Integrales Definidas
Aunque será necesario definirla de forma esencialmente complicada, la integral definida viene a formalizar un concepto sencillo, intuitivo: el de área. No nos debe causar sorpresa el encontrarnos con que la definición de un concepto intuitivo puede presentar grandes dificultades y ciertamente el “área” no es ninguna excepción a esto.
En este módulo intentaremos solamente definir el área de algunas regiones muy especiales (Figura 1): aquellas que están limitadas por el eje horizontal, las rectas verticales x = a y x = b y la gráfica de una función f tal que f x
( )
>0, para todo x de[ ]
a b ; . Denotemos dicha región por R.Figura 1
f (x) = y
a b
R
El número que asignaremos eventualmente como área de R recibirá el nombre de integral definida de f sobre
[ ]
a b En realidad, la integral se definirá también para funciones ; . f que no satisfacen la condición f (x) > 0, para todo x de[ ]
a b; .Figura 2 f (x) = y a b R1 R2 R3
Si f es la función dibujada en la figura 2, la integral representará la diferencia de la suma de las áreas de las regiones R1 y R3 y el área de la región R2.
Supongamos que una curva situada por encima del eje x representa la gráfica de la función y = f (x). Intentemos encontrar el área S de la superficie limitada por la curva y = f (x), el eje x y las rectas que, pasando por los puntos x = a y x = b, son paralelas al eje y. (Ver figura 3) Figura 3 x y 0 a=x x1 2 x x3 1 i x− i x xn−1 n x =b
/
ξi\
\
( )
, i i f ξ ξ /
ξn\
( )
, n n f ξ ξ /
Para resolver este problema se procede como sigue. Dividimos el intervalo
[ ]
a b en ; n subintervalos, no necesariamente iguales. Denotamos la longitud del primer subintervalo por ∆x1=x1−x0, la del segundo subintervalo por ∆x2 =x2−x1, la del i-ésimopor∆xi =xi−xi−1, y así sucesivamente hasta el último, ∆xn =xn−xn−1.En cada subintervalo elegimos los números ξ1, ξ2, ...,ξn, y escribimos la suma
( )
1 1( )
2 2( )
3 3( )
( )
n i i n n
S = f ξ ∆ +x f ξ ∆x + f ξ ∆ +x ⋯+ f ξ ∆ + +x ⋯ f ξ ∆x Sn es evidentemente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de la figura 3.
Cuanto más subintervalos tenga la subdivisión del intervalo
[ ]
a b más próxima se hallará S; , nal área S. Si consideramos una sucesión de tales valores por división del intervalo
[ ]
a b en ; partes cada vez más pequeñas, entonces la suma Sn tenderá a S.indefinidamente, sino también que la longitud del mayor ∆xi en la n-ésima subdivisión
tiende a cero. Así:
( )
0 1 lim (1) i n i i x i S f ξ x ∆ → = =∑
∆El cálculo del área buscada se ha reducido a calcular el límite (1), hemos obtenido una definición rigurosa del concepto de área: es el límite (1).
Integral definida.
La integral definida de la función f(x) en el intervalo [a, b], se define por
( )
0( )
1 lim i n b i i x a i f x dx f ξ x ∆ → = =∑
∆∫
La expresión f (x) dx se llama integrando; a y b son los límites de integración; a es el límite inferior, y b, el límite superior.
Teorema 1. Primer teorema fundamental del cálculo infinitesimal Sea f integrable sobre [a, b] y defínase F sobre [a, b] por
( )
( )
x
a
F x =
∫
f x dxSi f es continua en c de [a, b], entonces F es derivable en c, y
F'(c) = f(c) Una tal función F (x) se llama primitiva de f (x).
El teorema 1 es interesante en extremo cuando f es continua en todos los puntos de [a, b]. En este caso F es derivable en todos los puntos de [a, b] y F' = f. Si f es continua, f es la derivada de alguna función, a saber, la función
( )
( )
x
a
F x =
∫
f x dxTeorema 2. Segundo teorema fundamental del cálculo infinitesimal Si f es integrable sobre [a, b] y f = F' para alguna función F, entonces
( )
( )
( )
( )
2b
a
f x dx F b= −F a
∫
Esta igualdad es la famosa fórmula de Newton y Leibnitz, que reduce el problema de calcular la integral definida de una función a la obtención de una primitiva de la misma, y constituye así un enlace entre el cálculo diferencial y el integral.
Muchos de los problemas concretos estudiados por los más grandes matemáticos se resuelven automáticamente con esta fórmula, que establece sencillamente que la integral definida de la función f (x) en el intervalo [a, b] es igual a la diferencia entre los valores de cualquiera de sus primitivas en los extremos superior e inferior del intervalo. La
diferencia (2) se acostumbra a escribir así:
( )
( )
( )
b a F x =F b − F a Ejemplo: La igualdad 3 2 , 3 x x ′ = muestra que la función
( )
33 x
F x = es una primitiva de la función f x
( )
=x2. Así, por la fórmula de Newton y Leibnitz,3 3 3 3 2 0 0 0 3 3 3 3 a a x a a x dx= = − =
∫
Propiedades de la integral definida.Si f (x) y g(x) son continuas en el intervalo de integración [a, b]:
1. a
( )
0 a f x dx=∫
2. b( )
a( )
a f x dx= − b f x dx∫
∫
3. b( )
b( )
acf x dx c= a f x dx∫
∫
, siendo c una constante4. b
(
( )
( )
)
b( )
b( )
a f x ± g x dx= a f x dx ± a g x dx∫
∫
∫
5. c( )
b( )
b( )
a f x dx + c f x dx = a f x dx∫
∫
∫
, cuando a < c < b6. Teorema del valor medio:
( )
(
) ( )
0b a f x dx= b− a f x
∫
, para al menos un valor x = x0 entre a y b. 7. Si( )
u( )
, a F u =∫
f x dx se verifica d F u( ) ( )
f u du = .Ejemplos. 1. Sea f (x) = c, c∈ℝ y F(x) = cx; tendremos:
