2. Potenciación y Expresiones algebraica

(1)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 1

EXPRESIONES ALGEBRAICAS (POLINOMIOS)

Una variable es una letra que representa cualquier número de un conjunto dado de números. Al combinar letras con números y realizar las cuatro operaciones básicas, la potenciación y la radicación obtenemos las expresiones algebraicas. Algunas de ellas son:

4 6

3x2 x 3x14

1 3 2

  y

y y

Polinomios: Un polinomio en la variable x es una expresión de la forma 0

1 1

1x a x a

a x

a_n n  _n_ n  

Donde a_n,a_n_₁,a₁,a₀son números reales, y n es un entero no negativo. Si a_n 0entonces el polinomio es de grado n.

Término. Es la expresión algebraica que consta de un solo símbolo o de varios no separados entre sí por el signo o. Así, x 6b 3xy

b a 7 5

5 x2 son términos.

Las partes de un término son cuatro: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

Las expresiones algebraicas se clasifican en monomios y polinomios.

Monomio, es la expresión algebraica que consta de un solo término

Polinomio, es la expresión algebraica que consta de más de un término.

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Se pueden sumar y restar polinomios aplicando las propiedades de los números reales, teniendo en cuenta que sólo se pueden combinar términos con la misma variable elevada a la misma potencia utilizando la propiedad distributiva. Ejemplo:

a)



5x22x3

 

 7x3x25x1



5x22x37x3x25x1 7x34x27x2

b)



5x22x3

 

 7x3x25x1



5x22x37x3x25x1 7x36x23x4

PRODUCTO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para hallar el producto de expresiones algebraicas se utiliza la propiedad distributiva de forma repetida, multiplicando primero los signos, luego los coeficientes y finalmente la parte literal teniendo en cuenta las propiedades de los exponentes. Ejemplo:

2 3 3

4 2

2

6 10 6

10 ) 3 5 )( 2 2

( x  x x  x  x  x  x  x Propiedad distributiva 2

3 4

6 4

10x  x  x

 Agrupación de términos semejantes

(2)

Calcular Respuesta Calcular Respuesta

1)

) ( ) (x Q x

P  2 5 3 1

2

3_ _ _

x x

x 2) P(x)Q(x) 2x35x23x3

3)

) ( ) (x R x

P  5 4 1

2_ _ x

x 4) R(x)Q(x) 2x3x2

5) P(x)Q(x) ₁₀ 5_₆ 4_₄ 3_₅ 2_₃ _₂ x x x x

x 6) P(x)R(x) 5x32x2x2

7) Q(x)R(x) ₂ 4_₂ 3_ _₁ x x

x 8) P(x)Q(x)R(x) 10x64x52x4x32x2x2

Dados los polinomios P(x)7x46x26x5 Q(x)2x223x5 R(x)x3x53x2

1) P(x)Q(x) ₃ 5_₇ 4_₄ 2_₆ _₇ x x x

x 2) P(x)Q(x) 3x57x48x26x3

3)P(x)Q(x)R(x) ₂_x5_₇_x4__x3_₇_x2_₆_x_₇ ₄₎_P₍_x₎_Q₍_x₎_R₍_x₎ _₂_x5_₇_x4__x3_₅_x2_₆_x_₃

5)R(x)P(x)Q(x) _₄ 5_₇ 4_ 3_₁₁ 2_₆ _₃ x x x x

x 6)P(x)R(x)Q(x) 4x57x4x3x26x7

Dados los polinomios P x x x

3 5 2 3 )

(  2

4 3 3 1 )

(x  x2

Q R x x x

3 2 2 5 )

(  2

1) P(x)Q(x)

4 3 3 5 6

11 2_ _ x

x 2) P(x)Q(x)

4 3 3 5 6

7 2_ _ x x

3)P(x)Q(x)R(x)

4 3 3 7 6

13 2_ _ x

x 4)P(x)Q(x)R(x)

4 3 3

4 2_ _

 x x

5)R(x)P(x)Q(x)

4 3 3 7 3

11 2_ _ x

x 6)P(x)R(x)Q(x)

4 3 3

2 2 _ _

 x x

7) P(x)Q(x)

x x x x

4 5 8 9 9 5 4

1 ₄ ₃ ₂

 

 8) P(x)R(x) 4 3 2

9 10 6

31 4

15

x x

x  

9) Q(x)R(x)

x x x

x

2 1 8

15 9

2 6

5 ₄ ₃ ₂

 

 10) P(x)Q(x)R(x) x x x x

12 7 8

11 9

5 4

1 ₄ ₃ ₂

 



11) P(x)R(x)Q(x)

4 3 9 7 6 31 4

15 4_ 3_ 2_

x x

x 12) Q(x)R(x)P(x) x x x x

6 7 8 3 9 2 6

5 4_ 3_ 2_

Realizar los siguientes productos.

