Una introducción a la teoría de pesos
A
pMartha Guzmán Partida UNISON
Sesión 1.
Examinar teoremas de cubrimiento enRn para analizar propiedades de diferenciabilidad de funciones.
Extender el primer teorema fundamental del cálculo, relajando la hipótesis de continuidad de f por integrabilidad en el sentido de Lebesgue.
Función de los teoremas de cubrimiento: “casi cubrir” o “cubrir” un conjunto “arbitrario” de Rn por familias a lo sumo numerables de cubos o de bolas, o conjuntos más generales. Estas familias pueden ser ajenas por parejas o presentar otra restricción adicional.
Análisis de propiedades de diferenciación de integrales es más efectivo estudiando ciertas funciones maximales.
Existen otros enfoques para estudiar estos problemas de
Teoremas de cubrimiento de Vitali
El teorema de cubrimiento más clásico en el estudio de la diferenciación es el de Giuseppe Vitali (1875-1932).
Presentamos un par de versiones, (no son las originales demostradas por G. Vitali).
AHORA UN POCO DE NOTACIÓN:
Si B es una bola abierta enRn con centro x
0 y radior yρ es cualquier número positivo, el conjuntoρB denotará la bola abierta con centro x0 y radioρr.
El radio de una bolaB será denotado por radB.
Si Aes un subconjunto Lebesgue medible deRn,jAj denotará la medida de Lebesgue de A.
Theorem (V1)
Sea E un subconjunto acotado de Rn. Supóngase que F es una colección de bolas abiertas con centro en puntos de E , de modo que cada punto de E es el centro de alguna bola en F. Entonces existe una colección a lo sumo numerable de bolas de F, digamos, fBigi tales que:
1 fBig
i es ajena por pares.
2 E S
i 3Bi.
Demostración.
Si fradB :B 2 F gno está acotado superiormente, hemos terminado porque E es acotado y podemos elegir B 2F con radio su…cientemente grande tal queB E.
Si fradB :B 2 F ges acotado superiormente, procedemos inductivamente: Escojamos cualquier bola en F y llamémoslaB1.
Supongamos que hemos elegido las bolasB1, ...,Bk conk 1.
Sea sk+1 =sup n radB :B 2 F,B\[k j=1Bj =∅ o .
Si no hay bolas así el proceso de selección termina conBk.
En caso contrario, escogemos Bk+1 2 F tal que 1 2sk+1 <radBk+1 y Bk+1\ [k j=1Bj =∅.
Por construcción, la colección de bolas fBkgk es ajena por pares. Sea x 2E y sea B 2 F es una bola con centrox y radio r. Podemos hallar k tal que B\Bk+1 6= ∅.
Si no se pudiera tendríamos B\Bk+1 =∅ 8k.
Así la selección de bolas nunca termina, i.e., fBkgk sería una colección in…nita numerable. Además r sk+1,k 1. Como radBk+1 > 1 2sk+1 1 2r entonces ∞ [ k=1 Bk+1 = ∞
∑
k=1 jBk+1j=∞,Sea k0 =minfk 1:B\Bk+1 6=∅g entonces B\[k0 j=1Bj =∅ luego r sk0+1 <2radBk0+1. Si z0 es el centro de Bk0+1,y02 B\Bk0+1 entonces jx z0j jx y0j+jy0 z0j<r+radBk0+1 <3radBk0+1, es decir, x 23Bk0+1
Aplicaciones del Teorema V1
Examinar los promedios 1
jBr(x)j
Z
Br(x)
f (y)dy cuando r !0.
Aquí, f 2L1
loc(Rn)yBr(x)es la bola abierta con centro x y radior. Conviene estudiar la función maximal
Mf (x):=sup r>0 1 jBr (x)j Z Br(x) jf (y)jdy.
Fue introducida por G. Hardy (1877-1947) y J. Littlewood (1885-1977) para n=1, y por N. Wiener (1894-1964) para n
Algunas propiedades
Mf es s.c.i., i.e., fx2 Rn :Mf (x)> αges abierto para cadaα>0.
Mf es Lebesgue medible, de hecho, Borel medible.
Mf (x)<∞para casi toda x 2Rn. Si f 2L1(Rn)entonces para cada
α>0
jfx 2Rn :Mf (x)>αgj 3 n
SeanE el conjunto del lado izquierdo de (1) yx 2E. Existe una bola B centrada enx tal que
jBj< 1 α
Z
Bj
f (y)jdy. (2)
Para cada k 2N, formamos la familiaFk de bolas abiertas con centros en puntos de E\Bk(0)que además satisfacen la condición (2).
Le aplicamos el Teorema V1 y obtenemos una sucesión de bolas nBj(k)o
j ajenas por pares tal que E\Bk(0) [j3B
(k)
j .
