Algoritmos de optimización combinatoria aplicados al diseño de redes de distribución de agua potable

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(1)Universidad de los Andes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería de Sistemas y Computación Tesis de Maestría. Germán Villalba Fernández de Castro. Asesora: Silvia Takahashi Coasesor: Juan Saldarriaga Jurado: Andrés Medaglia Jurado: Rafael Gómez Algoritmos de optimización Combinatoria aplicados al diseño de redes de distribución de agua potable. Bogotá, Julio de 2004.

(2) TABLA DE CONTENIDO 1. Introducción................................................................................................................... 5. 2. Justificación................................................................................................................... 8. 3. Objetivos......................................................................................................................... 9. 4. 3.1. Objetivos Generales......................................................................................................... 9. 3.2. Objetivos Específicos ....................................................................................................... 9. Hidráulica de Tuberías................................................................................................ 10 4.1. El flujo y el fluido........................................................................................................... 10. 4.2. El número de Reynolds.................................................................................................. 11. 4.3. Ecuaciones del cálculo de pérdidas por fricción ......................................................... 12. 4.4. Redes cerradas ............................................................................................................... 13. 4.5. Método del Gradiente.................................................................................................... 14. 4.6. Software de Simulación Hidráulica.............................................................................. 19. 4.1.1 4.1.2. 4.4.1 4.4.2. 4.6.1 4.6.2. 5. 6. Tipos de flujo............................................................................................................................ 10 Flujo en Redes de Acueducto ................................................................................................... 11. Ecuaciones de conservación de masa ....................................................................................... 13 Ecuaciones de conservación de energía.................................................................................... 14. REDES 2004 ............................................................................................................................ 19 EPANET 2................................................................................................................................ 20. Diseño de Acueductos.................................................................................................. 22 5.1. Ejemplo de diseño por fuerza bruta............................................................................. 23. 5.2. Definiciones .................................................................................................................... 23. 5.3. Descripción ..................................................................................................................... 24. 5.4. Variables de entrada de una simulación hidráulica ................................................... 25. 5.5. Variables de salida de una simulación hidráulica....................................................... 26. 5.6. Variables de Entrada del diseño de redes de distribución de agua potable ............. 27. 5.7. Variables de Salida del diseño de redes de distribución de agua potable ................. 28. Modelo del problema ................................................................................................... 29 6.1. Especificación del problema ......................................................................................... 29. 6.2. Restricciones del problema ........................................................................................... 29. 6.3. Complejidad del Problema ........................................................................................... 31. 6.2.1 6.2.2. Restricciones Hidráulicas ......................................................................................................... 29 Restricciones Comerciales........................................................................................................ 30. 6.3.1 Definiciones.............................................................................................................................. 32 Definición 1 ............................................................................................................................................ 32 Definición 2 ............................................................................................................................................ 32 Definición 3 ............................................................................................................................................ 32 Definición 4 ............................................................................................................................................ 32 Definición 5 ............................................................................................................................................ 32 Definición 6 ............................................................................................................................................ 32. 2.

(3) Definición 7 ............................................................................................................................................ 32 Definición 8 ............................................................................................................................................ 32. 7. 6.4. Requerimientos No Funcionales ................................................................................... 33. 6.5. Metodología de Solución ............................................................................................... 33. Criterios de diseño ....................................................................................................... 34 7.1. Criterio Tradicional....................................................................................................... 34. 7.2. Criterio de I-Pia Wu (Tuberías en Serie) .................................................................... 34. 7.3. Criterio de Featherstone (Redes de Tuberías) ............................................................ 36. 7.1.1 7.1.2 7.2.1 7.2.2 7.3.1 7.3.2. 8. Ventajas del Criterio Tradicional.............................................................................................. 34 Desventajas del Criterio Tradicional ........................................................................................ 34. Ventajas del Criterio de Wu ..................................................................................................... 35 Desventajas del Criterio de Wu ................................................................................................ 36 Ventajas del Criterio de Featherstone....................................................................................... 37 Desventajas del Criterio de Featherstone.................................................................................. 37. Superficie Óptima de Presiones (SOP) ....................................................................... 38 8.1. Cálculo de Distancias..................................................................................................... 39. 8.2. Ecuaciones de caída de la LGH ideal ........................................................................... 40. 8.3. Ventajas del diseño basado en la determinación de la superficie óptima de presiones 48. 8.1.1 8.1.2 8.1.3 8.2.1 8.2.2 8.2.3 8.2.4 8.2.5 8.2.6. Distancia Euclidea 2D .............................................................................................................. 39 Distancia Euclidea 3D .............................................................................................................. 40 Distancia Topológica................................................................................................................ 40. Ecuación Lineal ........................................................................................................................ 42 Ecuación Cuadrática ................................................................................................................. 43 Ecuación de una catenaria ........................................................................................................ 44 Ecuación de un segmento elíptico ............................................................................................ 45 Ecuación de una campana Gaussiana ....................................................................................... 46 Ecuación Reciproca .................................................................................................................. 47. 8.4 Desventajas del diseño basado en la determinación de la superficie óptima de presiones ...................................................................................................................................... 48. 9. Programación por Restricciones................................................................................. 49 9.1. Principios de la Programación por Restricciones ....................................................... 50. 9.2. Ejemplo de PR “El problema de las N reinas”............................................................ 50. 9.3. Ventajas de la Programación por Restricciones ......................................................... 58. 9.4. Desventajas de la Programación por Restricciones .................................................... 58. 9.2.1 9.2.2. Restricciones del problema de las N Reinas ............................................................................. 51 Solución del problema de las N Reinas .................................................................................... 52. • Dado que la programación por restricciones guía la búsqueda de la solución, es posible que no encuentre el óptimo global............................................................................................. 58. 10. Algoritmos Genéticos............................................................................................... 59 10.1. Modificaciones al Algoritmo Genético Estándar ........................................................ 61. 10.1.1 10.1.2. Operador de Mutación ......................................................................................................... 61 Inclusión de modelo base..................................................................................................... 61. 3.

(4) 10.2. Ventajas del Algoritmo Genético.................................................................................. 61. 10.3. Desventajas del Algoritmo Genético ............................................................................ 61. 11. Enumeración Exhaustiva........................................................................................ 63 11.1. Método de Codificación................................................................................................. 63. 11.2. Ventajas de la Enumeración exhaustiva ...................................................................... 64. 11.3. Desventajas de la Enumeración exhaustiva................................................................. 64. 12. Esquema de solución ............................................................................................... 65 12.1. Montaje del sistema de solución ................................................................................... 65. 12.2. Ejemplo de diseño de Red ............................................................................................. 66. 12.3. Soluciones independientes............................................................................................. 67. 12.4. Soluciones cooperativas................................................................................................. 75. 12.3.1 12.3.2 12.3.3 12.3.4. Soluciones con Superficie Óptima de Presiones (SOP) ...................................................... 68 Soluciones con Programación por Restricciones (PR)......................................................... 69 Soluciones con Algoritmos Genéticos (AG)........................................................................ 71 Solución por Enumeración Exhaustiva ................................................................................ 73. 12.4.1 Superficie óptima de presiones y Programación por Restricciones (SOP-PR) .................... 76 12.4.2 Superficie Óptima de Presiones y Algoritmos Genéticos (SOP-AG) .................................. 77 12.4.3 Programación por restricciones y Algoritmos Genéticos (PR-AG) ..................................... 78 12.4.4 Algoritmos Genéticos y Programación por Restricciones (AG-PR).................................... 80 12.4.5 Superficie Óptima de Presiones, Programación por Restricciones y Algoritmos Genéticos (SOP-PR-AG) ......................................................................................................................................... 82 12.4.6 Superficie Óptima de Presiones, Algoritmos Genéticos y Algoritmo de Programación por Restricciones (SOP-AG-PR)................................................................................................................... 83 12.4.7 Solución recomendada (Diseño Rápido).............................................................................. 84. 13. Ejemplos ilustrativos................................................................................................ 85 13.1. Red 67 Tubos.................................................................................................................. 85. 13.1.1 13.1.2. 14. Red 67 Tubos topografía plana ............................................................................................ 87 Red 67 Tubos topografía...................................................................................................... 90. Ejemplos de la literatura ......................................................................................... 96 14.1. 15. Red de Hanoi .................................................................................................................. 96. Análisis de Resultados ........................................................................................... 105 15.1. Complejidad de los Algoritmos de Optimización Combinatoria............................. 105. 15.1.1 15.1.2 15.1.3. Complejidad de SOP (Superficie Óptima de Presiones) .................................................... 106 Complejidad de PR (Programación por Restricciones)...................................................... 107 Complejidad de AG (Algoritmos Genéticos)..................................................................... 108. 16. Conclusiones .......................................................................................................... 109. 17. Recomendaciones .................................................................................................. 112. 18. Referencias............................................................................................................. 113. 4.