1)



xy



xy



2 2 2xy y

x   ₂₎



xy



xy



x2y2 3)



xy





x2xyy2



x3y3 ₄₎



x y





x2xy y2



x3y3 5)



xa



xb



_x2 _x₍_a_b₎_ab

(3)

Ejercicios de aplicación

Escribir una ecuación para cada enunciado

1) Si a un número x, se le resta 20 y se le dobla el resultado, se obtiene 10. R/.2(x20)10

2) El triple de un número x, coincide con el valor obtenido al sumarle 10 unidades. R/.3xx10 3) La mitad de un número coincide con el valor que se obtiene al restarle 11. R/.x 2x11

4) El antecesor de un número cualquiera. R/.x1 5) El sucesor de un número cualquiera. R/.x1 6) 3 veces la diferencia de dos números. R/.3(x y)

7) El doble de un número menos su cuarta parte. R/.2xx 4

8) La cuarta parte de un número más el sucesor. R/.x 4



x1



9) Perímetro de un cuadrado. R/.4 x 10) Un número par. R/.2 x

11) Un número impar. R/.2x1 12) Un múltiplo de 7. R/.7 x

13) El quíntuplo de un número más su quinta parte. R/.5xx 5

14) La edad de una señora es el doble de la de su hijo menos 5 años. R/.2x5 15) Un tren tarda tres horas menos que otro en ir de Madrid a Barcelona. R/.x3 16) Un número menos su mitad más su doble. R/.xx 22x

17) El opuesto de un número. R/.x 18) El inverso de un número. R/.1 x

19) Veinticinco menos el cuadrado de un número. R/. 2

25x 20) El cuadrado de un número menos su cuarta parte. R/.x2x 4

21) La suma de un número al cuadrado con su consecutivo. R/.x2



x1



22) La suma de un número con su consecutivo al cuadrado. R/.x



x1



2

23) La diferencia de dos números impares consecutivos. R/.



2x3

 

 2x1



24) Restar 7 al duplo de un número al cuadrado. R/.2x27

25) El 25% de un número. R/.₁₀₀25 x

(4)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 4 27) ¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8? R/.x38

28) Las tres quintas partes de un numero aumentado en un cuarto. R/.₅3_x1 4

29) La suma entre un número par y el triple del siguiente par. R/.2x3



2x2



30) El producto entre el doble de un número y la tercera parte de su consecutivo. R/.2x₃x1

31) La tercera parte de un número aumentado en 10. R/.x 310

32) Las dos terceras partes de la suma de dos números. R/.₃2



x y



Calcular el perímetro y el área de cada rectángulo.

33) 34) 35)

R/. ₂

6 10

a A

a P

 

R/.

n m A

mn m P

2

16 8 8

  

R/. 2 2

21 10

29 20 6

y x

xy A

y x P

 

  

Calcular El perímetro.

36) 37) 38)

R/.P5c _R/.P11m _R/.P16y

39) 40)

R/.P10x4y R/.P10



xy



2a 3a

4m

4mn 7y – 2x

5x + 3y

m

x+y

2c

c

m 2m

3m

2y

y

3y y

x

y x+y

x

y

(5)

EXPONENTES

Y

RADICALES

POTENCIACIÓN: Si a es un número real cualquiera y n es un entero positivo, entonces la potencia n-ésima de a es an aaaa

El número a se denomina base y n es el exponente.

Propiedades de la potenciación.

Para todo a,bRy m,nZse cumplen las siguientes propiedades:

1) Un número elevado a 0 es igual a 1 a0 1

2) Un número elevado a 1 es igual a sí mismo a1 a

3) Producto de potencias de igual base: aman amn

4) Producto de potencias de igual exponente: (ab)n anbn

5) Cociente de potencias de igual base: a  ,con a0 a

a m n

n m

6) Cociente de potencias de igual exponente:  , 0 

   

 con b

b a b

a n

n n

7) Potencia de una potencia:

 

a n m anm

8) Axioma de igualdad: si ab entonces an bn

Signos de una potencia.

Las potencias de exponente par son siempre positivas   

  

  

par par

) (

Las potencias de exponente impar, tienen el mismo signo de la base   

  

  

impar impar

) (

Exponentes negativos

Cuando se tiene un exponente negativo an entonces se hace lo opuesto a multiplicar (La división es la inversa (opuesta) de la multiplicación). En otras palabras, un exponente negativo, nos indica cuantas veces dividir por ese número.

(6)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 6 5

1 5 1 51  

3 3 3

5 1 5 1 5   

Entonces para cambiar el signo negativo a positivo o positivo a negativo se usa el inverso, es decir, _n a

1

Nota: en las respuestas el exponente se expresa como un número positivo.

Escribir en forma de una sola potencia: E j e r c i c i o Respue

sta

E j e r c i c i o Respue sta

E j e r c i c i o Respues ta

1) 33343 3 8 ₂₎5753 5 4 ₃₎

 

3 4

5 5 12

4)

 

2 4 3 5 _ 

 24

5 5) 25242 210 6) 2723 210

7)

   

0 5 4 4 3

3 2 _ 

 1 ₈₎





7

4 2

4  235 9)

     

2 2 2 3 2 4 29

10)



 

5 2



3

   

53 54 5 ₁₁₎ 3 9 6

6 6 6

12) 5 ₅52 ₅5 8 4 6

 

 15

5

13)

      

8 2 2 2 0 2 26 ₁₄₎

     

32 33 3 4 39

15)

   

3 5 2 2 3

  

_a _a 48

a

16)

 

4 5

10 2

1

 17)

 

54

4

5

1 ₁₈₎ 4

5 

4

5 1



19)



15



1

15 1

 20)



16



5

20 2

1

 21)



16



6

24 2

1

22) 35 35 ₂₃₎

 

35 35 ₂₄₎

 

82

6 2

1

25)

 

323 2 230 26)

  

2x 2x 1 27)



125



4 ₁₂

(7)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 7 Escribir en forma de potencia los siguientes números.

E j e r c i c i o Respuesta E j e r c i c i o Respuesta E j e r c i c i o Respuesta

1 ) 16 4

2 2 ) 256 28 3 ) 243 ₃5

4 ) 625 4

5 5) 1000 10 3 6) 2401 7 4

7) 4096 12

2 8) 10000000 10 7 9) 78125 5 7

10) 16807 5

7 11) 531441 3 12 12) 262144 218

Simplificar

1) ₂ 4 3 6 3 2 18 2)

   

3 2 5 5 2 3 3 2 3 2 2 5 6 2 5

3) ₁ ₅ ₃ 4 2 3 5 9 16 3      30 4) ₃ 4 3 2 abc c b

a ab2c

5) 9 . 3 . 8 . 2 3 . 9 . 3 . 4 . 2 3 5 2 1 2 4      9 4 6) ₂ 2 4 10 . 6 10 . 2 . 10 .

3  ₁

7) ₆ ₃ ₄ ₅ 7 4 5 8 3 3 c a b c b

a 9abc2 ₈₎

3 4 4 7 b a b

a a3b

9) ₅ ₄ ₂ 6 4 3 7 5 5 my z z y

m



5myz



2

10) ₄ ₃ ₂ 1 3 5       c b a c b a a c

11) 2 3 4 5 7 3 5 2 3 3      c a b c b a 6 12 9 b c a

12) 3 4 2 6 2 3 2 5 5 rz t z r t     3 7 4 5 r t z 13) 5 4 . 9 5 . 2 . 3 3 3 2 5 6 2 5

14) ₁ ₅ 1 4 3 . 5 9 . 16 . 3   27 80

15) ₅ ₂ ₁ 7 4 3     c b a c b a 6 8 2 b c a

16) ₄ ₃ ₄ ₂ 2 3 5 5 3 3      o n m o n m 2 4 3 m no

17) 7 3 4 5 5 4 5 5 5 5       z y x z y x 2 25 x 18) 2 2 2 3 7 3 4 5 6 5 5            z y x z y x 10 12 4 25 z y x 19) 2 2 6 4 3 4 2 32 192          z y x z y x 10 12 20 36 z x y 20) _        1 1 n n n n y x y x x y

21)



