L´
ogica matem´
atica, UNAL-Med 2017-1
Lecci´
on 4: Teor´ıa de la demostraci´
on
1Consideramos L un lenguaje de primer orden. Por econom´ıa consideraremos que los ´unicos si ´mbolos l´ogicos en L son ∧,¬,∀. Las f´ormulas en las que aparecen otros s´ımbolos l´ogicos se interpretan como abreviaturas.
Queremos formalizar la noci´on de demostraci´on matem´atica. Es decir, disponer de demostra-ciones de f´ormulas de un lenguaje de primer orden. Para ello introduciremossistema deductivo que consiste en unas premisas y unas reglas de inferencia. Las premisas son f´ormulas, cuya validez se supone dentro de un contexto matem´atico (axiomas no l´ogicos), o bien son f´ormulas v´alidas del lenguaje cuya validez puede ser probada en t´erminos del metalenguaje (axiomas de la l´ogica). Las reglas de inferencia permiten, a partir de f´ormulas cuya validez ha sido formalmente probada, deducir la validez de nuevas f´ormulas. De esta manera, las demostraciones ser´an secuencias de f´ormulas, que o bien son premisas, o bien proceden del uso de las reglas de inferencia. La ´ultima f´ormula de la secuencia, ser´a entonces la conclusi´on demostrada.
Sistema deductivo
Axiomas(f´ormulas)
(
l´ogicos: son f´ormulas v´alidas.
no l´ogicos: su validez se asume por contexto.
Reglas de inferencia(operadores en el lenguaje)
1
Axiomas de la l´
ogica
Una primera posibilidad ser´ıa tomar por axiomas l´ogicos a todas las f´ormulas v´alidas deL. Esto, sin embargo produce sistemas deductivos muy poco pr´acticos. La definici´on de validez es sem´antica, no sint´actica. Si queremos comprobar la validez de todas las f´ormulas, estamos obligados a conocer todas las posibles interpretaciones (modelos) del lenguaje. Querr´ıamos m´as bien disponer de una familia de f´ormulas v´alidas, que podamos codificar de forma sencilla, y que m´as adelante nos permitan calcular todas las otras f´ormulas v´alidas por medio del sistema deductivo.
Estas familias de f´ormulas se conocen como axiomas de la l´ogica. La lista que vamos a ver, es una entre muchas posibilidades equivalentes. En primer lugar definimos de forma auxiliar el concepto de axioma puro.
Definici´on 1 Decimos que la f´ormulaχes un axioma purode la l´ogica, si cae en alguna de las siguientes siete categor´ıas.
I. Tautolog´ıas de L.
II. Axiomas puros de distribuci´on. Hay una variablex y f´ormulasϕ y ψ de manera queχ
es de la forma:
∀x(ϕ→ψ)→(∀xϕ→ ∀xψ)
III. Axiomas puros de substituci´on. Hay una f´ormulaϕ, un t´erminoτ y una variablexque puede reemplazarse porτ enϕde manera que χ es de la forma:
∀xϕ→ϕ(x/τ)
IV. Axiomas puros de generalizaci´on. Hay una f´ormula ϕ y una variable x que no ocurre libremente enϕde manera que χ es de la forma:
ϕ→ ∀xϕ
V. Axiomas puros de la igualdad. Para ciertas variables x, y, z, χ es de alguna de las formas:
x=x
x=y → y=x x=y∧y=z → x=z
VI. Axiomas puros de relaci´on. Hayn-tuplas de variablesx¯yz¯y un s´ımbolo relacionaln-ario
R de manera que χes de la forma
¯
x= ¯y→(R(¯x)↔R(¯y))
VII. Axiomas puros de funci´on. Hayn-tuplas de variablesx¯yz¯y un s´ımbolo de funci´onn-aria
F de manera que χes de la forma
¯
x= ¯y→F(¯x) =F(¯y)
Definici´on 2 El conjuntoAx(L)de los axiomas de la l´ogica est´a constituido por los axiomas puros, y todas las f´ormulas de la forma ∀¯xϕ dondex¯ es una tupla de variables y ϕes un axioma puro.
