3 puntos
# 1. Cada a˜no, la fecha de la Prueba Canguro es el tercer jueves de marzo. ¿Cu´al es la fecha m´as temprana posible?
(A) 14 de marzo (B) 15 de marzo (C) 20 de marzo (D) 21 de marzo (E) 22 de marzo
R/ Ser´ıa cuando el 1ero de marzo es jueves, por lo que ser´ıa el jueves 15 de marzo.
# 2. El MSC Fabiola tiene el record de ser el barco de carga m´as grande en entrar en la Bah´ıa de San Francisco. Puede cargar hasta 12 500 contenedores, que si se pusieran en l´ınea recta se extender´ıan por unos 75 km. ¿Cu´al es la longitud aproximada de cada uno de los contenedores?
(A) 6 m (B) 16 m (C) 60 m (D) 160 m (E) 600 m
R/ 75 km son 75 000 m, que habr´ıa que dividir por 12 500. As´ı, la longitud aproximada ser´ıa de 6 m.
# 3. Si a, b, y c denotan las longitudes de las l´ıneas en la figura, entonces, ¿cu´al de las siguientes afirmaciones es la correcta?
a b c
(A)a < b < c (B)a < c < b (C)b < a < c (D)b < c < a (E)c < b < a
R/a= 16, b = 8 + 2π y c= 8 + 4√2. √2<1.5 por lo que 4√2<6. Por otro lado 6<2π <8, por lo que c > b > a.
# 4. ¿Qu´e n´umero est´a en el punto medio entre 2 3 y
4 5?
(A) 11
15 (B)
7
8 (C)
3
4 (D)
6
15 (E)
5 8
R/ El punto medio entre los puntosa y b est´a dado por a+b
2 , por lo que el punto medio es 11 15. Otra forma, 2/3 = 10/15 y 4/5 = 12/15.
# 5. En el n´umero 2014 el ´ultimo d´ıgito es mayor a la suma de los otro tres d´ıgitos. ¿Hace cu´antos a˜nos ocurri´o lo mismo por ´ultima vez?
(A) 1 (B) 3 (C) 5 (D) 7 (E) 11
# 6. La longitud de las aristas del hex´agono regular grande es el doble de la longitud de las artistas del hex´agono regular peque˜no. El hex´agono peque˜no tiene un ´area de 4 cm2. ¿Cu´al es el ´area del hex´agono
grande?
(A) 16 cm2 (B) 14 cm2 (C) 12 cm2 (D) 10 cm2 (E) 8 cm2
R/ Dado que el hex´agono est´a formado por seis tri´angulos equil´ateros, entonces los tri´angulos que forman el hex´agono grande miden el doble de base y el doble de altura con respecto a los tri´angulos que forman el hex´agono peque˜no, por lo que el ´area del hex´agono grande es 4 veces el ´area del hex´agono peque˜no.
# 7. ¿Cu´al es la negaci´on de la siguiente afirmaci´on: “Cada una resolvi´o m´as de 20 problemas”?
(A) Ninguna resolvi´o m´as de 20 problemas. (B) Alguna resolvi´o menos de 21 problemas
(C) Cada una resolvi´o menos de 21 problemas (D) Alguna resolvi´o exactamente 20 problemas
(E) Alguna resolvi´o m´as de 20 problemas
R/ Decir que no fue cierto quetodos hicieron algo, es porque alguien no lo hizo. En este caso, alguien no resolvi´o m´as de 20 problemas, por lo que tuvo que haber resuelto 20 o menos. Es decir, alguna resolvi´o menos de 21 problemas.
# 8. En un sistema coordenado Tom dibuj´o un cuadrado. Una de sus diagonales se encuentra sobre el eje x. Las coordenadas de los dos v´ertices en el eje x son (−1,0) y (5,0). ¿Cu´al de las siguientes coordenadas corresponde a uno de los otros v´ertices del cuadrado?
(A) (2,0) (B) (2,3) (C) (2,−6) (D) (3,5) (E) (3,−1)
R/ El centro del cuadrado se encuentra en el punto medio de la diagonal, dado por (−1,0) + (5,0)
2 =
(2,0); como la diagonal mide 6, entonces los otros v´ertices corresponden a (2,−3) y (2,3).
# 9. En cierta villa, la raz´on entre adolescentes y mujeres adultas es de 1 : 8, y la raz´on entre mujeres adultas y hombres adultos es de 3 : 2. ¿Cu´al es la raz´on entre adolescentes y personas adultas?