₂_x12_y32



2 4xy3

22) 2 3 3 5 2 3 6 5 3 2          y x y x 4 15 4 5 1 y

(8)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 8 25) ₁ ₁

1 1 3 2 2 3       5 26) 3 2 3 2 . 3 2             5 3 2       27) 3 2 3 2 . 3

2  

            5 2 3       28) 3 2 3 2 3

2  

             3 2 29) 3 2 3 2 . 3 2              3 2 30) 3 2 3 2 2

3  

             5 3 2       31) 3 2 2 3 . 3

2  

            3 2 32) 3 2 3 2 3 2            

  5

2 3       33) 3 2 10 1 10 1 10 1               6 10 1       34) 11 5 4 5 2 5 2 5 2                       20 2 5       35) 3 2 8 27 9

4  

             13 2 3       ₃₆₎

   

₁ 1

1 1 1 5 25 5 5       _n n n n n n 25 1 37) 3 2 5 5 2 3 0 5 27 8 3 2 3 2 2 3 16 81 3 2 3 2 3 2                                                            15 2 3       38) 7 1 5 5 1 4 1 3 1 2 1 2 1 7 2 4 5 7 6 9 2 3 5 1 2 3 1 2        _ _ _       _ _ _                 7 6

39) 2₂ 1 2₂ ₁7 3       n n n n

7 40)

   

 



₁



1

) 1 ( 2 2 3 1 2 27 243 81 3 3 3       

 _n n

n n n n n n n 9 41) _      _                                2 5 1 2 1 1 3 2 13 9 1 3 2 2 10

 ₄₂₎

                                          

 1 2 2 1

2 3 3 1 2 3 2 2 1 44 153 43)                                      

    2

2 1 2 2 3 2 9 4 1 3 1

5 7 44)

                                     

    2

2 1 2 2 3 2 9 4 1 3 1 5 0 45) 2 1 2 2 ) 1 ( 3 8 6 2 4 1 3 2 6 1 3

2  _

                      

  _13₉

46) 2 2 10 1 2 2 1 5 6 1 2 1 5 2                            

  ₂5

RADICACIÓN

R A D I C A C I Ó N : S i n es un entero positivo, entonces la raíz n-ésima principal de a se define como sigue:

(9)

Propiedades de la radicación.

Para todo a,bRy m,nZ con n1se cumplen las siguientes propiedades:

1) Producto de raíces de igual índice: n anbn ab excepto cuando a y b son ambos negativos y n es par

2) Producto de raíces de igual radicando: n ama mnanm

3) Cociente de raíces de igual índice:  ,con b0 b

a b a

n n n

4) Cociente de raíces de igual radicando:  a  ,con a0 a

a mn n m n

m

5) Raíz de una raíz n ma nma

6) Simplificación de radicales: nmamq n aq

7) Axioma de igualdad: si ab entonces n a n b

8)    

impar n Sí a

par n Sí a a

n n

9) Exponentes radicales amn n am_{si n es par}_a₀ H a l l a r l a r a í z d e

1 ) 1024 32 2 ) 51024 4 3 ) 53824 232

4 ) 44100 210 5) 3 216 6 6) 1728 24 3

7) 24336 156 8) 65536 256 9) 4 65536 16

10) 31728 12 11) 4 6561 9 12) 6 4096 4

1 3 )

 

417 4 17 14)

 

3 8 2 4 15) 7 (4)7 4

16) 4 (5)4 5 17) 416 3 8 18) 5 (243)2 9

(10)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 10 22.) 81100 90 23.) 3 216125 30 24.)3 27343512 168

25.) 144x36x25 360 26.)6 (a2)5.(a3)8.a2 a6 27.) 3 435326 80

28.) 9b6c2 3b3c 29.) 3 27m9y3 3m3y 30.) 5 32ab10c15 2b2c35 a

31.) 6 6 18 24 64p q r

p r q3 4

2 _32.) 2 1 4

121a b c

b a

c 1

11 2 33.) 3 3 12

064 0, y x

4

5 2

yx

34.) 316a3m6 2am23 2 35.)4 3 10 9 y c b

4 2 3 2 2

y c b y

c 36.) 3 27a3b9c12 3ab3c4

37.) ₁₀ ₄ 6 2 81 25

x a

n m

2 5

3 9

5 x a

mn

38.) ₂ ₆ 8 2 2

144 81

y x

c b a

3 4 4 3

xy abc

39.) 5 15 5

1 y x



3 1 xy 

R e a l i z a r l a s s i gu i e n t e s o p e r a c i o n e s c o n r a d i c a l e s

