MA35_12_11_12

C u r s o :

Matemática

Material N° 39

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 30

UNIDAD: GEOMETRÍA

RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO - ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

Determinación del plano:

Un plano queda determinado por:

 Dos rectas que se intersectan en un punto (fig. 1).

 Tres puntos no colineales (fig. 2).

 Por una recta y un punto no perteneciente a ella

(fig. 3).

 Por dos rectas paralelas (fig. 4).

EJEMPLO

1. Señale cuál de las siguientes opciones es verdadera

A) Un plano queda bien determinado por tres puntos colineales.

B) Un plano queda determinado por una recta y un punto perteneciente a ella. C) Por dos puntos pasa un único plano.

D) Un plano está determinado por los lados opuestos de un paralelogramo

E) Un plano se puede determinar por la recta de ecuación y = 3x + 2, y el punto (-1,-1). L1

L2 P

fig. 1

L1

L2 P

fig. 4 A

P

B C

fig. 2

L1

A P

DEFINICIONES

POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristasy la intersección de las aristas se llaman vértices.

PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma).

ÁNGULO DIEDRO:Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto.

EJEMPLOS

1. ¿Cuál de las siguientes aseveraciones es (son) verdadera(s)?

I) El cubo tiene 6 caras equivalentes.

II) El paralelepípedo rectangular posee seis caras equivalentes.

III) Un prisma trapezoidal tiene como caras laterales trapecios y en sus bases rectángulos paralelos.

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

2. El ángulo diedro formado por dos de las caras laterales de un prisma, cuyas bases corresponden a un hexágono regular, es

A) 30° B) 60° C) 90° D) 120° E) 150°

Prisma Pentagonal Prisma trapezoidal

Ángulo diedro Arista

P1

Semiplanos P2

Arista

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS

CUERPOS DE REVOLUCIÓN

Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje:

ESFERA CILINDRO CONO TRONCO DE CILINDRO CON

CONO DOS CONOS

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:

EJEMPLOS

1. Para formar el cuerpo de revolución de la figura 1, la superficie que lo puede generar es

I) II) III)

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y II E) Sólo II y III

2. Indique cuál de los siguientes cuerpos puede ser generado por rotación y traslación a la vez

I) El cubo II) La esfera III) El cilindro

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo III D) Sólo I y III E) Sólo II y III

eje de giro

Prisma pentagonal

Prisma trapezoidal Prisma hexagonal

Prisma triangular Cilindro circular recto

CUADRO RESUMEN DE ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS

NOMBRE FORMA ÁREA VOLUMEN

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR

2(ab +bh + ah) a · b · h

CUBO 6a

2 _a3

PRISMA RECTO RECTANGULAR

h(a + b + c)+ 2B

B = área basal Bh

CILINDRO RECTO

BASE CIRCULAR 2rh + 2r

2 _r2_{· h}

PIRÁMIDE RECTA

BASE CUADRADA 2ag + a

2 g = apotema

lateral

2

1_{a · h} 3

CONO RECTO

BASE CIRCULAR rg + r

2

g= generatriz 13r · h2

ESFERA 4r2 4 _r3

3 h

b

a

a a

a

r 

Volumen

Área de la base por la altura

Volumen

Área de la base por la altura dividido por tres  r

h c b

a

h B

a

a g h

r

EJEMPLOS

1. Un cuadrado de lado 6 cm, se traslada horizontalmente 5 cm, tal como se muestra en la figura 1. Entonces, el área y el volumen son respectivamente

A) 180 cm2 _{y 186 cm}3 B) 192 cm2 _{y 186 cm}3 C) 182 cm2 _{y 192 cm}3 D) 180 cm2 _{y 192 cm}3 E) 192 cm2 _{y 180 cm}3

2. Al girar en torno al lado AB del rectángulo ABCD de la figura 2, se obtiene un cilindro de volumen

A) 12 cm3 B) 24 cm3 C) 72 cm3 D) 144 cm3 E) 1.296cm3

3. Un triángulo rectángulo de catetos 5 cm y 12 cm, se traslada horizontalmente 4 cm. Entonces, el área y volumen del cuerpo geométrico representado en la figura 3 es

