3 puntos
# 1. Cada a˜no, la fecha de la Prueba Canguro es el tercer jueves de marzo. ¿Cu´al es la fecha m´as tard´ıa posible?
(A) 14 de marzo (B) 15 de marzo (C) 20 de marzo (D) 21 de marzo (E) 22 de marzo
R/ Ser´ıa cuando el 1ero de marzo es viernes, por lo que ser´ıa el jueves 21 de marzo.
# 2. ¿Cu´antos cuadril´ateros, de cualquier tama˜no, hay en la figura?
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 4 (E) 5
R/ Los dos rect´antulos grandes, y los dos peque˜nos que se forman en el rect´angulo de la izquierda.
# 3. ¿Cu´al es el resultado de: 2014·2014÷2014−2014?
(A) 0 (B) 1 (C) 2013 (D) 2014 (E) 4028
R/ 2014·2014÷2014 = 2014, por lo que la respuesta es 0.
# 4. El ´area del rect´anguloABCD es 10. Los puntos M y N son los puntos medios de los ladosAD yBC. ¿Cu´al es el ´area del cuadril´atero M BN D?
A B
C D
N M
(A) 0.5 (B) 5 (C) 2.5 (D) 7.5 (E) 10
R/ El ´area de cada tri´angulo es 1/4 del ´area del rect´angulo, por lo que el ´area del cuadril´atero es 5.
# 5. El producto de dos n´umeros es 36 y su suma es 37. ¿Cu´al es su diferencia?
(A) 1 (B) 4 (C) 10 (D) 26 (E) 35
R/ Los n´umeros deben ser 1 y 36, por lo que su diferencia es 35.
# 6. Wanda tiene varias piezas cuadradas de pa-pel de ´area 4. Ella corta cada una de ellas en cuadrados y tri´angulos rect´angulos como se mues-tra en la figura de la izquierda. Toma algunas de las piezas y hace un p´ajaro como se muestra en la figura de la derecha. ¿Cu´al es el ´area del p´ajaro?
(A) 3 (B) 4 (C) 9/2 (D) 5 (E) 6
R/ Los 4 tri´angulos peque˜nos y los dos cuadrados peque˜nos hacen un cuadrado grande, por lo que el ´
# 7. Un balde estaba por la mitad. Un conserje a˜nade 2 litros de agua y el balde queda a tres cuartos de su capacidad. ¿Cu´al es la capacidad total del balde?
(A) 10 l (B) 8 l (C) 6 l (D) 4 l (E) 2 l
R/ 2 litros de agua corresponden a un cuarto del balde, por lo que la capacidad del balde es de 8 litros.
# 8. Jorge construy´o el s´olido que se muestra utilizando siete cubos unitarios. ¿Cu´antos de tales cubos necesita agregar para completar un cubo de lado 3?
(A) 12 (B) 14 (C) 16 (D) 18 (E) 20
R/ El volumen de un cubo de lado 3 es de 27, por lo que necesita agregar 20 cubos unitarios.
# 9. ¿Cu´al de las siguientes operaciones da el resultado mayor?
(A) 44×777 (B) 55×666 (C) 77×444 (D) 88×333 (E) 99×222
R/ En orden, se tiene 4·7·11·111, 5·6·11·111, 4·7·11·111, 3·8·11·111 y 2·9·11·111, por lo que el resultado mayor se obtiene al multiplicar 55×666.
# 10. El collar del dibujo contiene perlas oscuras y perlas blancas. Arno toma una perla tras otra del collar, siempre de uno de los extremos. Si se detiene tan pronto toma la quinta perla gris, ¿cu´al es el mayor n´umero de perlas blancas que pudo tomar Arno?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
R/ Toma 6 perlas del lado izquierdo (lleva dos grises y 4 blancas) y 6 perlas del lado derecho (tres grises y tres blancas), para un total de siete perlas blancas.
4 puntos
# 11. Jack tiene lecciones de piano dos veces a la semana, y Hannah tiene lecciones de piano semana de por medio. En un periodo dado, Jack tiene 15 lecciones m´as que Hannah. ¿De cu´antas semanas es el periodo?
