.870

Figura E1. Respuesta de la Fuerza Electromotriz (φ’’d) ante una entrada escalón unitario del voltaje de campo (Efd)

5.2.2. Sistemas de excitación

Desde el punto de vista del sistema de potencia, el sistema de excitación debería contribuir al control efectivo del voltaje y a mejorar la estabilidad del sistema. Este debería ser capaz de responder rápidamente a una perturbación para mejorar la estabilidad transitoria del sistema, y ajustar el voltaje de campo del generador para producir componentes de par de sincronización y de amortiguamiento suficientes, que permitan mejorar la estabilidad debido a pequeñas perturbaciones en el sistema. Para lograr esto algunos sistemas de excitación son provistos de un estabilizador de potencia (PSS), que proporciona señales de estabilización auxiliares, en adición a la señal de error del voltaje en terminales, para controlar el voltaje de campo y de esta manera amortiguar las oscilaciones del sistema.

Existen diversos tipos de sistemas de excitación, los cuales pueden ser clasificados dentro de las siguientes categorías:

 Sistemas de excitación de corriente continua

 Sistemas de excitación de corriente alterna con rectificadores giratorios (sin escobillas, “brushless”).

 Sistemas de excitación con rectificadores estáticos.

Estos tres tipos están presentes en las unidades de generación del SIN y los modelos desarrollados por IEEE serán utilizados para su modelación. La figura 5.4, muestra la representación general de los sistemas de excitación.

Figura 5.4. Representación General de un Sistema de Excitación

5.2.3. Motores Primos y Sistemas de Control

El modelo del control de la potencia mecánica será subdividido de acuerdo con los sistemas físicos que están involucrados en el proceso de la producción y dinámica de la potencia mecánica. Estos subsistemas son la turbina y el controlador de velocidad ó gobernador.

 

Vref

Estabilizador del sistema de potencia

Límites y circuitos de protección

Transductor de voltaje en terminales y compensador de

carga

Generador

Regulador Excitatriz

El primotor que impulsa un generador puede ser una turbina de gas, vapor o una hidráulica. El modelo del primotor debe relacionar la posición de la válvula que regula el flujo de vapor o agua y la potencia mecánica de salida de la turbina.

El sistema gobernador se encarga de sensar la velocidad de la máquina o la frecuencia eléctrica, y ajustar la posición de la válvula reguladora de tal forma que la velocidad y la frecuencia eléctrica regresen a sus valores nominales luego de producida una perturbación en la red. El gobernador se compone de un sensor electrónico y sistema compuesto generalmente por una parte mecánica, una eléctrica y otra hidráulica para ajustar la posición de la válvula.

La figura 5.5 representa el diagrama de bloques general empleado para representar un regulador de velocidad asociado a una turbina térmica a vapor (T4 = 0) o una turbina hidráulica (T4 ≠ 0).

Figura 5.5. Modelo de un regulador de velocidad de turbina térmica/hidráulica

5.2.4. Cargas Eléctricas

Los transitorios asociados con la red de transmisión decaen muy rápidamente. Por lo tanto es usualmente adecuado considerar la red, durante las condiciones electromagnéticas transitorias, como si pasaran directamente de un estado estable a otro. Para el análisis convencional de estabilidad transitoria, la representación del modelo de la red es similar al utilizado en el análisis de flujos de carga. La forma más conveniente de la representación de la red es utilizando el método de corrientes nodales. La corriente nodal (Ii) y la tensión nodal (Vi) están descritas por la relación lineal de la ecuación (5.1) en el marco de referencia complejo de la red:

V

Y

I



*

(5.1)

El vector (I) está compuesto por las (n) componentes reales e imaginarias de las corrientes inyectadas (Ii). Los elementos de la matriz (Y) se obtienen por el conocido proceso de formación de la matriz de admitancia nodal.

Modelo de la carga estática

El modelo de la carga estática expresa la característica de la carga en cualquier instante del tiempo como una función algebraica de la magnitud del voltaje de barra y la frecuencia en ese instante.

La componente de la potencia activa (P) y la componente de la potencia reactiva (Q) son consideradas separadamente.







K

f



V

V

Q

Q

f

K

V

V

P

P

qf b o o pf a o o





































1

1

(5.2)

Con los exponentes a y b igual a 0, 1, o 2, el modelo representa una característica de potencia constante, corriente constante, o impedancia constante, respectivamente.