E j e r c i c i o Respuesta E j e r c i c i o Respuesta

1 ) 2 24 2 2  2 2 ) 345245245 4 5

3 ) 123 32 75 9 3 4 ) 4 46 81264 2

5 ) 2 123 75 27 8 3 6 ) 245 6 486 6 6

7 ) 2 5 45 180 11 5 _{8 )}3 543163 250 632

9 ) 18 50 2 8 7 2 _{1 0 )} 20 456 5 5 5

1 1 ) 24 54 150 4 6 _{1 2 )} 27 300 12 11 3

1 3 ) 20 2453 5 2 5

1 4 )

3 2 4 3 18 3

8 _ _

3 6

1 5 )

5 49 5

81 5

9 _ _

5 5

1 6 )

128 12 2 50 27 18

75 _ _

60 6 17

1 7 ) 180

2 1 125 4 3 45

2  

4 5 3

 1 8 ) 72

6 1 48 4 3 18 3 1 12 2

(11)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 11 1 9 ) 3 3 3 2

3 2 2 4 1 2 2

1 _ _ 3

2 12

1

2 0 )

18 8

2

y y

y _ _



12 2

5 y



2 1 ) 731633 5423128 153 2 _{2 2 )} ₅ 5 1 5 3 2 5 5 3 5 3

1 _ _ _

5 15

7

2 3 ) 2 6 2 3 2 4 ) 3 23 32 4 2 5 ) 3 23 4 2

2 6 ) 3 234 2 27) 3 8 4 4 28) 3 8 2 6

2 9 ) 434 27 3 ₃₀₎ 3 2 4 3 m m

m  m12m11 31)6 x4 9 x615x10 x2

32) 5 3x3 3x x1037x ₃₃₎ 4x3 4x2 616x3 4x6 4x4 34) 3 ab2 5 a2b3 b15a11b4

35)

21 7 2 14 2

1 _

6 36) 312x2 123 50x4 24x375

37) ₃ 3

8 27

2 3

3 8 ) ₆ 6

16

128 2

39) ₃ 3

2

2000 10

40)

25 4 16

9 _

10 3

41) 2 16

5 10 3

2

42) 2 4

3 6

2

43) ₃ 16

256 43 4

44) 3 3 5 8 27

5 _

3 2

45) 3

27 1728

 4

46) 3 729

4 ₃

47) 4 62 3 2 2

48) 4 20 3

6

4 25

49) 3

16 9 125

27m n 3

5 3 5 3

n n m

50) 4 20 10 81 32 y

x 4 2

5 2

2 3 2

x y x

51) 6

4 32

8 ₁₂

2 1

52) 3 5 3 4 3

xy y x

3 2 1 y x

53) 388311 2 54) 75x3y3 5 3xy xy 55) 3 81x2 33 3x2 1

56)

3 4 6

64x y 3

2 4

x y

x

57)

3 12 24 64a b

4 2

2a b

58)

3 2 3 3

2

5 xy  x y ₅_xy6 ₄_xy3

(12)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 12 E j e r c i c i o Respuesta E j e r c i c i o Respuesta E j e r c i c i o Respuesta

1) 5

15 ₃ ₅

2)

2 2

5

4 2

5 ₃₎

2 3

2

3 2

4) 3

3 1

3 9 3

5) 5

4 3

2

3 8 5

6)

2 1 2

2 2 3

7) 3₅

3

5 25

33 ₈₎

4 3 2 2

y

x xy

xy 4 2

2 ₉₎

3

3 2

x x

3 23 x2

10)

9 8

256 4

y y

y 9 ₂

2 ₁₁₎

3 ₂ 1

x _x

x 2 4 3 2

12) 3 x

x 6 x

Calcular el valor de las siguientes potencias

1) ₂₇23 9 ₂₎ ₁₆32 64 ₃₎ ₈23 4

4) 810.75 27 5) ₂₇13 3 ₆₎ ₉0.5 3

7) 2 1 9

3 1

8) 3 1 125

5 1

9) 3 2

64 16

10) 7290.3 9 11) 270.6 9 12) 80.333 2

13) 2560.125 2 14) 2430.2 3 ₁₅₎ 0.16 4096

4 1

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) En una caja hay 25_{docenas de huevos. Sí,}23están rotos, ¿Cuántos huevos sanos quedan en la caja? R/.288

2) Una tienda recibe 32cajas de chicles. En cada caja hay 43paquetes con 5 chicles cada una.

a) ¿Cuántos chicles ha recibido en total? R/.2880

(13)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 13 3) Clara compró ₅2

bandejas de flores. Cada bandeja tiene 32 flores. Si cada flor cuesta $1200 ¿Cuánto dinero ha gastado en total? R/.$270000

4) Una caja de jugos en botella tiene un valor de _$₆6_{, calcular el valor de cada botella, teniendo en cuenta que} la caja trae 2

6 unidades. R/.$1296

5) En la bodega de una guardería hay 73_{pelotas de colores, si las quieren repartir en un grupos de}72_niños.

