Sistemas de
n
ecuaciones con
n
inc´
ognitas
Matrices cuadradas y determinantes
´ Algebra
Araceli Guzm´
an y Guillermo Garro
Facultad de Ciencias UNAM
Semestre 2018-1
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax+by=e (1) cx+dy=f (2)
Las preguntas que debemos responder son
1. ¿El sistema tiene soluci´on?
2. De ser as´ı, ¿cu´antas soluciones tiene?
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´An´
alisis Geom´
etrico: Ecuaci´
on General de la Recta
Recordemos que la ecuaci´on general de la recta enR2 est´a dada por
Ax+By=C, conA2+B2>0.
La condici´onA2+B2>0se usa para garantizar que al menos una de las constantesA´oB es distinta de cero.
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´An´
alisis Geom´
etrico: Ecuaci´
on General de la Recta
Recordemos que la ecuaci´on general de la recta enR2 est´a dada por
Ax+By=C, conA2+B2>0.
La condici´onA2+B2>0se usa para garantizar que al menos una de las constantesA´oB es distinta de cero
SiB6= 0, cualesquiera dos pun-tos(x1, y1)y(x2, y2)en la recta cumplen
y2−y1 x2−x1 =−
A B.
El n´umerom=−BA es llamado pendiente, y el n´umerob=C
B se
An´
alisis Geom´
etrico: Ecuaci´
on General de la Recta
(I) (
ax+by=e (1) cx+dy=f (2)
An´
alisis de las soluciones
Siayb, ycydno son ambas cero, el sistema(I)implica dos rectas en el plano.
No soluci´on Rectas paralelas
Una soluci´on Rectas no paralelas
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax+by=e (1) cx+dy=f (2)
An´
alisis de las soluciones. Casos triviales
Supongamos quea= 0 =b(´o bienc= 0 =d).
Entonces cualquier punto(x, y)∈R2cumple la ecuaci´on(1)siempre quee= 0.
En ese caso, se tiene en particular, que todos los puntos que cumplen(2)tambi´en cumplen (1).
Pero (2)es un plano o una recta. En cualquier caso, el sistema(I)tiene una infinidad de soluciones.
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax+by=e (1) cx+dy=f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones(1)y(2)del sistema(I)son dos rectas que se cortan en un ´unico punto si y s´olo si,
ad−bc6= 0.
Demostraci´on.
Observe que los casosa= 0 =boc= 0 =dquedan excluidos. Vamos a probar la proposici´on equivalente:
Las ecuaciones(1)y(2)son rectas parelelas si y s´olo siad−bc= 0.
[⇒]Supongamos que(1)y(2)son rectas paralelas.
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax+by=e (1) cx+dy=f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones(1)y(2)del sistema(I)son dos rectas que se cortan en un ´unico punto si y s´olo si,
ad−bc6= 0.
Demostraci´on.
Observe que los casosa= 0 =boc= 0 =dquedan excluidos. Vamos a probar la proposici´on equivalente:
Las ecuaciones(1)y(2)son rectas parelelas si y s´olo siad−bc= 0.
[⇒]Supongamos que(1)y(2)son rectas paralelas.
Sib6= 0, entoncesd6= 0, por lo que podemos despejaryde ambas ecuaciones,
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax+by=e (1) cx+dy=f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones(1)y(2)del sistema(I)son dos rectas que se cortan en un ´unico punto si y s´olo si,
ad−bc6= 0.
Demostraci´on.
Observe que los casosa= 0 =boc= 0 =dquedan excluidos. Vamos a probar la proposici´on equivalente:
Las ecuaciones(1)y(2)son rectas parelelas si y s´olo siad−bc= 0.
[⇒]Supongamos que(1)y(2)son rectas paralelas.
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax+by=e (1) cx+dy=f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones(1)y(2)del sistema(I)son dos rectas que se cortan en un ´unico punto si y s´olo si,
ad−bc6= 0.
Demostraci´on.
Observe que los casosa= 0 =boc= 0 =dquedan excluidos. Vamos a probar la proposici´on equivalente:
Las ecuaciones(1)y(2)son rectas parelelas si y s´olo siad−bc= 0.
[⇐]Supongamos quead−bc= 0.
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax+by=e (1) cx+dy=f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema
Las ecuaciones(1)y(2)del sistema(I)son dos rectas que se cortan en un ´unico punto si y s´olo si,
ad−bc6= 0.
Demostraci´on.
Observe que los casosa= 0 =boc= 0 =dquedan excluidos. Vamos a probar la proposici´on equivalente:
Las ecuaciones(1)y(2)son rectas parelelas si y s´olo siad−bc= 0.
[⇐]Supongamos quead−bc= 0.
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n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax+by=e (1) cx+dy=f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema : Regla de Cramer
El sistema(I)tiene soluci´on ´unica si y s´olo si ad−bc6= 0. En cuyo caso la soluci´on(x, y)est´a dada por las f´ormulas
x=de−bf
ad−bc y y= af−ce
ad−bc. (∗)
Solo hay que verificar que las f´ormulas (∗) resuelvene el sistema(I):
(1) ax+by=ade−bf ad−bc+b
af−ce ad−bc =
Sistemas de dos ecuaciones con dos inc´
ognitas
(I) (
ax+by=e (1) cx+dy=f (2)
An´
alisis de las soluciones
Teorema : Regla de Cramer
El sistema(I)tiene soluci´on ´unica si y s´olo si ad−bc6= 0. En cuyo caso la soluci´on(x, y)est´a dada por las f´ormulas
x=de−bf
ad−bc y y= af−ce
ad−bc. (∗)
Solo hay que verificar que las f´ormulas (∗) resuelvene el sistema(I):
(2) cx+dy=cde−bf ad−bc+d
af−ce ad−bc =
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Ejemplo: A veces hay caminos m´
as cortos
Sea el sistema
(
x+ y= 3 (1) x+ 2y=−8 (2)
Hacemos la diferencia de la ecuaci´on (2) menos la ecuaci´on(1), para obtener
y=−11.
Sustituimos este valor en la ecuaci´on(1),
x+ (−11) = 3 ⇔ x−11 = 3
⇔ x= 3 + 11
⇔ x= 14.
Ejemplo: Las f´
ormulas siempre son efectivas
Sea el sistema
(
3x−7y=−5 (1) 4x−3y=−2 (2)
De acuerdo al teorema de existencia y unici-dad,
x=(−5)(−3)−(−7)(−2) 3(−3)−(−7)(4) =
1 19 y=3(−2)−(−5)(4)
3(−3)−(−7)(4)= 14 19.
