TAREA 5 - RESPUESTAS
1. Supón que tenemos el siguiente modelo para la inflación ⇡t=⇡t 1+"t.
Las"tson variables aleatorias i.i.d. con media cero. En el periodotla información
a nuestra disposición está dada porIt={⇡s:st}.
a). Condicional en la información disponible ent, ¿cuál es nuestro pronóstico para
la inflación ent+ 1?
E[⇡t+1|It] = E[⇡t+"t+1|It]
= E[⇡t|It] +E["t+1|It]
= ⇡t+ 0 =⇡t.
Por lo tanto, usando el modelo propuesto nuestro pronóstico para la inflación de t+ 1es igual a la inflación det.
En la página de Banco de México puedes encontrar datos mensuales para el INPC. En base a estos datos forma una serie de tiempo para la inflación como sigue:
⇡t= ln (IN P Ct) ln (IN P Ct 1).
b). En un sólo gráfico, gráfica la serie de tiempo para la inflación y para la inflación esperada (usando tu respuesta al inciso anterior).
Figure 0.1. Inflación e Inflación Esperada: 1969-2012
Define el error de predicción como ˆ
✏t=⇡t ⇡te,
donde⇡e
t es el pronóstico para la inflación det formado ent 1.
c). Usando los datos de Banco de México, calcula los errores de predicción y con-struye un histograma para éstos. En base a este histograma, ¿qué puedes decir acerca de la distribución de los errores de predicción?
Los errores de predicción muestrales son tales que
µ(ˆ✏t) = 0.00000582 (media muestral)
Figure 0.2. Histograma para los errores de predicción✏tˆ =⇡t ⇡e t
El histograma muestra una distribución centrada (aproximadamente) alrededor del cero y más ó menos simétrica (i.e. la probabilidad de equivocarse hacia arriba es más ó menos la misma que de equivocarse hacia abajo). Esto sugiere la posibilidad de que los errores de predicción tienen una distribución normal con media cero. Sin embargo, una prueba estadística formal de esta hipótesis (i.e. la hipótesis nula es que la distribución de los errores de predicción es Normal) es rechazada a cualquier nivel de significancia convencional. No obstante, nótese que el histograma indica que la distribución de los errores se encuentra muy concentrada alrededor de su media, es decir, cometer errores de predicción “grandes” es muy poco probable.
d). Comenta sobre este modelo como una herramienta para pronosticar la inflación mensual. Si los periodos no fueran meses sino años, ¿cómo crees que afectaría esto al desempeño del modelo propuesto como una herramienta para formar pronósticos?
La gráfica del inciso (b) muestra que a simple vista la serie de tiempo para la
no hay una tendencia secular (i.e. tendencia lineal a través del tiempo) mensual importante. Por el contrario, año a año el componente inercial de la inflación es menos importante y el componente secular es más importante.
2. Considera el modelo de Brainard visto en clase: min
x E h
(y y¯)2i
s.a. y=Gx+z+"
dondeE[z] = ¯z yE["] = 0.
a). Supón que el policymaker puede utilizar dos instrumentos,x1 yx2, para
afec-tar el valor de la variable objetivo y, pero que al utilizar estos instrumentos el
policymaker incurre en un costo C(x1, x2). ¿Cómo se modifica el problema de
optimización que el policymaker busca resolver? Plantea dicho problema de opti-mización.
En este caso el policymaker no sólo busca minimizar la varianza de la variable objetivo y, sino también los costos asociados a la utilización de sus instrumentos para este propósito. Por lo tanto, la función objetivo del policymaker se convierte en
Eh(y y¯)2i+C(x1, x2),
y su problema de optimización está dado por
min x1,x2 E
h
(y y¯)2i+C(x1, x2)
s.a. y=G1x1+G2x2+z+"
b). Supón queG1yG2 son conocidas con certeza por el policymaker y que C(x1, x2) = 1
2 h
c1(x1)2+c2(x2)2i,
donde c1 >0 c2 >0. ¿Cómo usa de manera óptima sus instrumento de política
el policymaker? ¿Qué instrumento se usa de manera más intensiva? Interpreta. (Hint: los resultados para el análisis del uso óptimo de dos instrumentos bajo incertidumbre vistos en clase -y desarrollados en el apéndice matemático- pueden ser útiles).
Usando los resultados del apéndice al modelo de Brainard sabemos que F(x1, x2) = E
h
(G1x1+G2x2+z+" y¯)2 i
= (G1x1+G2x2)2 2 (G1x1+G2x2) (¯y z¯) +K,
Entonces, el problema de optimización del policymaker está dado por
min x1,x2
F(x1, x2) +
1 2
h
c1(x1)2+c2(x2)2 i
,
que tiene condiciones de primer orden
[x1] : [(G1x1+G2x2) (¯y z¯)]G1+c1x1= 0
[x2] : [(G1x1+G2x2) (¯y z¯)]G2+c2x2= 0,
que podemos re-escribir (asumiendoG16= 0 yG26= 0) como
[x1] : ✓
G1+
c1
G1 ◆
x1+G2x2= (¯y z¯)
[x2] : G1x1+ ✓
G2+
c2
G2 ◆
x2= (¯y z¯)
Podemos escribir este sistema de ecuaciones de forma matricial como ✓
'1 G2
G1 '2 ◆ ✓ x1 x2 ◆ = ✓
(¯y z¯) (¯y z¯)
◆ ,
donde
'i⌘Gi+ ci
Gi
, i= 1,2.
Podemos resolver el sistema de ecuaciones usando el siguiente resultado: ✓
'1 G2
G1 '2 ◆ 1
= 1
'1'2 G1G2 ✓
'2 G2
G1 '1 ◆
.
Entonces, tenemos que
x⇤1 =
✓ ' 2 G2 '1'2 G1G2
◆
(¯y ¯z)
x⇤2 =
✓ ' 1 G1 '1'2 G1G2
◆
(¯y ¯z),
que podemos re-escribir como
x⇤1 =
(¯y z¯)
G1 ⇣
1 +⌧1 ⇣
1 + (⌧2) 1 ⌘⌘ 1
x⇤2 =
(¯y z¯)
G2 ⇣
1 +⌧2 ⇣
1 + (⌧1) 1 ⌘⌘ 1
,
donde
⌧i⌘
ci
Usando las anteriores expresiones podemos observar que
x⇤1
x⇤ 2
=
✓ G2
G1 ◆0
@1 +⌧2 ⇣
1 + (⌧1) 1 ⌘
1 +⌧1 ⇣
1 + (⌧2) 1 ⌘
1 A
=
✓ G2
G1 ◆ ✓
1 +⌧2+ (⌧2/⌧1)
1 +⌧1+ (⌧1/⌧2) ◆
=
✓G 2
G1 ◆ ✓(⌧
2/⌧1) [1 +⌧1+ (⌧1/⌧2)]
1 +⌧1+ (⌧1/⌧2) ◆
=
✓G 2
G1 ◆ ✓⌧
2 ⌧1
◆
=(c2/G2) (c1/G1)
.
Se sigue que
x⇤1> x⇤2()(c2/G2)>(c1/G1)() G1
c1
>G2 c2
.
Es decir, el policymaker usa de manera más intensiva aquel instrumento que tiene una mejor razón “beneficio-costo”.
c). Usa los resultados del inciso anterior para re-interpretar los resultados vistos en clase acerca del uso óptimo de dos instrumentos cuando el efecto marginal de éstos sobre la variable objetivo es incierto.