Así, para cada k 2N
jE \Bk(0)j
∑
j 3n Bj(k) 3 n α∑
j Z Bj(k)j f (y)jdy 3 n α kfk1. Haciendo k !∞, obtenemos jEj 3 n α kfk1.Theorem (TDL) Si f 2L1loc(Rn)entonces lim r!0 1 jBr (x)j Z Br(x)
f (y)dy =f (x) para casi toda x 2Rn. (3) Demostración.
SPG podemos suponer que f 2L1(Rn). Dado ε>0 existe g 2 Cc(Rn)tal que
kf gk1 <ε. Por continuidad de g obtenemos
1 jBr(x)j Z Br(x) g(y)dy !g(x) si r !0.
Por consiguiente lim sup r!0 1 jBr (x)j Z Br(x) f (y)dy f (x) =lim sup r!0 1 jBr (x)j Z Br(x) [f (y) g(y)]dy + 1 jBr(x)j Z Br(x) g(y)dy g(x) + [g(x) f (x)]j M(f g) (x) +0+jf (x) g(x)j.
Para α>0 sean Eα = x 2R n :lim sup r!0 1 jBr (x)j Z Br(x) f (y)dy f (x) >α Fα =fx2 R n :jf (x) g(x)j>αg, entonces Eα Fα/2[ fx 2Rn :M(f g) (x)>α/2g, y puesto que α 2jFα/2j Z Fα/2 jf (x) g(x)jdx < ε, aplicando la desigualdad (1) jEαj 2 αε+ 2 3n α ε .
Como ε>0 es arbitrario obtenemos jEαj=0 para cadaα>0 y de aquí se in…ere (3) para x 2 [/ ∞j=1E1/j
También se pueden considerar conjuntos más generales que bolas para obtener versiones similares del Teorema (TDL).
Por ejemplo: familias de borelianos deRn que se“contraen de manera agradable”al puntox, esto es, borelianos fErgr>0 que satisfacen
Er Br (x) para cadar >0 y
jErj>C jBr (x)j, dondeC >0 es una constante independiente der.
Una segunda versión del teorema de cubrimiento de Vitali.
Theorem (V2)
Sea E un subconjunto arbitrario deRn y supóngase que F es una familia de bolas cerradas de radio positivo que satisface la siguiente condición: dado ε>0 y dado x 2E existe B 2 F tal que x 2B y radB <ε.
Entonces existe una colección a lo más numerable de bolas de F,fBigi
tales que
1 fBig
i es ajena por pares.
2 E S
i
Bi excepto por un conjunto de medida cero.
La prueba usa un proceso de selección similar al considerado en la demostración del Teorema (V1).
Aplicaciones del Teorema V2
En el siguiente enunciado j j denota la medida exterior.
Theorem (J)
Sea Ωun subconjunto abierto de Rn yΦ:Ω!Rn una función. Supóngase que Φ es diferenciable en cada punto del conjunto E Ω y también que existe una constante positiva M tal que jJ(x)j M para cada x 2E , donde J es el jacobiano de Φen E . Entonces
Un corolario inmediato del Teorema J es el siguiente.
Theorem (Sard)
Sea Ωun subconjunto abierto de Rn yΦ:Ω!Rn una función. Supóngase que Φ es diferenciable en cada punto del conjunto E Ω y que J(x) =0para cada x 2E . Entonces Φ(E) es un conjunto de medida cero.
Es decir:
Teorema de cubrimiento de Besicovitch
Originalmente probado por A. Besicovitch (1891-1970) para bolas del espacio euclideanoRn.
Presentamos una versión usando cubos en Rn y la medida de Lebesgue.
Diferencia entre Teoremas de Vitali y Besicovitch:
* Vitali es aplicable a una clase más grande de cubrientes, pero a una familia más restringida de medidas.
Theorem (B)
Sea K un subconjunto acotado de Rn. Para cada x2 K , sea Qx un cubo
abierto con centro x y lados paralelos a los ejes coordenados. Entonces, existe una colección a lo sumo numerable de puntos fxjgj de K tales que:
1
K [
j
Qxj. (4)
2 Para casi toda y 2Rn se veri…ca
∑
j χQ
xj (y) 24
n. (5)
En otras palabras, para casi toda y 2Rn la cubierta Qxj j sólo puede
Demostración. Sea
s0 =supfl(Qx):x2 Kg.
Si s0 =∞, entonces existex1 2K tal quel(Qx1)>4L, donde[ L,L]
n
contiene a K.
Así,K está contenido en Qx1, por lo que el teorema es válido conm=1.
Supongamos ahora que s0 <∞. Elijamos x12K tal que l(Qx1)>s0/2.
De…namos
K1 = KnQx1,
y seleccionemosx2 2K1 tal quel(Qx2)>s1/2.