Área Volumen

A) 90 cm2 _{120 cm}3 B) 120 cm2 _{180 cm}3 C) 150 cm2 _{120 cm}3 D) 180 cm2 _{60 cm}3 E) 180 cm2 _{120 cm}3

fig. 1

6 6

5 6

fig. 3

5 cm 12 cm

4 cm

fig. 2 D

C A

B 6 cm

PUNTOS EN EL ESPACIO

En la figura 1 observamos tres ejesX, Y, Z mutuamente perpendiculares que generan también tres planos perpendicularesXY, XZ, y el YZ.

El paralelepípedo del dibujo, tiene tres de sus vértices en los ejes en tanto que el punto K está en el plano YZ, el punto L, en el plano XZ y el punto M en el plano XY, pero el punto A está “suspendido” en el espacio encerrado por los tres planos. Este punto A tiene coordenadas (a, b, c).

EJEMPLOS

1. La figura 2, muestra un cubo de arista 8, entonces las coordenadas de los vértices A, B, C y D son

A) A(8,0,0); B(8,0,0); C(0,8,8); D(8,8,8) B) A(8,8,0); B(0,8,0); C(0,8,8); D(8,8,8) C) A(8,0,8); B(0,0,8); C(0,8,0); D(8,8,0) D) A(8,8,0); B(0,8,0); C(0,8,0); D(8,8,8) E) A(0,8,0); B(0,8,0); C(0,8,8); D(8,8,0)

2. En la figura 3, ¿cuál es la distancia entre el punto A (0, 4, 0) y el punto (6, 4, 8)?

A) 5 B) 4 5 C) 10 D) 10 E) 2 13

Z

Y

X

M A

c K

L

b a

fig. 1

A B C D

fig. 2

x

z

y

8

fig. 3

4 y

A

6 x

EJERCICIOS

1. ¿Cuál es el diámetro de una esfera cuya área es igual a 100cm2_? A) 2 cm

B) 4 cm C) 5 cm D) 10 cm E) 12 cm

2. Se tiene un prisma regular con 16 vértices, que fue generado al trasladar su base. Entonces, se puede concluir que

A) su base es un pentágono regular. B) su base es un hexágono regular. C) su base es un heptágono regular. D) su base es un octógono regular. E) no se puede determinar.

3. Para que el volumen de una esfera sea igual a 6

 _cm3_{, es necesario que el radio de dicha} esfera mida

A) 1 B) 1 2 C) 1 3 D) 2 3 E) 3 2

4. Si el contenido de un cilindro circular recto con un volumen de 175 cm3_{, se vacía en un} cono recto de base circular de radio y altura iguales a la del cilindro (fig. 1), entonces ¿cuál es la cantidad de líquido queno se alcanza a traspasar?

A) 1 3 cm

3

B) 175 3 cm

3

C) 175 3

 _cm3

D) 350 3 cm

3

E) 350 3

 _cm3

5. Un prisma de base triangular tiene una altura igual a 4 cm, si la base es un triángulo rectángulo de catetos 8 y 15 cm, entonces el área del prisma es

A) 60 cm2 B) 120 cm2 C) 160 cm2 D) 220 cm2 E) 280 cm2

6. Señale cuál de las piezas de un ajedrez nose puede generar por rotación

A) Alfil B) Torre C) Rey D) Reina E) Peón

7. Si se tiene un segmento cuyos puntos extremos son (1, 3, 0) y (2, 4, 2a). ¿Para qué valor de a, siendo a un real positivo, la distancia entre estos dos puntos es 6?. Sabiendo que la distancia entre dos puntos en el espacio, se obtiene mediante la

expresión 2 2 2

2 1 2 1 2 1

(x x ) + (y y ) + (z z )  

A) 0,4 B) 0,5 C) 1 D) 2 E) 3

8. Si se rota un cuarto de un círculo de radio 3 cm (fig. 2), en torno a su radio, ¿cuál es el volumen del cuerpo que se genera?