Notemos que los axiomas de los grupos I-V son los mismos para todos los lenguajes de primer orden, mientras que los axiomas de los grupos VI-VII dependen de los s´ımbolos de relaci´on y de funci´on del lenguaje.
2
Reglas de inferencia
Nuestro sistema deductivo, muy sencillo, dispone de una ´unica regla de inferencia, que se denomina modus ponens.
Definici´on 3 Siϕes de la forma ψ→χdecimos que χ se deriva deϕy ψpor modus ponens.
El modus ponens es una versi´on formal del silogismo aristot´elico. Si un condicional es cierto, y su premisa tambi´en, entonces la conclusi´on del condicional es tambi´en cierta. Para decir que de ψ→χ yψ se derivaϕgeneralmente escribimos:
1. ψ→χ
2. ψ
Los n´umeros de las l´ıneas, el s´ımbolo∴de conclusi´on, y la indicaci´on, m.p.(1,2) son simplemente elementos del metalenguaje que sirven para expresar mejor la derivaci´on. Realmente, desde el punto de vista formal, solo importa la secuencia de f´ormulas ψ → χ, ψ, χ. Introducimos por tanto la siguiente definici´on.
Definici´on 4 Sea Φ = ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn una secuencia de f´ormulas de L. Decimos que Φ es una
derivaci´on l´ogica,prueba l´ogicaodemostraci´on formal l´ogicadeϕn si para cada j≤nse verifica una de las siguiente afirmaciones:
(a) ϕj es un axioma de la l´ogica.
(b) Existen indiceskyl menores quejde manera queϕjse deriva deϕk yϕlpor modus ponens.
Convencionalmente las demostraciones formales se escriben en l´ıneas numeradas, y se usa el s´ımbolo de conclusi´on “∴” para marcar la ´ultima l´ınea, que es la f´ormula cuya validez se deriva de la prueba. Tambi´en pueden incluirse anotaciones al margen a la derecha, para justificar el rol de cada l´ınea.
1. ϕ1
2. ϕ2
.. . ... n. ∴ ϕn
Definici´on 5 Una f´ormulaϕdeLes unteorema de la l´ogicasi es la f´ormula final o conclusi´on de alguna derivaci´on l´ogica. Denotamos porteo(L) al conjunto de los teoremas de la l´ogica.
El conjunto teo(L) es una estructura inductiva. Los bloques de la estructura son los axiomas de la l´ogica, y el operador de inducci´on, es la regla de inferencia modus ponens. Para ver la regla de inferencia como operador, definimos:
m.p.:S+(A)× S+(A)→ S+(A), m.p.(ϕ, ψ) =
(
χ si esψ= (ϕ→χ) ψ en cualquier otro caso.
3
Consecuencia sint´
actica y pruebas formales
Definici´on 6 Sea Γ ⊂ L un conjunto de f´ormulas. Una derivaci´on formal, prueba formal o
demostraci´on formal en Γ es una secuencia de f´ormulas Φ = ϕ1, . . . , ϕn tal que cada j ≤n se
verifica una de las siguiente afirmaciones:
(a) ϕj es un axioma de la l´ogica.
(b) ϕj est´a en Γ
Si ϕ es la conclusi´on (f´ormula final) de una prueba formal en Γ, escribimos entonces Γ ` ϕ. Leemos:
Γ`ϕ
como “de Γ se deduce ϕ” o ϕ es consecuencia sint´actica de Γ. Cuando Γ consta de un solo elemento ψescribimos ψ `ϕen lugar de {ψ} `ϕ. Las demostraciones formales en Γ suelen escribirse por renglones de la siguiente manera:
1. Γ` ϕ1
2. Γ` ϕ2
..
. ...
n. ∴Γ` ϕn
Pueden utilizarse anotaciones a la derecha, para indicar si la l´ınea en cuesti´on es un axioma de la l´ogica, un elemento de Γ o bien se deriva por modus ponens. Los resultados generales acerca de la consecuencia sint´actica que iremos viendo pueden utilizarse para abreviar las pruebas formales.
Definici´on 7 Decimos que una f´ormula ϕ de L es un teorema de Γ si es la f´ormula final o conclusi´on de alguna prueba formal enΓ. Denotamos porTeo(Γ)al conjunto de los teoremas deΓ.