(5) 1. Introducción. El agua se conduce desde las fuentes hasta los consumidores a través de tuberías que se conectan formando sistemas de distribución. Una red de distribución de agua potable está compuesta por elementos como tubos, tanques, embalses, bombas, válvulas, nodos, etc, los cuales son necesarios para llevar el agua desde las fuentes hasta los consumidores. Es de vital importancia realizar diseños que puedan garantizar la calidad del servicio al llevar el agua a cada nodo con una presión adecuada. Sin embargo, el problema de diseño de redes de distribución de agua potable es bastante complicado debido a la relación no lineal entre el flujo y las pérdidas de cabeza (carga) y a la presencia de variables discretas dado que los diámetros de las tuberías solo pueden tener valores discretos según la disponibilidad del mercado. Adicionalmente, la función de costos de las tuberías también tiene una relación no lineal con los diámetros. El objetivo del diseño de redes de distribución de agua potable consiste en determinar el tamaño de los diámetros de las tuberías de la red de tal manera que se puedan satisfacer las demandas con una presión adecuada. De hecho se ha demostrado que este problema es de complejidad NP-DURO (Yates et. al. 1984)1; lo cual quiere decir que es un problema intratable para el cual no se conoce ningún método determinístico para solucionarlo en un tiempo polinomial. El diseño de redes de distribución de agua potable de mínimo costo se puede ver como un problema de optimización combinatoria en donde las variables de decisión son los diámetros de cada una de las tuberías de la red. En esta investigación, se plantea realizar el diseño de redes de distribución de agua potable a través de varios métodos que se pueden usar independiente o conjuntamente para encontrar diseños factibles de bajo costo en un tiempo razonable. Los algoritmos propuestos son los siguientes: • Diseño basado en la superficie óptima de presiones • Programación por restricciones • Algoritmos genéticos.. 1. Referencia1 Yates, D.F., A.B. Templeman & T.B. Boffey (1984). “The computational complexity of the problem of determining least capital cost designs for water supply networks”. Engg. Optimization, 7(2), 142-155.. 5.

(6) La metodología propuesta consiste en ensamblar un sistema que pueda usar la salida de cada algoritmo para seguir mejorando los resultados. El proceso se puede continuar hasta encontrar resultados satisfactorios. El desarrollo de la metodología se implementó en el programa REDES (Villalba 2004)2 desarrollado en el Centro de Investigaciones y Acueductos – CIACUA de la Universidad de Los Andes y los resultados obtenidos en problemas conocidos en la literatura como el de la red de Hanoi se validaron en EPANET (Rossman 1993)3. El resto de este documento está organizado así: El capitulo 2 es la justificación de hacer este tipo de investigación, es decir por que es importante el desarrollo de metodologías para realizar el diseño de redes de distribución de agua potable. En el capítulo 3 están los objetivos de esta investigación. El capítulo 4 es una breve descripción de la hidráulica y las ecuaciones necesarias para la realización del análisis hidráulico de una red (simulación hidráulica). El capítulo 5 es una descripción informal del problema del diseño de redes de distribución de agua potable. En el capítulo 6 se hace una especificación más formal que en el capitulo anterior y se describen las restricciones a las que está sujeta la solución del problema. El capitulo 7 muestra los criterios de diseño más usados para resolver el problema, así como sus ventajas, desventajas y su forma de aplicación. Los capítulos 8, 9 y 10 describen los algoritmos usados en esta investigación para resolver el problema de diseño de redes de distribución de agua potable. El capítulo 11 muestra el método de enumeración exhaustiva, el cual se usa para validar el resultado de los algoritmos descritos en los capítulos 8, 9 y 10. El capítulo 12 describe como construir un sistema de diseño de redes de distribución de agua potable a partir de los resultados individuales de la aplicación de los algoritmos descritos en los capítulos 8, 9 y 10.. 2. Referencia3 Villalba , G.A. “REDES 2004: Manual del Usuario” (2004), Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados CIACUA, Universidad de Los Andes, Departamento de Ingeniería Civil. 3 Referencia 4 Rossman, L.A. “EPANET, Users Manual” (1993), Risk Reduction Engineering Laboratory, U.S. Environmental Protection Agency, Cincinnati, Ohio.. 6.

(7) El capitulo 13 ilustra con ejemplos el proceso de solución del problema de diseño con la metodología desarrollada en esta investigación. El capítulo 14 resuelve un problema conocido en la literatura como la red de Hanoi. Este ejemplo es muy importante porque permite comparar objetivamente los resultados de esta investigación con los obtenidos por otros investigadores. En el capítulo 15 están las conclusiones de esta investigación y en el capítulo 16 están algunas sugerencias para investigaciones posteriores. El capítulo 17 contiene las referencias bibliográficas más usadas para el desarrollo de esta investigación. En este documento se hace referencia a las mismas en el pie de página de algunas secciones.. 7.

(8) 2. Justificación. El diseño de redes de distribución de agua potable es un tema de gran interés debido a su importancia para la sociedad. Más aún, muchas de las redes de tuberías existentes han reducido notablemente su capacidad de transporte o simplemente no suministran la cantidad de agua necesaria o la presión es demasiado baja. Los costos asociados a la instalación, expansión y mantenimiento de los sistemas de distribución de agua son muy altos y representan una parte significativa del presupuesto de mantenimiento de las ciudades y municipios. En la actualidad, hay diversos métodos para realizar diseños de redes de distribución de agua potable. Muchos de ellos dependen en gran parte de la experiencia del diseñador en la implementación de técnicas empíricas para la selección de los diámetros de las tuberías. Esto resulta muchas veces en diseños que funcionan desde el punto de vista hidráulico. Sin embargo no son óptimos desde el punto de vista económico porque tienden a generar diámetros grandes con altas presiones, incrementando así los costos de las tuberías, sus accesorios y costos de mantenimiento causados por altas presiones que originan pérdidas de agua, así como daños en las líneas de conducción. Este problema es de vital importancia en países como Colombia en donde una buena parte de la población no cuenta con acueducto y sus recursos económicos son muy limitados. Un buen diseño puede ser la diferencia entre ejecutar un proyecto de construcción de acueducto y no hacerlo.. 8.

