MÉTODO DE GAUSS ‐ SEIDEL AL ESTUDIO DE FLUJO DE CARGAS Ejercicios Estudio del flujo de potencia Objetivo principal en S.E.P.: satisfacer la demanda. Hay que reducir el número de posibilidades: ESTUDIO DEL FLUJO DE POTENCIA Nuestro objetivo: 1.‐ Tensión y potencia en todas las barras. 2.‐ Flujo de Potencia en todas las líneas. A) El método de análisis nodal es el más empleado. B) Se emplea la matriz de admitancias de barra Ybus.
Pi‐jQi ‐ Yi1V1Vi*‐ Yi2V2Vi*‐ ... ‐ YinVnVi*= 0 (I) (Vi = 1,2,..., n)
(FORMA GENERAL DE LAS ECUACIONES DE FLUJO)
C) Las barras se clasifican según el tipo de datos e incógnitas. Tipo Se conoce Se desconoce Denominación
1 P , Q v , [v] Barra de carga
2 P , v , Qmax, Qmin Q , [v] Barra de tensión controlada
3 v , [v] P , Q Barra de referencia D) Las líneas son representadas mediante su esquema en Π.
SISTEMAS DE POTENCIA
Ejemplo PQ
En el esquema de la figura se representa un sistema eléctrico de potencia con tres nudos y se desea analizar el flujo de potencia. En este caso los nudos en los que se desconoce la tensión son Nudos de carga (PQ). Los valores son por unidad Datos de LíneasLínea Nudos Impedancia(Z) Admitancia (Y/2)
1 1‐2 j0,1 0
2 2‐3 j0,2 0
3 1‐3 j0,2 0
Datos de generación y de carga: Nudo Tipo Generación Carga Voltaje
P Q P Q Mod. Ang. 1 Compensador 1,0 0 2 Generador 5,32 3,0 3 Carga 3,64 0,54 Se pide: Utilizando el método de Gaus Seidel con un factor de aceleración de 1,4, hallar las tensiones de los nudos 2 y 3 con una tolerancia de 0,01. Pasos 1.‐ Elección de unas bases 2.‐ Transformación del sistema en el esquema equivalente en p.u. El ejercicio está en este punto. 3.‐ Formación de la matriz YBUS:
j15
-=
j0,2
1
+
0
+
j0,1
1
+
0
=
z
1
+
2
y
+
z
1
+
2
y
=
Y
13 13 12 12 11j10
=
j0,1
1
-=
z
1
-=
Y
12 12j5
=
j0,2
1
-=
z
1
-=
Y
13 13j15
-=
j0,2
1
+
0
+
j0,1
1
+
0
=
z
1
+
2
y
+
z
1
+
2
y
=
Y
23 23 12 12 22j5
=
j0,2
1
-=
z
1
-=
Y
23 23j10
-=
j0,2
1
+
0
+
j0,2
1
+
0
=
z
1
+
2
y
+
z
1
+
2
y
=
Y
23 23 13 13 33 10 5 5 5 15 10 5 10 15 j Ybus 4.‐ Valores iniciales: DATO: V1 = 1,00 [0º] pu SUPUESTO: V2 = 1,00 [0º] pu V3 = 1,00 [0º] pu5.‐ Potencias en los nudos: NO HACE FALTA. Se conocen las potencias de los nudos en que no conocemos la tensión porque son de tipo 3(PQ). 6.‐ Iteración 1 ‐ Tensiones en los nudos: (0) 3 23 1 21 ) 0 ( 2 2 2 22 ) 1 ( 2 Y V Y V ) V ( jQ P Y 1 V