Es claro que Teo(Γ) tiene tambi´en una estructura inductiva, donde los bloques son los axiomas l´ogicos y las f´ormulas del propio Γ. Generalmente nos referimos a Γ como conjunto deaxiomas no l´ogicosy Teo(Γ) es la teor´ıa matem´aticadeducida de Γ, si bien esta nomenclatura es ambigua, pues muchos autores llaman teor´ıa a un conjunto arbitrario de f´ormulas. Notemos que los teoremas de la l´ogica formar´ıan la teor´ıa del vac´ıo, es decir, aquellos teoremas que se deducen sin hacer ninguna suposici´on, teo(L) = Teo(∅). Repasando los elementos de nuestro sistema deductivo, tenemos:
Sistema deductivo
Axiomas
(
l´ogicos: Ax(L)
no l´ogicos: Γ
Regla de inferencia: modus ponens
Proposici´on 8 Se verifican las siguientes propiedades de las teor´ıas.
(i) Γ⊆Teo(Γ).
(ii) SiΓ⊂Γ0 entoncesTeo(Γ)⊆Teo(Γ0). (iii) Ax(L)⊂Teo(Γ).
(iv) Teo(Teo(Γ)) = Teo(Γ).
teoremas de Γ de la forma ψ y (ψ→ϕ). Cada uno de esos teoremas tiene una prueba formal en Γ. Concatenando dichas pruebas formales, y a˜nadiendo la l´ınea ϕal final, obtenemos una prueba formal paraϕen Γ. Realicemos ahora la hi´potesis de inducci´on, y supongamos que la propiedad es cierta para todo teorema de Teo(Γ) cuya prueba en Teo(Γ) tenga menos denl´ıneas. Consideremos ϕcuya prueba en Teo(Γ) tengan-l´ıneas. Entonces, o bienϕya est´a en Teo(Γ) o se deduce de dos l´ıneas anteriores por modus ponens. En el primer caso, hemos acabado. En el segundo caso, esas dos l´ıneas, por la hip´otesis de inducci´on, est´an en la teor´ıa de Γ. Tomando dichas dos l´ıneas y ϕ obtenemos una prueba formal de tres l´ıneas en Teo(Γ). Pero ya hab´ıamos mostrado que siϕtiene una prueba en Teo(Γ) de tres l´ıneas debe ser un teorema de Γ.
Proposici´on 9 SiΓ`ϕentonces hay un subconjunto finitoΓ0⊆Γ tal queΓ0`ϕ.
Prueba. La prueba formal deϕtiene, por definici´on, un n´umero finito de l´ıneas. Entre esas l´ıneas se encuentran las f´ormulas de Γ0.
Al igual que en el c´alculo de proposiciones, decimos ϕ⇒ψ cuando toda asignaci´on de verdad que validaϕvalida tambi´enψ. Es decir, si y solo siϕ→ψes una tautolog´ıa. De esta manera, decir ϕ⇒ψes mucho m´as fuerte que decirϕ|=ψ, pues no todas las f´ormulas v´alidas son tautolog´ıas.
Definici´on 10 Supongamos queΓ `ϕ y que ϕ⇒ψ, es decir, queϕ→ ψ es una tautolog´ıa. Es claro entonces queΓ`ψ, y decimos que de Γ`ϕse deduce Γ`ψ de forma tautol´ogica.
El sistema deductivo de la l´ogica de primer orden, que hemos introducido en est´as p´aginas, es muy potente. Veremos m´as adelante que en el contexto de una teor´ıa matem´atica, toda f´ormula verdadera puede probarse. Sin embargo, incluso las pruebas de enunciados cuya verdad intuitiva es muy razonable pueden ser complejas. Por ejemplo, seanϕyψf´ormulas dondexocurre libremente y Γ = {∀x(ϕ → ψ)}, es decir “para todo x siempre que ϕ se tiene adem´as ψ”. Veamos que Γ` ∃xϕ→ ∃xψes decir, “si hay unxtal queϕentonces hay unxqueψ”. Hay que tener en cuenta que, en nuestro lenguaje reducido∃xϕes una abreviatura para¬∀x¬ϕy lo mismo paraψ.