Consideremos la función objetivo del inciso anterior:
W(x1, x2) = (G1x1+G2x2)2 2 (G1x1+G2x2) (¯y z¯)+
1 2
h
c1(x1)2+c2(x2)2 i
+K
y ahora, consideremos la función objetivo cuando hay incertidumbre acerca del efecto marginal de la política sobre la variable objetivo:
Wun(x1, x2) = (g1x1+g2x2)2 2 [g1x1+g2x2] (¯y ¯z) + h
2
1(x1)2+ 22(x2)2 i
+K
d). Regresando al caso en que sólo hay un instrumento de política. Supón queG⇠ Uniforme[0, g]y que el policymaker desconoce el valor deg. SeaG={g: 0g1} donde un valor específicogdefine para el policymaker un modelo para la economía.
Además, supón que las creencias del policymaker están dadas por la función de densidad
f(g) = (
1 sig2G
0 sig /2G
(i.e. el policymaker cree que todos los modelos en G son igualmente probables). Calculax⇤ yxˆ. (Hint: SiG⇠Uniforme[0, g], entoncesE[G] = g
2 y Var(G) =
g2
12). Tenemos que
L(x, g) = x2⇥Var(G) +E2[G]⇤+ 2xE[Gz+G" Gy¯] +Eh(z+" y¯)2i
= x2 g2
12+
g2
4 xg(¯y z¯) +E
h
(z+" y¯)2i
= 1
3g
2x2 g(¯y z¯)x+C,
dondeC⌘Eh(z+" y¯)2i.
La función de distribuciónf(·)es la densidad para una distribución uniforme con
soporte[0,1]:
f(g) =
(
1 sig2G
0 sig /2G.
Por lo tanto,
ˆ
g2G
L(x, g)f(g)dg= ˆ 1
0 ✓1
3g
2x2 g(¯y z¯)x+C ◆
dg=C+x
2
9
x(¯y z¯)
2 .
Tenemos entonces que
x⇤=argmin x
ˆ
g2G
L(x, g)f(g)dg
es la solución a la condición de primer orden
[x] : 2x 9
(¯y z¯) 2 = 0,
entonces
x⇤= 9
Para encontrarxˆ empezamos por resolver max
g2G L(x, g),
que tiene condición de primer orden
[g] : 2 3x
2g x(¯y z¯) = 0,
de donde tenemos que
ˆ
g(x) =argmax
g L(x, g) =
8 > < > :
0 si y¯xz¯ 0
1 six 3
2(¯y z¯) 3
2 ¯
y ¯z
x e.o.c.
Nótese que
L(x,gˆ(x)) =
8 > < > :
C si y¯xz¯ 0
1
3x2 (¯y z¯)x+C six 3 2(¯y z¯)
L x,3 2
¯
y ¯z
x e.o.c.
Entonces,
ˆ
x=argmin
x L(x,gˆ(x)).
Sig(x) = 1, entonces laxóptima está dada por
x= 3 2(¯y z¯)
que produce un valor para la función objetivo igual a
C 3
2(¯y z¯)
2
.
Si g es solución interior, entonces la función objetivo no depende del instrumento de políticaxy es igual a
C 3
2(¯y z¯)
2
.
Como
C 3
2(¯y z¯)
2
< C,
se sigue que
ˆ
Por lo tanto,
ˆ
x=argmin
x L(x,ˆg(x)) = 3
2(¯y z¯) 9
4(¯y z¯) =argminx ˆ
g2G
L(x, g)f(g)dg=x⇤
3. Supón que la economía está descrita por dos ecuaciones: (IS) : Y = ¯Y (r ⇢)
✓ , ✓>0
(LM) : m p= ⌘(r+⇡e) +Y, ⌘>0
dondem= ln (M), p= ln (P)yres la tasa real de interés. La curva IS resume el equilibrio en los mercados de bienes, mientras que la curva LM describe el equilibrio en el mercado de dinero.
a). Encuentra la tasa de interés r y producto Y de equilibrio. Representa este
equilibrio gráficamente poniendo la tasa de interés en el eje vertical y el producto en el eje horizontal (i.e. en un diagrama IS-LM al estilo Eco II).
Para graficar será conveniente re-escribir las curvas IS y LM como
r = 1
⌘[(m p) +⌘⇡
e] + 1
⌘Y r = ✓Y¯ +⇢ ✓Y
Igualando la curva IS con la LM podemos encontrar la tasa de interés y producto de equilibrio:
✓Y¯ +⇢ ✓Y = 1
⌘[(m p) +⌘⇡
e] + 1
⌘Y
)
✓Y¯ +⇢ +
✓(m p)
⌘ +⇡
e◆=✓1
⌘ +✓ ◆
Y
)
Y⇤ =
✓ ⌘
1 +⌘✓ ◆
✓Y¯ +⇢ +
✓(m p)
⌘ +⇡
e◆
r⇤ =
✓
1 1 +⌘✓
◆
✓Y¯ +⇢ ✓
✓
1 +⌘✓ ◆
b). Vamos a querer analizar el efecto de la política monetaria sobre la tasa de interés de equilibrio cuando el instrumento de política es la oferta monetaria m.
Asumiendo que tanto pcomo ⇡e pueden cambiar en respuesta a un cambio en la conducción de la política monetaria, encuentra una expresión para el efecto de un cambio enmsobre la tasa de interés de equilibrio,dr/dm.
De la expresión que obtuvimos para elrde equilibrio en el inciso anterior, fácilmente se puede encontrar la siguiente expresión paradr/dm:
dr dm =
✓ ✓
1 +⌘✓ ◆ ✓
1 dp
dm ◆
+⌘d⇡
e
dm
c). SiP = ¯P y⇡e= ¯⇡(i.e. el nivel de precios y las expectativas de inflación están fijas), encuentra una expresión para dr/dm. ¿Un aumento en la oferta monetaria
reduce la tasa de interés real? Interpreta.
En este caso tenemos que
dr dm =
✓ ✓
1 +⌘✓ ◆
<0
Es decir, cuando las expectativas de inflación y el nivel de precios no responden a un aumento en la oferta monetaria, entonces ésta reduce la tasa de interés real de equilibrio. Con los precios fijos, un aumento en m implica un aumenta en la oferta de saldos reales. Dado que la demanda por dinero tiene pendiente negativa, un aumento en la oferta de saldos reales implica una tasa nominal de interés de equilibrio más baja, pero con las expectativas de inflación fijas, esto implica una tasa real de interés de equilibrio más baja que antes.
d). Supón que los precios responden de manera parcial a cambios en la oferta monetaria. Específicamente, asume que dp/dm es exógeno y 0 < dp/dm < 1. Continua asumiendo que ⇡e = ¯⇡. Encuentra una expresión para dr/dm. ¿Un aumento en la oferta monetaria reduce la tasa de interés real? Para obtener un determinado cambio enr, ¿se requiere un cambio mayor, menor ó igual enmque
en el inciso(a)? Interpreta. En este caso
dr dm =
✓ ✓
1 +⌘✓ ◆ ✓
1 dp
dm ◆
<0
Un aumento en la oferta monetaria reduce la tasa real de interés. En este caso, como
más baja que antes. A diferencia del inciso anterior, como0<⇣1 dmdp⌘<1, para
producir un cambio determinado en r, el cambio en la oferta monetaria tiene que ser mayor que el cambio requerido en el inciso anterior para producir este mismo efecto:
| r|=
✓ ✓
1 +⌘✓ ◆ ✓
1 dp
dm ◆
| m|
)
| m|(d)= ✓ ✓
1 +⌘✓ ◆ ✓
1 dp
dm
◆ 1
| r|>
✓ ✓
1 +⌘✓ ◆ 1
| r|=| m|(c)
Cuando el nivel de precios observa un ajuste, para generar un aumento dado en la oferta de saldos reales, la autoridad monetaria necesita aumentarmmás de lo que sería necesario si los precios no se pudieran ajustar.
e). Supón ahora que cambios en la oferta monetaria también tienen efectos sobre la inflación esperada. Específicamente, asume qued⇡e/dmes exógeno yd⇡e/dm >0. Continua asumiendo que 0 < dp/dm <1. Encuentra una expresión para dr/dm.
