Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de libertad

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Vibraciones aleatorias en sistemas con un grado de

libertad

F. Javier Cara ETSII-UPM Curso 2012-2013 1

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Contenido

Señales y sistemas

Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador

Cálculo de la respuesta mediante la ecuación diferencial Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución

Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en frecuencia

Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a movimientos de la base Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas aleatorias

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Representación de los sistemas

◮ Un sistema es un modelo matemático de un proceso físico que

relaciona la señal de entrada (o excitación) con la señal de salida (o respuesta).

◮ Sea x(t) la señal de entrada e y(t) la señal de salida de un sistema

dado. El sistema puede verse como una transformación de x(t) en y(t). Esta transformacion se representa matematicamente como

y(t) = Tx(t)

◮ T es un operador que representa las reglas de la transformación de

x(t) en y(t).

◮ Gráficamente, un sistema con una señal de entrada y una señal de

salida se suele representar como

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Clasificación de los sistemas.

Los sistemas se pueden clasificar atendiendo a sus propiedades. Nosotros vamos a considerar fundamentalmente:

* Sistemas lineales. Si el operador T cumple

T(αx1(t) + βx2(t)) = αTx1(t) + βTx2(t) = αy1(t) + βy2(t)

entonces T es un operador lineal y el sistema representado por T se denomina sistema lineal.

* Sistemas invariantes en el tiempo. Un sistema es invariante en el tiempo si las propiedades de T no dependen del tiempo, es decir, T6= T(t). Por tanto se cumple que

Tx(t− τ) = y(t − τ)

* Sistemas causales. Un sistema es causal si la salida en un instante dependede sólo de la entrada en ese instante y de las entradas en instantes pasados.

* Sistemas estables. Un sistema es estable si para una señal de entrada acotada genera una señal de salida acotada

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Sistemas lineales e invariantes en el tiempo.

Dado un sistema T lineal e invariante en el tiempo y una señal de entrada x(t), la señal de salida y(t) se puede calcular mediante:

1. Ecuación diferencial. N X k=0 ak dk_y(t) dtk = M X m=0 bm dm_x(t) dtm donde ak y bm son coeficientes reales y constantes.

2. Integral de convolucion.

y_{(t) = x(t) ∗ h(t) =}

Z _∞

−∞

x_{(τ )h(t − τ)dτ}

donde h(t) es la respuesta del sistema a un impulso unitario o delta de Dirac:

h(t) = Tδ(t)

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3. Transformada de Laplace - Transformada de Fourier. La transformada de Laplace de la integral de convolución es:

L_{(y (t)) = L} Z _∞ −∞ x_{(τ )h(t − τ)dτ} ⇒ Y (s) = H(s)X (s) dónde

◮ Y(s)es la transformada de Laplace de la salida, Y (s) = L (y (t)).

◮ X(s)es la transformada de Laplace de la entrada, X (s) = L (x(t)).

◮ H(s)es la transformada de Laplace de la respuesta impulsional,

H(s) = L (h(t)). Se conoce como función de transferencia. Para determinados sistemas, como los sistemas mecánicos, es preferible utilizar la T. Fourier en lugar de la T. Laplace. Ésto se debe a que la variable independiente de la T. Fourier es la frecuencia.

F_{(y (t)) = F} Z _∞ −∞ x(τ )h(t − τ)dτ ⇒ Y (ω) = H(ω)X (ω)

◮ Y(ω) es la transformada de Fourier de la salida, Y (ω) = F (y (t)).

◮ X(ω) es la transformada de Fourier de la entrada, X (ω) = F (x(t)).

◮ H(ω) es la transformada de Fourier de la respuesta impulsional,

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Sistemas mecanicos masa-muelle-amortiguador

Figura: (a), (b) Modelos dinámicos para un edificio; (c) Modelo general para un sistema de un grado de libertad.

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Cálculo de las respuesta mediante la ecuación diferencial

Figura:Equilibrio de fuerzas. Aplicando la 2a

Ley de Newton (según el principio de D’Alambert, la fuerza m¨y(t) tiene sentido opuesto al movimiento)

X

F(t) = m¨y_{(t) ⇒ F (t) − Fc}_{(t) − Fk(t) = m¨}y(t) Sustituyendo cada fuerza por su valor

m¨y(t) + c ˙y (t) + ky (t) = F (t)

La ecuación diferencial del sistema masa-muelle-amortiguador es

m¨y(t) + c ˙y (t) + ky (t) = F (t) (1a)

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Solución para fuerza constante

Sólo para determinadas situaciones la ecuación anterior se puede resolver de manera exacta. Uno de estos casos es cuando la fuerza aplicada al sistema es constante:

m¨y(t) + c ˙y (t) + ky (t) = F0 (2a)

y(0) = y0, ˙y (0) = ˙y0 (2b)

Como es bien conocido, la solución de esta ecuación es la suma de la solución de la parte homogénea más una solución particular

y(t) = yh(t) + yp(t) Solución de la ecuación homogénea

La ecuación homogénea correspondiente a (2) es m¨yh(t) + c ˙yh(t) + kyh(t) = 0 La solución de esta ecuación es de la forma

yh(t) = Aest

(10)

Sustituyendo

ms2Aest+ csAest+ kAest= 0 Para est _{6= 0, esto es, para yh(t) 6= 0 se tiene}

ms2+ cs + k = 0 cuya solución es s1= −c + √ c2 − 4mk 2m , s2= −c −√c2 − 4mk 2m y la solución homogénea queda

yh(t) = A1es1t_{+ A1e}s2t _{= A1e}−c+√c2 −4mk

2m t_{+ A2e}−c−

√_{c2 −4mk}

2m t

En dinámica de estructuras es usual definir los siguientes términos ωndef= r k m [rad/s] ζdef= c 2√mk (0 ≤ ζ ≤ 1)

dónde ωn es la frecuencia natural de vibración y ζ es la razón de

(11)

Podemos expresar la solución de la ecuación homogénea teniendo en cuenta estas variables

yh(t) = A1e −ζωn+iωn√_1−ζ2 t + A2e −ζωn_{−i ω}n√_1−ζ2 t donde se ha considerado que c2

− 4mk < 0. En caso contrario el sistema no es estable.

Definimos ahora otra nueva variable, la frecuencia natural amortiguada ωd def= ωnp1 − ζ2 _[rad/s]

por lo que

yh(t) = A1e(−ζωn+iωd)t_{+ A2e}(−ζωn_{−i ω}d)t

Solución particular

Una solución particular de (2) es

yp(t) = F0

k Solución final

Finalmente

y(t) = yh(t) + yp(t) = A1e(−ζωn+iωd)t_{+ A2e}(−ζωn_{−i ω}d)t₊F0

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la velocidad se obtiene derivando

˙y (t) = A1(−ζωn+ iωd) e(−ζωn+iωd)t_{+ A2}

(−ζωn− iωd) e(−ζωn_{−i ω}d)t

Ahora podemos sustituir las condiciones iniciales, y(0) = y0, ˙y (0) = ˙y0

y(0) = A1+ A2+F0

k = y0

˙y (0) = A1(−ζωn+ iωd) + A2(−ζωn− iωd) = ˙y0 La solución de este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es

A1= ωd y0− F0 k − i ζωn y0− F0 k + ˙y0 2ωd A2= ωd y0− F0 k + i ζωn y0− F0 k + ˙y0 2ωd 12

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Sustituyendo y(t) = y0₋F0 k e−ζωnt_{cos ω} dt+ ζωn y0₋F0 k + ˙y0 ωd ! e−ζωnt_{sen ω} dt+ F0 k (3)

˙y (t) = ˙y0e−ζωnt_{cos ω}

dt− ωn y0₋F0 k + ζ ˙y0 p1 − ζ2 ! e−ζωnt_{sen ω} dt (4)

y la aceleración se obtiene sustituyendo en (2) ¨

y(t) = 1

m(F0− c ˙y(t) − ky(t)) (5)

(14)

Ejemplo

Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de un grado de libertad sometido a vibración libre.

Un sistema está sometido a vibración libre cuando la fuerza externa es nula. Por tanto las ecuaciones de equilibrio se obtienen a partir de (1)

m¨y(t) + c ˙y (t) + ky (t) = 0 (6a)

y(0) = y0, ˙y (0) = ˙y0 (6b)

y la solución se obtiene fácilmente de las ecuaciones (3) y (4) y(t) = e−ζωnt y0cos ωdt+ ζωny0+ ˙y0 ωd sen ωdt (7) ˙y (t) = e−ζωnt "

˙y0cos ωdt− ωny0+ ζ ˙y0 p1 − ζ2 ! sen ωdt # (8) ¨ y(t) = −1 m(c ˙y (t) + ky (t)) (9) 14

(15)

0 5 10 15 −1 −0.5 0 0.5 1 t (s) y (m) 0 5 10 15 −10 −5 0 5 10 t (s) v (m/s) 0 5 10 15 −40 −20 0 20 40 t (s) a (m/s 2)

Figura: Vibración libre de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn=2π rad /s,

ζ = 0,025, y0=1 m, ˙y0=0 m/s.

(16)

Ejemplo

Calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de un grado de libertad sometido a una fuerza escalon.

Figura: Fuerza escalon

(17)

La respuesta se divide en:

◮ t0≤ t ≤ t₁ Vibración forzada con F (t) = F0. Por lo tanto:

y(t) = y0₋F0 k e−ζωnt_{cos ω} dt+ ζωn y0₋F0 k + ˙y0 ωd ! e−ζωnt_{sen ω} dt+ F0 k ˙y (t) = ˙y0e−ζωnt_{cos ωd}

t₋ ωn y0− F0 k + ζ ˙y0 p1 − ζ2 ! e−ζωnt_{sen ωd} t ¨ y(t) = 1 m(F0− c ˙y(t) − ky(t)) en t1 la posicion y la velocidad y seran y(t1) y ˙y (t1).

◮ t ≥ t₁ Vibración libre con condiciones iniciales y(t1) y ˙y (t1).

y(t) = e−ζωn(t−t1) y_{(t1) cos ωd(t − t}1) + ζωny(t1) + ˙y (t1) ωd sen ωd(t − t1) ˙y (t) = e−ζωn(t−t1) " ˙y (t1) cos ωd(t − t1) − ωny(t1) + ζ ˙y (t1) p1 − ζ2 ! sen ωd(t − t1) # ¨ y_{(t) = −}1 m(c ˙y (t) + ky (t)) 17

(18)

0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 t (s) F(t) (N) 0 5 10 15 20 25 30 −0.5 0 0.5 t (s) y (m) F 0/k 0 5 10 15 20 25 30 −2 0 2 t (s) v (m/s) 0 5 10 15 20 25 30 −10 0 10 t (s) a (m/s 2)

Figura: Vibración de un sistema de un gdl con: m = 1 kg , ωn=2π rad /s,

ζ = 0,025, y0=0 m, ˙y0=0 m/s, F0=10 N.

(19)

Solución para una fuerza cualquiera. Método incremental.

Vamos a calcular ahora la respuesta del sistema para una fuerza

cualquiera F (t). Para ello se tiene que resolver la ecuación diferencial (3) utilizando tecnicas numericas.

◮ Métodos de integración de escuaciones diferenciales:

Newton-Raphson, diferencias finitas, ...

◮ Métodos específicos para dinámica de estructuras: método de

Newmark, método de Wilson,...

Nosotros vamos a utilizar uno muy sencillo, el método incremental. Para ello aproximamos F (t) en escalones, como en la figura:

(20)

Para ti ≤ t ≤ ti+1

F(t) =

F(ti) ti≤ t ≤ ti+1

0 resto

Además tenemos las condiciones iniciales yti, ˙yti y ¨yti. Por tanto

y(t) = y_{(ti) −}F(ti) k e−ζωn(t−ti)_{cos ω} d(t − ti) +   ζωny(ti) −F(ti) k + ˙y (ti) ωd  e−ζω n_(t−ti)_{sen ωd} (t − ti) + F(ti) k ˙y (t) = ˙y (ti)e−ζωn(t−ti)

cos ωd(t − ti) −   ωny(ti) −F(ti) k + ζ ˙y (ti) p1 − ζ2  e−ζω n(t−ti)_{sen ωd(t − ti}₎ ¨ y(t) = 1

m(F (ti) − c ˙y(t) − ky(t))

(21)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −200 0 200 t (s) F(t) (N) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −10 0 10 t (s) y (m) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −50 0 50 t (s) v (m/s) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −500 0 500 t (s) a (m/s 2)

ζ = 0,025, y0=0 m, ˙y0=0 m/s, N = 128 puntos.

(22)

Cálculo de la respuesta a un impulso

Sea una fuerza constante aplicada en ti hasta ti+1

Suponiendo que y(ti) = 0, ˙y (ti) = 0, entonces se tiene que en ti+1 y(ti+1) =F0 k 1 − e−ζωn∆t_{cos ω} d∆t − ζωn ωd e−ζωn∆t_{sen ω} d∆t ˙y (ti+1) =F0 k " ωn p1 − ζ2 ! e−ζωn∆t sen ωd∆t # 22

(23)

Vamos a calcular la respuesta cuando ∆t → 0 lim ∆t→0y(ti+1) = 1 k ∆t→0lim   1 − e−ζωn∆tcos ω d∆t − ζωn ωd e−ζωn∆tsen ω_d∆t ∆t   L′_Hˆ_opital = 1 k ∆t→0lim   _ω2 n ωd e−ζωn∆t_{sen ωd∆t} 1  = 0 lim ∆t→0˙y (ti+1) = ωn kp1 − ζ2_∆t→0lim e−ζωn∆t_{sen ωd}_∆t ∆t L′_Hˆ_opital = ωn kp1 − ζ2_∆t→0lim −ζωne−ζωn∆t_{sen ω}_{d∆t + ωd}_e−ζωn∆t_{cos ω} d∆t 1 = ωn kp1 − ζ2(0 + ωd) = 1 m 23

(24)

Es decir, cuando ti+1 → ti

y(ti+1) = 0, ˙y (ti+1) = 1 m

Para t > ti+1 tenemos vibracion libre con condiciones iniciales y(ti+1), ˙y (ti+1), es decir

y(t) = ₁ mωd e−ζωn(t−ti +1)_{sen ω}_{d(t − ti+1)} ˙y (t) = ₁ m e−ζωn(t−ti +1) " cos ωd(t − ti+1) − ζ p1 − ζ2 ! sen ω_{d(t − ti+1)} #

Como hemos hecho ti+1→ ti

y_{(t) ≈} ₁ mωd e−ζωn(t−ti)_{sen ωd} (t − ti) ˙y (t) ≈ ₁ m e−ζωn(t−ti) " cos ωd(t − ti) − ζ p1 − ζ2 ! sen ωd(t − ti) # 24

(25)

Estas ecuaciones representan la respuesta a una función impulso (delta de Dirac) aplicada en ti _{(se suele representar como h(t − t}i)), y la velocidad debida a un impulso, ˙h(t − ti). Para una delta aplicada en t=s

F(t) = δ(t − s) ⇒ y(t) = h(t − s) = ₁ mωd e−ζωn(t−s) sen ωd(t − s) ˙y (t) = ˙h(t−s) = ₁ m e−ζωn(t−s) " cos ωd(t − s) − ζ p1 − ζ2 ! sen ωd(t − s) #

Obviamente, ambas respuestas están definidas para t ≥ s. Es inmediato que

F_{(t) = Aδ(t − s) ⇒}

y_{(t) = A · h(t − s)} t_{≥ s}

˙y (t) = A · ˙h(t − s) t≥ s

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Cálculo de la respuesta mediante la integral de convolución

Vamos a calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador a una fuerza F (t) utilizando la respuesta a un impulso.

◮ La respuesta en t debido a F (t1)δ(t − t1) es y (t) = F (t1)h(t − t1). ◮ La respuesta en t debido a F (t2)δ(t − t2) es y (t) = F (t2)h(t − t2). ◮ La respuesta en t debido a F (t1)δ(t − t1) y F (t2)δ(t − t2) es

y(t) = F (t1)h(t − t1) + F (t2)h(t − t2)

(27)

Siguiendo este razonamiento, la respuesta en t defido a F(t) es y(t) = Z s 0 F(s)h(t − s)ds ˙y (t) = Z s 0 F_{(s) ˙h(t − s)ds}

En definitiva, la respuesta del sistema es la covolución en el tiempo de

F(t) y h(t − s). También se conoce como integral de Duhamel.

Si sustituimos h(t − s) y ˙h(t − s) por su valor y(t) = Z t 0 F (s) mωd e−ζωn(t−s)_{sen ω} d(t − s)ds ˙y (t) = Z t 0 F (s) m e−ζωn(t−s) " cos ω_{d(t − s) −} ζ p1 − ζ2 ! sen ωd(t − s) # ds 27

(28)

0 5 10 15 20 25 30 −0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 t (s) h(t) (N/m) 1/(m*w_d)e(−wn*z*t)

Figura: Respuesta de un sistema de un gdl (m = 1 kg , ωn=2π rad /s,

ζ = 0,025), a un impulso o delta de Dirac aplicado en t=0.

(29)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −200 −100 0 100 200 t (s) F(t) (N) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 t (s) y (m) incremental duhamel

ζ = 0,025, y0=0 m, ˙y0=0 m/s, N = 128 puntos.

(30)

Figura:Posición, velocidad y aceleración.

(31)

Cálculo de la respuesta mediante la funcion de respuesta en

frecuencia

Si consideramos una fuerza armónica de frecuencia ω y con amplitud que puede ser distinta para cada ω:

F(t) = F (ω)eiωt

la respuesta del sistema masa-muelle-amortiguador a una carga de este tipo también es armónica de frecuencia ω:

y(t) = Y (ω)eiωt ⇒ ˙y (t) = iωY (ω)eiωt ⇒ ¨y(t) = −ω2Y(ω)eiωt

Sustituyendo estas ecuaciones en la ecuación de equilibrio

⇒ −mω2Y(ω)eiωt+ icωY (ω)eiωt+ kY (ω)eiωt = F (ω)eiωt

⇒ Y (ω) = 1

(k − mω2_{) + icω}F(ω)

(32)

Se define entonces:

H(ω) = 1

(k − mω2_{) + icω}

Esta ecuación es la función de respuesta en frecuencia de un sistema masa-muelle-amortiguador de un grado de libertad. Se cumple que

Y(ω) = H(ω)F (ω)

La velocidad se calcula de:

˙y (t) = iωY (ω)eiωt ⇒ ˙y (t) = iωy(t) ⇒

Z _∞

−∞

˙y (t)e−i ωt_dt₌

Z _∞

−∞

iωy (t)e−i ωt_dt ⇒ ˙Y (ω) = iωY (ω)

De igual manera se tiene que: ¨

Y_{(ω) = −ω}2Y(ω)

(33)

0 10 20 −0.04 −0.02 0 0.02 0.04 0.06 ω (rad/s) Real(H( ω )) (m/N) 0 10 20 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 ω (rad/s) |H( ω )| (m/N) 0 10 20 −3.5 −3 −2.5 −2 −1.5 −1 ω (rad/s) |H( ω )| (dB ref 1 m/N) 0 10 20 −0.1 −0.08 −0.06 −0.04 −0.02 0 ω (rad/s) Imag(H( ω )) (m/N) 0 10 20 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 ω (rad/s) θ (H( ω )) (rad)

Figura: Función de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:

m=1 kg , ωn=2π rad /s, ζ = 0,025.