1. Γ` ∀x((ϕ→ψ)→(¬ψ→ ¬ϕ)) axioma grupo I.
2. Γ` ∀x((ϕ→ψ)→(¬ψ→ ¬ϕ))→(∀x(ϕ→ψ)→ ∀x(¬ψ→ ¬ϕ)) axioma grupo II. 3. Γ` (∀x(ϕ→ψ)→ ∀x(¬ψ→ ¬ϕ)) modus ponens 1,2.
4. Γ` ∀x(ϕ→ψ) axioma no l´ogico. 5. Γ` ∀x(¬ψ→ ¬ϕ) modus ponens 3,4.
6. Γ` ∀x(¬ψ→ ¬ϕ)→(∀x¬ψ→ ∀x¬ϕ) axioma grupo II. 7. Γ` ∀x¬ψ→ ∀x¬ϕ modus ponens 5,7.
8. Γ` (∀x¬ψ→ ∀x¬ϕ)→(¬∀x¬ϕ→ ∀x¬ψ) axioma grupo I. 9. ∴Γ` ¬∀x¬ϕ→ ∀x¬ψ
Teorema 11 (sonoridad o fuerza de la l´ogica) Sea Γ un conjunto de f´ormulas cerradas y ϕ
una f´ormula. SiΓ`ϕentonces Γ|=ϕ. Es decir, siϕes un teorema de Γentonces ϕes v´alida en todo modelo deΓ.
esta estructura, que es equivalente a hacer inducci´on sobre la longitud de las pruebas formales. Verifiquemos el caso inicial. Supongamos que hay una prueba de ϕde a lo m´as tres l´ıneas. Si la prueba tiene menos de tres l´ıneas entonces ϕes un axioma de la l´ogica, o un elemento de Γ. En cualquiera de los dos casosϕes v´alida enM. Supongamos que la prueba deϕtiene exactamente tres l´ıneas. En ese caso las dos primeras lineas deben ser de la manera (ψ→ϕ) yψ, siendo las dos f´ormulas v´alidas en M. Pero entoncesϕes v´alida enMpues si,
M |= (ψ→ϕ) y M |=ψ
entonces se tieneM |=ϕcomo se vi´o en la lecci´on 3 (lema: sem´antica del modus ponens). Supongamos ahora que la prueba deϕtiene m´as de tres l´ıneas. De nuevo, o bienϕes un axioma de la l´ogica, o bien es un elemento de Γ o bien se deduce de dos l´ıneas enteriores por modus ponens. En los dos primeros casos,ϕes valida en M, en el tercer caso, las dos lineas que permiten derivar ϕson teoremas de Γ cuyas pruebas son de longitud estrictamente menor que la deϕ. Por hip´otesis de inducci´on deben de ser v´alidas, y aplica de nuevo el argumento anterior.
Corolario 12 Los teoremas de la l´ogicateo(L)son v´alidos en todos los modelos.
El siguiente resultado, es un teorema acerca del sistema deductivo que puede emplearse en muchos casos para simplificar las pruebas formales. Incluso, en algunos sistemas deductivos se le considera una regla de inferencia adicional.
Teorema 13 (de la deducci´on) SeaΓ un conjunto de f´ormulas deL yϕuna f´ormula. SiΓ∪ {ϕ} `ψ entoncesΓ`ϕ→ψ.
Prueba. Consideremosψ1, . . . .ψn con ψn =ψ una prueba formal de ψen Γ. Ahora vamos a reemplazar cada una de las f´ormulasψi por una secuencia de la siguiente manera:
(1) Siψj es un axioma l´ogico, o un elemento de Γ, substituimos la l´ınea correspondiente, Γ∪ {ϕ} ` ψj
por la secuencia de 3 l´ıneas, Γ ` ψj
Γ ` ψj→(ϕ→ψj) axioma grupo I. Γ ` ϕ→ψj modus ponens.
(2) Siψjes obtenido por modus ponens de dos l´ıneas anteriores, eso significa que haykyrmenores que j tales que ψr es (ψk → ψj). Esas lineas han sido reemplazadas por el procedimiento anterior, apareciendo nuevas l´ıneas de la manera:
Γ ` ϕ→(ψk→ψj) Γ ` ϕ→ψk
ahora podemos reemplazar la l´ıneaψj por:
Γ ` (ϕ→(ψk→ψj))→((ϕ→ψk)→(ϕ→ψj)) axioma grupo I. Γ ` (ϕ→ψk)→(ϕ→ψj) modus ponens.