(9) 3 3.1. Objetivos Objetivos Generales. •. Analizar, diseñar e implementar una metodología que permita el diseño de redes de distribución de agua potable basado en una heurística para incluir criterios de optimización económicos e hidráulicos.. •. Establecer un marco de trabajo que permita incluir varias alternativas de solución al problema del diseño de acueductos.. •. Encontrar un algoritmo que permita encontrar una aproximación al diseño óptimo de redes de distribución de agua potable en un tiempo polinomial.. 3.2. Objetivos Específicos. •. Desarrollar un modelo de solución del problema del diseño de redes de distribución de agua potable.. •. Desarrollar una metodología de diseño con criterios de optimización hidráulica basados en la determinación de la superficie óptima de presiones.. •. Desarrollar una metodología de diseño con criterios de optimización combinatoria basados en la implementación de un algoritmo de programación por restricciones.. •. Extender la implementación de un algoritmo genético existente para mejorar su rendimiento y acelerar el proceso de convergencia de la solución.. •. Establecer un protocolo de comunicación entre los resultados generados por cada uno de los algoritmos empleados, permitiendo incluir soluciones existentes en problemas conocidos en la literatura.. •. Hacer una comparación objetiva de los resultados de esta investigación con las mejores soluciones propuestas por otros autores en investigaciones internacionales mediante ejemplos propuestos en la literatura.. 9.

(10) Hidráulica de Tuberías4. 4. Este capítulo describe brevemente los conceptos y ecuaciones hidráulicas necesarias para realizar una simulación hidráulica, teniendo en cuenta que durante el proceso de diseño de redes de distribución de agua potable es necesario realizar un gran número de simulaciones hidráulicas.. 4.1. El flujo y el fluido. Un fluido es una sustancia que no presenta resistencia al esfuerzo cortante, razón por la cual el fluido se deforma en presencia de éste. Tal es el caso del agua que se conduce en las redes de distribución.. 4.1.1. Tipos de flujo.. Los flujos se pueden clasificar respecto a su variación espacial en: •. Flujo uniforme: si la presión y la velocidad se mantienen constantes en la distribución espacial del flujo.. •. Flujo no uniforme: si dichas características varían de un punto a otro en el espacio.. Respecto a su variación el tiempo se pueden clasificar en: •. Flujo permanente: si la presión y la velocidad se mantienen constantes en el tiempo.. •. Flujo no permanente: si las características varían de un punto a otro en el tiempo.. Según esta clasificación: se pueden encontrar 4 tipos de flujo: •. Flujo uniforme permanente: si la presión y la velocidad se mantienen constantes en la distribución espacial del flujo y no varían en el tiempo.. •. Flujo no uniforme permanente: las características varían de un punto a otro en el espacio, pero permanecen constantes en el tiempo.. •. Flujo uniforme no permanente: si la presión y la velocidad se mantienen constantes en la distribución espacial del flujo y varían en el tiempo, este tipo de flujo no se presenta en la realidad debido a que una modificación en las 4. Para una explicación más completa revise la siguiente referencia: Saldarriaga, J.G. “Hidráulica de Tuberías” (1998). Editorial McGrawHill, Bogotá, Colombia.. 10.

(11) características del flujo implican un cambio instantáneo en todo el flujo, lo cual es imposible. •. Flujo no uniforme permanente, las características varían de un punto a otro en el espacio, y no permanecen constantes en el tiempo.. 4.1.2. Flujo en Redes de Acueducto. En el diseño de tuberías se usa el primer tipo de flujo (uniforme permanente), porque sus características no cambian en el espacio ni en el tiempo. Esto implica que el fluido no es acelerado y por lo tanto se encuentra en equilibrio dinámico. En las redes de distribución el flujo está a presión, por lo tanto existe un equilibrio entre las fuerzas de presión y gravitacionales, con las de fricción.. 4.2. El número de Reynolds. Se define el número de Reynolds como un factor adimensional que relaciona las fuerzas inerciales con las fuerzas viscosas. Para el caso de tuberías se define como: Re =. v⋅d. ν. Ecuación 4-1. donde: •. v es la velocidad media del flujo.. •. d es el diámetro de la tubería.. •. ν es la viscosidad cinemática del fluido.. Se ha encontrado que para Re < 2000 el flujo es laminar (el flujo se mueve en capas que se deslizan unas sobre otras), a medida que el Re aumenta el flujo se hace cada vez más turbulento. De acuerdo con lo anterior, el flujo dentro de conductos cerrados puede ser laminar o turbulento de acuerdo con el número de Reynolds. En el flujo laminar las fuerza viscosas son más importantes que las fuerzas inerciales, el flujo se desplaza en láminas que se deslizan unas sobre otras sin mezclarse. 11.

(12) En el flujo turbulento, las fuerzas inerciales, son más importantes que las fuerzas viscosas, las partículas del fluido se mezclan unas con otras con movimientos aleatorios. Este tipo de fluido es más general que el laminar en las redes de distribución debido a las características del fluido (agua) y a las velocidades que se presentan en los sistemas de distribución. Existen 3 tipos de flujo turbulento: •. Flujo turbulento Hidráulicamente liso.. •. Flujo turbulento Hidráulicamente rugoso.. •. Flujo en transición.. 4.3. Ecuaciones del cálculo de pérdidas por fricción. La ecuación más general que describe las pérdidas por fricción es la ecuación de Darcy-Weisbach:. hf = f ⋅. l v2 ⋅ Ecuación 4-2 d 2g. en donde f es el factor de fricción. Se sabe que para una tubería de sección circular v=. 4⋅Q Ecuación 4-3 π ⋅d2. Por lo tanto:. 4⋅Q l π ⋅d2 hf = f ⋅ ⋅ d 2g. 2. Ecuación 4-4. l Q2 Ecuación 4-5 hf = 8⋅ f ⋅ ⋅ 2 4 d π ⋅d ⋅ g De igual manera las pérdidas menores se pueden calcular de la siguiente manera:. hm = k m ⋅. v2 Ecuación 4-6 2g 12.

(13) 8 ⋅Q2 hm = k m ⋅ 2 4 π ⋅d ⋅ g. Ecuación 4-7. Para flujo laminar: f =. 64 Ecuación 4-8 Re. Para flujo turbulento: La ecuación más general para describir el factor de fricción es la de flujo transicional (Colebrook-White): ks 1 2.51 = −2 ⋅ log 10 + 3.7 d Re f f. Ecuación 4-9. Las anteriores ecuaciones permiten relacionar las pérdidas de energía específica (cabeza) por fricción con el caudal que viaja por una tubería, éste es el fundamento del análisis y diseño de redes de distribución.. 4.4. Redes cerradas. Una red de distribución cerrada es aquella en la cual las tuberías están ordenadas de tal forma que se cierran formando circuitos. En las redes existen dos tipos de ecuaciones:. 4.4.1. Ecuaciones de conservación de masa. Para cada nodo (unión) de la red hay una ecuación de conservación de masa (continuidad). La suma de los caudales que entran en el nodo es igual a la suma de los caudales que salen de él. jεi. Qij + Qi = 0 Ecuación 4-10. Para i =1,...,n y j es un nodo vecino de i. donde : Qij = caudal que va del nudo j al i. Qi= caudal que entra o sale al nudo. (consumo o alimentación).. 13.

(14) 4.4.2. Ecuaciones de conservación de energía. Relacionan las pérdidas por fricción con el caudal que pasa por ese tubo, para cada tubo hay una ecuación de conservación de energía. Al usar la metodología físicamente basada y comprobada experimentalmente de Darcy-Weisbach en conjunto con la ecuación de Colebrook-White, se pueden usar las siguientes ecuaciones:. h f ij =. 8 f ij ⋅ lij. π g ⋅ d ij 2. 2. Qij Ecuación 4-11. 5. 2. h f ij = aij ⋅ Qij Ecuación 4-12. donde aij es una constante de la tubería ij.. a ij =. 8 f ij ⋅ l ij. π 2 g ⋅ d ij 5. Ecuación 4-13. El uso de estas ecuaciones conduce a un sistema de ecuaciones no lineales que puede ser resuelto por algún método iterativo. Uno de los mejores métodos es el del gradiente, el cual es usado por el programa “REDES” para el análisis y por lo tanto para el diseño de las redes.. 4.5. Método del Gradiente. Una simulación hidráulica implica el cálculo de los caudales en cada una de las tuberías de la red y las presiones en cada uno de los nodos, para lo cual hay que resolver un sistema de ecuaciones no-lineales que puede ser resuelto por algún método iterativo. El análisis de una red de tuberías se puede resolver como un sistema de N ecuaciones simultaneas altamente no lineales, con N incógnitas, (N puede ser el número de nodos o el número de tubos según el planteamiento del problema.) pero en los casos prácticos el sistema tiene un número tan elevado de incógnitas que se han desarrollado metodologías especificas para resolver este problema, el más exitoso es el método del gradiente5. 5. Saldarriaga, J.G. “Hidráulica de Tuberías” (1998). Editorial McGrawHill, Bogotá, Colombia.. 14.

