Junior – 9no a˜
no
1. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros es el m´as cercano al n´umero 20,15×51,02?
(A) 100 (B) 1000 (C) 10000 (D) 100000 (E) 1000000
Soluci´on: Se aproxima el producto con 20×50 = 1000.
2. El diagrama muestra un prisma desarmado. ¿Cu´al arista coincide con la arista U V cuando se construye el prisma? P Q R S T U V W X Y
(A)V W (B)XW (C)XY (D)QR (E)RS
Soluci´on: Observe que la arista XW coincide con la aristaV W, es decir el v´erticeX coincide con el v´ertice V y que el v´ertice Y coincide con el v´erticeU, as´ı la arista U V coincide con la arista Y X.
3. Pap´a lav´o la ropa y colg´o las camisetas en un alambre. Pidi´o entonces a sus hijos que colocaran una sola media entre cualesquiera dos camisetas. Ahora hay 29 piezas de ropa en el alambre. ¿Cu´antas camisetas hay?
(A) 10 (B) 11 (C) 13 (D) 14 (E) 15
Soluci´on: Hay dos camisetas en los extremos, por lo que el n´umero de camisetas es uno m´as que el n´umero de medias. As´ı hay 15 camisetas.
4. La parte sombreada del cuadrado de ladoaest´a acotada por un semic´ırculo y dos arcos de un cuarto de semic´ırculo. ¿Cu´al es el ´area de la dicha regi´on sombreada?
+
1
3
6
4 6
8
7
10
b b Start Finish garden playground house library 10 min 15 min 20 min 15 min 5 min (A) πa 2 8 (B) a2 2 (C) πa2 2 (D) a2 4 (E) πa2 4Soluci´on: Si se parte en 2 la regi´on sombreada inferior, cada mitad se puede acomodar al lado de cada uno de los lados contrarios de la regi´on sombreada superior, por lo que lo que est´a sombreado es la mitad del cuadrado, cuya ´area ser´ıa dea2/2.
5. En cierta clase, no hay dos ni˜nos que hayan nacido el mismo d´ıa de la semana, ni dos ni˜nas que hayan nacido el mismo mes. Siempre que un ni˜no o ni˜na se unen a la clase, alguna de las condiciciones se deja de cumplir. ¿Cu´antos ni˜nos y ni˜nas hay en total?
(A) 18 (B) 19 (C) 20 (D) 24 (E) 25
Soluci´on: De la primera frase se concluye que el m´aximo n´umero posible de ni˜nos es 7, y el de ni˜nas es 12. De la segunda, que hay exactamente 7 ni˜nos y 12 ni˜nas, para un total de 19.
6. Tres hermanas, Ana, Berta y Claudia, compraron un paquete de 30 galletas; cada una recibi´o 10 galletas. Sin embargo Ana pag´o 800 colones, Berta 500 y Claudia 200. Si ellas hubieran dividido las galletas propor-cionalmente al precio que cada una pag´o, ¿cu´antas galletas m´as debi´o haber recibido Ana?
(A) 10 (B) 9 (C) 8 (D) 7 (E) 6
Soluci´on: Entre todas pagan 1500 colones y reciben 30 galletas. As´ı, proporcionalmente, 30 : 1500 ::A: 800, de dondeA= 16, por lo que debi´o haber recibido 6 galletas m´as.
7. Cada asterisco en la ecuaci´on 2∗0∗1∗5∗2∗0∗1∗5∗2∗0∗1∗5 = 0 debe ser reemplazado por + o por − de tal manera que la ecuaci´on sea correcta. ¿Cu´al es el menor n´umero de asteriscos que pueden ser reemplazados por +?
(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5
Soluci´on: La suma de todos los n´umeros da 24, por lo que debe haber unos que sumen 12 y otros−12. Para disminuir el n´umero de s´ımbolos +, y dado que ya el 2 es positivo, entonces se coloca + adelante de dos 5’s.
8. El Se˜nor Cabezas desea desenterrar un tesoro que escondi´o en su jard´ın a˜nos atr´as. Solamente recuerda que lo enterr´o al menos a 5 m del borde y a lo sumo a 5 m del tronco del viejo palo de limones. ¿Cu´al de las siguientes figuras muestra la regi´on donde el Se˜nor Cabezas debe buscar por el tesoro?
(A) (B) (C) (D) (E)
Soluci´on: La opci´on correcta es la B.
9. ¿Cu´al es el d´ıgito de las unidades del n´umero 20152+ 20150+ 20151+ 20155?
(A) 1 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 9
Soluci´on: A excepci´on de 20150 que es 1, el resto de las potencias termina en 5, por lo que el ´ultimo d´ıgito se obtiene al sumar 5 + 1 + 5 + 5 = 16, es decir, 6.
10. Hay 33 ni˜nos en una clase. Sus materias favoritas son C´omputo y Educaci´on F´ısica. A tres ni˜nos les gustan ambas materias. El n´umero de ni˜nos a los cu´ales les gusto solo C´omputo es el doble de aquellos a los cuales les gusta solo Educaci´on F´ısica. ¿A cu´antos ni˜nos les gusta C´omputo?
11. Durante una tormenta caen 15 litros de agua por metro cuadrado. ¿Cu´anto aumenta el nivel de agua en una piscina al aire libre? (1 m3 = 1000 litros)
(A) 150 cm (B) 0,15 cm (C) 15 cm (D) 1,5 cm
(E) Depende del tama˜no de la piscina.
Soluci´on: Usando regla de 3: 1 : 1000 ::x: 15, de dondex= 0,015 m = 1,5 cm.
12. ¿Cu´al de los siguientes n´umeros no es un cuadrado perfecto ni un cubo perfecto?
(A) 613 (B) 512 (C) 411 (D) 310 (E) 29
Soluci´on: 512= (56)2= (54)3, 411= (22)11= (211)2, 310= (35)2, 29= (23)3, por lo que la respuesta es 613.
13. Una esquina de un cuadrado se dobla hacia su centro para formar un pent´agono irregular. Las ´areas del pent´agono y del cuadrado corresponden a enteros consecutivos. ¿Cu´al es el ´area del cuadrado?
(A) 2 (B) 4 (C) 8 (D) 16 (E) 32
Soluci´on: Sea x el ´area del cuadrado, por lo que x/8 es el ´area que se le quita. As´ı, x−x/8 = 7x/8 y x deben ser n´umeros consecutivos, es decir, 7x/8 + 1 =x de dondex= 8. Otra posibilidad es ver que 7x/8 debe ser entero, y verificando se observa quex= 8 satisface las condiciones del problema.
14. La Sra. Lucero compr´o 100 candelas. Ella quema una candela cada d´ıa y siempre hace una nueva de la cera de siete candelas usadas. ¿Despu´es de cu´antos d´ıas tendr´a que ir a comprar candelas nuevamente?
(A) 112 (B) 114 (C) 115 (D) 116 (E) 117
Soluci´on: 100 = 14×7 + 2. Es decir, despu´es de 100 d´ıas, puede hacer 14 c´andelas m´as, y con ellas 2 m´as, para un total de 116 d´ıas.
15. El n´umero de ´angulos rectos en un pent´agono convexo es den. ¿Cu´al es la lista completa de los posibles valores den?
(A) 1, 2, 3 (B) 0, 1, 2, 3, 4 (C) 0, 1, 2, 3 (D) 0, 1, 2 (E) 1, 2
16. El diagrama indica los colores de algunos segmentos unitarios de un patr´on. Luis desea colorear cada segmento unitario restante de rojo, azul o verde. Cada tri´angulo debe tener un lado de cada color. ¿Qu´e color
puede usar para el segmento marcado conx?
azul x azul
verde verde
(A) solo verde (B) solo rojo (C) solo azul (D) rojo o azul (E) es imposible
Soluci´on: Si se enumeran los segmentos como se muestra en la figura, la ´unica posibilidad para el 1 es verde, el 2 es rojo y el 3 azul; por otro lado la ´unica posibilidad para el 8 es azul, el 7 rojo y el 6 verde; finalmente, el 5 debe ser verde, el 4 rojo y la xazul.
azul x azul
verde verde
1 2 3 4
5
6 7 8
17. Irina pregunt´o a cada uno de sus cinco estudiantes cu´antos de ellos hab´ıan estudiado el d´ıa anterior. Pablo dijo que ninguno, Berta que uno, Olga que dos, Eugenio que tres y Gerardo que cuatro. Irina sab´ıa que aquellos estudiantes que no hab´ıan estudiado el d´ıa anterior no dec´ıan la verdad, pero que aquellos que s´ı hab´ıan estudiado dec´ıan la verdad. ¿Cu´antos de ellos estudiaron el d´ıa anterior?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (E) 4
Soluci´on: Dado que la respuesta de todos es diferente, solamente uno puede estar diciendo la verdad. Por lo que Berta fue la ´unica que estudi´o.
18. La figura muestra mi dado para tomar decisiones en tres posiciones diferentes. ¿Cu´al es la probabilidad de obtener un ‘S´ı’ en este dado?
No
S´ı S
´ı
S ´ı
S
´ı
Tal vez
No
S ´ı No
(A) 1
3 (B)
1
2 (C)
5
9 (D)
2
3 (E)
5 6
Soluci´on: Por la disposici´on de la direcci´on de las palabras, la ´unica posibilidad es que haya solamente un Tal vez, dos No’s y tres S´ı’s, por lo que la probabilidad de obtener un S´ı es de 1/2.
19. La longitud del lado de un cuadrado es 1. ¿Cu´al es la distancia m´ınima que tomar´ıa caminar del ‘Inicio’ a la ‘Meta’, si solo se permite avanzar por los lados o las diagonales de cuadrados individuales?
Inicio
20. Cada habitante del planeta Alado tiene al menos dos orejas. Tres habitantes llamados Imi, Dimi y Trimi se encontraron en un cr´ater. Imi dijo: “Yo puedo ver 8 orejas.” Dimi: “Yo puedo ver siete orejas.” Trimi: “Eso es extra˜no. Yo solo puedo ver cinco orejas.” Ninguno de ellos pod´ıa ver sus propias orejas. ¿Cu´antas orejas tiene Trimi?
(A) 2 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7
Soluci´on: Sean i, d, t el n´umero de orejas de Imi, Dimi y Trimi respectivamente. As´ıd+t= 8, i+t = 7 e i+d= 5, por lo qued+t+i+t+i+d= 2i+ 2d+ 2t= 20, de donde el n´umero total de orejas es de 10, as´ı que Trimi debe tener 5 orejas.
21. Un recipiente con la forma de un prisma rectangular cuya base es un cuadrado de 10 cm de lado, se llena con agua a una altura de hcm. Un cubo s´olido de 2 cm de arista se coloca adentro de ´el. El m´ınimo valor de h de manera que el cubo quede completamente sumergido dentro del agua es de:
(A) 1,92 cm (B) 1,93 cm (C) 1,90 cm (D) 1,91 cm (E) 1,94 cm
Soluci´on: El volumen del l´ıquido es de 100hcm3. El l´ıquido con el cubo sumergido (cuyo volumen es de 8 cm3) debe tener una altura de 2 cm, por lo que tendr´ıa un volumen de 200 cm3. As´ı, 100h+ 8 = 200, de dondeh= 1,92.