¿Un aumento en la oferta monetaria reduce la tasa de interés real? Para obtener un determinado cambio en r, ¿se requiere un cambio mayor, menor ó igual en m
que en el inciso(d)? Interpreta.
En este caso
dr dm =
✓ ✓
1 +⌘✓ ◆
| {z }
<0 2 6 6 6 4 ✓
1 dp
dm ◆
| {z }
>0
+⌘d⇡
e
dm | {z }
>0 3 7 7 7 5
| {z }
>0
<0
Un aumento en la oferta monetaria reduce la tasa real de interés. Nótese que como ⌘d⇡e
dm > 0, el cambio en m necesario para producir un cambio deseado en r será
en este caso siempre menor al cambio en m del inciso anterior. Sin embargo, si el cambio en mserá menor que el requerido en el inciso(c)dependerá de que tan
grande es⌘d⇡dme exactamente: Si⌘d⇡dme dp/dm, entonces el cambio enmrequerido para obtener el efecto deseado será menor ó igual que el cambio enmdel inciso(c),
f). Considera una economía “clásica” donde los precios son perfectamente flexibles de tal suerte que hay ajustes completos e inmediatos en respuesta a cambios en la oferta monetaria : dp/dm = 1 y d⇡e/dm = 0. Encuentra una expresión para
dr/dm. ¿Un aumento en la oferta monetaria reduce la tasa de interés real? Para esta economía “clásica” tendríamos
dr
dm =
✓ ⌘✓
1 +⌘✓ ◆ 1
⌘ ✓
1 dp
dm ◆
+d⇡ e
dm
=
✓ ⌘✓
1 +⌘✓ ◆ 1
⌘(1 1) + 0 = 0.
Es decir, en una economía “clásica”, la tasa de interés real no cambia en respuesta a cambios en la oferta monetaria (i.e. el dinero es neutral).
g). Usa los resultados de los incisos(a) (d)para comentar sobre la habilidad de la autoridad monetaria para controlar la tasa de interés real.
Los resultados de los incisos anteriores ilustran que para la estructura de la economía que hemos considerado:
(1) En una economía “clásica” (i.e. cuando hay perfecta flexibilidad de precios), un aumento en la oferta monetaria no tiene efecto sobre variables reales (neutralidad del dinero).
(2) Cuando los precios y las expectativas no se ajustan en respuesta a cambios en la postura de la política monetaria, ésta es muy poderosa. Es decir, pequeños cambios en la oferta monetaria producen grandes cambios en la tasa de interés real de equilibrio.
(3) Manteniendo las expectativas de inflación fijas, entre más flexibilidad de precios hay en la economía, menos poderosa es la política monetaria. Es decir, para producir un cambio deseado en la tasa de interés real de la economía, entre más flexibilidad de precios hay, más grandes tienen que ser las intervenciones del banco central para producir el efecto deseado.
(4) Si hay flexibilidad de precios (aunque no perfecta), la política monetaria cobra más poder entre más pronunciados sean los ajustes en las expectativas de inflación del público en respuesta a cambios en la postura de la política monetaria.
4. Considera un modelo donde el Banco Central elige la tasa de inflación⇡ y las acciones del hogar representativo determinan la tasa de inflación del salario nominal
w. El hogar representativo eligewen base a sus expectativas de la elección de⇡por parte de la autoridad monetaria. En este modelo,wes una medida conveniente de
las expectativas de inflación del público. El modelo de la economía está resumido por la curva de Phillips
U =Un (⇡ w),
Las preferencias del Banco Central están dadas por
R(⇡, U) = 1 2 h
U U¯ 2+⇡2i,
es decir, a la autoridad monetaria le disgusta que la inflación sea distinta a cero y que el desempleo sea distinto de U¯ Un. El parámetro mide que tanto peso le da el Banco Central a cumplir su objetivo para la tasa de desempleo, relativo a su objetivo para la tasa de inflación.
a). Usa la curva de Phillips para escribir la función objetivo en términos de⇡yw: R(⇡;w).
Sustituyendo la Curva de Phillips en las preferencias del Banco Central obtenemos
R(⇡;w) = 1 2
h
U U¯ 2+⇡2i
= 1
2
h
w ⇡+Un U¯ 2+⇡2i
En lo que sigue, será conveniente reescribir ésta función como
R(⇡;w) = 1 2
n h
w+Un U¯ 2 2 w+Un U¯ ⇡+⇡2i+⇡2o
= 1
2
h
(1 + )⇡2 2 w+Un U¯ ⇡+ w+Un U¯ 2i
En este modelo el objetivo del hogar representativo es muy simple: elegir w tan cerca como sea posible de la elección del banco central para⇡. Bajo expectativas racionales el hogar siempre puede lograr su objetivo y en este caso la condiciónw= ⇡es una condición de equilibrio que resume las implicaciones del comportamiento optimizador del hogar.
c) Commitment. Considera el caso en el que el banco central está dispuesto y tiene la habilidad para comprometerse a una elección de⇡al comienzo del periodo antes de que el hogar elijaw. Dado que la autoridad monetaria anuncia su política antes
de que el público elijawy dado que se comprometen a respetar ésta política, plantea
el problema de maximización que resuelve el Banco Central en este caso. Llama a la política óptima⇡c y demuestra que⇡c= 0. Interpreta.
El problema de maximización de la autoridad monetaria está dado por
max
⇡ R(⇡;w)
s.a. w=⇡
C.P.O.
[⇡] : 1 2
⇥
Re-organizando términos en la C.P.O. podemos despejar fácilmente⇡c= 0.
Cuando el Banco Central se compromete a respetar la política que anuncia antes de que el público forme sus expectativas de inflación, reconoce que pierde toda habilidad de crear una sorpresa inflacionaria que le permita explotar el trade-off implicado por la curva de Phillips. Ya que en este caso la autoridad monetaria no tiene la capacidad de crear una sorpresa inflacionaria, abandona cualquier intención de empujar el nivel de desempleo por debajo de la tasa natural de desempleo y se enfoca exclusivamente en lograr su resultado preferido para la inflación(i.e. cero inflación).
b) No-Commitment. Ahora, considera el caso en el que la autoridad monetaria no quiero ó puede comprometerse a una política de inflación que ha anunciado antes de que el público forme sus expectativas de inflación. Aún cuando el Banco Central anuncie su política antes de que el hogar elija w, su decisión efectiva acerca de ⇡ ocurre después de que el público ha elegidow. Plantea el problema de maximización
que la autoridad monetaria resuelve en este caso. Llama a la política óptima⇡ncy demuestra que
⇡nc=
1 + w+U
n U .¯
Demuestra que en equilibrio⇡nc= Un U¯ 0.Argumenta que en este caso, la inhabilidad de la autoridad monetaria de comprometerse a las política que anuncia genera un sesgo inflacionario que se traduce en un a tasa de inflación ineficiente-mente alta. Interpreta.
El problema de maximización del banco central en este caso está dado por
max
⇡ R(⇡;w)
C.P.O.
[⇡] : 1 2
⇥
2 (1 + )⇡c 2 w+Un U¯ ⇤= 0
De la C.P.O. podemos despejar fácilmente
⇡nc=
1 + w+U
n U .¯
Ya quew=⇡es una condición de equilibrio, en equilibrio debemos tener
⇡nc=
1 + ⇡
nc+Un U¯
) ⇡nc= Un U .¯
que éstas son formadas el Banco Central se ve tentado a crear una sorpresa infla-cionaria para explotar el trade-off de la curva de Phillips y así lograr empujar el nivel de desempleo por debajo de su tasa natural. Sin embargo, el hogar representa-tivo tiene expectativas racionales y comprende que la autoridad monetaria enfrenta esta tentación de elevar la tasa de inflación por encima de la inflación esperada por el público. Por lo tanto, el hogar internaliza este fenómeno e incluye estas expecta-tivas inflacionarias a su elección de w(recordemos quew=⇡es una condición de equilibrio precisamente por las expectativas racionales de los agentes), de tal suerte que la autoridad monetaria no lograr crear la sorpresa inflacionaria que buscaban, el desempleo permanece en su tasa natural y lo único que el Banco Central ha logrado en su esfuerzo por explotar la curva de Phillips es generar una tasa de inflación ine-ficientemente alta (i.e. tanto bajo commitment como bajo no-commitmentU =Un,
pero⇡c
⇡nc).
Ahora, supongamos que ahora el juego entre el Banco Central y el público es un juego infinitamente repetido (i.e. cada periodo se juega el juego descrito anterior-mente), de tal manera que las preferencias de la autoridad monetaria ahora están dadas por
J =
1
X
t=0
tR(⇡t;wt), 0< <1.
Es decir, ahora el Banco Central busca maximizarJ, noR.
Suponemos que el Banco Central no tiene la capacidad de comprometerse a una política anunciado pero que, como el juego se juega de manera repetida, el com-portamiento de las expectativas de inflación del público genera un incentivo para que la autoridad monetaria mantenga una tasa de inflación baja. Específicamente, supongamos que al comienzo de t = 0, el público espera que la autoridad
mone-taria elija una tasa de inflación ⇡0 =⇡rep ✓[⇡c,⇡nc] y supongamos que en cada
periodot= 1,2,3, . . ., el público espera que el Banco Central va a elegir⇡t=⇡rep si lo ha hecho en el pasado. Sin embargo, si en algún periodo s < t la autoridad
monetaria elige una tasa de inflación distinta a ⇡rep, entonces el público modifica sus expectativas de inflación a⇡nc= Un U¯ de manera permanente. Es decir,
wt= (
⇡rep si⇡s=⇡rep
8st 1 ⇡nc= Un U¯ e.o.c
c). Supón que el Banco Central elige ⇡t = ⇡rep para toda t. Dado el compor-tamiento de la expectativas de inflación del público, encuentra una expresión para beneficio que la autoridad monetaria recibe por mantener ésta política.
Para la política ⇡t = ⇡rep para toda t, tenemos que el beneficio para el Banco
Jrep =
1 X
t=0
tR(⇡t;wt)
=
1 X
t=0
tR(⇡rep;⇡rep)
= 1
1 R(⇡
rep;⇡rep)
d). Argumenta que si el Banco Central decidiera desviarse de⇡repen algún periodo, sería óptimo desviarse desde el primer periodo. En este caso, la autoridad monetaria elige⇡0como la solución a
max
⇡ R(⇡;⇡ rep).
Llama a la política óptima en este caso⇡dev y demuestra que ⇡dev=
1 + ⇡
rep+Un U .¯
Supongamos que el Banco Central sigue la política⇡t=⇡rephasta⌧ 1y se desvía
en ⌧ eligiendo ⇡dev
6
= ⇡rep. Para t > ⌧, w
t = ⇡nc, lo mejor que puede hacer la
autoridad monetaria de ese punto en adelante es elegir⇡t=⇡nc para todo t >⌧.
Por lo tanto, el beneficio para la autoridad monetaria de una política que se desvía de⇡repen el periodo⌧ es
Jdev =
1 X
t=0
tR(⇡t;wt)
= ⌧X1
t=0
tR(⇡rep;⇡rep) + ⌧R ⇡dev;⇡rep + X1
t=⌧+1
tR(⇡nc;⇡nc)
= 1
⌧
1 R(⇡
rep;⇡rep) + ⌧R ⇡dev;⇡rep + ⌧+1 1 R(⇡
nc;⇡nc)
Ahora, nótese que podemos re-escirbirJrepcomo
Jrep= 1 ⌧
1 R(⇡
rep;⇡rep) + ⌧R(⇡rep;⇡rep) + ⌧+1 1 R(⇡
rep;⇡rep).
Desviarse será óptimo si y sólo siJdev> Jrep, lo cual ocurre si
⌧R ⇡dev;⇡rep + ⌧+1 1 R(⇡
nc;⇡nc)> ⌧R(⇡rep;⇡rep) + ⌧+1 1 R(⇡
rep;⇡rep)
ó bien
⌧⇥R ⇡dev;⇡rep R(⇡rep;⇡rep)⇤
| {z }
valor presente del beneficio de desviarse en⌧
>
⌧+1
1 [R(⇡
rep;⇡rep) R(⇡nc;⇡nc)]
| {z }
valor presente del costo de desviarse en⌧
Además,
Jdev Jrep= ⌧
R ⇡dev;⇡rep R(⇡rep;⇡rep) +
1 (R(⇡
nc;⇡nc) R(⇡rep;⇡rep)) ,
de donde se sigue que:
(1) Jdev> Jrep si y sólo si
R ⇡dev;⇡rep R(⇡rep;⇡rep) >
1 (R(⇡
rep;⇡rep) R(⇡nc;⇡nc)).
(2) La diferencia entreJdevyJrepes decreciente en⌧. Por lo tanto, cuando es
óptimo desviarse (Jdev> Jrep), hay un mayor incentivo a hacerlo desde el
primer periodo. Postergar la decisión de desviarse sólo reduce el beneficio que la autoridad monetaria puede recibir por dicha desviación.
Ahora, la condición de primer orden para el problema
max
⇡ R(⇡;⇡ rep),
está dada por
[⇡] : 1 2
⇥
2 (1 + )⇡dev 2 ⇡rep+Un U¯ ⇤= 0,
de donde fácilmente podemos despejar
⇡dev=
1 + ⇡
rep+Un U .¯
e). Argumenta que la política⇡t=⇡reppara todates sostenible si y sólo si
R(⇡rep;⇡rep) (1 )R ⇡dev;⇡rep + R(⇡nc;⇡nc).
Demuestra que⇡repes sostenible si y sólo si
(1 + ) (⇡rep)2 2 (1 ) Un U¯ ⇡rep+ [1 (2 + )] ⇥Un U¯⇤ 20.
La política ⇡t =⇡rep para toda t es sostenible sólo si el Banco Central no tienen
ningún incentivo a desviarse de ésta. Es decir, Jrep Jdev es una condición
necesaria para que la autoridad monetaria encuentre óptimo seguir la política⇡t=
⇡rep para todat. Por lo tanto, la política⇡
t=⇡rep para todat es sostenible si y
sólo si se satisface la siguiente condición:
1 ⌧
1 R(⇡
rep;⇡rep)+ ⌧R(⇡rep;⇡rep)+ ⌧+1
1 R(⇡
rep;⇡rep) 1 ⌧
1 R(⇡
rep;⇡rep)+⌧R⇣⇡dev;⇡rep⌘+ ⌧+1
1 R(⇡
nc;⇡nc),
ó bien
Ahora, como
R(⇡;w) = 1 2
h
(1 + )⇡2 2 w+Un U¯ ⇡+ w+Un U¯ 2i,
tenemos que
R(⇡rep;⇡rep) = 1 2
h
(1 + ) (⇡rep)2
2 ⇡rep+Un U¯ ⇡rep+ ⇡rep+Un U¯ 2i
= 1
2
h
(⇡rep)2
+ Un U¯ 2i,
R(⇡nc;⇡nc) = 1 2
h
(1 + ) (⇡nc)2 2 ⇡nc+Un U¯ ⇡nc+ ⇡nc+Un U¯ 2i
= 1
2
h
(⇡nc)2+ Un U¯ 2i
= 1
2
h
2 Un U¯ 2+ Un U¯ 2i= (1 + )
2 U
n U¯ 2
R⇣⇡dev;⇡rep⌘ = 1 2
(1 + )⇣⇡dev⌘2 2 ⇡rep+Un U¯ ⇡dev+ ⇡rep+Un U¯ 2
= 1
2 "
(1 + ) ✓
1 + ⇡
rep+Un U¯ ◆2 2 ⇡rep+Un U¯
1 + ⇡
rep+Un U¯ + ⇡rep+Un U¯ 2
#
= 1
2
2
1 + ⇡
rep+Un U¯ 2 2 2
1 + ⇡
rep+Un U¯ 2
+ ⇡rep+Un U¯ 2
= 1
2 ✓
1 + ◆
⇡rep+Un U¯ 2= 1 2
✓
1 + ◆ ⇣
(⇡rep)2+ 2 Un U¯ ⇡rep+ Un U¯ 2⌘
Sustituyendo R(⇡rep;⇡rep), R(⇡nc;⇡nc) y R ⇡dev;⇡rep en la desigualdad
rele-vante y reorganizando términos obtenemos que⇡rep es sostenible si y sólo si (1 + ) (⇡rep)2 2 (1 ) Un U¯ ⇡rep+ [1 (2 + )] ⇥Un U¯⇤ 20.
f). Usando los resultados del inciso anterior, demuestra que ⇡rep = ⇡c = 0 es sostenible si y sólo si
1 2 + .
¿Qué te dice esto acerca de las posibilidades para la conducción de la política monetaria?
Del inciso anterior sabemos que las políticas sostenibles tienen que satisfacer
Sustituyendo⇡rep= 0 en la anterior expresión obtenemos [1 (2 + )] ⇥Un U¯⇤ 20.
Como el término ⇥Un U¯⇤ 2es no-negativo, la desigualdad se satisface si y sólo
si1 (2 + )0, ó bien
1 2 + .
Nótese que con 0, cualquier 1/2 satisface la anterior desigualdad. Por
lo tanto, tenemos el siguiente resultado: si el banco central es lo suficientemente paciente y tiene la suerte de contar con la reputación de mantener una inflación baja, entonces la autoridad monetaria encontrará óptimo mantener esta reputación aún cuando carece de la habilidad de comprometerse a políticas que ha anunciado. En la práctica la anterior desigualdad se cumple casi con certeza para cualquier valor de , ya que aquí es el factor de descuento de la autoridad monetaria y en la medida que pensemos que la autoridad monetaria, al igual que los agentes privados, tiene una preferencia por resultados que ocurren en el presente por encima de los que ocurren en el futuro, entonces será un valor relativamente alto.
g). Demuestra que para (2 + ) 1, cualquier ⇡rep entre ⇡c = 0 y ⇡nc =
Un U¯ es sostenible. ¿Es este resultado útil desde el punto de vista práctico de la conducción de la política monetaria?
Verifiquemos primero que ⇡nc es sostenible para (2 + ) 1. Recordemos que ⇡nc= Un U¯ , se sigue que
(1 + ) (⇡nc)2 2 (1 ) Un U¯ ⇡nc+ [1 (2 + )] ⇥Un U¯⇤ 2
= (1 + ) (⇡nc)2 2 (1 ) (⇡nc)2+ [1 (2 + )] (⇡nc)2
= [1 + 2 (1 ) + 1 (2 + )] (⇡nc)2 = 0·(⇡nc)2= 0.
Por lo tanto,⇡nc satisface la restricción necesaria para que⇡rep sea sostenible.1
Nótese que la desigualdad relevante puede ser re-escrita como
(1 + ) (⇡rep)2 2⇡nc(1 )⇡rep+ [1 (2 + )] (⇡nc)20.
Sea
f(⇡rep) = (1 + ) (⇡rep)2
2⇡nc(1 )⇡rep+ [1 (2 + )] (⇡nc)2
,
1Nótese que⇡nces sostenible sin importar que parámetros tomemos, ya que⇡nces el equilibrio
y sea⇡⇢= (1 ⇢)⇡c+⇢⇡nc=⇢⇡nc para⇢2(0,1). Entonces,
f(⇡⇢) = (1 + ) (⇡⇢)2 2⇡nc(1 )⇡⇢+ [1 (2 + )] (⇡nc)2 = ⇢2(1 + ) (⇡nc)2
2⇢(1 ) (⇡nc)2
+ [1 (2 + )] (⇡nc)2
= ⇥⇢2(1 + ) 2⇢(1 ) + [1 (2 + )]⇤(⇡nc)2
= (⇢[⇢(1 + ) 2 (1 )] + [1 (2 + )]) (⇡nc)2 (⇢[ (2 + ) 1] + [1 (2 + )]) (⇡nc)2
= (1 ⇢) [1 (2 + )] (⇡nc)2
Dado que hemos asumido que se satisface la desigualdad (2 + ) 1, tenemos
que
f(⇡⇢)(1 ⇢) [1 (2 + )] (⇡nc)20,
de donde se sigue que⇡⇢ es sostenible para cualquier⇢2(0,1).
Por lo tanto, si (2 + ) 1)⇡2[⇡c,⇡nc]es sostenible. Esto indica que cuando
se satisface la condición (2 + ) 1, el modelo tiene una infinidad de equilibrios reputacionales, con tasas de inflación que van desde cero hasta Un U¯ . Desde
el punto de vista teórico esto puede resultar un resultado interesante2, pero desde el punto de vista de la economía como una ciencia social práctica este resultado es en cierto sentido un resultado “vació”: el modelo no hace una predicción concreta acerca de qué es lo que va a pasar. Además, consideremos lo siguiente: un equilibrio reputacional con una tasa de inflación ⇢⇡nc, con ⇢
'1, es un equilibrio donde el
Banco Central se beneficia por mantener su reputación, ya que logra un resultado que es mejor que la infinita repetición del equilibrio estático de no-commitment. Sin embargo, al mismo tiempo la autoridad monetaria sabe que existen mejores equilibrios con tasas de inflación más bajas, pero el modelo no da ningún tipo de indicación en relación a cómo el Banco Central podría intentar dirigir a la economía hacía estos equilibrios que implican un mayor bienestar social.
5. Considera una economía donde las preferencias del policymaker están dadas por L=E⇥!⇡2+ (1 !)y2⇤,
donde⇡es la inflación,yes la brecha del producto y!2[0,1]mide que tan impor-tante es para el policymaker la estabilidad de la inflación, relativa a la estabilidad del producto. Nótese que como el policymaker buscará minimizarL, el resultado preferido de éste es la estabilidad de precios y el pleno empleo.
a). Demuestra que podemos re-escribirLcomo
L= [!Var(⇡) + (1 !)Var(y)] +h!(E[⇡])2+ (1 !) (E[y])2i,
dondeLc =!(E[⇡])2+ (1 !) (E[y])2 es el “certainty-equivalent” deL.