3547
,
0
j
2
,
1
0
,
1
)
5
j
(
)
10
j
(
0
,
1
1
3
j
32
,
5
j
15
1
] 0 [ ] 0 [ ] 0 [
(1) 2 32 1 31 ) 0 ( 3 3 3 33 ) 1 ( 3 Y V Y V ) V ( jQ P Y 1 V1867
,
0
j
0460
,
1
)
3547
,
0
j
2
,
1
)(
5
j
(
)
5
j
(
0
,
1
0
,
1
54
,
0
j
64
,
3
j
10
1
] 0 [ ] 0 [
7.‐ Incremento de tensión: 3547 , 0 V V V 2 , 0 V V V ) 0 ( 2 ) 1 ( 2 ) imag ( 2 ) 0 ( 2 ) 1 ( 2 ) real ( 2 1867 , 0 j 0460 , 0 V V V 3547 , 0 j 2 , 0 V V V ) 0 ( 3 ) 1 ( 3 1 3 ) 0 ( 2 ) 1 ( 2 1 2 8.‐ Aceleración de tensiones:
0,0460 0,1867
1,0644 0,2613 4 , 1 0 , 1 4965 , 0 2800 , 1 3547 , 0 2 , 0 4 , 1 1 0 ) 0 ( ) 1 ( 0 2 ) 0 ( 2 ) 1 ( 2 j j V V V j j V V V
SISTEMAS DE POTENCIA Repetir desde el punto 5: Iteración 2 ‐ Tensiones en los nudos: (1) 3 23 1 21 ) 1 ( 2 2 2 22 ) 2 ( 2 Y V Y V ) V ( jQ P Y 1 V
2064
,
0
j
0639
,
1
)
2613
,
0
j
0644
,
1
)(
5
j
(
)
10
j
(
0
,
1
4965
,
0
j
28
,
1
3
j
32
,
5
j
15
1
] 0 [
(2) 2 32 1 31 ) 1 ( 3 3 3 33 ) 2 ( 3 Y V Y V ) V ( jQ P Y 1 V2076
,
0
j
9049
,
0
)
2064
,
0
j
0639
,
1
).(
5
j
(
)
5
j
(
0
,
1
2613
,
0
j
0644
,
1
54
,
0
j
64
,
3
j
10
1
] 0 [
Incremento de tensión: 0538 , 0 j 1595 , 0 V V V 2901 , 0 j 2161 , 0 V V V ) 1 ( 3 ) 2 ( 3 2 3 ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 2 2 Aceleración de tensiones:
0,1595 j0,0538
0,8411 j0,1861 4 , 1 0 , 1 V V V 0904 , 0 j 9774 , 0 2901 , 0 j 2161 , 0 4 , 1 1 V V V 2 3 ) 1 ( 3 ) 2 ( 3 2 2 ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 Repetimos Iteración 3 ‐ Tensiones en los nudos: (2) 3 23 1 21 ) 2 ( 2 2 2 22 ) 3 ( 2 Y V Y V ) V ( jQ P Y 1 V3165
,
0
j
1167
,
1
)
1861
,
0
j
8411
,
0
)(
5
j
(
)
10
j
(
0
,
1
0904
,
0
j
9774
,
0
3
j
32
,
5
j
15
1
] 0 [
(3) 2 32 1 31 ) 2 ( 3 3 3 33 ) 3 ( 3 Y V Y V ) V ( jQ P Y 1 V2408
,
0
j
9058
,
0
)
3165
,
0
j
1167
,
1
).(
5
j
(
)
5
j
(
0
,
1
1861
,
0
j
8411
,
0
54
,
0
j
64
,
3
j
10
1
] 0 [
Incremento de tensión: 0547 , 0 j 0648 , 0 V V V 2262 , 0 j 1393 , 0 V V V ) 2 ( 3 ) 3 ( 3 3 3 ) 2 ( 2 ) 3 ( 2 3 2 Hay que seguir iterando porque el error es superior a 0,01 Aceleración de tensiones: 2627 , 0 j 9317 , 0 V V V 4070 , 0 j 1724 , 1 V V V 3 3 ) 2 ( 3 ) 3 ( 3 3 2 ) 2 ( 2 ) 3 ( 2 Debemos seguir…pero recomiendo hacerlo con el MATLAB para agilizar la solución.Ejemplo PV