(3) Finalmente, si ψj es ϕ entonces cambiamos la l´ınea ϕ por ϕ → ϕ que es un axioma de la l´ogica.
Tras hacer todas las substituciones, obtenemos una prueba en Γ deϕ→ψ.
4
Propiedades sint´
acticas de la deducci´
on
4.1
Consistencia
Definici´on 14 Un conjunto Γ de f´ormulas esinconsistente si verifica alguna de las tres condi-ciones equivalentes.
(a) Teo(Γ)contiene alguna contradicci´on.
(b) Para toda f´ormulaϕ,Γ`ϕ, es decir, toda f´ormula es teorema de Γ. (c) Hay una f´ormulaϕ tal queΓ`ϕy tambi´en Γ` ¬ϕ.
La comprobaci´on de la equivalencia entre las tres condiciones queda como ejercicio para el estudiante.
Teorema 15 (reducci´on al absurdo) SeaΓun conjunto de f´ormulas yϕuna f´ormula. Entonces
Γ`ϕ si y solo siΓ∪ {¬ϕ} es inconsistente.
Prueba. Supongamos Γ`ϕ, entonces Γ∪{¬ϕ} `ϕy adem´as Γ∪{¬ϕ} ` ¬ϕ, luego Γ∪{¬ϕ}es inconsistente. Rec´ıprocamente supongamos que Γ∪ {¬ϕ}es inconsistente. Entonces Γ∪ {¬ϕ} `ϕ, y por el teorema de la deducci´on, Γ` ¬ϕ→ϕ. Formalmente se tiene:
1. Γ` ¬ϕ→ϕ por el teorema de la deducci´on 2. Γ` (¬ϕ→ϕ)→ϕ axioma grupo I.
3. ∴Γ` ϕ modus ponens 1,2. Lo que termina la demostraci´on.
4.2
Equivalencia elemental
Definici´on 16 Seanϕyψf´ormulas deL. Escribimosϕa`ψsi se da cualquiera de las condiciones equivalentes:
(a) `ϕ↔ψ, es decir,ϕ↔ψ es un teorema de la l´ogica. (b) ϕ`ψ yψ`ϕ.
En tal caso decimos queϕy ψson elementalmente equivalentes.
La equivalencia elemental es una relaci´on de equivalencia en las f´ormulas. Veremos m´as adelante, que el teorema de completitud de la l´ogica implica que la equivalencia elementala`y la equivalencia sem´antica =k= coinciden. Por el momento, es f´acil ver que dos f´ormulas que son equivalentes por razonamiento tautol´ogico, es decir, tales queϕ⇔ψson en particular elementalmente equivalentes y sem´anticamente equivalentes.
(1) ¬ϕa` ¬ψ. (2) ∀xϕa` ∀xψ. (3) ∃xϕa` ∃xψ.
(4) Si adem´as χa`θentonces para cualquier conectivo l´ogico @, (ϕ@χ)a`(ψ@θ).
4.3
Cuantificadores
Recordemos que en nuestro lenguaje ∃xϕ es una abreviatura para ¬∀x¬ϕ. Por tanto, cada re-sultado que enunciemos acerca del cuantificador universal, tendr´a un resultado an´alogo acerca del cuantificador existencial.
Teorema 17 (de la generalizaci´on) SeaΓun conjunto de f´ormulas y seaxuna variable que no aparece libremente en ninguna f´ormula deΓ. Si Γ`ϕentonces Γ` ∀xϕ.
Prueba. Por inducci´on sobre la longitud de la prueba deϕen Γ.
(1) Siϕes un axioma de la l´ogica, entonces∀xϕtambi´en es un axioma de la l´ogica.
(2) Si ϕ∈ Γ, entonces x no ocurre libremente en ϕ y por tantoϕ → ∀xϕ es un axioma de la l´ogica del grupo IV. De ah´ı Γ` ∀xϕ.