Luego de…namos
K2 = Kn(Qx1 [Qx2), s2 = supfl(Qx):x 2K2g, y seleccionemosx3 2K2 tal quel(Qx3)>s2/2.
Continuamos este proceso hasta encontrar el primer entero mtal que Km es vacío.
A…rmamos que para cada i 6=j se tiene que 1
3Qxi \
1
3Qxj = ∅.
En efecto, supongamos que i >j.
Entoncesxi 2Ki 1 =K n(Qx1[ [Qxi 1), asíxi 2/Qxj.
También xi 2Ki 1 Kj 1, lo que implica que
l(Qxi) sj 1 <2l Qxj .
Si existiera y 2 13Qxi \
1
jxi xjj jxi yj+jy xjj < p n 6 l(Qxi) + p n 6 l Qxj < p n 2 l Qxj ,
y así concluiríamos que xi 2 Qxj,lo cual no ocurre.
Ahora probaremos la inclusión (4).
Si m<∞, entonces Km =∅, por lo tantoK Smj=1Qxj.
Supongamos que m=∞; puesto que los cubos 13Qxi son ajenos por pares
y tienen centros en un conjunto acotado, se sigue que la sucesión
l Qxj
∞
Si existiera y 2KrS∞j=1Qxj, entoncesy 2Kj para j =1,2, ..., y l(Qy) sj para todo j, y puesto que sj 1 <2l Qxj se sigue que l(Qy) =0.
Por consiguiente, el cubo abierto Qy es vacío, lo cual es una contradicción y así obtenemos (4).
Enseguida, mostraremos la desigualdad (5).
Sea y 2 Rn; consideremosn hiperplanosHi paralelos a los hiperplanos coordenados, que pasen por el punto y.
Así podemos escribir Rn como la unión de 2n octantes abiertosOr yn hiperplanos Hi de medida de Lebesgue n-dimensional cero.
Mostraremos que existe una cantidad …nita de puntos xj sobre cada octante Or.
Fijemos Or, y sea xko tal que Qxko contiene ay y la distancia dexko ay es
la más grande posible.
Si xj es otro punto enK \Or tal que Qxj contiene ay, entonces l Qxko l Qxj lo que implica que xj 2Qxk0.
Como i >j implica xi 2/Qxj, se sigue quej <k0,y de aquí l Qxk0 /2<l Qxj .
Así, todos los cubos Qxj con centros enK \Or que contienen al punto …jo y, tienen lados comparables a los deQxk0.
Sea α=l Qxko /2 y fQxsgs2I la colección de cubos tales que para cada
s 2I se tiene que α<l(Qxs) 2α,y 2Qxs y los cubos
1
3Qxs son ajenos
Entonces αnjIj 3n
∑
s2I 1 3Qxs = [ s2I 1 3Qxs [ s2I Qxs (4α) n ,dado que todos los cubos Qxs contienen el puntoy y tienen longitud de
lado a lo más 2α, y por tanto, deben de estar contenidos en un cubo de longitud de lado 4αy centrado en y.
Esta observación prueba que jIj 12n, y puesto que existen 2n conjuntos
Aplicaciones del Teorema B
Obtener una desigualdad de tipo débil(1,1)para una función maximal generalizada.
Elementos presentes:
w(x)un peso en Rn, i.e.,w 2L1
loc(Rn) y toma sus valores en (0,∞)casi en todas partes.
Para 1 p <∞,Lp(w)es la familia de funciones Lebesgue medibles
f de…nidas enRn tal que
Z
Rnjf (x)j
p
w(x)dx <∞.
La función maximal generalizada es: Mwf (x) =sup r>0 1 w(Q(x,r)) Z Q(x,r)j f (y)jw(y)dy, (6) donde Q(x,r)es el cubo con centro enx, longitud de lado 2r y lados paralelos a los ejes coordenados, y
w(Q(x,r)) =
Z
Q(x,r)
Queremos probar la desigualdad
w(fx 2Rn :Mwf (x)>λg) C
λ kfkL1(w) (7) para cada λ>0, donde C es una constante que sólo depende de la dimensión n.
Como probar (7):
Usando la continuidad de la función
x 7 ! 1
w(Q(x,r))
Z
Q(x,r)j
probamos que el conjunto
Eλ =fx2Rn :Mwf (x)>λg es abierto.
Si K es cualquier subconjunto compacto deEλ, dado x 2K elegimos un cubo Qx centrado enx tal que
1
w(Qx)
Z
Qx
Por el Teorema B hay una subcolección a lo sumo numerable de cubos
Qxj j defQxgx2K tales que cumplen las condiciones 1 y 2. Así w(K)
∑
j w Qxj∑
j 1 λ Z Qxj j f (y)jw(y)dy 24 n λ kfkL1(w). Tomando supremo sobre todos los subconjuntos compactos de Eλ y usando la regularidad dew(x)dx, obtenemos la desigualdad (7).Comentarios:
La desigualdad (7) puede obtenerse también usando la descomposición de Calderón-Zygmund.