(A) 30 (B) 25 (C) 20 (D) 15 (E) 10
# 12. El ´area de cada c´ırculo es de 1 cm2, mientras que el ´
area com´un entre dos c´ırculos que se traslapan es de 1/8 cm2.
¿Cu´al es el ´area de la regi´on cubierta por los cinco c´ırculos?
(A) 4 cm2 (B) 9/2 cm2 (C) 35/8 cm2 (D) 39/8 cm2 (E) 19/4 cm2
R/ Si no se traslaparan, el ´area ser´ıa de 5. Son 4 traslapes, de 1/8, por lo que el ´area del traslape es de 1/2. As´ı, el ´area total es de 9/2 cm2.
# 13. Este a˜no Lucrecia se da cuenta que la suma de las edades de ella, su hija y su madre es de 100. Si cada una de sus edades es una potencia de 2, ¿cu´al es la edad de la hija de Lucrecia?
(A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (E) 16
R/ La ´unica posibilidad es que Lucrecia tenga 32, su madre 64 y su hija 4.
# 14. Cinco rect´angulos iguales se colocan dentro de un cuadrado de lado 24 cm, como se muestra en la figura. ¿Cu´al es el ´area de cada uno de los rect´angulos?
(A) 12 cm2 (B) 16 cm2 (C) 18 cm2 (D) 24 cm2 (E) 32 cm2
R/ Sean a y b las longitudes para los lados menor y mayor del rect´angulo respectivamente. Se tiene que 2a+ 2b = 24 y que 3b = 24, de donde b = 8 y a = 4, por lo que el ´area de cada rect´angulo es de 32 cm2.
# 15. El coraz´on y la flecha est´an en las posiciones que se muestran en la figura, y de manera simult´anea se comienzan a mover. Cada movimiento de la flecha corresponde a tres posiciones en direcci´on de las manecillas del reloj y cada movimiento del coraz´on a cuatro posiciones en direcci´on opuesta. ¿En cu´antos movimientos coincidir´an en la misma regi´on triangular por primera vez?
(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10 (E) nunca
R/ Observe que despu´es de cada movimiento, se encuentran siempre en la misma posici´on relativa, por lo que nunca van a coincidir.
(A) 30◦ (B) 45◦ (C) 60◦ (D) 75◦ (E) 90◦
R/ Dado que el ´angulo que mide 4αes externo, entonces se cumple que 4α= 90◦+α, de dondeα= 30◦.
# 17. Seis j´ovenes viven en un apartamento con dos ba˜nos, los que utilizan cada ma˜nana, sin com-partir, a partir de las 6:00 en punto. Un d´ıa, utilizaron el ba˜no por 8, 10, 12, 17, 21 y 22 minutos en cierto orden. ¿Cu´al es la hora m´as temprana en la que pueden haber finalizado de utilizar los ba˜nos?
(A) 6:45 (B) 6:46 (C) 6:47 (D) 6:48 (E) 6:50
R/ La distribuci´on ´optima se logra si un ba˜no se utiliza por los muchachos que tardaron 8, 17 y 21 minutos, mientras que el otro por los muchachos que tardaron 10, 12 y 22 minutos, tardando 46 y 44 minutos respectivamente.
# 18. Un rect´angulo mide 6×11. En ambos extremos de uno de sus lados de 11 se construyen las bisectrices, las cuales dividen el lado opuesto en tres partes. ¿Cu´ales son las longitudes de estas partes?
(A) 1 cm, 9 cm, 1 cm (B) 2 cm, 7 cm, 2 cm (C) 3 cm, 5 cm, 3 cm
(D) 4 cm, 3 cm, 4 cm (E) 5 cm, 1 cm, 5 cm
R/ Dado que los ´angulos de un rect´angulo miden 90◦, entonces las bisectrices forman ´angulos de 45◦, formando dos tri´angulos rect´angulos is´osceles que miden 6 cm. Dado que el lado mide 11 cm, quiere decir que el segmento en com´un debe medir 1 cm, y 5 cm cada uno de los extremos.
# 19. El Capit´an Sparrow y su tripulaci´on de piratas desenterraron varias monedas de oro. Dividieron las monedas entre ellos de manera que cada uno obtuviera el mismo n´umero de monedas. Si fueran 4 piratas menos cada uno hubiera obtenido 10 monedas m´as. Sin embargo, si hubieran sido 50 monedas menos, cada pirata hubiera obtenido 5 monedas menos. ¿Cu´antas monedas desenterraron?