22. Rita desea escribir un n´umero en cada una de las siete regiones limitadas del diagrama. Las regiones se consideran vecinas si comparten parte de su l´ımite. El n´umero en cada regi´on es la suma de los n´umeros en todos sus vecinos. Rita ha escrito dos de los n´umeros, como se muestra. ¿Cu´al n´umero debe escribir en la regi´on central?
x
2
−4
?
(A) 1 (B)−2 (C) 6 (D)−4 (E) 0
Soluci´on: Observe que el 2 y el −4 tienen casi los mismos vecinos, a excepci´on de que el 2 tiene adem´as al ? como vecino, por lo que−4+? = 2, de donde ? = 6.
23. Cinco enteros positivos (no necesariamente diferentes) se escriben en cinco cartas. Pedro calcula la suma de los n´umeros tomando cada posible pareja de cartas. Obtiene solamente tres sumas diferentes: 57, 70 y 83. ¿Cu´al es el mayor entero escrito en alguna de las cartas?
(A) 35 (B) 42 (C) 48 (D) 53 (E) 82
24. El cuadrado ABCD tiene ´area 80. Los puntos E,F, Gy H se encuentran en los lados del cuadrado y AE =BF =CG=DH. Si AE = 3EB, ¿cu´al es el ´area sombreada?
(A) 20 (B) 25 (C) 30 (D) 35 (E) 40
Soluci´on: El lado del cuadrado mide 4√5, por lo que CF = √5 y CG = 3√5. As´ı, el ´area del cuadrado EF GH ser´ıa de 80−4·√5·3√5/2 = 50. El ´area sombreada es la mitad del ´area de dicho cuadrado, es decir, de 25.
25. Hoy el producto de las edades (como enteros) de padre e hijo es de 2015. ¿Cu´al es la diferencia de sus edades?
(A) 26 (B) 29 (C) 31 (D) 34 (E) 36
Soluci´on: Suponiendo que el padre no tenga m´as de 100 a˜nos, y dado que 2015 = 5·13·31, la ´unica posibilidad es que el padre tenga 5·13 = 65 a˜nos y el hijo 31 a˜nos, por lo que la diferencia de sus edades es de 65−31 = 34.
26. Cuatro pesas a,b,c,dse colocan en las balanzas (ver figura). Luego dos de las cargas se intercambian y la balanza cambia de posici´on como se muestra. ¿Cu´ales pesas se intercambiaron?
(A)ayb (B)b yd (C)by c (D)ayd (E)ayc
Soluci´on: Dicha balanza implica que a > b, c > d y a+b > c+d. De las dos primeras desigualdades se obtiene que a+c > b+d, por lo que la ´unica respuesta posible es intercambiar acond.
27. Si las dos ra´ıces de la ecuaci´onx2−85x+c= 0 son n´umeros primos, ¿cu´al es el valor de la suma de los d´ıgitos dec?
(A) 12 (B) 13 (C) 14 (D) 15 (E) 21
28. ¿Cu´antos enteros positivos de tres d´ıgitos existen en los cuales cualesquiera dos de sus d´ıgitos adyacentes difieren en 3?
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 20 (E) 27
Soluci´on: Cuando el n´umero comienza con 3 o 6 hay 3 posibilidades en cada caso; en el resto, solamente 2 posibilidades. Por lo tanto en total son 2·3 + 7·2 = 20 casos en total.
29. ¿Cu´al de los siguientes ejemplos muestra que no es correcto afirmar que: “Si n es un n´umero primo, entonces exactamente uno de los n´umerosn−2 on+ 2 es un n´umero primo”?
(A)n= 11 (B)n= 19 (C)n= 21 (D)n= 29 (E)n= 37
Soluci´on: Observe que todos a excepci´on del 21 son n´umeros primos, y que para n = 37 ni 35 ni 39 son n´umeros primos.
30. Pamela tiene tres diccionarios diferentes y dos novelas diferentes en un estante. ¿De cu´antas formas se pueden ordenar los libros si ella desea mantener los diccionarios y las novelas juntas?
(A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 60 (E) 120