(3) Si ϕse prueba por modus ponens, entonces hay una f´ormulaψ tal que Γ`ψy Γ`ψ→ϕ. Las pruebas deψyϕson m´as cortas que la deψ. Aplicando hip´otesis de inducci´on, tenemos Γ` ∀xψ y Γ` ∀x(ψ→ϕ).Podemos escribir una prueba formal:
1. Γ` ∀xψ 2. Γ` ∀x(ψ→ϕ)
3. Γ` ∀x(ψ→ϕ)→(∀xψ→ ∀xϕ) axioma grupo II. 4. Γ` ∀xψ→ ∀xϕ modus ponens 2,3.
5. ∴Γ` ∀xϕ modus ponens 1,4.
Lo que concluye la demostraci´on.
Lema 18 (introducci´on de ∀) Seanϕy ψf´ormulas, xuna variable,τ un t´ermino. (a) Sixpuede reemplazarse porτ enψ y
Γ`ψ(x/τ)→ϕ
entonces
Γ` ∀xψ→ϕ.
(b) Sixno aparece libremente en ψni en ninguna f´ormula deΓ entonces si
Γ`ψ→ϕ
entonces
Prueba. Probemos (a).
1. Γ` ψ(x/τ)→ϕ por hip´otesis 2. Γ` ∀xψ→ψ(x/τ) axioma grupo III.
3. Γ` (∀xψ→ψ(x/τ))→((ψ(x/τ)→ϕ)→(∀xψ→ϕ)) axioma grupo I. 4. Γ` (ψ(x/τ)→ϕ)→(∀xψ→ϕ) modus ponens 2,3.
5. ∴Γ` ∀xψ→ϕ modus ponens 1,4.
Probemos (b)
1. Γ∪ {ψ} ` ψ→ϕ por hip´otesis 2. Γ∪ {ψ} ` ψ axioma no l´ogico. 3. Γ∪ {ψ} ` ϕ modus ponens 1,2.
4. Γ∪ {ψ} ` ∀xϕ teorema de generalizaci´on. 5. ∴Γ` ψ→ ∀xϕ teorema de la deducci´on
Lema 19 (introducci´on de ∃) Seanϕy ψf´ormulas, xuna variable,τ un t´ermino. (a) Sixpuede reemplazarse porτ enψ y
Γ`ϕ→ψ(x/τ)
entonces
Γ`ϕ→ ∃xψ.
(b) Sixno aparece libremente en ψni en n´ınguna f´ormula deΓ entonces si
Γ`ϕ→ψ
entonces
Γ` ∃xϕ→ψ.
La prueba queda como ejercicio al lector, puede hacerse mediante razonamiento tautol´ogico, asumiendo el lema 18.
4.4
Forma prenexa
A la hora de estudiar la deducibilidad de f´ormulas deL, es a veces ´util reemplazarlas por otras que sean elementalmente equivalentes, pero que tengan una forma conveniente.
Definici´on 20 Una f´ormulaψse dicesin cuantificadores,si no aparece ning´un cuantificador en ella. Una f´ormula se diceen forma normal prenexasi se obtiene tras aplicar sucesivamente op-eradores de cuantificaci´on a una f´ormula libre de cuantificadores. Es decir,ϕest´a en forma prenexa si hay variablesy1, . . . , yn, cuantificadoresQ1, . . . , Qn en {∀,∃}y una f´ormula sin cuantificadores
ψtal que:
Nuestro pr´oximo objetivo es probar que toda f´ormula ϕ es elementalmente equivalente a otra f´ormulaϕ∗que est´a en forma prenexa, y adem´as la funci´onϕ→ϕ∗puede definirse inductivamente sobre las f´ormulas.
Un primer problema que podemos tener es que en una f´ormula puede aparecer una misma variable acotada por diferentes cuantificadores. Es decir, dentro de la misma f´ormula, podr´ıan aparecer ∀xy ∃x en diferentes lugares acotando diferentes ocurrencias de la misma variable. Lo que motiva la siguiente definici´on:
Definici´on 21 Una f´ormula essimpleoen variables separadassi noy hay dos cuantificadores que acotan diferentes ocurrencias de la misma variable.