(A) 80 (B) 100 (C) 120 (D) 150 (E) 250
R/ De la afirmaci´on final se concluye que en total eran 10 piratas. Si fueran 4 piratas menos, es decir 6 piratas, entonces cada uno hubiera obtenido 10 monedas m´as; es decir, 4 piratas reciben 60 monedas, 15 monedas cada uno, por lo que en total desenterraron 150 monedas.
# 20. En un estanque hay 16 lirios acu´aticos acomodados en un patr´on 4×4 como se muestra. Una rana se encuentra en uno de los lirios esquineros. Salta de un lirio adyacente a otro ya sea horizontal o verticalmente. Si salta sin pasar por un lirio m´as de una vez, ¿cu´al es el mayor n´umero de lirios (incluyendo en el que se encuentra al inicio) que la rana puede alcanzar?
(A) 16 (B) 15 (C) 14 (D) 13 (E) 12
R/ Puede alcanzar cualquiera de los lirios.
5 puntos
el promedio m´as grande que el otro n´umero?
(A) 75% (B) 70% (C) 30% (D) 25% (E) 20%
R/ Sean a y b los n´umeros, donde a > b. As´ı, a+b 2 =
70
100a. Despejando a se llega a que a = 5 2b, y sustituyendo en la ecuaci´on anterior, se tiene entonces que a+b
2 = 175
100b, por lo que el promedio es 75% m´as grande que el otro n´umero.
# 22. Andy escribe todos los d´ıgitos del 1 al 9 en las casillas de una tabla 3×3, de manera que en cada casilla escribe un d´ıgito. Ya ha escrito los d´ıgitos 1, 2, 3 y 4 como se muestra. Dos n´umeros se consideran “vecinos” si sus casillas comparten una arista. Despu´es de escribir todos los d´ıgitos, se da cuenta de que la suma de los vecinos del 9 es 15. ¿Cu´al es la suma de los vecinos del 8?
(A) 12 (B) 18 (C) 20 (D) 26 (E) 27
R/ Si el 9 estuviera en el centro, entonces los vecinos ser´ıan 5, 6, 7 y 8, cuya suma ser´ıa de 26; en el resto de posibilidades para colocar el 9, los vecinos ser´ıan 2 n´umeros de las esquinas m´as el n´umero en la casilla central, por lo que la ´unica posibilidad es que el 9 est´e entre el 3 y el 4, quedando el 8 en la casilla central, cuyos vecinos ser´ıan el 5, 6, 7 y 9, para una suma de 27.
# 23. Una balanza antigua no trabaja de manera apropiada. Si algo es m´as liviano que 1000 g, la balanza muestra el peso correcto. Sin embargo, si algo pesa igual o m´as de 1000 g, la balanza muestra cualquier n´umero por encima de los 1000 g. Se tienen 5 pesas: Ag,Bg,Cg,Dg y Eg, tal que el peso de cada una es menor a 1000 g. Cuando se pesan en pares, la balanza muestra que B +D = 1200, C+E = 2100, B+E = 800,B +C = 900 y A+E = 700. ¿Cu´al de las pesas es la m´as pesada?
(A)A (B)B (C)C (D)D (E)E
R/ Dado queB+D≥1000 yB+C= 900, entoncesD > C. Adem´as comoB+E = 800 yB+C = 900 entonces C > E, por lo que D > E. B +E = 800 y A+E = 700 implican que B > A. Finalmente, dado queC+E ≥1000 y B+C = 900, entoncesE > B, por lo que D es la m´as pesada.
# 24. El cuadril´atero ABCD tiene ´angulos rectos ´unicamente en los v´ertices A y D. Los n´umeros muestran las ´areas de dos de los tri´angulos. ¿Cu´al es el ´area del cuadril´atero ABCD?