En la ecuación (5.2),



f

es la desviación de la frecuencia



f



f

_o



. Los valores típicos de Kpf están en los rangos 0 a 3, y Kqf está entre los rangos de –2 a 0. La frecuencia en las barras

f

no es una variable de estado en el modelo del sistema usado para el análisis de estabilidad. Por lo tanto está es evaluada mediante el cálculo de la derivada del ángulo del voltaje de barra respecto del tiempo.

Las cargas estáticas son representadas como parte de las ecuaciones de la red. Cargas con características de impedancia constante son incluidas en la matriz de admitancia nodal. Las cargas no lineales son modeladas como funciones algebraicas de la magnitud del voltaje y la frecuencia, dadas por la ecuación (5.2), y son tratadas como inyecciones de corriente en el nodo apropiado de acuerdo a la ecuación (5.1). El valor de la corriente de nodo desde tierra a la red es:

* L L L L

V

jQ

P

I







(5.3)

Donde

V

_L* es el conjugado del voltaje de la barra de carga, PL y QL son las componentes de potencia activa y reactiva de la carga, que se calculan mediante la ecuación (5.2). Para una carga inductiva QL es positiva.

Para el cálculo de la red es conveniente modificar la matriz de admitancia nodal (Y) de la siguiente forma. Las admitancias del generador, así como las admitancias de la carga con características de impedancia constante son introducidas directamente a los elementos diagonales de la matriz (Y), la matriz de admitancia nodal modificada es denominada (YN), y la ecuación de la red es idéntica a la ecuación (5.2), la cual en notación matricial puede ser escrita como:

V

Y

I



N

*

(5.4)

5.3. CONDICIONES INÍCIALES Y PARAMETRIZACION DE MODELOS

En el análisis de estabilidad transitoria se debe resolver un conjunto de ecuaciones algebraicas y diferenciales con valores iníciales conocidos. El análisis de flujos de potencia proporciona los valores iníciales de las variables de la red, incluyendo la potencia activa y reactiva entregada por el generador, así como también la tensión en terminales.

















q aq q q d fd ad d d ad fd fd ad fd fd fd fd ad d d q a q fd d a d q q a q d i t q i t d i t q i t d t q t a t t a t q i t t t t t t t

i

L

i

i

L

i

L

i

L

L

i

R

e

X

i

X

i

R

e

i

i

R

e

i

R

e

I

i

I

i

E

e

E

e

I

X

I

R

E

I

R

I

X

I

E

P

E

Q

P

I

























































































  2 1 1 1 1 2 2

cos

sin

cos

sin

sin

cos

sin

cos

tan

cos





































(5.5)





d d d d q q q q

i

X

i

X

''

"

''

"





















Ejemplo 5.2

Para describir el comportamiento transitorio del generador sincrónico de la central Yanacachi se utiliza el modelo Gensal (Ver Figura 5.2), cuyos parámetros son los presentados en el ejemplo 5.1. y los datos generales de la central se muestran en la siguiente Tabla.

DATOS GENERALES

MAGNITUD SÍMBOLO UNIDAD VALOR

Voltaje Nominal Vnom kV 11.50

Potencia Aparente Nominal Snom MVA 58.675

Frecuencia Nominal f Hz 50

Velocidad de rotación nominal n r.p.m. 750

Factor de Potencia Nominal cos ϕ - 0.85

Potencia Nominal Pnom MW 51.0

Potencia reactiva máxima (a Pnom y en sobreexcitación) Qmáx MVAr 26

Determinar la respuesta del sistema para una incremento del 10% del voltaje del sistema de excitación (Efd), considerando que la central Yanacachi operaba en el bloque de alta previo al evento, con los siguientes parámetros:

P = 46 MW, V = 11.5 kV, Q = 5 MVAr (sobreexcitado)

La función de transferencia del bloque integrador en el eje de cuadratura del modelo Gensal (Figura 5.2) tiene la siguiente relación matemática:







L

_q

L

_q



i

_q



_q



T

_qo

s

q















''

1

'

'

''

''





La anterior ecuación en el dominio del tiempo considerando que el operador (s) de La Place es d/dt, es la siguiente:



_{ }

_

_

_

q q

q q q

qo

L

L

i

dt

d

T

''





''





''









''