(A) 1 : 5 (B) 3 : 10 (C) 1 : 13 (D) 1 : 12 (E) 3 : 40
# 10. La llanta grande de la bicicleta tiene un per´ımetro de 4.2 metros. La llanta peque˜na tiene un per´ımetro de 0.9 metros. En cierto momento las v´alvulas de aire de ambas llantas se encuentran en su punto m´as bajo. Si la bicicleta avanza hacia la izquierda, ¿despu´es de cu´antos metros ambas v´alvulas de aire estar´an en su punto m´as bajo nuevamente?
(A) 4.2 (B) 6.3 (C) 12.6 (D) 25.2 (E) 37.8
R/ El m.c.m. entre 42 y 9 es 126, por lo que ambos gusanos coincidir´an en 12.6 metros.
4 puntos
# 11. Este a˜no Lucrecia puede afirmar que la suma de las edades de ella, su hija y su madre es de 100. ¿En qu´e a˜no naci´o su hija si cada edad es una potencia de 2?
(A) 1998 (B) 2006 (C) 2010 (D) 2012 (E) 2013
R/ La ´unica posibilidad es que en alg´un momento del a˜no Lucrecia tenga 32, su madre 64 y su hija 4, por lo que su hija pudo haber nacido en el 2009 o en el 2010.
# 12. Andy escribe todos los d´ıgitos del 1 al 9 en las casillas de una tabla 3×3, de manera que en cada casilla escribe un d´ıgito. Ya ha escrito los d´ıgitos 1, 2, 3 y 4 como se muestra. Dos n´umeros se consideran “vecinos” si sus casillas comparten una arista. Despu´es de escribir todos los d´ıgitos, se da cuenta de que la suma de los vecinos del 9 es 15. ¿Cu´al es la suma de los vecinos del 8?
(A) 12 (B) 18 (C) 20 (D) 26 (E) 27
R/ Si el 9 estuviera en el centro, entonces los vecinos ser´ıan 5, 6, 7 y 8, cuya suma ser´ıa de 26; en el resto de posibilidades para colocar el 9, los vecinos ser´ıan 2 n´umeros de las esquinas m´as el n´umero en la casilla central, por lo que la ´unica posibilidad es que el 9 est´e entre el 3 y el 4, quedando el 8 en la casilla central, cuyos vecinos ser´ıan el 5, 6, 7 y 9, para una suma de 27.
# 13. Paul colg´o algunas pinturas rectangulares en la pared. Para cada cuadro ´el coloc´o un clavo en la pared a 2.5 m del suelo y coloc´o una cuerda de 2 m a las dos esquinas superiores. ¿Cu´al de los siguientes cuadros est´a m´as cerca del piso (formato: ancho en cm×altura en cm)?
(A) 60×40 (B) 120×50 (C) 120×90 (D) 160×60 (E) 160×100
R/ Sean las dimensiones (a, b), y sea h la distancia del clavo al cuadro, tal que se forma un tri´angulo rect´angulo con hipotenusa 100 cm, altura h, y base a/2, de donde h = p1002−a2/4. Luego, lo que
# 14. Seis muchachas viven en un apartamento con dos ba˜nos, los que utilizan cada ma˜nana, sin compartir, a partir de las 6:00 en punto, y se sientan a desayunar juntas tan pronto la ´ultima haya terminado. Un d´ıa, utilizaron el ba˜no por 9, 11, 13, 18, 22 y 23 minutos en cierto orden. ¿Cu´al es la hora m´as temprana posible en la que se sentaron a tomar el desayuno?
(A) 6:48 (B) 6:49 (C) 6:50 (D) 6:51 (E) 7:03
R/ La distribuci´on ´optima se logra si un ba˜no se utiliza por las muchachas que tardaron 11, 13 y 23 minutos, mientras que el otro por las muchachas que tardaron 9, 18 y 22 minutos, tardando 49 y 47 minutos respectivamente.
# 15. La figura que se muestra es un oct´agono regular. Si el ´area sombreada es de 3 cm2, determine el ´area del oct´agono (en cm2).
(A) 8 + 4√2 (B) 9 (C) 8√2 (D) 12 (E) 14
R/
Trazando rectas horizontales y verticales, dibujando la regi´on externa 4 veces, las “esquinas”, al quedar todas dos veces, se colocan en el centro, llenando el cuadrado que queda. As´ı, el ´
area total corresponde a 3 veces el ´area dada en la figura original.
# 16. Una nueva especie de cocodrilo ha sido encontrada en ´Africa. La longitud de su cola es un tercio de su longitud total, mientras que su cabeza, de 93 cm de largo, es un cuarto de la longitud del cocodrilo sin su cola. ¿Qu´e tan largo es el cocodrilo en cm?