A) 6cm3 B) 9cm3 C) 12cm3 D) 15cm3 E) 18cm3

Alfil Torre Rey Reina Peón

3

9. ¿Cuál es el área y el volumen de un cilindro (fig. 3), en función de la altura (h), si la medida del radio corresponde a un cuarto de la medida de la altura?

Área Volumen

A) h2 1 + 1

2 4        3 h 8 

B) h2 1 + 1

2 4        3 h 16 

C) h2 1 + 1

2 2        3 h 4 

D) h2 1 + 1

4 2        2 h 8 

E) h2 1 + 1

4 4        2 h 16 

10. En la figura 4, ¿cuánto mide el menor ángulo diedro formado por el plano ABCD y una de las caras del paralelepípedo, si AB = 2 CE = 10 cm?

A) 30º B) 45º C) 60º D) 50º E) 90º

11. En la figura 5, ¿qué radio debe tener una esfera para que su volumen y área sean iguales numéricamente? A) 1 3 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

12. En la figura 6, el volumen de la pirámide es 20a2 3 cm

3_{y el perímetro de su base cuadrada}

es 8a cm. ¿Cuál es la longitud de la altura de dicha pirámide?

A) 5 4 cm B) 2 cm C) 4 cm D) 5 cm

13. En la figura 7, al cilindro de radio 10 cm y de largo 30 cm, se le ha hecho un orificio en el centro del cilindro con un diámetro de 18 cm, en toda su extensión. ¿Cuál es el volumen del cuerpo cilíndrico resultante?

A) 98 cm3 B) 570cm3 C) 702cm3 D) 800cm3 E) 1.502cm3

14. El valor de la apotema lateral (g) de una pirámide de base cuadrada de lado igual a 5c cm y con un área de 50 cm2_{está dado por}

A) g = 5c + 502

c cm

B) g = 25c + 502

c cm

C) g = 25c 502 10c

 _cm

D) g = 50 25c2 10c

 _cm

E) g = 50 + 25c2 10 cm

15. En la figura 8, ¿cuál es el volumen de la pirámide inscrita en el cubo de arista 4 cm?

A) 16 3 cm

3

B) 24 3 cm

3

C) 34 3 cm

3

D) 48 3 cm

3

E) 64 3 cm

3

fig. 8 Z

X

Y fig. 7 10 cm

16. Si se rota un triángulo rectángulo en torno al cateto de 4 cm de longitud, ¿cuál es la generatriz (g) y el área del cuerpo generado, si el otro cateto del triángulo mide 3 cm?

Generatriz Área

A) 5 cm 27cm2 B) 5 cm 24cm2 C) 4 cm 24cm2 D) 4 cm 12cm2 E) 3 cm 12cm2

17. Si el volumen del cubo de la figura 9 es 125 cm3_{, entonces el área achurada es}

A) (5 + 5 2 ) cm2 B) (15 + 5 2 ) cm2 C) (25 + 25 2 ) cm2 D) (25 + 5 2 ) cm2 E) (5 + 25 2 ) cm2

18. Se desea cubrir un paralelepípedo recto con papel de regalo, ¿cuánto papel se necesita si el largo es p, y el ancho y alto miden q?

A) pq2 B) p2_q2 C) p2_q

D) 2q2_{+ 4pq} E) 2p2_{+ 4pq}

19. Los puntos A, B, C y D de la figura 10, son los vértices de un cuadrado. Si ABCD se traslada según el vector (0,0,5), entonces el volumen del cuerpo que se generó por dicha traslación es

A) 13 cm3 B) 40 cm3 C) 56 cm3 D) 80 cm3 E) 112 cm3

fig. 9

X

Y Z

fig.10

1

1 ₂

2

3 3

4

4 5

5 6 1

2 3 4 5 6 7

7

x

y z

D A

C B

cm

cm

20. Si dos de las coordenadas de un cubo son (0, 0, 0) y (4, 0, 0). ¿Cuál(es) de las siguientes coordenadas puede(n) pertenecer a dicho cubo?