Por ejemplo, ∀x(x= y)∧ ∀x(x > y) y ∀x(x = y∧ ∀x(x > y)) no son simples, mientras que ∀x(x=y)∧ ∀z(z > y) y∀x(x=y∧ ∀z(z > y)) son simples.
La definici´on de simple (es decir, el criterio para saber si una f´ormula es simple o no) puede darse por inducci´on, cosa que dejamos en manos del lector. Debe utilizarse la definici´on de bound() que se di´o en la lecci´on anterior.
Lema 22 Sixpuede reemplazarse pory en ϕy y no aparece libremente enϕ entonces,
` ∀xϕ→ ∀yϕ(x/y)
` ∃xϕ→ ∃yϕ(x/y)
Prueba. Veamos que la primera f´ormula es un teorema de la l´ogica. Por el teorema de la deducci´on, basta ver∀xϕ` ∀yϕ(x/y). Veamos:
1. ∀xϕ ` ∀xϕ→ϕ(x/y) axioma grupo III. 2. ∀xϕ ` ∀xϕ axioma no l´ogico.
3. ∀xϕ ` ϕ(x/y) modus ponens 1,2.
4. ∀xϕ ` ∀yϕ(x/y) teorema de generalizaci´on. 5. ∴ ` ∀xϕ→ ∀yϕ(x/y) teorema de la deducci´on
La prueba de la segunda f´ormula queda como ejercicio.
Lema 23 Seaϕuna f´ormula. Para cualquier conjunto finitoAde variables hay una f´ormula simple
ϕA y tal queϕa`ϕ∗. de manera quebound(ϕ∗)∩A=∅.
Prueba. Sea ψ una f´ormula tal que la variable xpuede reemplazarse por y, y y no aparece libremente enψ. Entonces, aplicando dos veces el lema 22 tenemos que∀xψa` ∀yψ(x/y). Vamos a realizar reemplazamientos de este tipo por inducci´on a lo largo del arbol de sintaxis de ϕ de manera que reemplacemos todos las variables que aparecen en los cuantificadores por variables nuevas. Definimos por inducci´on (en el lenguaje reducido):
(a) Siϕes at´omicaϕA=ϕ.
(c) Si ϕ = ∀xψ, sea entonces y la primera variable que no aparece en ϕ ni en A. Entonces ϕA=∀ykψ(x/yk).
(d) Seaϕ=ψ1∧ψ2. ConsideramosA1 =A∪var(ψ2) y A2 =A∪var(ψ1). Definimos entonces ϕA=ψA1
1 ∧ψ A2
2 .
La f´ormulaϕA es simple y elementalmente equivalente aϕ.
Lema 24 Siy no ocurre enϕ2 entonces:
(∀yϕ1)∧ϕ2 a` ∀y(ϕ1∧ϕ2) (∃yϕ1)∧ϕ2 a` ∃y(ϕ1∧ϕ2)
¬∀yϕ1 a` ∃y¬ϕ1
Prueba. La tercera equivalencia proviene de la abreviatura del lenguaje y de un razonamiento tautol´ogico simple. La segunda, es consecuencia de la tercera y la primera. Veamos solamente la primera. Por razonamiento tautol´ogico tenemos:
(∀yϕ1)∧ϕ2` ∀yϕ1
(∀yϕ1)∧ϕ2`ϕ2
aplicando el axioma de substituci´on (grupo III)∀yϕ1→ϕ1y modus ponens tenemos:
(∀yϕ1)∧ϕ2`ϕ1
y de ah´ı
(∀yϕ1)∧ϕ2`ϕ1∧ϕ2, finalmente por el teorema de generalizaci´on,
(∀yϕ1)∧ϕ2` ∀y(ϕ1∧ϕ2).
La consecuencia sint´actica en el otro sentido se realiza de forma similar.
Teorema 25 Toda f´ormula es elementalmente equivalente (a`) a otra en forma normal prenexa.
Prueba. Dado que todas f´ormula es elementalmente equivalente a una f´ormula simple, basta mostrar el teorema para f´ormulas simples. En esta caso, nos basta con realizar las substituciones del lema 22 por inducci´on a lo largo del ´arbol de sintaxis de la f´ormula.
4.5
ΣΠ
-complejidad de las f´
ormulas.