Cuando el sistema es estable (condición de pre-falla), los valores como φ’’q son constantes y por lo tanto la derivada de un valor constante será cero y en base a este criterio es posible obtener los valores de pre-falla de cualquier función de transferencia, encontrando que:







'

'

q

 



L

q



L

''

q





i

q

El diagrama de bloques del eje de cuadratura del modelo Gensal, puede ser representado en simulink de la forma siguiente:

Figura E2.1 Diagrama de bloques del eje de cuadratura – Modelo Gensal

En el cuadro de dialogo del bloque integrador, permite introducir la condición inicial de la variable de estado resultante que para la Figura E2.1 es (φ’’q). A partir de las ecuaciones (5.5) se determina los siguientes valores iníciales del generador utilizados en el modelo Gensal:

id = 0.28 iq = 0.41 Efd = 1.5 E’q = 1.1 φ1d = 1 φ’’q = 0.24

La gráfica resultante del sistema es mostrada a continuación, considerando la perturbación realizada luego de 10 s. Es importante señalar que la respuesta del sistema para el eje directo presenta una pequeña desviación, debido a la saturación del flujo del entrehierro.

 

-FIq'' iq

ed

-K-Xq-Xq''

-C-Iq

1 s Integrator

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.2

0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2

Fuerza Electromotriz vs. Tiempo

Tiempo (segundos)

V

ol

taj

e (

p.

u.

)

Voltaje Inducido eje directo Voltaje Inducido Eje de cuadratura

Figura E2.2 Respuesta del voltaje inducido en el eje directo y de cuadratura ante un incremento del 10% del voltaje del sistema de excitación

5.4. OPTIMIZACIÓN DE MODELOS MEDIANTE EL USO DE SUBSISTEMAS

Con la finalidad de mejorar la representación de un sistema grande, es posible representar un sistema como el modelo Gensal dentro de otro sistema, para esto se usa la librería “Port & Subsystem”, esto permite también crear un cuadro de dialogo para las variables del sistema interno y graficar la forma deseada para el bloque principal que contiene al ahora denominado Subsistema.

Ejemplo 5.3

Representar el Modelo Gensal de la Figura 5.2, como un subsistema con una entrada igual al voltaje de campo (Efd) y salidas iguales a φ’’d y φ’’q, como se muestra en Figura E3.1 y con un cuadro de dialogo similar al mostrado en la Figura E.2, en base a los parámetros necesarios para modelar al generador.

Figura E3.1 Representación del Generador con Subsistemas

YAN

Fi''q Fi''d

Figura E3.2 Cuadro de Dialogo para la representación del Generador con Subsistemas

El subsistema se obtiene copiando el bloque “Subsystem”, de la librería “Port & Subsystem” al archivo (Model) y copiando el diagrama de bloques del modelo Gensal dentro del bloque “Subsystem”, definiendo las variables de entrada y de salida con los bloque Inport y Outport, que aparecen por defecto dentro del bloque “Subsystem” al hacer doble click sobre él.

Para el formato requerido, haga click con el botón derecho del mouse sobre el bloque “Subsystem” e ingrese a “Mask Subsystem”. En la pestaña de Icono (Icon) ingrese el siguiente comando:

plot(x,y,x,y1,x1,y2,xr,yr,xv,yv)

y en la pestaña Inicialización (Initialization) ingrese las siguientes sentencias:

x=-5:0.025:5; y=sqrt(25-x.^2); y1=-sqrt(25-x.^2); x1=-pi:.1:pi; y2=sin(x1); xr=[5,6.25]; yr=[0,0]; xv=[6.25,6.25]; yv=[-2,2];

Figura E3.2 Cuadro de Dialogo para la representación del Generador con Subsistemas

Finalmente los parámetros internos del Modelo se generan en la pestaña Parámetros (Parameters).

6. CONTROL DE POTENCIA ACTIVA Y FRECUENCIA  

6.1. FUNDAMENTOS DE CONTROL DE FRECUENCIA

La frecuencia del sistema de potencia depende del balance de la potencia activa. Los cambios en la frecuencia ocurren porque varía aleatoriamente la carga del sistema a lo largo del día de manera que no se puede asegurar una predicción exacta de la demanda real de potencia.

