MPES_U2_A4_KAAM

(1)

Actividad 4. Determinación de distribuciones límite Actividad 4. Determinación de distribuciones límite arla !udit" Andre# M$nde%

arla !udit" Andre# M$nde% A&'2()*((2

A&'2()*((2 +nstrucciones,

+nstrucciones, Resuelve cada una de las situaciones que se presentan a continuación: Resuelve cada una de las situaciones que se presentan a continuación: 1.

1. SupónSupóngase qugase que un pe un proceso droceso de produe producción cacción cambia de mbia de estado estado de acude acuerdo a erdo a unauna

cadena de Markov cuya matriz es cadena de Markov cuya matriz es

1. 1. 1 1 / / 4 4 11 / / 4 4 11 / / 2 2 00 0 0 11 / / 4 4 11 / / 2 2 11 / / 44 1 / 1 / 4 4 1 / 1 / 4 4 1 / 1 / 4 4 1 / 1 / 44 1 1 / / 4 4 11 / / 4 4 0 0 11 / / 22







÷÷



÷÷

==



÷÷



÷÷





P P con

con SS = = {1 ! " {1 ! " #$ #$ donde los estados donde los estados 1 y 1 y ! representan una ! representan una buena producción buena producción y losy los

estados " y # una mala. %s decir

estados " y # una mala. %s decir si se pasa de cualquiera de los estados 1 y ! si se pasa de cualquiera de los estados 1 y ! aa

cualquiera de los estados " y # la producción decayó. Si por el contrario se pasa de cualquiera de los estados " y # la producción decayó. Si por el contrario se pasa de cualquiera de los estados " y # a los estados 1 y !& la producción me'oró.

cualquiera de los estados " y # a los estados 1 y !& la producción me'oró.

(os estados se pueden determinar midiendo el tiempo de producción el costo de (os estados se pueden determinar midiendo el tiempo de producción el costo de producción el n)mero de traba'adores que se requieren y el n)mero de accidentes. producción el n)mero de traba'adores que se requieren y el n)mero de accidentes. a*

a* +etermina +etermina la propola proporción de tierción de tiempo que mpo que el procesel proceso de prodo de producción paucción pasar, en casar, en cadada

estado a la larga. estado a la larga. vv

((

11

))

==11 4 4 vv

((

11

))

++ 1 1 4 4 vv

((

33

))

++ 1 1 4 4vv

((

44

))

vv

((

22

))

==11 4 4 vv

((

11

))

++ 1 1 4 4 vv

((

22

))

++ 1 1 4 4vv

((

33

))

++ 1 1 4 4vv

((

44

))

vv

((

33

))

==11 2 2 vv

((

11

))

++ 1 1 2 2vv

((

22

))

++ 1 1 4 4vv

((

33

))

vv

((

44

))

==11 4 4 vv

((

22

))

++ 1 1 4 4vv

((

33

))

++ 1 1 2 2vv

((

44

))

-ector resultante -ector resultante vv

((

11

))

++vv

((

22

))

++vv

((

33

))

++vv

((

44

))

==11 Obtenemos: Obtenemos: vv

((

11

))

== 33 16 16,, vv

((

22

))

== 1 1 4 4 ,, vv

((

33

))

== 7 7 24 24 ,, vv

((

44

))

== 13 13 48 48 roporciones de tiempo roporciones de tiempo -ector resultante: -ector resultante:

(2)

π ¿=_v=

(

9 48, 12 48 , 14 48, 13 48

)

/uestras probabilidades quedan de la siguiente manera:

• %l 43.75 del tiempo el proceso tiene buena producción • %l

56.55

del tiempo el proceso tiene mala producción

b* 0u2 puedes decir acerca de las veces que la producción me'orar, a la larga3 odemos ver que cuando la producción me'ora pasa a los estados " # y 1! por lo tanto concluimos que el proceso de producción es mala siempre.

!. 4onsidera 5 puntos localizados en una circun6erencia y una cadena { X n$ que

recorre esos puntos de manera que en cada punto con probabilidad p se da un movimiento al siguiente punto en el sentido de las manecillas del relo' y con

probabilidad q = 1 7 p se da un movimiento al siguiente punto en el sentido

contrario a las manecillas del relo'. a* +etermina la matriz de transición.

S={1!"#5$ Matriz P=

(

0 1− p 0 0 p p 0 1− p 0 0 0 p 0 1− p 0 0 0 p 0 1− p 1− p 0 0 p 0

)

b* 8 largo plazo determina la proporción de tiempo que la cadena pasa en cada

estado 9como 6unción de p*.

+istribución invariante del proceso: v

(

1

)

=_pv

(

₂

)

+

(

₁−_p

)

_v

(

₅

)

v

(

2

)

=

(

1− p

)

v

(

1

)

+ pv

(

3

)

v

(

3

)

=

(

₁−_p

)

_v

(

₂

)

+_pv

(

₄

)

v

(

4

)

=

(

1− p

)

v

(

3

)

+ pv

(

5

)

v

(

5

)

=

(

₁−_p

)

_v

(

₄

)

+_pv

(

₁

)

v

(

1

)

+v

(

2

)

+v

(

3

)

+v

(

4

)

+v

(

5

)

=1 roporciones de tiempo

(3)

-ector resultante: π ¿=_v=

(

1 5, 1 5, 1 5 , 1 5 , 1 5

)

(as probabilidades quedan de la siguiente manera

• %l

20

del tiempo la cadena est, en cada estado

". 8l principio de cada da se inspecciona una pieza de cierto equipo para

determinar su condición que se clasi6ica en # estados {1 ! " #$ seg)n su nivel de deterioro donde 1 es el menor deterioro 9pieza nueva* y # el mayor deterioro

9pieza descompuesta*. Supongamos que la condición de la pieza en la n-ésima

inspección es X n y que estas variables 6orman una cadena de Markov con matriz

de transición 0.95 0.05 0 0 0 0.9 0.1 0 0 0 0.875 0.125 1 0 0 0







÷



÷

=



÷



÷





P

a* +eterminar la proporción de tiempo que la pieza pasa en cada estado a la larga. Distribución invariante del proceso:

v

(

1

)

=0.95v

(

1

)

+v

(

4

)

v

(

2

)

=_0.05_v

(

₁

)

+_0.9_v

(

₂

)

v

(

3

)

=0.1v

(

2

)

+0.875 v

(

3

)

v

(

4

)

=0.125 1 4v

(

3

)

v

(

1

)

+_v

(

₂

)

+_v

(

₃

)

+_v

(

₄

)

=₁

(4)

v

(

1

)

=0.51282v

(

2

)

=0.25641,v

(

3

)

=0.20513,v

(

4

)

=0.02564

-ector resultante:

π ¿=_v=

(

_{0.51282,0.25641,0.20513,0.02564}

)

b* Supongamos que una pieza descompuesta requiere tres das para su reposición por una nueva. ara incorporar esto a la cadena de Markov agrega dos estados 95 y ;* y modi6ica adecuadamente la matriz de transición.

S=

{

_1,2,3,4,5,6

}

+ónde: 1=_Nuevo 2=menor deterioro 3=mayordeterioro 4=_descompuesta 5=día y medio 6=día y medio

%ntonces la matriz de transición queda de la siguiente manera

P=

(

0.95 0 0 0 0 1 0.05 0.9 0 0 0 0 0 0.1 0.875 0 0 0 0 0 0.125 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

)

Solución:

(5)

P=

(

.05 .05 0 0 .9 .1 0 1 0 0 .875 0 0 .9 .875 0 .05 .95 .125 0 .1 .875 09 1

)