(34)

Relación entre h(t) y H(ω)

Consideremos de nuevo una fuerza armónica del tipo F(t) = F (ω)eiωt ⇒ y(t) = Y (ω)eiωt Por la integral de convolución sabemos que

y(t) = Z ∞ −∞ F_{(s)h(t − s)ds =} Z ∞ −∞ F_{(t − τ)h(τ)dτ} = Z ∞ −∞

F(ω)eiω(t−τ )h(τ )dτ = F (ω)eiωt

Z ∞

−∞

e−i ωτ_{h(τ )dτ}

⇒ Y (ω)eiωt = F (ω)eiωt

Z ∞

−∞

e−i ωτ_{h(τ )dτ} Y según la función de respuesta en frecuencia

Y(ω) = H(ω)F (ω) ⇒ H(ω) =

Z ∞

−∞

h(t)e−i ωt_dt Luego H(ω) es la transformada de Fourier de h(t).

(35)

En realidad, la T. de Fourier la hemos definido como ˜ H(ω) = 1 2π Z ∞ −∞ h(t)e−i ωt_dt _{⇒ H(ω) = 2π ˜}_H(ω) Luego la función de respuesta en frecuencia, H(ω), es 2π veces la transformada de Fourier de h(t), ˜H(ω). En el caso discreto

H(ω) = Z ∞ −∞ h(t)e−i ωt_dt _{⇒ H(ωn) =} N−1 X k=1 h(tk)e−i ωntk_∆t H(ωn) = N−1 X k=1 h(k∆t)e−i(N∆t2πn)k∆t_{∆t = ∆t} N−1 X k=1 h(k∆t)e−i 2πnk/N ⇒ H(ωn) = ∆t ˜Hn

Es decir, si utilizamos matlat, la función de respuesta en frecuencia discreta sería H(ωn) = ∆t ˜Hmatlab

n

(36)

Por tanto, el procedimiento para calcular la respuesta de un sistema masa-muelle-amortiguador de un grado de libertad usando la función de respuesta en frecuencia es:

◮ Calcular la TF de la fuerza, F (ω).

◮ Calcular la función de respuesta en frecuencia, H(ω). ◮ Multiplicarlas y calcular Y (ω) = H(ω)F (ω).

◮ Calcular la velocidad y la aceleración en frecuencias,

V_{(ω) = iωY (ω), A(ω) = −ω}2

Y(ω).

◮ Calcular y(t), v(t), a(t) con la transformada inversa de Fourier.

Hay que tener cuidado con la construcción de la H(ω) discreta, H(ωn). Hay dos opociones:

1. Calcular la transformada de Fourier discreta de h(tk).

2. Construir H(ωn) a partir de la fórmula de H(ω). Hay que tener cuidado con esta opción como se observa en la figura siguiente (recordad que a partir de la frecuencia de Nyquist, la transformada de Fourier discreta tiene que cumplir H(N

2+r) = H ∗ (N 2−r) ) 36

(37)

0 2 4 6 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 t (s) h(t k ) (N/m) 0 20 40 60 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 ω (rad/s) T.Fourier h(t k ) (m/N) f nq Parte real 0 20 40 60 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 ω (rad/s) T.Fourier h(t) (m/N) f nq Parte imaginaria 0 20 40 60 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 ω (rad/s) H( ω = ωn ) (m/N) 0 20 40 60 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 ω (rad/s) H( ω ) (m/N)

Figura: Función de respuesta en frecuencia de un sistema de un gdl con:

m=1 kg , ωn=2π rad /s, ζ = 0,025, obtenidas a partir de la TF de h(t) y a

partir de la fórmula teórica.

(38)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −200 −100 0 100 200 t (s) F(t) (N) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 t (s) y (m) incremental duhamel FRF

ζ = 0,025, y0=0 m, ˙y0=0 m/s, N = 128 puntos.

(39)

Figura:Posición, velocidad y aceleración.