Datos de las líneas (valores p.u.):
Línea Nudos Impedancia (Z) Admitancia (Y/2)
1 1‐2 j0,1 0
2 2‐3 j0,2 0
3 1‐3 j0,2 0
Datos de generación y de consumo(cargas) (valores p.u.):
Nudo Tipo
Generación Consumo Voltaje Límite de Potencia
P Q P Q Mod. Ang. Qmin Qmax
1 Compensador 1,0 0 2 Generador 5,32 1,1 0 3,5 3 Carga 3,64 0,54 Tolerancia: 0,001 Factor de aceleración a: 1,4 Pasos generales: 1.‐ Elección de unas bases 2.‐ Transformación del sistema en el esquema equivalente en p.u. El ejercicio está en este punto. 3.‐ Formación de la matriz YBUS:
j15
‐
=
j0,2
1
+
0
+
j0,1
1
+
0
=
z
1
+
2
y
+
z
1
+
2
y
=
Y
13 13 12 12 11=
j10
j0,1
1
‐
=
z
1
‐
=
Y
12 12SISTEMAS ENERGÉTICOS 6
j15
‐
=
j0,2
1
+
0
+
j0,1
1
+
0
=
z
1
+
2
y
+
z
1
+
2
y
=
Y
23 23 12 12 22=
j5
j0,2
1
‐
=
z
1
‐
=
Y
13 13j10
‐
=
j0,2
1
+
0
+
j0,2
1
+
0
=
z
1
+
2
y
+
z
1
+
2
y
=
Y
23 23 13 13 33=
j5
j0,2
1
‐
=
z
1
‐
=
Y
23 23 10 5 5 5 15 10 5 10 15 j Ybus 4.‐ Valores iniciales: DATO: V1 = 1,00 [0º] pu SUPUESTO: V2 = 1,10 [0º] pu V3 = 1,00 [0º] pu 5.‐ Potencias en los nudos:
Y V Y V Y V
1,1
j10.1 j15.1,1 j5.1
1,65j ) V ( jQ P [0º] [0º] [0º] [0º] ) 0 ( 3 23 ) 0 ( 2 22 1 21 ) 0 ( 2 2 2 Q2 = 1,65 < 3,5 6.‐ Iteración 1 ‐ Tensiones en los nudos: (0) 3 23 1 21 ) 0 ( 2 2 2 22 ) 1 ( 2 Y V Y V ) V ( jQ P Y 1 V ] 337 , 16 [ 337 , 16 [ ] 0 [ ] 0 [ ] 0 [1
,
1
1463
,
1
0
,
1
)
5
j
(
)
10
j
(
0
,
1
1
,
1
65
,
1
j
32
,
5
j
15
1
(1) 2 32 1 31 ) 0 ( 3 3 3 33 ) 1 ( 3 Y V Y V ) V ( jQ P Y 1 V ] 130 , 12 [ ] 337 , 16 [ ] 0 [ ] 0 [9960
,
0
1
,
1
)
5
j
(
)
5
j
(
0
,
1
0
,
1
54
,
0
j
64
,
3
j
10
1
7.‐ Cálculo de la tolerancia: 3094 , 0 0 , 0 3094 , 0 V V V 0444 , 0 1 , 1 0556 , 1 V V V ) 0 ( 2 ) 1 ( 2 ) imag ( 2 ) 0 ( 2 ) 1 ( 2 ) real ( 2 2093 , 0 j 0262 , 0 1 2093 , 0 j 9738 , 0 V V V 3094 , 0 j 0444 , 0 V V V ) 0 ( 3 ) 1 ( 3 1 3 ) 0 ( 2 ) 1 ( 2 1 2 Aún no converge 8.‐ Tensiones de nudo:
16,918 0 3 ) 0 ( 3 ) 1 ( 3 655 , 22 655 , 22 0 2 ) 0 ( 2 ) 1 ( 20069
,
1
2093
,
0
j
0262
,
0
4
,
1
0
,
1
V
V
V
1
,
1
189
,
1
4332
,
0
j
0378
,
1
3094
,
0
j
0444
,
0
4
,
1
1
,
1
V
V
V
9.‐ Repetir el proceso desde 5. Cálculo de las potencia reactiva
j10.1 j15.1,1 j5.1,007
7,765 3,7301j 1 , 1 V Y V Y V Y ) V ( jQ P ] º 918 , 16 [ 655 , 22 ] º 0 [ 655 , 22 ) 0 ( 3 23 ) 0 ( 2 22 1 21 ) 0 ( 2 2 2 nudo de Carga.
j
5
,
3
32
,
5
jQ
P
2
2
10.‐ Iteración 2 ‐ Tensiones en los nudos: 89 , 14 ] 918 , 16 [ ] 0 [ ] 0 [ ) 1 ( 3 23 1 21 ) 1 ( 2 2 2 22 ) 2 ( 21
,
0
(
j
10
)
(
j
5
)
1
,
007
1
,
0961
1
,
1
5
,
3
j
32
,
5
j
15
1
V
Y
V
Y
)
V
(
jQ
P
Y
1
V
] 186 , 12 [ ] 89 , 14 [ ] 0 [ ] 918 , 16 [ ) 2 ( 2 32 1 31 ) 1 ( 3 3 3 33 ) 2 ( 31
,
0
(
j
5
)
(
j
5
)
1
,
1
0
,
8952
007
,
1
54
,
0
j
64
,
3
j
10
1
V
Y
V
Y
)
V
(
jQ
P
Y
1
V
11.‐ Cálculo de la tolerancia: 1040 , 0 j 0883 , 0 V V V 1411 , 0 j 0480 , 0 V V V ) 1 ( 3 ) 2 ( 3 2 3 ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 2 2 Aún no converge 12.‐ Tensiones de nudo:
9,953 1 3 ) 1 ( 3 ) 2 ( 3 802 , 11 1 2 ) 1 ( 2 ) 2 ( 28525
,
0
1040
,
0
j
0883
,
0
4
,
1
0
,
1
V
V
V
1
,
1
19
,
0
j
1672
,
1
1411
,
0
j
0480
,
0
4
,
1
1
,
1
V
V
V
13.‐ Cálculo de las potencia reactiva
j10.1 j15.1,1 j5.0,8525
3,9876 3,0274j 1 , 1 V Y V Y V Y ) V ( jQ P 953 , 9 802 , 11 ] º 0 [ 802 , 11 ) 2 ( 3 23 ) 2 ( 2 22 1 21 ) 2 ( 2 2 2 j
0274
,
3
32
,
5
jQ
P
2
2
14.‐ Iteración 3 ‐ Tensiones en los nudos: ] 00 , 16 [ 00 , 16 953 , 9 ] 0 [ ] 802 , 11 [ ) 2 ( 3 23 1 21 ) 2 ( 2 2 2 22 ) 3 ( 2 1,0 (j10) (j5).0,8525 1,1030 1,1 1 , 1 0274 , 3 j 32 , 5 j 15 1 V Y V Y ) V ( jQ P Y 1 V ] 122 , 16 [ ] 00 , 16 [ ] 0 [ ] 953 , 9 [ ) 3 ( 2 32 1 31 ) 2 ( 3 3 3 33 ) 3 ( 3 1,0 (j5) (j5)1,1 0,9291 8525 , 0 54 , 0 j 64 , 3 j 10 1 V Y V Y ) V ( jQ P Y 1 V 15.‐ Cálculo de la tolerancia: 1106 , 0 j 0528 , 0 V V V 0782 , 0 j 0194 , 0 V V V ) 1 ( 3 ) 2 ( 3 2 3 ) 1 ( 2 ) 2 ( 2 2 2 Aún no converge 16.‐ Tensiones de nudo:
18,30 ) 2 ( 3 ) 2 ( 3 ) 3 ( 3 68 , 17 ) 2 ( 2 ) 2 ( 2 ) 3 ( 29623
,
0
1106
,
0
j
0528
,
0
4
,
1
0
,
1
V
V
V
1
,
1
3345
,
0
j
0496
,
1
0782
,
0
j
0194
,
0
4
,
1
1
,
1
V
V
V
SISTEMAS ENERGÉTICOS 8 17.‐ Cálculo de las potencia reactiva:
j10.1 j15.1,1 j5.0,9623