I) (0, 4, 0) II) (0, 0, 4) III) (4, 4, 4) IV) (4, -4, 0)

A) Solo I y II B) Sólo II y III C) Sólo III y IV D) Sólo I, II y III E) Todas ellas

21. En la figura 11, ¿cuál es el área de una pirámide de base cuadrada de lado a, formada por cuatro triángulos equiláteros, en función de su altura h?

A) 2h · (1 + 3 ) B) h2 _{· (1 + 3 )}

C) 2h2_{· (1 + 3 )}

D) (2h)2_{· (1 + 3 )}

E) 2h2_{· (1 + 3 )}2

22. Un reloj de arena de 12 cm de altura está formado por dos conos iguales rectos, uno de los cuales está completamente lleno de arena, tal como se muestra en la figura 12. Si se invierte el reloj toda la arena pasa al otro cono en 1 minuto, bajo estas condiciones, ¿qué volumen de arena deja pasar por segundo el reloj? (use = 3)

A) 216 cm3 B) 36 cm3 C) 10,8 cm3 D) 7,2 cm3 E) 3,6 cm3

23. Un lingote de cobre (fig. 13), formado por la traslación de un trapecio de bases 7 y 5 cm y de altura 4 cm, pesa 4,32 kg. Calcule la densidad en gr/cm3_{del cobre utilizado.}

A) 18 B) 12 C) 10,8 D) 9 E) 7,7

h

a

a

fig. 11

12 cm _{fig. 12}

20 cm

24. En la figura 14 se tiene un cilindro de radio basal 3 cm y altura 4 cm, al que en su centro se le ha quitado un paralelepípedo recto de igual altura y base cuadrada de lado 2 cm. ¿Cuál es el volumen que queda? ( use = 3)

A) 38 cm3

B) 40 cm3

C) 44 cm3

D) 54 cm3

E) 92 cm3

25. De un bloque cúbico de arista 3 m se recorta un sólido en forma de H como se muestra en la figura 15. Entonces, el volumen del sólido es

A) 21 m3 B) 27 m3 C) 54 m3 D) 55 m3 E) 62 m3

26. En la figura 16, se tiene dos pentágonos regulares de lado 2 cm. Si uno de ellos es la imagen del otro, provocado por una traslación horizontal. Calcular la longitud del segmento que une dichos pentágonos, para crear un prisma de base pentagonal.

A) 26 cm B) 34 cm C) 6 cm D) 50 cm E) 36 cm

27. En la figura 17, se muestra una pirámide inscrita en un cubo. Se puede determinar el volumen del cubo si :

(1) El volumen de la pirámide es 5 3 .

(2) El volumen del cubo es equivalente a tres pirámides inscritas.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

fig. 14

1 m 1 m 1 m 1 m

1 m 1 m

fig. 15

3 m

fig. 16

x

y z

7

3

28. El volumen del cilindro recto de radio 3 cm (fig. 18) se obtiene si :

(1) Se conoce la generatriz g del cono inscrito. (2) Se conoce el área basal del cilindro.

A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

29. Se puede calcular el área de un cilindro si :

(1) El diámetro de la base es 3 veces la altura del prisma. (2) El volumen del cilindro es 48.

A) (1) por sí sola B) (2) pos sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

30. Del prisma de la figura 19, formado por un cuadrado CDEF y un triángulo rectángulo ADC como base, se puede conocer el ángulo , si :

(1) 2 AD = AC (2) ABC equilátero. A) (1) por si sola B) (2) por si sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2) E) Se requiere información adicional

h

r

fig. 18

fig. 19



A D B E

RESPUESTAS

EJERCICIOS PÁG. 7

DMDOMA39

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1. D 11. B 21. C 2. D 12. D 22. E 3. B 13. B 23. D 4. E 14. D 24. E 5. E 15. E 25. A 6. C 16. B 26. B 7. C 17. C 27. A 8. E 18. D 28. A 9. B 19. D 29. C 10. A 20. E 30. D

Ejemplos

Págs. 1 2 3

1 D

2 A D

3 D C

5 E B E