Soluci´on ´unica del sistema:
1 19,
14 19
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Ejemplo: Siempre podemos elegir el mejor camino a seguir. La clave: el
m´ınimo esfuerzo
Sea el sistema
(I) (
9x−3y=−3 (I.1)
−2x+ 4y= 1 (I.2) Multiplicamos(I.1)por2
9 para obtener el sis-temaequivalente:
(II) (
2x−23y=−23 (II.1)
−2x+ 4y= 1 (II.2) Sumamos(II.1)y(II.2)para obtener
10 3 y=
1 3 ⇔y=
1 10. Sustituimos este valor en(II.2),
−2x+ 41
10= 1⇔ −2x= 3
Uso de software:
Octave
Sea el sistema
(
x+ y= 3 (1) x+ 2y=−8 (2)
El c´odigo en Octave para resolver este sistema, como sistema de ecuaciones simb´olicas, es como sigue
> pkg l o a d s y m b o l i c > s y m s x y
> e q n 1 = x + y = = 3 ; > e q n 2 = x +2* y == -8; > s o l v e ( eqn1 , eqn2 , x , y ) ans =
s c a l a r s t r u c t u r e c o n t a i n i n g the f i e l d s : x = ( sym ) 14
y = ( sym ) -11
> e q n 1 = e z p l o t ( ’ x + y -3 ’ ,[ -20 20 -20 2 0 ] ) ; > set ( eqn1 , ’ c o l o r ’ ,[1 0 0])
> h o l d on
> e q n 2 = e z p l o t ( " x +2* y +8 " ,[ -20 20 -20 2 0 ] ) ; > t i t l e ( " S o l u c i o n del s i s t e m a " );
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de
2
×
2
Una matriz cuadrada de tama˜no2, es unaarreglode 4 n´umeros ordenados en2renglones (filas) y2columnas:
A=
a11 a12 a21 a22
Los n´umerosaij son llamados componentes(entradaso coeficientes) de la matriz A.
Es-pec´ıficamente, para cada1≤i≤2y1≤j≤2,aijes laij-componente deA.
Es com´un tambi´en la notaci´on
A= (Aij)2 o bien A= (aij)2×2 o bien A= (aij)1≤i,j≤2. Dos matrices cuadradas de tama˜no 2, A= (aij)2 yB = (bij)2, son igualessi y s´olo si
aij=bij, para todo1≤i, j≤2.
Ejemplos
Las siguientes son matrices de2×2
1 2 0 1
,
−1 0 1 0
,
0 0 0 0
,
0 0 π 0
,
2 3
Matrices y determinantes de
2
×
2
La matriztranspuestade una matrizA= (aij)2 es la matriz
AT=
a11 a21 a12 a22
Es decir,ATest´a formada por el intercambio de renglones por columnas deA. Podemos usar la notaci´onAT= (aTij)2 dondeaTij=ajipara todas1≤i, j≤2.
Ejemplos
1 2 0 1
T =
1 0 2 1
,
−1 0 1 0
T =
−1 1 0 0
,
0 0 0 0
T =
0 0 0 0
,
0 0 π 0
T =
0 π 0 0
,
2 3
−2 −3 T
=
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de
2
×
2
Eldeterminantede una matrrizA= (aij)2×2de2×2es el n´umero
|A|=
a11 a12 a21 a22
=a11a22−a12a21.
Ejemplos
1 2 0 1
= 1,
−1 0 1 0
= 0,
0 0 0 0
= 0,
0 0 π 0
= 0,
2 3
−2 −3
Matrices y determinantes de
2
×
2
Teorema
Dada una matrizA= (aij)2×2,
|AT|=|A|
Demostraci´on.
|AT|=
a11 a21 a12 a22
=a11a22−a21a12=
a11 a12 a21 a22
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de
2
×
2
Teorema
Dados n´umeros realesaij,1≤i, j≤2,
a11 a12 a21 a22
=−
a21 a22 a11 a12
y
a11 a12 a21 a22
=−
a12 a11 a22 a21
Esto es, si alternamos renglones o columnas, el determinante cambia de signo.
Demostraci´on.
a11 a12 a21 a22
=a11a22−a12a21
=−(a12a21−a11a22) =−
Operaciones con matrices de
2
×
2
Siλ∈R, definimos elproducto por un escalarcomo
λA=λ
a11 a12 a21 a22
=
λa11 λa12 λa21 λa22
En notaci´on abreviada
λA= (λaij)2×2
Ejemplos
5
2 −3
−1 0
=
10 −15
−5 0
, −
2 −3
−1 0
=
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
2
×
2
Lasuma de dos matricesA= (aij)2×2yB= (bij)2×2 es la matriz
A+B=
a11 a12 a21 a22
+
b11 b12 b21 b22
=
a11+b11 a12+b12 a21+b21 a22+b22
En notaci´on abreviada
A+B= (aij+bij)2×2
Ejemplos
1 2 0 1
+
−1 0 1 0
=
0 2 1 1
4 7
−5 1
−
−1 −2 1 7
=
5 9
Operaciones con matrices de
2
×
2
Elproducto de dos matricesA= (aij)2×2yB= (bij)2×2 es la matriz
AB=
a11 a12 a21 a22
b11 b12 b21 b22
=
a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 a21b11+a22b21 a21b12+a22b22
En notaci´on abreviada
AB= (ai1b1j+ai2b2j)2×2.
Ejemplos
2 3 5 6
2 0 0 1
=
4 3 10 6
,
1 5 0 1
1 −3 2 3
=
11 12 2 3
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
2
×
2
Six=
x y
es un vector columna enR2 yA= (aij)2×2es una matriz cuadrada de tama˜no
2, entonces tambi´en definimos los siguientes productos
xTA= x y
a11 a12 a21 a22
= a11x+a21y a12x+a22y
Ax=
a11 a12 a21 a22
x y
=
a11x+a12y a21x+a22y
Observe quexTAes un vector rengl´on yAxes un vector columna.
Ejemplo
Seax=
2 0
y seaA=
−1 −3 2 0
. Entonces
xTA= 2 0
−1 −3 2 0
= 0 −3
Ax=
−1 −3 2 0
2 0
=
Operaciones con matrices de
2
×
2
Teorema : Propiedades asociativas
SeanA= (aij)2×2,B= (bij)2×2 yC= (cij)2×2 matrices cuadradas de tama˜no2.
Entonces
(A+B) +C=A+ (B+C) y (AB)C=A(BC).
Demostraci´on.
(A+B) +C=
a11 a12 a21 a22
+
b11 b12 b21 b22
+
c11 c12 c21 c22
=
a11+b11 a12+b12 a21+b21 a22+b22
+
c11 c12 c21 c22
=
(a11+b11) +c11 (a12+b12) +c12 (a21+b21) +c21 (a22+b22) +c22
=
a11+ (b11+c11) a12+ (b12+c12) a21+ (b21+c21) a22+ (b22+c22)
=
a11 a12 a21 a22
+
b11+c11 b12+c12 b21+c21 b22+c22
=
a11 a12 a21 a22
+
b11 b12 b21 b22
+
c11 c12 c21 c22
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
2
×
2
Teorema : Propiedades distributivas
SeanA= (aij)2×2,B= (bij)2×2 yC= (cij)2×2 matrices cuadradas de tama˜no2.
Entonces
A(B+C) =AB+BC y (B+C)A=BA+CA.
Demostraci´on.
A(B+C) =
a11 a12 a21 a22
b11 b12 b21 b22
+
c11 c12 c21 c22
=
a11 a12 a21 a22
b11+c11 b12+c12 b21+c21 b22+c22
=
a11(b11+c11) +a12(b21+c21) a11(b12+c12) +a12(b22+c22) a21(b11+c11) +a22(b21+c21) a21(b12+c12) +a22(b22+c22)
=
(a11b11+a12b21) + (a11c11+a12c21) (a11b12+a12b22) + (a11c12+a12c22) (a21b11+a22b21) + (a21c11+a22c21) (a21b12+a22b22) + (a21c12+a22c22)
=
a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 a21b11+a22b21 a21b12+a22b22
+
a11c11+a12c21 a11c12+a12c22 a21c11+a22c21 a21c12+a22c22
=
a11 a12 a21 a22
b11 b12 b21 b22
+
a11 a12 a21 a22
Una propiedad relevante
Teorema
SeanA= (aij)2×2 yB= (bij)2×2 matrices. Entonces
|AB|=|A||B|.
Demostraci´on.
|AB|=
a11b11+a12b21 a11b12+a12b22 a21b11+a22b21 a21b12+a22b22
= (a11b11+a12b21)(a21b12+a22b22)−(a11b12+a12b22)(a21b11+a22b21) =a11a21b11b12+a11a22b11b22+a12a21b12b21+a12a22b21b22
−a11a21b11b12−a11a22b12b21−a12a21b11b22−a12a22b21b22 =a11a22(b11b22−b12b21)−a12a21(b11b22−b12b21)
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Una propiedad relevante
Corolario
SeanA= (aij)2×2 yB= (bij)2×2 matrices. Entonces
|AB|=|BA|.
Pero no es lo mismo...
Este corolarionodice que se cumpla la igualdad
AB=BA.
Operaciones con matrices
Teorema
SiA= (aij)2×2es una matriz yλ∈R,
|λA|=λ2|A|. En particular,| −A|=|A|.
Demostraci´on.
|λA|=
λa11 λa12 λa21 λa22
=λa11λa22−λa12λa21
=λ2(a11a22−a12a21)
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices
Teorema
Seana,b,c,dyλn´umeros reales.
a b λc λd =λ a b c d Demostraci´on. a b λc λd
=λad−λbc=λ(ad−bc) =λ a b c d Teorema
Seana,b,c,dyλn´umeros reales.
a λb c λd =λ a b c d Demostraci´on. a λb c λd = a c λb λd =λ a c b d =λ a b c d
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas:
Operaciones con matrices
Teorema
Seana,b,c,dyλn´umeros reales.
a b λc λd =λ a b c d Demostraci´on. a b λc λd
=λad−λbc=λ(ad−bc) =λ a b c d Teorema
Seana,b,c,dyλn´umeros reales.
a λb c λd =λ a b c d Demostraci´on. a λb c λd = a c λb λd =λ a c b d =λ a b c d
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas:
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices
Teorema
Seana,byλn´umeros reales.
a b
λa λb
= 0
Demostraci´on.
a b
λa λb
=λab−λab= 0.
Corolario
Seana,byλn´umeros reales.
a λa b λb
= 0
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas:
λa λb
a b
= 0 y
λa a λb b
Operaciones con matrices
Teorema
Seana,byλn´umeros reales.
a b
λa λb
= 0
Demostraci´on.
a b
λa λb
=λab−λab= 0.
Corolario
Seana,byλn´umeros reales.
a λa b λb
= 0
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas:
λa λb
a b
= 0 y
λa a λb b
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Seana,b,u1,u2,v1yv2n´umeros reales. Entonces
a b
u1+v1 u2+v2
=
a b
u1 u2
+
a b
v1 v2
Demostraci´on.
a b
u1+v1 u2+v2
=a(u2+v2)−b(u1+v1)
=au2+av2−bu1−bv1 =au2−bu1+av2−bv1
=
a b
u1 u2
+
a b
Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Seana,b,u1,u2,v1yv2n´umeros reales. Entonces
a b
u1+v1 u2+v2
=
a b
u1 u2
+
a b
v1 v2
Pero no es lo mismo...
Este resultadonodice que se cumpla la igualdad
a b
u1+v1 u2+v2
=
a b
u1 u2
+
a b
v1 v2
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Seana,c,u1,u2,v1yv2n´umeros reales. Entonces
a u1+v1 c u2+v2 = a u1 c u2 + a v1 c v2 Demostraci´on.
a u1+v1 c u2+v2 = a c
u1+v1 u2+v2 = a c u1 u2 + a c v1 v2 = a u1 c u2 + a v1 c v2
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas:
u1+v1 u2+v2
a b = u1 u2 a b + v1 v2 a b
Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Seana,c,u1,u2,v1yv2n´umeros reales. Entonces
a u1+v1 c u2+v2 = a u1 c u2 + a v1 c v2 Demostraci´on.
a u1+v1 c u2+v2 = a c
u1+v1 u2+v2 = a c u1 u2 + a c v1 v2 = a u1 c u2 + a v1 c v2
De la misma forma...
Debe ser claro que las igualdades siguientes son tambi´en v´alidas:
u1+v1 u2+v2
a b = u1 u2 a b + v1 v2 a b
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´El determinante como ´
area dirigida en
R
2Teorema
Seanaybn´umeros reales no ambos cero, ycydn´umeros reales no ambos cero. El ´area del paralelogramoAformado por los vectoresx= (a, b)yy= (c, d)es igual a
El determinante como ´
area dirigida en
R
2Teorema
Seanaybn´umeros reales no ambos cero, ycydn´umeros reales no ambos cero. El ´area del paralelogramoAformado por los vectoresx= (a, b)yy= (c, d)es igual a
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´El determinante como ´
area dirigida en
R
2Teorema
Seanaybn´umeros reales no ambos cero, ycydn´umeros reales no ambos cero. El ´area del paralelogramoAformado por los vectoresx= (a, b)yy= (c, d)es igual a
El determinante como ´
area dirigida en
R
2Teorema
Seanaybn´umeros reales no ambos cero, ycydn´umeros reales no ambos cero. El ´area del paralelogramoAformado por los vectoresx= (a, b)yy= (c, d)es igual a
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´El determinante como ´
area dirigida en
R
2Teorema
Seanaybn´umeros reales no ambos cero, ycydn´umeros reales no ambos cero. El ´area del paralelogramoAformado por los vectoresx= (a, b)yy= (c, d)es igual a
Vectores parelelos y determinantes
Teorema
Seana,b,cydn´umeros reales. Si
a b c d
= 0
entonces los vectores rengl´on(a, b)y(c, d)son paralelos, o bien, los vectores columna (a, c)y(c, d)son paralelos.
Demostraci´on.
Supongamos quead=bc. Podemos analizar dos casos, a saber
Caso I.d= 0. En tal casoad= 0y por tantobc= 0. En cuyo caso,b= 0o bienc= 0. Si c= 0, entonces obviamente
(c, d) = (0,0) = 0·(a, b). Sib= 0, se sigue igualmente
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Vectores parelelos y determinantes
Teorema
Seana,b,cydn´umeros reales. Si
a b c d
= 0
entonces los vectores rengl´on(a, b)y(c, d)son paralelos, o bien, los vectores columna (a, c)y(c, d)son paralelos.
Demostraci´on.
De la hip´otesis se sigue quead=bc. Hay dos casos, a saber
Caso II.d6= 0. En tal caso despejamosaen la igualdadad=bc, para obtener quea=dcb. Por lo tanto,
(a, b) =c db,
c d
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices y sistemas de ecuaciones
Dado el sistema
(I) (
a11x1+a12x2=b1 a12x1+a22x2=b2 Hacemos la matriz
A=
a11 a12 a21 a22
.
La matrizAes llamadamatriz de coeficientesdel sistema(I).
Tambi´en definimos los vectores columna
x=
x y
y b=
b1 b2
,
entonces podemos representar(I), con la ecuaci´on matricial Ax=b. Esto es
a11 a12 a21 a22
x y
=
b1 b2
.
Realizando c´alculos directos, se puede comprobar f´acilmente
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices y sistemas de ecuaciones
Dado el sistema
(I) (
a11x1+a12x2=b1 a12x1+a22x2=b2 Hacemos la matriz
A=
a11 a12 a21 a22
.
La matrizAes llamadamatriz de coeficientesdel sistema(I).
Tambi´en definimos los vectores columna
x=
x y
y b=
b1 b2
,
entonces podemos representar(I), con la ecuaci´on matricial Ax=b. Esto es
a11 a12 a21 a22
x y
=
b1 b2
.
De otra manera...
Realizando c´alculos directos, se puede comprobar f´acilmente
Matrices y sistemas de ecuaciones
Dado el sistemaAx=b, es decir,
a11 a12 a21 a22
x y
=
b1 b2
. (1)
Definimos las matrices
Ax=
b1 a12 b2 a22
y Ay=
a11 b1 a21 b2.
Teorema : Regla de Carmer
El sistema (1) tiene soluci´on ´unica si y s´olo si,
|A|=a11a22−a12a216= 0. En cuyo caso, la soluci´on(x, y)est´a dada por
x= |Ax|
|A| =
a22b1−a12b2
a11a22−a12a21 y y=
|Ay|
|A| =
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices inversas
Dada la matriz cuadrada
A=
a11 a12 a21 a22
,
decimos que una matriz
B=
b11 b12 b21 b22
es la (una, pues a´un no probamos unicidad)inversadeAsi
AB=BA=I2 donde
I2=
1 0 0 1
es lamatriz identidadde tama˜no 2.
Matrices inversas
¿Por qu´eI2 se llama matriz identidad?
Teorema
Dada una matrizA= (aij)2×2,
AI2=I2A=A.
Demostraci´on.
AI2=
a11 a12 a21 a22
1 0 0 1
=
a11·1 +a12·0 a11·0 +a12·1 a21·1 +a22·0 a21·0 +a22·1
=
a11 a12 a21 a22
=A.
An´alogamente se pruebaI2A=A.
Teorema
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices inversas
Teorema
SiA= (aij)2×2es una matriz invetible, s´olo hay una ´unica inversa deA.
Demostraci´on.
SeanByB0matrices inversas deA. Tenemos
B=BI2=B(AB0) = (BA)B0=I2B0=B0.
UsamosA−1para denotar la matriz inversa deA.
Teorema
Matrices inversas
Teorema
Una matrizA= (aij)2×2 es invetible si y s´olo si
|A|=a11a22−a12a216= 0.
Demostraci´on.
Consideremos una matrizB=
x1 x2 y1 y2
.Entonces por definici´on de producto de matrices,
AB=
a11 a12 a21 a22
x1 x2 y1 y2
=
a11x1+a12y1 a11x2+a12y2 a21x1+a22y1 a21x2+a22y2
Por lo tanto,AB=I2 si y s´olo si
a11x1+a12y1= 1 a11x2+a12y2= 0 a21x1+a22y1= 0 a21x2+a22y2= 1 Ambos sistemas tienen soluci´on ´unica si y s´olo si
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices inversas
De hecho, si resolvemos los sistemas
a11x1+a12y1= 1 a11x2+a12y2= 0 a21x1+a22y1= 0 a21x2+a22y2= 1 tenemos
x1= a22
a11a22−a12a21 x2=−
a12 a11a22−a12a21 y1=− a21
a11a22−a12a21 y2=
a11 a11a22−a12a21 Por tanto,
A−1= 1
a11a22−a12a21
a22 −a12
−a21 a11
.
La matriz
adj(A) =
a22 −a12
−a21 a11
se llama(matriz) adjunta (cl´asica)deA.
Matriz inversa
Tenemos una primera f´ormula para la matriz inversa de una matriz invertible A= (aij)2×2:
A−1= 1
Matrices inversas
De hecho, si resolvemos los sistemas
a11x1+a12y1= 1 a11x2+a12y2= 0 a21x1+a22y1= 0 a21x2+a22y2= 1 tenemos
x1= a22
a11a22−a12a21 x2=−
a12 a11a22−a12a21 y1=− a21
a11a22−a12a21 y2=
a11 a11a22−a12a21 Por tanto,
A−1= 1
a11a22−a12a21
a22 −a12
−a21 a11
.
La matriz
adj(A) =
a22 −a12
−a21 a11
se llama(matriz) adjunta (cl´asica)deA.
Matriz inversa
Tenemos una primera f´ormula para la matriz inversa de una matriz invertible A= (aij)2×2:
A−1= 1
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices inversas y sistemas de ecuaciones lineales
Sea un sistema de2×2,
(1)
a11 a12 a21 a22
x y
=
b1 b2
.
O bien, si
A=
a11 a12 a21 a22
, x=
x y
y b=
b1 b2
,
entonces escribimos(1)como
(2) Ax=b.
Si|A|=a11a22−a12a216= 0, entonces multiplicamos por la izquierda ambos miembros de la ecuaci´on(2)por la matriz inversaA−1=|A1|adj(A), y obtenemos la soluci´on
A−1Ax=A−1b I2x=A−1b
x=A−1b.
Ejemplo
Sea el sistema
(
−13x+ 3y= 7 5x+ 22y= 9 Definimos
A=
−13 3 5 22
, x=
x y
y b=
7 9
Para escribir este sistema en forma matricialAx=b, o sea,
−13 3 5 22
x y
=
7 9
Tenemos entonces
|A|= (−13)(22)−(3)(5) =−301, y adj(A) =
22 −3
−5 −13
,
De donde
A−1= 1
|A|adj(A) =
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Ejemplo
Sea el sistema (
−13x+ 3y= 7 5x+ 22y= 9 Definimos
A=
−13 3 5 22
, x=
x y
y b=
7 9
Para escribir este sistema en forma matricialAx=b, o sea,
−13 3 5 22
x y
=
7 9
La soluci´on del sistema est´a dada por
x y
=A−1b=
−22/301 3/301 5/301 13/301 !