Definici´on 26 Una Σ0-f´ormula o Π0 f´ormula es una f´ormula sin cuantificadores. Se define por inducci´on, en el conjunto de f´ormulas en forma normal prenexa:
(a) Siϕ es unaΠn f´ormula, entonces∀xϕ es una Πn f´ormula y∃xϕes una Σn+1-f´ormula.
Ejercicios:
1. Muestre que:
(a) Si Γ`ϕy Γ`ψentonces Γ`ϕ∧ψ(introducci´on de la conjunci´on). (b) Si Γ`ϕ∧ψentonces Γ`ψ(eliminaci´on de las conjunci´on).
(c) Si Γ`ϕy Γ`ψentonces Γ`ϕ∨ψ(introducci´on de la disyunci´on). (d) Si Γ`ϕ→ψy Γ` ¬ψentonces Γ` ¬ϕ(modus tollens).
(e) Si Γ`ϕentonces Γ` ¬¬ϕ(introducci´on de la negaci´on). (f) Si Γ` ¬¬ϕentonces Γ`ϕ(eliminaci´on de la negaci´on). (g) Si Γ`ϕ∨ψy Γ` ¬ϕentonces Γ`ψ(silogismo disyuntivo). (h) Si Γ`ϕ∨ψy Γ` ¬ϕ∨χentonces Γ`ψ∨χ(resoluci´on).
Todas estas posibilidades son utilizadas en ocasiones como reglas de inferencia adicionales. No obstante, como muestra el ejercicio, todas ellas son consecuencia del modus-ponens y el razonamiento tautol´ogico.
2. Muestre la equivalencia entre las condiciones (a) (b) y (c) dadas en la definici´on 14. 3. Muestre la equivalencia entre las condiciones (a) y (b) dadas en la definici´on 16.
4. De otros axiomas equivalentes por razonamiento tautol´ogico a los de los grupos II, III y IV (distribuci´on, substituci´on y generalizaci´on) pero en los cuales se utilice el cuantificador existencial∃en lugar del universal ∀.
5. Pruebe el lema 19 asumiendo el lema 18. 6. De una definici´on inductiva de f´ormula simple. 7. Muestre que siy no ocurre enϕ2 entonces:
(∀yϕ1)∨ϕ2 a` ∀y(ϕ1∨ϕ2) (∃yϕ1)∨ϕ2 a` ∃y(ϕ1∨ϕ2) (∀yϕ1)→ϕ2 a` ∃y(ϕ1→ϕ2) (∃yϕ1)→ϕ2 a` ∀y(ϕ1→ϕ2) ϕ2→(∃yϕ1) a` ∃y(ϕ2→ϕ1) ϕ2→(∀yϕ1) a` ∀y(ϕ2→ϕ1)
¬∃yϕ1 a` ¬∀yϕ1
8. Muestre que si Sixpuede reemplazarse pory enϕyy no aparece libremente enϕentonces:
` ∃xϕ→ ∃yϕ(x/y)
(a) ∀xP(x)→ ∀xR(x) (b) ∃xP(x)→ ∃xR(x)
(c) ∀x(P(x)→Q(x, y))→(∃yP(y)→ ∃zQ(y, z))
10. Pruebe o evidencie la falsedad de (para evidenciar la falsedad de un teorema, puede utilizar la fuerza de la l´ogica):
(a) ` ∃x(ϕ→ ∀xϕ)
(b) `(∀xϕ∨ ∀xψ)→ ∀x(ϕ∨ψ) (c) ` ∃x∀yϕ→ ∀y∃xϕ
(d) ` ∀y∃xϕ→ ∃x∀yϕ
(e) ` ∀x(ϕ∧ψ)↔(∀xϕ∧ ∀xψ) (f) ` ∃x(ϕ∧ψ)↔(∃xϕ∧ ∃xψ)
11. Escriba demostraciones formales completas para los siguientes teoremas de la l´ogica. (a) ∀x(ϕ→ψ)→(ϕ→ ∀xψ) dondexno ocurre libremente en ϕ.
(b) ϕ(x/τ)→ ∃xϕxsixes una variable que puede reemplazarse por el t´erminoτ enϕ. (c) ∀xϕ→ ∃xϕ.