Con el fin de compensar variaciones de potencia en el sistema ante variaciones en la demanda o por contingencias, los reguladores de velocidad realizan la regulación primaria de frecuencia en forma automática modificando la potencia de generación de las unidades en operación. La regulación primaria permite estabilizar la frecuencia del sistema, pero no logra eliminar el error en estado estable, o desplazamiento (offset), y la frecuencia final del sistema será diferente a la nominal. El error en estado estable de la frecuencia del sistema depende del efecto combinado del estatismo permanente de los reguladores de velocidad y la sensibilidad de la carga para variaciones de frecuencia.

Considerando un sistema con “n” generadores y una constante de amortiguamiento compuesto de la carga (D), el error en estable de la frecuencia (



f

_SS) seguido a un cambio de carga (



P

_L) está dado por:

D

R

P

f

eq L SS











1

Con:

n eq

R

R

R

R

R

1

...

1

1

1

1

3 2 1











Donde, Ri son los estatismos permanentes de las unidades en operación.

Con el fin de complementar la Regulación Primaria de Frecuencia, se realiza el control suplementario cuya función es restaurar el intercambio de potencia a los valores programados y también restaurar la frecuencia del sistema al valor deseado.

El control de la potencia generada y la frecuencia es comúnmente conocido como control frecuencia/carga (load-frequency control LFC).

6.1.1. Modelo del Gobernador

 

Figura 6.1 Modelo del gobernador para un generador aislado

Para poder poner a trabajar generadores en paralelo se debe introducir una nueva señal para asegurarse que ambos operen a la misma frecuencia y que compartan los cambios de carga que se den de acuerdo a la capacidad de generación de cada uno. Esto se logra colocando un lazo de realimentación que toma la diferencia entre la posición de la válvula respecto a una posición de referencia para una carga determinada y la multiplica por el estatismo permanente (R) del gobernador. El parámetro R del gobernador es un valor en unidades Hz/MW que cambia la pendiente de la característica frecuencia en función de la potencia activa del generador, que es típicamente similar a la siguiente.

Figura 6.2. Característica típica frecuencia-potencia activa de un generador.

Figura 6.3. Modelo del gobernador para generadores en paralelo.

El diagrama de bloques simplificado del sistema de control de la Figura 6.3, se presenta a continuación.

Figura 6.4. Modelo del generador, la carga, el primotor y el gobernador.

6.1.2. Modelo de las líneas de interconexión de áreas

Las líneas de interconexión de áreas transmiten potencia de un área a otra (Ptie) según un programa previamente determinado. En caso de contingencias (aumento considerable de la carga o pérdida de generación) se introduce una variación ⌂Ptie en el flujo de potencia entre áreas. Esta desviación del valor nominal o programado para ese momento se puede expresar como una función de las desviaciones de los ángulos de fase de las maquinas de cada área.

 

La potencia consumida en un área debe ser igual a la potencia generada en el área mas la potencia que el área recibe a través de las interconexiones con áreas vecinas. Para entender mejor el concepto, considere dos áreas con un generador cada una como se muestra en la Figura 6.5, pero en este caso se interconectan las áreas mediante una línea. Este sistema interconectado puede ser representado con el siguiente diagrama de bloques.

Ante un cambio de carga PL en el área 1, las dos áreas registraran una variación en la frecuencia y cuando en sistema se estabilice y regrese a régimen permanente, la frecuencia será constante e igual en ambas áreas.

6.2. CONTROL AUTOMÁTICO DE GENERACIÓN EN SISTEMAS INTERCONECTADOS Y

SISTEMAS AISLADOS

Con el propósito de tener control del sistema, este se subdivide en áreas de control que, generalmente forman las fronteras de una o más compañías. El intercambio neto de potencia en las líneas de interconexión de un área es la diferencia algebraica entre la generación del área y la carga del área (más las pérdidas).

Los objetivos principales del control automático de la generación (Automatic generation control / AGC) son la regulación de la frecuencia al valor nominal especificado y mantener el intercambio de potencia entre las áreas al valor programado, mediante el ajuste de la potencia de salida de los generadores seleccionados.

Como objetivos adicionales del AGC, se desea que el error acumulado (integral del error) tanto para la frecuencia como para los intercambios de potencia sean cero o por lo menos que sean acotados. Como último objetivo, se puede incluir en el AGC criterios de despacho económico.

El AGC actúa entre 30 segundos y 15 minutos después de una gran perturbación. La redistribución de potencia se basa en un criterio totalmente distinto al del gobernador. El AGC es un control descentralizado que opera en cada área de control y no recibe señales externas, sólo toma en cuenta las mediciones locales de frecuencia y flujo de potencia en las líneas de interconexión.