(40)

Distintas funciones de respuesta en frecuencia

Se tiene que

H(ω) = 1

(k − mω2_{) + icω} Eliminando los complejos del denominador queda:

H(ω) = (k − mω

2 ) − icω (k − mω2₎2_{+ (cω)}2

Se define la función de ganancia como el módulo de la función de respuesta en frecuencia:

|H(ω)| =pH(ω)H∗_{(ω) =}p(Re H)2_{+ (Im H)}2

|H(ω)| = 1

p(k − mω2₎2_{+ (cω)}2

(41)

Existen otras relaciones, como por ejemplo

◮ Relacion entre la velocidad y la fuerza excitadora:

˙ Y(ω) = H1(ω)F (ω) H1(ω) = iω (k − mω2_{) + icω} |H1(ω)| = ω p(k − mω2₎2_{+ (cω)}2 = ω|H(ω)|

◮ Relacion entre la aceleración y la fuerza excitadora:

¨ Y(ω) = H2(ω)F (ω) H2(ω) = −ω 2 (k − mω2_{) + icω} |H2(ω)| = ω2 p(k − mω2₎2_{+ (cω)}2 = ω 2 |H(ω)| 41

(42)

◮ Relacion entre la fuerza transmitida a la base y la fuerza excitadora: FB(ω) = HFB(ω)F (ω) Como FB(t) = ky (t) + c ˙y (t)T.F .=⇒ FB(ω) = kY (ω) + c ˙Y(ω) HFB(ω) = k+ icω (k − mω2_{) + icω} |HFB(ω)| = pk 2_{+ (cω)}2 p(k − mω2₎2_{+ (cω)}2 42

(43)

Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a

movimientos de la base

Vamos a estudiar ahora el sistema masa-muelle-amortiguador cuando está sometido a un movimiento de la base:

Esto ocurre, por ejemplo, en un terremoto. La fuerza en el muelle y en el amortiguador son proporcionales al movimiento relativo. Si definimos:

(44)

Sustituyendo en la ecuación de equilibrio

Figura:Equilibrio de fuerzas. Aplicando la 2a

Ley de Newton (según el principio de D’Alambert, la fuerza m¨ym(t) tiene sentido opuesto al movimiento)

X

F(t) = m¨y_{m(t) ⇒ Fc}_{(t) + Fk(t) = −m¨ym(t)} Sustituyendo cada fuerza por su valor

c˙y (t) + ky (t) = mÿm(t) = −m(ÿ(t) + ÿB(t)) mÿ_{(t) + c ˙y (t) + ky (t) = −mÿB(t)}

(45)

En frecuencias se pueden definir, por ejemplo, las siguientes relaciones:

◮ Relacion entre el desplazamiento relativo y la aceleración de la base:

F_{(t) = −mÿ}B(t) T.F . =⇒ F (ω) = −m ŸB(ω) Y(ω) = H(ω)F (ω) = H1(ω) ŸB(ω) H1(ω) = −m (k − mω2_{) + icω} |H1(ω)| = m p(k − mω2₎2_{+ (cω)}2 = m|H(ω)|

◮ Relacion entre la aceleración relativa y la aceleración de la base:

¨ Y_{(ω) = −ω}2 Y(ω) ¨ Y(ω) = H2(ω) ¨YB(ω) H2(ω) = mω 2 (k − mω2_{) + icω} |H2(ω)| = mω2 p(k − mω2₎2_{+ (cω)}2 45

(46)

Respuesta de sistemas masa-muelle-amortiguador a cargas

aleatorias

En este apartado vamos a calcular la respuesta de un sistema

masa-muelle-amortiguador cuando la carga que excita el sistema es un proceso estocástico (carga aleatoria).

Partimos de la respuesta del sistema ante cualquier carga: y(t) =

Z t

−∞

F_{(s)h(t − s)ds}

Otra forma de expresar la integral de convolucion se obtiene haciendo θ = t − s

y(t) = Z t

−∞

F_{(t − θ)h(θ)dθ}

Esta formula es el punto de partida de para los resultados obtenidos en este apartado.

(47)

Media de la respuesta

Si la carga que excita el sistema es un proceso estocástico (carga aleatoria), se calcula la media de la respuesta como

µY(t) = E (y (t)) = E Z t −∞ F_{(t − θ)h(θ)dθ} = Z t −∞ E_{[F (t − θ)] h(θ)dθ} = Z t −∞ h(θ)µFdθ = µF Z t −∞ h(θ)dθ

A medida que t aumenta, µY(t) se aproxima a un valor límite. De hecho

µY = lim t→∞µF Z t −∞ h(θ)dθ = µF Z ∞ −∞ h(θ)dθ = µFH(0) =µF k ya que H(ω) = Z ∞ −∞ h(t)eiωtdt= 1 (k − mω2_{) + icω} 47

(48)

Función de autocorrelación de la respuesta

RY(t, s) = E [Y (t)Y (s)] = E Z t −∞ h_{(u)F (t − u)du} Z s −∞ h_{(v )F (s − v)dv} = E Z t −∞ Z s −∞

h(u)h(v )F (t − u)F (s − v)dudv = Z t −∞ Z s −∞

h_{(u)h(v )E [F (t − u)F (s − v)] dudv} = Z t −∞ Z s −∞ h(u)h(v )RF(t − u, s − v)dudv Cuando la fuerza es un proceso estacionario

RY(t, s) = RY(s − t) = Z t −∞ Z s −∞ h(u)h(v )RF(s − t − (v − u))dudv Y a medida que t, s → ∞, siendo τ = s − t:

RY(τ ) = Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ h(u)h(v )RF(τ + u − v))dudv 48

(49)

Funcion de densidad espectral de la respuesta

La función de densidad espectral de la respuesta es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación

SY(ω) = 1 2π Z _∞ −∞ RY(τ )e−i ωτ_d_τ = 1 2π Z ∞ −∞ Z _∞ −∞ Z ∞ −∞ h(u)h(v )RF(τ + u − v))dudv e−i ωτ_dτ = H(−ω)H(ω)SF(ω)

Como h(t) es real, se cumple que:

H_{(ω) = H(−ω)}∗

y por lo tanto

SY(ω) = |H(ω)| 2

SF(ω)

Esta ecuacion es muy importante. Nos dice que la funcion de densidad espectral de la respuesta del sistema es igual a la funcion de densidad espectral de la fuerza multiplicada por el modulo de la funcion de

(50)

◮ Fijaos que para calcular la función de autocorrelación hay que

calcular una integral doble; sin embargo, para calcular SY(ω) no hace falta ninguna integral. Por tanto, es mas comodo obtener RY(τ ) como la transformada de Fourier inversa de SY(ω).

◮ La varianza de la respuesta se calcula como el área bajo la función

de densidad espectral σ2 Y = Z ∞ −∞ SY(ω)dω = Z ∞ −∞ |H(ω)|2 SF(ω)dω 50

(51)

0 2 4 6 8 10 0 0.01 0.02 |H( ω )| F t = Wt + Wt−1 0 2 4 6 8 10 0 0.01 0.02 F t = 0.75Ft−1 − 0.50Ft−2 + Wt 0 2 4 6 8 10 0 0.5 1 1.5 GF ( ω ) 0 2 4 6 8 10 0 2 4 6x 10 −3 Gy ( ω ) ω (rad/s) 0 2 4 6 8 10 0 10 20 0 2 4 6 8 10 0 0.01 0.02 ω (rad/s)

Figura: Funcion de densidad espectral de la respuesta de un sistema de 1 gdl

(m = 1 kg , ωn=2π rad /s, ζ = 0,10).

(52)

Respuesta del sistema masa-muelle-amortiguador a ruido

blanco

Si consideramos que la fuerza es ruido blanco, se puede poner

SF(ω) = S0, −∞ < ω < ∞

GF(f ) = G0= 4πS0, 0 < f < ∞

y la funcion de autocorrelacion es la transformada de Fourier inversa de SF(ω)

RF(τ ) = 2πS0δ(τ )

Claramente, un proceso de ruido blanco asi definido es imposible ya que implica que σ2 F = Z _∞ −∞ SF(ω)dω = Z _∞ −∞ S0d_{ω → ∞}

El proceso estocástico de ruido blanco es una idealización, pero es útil en análisis dinámicos.

(53)

Para ciertos sistemas, la respuesta a un ruido blanco es finita.

Consideremos por ejemplo un sistema masa-muelle-amortiguador. Si la fuerza es ruido blanco

SY(ω) = |H(ω)|2SF(ω) =

S0

p(k − mω2₎2_{+ (cω)}2

Por lo tanto, la funcion de densidad espectral de la respuesta, SY(ω), tiene la misma forma que |H(ω)|2_{, y esta escalada por S0. La varianza de} la respuesta es σ2 Y = Z ∞ −∞ SY(ω)dω = S0 Z ∞ −∞ |H(ω)|2 dω

En determinados casos, esa integral se puede calcular de manera exacta:

(54)

Para sistemas estables con funcion de transferencia de la forma

Hn(ω) = B0+ (iω)B1+ (iω)

2

B2_{+ · · · + (iω)}n−1_B n−1 A0+ (iω)A1+ (iω)2_A2_{+ · · · + (iω)}n_A

n la integral del módulo de Hn(ω)

In=

Z ∞

−∞

|Hn(ω)|2dω está dada por

n_{= 1 ⇒ I}1= π B2 0 A0A1 n= 2 ⇒ I2= π A0B2 1 + A2B 2 0 A0A1A2 n_{= 3 ⇒ I}3= π A0A3(2B0B2_{− B}2 1) − A0A1B 2 2− A2A3B 2 0 A0A3(A0A3− A1A2) 54

(55)

Por tanto, ya podemos calcular la integral que buscábamos σ2 Y = Z _∞ −∞ SY(ω)dω = S0 Z _∞ −∞ |H(ω)|2 dω Sabemos que H(ω) = 1 (k − mω2_{) + icω} = B0+ (iω)B1 A0+ (iω)A1− ω2_A2 y por tanto B0= 1, B1= 0, A0= k, A1= c, A2= m. Z ∞ −∞ |H(ω)|2dω = πA0B 2 1 + A2B 2 0 A0A1A2 = π kc Finalmente σ2Y = S0(rad/s) π kc = G0(Hz) 4kc 55

(56)