7 9
=
Uso de software
Octave
Sea el sistema (
−13x+ 3y= 7 5x+ 22y= 9
En Octave tenemos varias posibilidades para resolver sistemas como sistemas matriciales:
> A =[ -13 3;5 22] A =
-13 3 5 22
> b = [ 7 ; 9 ] b =
7 9
> iA = inv ( A ) iA =
- 0 . 0 7 3 0 8 9 7 0 . 0 0 9 9 6 6 8 0 . 0 1 6 6 1 1 3 0 . 0 4 3 1 8 9 4
> x = iA * b x =
- 0 . 4 2 1 9 3 0 . 5 0 4 9 8
> A =[ -13 3;5 22] A =
-13 3 5 22
> b = [ 7 ; 9 ] b =
7 9
> x = A \ b x =
- 0 . 4 2 1 9 3 0 . 5 0 4 9 8
> A =[ -13 3;5 22] A =
-13 3 5 22
> b = [ 7 ; 9 ] b =
7 9
> x = l i n s o l v e ( A , b ) x =
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Uso de software
Octave
Sea el sistema
(
−13x+ 3y= 7 5x+ 22y= 9
Tambi´en podemos calcular el determinante, la matriz adjunta y realizar los gr´aficos:
> A =[ -13 3;5 2 2 ] ; > b = [ 7 ; 9 ] ; > d = det ( A ) d = -301 > iA = inv ( A ); > a d j A = d * iA a d j A =
2 2 . 0 0 0 0 -3.0000 -5.0000 - 1 3 . 0 0 0 0 > x = l i n s o l v e ( A , b ) x =
- 0 . 4 2 1 9 3 0 . 5 0 4 9 8
> e q n 1 = e z p l o t ( ’ -13* x +3* y -7 ’ ,[ -2 2 -2 2 ] ) ; > set ( eqn1 , ’ c o l o r ’ ,[1 0 0])
> h o l d on
> e q n 2 = e z p l o t ( " 5* x + 2 2 * y -9 " ,[ -2 2 -2 2 ] ) ; > p l o t ( x (1) , x (2) , ’ go ’ , ’ L i n e W i d t h ’ ,5)
> l e g e n d ( ’ -13 x +3 y =7 ’ , ’ 5 x +22 y =9 ’ ); -2-2 -1 0 1 2 -1
0 1 2
y
Matrices y determinantes de
3
×
3
Una matriz cuadrada de tama˜no3(3 renglones y3columnas) es una arreglo de9n´umeros reales o complejos
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
.
Tambi´en usamos la notaci´onA= (aij)3×3 o bienA= (aij)3i,j=1o bienA= (aij)1≤i,j≤3,
como es corriente.
Dos matrices cuadradas de tama˜no 3, A= (aij)3 yB = (bij)3, son igualessi y s´olo si
aij=bij, para todo1≤i, j≤3.
Ejemplos
−2 3 1
−3 0 2 0 1 −2
,
2 π 0 0 0 2
−1 3 −1
,
−1 3 1
−e −2 2 0 −π −2π
,
√
2 π 0 0 0 0
−eπ πe −1
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de
3
×
3
La matriztranspuestade una matrizA= (aij)1≤i,j≤3es la matriz
AT=
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
Esto es,ATresulta de intercambiar renglones por columnas de la matrizA.
Podemos escribir as´ıAT= (aT
ij)1≤i,j≤3donde aT
ij=aji, ∀1≤i, j≤3.
Ejemplos
−2 3 1
−3 0 2 0 1 −2
T
=
−2 −3 0 3 0 1 1 2 −2
,
2 π 0 0 0 2
−1 3 −1
T
=
2 0 −1
π 0 3
0 2 −1
Matrices y Determinantes de
3
×
3
Definimos eldeterminantedeA= (aij)1≤i,j≤3 como el n´umero real
|A|=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =a11 a22 a23 a32 a33 −a12 a21 a23 a31 a33 +a13 a21 a22 a31 a32
=a11(a22a33−a23a32)−a12(a21a33−a23a31) +a13(a21a32−a22a31) =a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a13a22a31−a23a32a11−a33a12a21.
Ejemplo
−2 3 1
−3 0 2 0 1 −2
=−2
0 2 1 −2 −3
−3 2 0 −2 +
−3 0 0 1
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Determinantes de matrices de
3
×
3
: Regla de Sarrus
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
|A|=a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a13a22a31−a23a32a11−a33a12a21.
¡Advertencia!
Determinantes de matrices de
3
×
3
: Regla de Sarrus
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
|A|=a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23−a13a22a31−a23a32a11−a33a12a21.
Regla de Sarrus. FuenteWikipedia
¡Advertencia!
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de
3
×
3
Teorema
Dada una matrizA= (aij)3×3,
|AT|=|A|
Demostraci´on.
Basta calcular|AT|de acuerdo a la regla de Sarrus:
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11 a21 a31
a12 a22 a32
+
+
+
−
−
−
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32
−a31a22a13−a32a23a11−a33a21a12
=a11a22a33+a21a32a13+a31a12a23
−a13a22a31−a23a32a11−a33a12a21
Matrices y determinantes de
3
×
3
: Desarrollo por columna
Del teorema anterior se desprende
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =
a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33 =a11 a22 a32 a23 a33 −a21 a12 a32 a13 a33 +a31 a12 a22 a13 a23 =a11 a22 a23 a32 a33 −a21 a12 a13 a32 a33 +a31 a12 a22 a31 a23
La f´ormula
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =a11 a22 a23 a32 a33 −a21 a12 a13 a32 a33 +a31 a12 a22 a31 a23
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Matrices y determinantes de
3
×
3
Teorema
Dados n´umeros realesaij,1≤i, j≤3,
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =−
a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23 y
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =−
a11 a13 a12 a21 a23 a22 a31 a33 a32 Demostraci´on.
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
=−a11 a22 a23 a32 a33 −a12 a21 a23 a31 a33 +a13 a21 a22 a31 a32
=−a11 a32 a33 a22 a23 +a12 a31 a33 a21 a23 −a13 a31 a32 a21 a22 =−
a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23
M´
as generalmente...
Debe resultar claro al estudiante, que este teorema tiene enunciaci´on m´as general:si alternamos dos renglones o dos columnas, el determinante cambia de signo.
Matrices y determinantes de
3
×
3
Teorema
Dados n´umeros realesaij,1≤i, j≤3,
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =−
a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23 y
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =−
a11 a13 a12 a21 a23 a22 a31 a33 a32 Demostraci´on.
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
=−a11 a22 a23 a32 a33 −a12 a21 a23 a31 a33 +a13 a21 a22 a31 a32
=−a11 a32 a33 a22 a23 +a12 a31 a33 a21 a23 −a13 a31 a32 a21 a22 =−
a11 a12 a13 a31 a32 a33 a21 a22 a23
M´
as generalmente...
Debe resultar claro al estudiante, que este teorema tiene enunciaci´on m´as general:si alternamos dos renglones o dos columnas, el determinante cambia de signo.
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
Siλ∈R, definimos elproducto por un escalarcomo
λA=λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
=
λa11 λa12 λa13 λa21 λa22 λa23 λa31 λa32 λa33
En notaci´on abreviada
λA= (λaij)3×3
Ejemplos
4
2 π 0 0 0 2
−1 3 −1
=
8 4π 0 0 0 8
−4 12 −4
, −
−2 3 1
−3 0 2 0 1 −2
=
2 −3 −1 3 0 −2 0 −1 2
Operaciones con matrices de
3
×
3
Lasuma de dos matricesA= (aij)3×3yB= (bij)3×3 es la matriz
A+B=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
+
b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33
=
a11+b11 a12+b12 a13+b13 a21+b21 a22+b22 a23+b23 a31+b31 a32+b32 a33+b33
En notaci´on abreviada
A+B= (aij+bij)3×3
Ejemplo
4
2 π 0 0 0 2
−1 3 −1
−
2 π 0 0 0 0
−π2 π −1
=
6 0 0 0 0 8 π2−4 12−π −3
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
Elproducto de dos matricesA= (aij)3×3yB= (bij)3×3 es la matriz
AB=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
b11 b12 b13 b21 b22 b23 b31 b32 b33
=
a11b11+a12b21+a13b31 a11b12+a12b22+a13b32 a11b13+a12b23+a13b33 a21b11+a22b21+a23b31 a21b12+a22b22+a23b32 a21b13+a22b23+a23b33 a31b11+a32b21+a33b31 a31b12+a32b22+a33b32 a31b13+a32b23+a33b33
En notaci´on abreviada
AB= (ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j)3×3.