Para hacer el error de la frecuencia igual a cero se debe incluir un control integral al gobernador que ajuste el valor de la potencia de entrada del generador.

)

(

)

(

f

s

s

K

s

P

I

ref









Para lograr los objetivos anteriores se debe definir además para cada área una señal de error llamada Error de Área de Control (ACE) que tiene una componente proporcional al error en la frecuencia del área y otra componente proporcional al error de los intercambios de potencia comprometidos con esa área. Esta señal de error se introduce después a un integrador para garantizar que se van a variar las potencias de entrada a los generadores hasta que el error del área sea cero. El ACE se define como

)

(

s

f

B

P

ACE





tie







Donde B es una constante propia de cada área de generación llamada frequency bias. La selección de KI y B en las expresiones anteriores afectan la velocidad y estabilidad de la respuesta. El valor de B debe ser suficientemente alto para que todas las áreas contribuyan adecuadamente al control de frecuencia. La ganancia del integrador (KI) tiene unidades de Hz/MW e indica la rapidez con que disminuye el error de la frecuencia. Sin embargo existe una cota para su valor para evitar que el sistema se vuelva inestable.

Figura 6.6. Sistema de control de frecuencia para dos áreas interconectadas.

En un sistema de potencia aislado, mantener el intercambio de potencia entre áreas ya no sería una función del AGC. Por lo tanto la función del AGC es restaurar la frecuencia al valor nominal especificado. Esto es realizado añadiendo un control integral o de reajuste (reset), el cuál actúa sobre el ajuste de la variación de carga de referencia (setpoint) de los reguladores de velocidad de las unidades con control suplementario. La acción de control integral asegura que el error en estado estable de la frecuencia será cero.

6.3. RECHAZO DE CARGA POR BAJA FRECUENCIA

6.3.1. Factores que influencian la disminución de la frecuencia

Considerando que en el área separada se ignora la operación de los reguladores de velocidad para la activación de la reserva rotante, la magnitud a la cuál disminuye la frecuencia en el área aislada y la velocidad de variación de la frecuencia dependen principalmente de tres factores: la magnitud de la sobrecarga o transferencia



L

, la constante de amortiguación de la carga D aplicable a la

carga final del área, y la constante de inercia equivalente Meq que representa la inercia rotacional

total de los generadores en el área. En forma matemática la variación de la frecuencia puede ser determinada mediante la siguiente fórmula:

K

e

L

f

T

t

)

1

(













Donde: K = 1/D y T = Meq/D

La constante de amortiguamiento de la carga es expresada como un porcentaje de cambio en la carga para un 1% de cambio en la frecuencia. Valores típicos para SEP están entre 1% y 2%, para nuestro caso se usará un valor de 1.8%, que representa que un 1% de cambio en la frecuencia causara un 1.8 % de cambio en la carga.

Con la finalidad de realizar el análisis de un SEP, es necesario normalizar las variables Meq y D con ayuda de las siguientes ecuaciones:







n

i i

eq

M

M

1

;

B i maq i maq i

S

S

H

H



₍₎ () ;

B

S

L

D



1

.

8



En las graficas siguientes se presenta la respuesta de la frecuencia de un sistema con déficit de generación para diferentes valores de transferencia, constante de amortiguación y constante de inercia equivalente; donde se observa que la magnitud a la cual disminuye la frecuencia en el área aislada es fuertemente influenciada por la magnitud de la transferencia (potencia importada por la red).

Figura 6.1. Respuesta de la frecuencia del sistema con deficiencia de generación para diferentes valores de Meq, con D=1.8 y



L

=0.1 p.u.

Figura 6.2. Respuesta de la frecuencia del sistema con deficiencia de generación para diferentes valores de D, con M=10 y



L

=0.1 p.u.

 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

47 47.5 48 48.5 49 49.5 50

tiempo (s)

F

rec

ue

nc

ia

(

H

z)

Variación de la frecuencia debido a deficiencia en la Generación

Meq=10 Meq=8 Meq=5 Meq=2

 

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

46.5 47 47.5 48 48.5 49 49.5

50 Variación en la frecuencia debido a la deficiencia en la Generación

tiempo (s)

F

rec

ue

nc

ia

(

H

z)