(A) 60 (B) 45 (C) 40 (D) 35 (E) 30
R/ Si se toma AB como base, observe que los tri´angulos ABD y ABC tienen la misma altura y la misma base, por lo que tienen igual ´area, por lo que T = 10. Sea O el punto de intersecci´on en el interior del cuadril´atero; si se traza una paralela a AD que pase por O, y se comparan las ´areas de los tri´angulos ABD y ABO, tomando a AB como base, se obtiene la relaci´on de las alturas de 1/3. Luego, S= 2T, por lo queS = 20.
juntas obtuvieron en total 312 puntos. ¿Cu´antos problemas fueron resueltos por ambas?
(A) 53 (B) 54 (C) 55 (D) 56 (E) 57
R/ Sea a el n´umero de problemas que resolvieron en com´un y b el n´umero de problemas que solo resolvi´o una de las dos; luegoa+b= 60, y por los puntos se tiene que 5a+ 8b= 312 (a cada problema en com´un se asignaban 4 puntos a la primera en resolverlo y 1 punto a la segunda, es decir, 5 puntos en total; cada problema que solo una de ellas resolv´ıo recib´ıa 4 puntos, en total 8 puntos), de donde a= 56 y b = 4, por lo que en com´un resolvieron 56 problemas.
# 26. David hizo un viaje en su bicicleta. En la primera parte del recorrido, que constaba de 3/4 de la distancia total utiliz´o 2/3 del tiempo total. ¿Cu´al es la raz´on de la velocidad de la primera parte del recorrido con respecto a la segunda parte?
(A) 5 : 4 (B) 4 : 3 (C) 3 : 2 (D) 2 : 1 (E) 3 : 1
R/ Sea x 1/4 de la distancia total, y t 1/3 del tiempo total. As´ı, en la primera parte la velocidad
corresponde a v1 =
3x
2t, mientras que en la segunda parte la velocidad corresponde a v2 = x
t, por lo que v1 :v2 = 3 : 2.
# 27. Se tienen 4 cubos id´enticos como se muestra en el grupo de figuras de la izquierda. Se acomodan de manera que un gran c´ırculo negro aparece en una de las caras, como se muestra en la figura de la derecha. ¿Cu´al figura corresponde a la cara opuesta?
(A) (B) (C) (D) (E)
R/ Si se rota la cara del frente de la figura 3 en direcci´on de las manecillas del reloj, y se acomoda como la figura 2, nos damos cuenta que es la diagonal peque˜na la que queda en la cara opuesta del c´ırculo grande. As´ı la ´unica opci´on es la A.
# 28. Un grupo de 25 personas consiste de caballeros, sirvientes y damiselas. Cada caballero siempre dice la verdad, cada sirviente siempre miente, y cada damisela alterna entre una verdad y una mentira. Cuando a cada uno de ellos se le pregunt´o: “¿Es usted un caballero?”, 17 de ellos respondieron “S´ı”. Inmediatamente despu´es, cuando a cada uno se le pregunt´o: “¿Es usted una damisela?”, 12 de ellos respondieron “S´ı”. Finalmente, cuando a cada uno de ellos se le pregunt´o: “¿Es usted un sirviente?”, 8 de ellos respondieron “S´ı”. ¿Cu´antos caballeros hay en el grupo?
(A) 4 (B) 5 (C) 9 (D) 13 (E) 17
R/ Sea C el n´umero de caballeros, S el n´umero de sirvientes y D1 y D2 el n´umero de damiselas que
respectivamente dice la verdad o la mentira en el primer turno. As´ı, C+S+D2 = 17. En la segunda
# 29. En una pizarra se escriben varios enteros positivos distintos. Exactamente dos de ellos son divisibles por 2 y exactamente 13 de ellos son divisibles por 13. Sea M el mayor de tales n´umeros. ¿Cu´al es el menor valor posible paraM?
(A) 169 (B) 260 (C) 273 (D) 299 (E) 325
R/ Digamos que en total hay 13 n´umeros de los cuales 2 son pares. Es decir, 11 son impares, por lo que contando 11 impares: 1,3,5, . . . ,21, se tiene que el menor valor para M es 13·21 = 273.
# 30. Un cuadrado 5 ×5 se construye a partir de celdas 1×1, todas con el mismo patr´on, como se muestra en la figura. Cualesquiera dos celdas adyacentes tienen el mismo color en la arista com´un. ¿Cu´al es el menor n´umero posible de segmentos unitarios del per´ımetro que sean grises?
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D) 7 (E) 8