Observemos que
L = E⇥!⇡2+ (1 !)y2⇤
= Eh!(⇡ E[⇡] +E[⇡])2+ (1 !) (y E[y] +E[y])2i
= !Eh(⇡ E[⇡] +E[⇡])2i+ (1 !)Eh(y E[y] +E[y])2i
Nótese que
Eh(⇡ E[⇡] +E[⇡])2i = Eh(⇡ E[⇡])2i+ 2E[(⇡ E[⇡])] + (E[⇡])2 = Var(⇡) + 2·(0) + (E[⇡])2
= Var(⇡) + (E[⇡])2.
De manera análoga
Eh(y E[y] +E[y])2i=Var(y) + (E[y])2.
Por lo tanto, re-organizando términos tenemos que
L= [!Var(⇡) + (1 !)Var(y)] +h!(E[⇡])2+ (1 !) (E[y])2i.
La inflación está determinada por la curva de Phillips ⇡= ⇡e+ (1 )⇡0+↵y+",
donde " ⇠ 0, 2
" es un choque de oferta, ⇡0 0 es la inflación heredada del
“periodo inicial”, mide la “rigidez” de la inflación (i.e. si = 0, lo que importa para determinar la inflación de “hoy” es la inflación de “ayer”, mientras que si = 1, lo que importa para determinar la inflación de hoy son las expectativas de inflación del público “hoy”) y ↵>0 mide la sensibilidad de la inflación a variaciones en la actividad económica.
La brecha del producto se determina de acuerdo a
y=m+v,
donde m es el instrumento bajo el control directo del banco central y v es un
choque de demanda. El hecho de que v sea aleatorio expresa la inhabilidad del
El choque de demandav es tal que
v=x+u,
dondex⇠ 0, 2
x yu⇠ 0, u2 .
Todos los choques aleatorios en la economía son independientes entre sí. Asumimos que, de manera privada, el banco central observax, pero nou. Es decir, asumimos
que el banco central observa una parte del choque de demanda que el público no puede observar. Sin embargo, nótese queuno es observado ni por el público ni por
el banco central.
Decimos que el policymaker sigue unapolítica discrecional si eligempara minimizar
Lusando toda la información disponible, incluyendo, en particular, su observación de x. En este caso, la política monetaria depende de información que no está
disponible al público. Decimos que el policymaker sigue unaregla de política si elige
mpara minimizarLusando únicamente información que se encuentra públicamente
disponible (i.e. en este caso no puede utilizar la información dexque posee). En
este caso, la política monetaria es verificable por el público.
El juego en el que participan el público y el policymaker se desenvuelve de la siguiente manera:
(1) La economía comienza y⇡0 es observado públicamente.
(2) El banco central decide si adoptar una regla ó conducir la política monetaria de manera discrecional. Si deciden seguir una regla de política, anuncian esta reglamr al público.
(3) El público forma sus expectativas de inflación⇡e. (4) El banco central observa xde manera privada.
(5) Si el banco central ha decidido seguir una regla, implementa la oferta mon-etaria mr previamente anunciada. Si el banco central ha decidido seguir una política discrecional, en este momento decide la oferta monetaria md, tomando en cuenta la información que ahora posee acerca dex.
(6) ⇡yy son realizados.
b). Plantea el problema de maximización que resuelve el policymaker si éste ha de-cidido conducir la política monetaria de acuerdo a una regla de política. Demuestra que en este caso
mr = ↵!(1 )
!↵2+ (1 !) (1 )2⇡0
⇡e = ⇡0+
↵
1 m
r.
Dado el timing del juego, en el momento que el banco central anuncia que seguirá una regla mr para la conducción de la política monetaria todavía no posee
infor-mación acerca dex, lo cual implica queE[y] =mry
E[⇡] = ⇡e+ (1 )⇡0+↵E[y]
= ⇡e+ (1 )⇡0+↵mr.
Dado que el público forma sus expectativas de forma racional y lo hace después de que el banco ha anunciadomr, tenemos que
⇡e=E[⇡
|⇡0, mr] = E[ ⇡e+ (1 )⇡0+↵y+"|⇡0, mr]
= ⇡e+ (1 )⇡0+↵E[y]
= ⇡e+ (1 )⇡0+↵mr
se sigue que
⇡e=⇡
0+ ↵
1 m
r.
Observamos que dada la anterior expresión para⇡etenemos queE[⇡] =⇡e(ésta es una condición de consistencia, ya que los agentes tienen expectativas racionales).
Nótese que en este caso tenemos
Var(y) = 2x+ u2
Var(⇡) = ↵2 2
x+ 2u + "2.
Por lo tanto, para minimizar L basta minimizar Lc. Entonces, el problema del
policymaker está dado por
min mr !
✓
⇡0+ ↵
1 m
r
◆2
+ (1 !) (mr)2
C.P.O.
[mr] : !↵ 1
✓ ⇡0+
↵
1 m
r
◆
+ (1 !)mr= 0
Despejando de la condición de primer orden obtenemos
mr= ↵!(1 )
Para calcularLr sólo falta calcularLr
c. Nótese que
E[⇡] = ⇡0+ ↵
1 m
r
= 1 ↵
2!(1 )
!↵2+ (1 !) (1 )2 !
⇡0
= (1 !) (1 )
2
!↵2+ (1 !) (1 )2⇡0
y
E[y] = mr
= ↵!(1 )
!↵2+ (1 !) (1 )2⇡0
=
✓
!↵
(1 !) (1 )
◆ E[⇡].
Se sigue que
Lrc = !(E[⇡])
2
+ (1 !) (E[y])2
= !(E[⇡])2+ (1 !)
✓
!↵
(1 !) (1 )
◆2
(E[⇡])2
= ! 1 + !↵
2
(1 !) (1 )2
!
(E[⇡])2
= !(1 !) (1 )
2
!↵2+ (1 !) (1 )2⇡ 2 0.
Por lo tanto,
Lr = !⇥↵2 2
x+ 2u + "2
⇤
+ (1 !)⇥ x2+ 2u
⇤
+Lr c = Lr
c+
⇥
!↵2+ (1 !)⇤ x2+! "2+
⇥
!↵2+ (1 !)⇤ 2u.
c). Plantea el problema de maximización que resuelve el policymaker si decide conducir la política monetaria de forma discrecional. Demuestra que en este caso
md = ↵!(1 )
!↵2+ (1 !) (1 )⇡0 x
⇡e = (1 !) (1 ) !↵2+ (1 !) (1 )⇡0.
En este caso, el policymaker elige su política después de que el público ha elegido ⇡ey después de haber observado x, por lo tanto, en este casoE[y] =md+xy
E[⇡] = ⇡e+ (1 )⇡
0+↵E[y]
= ⇡e+ (1 )⇡0+↵ md+x .
Notemos que en este caso
Var(y) = u2
Var(⇡) = ↵2 2u+ "2,
por lo que para minimizarLbasta minimizarLc.
El problema del policymaker está dado por
min md ! ⇡
e+ (1 )⇡
0+↵ md+x 2
+ (1 !) md+x 2
C.P.O. ⇥
md⇤ : ↵! ⇡e+ (1 )⇡0+↵ md+x + (1 !) md+x = 0
Despejando de la condición de primer orden tenemos que
md = !↵
!↵2+ (1 !)( ⇡
e+ (1 )⇡
0) x (?)
Bajo expectativas racionales, cuando el público forma su expectativa de inflación éstos anticipan que el policymaker va a elegirmd de acuerdo a(?), es decir
⇡e = E[⇡|⇡0,(?)]
= ⇡e+ (1 )⇡0+↵ md+x
= ⇡e+ (1 )⇡0+↵
!↵
!↵2+ (1 !)( ⇡
e+ (1 )⇡
0) ,
de donde podemos despejar
⇡e= (1 !) (1 )
!↵2+ (1 !) (1 )⇡0.
Observamos queE[⇡] =⇡ees una condición de equilibrio bajo expectativas racionales.
Usando la anterior expresión para⇡ey(?)concluimos que
md= ↵!(1 )
Para calcularLd sólo nos hace falta calcularLd
c. En este caso
E[⇡] = (1 !) (1 )
!↵2+ (1 !) (1 )⇡0 E[y] = md+x
= ↵!(1 )
!↵2+ (1 !) (1 )⇡0
=
✓ !↵
1 !
◆ E[⇡].
Se sigue que
Ld
c = !(E[⇡])
2
+ (1 !) (E[y])2
= !(E[⇡])2+ (1 !)
✓ !↵
1 !
◆2
(E[⇡])2
= !
✓
1 + !↵
2
1 !
◆
(E[⇡])2
= !(1 !) (1 )
2
1 !+!↵2
(!↵2+ (1 !) (1 ))2 ⇡ 2 0.
Por lo tanto,
Ld = !⇥↵2 2u+ 2"
⇤
+ (1 !) 2u+Ldc
= Ld
c+! 2"+
⇥
!↵2+ (1 !)⇤ u2.
d). A partir de los resultados de los dos incisos anteriores demuestra que podemos escribir
md+x = mr Ld
c = Lrc para algún0< <1y 1.
Del inciso(c)tenemos que
md+x = ↵!(1 )
!↵2+ (1 !) (1 )⇡0
=
✓ ↵!(1 )
!↵2+ (1 !) (1 )
◆ !↵2+ (1 !) (1 )2
!↵2+ (1 !) (1 )2 !
⇡0
= !↵
2+ (1 !) (1 )2
!↵2+ (1 !) (1 ) !
↵!(1 )
!↵2+ (1 !) (1 )2⇡0 !
= !↵
2+ (1 !) (1 )2
!↵2+ (1 !) (1 ) !
donde en la última línea usamos el resultado del inciso(b).
Definimos
⌘ !↵
2+ (1 !) (1 )2
!↵2+ (1 !) (1 ) !
,
entonces podemos escribir md+x= mr y >0, pues involucra puros números
positivos y <1pues, 2(0,1). Del inciso(c)también tenemos
Ldc =
!(1 !) (1 )2 1 !+!↵2
(!↵2+ (1 !) (1 ))2 ⇡ 2 0
= 1 !+!↵
2
(!↵2+ (1 !) (1 ))2 !
!↵2+ (1 !) (1 )2
!↵2+ (1 !) (1 )2 !
!(1 !) (1 )2⇡02
=
0
@ 1 !+!↵
2 ⇣!↵2+ (1 !) (1 )2⌘
(!↵2+ (1 !) (1 ))2
1
A !(1 !) (1 ) 2
!↵2+ (1 !) (1 )2⇡ 2 0
!
=
0
@ 1 !+!↵
2 ⇣!↵2+ (1 !) (1 )2⌘
(!↵2+ (1 !) (1 ))2
1 ALr
c,
donde en la última línea hicimos uso de los resultados del inciso(b).
Definimos
⌘ 1 !+!↵
2 ⇣!↵2+ (1 !) (1 )2⌘
(!↵2+ (1 !) (1 ))2 .
Entonces, podemos escribir Ld
c = Lrc. Como 2(0,1), se puede demostrar que 1.
El régimen de política monetaria está determinado pormin Lr, Ld .
e). Usando los resultados de los incisos anteriores demuestra queLr<Ld si y sólo si
(1 )Lr
c+ ↵2!+ (1 !) x2<0.
Usando los resultados de los incisos anteriores tenemos que
Lr = Lrc+
⇥
!↵2+ (1 !)⇤ x2+! "2+
⇥
!↵2+ (1 !)⇤ u2 Ld =
Lr
c+! 2"+
⇥
!↵2+ (1 !)⇤ u2,
de donde se sigue que
Por lo tanto,Lr<Ld si y sólo si
(1 )Lrc+ ↵2!+ (1 !) x2<0.
f). A partir del resultado del inciso anterior argumenta que es óptimo para el policymaker conducir la política monetaria de acuerdo a una regla de política si y sólo si⇡0>⇡⇤ para algún⇡⇤ (i.e. la discreción es óptima si y sólo si la inflación
heredada del periodo inicial es lo suficientemente baja).
Definimos
f(⇡0) ⌘ (1 )Lcr+ ↵2!+ (1 !) x2
= (1 ) !(1 !) (1 )
2
!↵2+ (1 !) (1 )2 !
⇡20+ ↵2!+ (1 !) 2x.
Entonces, seguir una regla de política monetaria es óptimo si y sólo si f(⇡0)<0. Recordemos que⇡0 0. Ahora, nótese quef(0) = ↵2!+ (1 !) x2>0y que
f0(⇡0) = 2 (1 ) | {z }
0
!(1 !) (1 )2
!↵2+ (1 !) (1 )2 !
| {z }
>0
⇡0 |{z}
0
| {z }
0
.
Por lo tanto,f(·)empieza siendo estrictamente no-negativo y conforme⇡0va cre-ciendo,f(·)va decreciendo)existe⇡⇤ tal quef(⇡
0)<0 para todo⇡0>⇡⇤.
6. Considera la siguiente modificación al modelo de determinación de la política monetaria visto en clase: la curva de Phillips está dada por
Ut=UN (⇡t ⇡te) 8t 0,
dondeUt es el desempleo,UN es la tasa natural de desempleo, ⇡t es la inflación y ⇡e
t es la inflación esperada por el público. Las preferencias del gobierno están dadas por
Vtg(⇡t, ut) = 1 2 ⇥
u2t+⇡t2 ⇤
8t 0.
El sector privado fija sus expectativas de inflación de acuerdo a la inflación del período pasado (i.e. tienen expectativas adaptativas): ⇡e
t = ⇡t 1 para todo t
1. Asumimos que ⇡e
0 = 0 (i.e. el sector privado empieza asumiendo que no hay
a). Suponiendo que el gobierno toma como dadas las expectativas de inflación del público ⇡e
t, determina la elección óptima de ⇡t por parte del banco central (i.e. determina la regla de elección del policymaker⇡?
t(⇡et)) cuando su objetivo es max-imizarVtg(⇡t, ut)período tras período.
El problema del policymaker está dado por
max ⇡t
1 2
h
UN (⇡t ⇡te)
2
+⇡t2
i
C.P.O.
[⇡t] : 1 2
⇥
2 UN (⇡t ⇡te) +⇡t⇤= 0
De donde se sigue que
⇡t?(⇡te) = 1 + 2 ⇥
UN + ⇡et
⇤ .
b). Si el banco central elige la inflación de acuerdo a⇡t=⇡?
t(⇡te)(i.e. de acuerdo a la regla del inciso anterior), ¿cómo evoluciona la inflación a través del tiempo? Es decir, determina una ley de movimiento para la inflación (i.e. una relación entre la inflación enty la inflación en períodos pasados).
Ya que el público forma sus expectativas de forma adaptativa (i.e. ⇡e
t = ⇡t 1)
tenemos que
⇡t = ⇡t?(⇡te) =
1 + 2U
N + 2 1 + 2⇡
e t
=
1 + 2U
N + 2 1 + 2⇡t 1,
que implica la siguiente ley de movimiento para la inflación ⇡t=
1 + 2U
N + 2
1 + 2⇡t 1, 8t 0
c). ¿Cómo se ven las trayectorias del desempleo y la inflación a través del tiempo? ¿Están creciendo ó cayendo a través del tiempo? ¿Se estabilizan en algún nivel? ¿Cuál?
