MATE Dr. Pedro Vásquez UPRM. P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 20

MATE 3031

Dr. Pedro Vásquez

Integral de…nida

Recuerde en la sección anterior, se dedujo que para calcular el área, A, de una región S en el plano, se usa la fórmula:

A= lim n_!∞[f (x1)∆x+f (x2)∆x+ +f (xn)∆x] =nlim_!∞ n ∑ i=1 f (x_i )∆x

Es importante señalar que la fórmula anterior se puede utilizar, inclusive cuando la función f toma valores negativos.

De…nción de integral de…nida Si f es una función de…nida para

a x b, se divide el intervalo [a, b]en n subintervalos de igual longitud

∆x = b a

n . Sean x0(=a), x1, x2, , xn(=b)los puntos extremos de los subintervalos y sean x₁, x₂, , x_n los puntos muestrales de los subintervalos, esto signi…ca que x_i está en el i-ésimo subintervalo

[xi 1, xi]. Entonces la integral de…nida de f desde a hasta b es:

Rb a f (x)dx =_nlim_!∞ n ∑ i=1 f (x_i )∆x

si el límite existe y da el mismo valor para cualquier elección de los puntos muestrales.

Notas:

1. El símbolo R fue introducido por Leibnitz y se le llama el signo de integral. En la notación R_abf (x)dx, f (x) es el integrando, a y b los límites de integración; a es el límite inferior y b es el límite superior. dx signi…ca que x es la variable independiente.

2. R_abf (x)dx, es un número y depende de la variable independiente.

3. La suma _∑n

i=1

f (x_i )∆x es llamada la suma de Riemman. Si f toma

solamente valores positivos, entonces la suma de Riemman se puede interpretar como la suma de las áreas de los rectángulos, ver siguiente …gura:

Si f toma valores positivos y negativos, entonces la suma de Riemman es

la suma del área de los rectángulos que están sobre el eje X y la suma del.

área de los rectángulos que están debajo del eje X

4. Aunque se ha de…nido la integral de…nida R_abf (x)dx dividiendo el intervalo[a, b]en subintervalos de igual longitud, en algunos casos es ventajoso calcular la integral de…nida considerando subintervalos de diferente longitud.

Theorem

Si f es una función continua en [a, b], o si f tiene un número …nito de discontinuidades de salto, entonces f es integrable; esto es, la integral de…nida R_abf (x)dx existe.

Ejemplos

1, Si f (x) =x2 _{2x, 0 x 2, halle la suma de Riemman considerando}

n =6 y como puntos muestrales los lados derechos de cada subintervalo. ¿Qué representa la suma de Riemman?

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 x y

2. La grá…ca de una función g se muestra. Estime R4₂g(x)dx con 6 subintervalos considerando los extremos izquierdos, punto medio y extremos derechos.

Regla del punto medio

El punto muestral x_i es el punto medio del i-ésimo intervalo[xi 1, xi] y la

suma de Riemman es una aproximación a la integral de…nida:

Rb a f (x)dx n ∑ i=1 f (x_i)∆x =∆x[f (x₁) + +f (x_n)] donde: ∆x = b a n y xi = xi 1+xi 2 , punto medio de [xi 1, xi].

3.Use la regla del punto medio para aproximar la integral R₀π/2cos4xdx , n =6

Theorem Si f es integrable en [a, b], entonces: Rb a f (x)dx =_nlim_!∞ n ∑ i=1 f (x_i )∆x, donde ∆x = b a n y xi =a+i∆x. Propiedades: 1 n ∑ i=1 i = n(n+1) 2 2 n ∑ i=1 i2 = n(n+1) (2n+1) 6 3 n ∑ i=1 i3 = n(n+1) 2 2 4 n ∑ i=1 c =nc 5 n ∑ i=1 cai =c n ∑ i=1 ai 6 n ∑ i=1 (ai bi) = n ∑ i=1 ai n ∑ i=1 bi

4. Exprese el límite lim n_!∞ n ∑ i=1 cos xi xi ∆x,

[π, 2π] como una integral

Propiedades de la integral de…nida 1 Rb a f (x)dx = Ra b f (x)dx 2 Ra a f (x)dx =0 3 Rb a cdx =c(b a) 4 Rb a cf (x)dx =c Rb a f (x)dx 5 Rb a (f (x) +g(x))dx = Rb a f (x)dx+ Rb a g(x)dx 6 Rb a (f (x) g(x))dx = Rb a f (x)dx Rb a g(x)dx 7 Si f (x) 0 para a x b, entonces: Rb a f (x)dx 0 8 _{Si f} (_x) _g(_x)_{para a x b, entonces:} Rb a f (x)dx Rb a g(x)dx 9 Si m f (x) M para a x b, entonces: m(b a) R_abf (x)dx M(b a)

6. Exprese la integral R₁10(x 4 ln x)dx, como un límite, pero no evalúe.

7. 34 pág. 383

8.Evalúe R5₅ x p25 x2 _{dx interpretando como áreas de las regiones}

planas.

9. Si R₁5f (x)dx =12 y R₄5f (x)dx =3.6, halle R₁4f (x)dx =

10. Veri…que la identidad R₀1p1+x2_dx R1 0

p

11. Estime el valor de R₀2 1 1+x2dx