Ejemplo
2 π 0 0 0 2
−1 3 −1
2 −3 −1 3 0 −2 0 −1 2
=
4 + 3π −6 −2(1 +π) 0 −2 4 4 4 −3
Operaciones con matrices de
3
×
3
Six=
x y z
es un vector columna enR3yA= (aij)3×3 es una matriz cuadrada de tama˜no
3, entonces tambi´en definimos los siguientes productos
xTA= x y z
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
= a11x+a21y+a31z a12x+a22y+a32z a13x+a23y+a33z
Ax=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
x y z
=
a11x+a12y+a13z a21x+a22y+a23z a31x+a32y+a33z
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
: Otros resultados
Teorema : Propiedades asociativas
SeanA= (aij)3×3,B= (bij)3×3 yC= (cij)3×3 matrices cuadradas de tama˜no3.
Entonces
(A+B) +C=A+ (B+C) y (AB)C=A(BC).
Teorema : Propiedades distributivas
SeanA= (aij)3×3,B= (bij)3×3 yC= (cij)3×3 matrices cuadradas de tama˜no3.
Entonces
A(B+C) =AB+BC y (B+C)A=BA+CA.
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
. Otros resultados
Teorema
SiA= (aij)3×3es una matriz yλ∈R,
a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa31 λa32 λa33
=λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Demostraci´on.
a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa31 λa32 λa33
=a11 a22 a23 λa32 λa33 −a12 a21 a23 λa31 λa33 +a13 a21 a22 λa31 λa32 =λa11 a22 a23 a32 a33 −λa12 a21 a23 a31 a33 +λa13 a21 a22 a31 a32 =λ a11 a22 a23 a32 a33 −a12 a21 a23 a31 a33 +a13 a21 a22 a31 a32 =λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades
a11 a12 a13 λa21 λa22 λa23
a31 a32 a33 =λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
λa11 λa12 λa13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =λ
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
. Otros resultados
Teorema
SiA= (aij)3×3es una matriz yλ∈R,
a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa31 λa32 λa33
=λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Demostraci´on.
a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa31 λa32 λa33
=a11 a22 a23 λa32 λa33 −a12 a21 a23 λa31 λa33 +a13 a21 a22 λa31 λa32 =λa11 a22 a23 a32 a33 −λa12 a21 a23 a31 a33 +λa13 a21 a22 a31 a32 =λ a11 a22 a23 a32 a33 −a12 a21 a23 a31 a33 +a13 a21 a22 a31 a32 =λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
De la misma forma...
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades
a11 a12 a13 λa21 λa22 λa23
a31 a32 a33 =λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
λa11 λa12 λa13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 =λ
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
. Otros resultados
Corolario
SiA= (aij)3×3es una matriz yλ∈R,
a11 a12 λa13 a21 a22 λa23 a31 a32 λa33 =λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Corolario
SiA= (aij)3×3es una matriz yλ∈R,
|λA|=λ3|A|. En particular,| −A|=−|A|.
Se dejan al estudiantes estas f´aciles pruebas.
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades
a11 λa12 a13 a21 λa22 a23 a31 λa32 a33 =λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
λa11 a12 a13 λa21 a22 a23 λa31 a32 a33 =λ
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
. Otros resultados
Corolario
SiA= (aij)3×3es una matriz yλ∈R,
a11 a12 λa13 a21 a22 λa23 a31 a32 λa33 =λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Corolario
SiA= (aij)3×3es una matriz yλ∈R,
|λA|=λ3|A|. En particular,| −A|=−|A|.
Se dejan al estudiantes estas f´aciles pruebas.
De la misma forma...
Este mismo razonamiento aplica para probar las igualdades
a11 λa12 a13 a21 λa22 a23 a31 λa32 a33 =λ
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
λa11 a12 a13 λa21 a22 a23 λa31 a32 a33 =λ
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
. Otros resultados
Teorema
Siaij,1≤i≤2,1≤j≤3, son n´umeros reales, yλ∈R, entonces
a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa11 λa12 λa13
= 0
Demostraci´on.
Basta el casoλ= 1. Desarrollamos el determinante por columna
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13
=a11
a22 a23 a12 a13
+a21
a12 a13 a12 a13
+a11
a12 a13 a22 a23
=a11
a22 a23 a12 a13
+a210−a11
a22 a23 a12 a13
= 0
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado m´as general:
Si un rengl´on de una matriz cuadrada es m´ultiplo de otro, entonces el de-terminante de la matriz es cero
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
. Otros resultados
Teorema
Siaij,1≤i≤2,1≤j≤3, son n´umeros reales, yλ∈R, entonces
a11 a12 a13 a21 a22 a23 λa11 λa12 λa13
= 0 Demostraci´on.
Basta el casoλ= 1. Desarrollamos el determinante por columna
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11 a12 a13 =a11 a22 a23 a12 a13 +a21 a12 a13 a12 a13 +a11 a12 a13 a22 a23 =a11 a22 a23 a12 a13
+a210−a11 a22 a23 a12 a13 = 0
Un poco m´
as general ...
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado m´as general:
Si un rengl´on de una matriz cuadrada es m´ultiplo de otro, entonces el de-terminante de la matriz es cero
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
. Otros resultados
Corolario
Siaij,1≤i≤3,1≤j≤2, son n´umeros reales, yλ∈R, entonces
a11 a12 λa11 a21 a22 λa21 a31 a32 λa31
= 0
Demostraci´on.
Vamos a hacer esta prueba con la finalidad de ilustrar c´omo se aplican algunos de los resultados anteriores. Tenemos pues,
a11 a12 λa11 a21 a22 λa21 a31 a32 λa31
=
a11 a21 a31 a12 a22 a32 λa11 λa21 λa31
= 0
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado m´as general:
Si una columna de una matriz cuadrada es m´ultiplo de otra, entonces el determinante de la matriz es cero
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Operaciones con matrices de
3
×
3
. Otros resultados
Corolario
Siaij,1≤i≤3,1≤j≤2, son n´umeros reales, yλ∈R, entonces
a11 a12 λa11 a21 a22 λa21 a31 a32 λa31
= 0
Demostraci´on.
Vamos a hacer esta prueba con la finalidad de ilustrar c´omo se aplican algunos de los resultados anteriores. Tenemos pues,
a11 a12 λa11 a21 a22 λa21 a31 a32 λa31
=
a11 a21 a31 a12 a22 a32 λa11 λa21 λa31
= 0
Lo mismo aplica...
Debe resultar evidente que este resultado admite un enunciado m´as general:
Si una columna de una matriz cuadrada es m´ultiplo de otra, entonces el determinante de la matriz es cero
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Siaij ∈R,i= 1,2,j = 1,2,3; yuk yvk tambi´en son n´umeros reales,k= 1,2,3.