(15) A continuación se realizan algunas definiciones: Forma general de la ecuación de resistencia:. h f = αQ n + β Q + γ Ecuación 4-14 Forma general de la ecuación de resistencia. donde. n. :. α,β,γ :. Exponente que depende de la ecuación de fricción utilizada (2.0 para el caso de Darcy - Weisbach) Parámetros característicos del tubo, la válvula y las bombas. NT. :. Número de tuberías de la red. NN. :. Número de nodos con cabeza piezométrica desconocida. [A12] : “Matriz de conectividad” asociada a cada uno de los nodos de la red. Su dimensión es NT X NN con sólo dos elementos diferentes de cero en cualquier fila. Se pone -1 en la columna correspondiente al nodo inicial del tramo i y 1 en la columna correspondiente al nodo final del tramo i NS. :. Número de nodos de cabeza fija o conocida. [A10] : Matriz topológica tramo a nodo para los NS nodos de cabeza fija. Su dimensión es NT X NS con un valor igual a -1 en las filas correspondientes a los tramos conectados a nodos de cabeza fija [Q]. :. Vector columna de los caudales en los tubos. [H]. :. Vector columna de las cabezas en los nodos. [Ho]. :. Vector columna de las cabezas en las fuentes. [A11] : Matriz diagonal de NT X NT. En cada i-ésimo valor en la diagonal, tiene la Ecuación 4-14 para el tubo i, dividida entre Q.. 15.

(16) α 1Q1n1−1 + β1 +. [A11 ] =. 0. γ1 Q1. 0. 0. 0. ⋅⋅⋅. 0. 0. α NT Q NT nNT −1 + β NT +. γ NT Q NT. Ecuación 4-15 [A11]. •. [A21]. :. Matriz transpuesta de [A12]. •. [q]. :. Vector de consumo (demanda) o de entrada (oferta) en cada nodo de la red, con dimensión NN X 1. •. [N]. :. Matriz diagonal n1,n2….nNT, con dimensión NT X NT. •. [A11]’. :. Matriz con dimensión NT X NT. En cada i-ésimo valor en la diagonal, tiene el primer término de la Ecuación 4-14 para el tubo i, dividido entre Q. [A11 ]′ =. α 1Q1 n1−1 0 0. 0 0 ⋅⋅⋅ 0 nNT −1 0 α NT Q NT. Ecuación 4-16 [A11]’. [A11][Q] da un vector columna con la energía consumida en cada tubo [A12][H] da un vector columna de la resta de la energía en el nodo final menos la energía en el nodo inicial de los tubos [A11][Q] + [A12][H] da para cada tubo la diferencia D. Este valor debe ser igual a cero para los tubos que no están conectados a las fuentes. Debe ser la cabeza estática de la fuente para tubos conectados a fuentes, multiplicada por -1. [A10][Ho] da para todos los tubos, la cabeza de la fuente que tienen conectada. Si el tubo no está conectado a una fuente, el valor es cero. Entonces, la ecuación de conservación de energía en forma matricial se puede escribir de la siguiente manera:. 16.

(17) [A11][Q] + [A12][H] = -[A10][Ho] Ecuación 4-17 Forma matricial de la ecuación de conservación de energía. [A21][Q] da para cada nodo, la suma de caudales que entran y salen. Debe ser 0 para caudales sin demanda y el valor demandado para los que lo tienen. La ecuación de conservación de masa en forma matricial se puede de la siguiente manera: [A21][Q] = [q] Ecuación 4-18 Forma matricial de la ecuación de conservación de masa. La Ecuación 4-17 y la Ecuación 4-18 se pueden escribir en forma matricial de la siguiente manera:. [A11 ] [A12 ] [Q] [A21 ] [0] [H ]. =. − [ A10 ][H 0 ]. [q ]. Ecuación 4-19 Ecuaciones de conservación compactas. El método del gradiente consiste en utilizar una expansión truncada de Taylor para resolver la Ecuación 4-19, ya que su parte superior en no lineal. Al aplicar simultáneamente el operador gradiente sobre las ecuaciones de masa y de energía, se obtiene la Ecuación 4-20.. [N ][A11 ]′ [A12 ] [dQ ] [A21 ] [0] [dH ]. =. dE dq. Ecuación 4-20 Derivada. Para cada iteración, el error en la energía actual para cada tubo está representado por [dE]. El error en el caudal para cada nodo está representado por [dq]. [dE] se puede obtener de la Ecuación 4-17 de donde, [dE] se hace 0 solo si la energía final más la gastada en el tubo se hace igual a la final. [dE] = [A11][Qi] + [A12][Hi] + [A10][Ho] Ecuación 4-21 Error en la energía en los tubos. [dq] se puede obtener de la Ecuación 4-18 de donde, [dq] se hace 0 solo si la suma de caudales que entran o salen al nodo es igual a la demanda.. 17.

(18) [dq] = [A21][Q] - [q] Ecuación 4-22 Error en la masa en los nodos. Entre iteraciones sucesivas:. [dQ] = [Qi+1] - [Qi] [Qi+1] = [Qi] + [dQ]. Ecuación 4-23 Caudales en siguiente iteración. [dH] = [Hi+1] - [Hi] [Hi+1] = [Hi] + [dH] Ecuación 4-24 Cabezas en siguiente iteración. Entonces, con la Ecuación 4-23 y la Ecuación 4-24 se pueden encontrar las cabezas y caudales para cualquier iteración, a partir de los valores de la iteración anterior (o los supuestos, en caso de ser la primera iteración) y de la corrección generada por cada iteración ([dQ] y [dH]). Esta corrección se obtiene de la Ecuación 4-20 al despejar [[dQ] [dH]]:. [dQ] [dH ]. =. ′. [N ][A11 ] [A12 ] [A21 ] [0]. −1. dE dq. Donde [dE] se obtiene de la Ecuación 4-21 y [dQ] se obtiene de la Ecuación 4-22. El sistema que se desea resolver se convierte en:. [dQ] [dH ]. =. ′. [N ][A11 ] [A12 ] [A21 ] [0]. −1. [[A11][Qi] + [A12][Hi] + [A10][Ho]] [[A21][Qi] − [q ]]. Ecuación 4-25 Sistema para encontrar las correcciones en caudal y energía para la siguiente iteración. Reemplazando la solución de la Ecuación 4-25 en la Ecuación 4-23 y en la Ecuación 4-24, se llega a: [Hi+1] = {[A21]([N][A11]’)-1[A12]}-1 {[A21]([N][A11]’)-1 ([A11][Qi] + [A10][Ho]) – ([A21][Qi] – [q] ) } [Qi+1] = {[1] – ([N-1][A11]’) – [A11]}[Qi] – {([N][A11]’)-1 ([A12][Hi+1] + [A10][Ho])}. 18.

(19) 4.6. Software de Simulación Hidráulica. Esta sección contiene una breve descripción de los paquetes computacionales usados para la ejecución de las simulaciones hidráulicas necesarias para realizar el diseño de una red de distribución de agua potable.. 4.6.1. REDES 2004. El programa REDES 20046 es un software de simulación hidráulica estática y en periodo extendido y de calidad del agua, además cuenta con métodos de calibración. El resultado de esta investigación es la implementación del módulo de diseño que integra los 3 algoritmos desarrollados. El programa REDES se ha venido desarrollando en el Centro de Investigaciones y Alcantarillados de la Universidad de Los Andes – CIACUA por más de 15 años bajo la dirección del ingeniero Juan Saldarriaga. Entre los años 2002-2004 el desarrollo ha estado a cargo del autor de esta investigación.. Gráfica 4-1 Ventana principal del programa REDES 2004 6. Referencia 3 Villalba , G.A. “REDES 2004: Manual del Usuario” (2004), Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados CIACUA, Universidad de Los Andes, Departamento de Ingeniería Civil.. 19.

(20) Gráfica 4-2 Ventana de visualización se superficies 3D del programa REDES 2004. 4.6.2. EPANET 2. El programa EPANET 27 es un software de simulación hidráulica ampliamente usado en todo el mundo. Este programa se ha convertido en un estándar y por eso se ha usado en esta investigación con el fin de establecer una comparación objetiva entre los resultados obtenidos en esta y en otras investigaciones. EPANET ha sido desarrollado por Rossman en la agencia de protección ambiental de los Estados Unidos (Environmental Protection Agency –EPA).. 7. 4 Rossman, L.A. “EPANET, Users Manual” (1993), Risk Reduction Engineering Laboratory, U.S. Environmental Protection Agency, Cincinnati, Ohio.. 20.

(21) Gráfica 4-3 Ventana principal de EPANET 2. 21.

(22) 5. Diseño de Acueductos. A diferencia del análisis de una red de tuberías, al realizar el diseño de la red, no se conocen los diámetros de cada una de las tuberías de la red. El problema de diseñar redes de distribución de agua potable consiste en determinar el diámetro que debe tener cada una de las tuberías de una red de distribución de agua potable, de tal manera que se satisfagan ciertas restricciones (presión mínima en los nodos, calidad del agua en las tuberías, satisfacción de las demandas en los nodos, etc), es un problema combinatorio, dado que cada uno de los diámetros de las tuberías representan una variable que puede tomar un valor discreto basada en un conjunto de diámetros comerciales. Cada vez que se tenga una hipótesis de diámetros hay que realizar un análisis de la red para probar que se cumplen las restricciones. Hay muchas combinaciones de diámetros que cumplen con las restricciones, entonces el problema de optimización consiste en encontrar una combinación que satisface las restricciones optimizando múltiples criterios. Los criterios más importantes son los siguientes: 1. Minimizar los costos constructivos. 2. Minimizar las fugas de agua (minimizar el costo asociado al agua que se fuga en un periodo de tiempo). 3. Maximizar la calidad del agua en la red (minimizar el tiempo de retención del agua en la tuberías). Una base de diámetros comerciales común es la siguiente (en pulgadas): Base de Diámetros Índice Diámetro Índice Diámetro Pulgadas Pulgadas 1 2 11 18 2 2.5 12 20 3 3 13 24 4 4 14 30 5 6 15 36 6 8 16 42 7 10 17 48 8 12 18 60 9 14 19 72 10 16 Tabla 5-1 Ejemplo de Base de Diámetros. 22.

(23) Esta base tiene 19 diámetros posibles. Una red normal puede tener cientos o miles de tuberías, por eso el problema puede ser demasiado engorroso dada la cantidad de posibilidades, además para cada combinación de diámetros hay que correr la hidráulica de la red (análisis de la red), este problema es relativamente complejo y para redes grandes una sola corrida puede tomar un tiempo considerable. A continuación se presenta un ejemplo que ilustra la imposibilidad de resolver este problema por fuerza bruta.. 5.1. Ejemplo de diseño por fuerza bruta. Una red de tuberías conecta un embalse con 6 nodos de consumo, la red esta compuesta por 7 tuberías.. Gráfica 5-1 - Ejemplo de Red de Distribución (7 Tuberías). Para diseñar esta red con la base de diámetros comerciales vista anteriormente se requiere probar 197 combinaciones, lo que son aproximadamente 894 millones de posibilidades con igual número de simulaciones hidráulicas, si el algoritmo8 se demora 16 milisegundos en correr la hidráulica una vez, tomaría más de 165 días de computo continuo, lo cual ilustra la necesidad de emplear algún método para obtener una solución óptima o cercana al óptimo.. 5.2. Definiciones. A continuación se hacen algunas definiciones necesarias para la comprensión del problema. •. Nodo: Un punto en el espacio en donde se ejerce la demanda de agua (Volumen/Tiempo).. •. Embalse: Un punto en el espacio capaz de suministrar una cantidad infinita de agua con una cabeza hidráulica constante conocida (Línea de Gradiente Hidráulico constante). 8. Con el programa “Redes 2003” desarrollado en la Universidad de los Andes.. 23.

(24) •. Tubo: Elemento físico que sirve de unión entre los nodos y los embalses.. •. Red: Conjunto formado por nodos y embalses unidos por los tubos correspondientes.. 5.3. Descripción. El diseño de una red de distribución de agua potable consiste en determinar el diámetro que debe tener cada una de las tuberías que componen la red de manera que sea posible llevar el agua desde las fuentes hasta cada nodo de la red manteniendo una presión por encima de una presión mínima que se determina según las normas técnicas o el criterio del diseñador. Para diseñar una red es necesario conocer las coordenadas X, Y y Z de cada uno de los nodos, así como el caudal demandado en cada uno de ellos, la LGH (línea de gradiente hidráulico) de cada una de las fuentes de la red, la conectividad entre los nodos de la red (a través de tubos) y las características físicas de las tuberías (longitud, rugosidad, coeficiente de pérdidas menores, etc). Este problema se ha resuelto tradicionalmente por ensayo y error orientado por la experiencia del diseñador. De esta manera, es posible encontrar una solución factible al problema; sin embargo, este método no tiene ningún criterio de optimización económico, lo cual lleva a diseños funcionales desde el punto de vista hidráulico pero con unos costos bastante elevados. Una red de distribución de agua potable está compuesta por una serie de elementos físicos como nodos y embalses que están conectados entre si mediante tuberías, a través de las cuales fluye determinado caudal de agua. Cada nodo tiene un caudal demandado asociado, el cual determina el caudal que fluye por cada tubería; la magnitud y el sentido del flujo en conjunto con las características físicas de las tuberías determinan la caída de la línea de energía del agua LGH (línea de gradiente hidráulico) entre la fuente y cada uno de los nodos.. 24.

(25) 5.4. Variables de entrada de una simulación hidráulica. A continuación se muestra una tabla con las variables necesarias para el cálculo de una simulación hidráulica. Tipo. Nombre X Y Z. Nodos. Demanda X Y Z. Fuentes. Rugosidad. Elevación de la línea piezométrica del agua. Identificador de la unión (nodo o fuente) inicial del tubo. Identificador de la unión (nodo o fuente) final del tubo. Longitud del tubo. Diámetro interno real del tubo. Rugosidad de la pared interna del tubo.. Coeficiente de pérdidas menores. Suma de los coeficientes de pérdidas menores en el tubo.. LGH Unión Inicial Unión Final Longitud Diámetro. Tubos. Variables de Entrada Descripción Coordenada X del nodo Coordenada Y del nodo Coordenada Z del nodo (Elevación) Caudal demandado en ese nodo. Coordenada X de la fuente Coordenada Y de la fuente Coordenada Z de la fuente (Elevación). Dimensión Longitud Longitud Longitud 3. Longitud /Tiempo Longitud Longitud Longitud Longitud Adimensional Adimensional Longitud Longitud Longitud Adimensional. Tabla 5-2 Variables de Entrada en una Simulación Hidráulica. 25.

(26) 5.5. Variables de salida de una simulación hidráulica. Las variables calculadas en una simulación hidráulica se muestran en la siguiente tabla. Tipo. Nombre. Nodos. LGH 9 Presión. Fuentes Demanda Caudal Velocidad. Tubos. Pérdidas Totales. Variables de Salida Descripción Línea de Gradiente Hidráulico del Nodo Presión en el nodo. Suma se los Caudales demandados en esa fuente. Caudal que fluye en ese tubo. Velocidad del flujo en el tubo. Perdidas de energía producto de la fricción entre el flujo y la pared de la tubería más las perdidas menores.. Dimensión Longitud 2 Masa/(Longitud*Tiempo ) 3. Longitud /Tiempo 3 Longitud /Tiempo Longitud. Longitud. Tabla 5-3 Variables de Salida de una Simulación Hidráulica. 9. Normalmente esta variable se da en MCA (Metros Cabeza de Agua). 26.

(27) 5.6 Variables de Entrada del diseño de redes de distribución de agua potable A continuación se muestra una tabla con las variables necesarias para el diseño de una red de distribución de agua potable. Se resaltan las variables propias del proceso de diseño. Variables de Entrada Tipo. Nombre X Y. Rugosidad. Descripción Coordenada X del nodo Coordenada Y del nodo Coordenada Z del nodo (Elevación) Presión mínima de diseño. Caudal demandado en ese nodo. Coordenada X de la fuente Coordenada Y de la fuente Coordenada Z de la fuente (Elevación) Elevación de la línea piezométrica del agua. Identificador de la unión (nodo o fuente) inicial del tubo. Identificador de la unión (nodo o fuente) final del tubo. Longitud del tubo. Lista de los diámetros comerciales disponibles. Rugosidad de la pared interna del tubo.. Coeficiente de pérdidas menores. Suma de los coeficientes de pérdidas menores en el tubo. Adimensional. Z Pmin Nodos. Demanda X Y Z. Fuentes LGH Unión Inicial Unión Final Longitud Diámetros Disponibles. Tubos. Dimensión Longitud Longitud Longitud Masa/(Longitud*Tiempo2) Longitud3/Tiempo Longitud Longitud Longitud Longitud Adimensional Adimensional Longitud. Longitud. Tabla 5-4 Variables de Entrada en el diseño de una red de distribución de agua potable. 27.

(28) 5.7 Variables de Salida del diseño de redes de distribución de agua potable Las variables calculadas en el diseño de una red de distribución de agua potable es el diámetro de cada una de las tuberías de la red, para lo cual se deben hacer varias simulaciones hidráulicas. Tipo. Nodos Fuentes. Nombre LGH Presión Demanda Caudal Velocidad. Pérdidas Totales Tubos. Diámetro. Variables de Salida Descripción Dimensión Línea de Gradiente Hidráulico del Nodo Longitud 2 Presión en el nodo. Masa/(Longitud*Tiempo ) Suma se los Caudales demandados en esa 3 fuente. Longitud /Tiempo Caudal que fluye en este 3 tubo. Longitud /Tiempo Velocidad del flujo en el tubo. Longitud Perdidas de energía producto de la fricción entre el flujo y la pared de la tubería más las perdidas menores. Longitud El diámetro interno real de la tubería. Longitud. Tabla 5-5 Variables de Salida en el diseño de una red de distribución de agua potable. 28.

(29) 6 6.1. Modelo del problema Especificación del problema. El diseño de redes de distribución de agua potable se puede modelar como problema de optimización combinatoria en donde las variables de decisión son los diámetros de cada una de las tuberías de la red. El problema consiste en determinar un conjunto de diámetros tal que se minimice una función de costo sujeta a restricciones hidráulicas, comerciales, etc. Se puede especificar de la siguiente manera: Se quiere minimizar la función de costos:. C=. Nt i =1. K ⋅ Li ⋅ Di. x. Ecuación 6-1. donde C es el costo total asociado al valor comercial de las tuberías, Nt es el número de tubos de la red, Li es la longitud de la i-ésimo tubo de la red, K y x son parámetros que se determinan por regresión según la tabla de costos de determinado fabricante en función del diámetro, Di es el diámetro del i-ésimo tubo de la red. Los parámetros K y x no tienen un significado físico relevante, son solamente valores que relacionan el costo con los parámetros físicos longitud y diámetro del tubo. La Ecuación 6-1 se encuentra sujeta a algunas restricciones que se describen a continuación.. 6.2. Restricciones del problema. El problema de diseño de redes de distribución de agua potable está sujeto a una serie de restricciones que debe cumplir la solución del mismo para que se considere válida. Además el proceso de solución debe poder encontrar soluciones cercanas a la mejor solución en un tiempo razonable. Las restricciones son las siguientes:. 6.2.1 •. Restricciones Hidráulicas Conservación de Masa El caudal que entra en un nodo menos el caudal que sale de él debe ser igual al caudal demandado en ese nodo:. 29.

(30) Ntj i =1. Qij = q j Ecuación 6-2. en donde Ntj es el número de tubos conectados al nodo j, Qij es el caudal en el tubo que va de la unión i a la unión j (incluye el signo),qj es el caudal demandado en el j-ésimo nodo de la red, para j que pertenece al intervalo [1,Nn] en donde Nn es el número de nodos de la red. •. Conservación de Energía La suma de las pérdidas de energía en cualquier circuito debe ser igual a cero o a la energía suministrada por una bomba si hay alguna: Nc i =1. hf i + hmi = Ebomb i Ecuación 6-3. en donde Nc es el número de circuitos en la red, i es el i-ésimo circuito de la red, hfi es la suma de la pérdida de energía debida a la fricción del agua con las paredes de los tubos del i-ésimo circuito, hmi son la pérdidas menores de energía producida por elementos en los tubos (codos, etc) en el i-ésimo circuito, Ebombi es la energía suministrada por las bombas en ese circuito (normalmente no hay bombas y este valor es cero). •. La presión en cada nodo debe ser mayor a un valor dado. (Variable de entrada). Cada uno de los nodos de la red debe tener una presión superior a una presión mínima dada: Min( Pi ) >= Pmin Ecuación 6-4. donde Pi es la presión en el i-ésimo nodo de la red, i pertenece al intervalo [1,Nn], donde Nn es el número de nodos de la red, Pmin es un parámetro de diseñó que es conocido.. 6.2.2. Restricciones Comerciales. Los diámetros solo pueden tomar valores discretos dados por la disponibilidad de diámetros de cada fabricante de tuberías. Se puede expresar de la siguiente manera: Di ∈ CDcom Ecuación 6-5. i pertenece al intervalo [1, Nt], donde Nt es el número de tubos de la red. Di es el diámetro del i-ésimo tubo. CDcom es el conjunto de los diámetros comerciales disponibles para determinado fabricante de tuberías.. 30.

(31) Se ha demostrado que la solución de este problema con todas estas restricciones es un problema NP-DURO (Yates et. al. 1984). Las restricciones hidráulicas de conservación de masa y de conservación de energía, pueden ser manejadas por un motor de cálculo hidráulico (como el programa REDES o EPANET). La restricción de presión mínima depende del conjunto de diámetros que se está probando. La restricción comercial se maneja al permitir únicamente que los resultados del método sean los diámetros comerciales que son parámetros de entrada (es posible trabajar con valores continuos en algunas etapas del proceso de diseño, pero los resultados finales son diámetros comerciales que pertenecen al conjunto de los que se especificaran como parámetros de entrada).. 6.3. Complejidad del Problema. Se ha gastado una cantidad considerable de esfuerzo en la solución de problemas de diseño de redes de distribución de agua potable con variables discretas y se han sugerido varias formas de abordar el problema. Estas formas se pueden clasificar en 2 clases: C1 y C2. La clase C1 está compuesta de aquellas aproximaciones en las cuales se reduce el problema a la solución de una secuencia de problemas de programación lineal10. La reducción se hace asumiendo que la sección de un tubo entre 2 nodos adyacentes esta hecha de N sub-secciones, con la j-ésima sub-sección teniendo el más grande de los N diámetros comerciales. La clase C2 contiene las aproximaciones que asumen que la sección entre 2 nodos adyacentes es uniforme, es decir solo tiene 1 diámetro. El desarrollo de la solución de esta investigación pertenece a la clase C2, pues es la forma natural de modelar el problema sin tener que dividir el tubo en secciones ficticias que no representan la naturaleza del mismo. Los problemas que pertenecen a la clase C2 no pueden ser solucionados exactamente por ningún método conocido (exceptuando la enumeración exhaustiva o fuerza bruta). A continuación se harán algunas definiciones para precisar la dimensión del problema (usadas por Horowitz y Sahni11).. 10. En la Referencia 1 (Yates, D.F., A.B. Templeman & T.B. Boffey (1984). “The computational complexity of the problem of determining least capital cost designs for water supply networks”. Engg. Optimization, 7(2), 142-155.) se hace referencia a los trabajos de Alperovits y Shamir, Kally. 11 Referencia 2 Horowitz E., Sahni S.j. "Fundamentals of computer Algorithms". Computer Science Press. (1978).. 31.

(32) 6.3.1. Definiciones. Definición 1 Un algoritmo determinístico es aquel en el cual cada operación esta únicamente definida. Definición 2 Un algoritmo no-determinístico es aquel en el cual cada operación no está únicamente definida, pero es una de un conjunto de posibilidades. {Esto implica que el algoritmo debe escoger una salida para ciertas operaciones. Sin embargo, se puede considerar que el algoritmo evalúa todas las posibles salidas y escoge una correcta, si esta existe}. Definición 3 Un problema de decisión es un problema para el cual hay una o dos posibles soluciones correspondientes a los valores “falso” o “verdadero”. Definición 4 Un algoritmo de tiempo polinomial es aquel cuyo tiempo de ejecución (el número de operaciones de bits elementales hechas en una cadena de entrada de longitud N) está acotado por algún polinomio p(N). La clase de problemas de decisión que se pueden resolver por estos algoritmos se denota por P. Definición 5 NP es definido como la clase de problemas de decisión que pueden ser resueltos por un algoritmo no-determinístico en un tiempo polinomial. Definición 6 Un problema L1 se reduce a otro problema L2, o L1 ∝ L2 , si y solo si cualquier instancia de L1 se puede resolver por un algoritmo determinístico para resolver L2 en un tiempo polinomial. Esta definición implica que si se tiene un algoritmo polinomial para resolver L2 entonces se puede solucionar L1 en un tiempo polinomial. Definición 7 Se dice que un problema es NP-duro (NP-hard) si cada problema en NP se reduce a él; es NP-completo si también cae en NP. Definición 8 Se dice que un algoritmo soluciona un problema si, cuando es aplicado a cualquier instancia del problema, el algoritmo siempre garantiza producir una solución para esa instancia. Si para un problema particular existe un algoritmo polinomial para resolverlo, entonces ese problema se considera bien resuelto, en caso contrario el problema se considera intratable. 32.

(33) Como cualquier problema NP-duro puede considerarse al menos tan difícil de resolver que cualquier problema NP, establecer la intratabilidad de un solo problema NP-completo implicaría que todos los problemas NP-duros son intratables. Se ha demostrado que el problema del diseño de redes de distribución de agua potable de costo mínimo con una aproximación de la clase C2 es un problema NPduro (Yates et al 1984) razón por la cual es importante el estudio de alternativas de solución con métodos aproximados, pues la solución exacta requiere de un tiempo no acotado por ningún algoritmo de complejidad polinómica.. 6.4. Requerimientos No Funcionales. •. El método de solución debe ser capaz de encontrar una “buena” solución para una amplia variedad de topologías, demandas en los nodos, topografías, etc.. •. El método de solución debe ser capaz de encontrar una “buena” solución en un tiempo “razonable” según el tamaño de la red, es decir, el algoritmo debe tener un complejidad polinómica, no mayor a O(n3).. 6.5. Metodología de Solución. Los investigadores han abordado el problema de diseño óptimo de redes de distribución de agua potable con diferentes métodos como programación lineal, programación no lineal, programación dinámica y programación entera. En esta investigación la solución propuesta esta basada en 3 algoritmos que se explican en los siguientes capítulos. La solución se implementó como el módulo de diseño del programa REDES 2004 desarrollado en el Centro de Investigaciones en Acueductos y Alcantarillados de la Universidad de Los Andes – CIACUA.. 33.

(34) 7. Criterios de diseño. Este capítulo describe brevemente algunos de los criterios de diseño más importantes.. 7.1. Criterio Tradicional. Este criterio se refiere a lo que ha sido la práctica más común del diseño de redes de distribución de agua potable. Realmente no tiene ninguna función objetivo y depende enteramente del criterio subjetivo del diseñador, es decir el diseño se basa en el pre-dimensionamiento de las tuberías de la red y luego se procede a aumentar o disminuir los diámetros de tal manera que se cumplan las presiones en los nodos, lo cual se verifica haciendo una simulación hidráulica con ayuda de algún programa como “Redes” o “Epanet”.. 7.1.1. Ventajas del Criterio Tradicional. • No requiere que el diseñador tenga entrenamiento especial en técnicas de optimización.. 7.1.2. Desventajas del Criterio Tradicional. • No tiene ningún criterio de optimización económica. • El comportamiento hidráulico puede cumplir con unos requisitos mínimos de operación pero no hay un criterio de optimización hidráulica. • Es un proceso muy dispendioso que depende únicamente del criterio y la experiencia de la persona que diseña. • No es un método objetivo. • No se puede hacer un seguimiento del proceso. • El uso del software se limita a la simulación hidráulica, pero no usa una herramienta especializada en el diseño.. 7.2. Criterio de I-Pia Wu (Tuberías en Serie). En el año de 1974, el investigador chino I-Pia Wu12, estableció que el diseño óptimo desde el punto de vista de los costos de una tubería en serie con caudales laterales en los nodos se obtenía cuando la línea de gradiente hidráulico hace parte de una curva cóncava formada por tramos rectos, con una flecha del 15% de la cabeza total, pero la diferencia entre esa curva y la línea recta es de tan solo un 12. Wu. I-pai, “Design of Drip irrigation Lines,”(1975). Journal of the irrigation and Drainage Division,, Vol. 101, No IR4, December 1975. ASCE... 34.

(35) 2%, por lo tanto ésta se puede tomar como función objetivo en el diseño de tuberías en serie. Gráficamente el criterio es el siguiente:. Este criterio establece la LGH (línea de gradiente hidráulico) objetivo y luego se determinan los diámetros como en el diseño de una tubería simple, dado que se conoce la diferencia de LGH entre el nodo inicial y el nodo final y eso determina las pérdidas de energía que debe haber en cada tubería. En una tubería en serie es posible determinar con exactitud el caudal que va por cada tubo. Si los diámetros son valores continuos es posible obtener una respuesta casi perfecta, sin embargo hay que aproximar los diámetros a un diámetro comercial disponible, pero esto se logra fácilmente mediante un proceso iterativo que asigna los diámetros en orden según su cercanía a la fuente y va calculando la hidráulica en cada iteración para garantizar que las presiones en todos los nodos son superiores a la presión mínima establecida.. 7.2.1. Ventajas del Criterio de Wu. • Es un criterio de optimización global que ha demostrado su efectividad en el diseño de tuberías en serie. • Es fácil de programar. • Puede ser implementado por un algoritmo de tiempo polinomial no mayor a n2.. 35.

(36) 7.2.2. Desventajas del Criterio de Wu. • Está limitado al diseño de tuberías en serie y no fue pensado para el problema del diseño de redes de distribución de agua potable.. Criterio de Featherstone13 (Redes de Tuberías). 7.3. El criterio de Featherstone es una extensión del criterio de Wu, el cual propone que para una red de distribución las cabezas piezométricas (LGH) hacen parte de un plano general, cuyo punto más alto es el tanque o estación de bombeo y el punto más bajo es el nodo más alejado del tanque. A. B. hb ha. h1. Líneas de gradiente hidráulico. hc D. Qsb Qsa. Qsc. b. a. Qe1. C. h2. hd d. 1. Qsd. Hmin 3. Qs3 2. Qs2 Gráfica 7-1 Criterio de Featherstone. Los planos ABC y ABD deben formar parte de un mismo plano general. Las líneas punteadas representan las alturas piezométricas de cada uno de los nodos de la red. El punto 3 representa el nodo más alejado y, por consiguiente el de cabeza piezométrica mínima (LGH). El punto 1 representa el tanque de abastecimiento de agua.. 13. Saldarriaga, J.G. “Hidráulica de Tuberías” (1998). Editorial McGrawHill, Bogotá, Colombia.. 36.

(37) 7.3.1 • • • • •. Ventajas del Criterio de Featherstone. Sirve para el diseño de redes de distribución de agua potable. Se puede programar fácilmente. Puede ser implementado por un algoritmo de tiempo polinomial no mayor a n2. Funciona bien en redes planas. Funciona bien en redes cuadriculadas.. 7.3.2. Desventajas del Criterio de Featherstone. • No funciona muy bien en redes con topografía. • No funciona muy bien en redes con topologías complejas. • Lo anterior implica que en la práctica no se obtienen buenos diseños cuando se diseñan redes reales.. 37.

(38) 8. Superficie Óptima de Presiones (SOP). Este método es fruto de esta investigación, la idea es hacer una extensión de los criterios de Wu y Featherstone que permita el diseño optimizado de redes de distribución de agua potable sin importar la complejidad de la topología de la red ni las características topográficas de la misma. Este método consiste en el cálculo de la LGH (LGH ideal) que debería tener cada uno de los nodos de la red para que los diámetros resultantes de las tuberías tengan un costo cercano al mínimo. Este criterio es similar al criterio de Wu (Wu 1975) para tuberías en serie, pero aplicado al diseño de redes de distribución de agua potable al igual que el criterio de Featherstone, pero pensado en servir para cualquier topología y/o topografía. Para calcular esta superficie de LGH es necesario definir la presión mínima requerida en los nodos y una ecuación que modele la caída de la LGH ideal. Se ha encontrado que aplicando una ecuación cuadrática análoga a la usada en el criterio de Wu se pueden obtener buenos resultados, aunque con el propósito de mantener la generalidad del método, la ecuación se ha parametrizado para permitir cambiarla en ejecución de acuerdo a las características propias de cada red. Una vez se tiene la LGH objetivo en cada uno de los nodos de la red se procede a hacer el diseño de cada uno de los tubos de la red como una tubería simple con los caudales obtenidos en una iteración anterior; esto da una mejor aproximación al caudal que debe ir por cada tubería. Este procedimiento se repite hasta que la LGH obtenida sea muy similar a la LGH ideal. Esto daría un diseño casi perfecto si los diámetros fueran continuos, pero en realidad son números discretos y finitos, lo cual hace que se tenga que aproximar el diámetro real a un diámetro comercial. Como resultado de este proceso se obtiene una red diseñada que cumple con las restricciones de mínima presión en los nodos y que se realizó siguiendo un criterio de optimización económica e hidráulica; sin embargo los diámetros obtenidos son números reales continuos que no pertenecen al conjunto de los diámetros comerciales definidos según la disponibilidad o criterio del diseñador. La aproximación del diámetro se puede hacer al anterior, al siguiente o al más cercano diámetro comercial disponible, en esta investigación se determinó que una buena opción es aproximar al siguiente diámetro comercial para no violar la restricción de presión mínima en los nodos y posteriormente disminuir los diámetros mediante un proceso de optimización basado en un algoritmo de programación por restricciones, aunque también es posible aproximar al anterior diámetro comercial y luego aumentar los diámetros con otro procedimiento de. 38.

(39) programación por restricciones, luego de lo cual se puede intentar nuevamente el procedimiento de disminución de diámetros. La determinación de la superficie óptima de presiones se calcula siguiendo los siguientes pasos: 1. Determinar las distancias de los nodos a las fuentes. 2. Aplicar una función en términos de la distancia calculada en el punto anterior para calcular la LGH ideal. 3. Asignar unos diámetros iniciales a las tubos de la red, pueden ser iguales (por ejemplo se puede asignar un diámetro de 10 pulgadas a todos los tubos de la red). 4. Asignar a cada tubo una pérdida de energía igual a la diferencia de LGH entre sus nodos inicial y final. 5. Con los diámetros actuales y las pérdidas de energía del punto 4 se hace una simulación hidráulica para calcular los caudales en cada uno de los tubos de la red y la LGH en los nodos. 6. Con los caudales obtenidos en el punto anterior y las pérdidas del punto 4 se calculan los diámetros de cada tubo. 7. Se repiten los puntos 5-6 hasta que la diferencia entre la LGH obtenida en el punto 6 y la LGH ideal (punto 2) sea menor a un error máximo admisible. A continuación se explica como realizar los pasos 1 y 2.. 8.1. Cálculo de Distancias. La primera etapa de la determinación de la superficie óptima de presiones consiste en el cálculo de la distancia entre los nodos y las fuentes. Cada fuente o nodo tiene una coordenadas X,Y y Z (elevación) que determinan su posición geográfica según un marco de referencia. Antes de continuar se van a hacer las siguientes definiciones:. 8.1.1. Distancia Euclidea 2D. La distancia euclidea en dos dimensiones es la distancia entre dos puntos teniendo en cuenta sólo sus coordenadas X y Y. En este caso la distancia euclidea 2D entre un el nodo-i y la fuente-0 se calcula según la siguiente ecuación: De2 D = ( xi − x0 ) 2 + ( y i − y 0 ) 2 Ecuación 8-1. 39.

(40) 8.1.2. Distancia Euclidea 3D. La distancia euclidea en tres dimensiones es la distancia entre dos puntos teniendo en cuenta sus coordenadas X , Y y Z. En este caso la distancia euclidea 3D entre un el nodo-i y la fuente-0 se calcula según la siguiente ecuación: De3D = ( xi − x0 ) 2 + ( y i − y 0 ) 2 + ( z i − z 0 ) 2 Ecuación 8-2. 8.1.3. Distancia Topológica. A diferencia de la distancia euclidea la distancia topológica depende de la topología de la red y no de solo de las coordenadas de las fuentes y de los nodos. Para calcula la distancia topológica no es suficiente una ecuación, hay que implementar un algoritmo que calcule la distancia mínima entre dos vértices de un grafo. En este caso un vértice sería la fuente y el otro el nodo-i. Dt = Dis tan ciaMinimaGrafo( fuente0 , nodoi ) Ecuación 8-3. En esta investigación se determinó que la distancia que se debe usar para el cálculo de la superficie óptima de presiones es la distancia topológica, porque es la distancia que representa el recorrido real del agua en la red y por lo tanto es proporcional a las pérdidas de energía en la misma. Dis tan ia = Dt Ecuación 8-4. 8.2. Ecuaciones de caída de la LGH ideal. Una vez se han calculado las distancia entre los nodos y las fuentes el siguiente paso es aplicar una ecuación que relacione la distancia con la línea de gradiente hidráulico objetivo (LGH ideal). Estas ecuaciones permiten determinar la superficie óptima de presiones para una red con una o varias fuentes. Para facilitar la explicación se va a ilustrar el caso con una sola fuente. Para determinar esta ecuación se parte de los siguientes conceptos: 40.