6,4495 3,3863j 1 , 1 V Y V Y V Y ) V ( jQ P 30 , 18 68 , 17 ] º 0 [ 68 , 17 ) 3 ( 3 23 ) 3 ( 2 22 1 21 ) 3 ( 2 2 2 j
3863
,
3
32
,
5
jQ
P
2
2
18.‐ Iteración 4 ‐ Tensiones en los nudos: ] 11 , 14 [ 11 , 14 30 , 18 ] 0 [ ] 68 , 17 [ ) 3 ( 3 23 1 21 ) 3 ( 2 2 2 22 ) 4 ( 2 1,0 (j10) (j5).0,9623 1,1021 1,1 1 , 1 3863 , 3 j 32 , 5 j 15 1 V Y V Y ) V ( jQ P Y 1 V ] 536 , 13 [ ] 11 , 14 [ ] 0 [ ] 30 , 18 [ ) 4 ( 2 32 1 31 ) 3 ( 3 3 3 33 ) 4 ( 3 1,0 (j5) (j5)1,1 0,8859 9623 , 0 54 , 0 j 64 , 3 j 10 1 V Y V Y ) V ( jQ P Y 1 V 19.‐ Cálculo de la tolerancia: 949 , 0 j 0523 , 0 V V V 0657 , 0 j 0187 , 0 V V V ) 2 ( 3 ) 3 ( 3 ) 3 ( 3 ) 2 ( 2 ) 3 ( 2 ) 3 ( 2 20.‐ Tensiones de nudo:
11,40 ) 3 ( 3 ) 3 ( 3 ) 4 ( 3 69 , 12 ) 3 ( 2 ) 3 ( 2 ) 4 ( 28573
,
0
0949
,
0
j
0523
,
0
4
,
1
0
,
1
V
V
V
1
,
1
2420
,
0
j
0743
,
1
0657
,
0
j
0187
,
0
4
,
1
1
,
1
V
V
V
21.‐ Cálculo de las potencia reactiva:
j10.1 j15.1,1 j5.0,8573
4,3415 3,1143j 1 , 1 V Y V Y V Y ) V ( jQ P 40 , 11 69 , 12 ] º 0 [ 69 , 12 ) 4 ( 3 23 ) 4 ( 2 22 1 21 ) 4 ( 2 2 2 j
1143
,
3
32
,
5
jQ
P
2
2
22.‐ Iteración 5 ‐ Tensiones en los nudos: ] 78 , 15 [ 78 , 15 40 , 11 ] 0 [ ] 69 , 12 [ ) 4 ( 3 23 1 21 ) 4 ( 2 2 2 22 ) 5 ( 2 1,0 (j10) (j5).0,8573 1,1016 1,1 1 , 1 1143 , 3 j 32 , 5 j 15 1 V Y V Y ) V ( jQ P Y 1 V ] 05 , 16 [ ] 78 , 15 [ ] 0 [ ] 40 , 11 [ ) 5 ( 2 32 1 31 ) 4 ( 3 3 3 33 ) 5 ( 3 1,0 (j5) (j5)1,1 0,9195 8573 , 0 54 , 0 j 64 , 3 j 10 1 V Y V Y ) V ( jQ P Y 1 V 23.‐ Cálculo de la tolerancia: 0848 , 0 j 0432 , 0 V V V 0574 , 0 j 0146 , 0 V V V ) 4 ( 3 ) 5 ( 3 ) 5 ( 3 ) 4 ( 2 ) 5 ( 2 ) 5 ( 2 Aún no converge 24.‐ Tensiones de nudo:
17,74 ) 5 ( 3 ) 5 ( 3 ) 6 ( 3 01 , 17 ) 5 ( 2 ) 5 ( 2 ) 6 ( 29459
,
0
0848
,
0
j
0432
,
0
4
,
1
0
,
1
V
V
V
1
,
1
2420
,
0
j
0743
,
1
0574
,
0
j
0146
,
0
4
,
1
1
,
1
V
V
V
j10.1 j15.1,1 j5.0,9459