(A) 558 (B) 496 (C) 490 (D) 372 (E) 186
R/ Sea l la longitud total del cocodrilo y c la longitud de su cola. As´ı, c= l/3 y 93 = (l −c)/4, de donde c= 186 cm y l = 558 cm.
# 17. El promedio de dos n´umeros positivos es 30% menos que uno de ellos. ¿Por qu´e porcentaje es el promedio m´as grande que el otro n´umero?
(A) 75% (B) 70% (C) 30% (D) 25% (E) 20%
R/ Sean a y b los n´umeros, donde a > b. As´ı, a+b
2 =
70
100a. Despejando a se llega a que a = 5 2b, y sustituyendo en la ecuaci´on anterior, se tiene entonces que a+b
2 =
175
100b, por lo que el promedio es 75% m´as grande que el otro n´umero.
(A) 11 (B) 13 (C) 17 (D) 19 (E) 23
R/ Como los n´umeros son 14, 18 y 35, y dado que 35 es el ´unico n´umero impar, entonces los n´umeros opuestos al 14 y 18 son ambos pares o ambos impares; dado que no es posible que sean ambos pares, entonces el opuesto a 35 debe ser 2 (el ´unico par primo), por lo que los n´umeros en caras opuestas suman 37, as´ı el n´umero opuesto al 14 es el 23.
# 19. Liz y Mary compiten en resolver problemas. A cada una se le entrega la misma lista de 100 problemas. A la primera en resolver cualquiera de los problemas recib´ıa 4 puntos, mientras que la segunda en resolverlo recib´ıa 1 punto. Tanto Liz como Mary resolvieron cada una 60 problemas, y juntas obtuvieron en total 312 puntos. ¿Cu´antos problemas fueron resueltos por ambas?
(A) 53 (B) 54 (C) 55 (D) 56 (E) 57
R/ Sea a el n´umero de problemas que resolvieron en com´un y b el n´umero de problemas que solo resolvi´o una de las dos; luegoa+b= 60, y por los puntos se tiene que 5a+ 8b= 312 (a cada problema en com´un se asignaban 4 puntos a la primera en resolverlo y 1 punto a la segunda, es decir, 5 puntos en total; cada problema que solo una de ellas resolv´ıo recib´ıa 4 puntos, en total 8 puntos), de donde a= 56 y b = 4, por lo que en com´un resolvieron 56 problemas.
# 20. Se tienen 4 cubos id´enticos como se muestra en el grupo de figuras de la izquierda. Se acomodan de manera que un gran c´ırculo negro aparece en una de las caras, como se muestra en la figura de la derecha. ¿Cu´al figura corresponde a la cara opuesta?
(A) (B) (C) (D) (E)
R/ Si se rota la cara del frente de la figura 3 en direcci´on de las manecillas del reloj, y se acomoda como la figura 2, nos damos cuenta que es la diagonal peque˜na la que queda en la cara opuesta del c´ırculo grande. As´ı la ´unica opci´on es la A.
5 puntos
# 21. David hizo un viaje en su bicicleta. En la primera parte del recorrido, que constaba de 3/4 de la distancia total utiliz´o 2/3 del tiempo total. ¿Cu´al es la raz´on de la velocidad de la primera parte del recorrido con respecto a la segunda parte?
(A) 5 : 4 (B) 4 : 3 (C) 3 : 2 (D) 2 : 1 (E) 3 : 1
R/ Sea x 1/4 de la distancia total, y t 1/3 del tiempo total. As´ı, en la primera parte la velocidad
corresponde a v1 =
3x
2t, mientras que en la segunda parte la velocidad corresponde a v2 = x
# 22. El cuadril´atero ABCD tiene ´angulos rectos ´unicamente en los v´ertices A y D. Los n´umeros muestran las ´areas de dos de los tri´angulos. ¿Cu´al es el ´area del cuadril´atero ABCD?
(A) 60 (B) 45 (C) 40 (D) 35 (E) 30
R/ Si se toma AB como base, observe que los tri´angulos ABD y ABC tienen la misma altura y la misma base, por lo que tienen igual ´area, por lo que T = 10. Sea O el punto de intersecci´on en el interior del cuadril´atero. Como . . .