Nótese que la ecuación en diferencias
⇡t=
1 + 2U
N + 2 1 + 2⇡t 1
tiene un punto fijo en
¯
Ya que 1+22 <1, el punto fijo es un punto fijo estable (i.e. la dinámica del sistema siempre converge a este punto). Nótese que el punto fijo coincide con la inflación de Nash vista en clase.
Recordemos que⇡e
0= 0, por lo tanto ent= 0la inflación está dada por
⇡0=
1 + 2U
N,
y se sigue que en los primero periodos la inflación evoluciona de acuerdo a: ⇡0 =
1 + 2U
N
⇡1 =
1 + 2U
N + 2
1 + 2⇡0=1 + 2U
N
1 +
2
1 + 2
⇡2 =
1 + 2U
N + 2
1 + 2⇡1=1 + 2U
N
"
1 +
2
1 + 2 + ✓ 2
1 + 2 ◆2#
⇡3 =
1 + 2U
N + 2
1 + 2⇡1=1 + 2U
N
"
1 +
2
1 + 2 + ✓ 2
1 + 2 ◆2
+
✓ 2
1 + 2 ◆3#
... ... ...
Analizando con cuidado estas expresiones queda claro que
⇡t=
✓
1 + 2U
N◆ t
X
i=0 ✓ 2
1 + 2 ◆i
8t 0.
Definimos
'⌘ 2
1 + 2 <1.
Entonces,
⇡t=
✓
1 + 2U
N
◆ ✓1 't+1
1 '
◆
8t 0.
De esta última expresión podemos ver que
lim
t!1⇡t = tlim!1 ✓
1 + 2U
N◆ ✓1 't+1
1 '
◆
=
✓
1 + 2U
N ◆ ✓ 1 1 ' ◆ lim t!1 1 '
t+1
=
✓
1 + 2U
N
◆ ✓
1
1 '
◆
ya quelimt!1 1 't+1 = 1.
También, nótese que
⇡t ⇡t 1= ✓
1 + 2U
N◆'t>0,
así que la inflación es creciente a tasas decrecientes hasta llegar al punto fijo de la inflación de Nash.
Ahora, en relación al desempleo, la dinámica anterior para la inflación junto con la Curva de Phillips implica:
Ut = UN (⇡t ⇡te) = UN (⇡t ⇡t 1)
= UN
✓
1 + 2U
N◆'t ,
de donde se sigue que
Ut=UN
✓
1 + 2U
N◆'t .
De esta última expresión podemos ver que
lim
t!1Ut=U
N,
ya que limt!1't = 0 (i.e. la tasa de desempleo converge a la tasa natural de desempleo) y
Ut Ut 1= 2
1 + 2U
N[1 ']'t 1>0,
así que la tasa de desempleo también es creciente a tasas decrecientes hasta llegar a la tasa natural de desempleo.
¿Qué es lo que da lugar a esta dinámica para la economía? Nótese que inicialmente el público empieza con expectativas de cero inflación lo cual le presenta una Curva de Phillips muy favorable al policymaker. Éste crea una sorpresa inflacionaria (⇡0 ⇡e0 >0) que empuja la tasa de desempleo por debajo de la tasa natural de desempleo:
U0=UN ✓
1 + 2U
N
◆
< UN.
hasta llegar a la inflación y desempleo correspondientes al equilibrio de Nash visto en clase.
d). ¿Cómo cambiarían tus respuestas si las expectativas inflacionarias del público en vez de empezar en cero hubieran empezado en un número positivo?
Recordemos que la dinámica de la inflación está dada por
⇡t=
1 + 2U
N + 2 1 + 2⇡t 1
y que 2
1+ 2 <1implica que el punto fijo de esta ecuación en diferencias es un punto fijo estable, así que toda dinámica del sistema converge a este punto. En el inciso anterior, las expectativas de inflación iniciales del público son tales que el sistema comienza su dinámica en un punto por debajo del punto fijo, por lo tanto las tasas de inflación se acercan a su punto fijo por abajo. Sin embargo, si las expectativas de inflación iniciales del público fueran lo suficientemente altas, entonces el sistema comenzaría su dinámica en un punto por encima del punto fijo:
⇡0 =
1 + 2U
N + 2 1 + 2⇡
e
0
= UN + UN ✓ 1
1 + 2 1 ◆
+
2
1 + 2⇡
e
0
= UN + 2
1 + 2 ⇡
e
0 UN .
En este caso la inflación se acerca al punto fijo por arriba. En el primer caso el desempleo siempre es menor a la tasa natural hasta llegar al punto fijo, mientras que en el otro la tasa de desempleo siempre es mayor a la tasa natural hasta converger a ésta.
e). Ahora, supongamos que la curva de Phillips está dada por
Ut=UtN (⇡t ⇡te) +"t 8t 0,
donde"tes un choque aleatorio a la oferta agregada. Si el gobierno conoce el valor de"ty puede reaccionar de manera apropiada, ¿qué pasa ahora?
En este caso, ya que el policymaker observa el choque "t, el problema del
policy-maker está dado por
max ⇡t
1 2
h
UN (⇡t ⇡et) +"t
2
+⇡t2
i
De donde se sigue que
⇡t?(⇡et) =1 + 2 ⇥
Si el choque aleatorio tiene media cero, entonces a través del tiempo esperaríamos que la tasa de inflación tienda (en valor esperado) al mismo nivel que antes, aunque en cada periodo el choque aleatorio empujará la inflación por encima ó por debajo de la inflación de Nash. En este caso la ley de movimiento para la inflación sería la ecuación en diferencias estocástica dada por
⇡t=
1 + 2U
N + 2
1 + 2⇡t 1+✏t, 8t 0
donde
✏t⌘
2
1 + 2"t
también es un choque aleatorio de media cero.
f). Supongamos que el proceso de formación de expectativas del sector privado ahora toma la siguiente forma:
⇡e
t = ⇡t 1+ (1 )⇡at 8t 1,
donde⇡a
t es un anuncio de inflación hecho por el banco central y0< <1 es un parámetro que indica el peso que se le da al anuncio de inflación en la formación de expectativas. Asumimos que ⇡e
0 = 0. Asumiendo que el gobierno: (i) elige
la inflación de manera óptima (i.e. como en los incisos (a) - (b)) tomando como dada las expectativas de inflación del público y (ii) siempre anuncia que habrá cero inflación, encuentra los valores de estado estacionario para la inflación y el desempleo.
Del inciso(a)sabemos que
⇡t=
1 + 2U
N + 2 1 + 2⇡
e t
y en este caso tenemos
⇡te=
(
0 sit= 0
⇡t 1 sit 1
Por lo tanto, en este caso la ley de movimiento para la inflación está dada por
⇡t=
1 + 2U
N+ 2
1 + 2⇡t 1, 8t 0.
Esta ecuación en diferencias tiene un punto fijo (estable, ya que0< <1) en ¯
donde recordemos que
'⌘ 2
1 + 2 <1.
Asociado a este punto fijo tenemos la tasa de desempleo
¯
U =
✓1 '
1 '
◆ UN.
Si = 1, entonces es fácil ver que regresamos a los resultados de los incisos anteriores
y tenemos
¯
⇡ = UN
¯
U = UN.
Sin embargo, cuando ! 0, de tal suerte que el público le da mayor peso a los anuncios del Banco Central que a las inflaciones observadas en la formación de sus expectativas, tenemos que
¯
⇡ =
✓
1 + 2 ◆
UN < UN
¯
U =
✓ 1
1 + 2 ◆
UN < UN.