¿Cuántas pelotas le corresponden a cada niño? R/.7

6) Una camioneta de reparto, entrega en 6 almacenes de lunes a sábado, “6 cajas con 6 bebidas cada una". ¿Cuántas bebidas reparte en una semana? R/.64 1296cajas

7) A un cubo de arista 4 le aumentaron los lados al doble. a) ¿Cuál es el volumen del cubo de arista 4? R/.64 b) ¿Cuál es el volumen del nuevo cubo? R/.512 c) ¿En cuántas veces aumenta el volumen? R/.8 veces Volumen del cubo = a 3, con a: medida de la arista.

8) Una bacteria cada hora se reproduce 10 veces más que la hora anterior. a) ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 4 horas? R/. 104 bacterias

9)En un almacén hay una pila de cajas de zapatos que tiene 25 cajas de largo, 25 de ancho y 25 de alto. Si cada par se vende en US $25 ¿Cuánto vale la pila? R/. US$390625

10) En un cajón hay 12 cajas de lápices, cada caja tiene 12 paquetes, cada paquete tiene 12 mazos y cada mazo tiene una docena de lápices. ¿Cuántos lápices hay en el cajón? R/.₂₀₇₃₆

11) ¿Qué número elevado a 5 es 243? R/.3

12) ¿Qué número elevado a 3 es 216? R/.6

13) ¿Cuál es el número cuyo triple de su cuadrado es 300? R/.10

14)Un terreno cuadrado tiene una superficie de 324 m2_{¿Cuánto costará cercarlo si el metro de valla cuesta 380} pesos? R/. 27,360 pesos R/.

15) Un propietario tiene un terreno cuyas dimensiones son 32 m de largo por 8 m de ancho, y quiere permutarlo por un terreno cuadrado de la misma superficie. ¿Cuál debe de ser el lado del terreno cuadrado? R/. 16 m

16) Una mesa cuadrada tiene una superficie de 841 dm2_{¿Cuánto mide su lado?}_R:_{29 dm}

(14)

Profesor: Jaime H. Ramírez Rios Página 14 18) Un comerciante ha comprado cierto número de pantalones por $256. Sabiendo que el número de pantalones coincide con el precio de cada pantalón, ¿cuántos pantalones compró? R/. 16 pantalones

19) ¿Cuáles son las dimensiones de un terreno rectangular de 867 m2 si su longitud es triple que su ancho? R/. 51 m de largo y 17 m de ancho

20) Un terreno cuadrado tiene una superficie de 2,209 m2 y se quiere rodear con una valla que cuesta $3.50 cada metro. ¿Cuánto cuesta la obra? R/. $658

21) Se compra cierto número de bolígrafos por 196 pesos. Sabiendo que el precio de un bolígrafo coincide con el número de bolígrafos comprados, ¿cuál es el precio de un bolígrafo? R/. 14

22) Una caja en forma cúbica tiene un volumen de 125,000 cm3_{. Si se corta la mitad superior, ¿cuáles serán las} dimensiones del recipiente resultante? R/. 50 cm de largo, 50 cm de ancho y 25 cm de largo.

23) Un depósito en forma cúbica tiene una capacidad de 1,728 m3_{. Si el agua contenida en el depósito ocupa un} volumen de 1,296 m3, ¿qué altura alcanza el agua en el depósito? R/. 9 m

24) Un terreno tiene 500 metros de largo y 45 de ancho. Si se le diera forma cuadrada, ¿cuáles serían las dimensiones de este cuadrado? R/. 150 m de lado

25) En un depósito hay 250047 dms3 de agua, la cual adopta la forma de un cubo. Si el agua llega a 15 dms del borde, ¿cuáles serán las dimensiones del estanque? R/. 67 dm de ancho y largo; 78 dm de alto.