6,1832 3,3567j 1 , 1 V Y V Y V Y ) V ( jQ P 74 , 17 01 , 17 ] º 0 [ 01 , 17 ) 5 ( 3 23 ) 5 ( 2 22 1 21 ) 5 ( 2 2 2 j
3567
,
3
32
,
5
jQ
P
2
2
26.‐ Iteración 6 ‐ Tensiones en los nudos: ] 29 , 14 [ 29 , 14 74 , 17 ] 0 [ ] 01 , 17 [ ) 5 ( 3 23 1 21 ) 5 ( 2 2 2 22 ) 6 ( 2 1,0 (j10) (j5).0,9459 1,1012 1,1 1 , 1 3567 , 3 j 32 , 5 j 15 1 V Y V Y ) V ( jQ P Y 1 V ] 915 , 13 [ ] 29 , 14 [ ] 0 [ ] 74 , 17 [ ) 6 ( 2 32 1 31 ) 5 ( 3 3 3 33 ) 6 ( 3 1,0 (j5) (j5).1,1 0,8874 9459 , 0 54 , 0 j 64 , 3 j 10 1 V Y V Y ) V ( jQ P Y 1 V 27.‐ Cálculo de la tolerancia: 0747 , 0 j 0395 , 0 V V V 0503 , 0 j 0141 , 0 V V V ) 5 ( 3 ) 6 ( 3 ) 6 ( 3 ) 5 ( 2 ) 6 ( 2 ) 6 ( 2 Aún no converge 28.‐ Tensiones de nudo:
12,25 ) 6 ( 3 ) 6 ( 3 ) 6 ( 3 20 , 13 ) 6 ( 2 ) 6 ( 2 ) 6 ( 28653
,
0
0747
,
0
j
0395
,
0
4
,
1
0
,
1
V
V
V
1
,
1
2514
,
0
j
0716
,
1
0503
,
0
j
0141
,
0
4
,
1
1
,
1
V
V
V
29.‐ Cálculo de las potencia reactiva:
j10.1 j15.1,1 j5.0,8653
4,5566 3,1434j 1 , 1 V Y V Y V Y ) V ( jQ P 25 , 12 20 , 13 ] º 0 [ 20 , 13 ) 6 ( 3 23 ) 6 ( 2 22 1 21 ) 6 ( 2 2 2 j
1434
,
3
32
,
5
jQ
P
2
2
30.‐ Iteración 7 ‐ Tensiones en los nudos: ] 61 , 15 [ 29 , 14 25 , 12 ] 0 [ ] 20 , 13 [ ) 6 ( 3 23 1 21 ) 6 ( 2 2 2 22 ) 7 ( 2 1,0 (j10) (j5).0,8653 1,1010 1,1 1 , 1 1434 , 3 j 32 , 5 j 15 1 V Y V Y ) V ( jQ P Y 1 V ] 861 , 15 [ ] 61 , 15 [ ] 0 [ ] 25 , 12 [ ) 7 ( 2 32 1 31 ) 6 ( 3 3 3 33 ) 7 ( 3 1,0 (j5) (j5).1,1 0,9143 8653 , 0 54 , 0 j 64 , 3 j 10 1 V Y V Y ) V ( jQ P Y 1 V 31.‐ Cálculo de la tolerancia: 0664 , 0 j 0339 , 0 V V V 0448 , 0 j 0115 , 0 V V V ) 6 ( 3 ) 7 ( 3 ) 7 ( 3 ) 6 ( 2 ) 7 ( 2 ) 7 ( 2 Aún no converge 32.‐ Tensiones de nudo:
17,20 ) 7 ( 3 ) 7 ( 3 ) 7 ( 3 57 , 16 ) 7 ( 2 ) 7 ( 2 ) 7 ( 29349
,
0
0664
,
0
j
0339
,
0
4
,
1
0
,
1
V
V
V
1
,
1
3139
,
0
j
0548
,
1
0448
,
0
j
0115
,
0
4
,
1
1
,
1
V
V
V
SISTEMAS ENERGÉTICOS 10