Aproximación de una fuerza estocástica por ruido blanco

Sea un sistema masa-muelle-amortiguador sometido a una fuerza F (t) estocástica, de media cero y función de densidad espectral unilateral GF(f ). La varianza de la respuesta es (varianza exacta)

σ2 Y = Z ∞ −∞ |H(ω)|2 GF(f )df Si se cumple que 1. GF(f ) es suave en el entorno de fn. 2. _{El amortiguamiento es pequeño (ζ ≤ 0,20).}

Entonces podemos aproximar GF(f ) por ruido blanco de valor igual a GF(fn), por lo que σ2 Y ≈ GF(fn) 4kc 56

(57)

Esta aproximación se entiende mejor en la siguiente figura

(58)

Ejemplo

El sistema mostrado en la figura está sometido en su base a una

aceleración aleatoria con función de densidad espectral igual a la indicada. Se sabe que la frecuencia natural del sistema es 8 Hz, y además, para determinar el amortiguamiento se realizó un experimento de vibración libre, observando que la amplitud máxima de oscilación disminuyó de 0.80 cm a 0.40 cm en 5 ciclos. Determinar la varianza del desplazamiento del sistema (desplazamiento relativo de la masa y del suelo).

(59)

La ecuación que gobierna el movimiento relativo de la masa con respecto al suelo es

m¨y_{(t) + c ˙y (t) + ky (t) = −m¨yB(t)}

y la varianza de y(t) se calcula como el área bajo la densidad espectral de y(t):

σ2Y =

Z ∞

−∞

|H(ω)|2SF(ω)dω

Por otro lado sabemos que la función de respuesta en frecuencia entre la aceleración de la base y el movimiento relativo es:

H(ω) = −m (k − mω2_{) + icω} = −m (k − mω2_{) + i2ζmωnω} = − m k (1 −m kω 2_{) + i2ζ}m kωnω = −1 ω2 n 1 −ω2 ω2 n + i2ζω ωn ⇒ |H(ω)|2 = 1 ω4 n 1 − ω2 ω2 n 2 +2ζ ω ωn 2 59

(60)

Necesitamos conocer el amortiguamiento. Para ello sabemos que se ha hecho un ensayo de vibración libre y se mide el desplazamiento pico. En vibración libre tenemos que

y(t) = e−ζωnt y0cos ωdt+ ζωny0+ ˙y0 ωd sen ωdt

Supongamos que el primer pico se produce en t = t1. Entonces y(t1) = Ae−ζωnt1_, _A_{= max} y0cos ωdt+ ζωny0+ ˙y0 ωd sen ωdt

El segundo pico se producirá en t = t1+ T , donde T es el periodo ωd =2π_T (consideramos los picos con el mismo signo)

y(t2) = Ae−ζωn(t1+T )

y el pico n-ésimo (n ciclos)

y(tn) = Ae−ζωn(t1+nT )_{= Ae}−ζωnt1_e−ζ2πn ωn ωd _{= y (t1)e}−2πn ζ √ 1−ζ2 ⇒ ζ = ln y(t1) − ln y(tn)_2πn = ln 0,8 − ln 0,4 2π5 = 0,0221

(61)

Ahora podemos calcular la función de densidad espectral del movimiento relativo y por tanto, la función de densidad espectral de la respuesta

GY(ω) = |H(ω)|2GF(ω) ⇒ σY2 = Z ∞ 0 |H(ω)| 2 GF(ω)dω 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 2 f (Hz) GF 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 x 10−4 f (Hz) |H(f)| 2 0 5 10 15 20 25 30 0 0.5 1 1.5 x 10−4 f (Hz) Gy

El área se puede calcular fácilmente utilizando integración numérica (por ejemplo, el método del trapecio). El resultado es

σ2 Y = Z ∞ 0 Gy(f )df = N−1 X n=0 Gy(fn+1) + Gy(fn) 2 ∆f ≈ 6,6056 · 10−5m 2 61

(62)

También se puede resolver teniendo en cuenta que la función de densidad espectral de la entrada es constante en el entorno de ωn, luego podemos aproximar la entrada por ruido blanco:

σY2 ≈ Z ∞ −∞ |H(ω)|2SF(ωn)dω = SF(ωn) Z ∞ −∞ |H(ω)|2dω Sabemos que H(ω) = −m (k − mω2_{) + icω} = B0+ (iω)B1 A0+ (iω)A1− ω2_A2 y por tanto B0_{= −m,} B1= 0, A0= k, A1= c, A2= m. Z ∞ −∞ |H(ω)|2 dω = πA0B 2 1+ A2B 2 0 A0A1A2 = πm2 kc Finalmente σ2 Y = SF(ωn)πm2 kc = GF(fn)πm2 4πk2ζmωn = GF(fn) 1984ζf3 n = 6,6817 · 10−5_m2 . donde fn= 8 Hz, y G (8) = 1,5 m2_/s2_/Hz. 62