Entonces
a11 a12 a13
a21 a22 a23
u1+v1 u2+v2 u3+v3 =
a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1 u2 u3
+
a11 a12 a13 a21 a22 a23 v1 v2 v3
Pero no es lo mismo...
Este resultadonodice que se cumpla la igualdad
a11 a12 a13
a21 a22 a23
u1+v1 u2+v2 u3+v3
=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1 u2 u3
+
a11 a12 a13 a21 a22 a23 v1 v2 v3
Se deja como ejercicio verificar con un ejemplo que esta igualdad no es cierta.
Ning´un estudiante deber´ıa dudar de la validez de las igualdades:
u1+v1 u2+v2 u3+v3
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
u1 u2 u3 a21 a22 a23 a31 a32 a33 +
v1 v2 v3 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13
u1+v1 u2+v2 u3+v3
a31 a32 a33
=
a11 a12 a13 u1 u2 u3 a31 a32 a33
+
a11 a12 a13 v1 v2 v3 a31 a32 a33
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Una interesante propiedad de linealidad
Teorema
Siaij ∈R,i= 1,2,j = 1,2,3; yuk yvk tambi´en son n´umeros reales,k= 1,2,3.
Entonces
a11 a12 a13
a21 a22 a23
u1+v1 u2+v2 u3+v3 =
a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1 u2 u3
+
a11 a12 a13 a21 a22 a23 v1 v2 v3
Pero no es lo mismo...
Este resultadonodice que se cumpla la igualdad
a11 a12 a13
a21 a22 a23
u1+v1 u2+v2 u3+v3
=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1 u2 u3
+
a11 a12 a13 a21 a22 a23 v1 v2 v3
Se deja como ejercicio verificar con un ejemplo que esta igualdad no es cierta.
De la misma forma...
Ning´un estudiante deber´ıa dudar de la validez de las igualdades:
u1+v1 u2+v2 u3+v3
a21 a22 a23
a31 a32 a33
=
u1 u2 u3 a21 a22 a23 a31 a32 a33 +
v1 v2 v3 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11 a12 a13
u1+v1 u2+v2 u3+v3
a31 a32 a33
=
a11 a12 a13 u1 u2 u3 a31 a32 a33
+
a11 a12 a13 v1 v2 v3 a31 a32 a33
Una interesante propiedad de linealidad
Demostraci´on.a11 a12 a13
a21 a22 a23
u1+v1 u2+v2 u3+v3 =a11 a22 a23
u2+v2 u3+v3 −a12 a21 a23
u1+v1 u3+v3 +a13 a21 a22
u1+v1 u2+v2 =a11 a22 a23 u2 u3 + a22 a23 v2 v3 −a12 a21 a23 u1 u3 + a21 a23 v1 v3 +a13 a21 a22 u1 u2 + a21 a22 v1 v2 =a11 a22 a23 u2 u3 −a12 a21 a23 u1 u3 +a13 a21 a22 u1 u2 +a11 a22 a23 v2 v3 −a12 a21 a23 v1 v3 +a13 a21 a22 v1 v2 =
a11 a12 a13 a21 a22 a23 u1 u2 u3
+
a11 a12 a13 a21 a22 a23 v1 v2 v3
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Una interesante propiedad de linealidad
Corolario
Siaij ∈R,i= 1,2,3,j = 1,2; yuk yvk tambi´en son n´umeros reales,k= 1,2,3.
Entonces
a11 a12 u1+v1 a21 a22 u2+v2 a31 a32 u3+v3 =
a11 a12 u1 a21 a22 u2 a31 a32 u3 +
a11 a12 v1 a21 a22 v2 a31 a32 v3
Dejamos al estudiante la prueba que ya deber´ıa resultar sencilla.
Pero no es lo mismo...
a11 a12 u1+v1 a21 a22 u2+v2 a31 a32 u3+v3
=
a11 a12 u1 a21 a22 u2 a31 a32 u3
+
a11 a12 v1 a21 a22 v2 a31 a32 v3
Nuevamente dejamos que el estudiante compruebe por s´ı mismo con un ejemplo que esta igualdad no siempre se cumple.
De la misma forma...
Todo estudiante deber´ıa deber´ıa ser capaz de probar de hecho las igualdades:
u1+v1 a12 a13 u2+v2 a22 a23 u3+v3 a32 a33 =
u1 a12 a13 u2 a22 a23 u3 a32 a33 +
v1 a12 a13 v2 a22 a23 v3 a32 a33
a11 u1+v1 a13 a21 u2+v2 a23 a31 u3+v3 a33 =
a11 u1 a13 a21 u2 a23 a31 u3 a33 +
Una interesante propiedad de linealidad
Corolario
Siaij ∈R,i= 1,2,3,j = 1,2; yuk yvk tambi´en son n´umeros reales,k= 1,2,3.
Entonces
a11 a12 u1+v1 a21 a22 u2+v2 a31 a32 u3+v3 =
a11 a12 u1 a21 a22 u2 a31 a32 u3 +
a11 a12 v1 a21 a22 v2 a31 a32 v3
Dejamos al estudiante la prueba que ya deber´ıa resultar sencilla.
Pero no es lo mismo...
a11 a12 u1+v1 a21 a22 u2+v2 a31 a32 u3+v3
=
a11 a12 u1 a21 a22 u2 a31 a32 u3
+
a11 a12 v1 a21 a22 v2 a31 a32 v3
Nuevamente dejamos que el estudiante compruebe por s´ı mismo con un ejemplo que esta igualdad no siempre se cumple.
De la misma forma...
Todo estudiante deber´ıa deber´ıa ser capaz de probar de hecho las igualdades:
u1+v1 a12 a13 u2+v2 a22 a23 u3+v3 a32 a33 =
u1 a12 a13 u2 a22 a23 u3 a32 a33 +
v1 a12 a13 v2 a22 a23 v3 a32 a33
a11 u1+v1 a13 a21 u2+v2 a23 a31 u3+v3 a33 =
a11 u1 a13 a21 u2 a23 a31 u3 a33 +
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Un teorema importante
Teorema
Siaij,1≤i≤2,1≤j≤3, son n´umeros reales; yαyβson tambi´en n´umeros reales,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
αa11+βa21 αa12+βa22 αa13+βa23
= 0
Demostraci´on.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
αa11+βa21 αa12+βa22 αa13+βa23
=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 αa11 αa12 αa13
+
a11 a12 a13 a21 a22 a23 βa21 βa22 βa23
= 0
Con toda generalidad...
Desde luego, este teorema es parte de un hecho mucho m´as general:
Si un rengl´on de una matriz cuadrada es combinaci´on lineal de los restantes renglones, entonces el determinante de la matriz es cero
Un teorema importante
Teorema
Siaij,1≤i≤2,1≤j≤3, son n´umeros reales; yαyβson tambi´en n´umeros reales,
a11 a12 a13
a21 a22 a23
αa11+βa21 αa12+βa22 αa13+βa23
= 0
Demostraci´on.
a11 a12 a13
a21 a22 a23
αa11+βa21 αa12+βa22 αa13+βa23
=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 αa11 αa12 αa13
+
a11 a12 a13 a21 a22 a23 βa21 βa22 βa23
= 0
Con toda generalidad...