Hay que pedirle un poco más a la medida w(x)dx:
w(2B) Cw(B)
para cada bolaB, donde C es una constante absoluta.
¿Quién es la clase Ap, 1<p< ∞? w 2Ap sii 1 jQj Z Q w(x)dx 1 jQj Z Q w(x)1 p0dx p 1 C
para todo cubo Q.
Regreso a nuestro problema:
Por desigualdad (7) y regularidad de dµ(x) =w(x)dx obtenemos
Theorem (TDLG)
Sea f 2L1loc(µ), entonces para µ-casi toda x 2Rn se veri…ca
f (x) = lim r!0 1 µ(Q(x,r)) Z Q(x,r) f (y)w(y)dy .
Realmente no importa que la medida µtenga una densidad.
El teorema vale si µes medida de Borel positiva y regular en Rn, …nita en compactos.
Hay otros teoremas de cubrimiento muy importantes (tipo Whitney).
Permiten cubrir un abierto deRn con frontera no vacía mediante una sucesión ajena por pares de cubos que se van haciendo más y más pequeños a medida que nos aproximamos a la frontera del abierto.
Fueron introducidos por H. Whitney (1907-1989).
Son utilizados en Análisis de Fourier, por ejemplo, para obtener extensiones con cierto grado de diferenciabilidad de funciones de…nidas en cerrados deRn.
El ejemplo de R. Fe¤erman
Las desigualdades débiles
jfx2 Rn :Mf (x)> αgj 3 n α kfk1 y w(fx 2Rn :Mwf (x)>λg) C λ kfkL1(w) junto con la continuidad de
M :L∞(Rn)!L∞(Rn) y
implican continuidad de los operadores
M :Lp(Rn)!Lp(Rn) y
Mw :Lp(w)!Lp(w) para 1<p <∞.
Pregunta:
¿Qué ocurre si reemplazamos bolas o cubos en la de…nición de función maximal por conjuntos más generales como rectángulos con lados paralelos a los ejes coordenados?
Para precisar más, consideremos la función maximal
Mµf (x) = sup x2R 1 µ(R) Z Rj f (y)jdµ(y)
donde el supremo se toma sobre todos los rectángulos R que contienen al punto x yµes cualquier medida.
Respuesta: (R. Fe¤erman)
Ya no es posible obtener resultados de continuidad en Lp(µ), 1<p <∞, para cualquier medida µ.
R. Fe¤erman establece la siguiente diferencia entre la geometría de bolas (o cubos) y rectángulos:
En el caso de rectángulos se puede encontrar una sucesión de puntos distintos en Rn, digamosfxkgk∞=1 y una sucesión de rectángulos fRkgk∞=1 tal que cada rectánguloRk contiene al origen y al puntoxk, pero ningún otro puntoxj con j 6=k.
Por ejemplo (n =2)
Elijamos sucesiones fαkg∞k=1 yfβkg∞k=1 de números positivos, la primera estrictamente creciente, la segunda estrictamente decreciente,
Rk = [0,αk] [0,βk]y la correspondiente sucesión de puntos es
xk = (αk,βk).
Ahora consideramos el operador maximal
Mµf (x) =sup x2R 1 µ(R) Z Rj f (y)jdµ(y) donde dµ= ∞
∑
k=0 δxkSi f =χR1 entonces f 2Lp(µ)para cualquierp. Sin embargo, para k 2
Mµf (x k) 1 µ(Rk) Z Rk f (y)dµ(y) = 1 2
Condición técnica de R. Fe¤erman sobre µ para continuidad de Mµ en
Lp(µ), 1<p ∞:
“Pertenencia uniforme” a la clase A∞ en cada coordenada paradµ=w(x)dx.
Traducción:
Algo así como ser absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue unidimensional en cada coordenada, pero de manera uniforme.
Comentarios …nales
Nunca podrá tenerse continuidad parap =1 para cualquiera de las funciones maximales mencionadas previamente.
Por ejemplo, en el caso deM se tiene la estimación
Mf (x) C 1
jxjn
Z
Br(x)
jf (y)jdy
para r >0,jxj>r yf 2L1(Rn)(C constante que sólo depende de
n).
Importancia del operador M en Análisis de Fourier:
F Son “controladores” de otros operadoresT en el sentido kTfk kMfk.
Por ejemplo, si el operadorT es una convolución con un buen núcleo radial:
jTf (x)j CMf (x) para casi toda x 2Rn.
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