# 23. Un grupo de 25 personas consiste de caballeros, sirvientes y damiselas. Cada caballero siempre dice la verdad, cada sirviente siempre miente, y cada damisela alterna entre una verdad y una mentira. Cuando a cada uno de ellos se le pregunt´o: “¿Es usted un caballero?”, 17 de ellos respondieron “S´ı”. Inmediatamente despu´es, cuando a cada uno se le pregunt´o: “¿Es usted una damisela?”, 12 de ellos respondieron “S´ı”. Finalmente, cuando a cada uno de ellos se le pregunt´o: “¿Es usted un sirviente?”, 8 de ellos respondieron “S´ı”. ¿Cu´antos caballeros hay en el grupo?
(A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 13 (E) 17
R/ Sea C el n´umero de caballeros, S el n´umero de sirvientes y D1 y D2 el n´umero de damiselas que
respectivamente dice la verdad o la mentira en el primer turno. As´ı, C+S+D2 = 17. En la segunda
pregunta, lasD2 que mintieron antes ahora dir´an la verdad, por lo queS+D2 = 12. De dondeC = 5.
# 24. En una pizarra se escriben varios enteros positivos distintos. Exactamente dos de ellos son divisibles por 2 y exactamente 13 de ellos son divisibles por 13. Sea M el mayor de tales n´umeros. ¿Cu´al es el menor valor posible paraM?
(A) 169 (B) 260 (C) 273 (D) 299 (E) 325
R/ Digamos que en total hay 13 n´umeros de los cuales 2 son pares. Es decir, 11 son impares, por lo que contando 11 impares: 1,3,5, . . . ,21, se tiene que el menor valor para M es 13·21 = 273.
# 25. Un cuadrado 5 ×5 se construye a partir de celdas 1×1, todas con el mismo patr´on, como se muestra en la figura. Cualesquiera dos celdas adyacentes tienen el mismo color en la arista com´un. ¿Cu´al es el menor n´umero posible de segmentos unitarios del per´ımetro que sean grises?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
R/ El centro del cuadrado est´a formado por 9 celdas; por lo tanto, 8 celdas pueden compartir una arista blanca, pero la 9 debe compartir una arista blanco con una de las celdas del per´ımetro. Adem´as las celdas de las esquinas solo pueden tener una arista en blanco, por lo que en total se tienen 5 segmentos unitarios negros.
# 26. Ann ha caminado 8 km a una velocidad de 4 km/h. Ahora ella correr´a con una velocidad de 8 km/h. ¿Cu´anto tiempo deber´a correr para en total hacer una rapidez promedio de 5 km/h?
R/v = d t =
d1+d2
t1+t2
= 8 + 8t2 2 +t2
= 5, de donde t2 = 2/3 de hora, que equivale a 40 min.
# 27. Un jugador de ajedrez jug´o 40 partidas y obtuvo 25 puntos (un punto si se gana el juego, medio punto si se empata y nada si se pierde). ¿Cu´al es la diferencia entre las partidas que gan´o y las que perdi´o?
(A) 5 (B) 7 (C) 10 (D) 12 (E) 15
R/ Seang,eypel n´umero de partidas que gan´o, empat´o y perdi´o, respectivamente. As´ıg+e+p= 40 y g+e/2 = 25, de donde 2g+e = 50. Sustituyendo e, o restando ambas ecuaciones se obtiene que g−p= 10.
# 28. Trillizas Jane, Danielle y Hannah quer´ıan comprar sombreros id´enticos, sin embargo, a Jane le hac´ıa falta una tercera parte de su precio, a Danielle una cuarta parte y a Hanna una quinta parte. Cuando los sombreros estuvieron en oferta, y los tres juntos costaban 9.40 EUR m´as baratos, pudieron juntar todo su dinero y comprar un sombrero para cada una de ellas. ¿Cu´al era el precio del sombrero antes de la oferta?
(A) 12 EUR (B) 16 EUR (C) 28 EUR (D) 36 EUR (E) 112 EUR
R/ Six es el precio de cada sombrero, entonces lo que les hac´ıa falta en total eran 9.40 EUR, es decir, x
3 + x 4 +
x
5 = 9.40, de dondex= 12.
# 29. Sean p, q y r enteros positivos tales que p+ 1 q+ 1/r =
25
19. ¿Cu´al de los siguientes valores corresponde a pqr?
(A) 6 (B) 10 (C) 18 (D) 36 (E) 42
R/ 25
19 = 1 + 6
19, por lo quep= 1; r qr+ 1 =
6
19. r y qr+ 1 son primos relativos, de dondeqr = 18.
# 30. En la ecuaci´onN ×U ×(M +E +R+O) = 33 cada letra corresponde a un d´ıgito diferente (0,1,2, . . . ,9). ¿De cu´antas maneras diferentes se pueden escoger los valores de las letras?
(A) 12 (B) 24 (C) 30 (D) 48 (E) 60