Desde luego, este teorema es parte de un hecho mucho m´as general:
Si un rengl´on de una matriz cuadrada es combinaci´on lineal de los restantes renglones, entonces el determinante de la matriz es cero
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Un teorema importante
Corolario
SiA= (aij)3×3es una matriz yαyβson n´umeros reales,
a11 a12 αa11+βa12 a21 a22 αa21+βa22 a31 a32 αa31+βa32
= 0
Dejamos al estudiante la prueba, que ya deber´ıa ser pr´acticamente un ejercicio mental.
Con toda generalidad...
Igualmente podemos enunciar con toda generalidad:
Si una columna de una matriz cuadrada es combinaci´on lineal de las restantes columnas, entonces el determinante de la matriz es cero
Un teorema importante
Corolario
SiA= (aij)3×3es una matriz yαyβson n´umeros reales,
a11 a12 αa11+βa12 a21 a22 αa21+βa22 a31 a32 αa31+βa32
= 0
Dejamos al estudiante la prueba, que ya deber´ıa ser pr´acticamente un ejercicio mental.
Con toda generalidad...
Igualmente podemos enunciar con toda generalidad:
Si una columna de una matriz cuadrada es combinaci´on lineal de las restantes columnas, entonces el determinante de la matriz es cero
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´La importante (y tediosa) propiedad del determinante de un producto
Teorema
SeanA= (aij)3×3 yB= (bij)3×3 matrices. Entonces
|AB|=|A||B|.
El estudiante puede comprobar que intentar una prueba directa es ya muy muy tedioso y aburrido.
Posponemos la prueba hasta completar algunos otros aspectos y entonces la haremos muy f´acilmente
Corolario
SeanA= (aij)3×3 yB= (bij)3×3 matrices. Entonces
|AB|=|BA|.
Se advierte, como antes, que este corolarionodice que se cumpla la igualdad
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Sistemas de ecuaciones lineales de
3
×
3
Sea un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas
(∗)
a11x+a12y+a13z=b1 a21x+a22y+a23z=b2 a31x+a32y+a33z=b3 Laforma matricialde este sistema es
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
x y z
=
b1 b2 b3
Si definimos las matrices
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
, x=
x y z
, b=
b1 b2 b3
Entonces podemos escribir en corto
Ax=b. La matrizAes llamadamatriz de coeficientesde(∗).
Realizando c´alculos directos, se puede comprobar f´acilmente
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Sistemas de ecuaciones lineales de
3
×
3
Sea un sistema de tres ecuaciones con tres inc´ognitas
(∗)
a11x+a12y+a13z=b1 a21x+a22y+a23z=b2 a31x+a32y+a33z=b3 Laforma matricialde este sistema es
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
x y z
=
b1 b2 b3
Si definimos las matrices
A=
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
, x=
x y z
, b=
b1 b2 b3
Entonces podemos escribir en corto
Ax=b. La matrizAes llamadamatriz de coeficientesde(∗).
De otra manera...
Realizando c´alculos directos, se puede comprobar f´acilmente
La Regla de Cramer
Teorema : Regla de Cramer
Un sistema de3×3
(I)
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 x y z = b1 b2 b3
tiene soluci´on ´unica si y s´olo si
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 6 = 0.
En cuyo caso, la soluci´on est´a dada por
x=
b1 a12 a13 b2 a22 a23 b3 a32 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
, y=
a11 b1 a13 a21 b2 a23 a31 b3 a33
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
, z=
a11 a12 b1 a21 a22 b2 a31 a32 b3
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Ejemplo: A veces hay caminos m´
as cortos
Sea el sistema
(I)
3x+ 2y+ z= 2 (1) −2x+ y−7z= 0 (2)
3x− y+ 8z= 2 (3)
Restamos la equaci´on(1)de la equaci´on(3) para obtener
−3y+ 7z= 0, de donde
z=3 7y. Sustituyendo este valor en(2)
−2x+y−3y= 0,
esto es,
x=−y
Sustituimos estos valores dexyzen(1),
−3y+ 2y+3
7y= 2⇔ − 4
7y= 2⇔y=− 7 2. Por lo tanto
z=−3
2 y x= 7 2. El sistema tiene soluci´on ´unica
7 2,−
7 2,−
3 2
Ejemplo: La regla de Cramer tiene sus l´ımites
Sea el sistema
(I)
3x+ 6y− 6z= 9 (1)
2x− 5y+ 4z= 6 (2)
5x+ 28y−26z=−8 (3)
De acuerdo a la f´ormula de Sarrus, el determinante de la matriz de coeficientes de este sistema es
3 6 − 6 2 − 5 4 5 28 −26 3 6 − 6 2 − 5 4
+
+
+
−
−
−
= +3(−5)(−26) + 2(28)(−6) + 5(6)(4)
−(−6)(−5)(5)−(4)(28)(3)−(−26)(6)(2)
= 390−336 + 120
−150−336 + 312 = 0
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Ejemplo: La regla de Cramer tiene sus l´ımites
Sea el sistema
(I)
3x+ 6y− 6z= 9 (1)
2x− 5y+ 4z= 6 (2)
5x+ 28y−26z=−8 (3)
Veamos: Dividimos la ecuaci´on(1) entre3 y dividimos la ecuaci´on (2) entre 2, para obtener elsistema equivalente
(I0)
x+ 2y− 2z= 3 (10)
x− 5
2y+ 2z= 3 (2
0)
5x+ 28y−26z=−8 (30)
Sumamos las ecuaciones (10) y (20) para obtener
2x−1
2y= 6,
de donde
x= 3 +1 4y. Sustituyendo en(10)resulta
9
4y−2z= 0. Esto es
z= 9 8y.
Por lo tanto, todas las soluciones del sistema (I0), y en consecuencia, del sistema(I), son de la forma
3 +1
4y, y, 9 8y
Ejemplo. Moraleja: Busca siempre el camino m´
as corto
Sea el sistema
(I)
−9x+ 9y−7z= 6 (1) −7x − z=−10 (2)
9x+ 6y+ 8z= 45 (3)
Sumamos las ecuaciones(1)y(3)para obtener 15y+z= 51, de donde
z= 51−15y. Sustituimos este valor dezen la ecuaci´on(2),
−7x−51 + 15y=−10, de donde
x= 41−15y 7 . De manera que las soluciones del sistema(I)son de la forma
41 7 −
15
7y, y,51−15y
Sistemas de
n
ecuaciones y
n
ecuaciones
Algebra´Eejemplo: Las f´
ormulas siempre son efectivas
Sea el sistema
(I)
−x + 2z= 6
−3x+ 4y+ 6z= 30
−x−2y+ 3z= 8
Lo complejo aqu´ı es hacer el c´alculo de los determinantes, sobre todo porque a´un no conocemos otro m´etodo que no sea el c´laculo directo (y la Regla de Sarrus).
Para no hacer m´as tediosa esta exposici´on vamos a obviar los c´alculos, los cuales puede comprobar el estudiante f´acilmente.
Por la Regla de Cramer
x=
6 0 2 30 4 6 8 −2 3
1 0 2
−3 4 6
−1 −2 3
=−10
11, y=
1 6 2
−3 30 6
−1 8 3
1 0 2
−3 4 6
−1 −2 3 =18 11, z=
1 0 6
−3 4 30
−1 −2 8
1 0 2
−3 4 6
