Acciones de Z y Z x Z en el grupo de transformaciones que preservan medida de un espacio de probabilidad

Acciones de

_Z

y

_Z

×

_Z

en el grupo de

transformaciones que preservan medida de un

espacio de probabilidad.

Daniel de Roux

Introducci´

on

Imaginemos que deseamos tomar una taza de caf´e. Para esto vertimos en nuestra taza 10% de tinto y 90% de leche. Luego tomamos una cuchara y revolvemos. Por supuesto, queremos que nuestro caf´e quede bien revuelto, y que no quede solo leche en la parte inferior o superior de la tasa. El hecho de revolver nuestro caf´e lo podemos visualizar como una transformaci´on T

que actua en nuestra taza. Despu´es de revolver un rato con nuestra cuchara, es decir de aplicar T n veces, nos podemos preguntar que tan bien qued´o mezclado el caf´e. Por supuesto esto depende de la forma en la que revolvimos. Para ilustrar, consideremos que F es una regi´on de nuestra taza de caf´e. F contiene un mezlca de caf´e y leche. Decimos que revolvimos de manera erg´odica, si en promedio F contiene 10% de tinto y 90% de leche. Decimos que revolvimos de manera d´ebilmente mezclante si despu´es de revolver un rato F contiene 10% de tinto y 90% de tinto excepto en unos raros instantes en los que puede contener mucho tinto o mucha leche. Por ´ultimo decimos que revolvimos de manera fuertemente mezclante si despu´es de revolver un rato F contiene 10% de tinto y 90% de leche. Es mucho pedir que despu´es de un rato todas las partes del caf´e contengan exactamente 10% de tinto y 90% de leche. Para disfrutar nuestra taza, realmente solo pretender´ıamos que cada parte tenga en promedio esos valores. Ahora, digamos que tomamos nuestra cuchara y revolvimos de manera aleatoria. ¿Qued´o bien revuelto el caf´e? ¿Revolvimos de manera erg´odica, de manera d´ebil o de manera fuertemente mezclante? Otra manera de plantear este problema es tomar una transformac´ıon aleatoria del espacio de transformaciones que act´uan en la taza y que preservan medida y preguntarnos si es erg´odica, d´ebilmente mezclante o fuertemente mezclante. Una forma de responder esta pregunta es utilizando el teorema de categor´ıa de Baire. Este teorema nos da una forma de medir cuando un conjunto es grande en el contexto de espacios polacos. Nuestro primer objetivo en este proyecto es determinar el tama˜no

del conjunto de las trasformaciones erg´odicas y d´ebilmente mezclantes en el sentido de categor´ıa de Baire.

Nuestro segundo objetivo es generalizar estos resultados a un contexto un poco m´as grande, cuando revolvemos usando dos cucharas. Es decir, cuando tenemos dos trasformaciones actuando en nuestro espacio. Paul Halmos tra-baj´o en este tema y prob´o en un art´ıculo llamado ”In general a measure preserving transformation is mixing”(Annals, 1944 p.786) que las transforma-ciones erg´odicas son unGδdenso. Por otro lado, Rokhlin prob´o que las trans-formaciones fuertemente mezclantes son no densas en un art´ıculo llamado ” In general a measure preserving transformation is not mixing.”(Dokiadi, 1948,p.349).

Este trabajo se divide en tres secciones. En la primera secci´on, pro-ponemos el contexto general en el que vamos a trabajar: los espacios polacos. Probamos resultados importantes que usaremos en las otras dos secciones. En la segunda parte, introducimos las acciones de _Z en el espacio de trans-formaciones que preservan medida en un espacio de probabilidad. Dada una transformaci´onT que preserva la medida,_Zact´ua naturalmente porn→Tn_. Estudiar estas acciones, usando principalmente el lema de rokhlin nos permite deducir los resultados de categor´ıa que buscamos. Es importante mencionar que esta es la aproximaci´on cl´asica al problema que vamos a tratar en este documento. Nuestro objetivo en la tercera secci´on es generalizar estos re-sultados a _Z×_Z, que act´ua naturalmente por (n, m) →Tn

1 ◦T2m, donde T1

y T2 son trasformaciones que preservan la medida y conmutan. Para esto,

Contents

1 Espacios Polacos 4

1.1 Definici´on . . . 4

1.2 Teorema de Alexandrov . . . 5

1.3 Espacio de isometr´ıas . . . 8

2 Acciones de_Z en el espacio de transformaciones que preser-van medida 14 2.1 Preliminares . . . 14

2.2 Resultados de aproximaci´on . . . 16

2.3 Algebra medible´ . . . 22

2.4 Topolog´ıa uniforme . . . 27

2.5 Topolog´ıa d´ebil . . . 29

3 Acciones de _Z×_Z en el espacio de transformaciones que preservan medida 40 3.1 Preliminares . . . 40

3.2 Resultados de aproximaci´on . . . 45

3.3 Topolog´ıa uniforme . . . 47

Chapter 1

Espacios Polacos

El contexto en el que vamos a trabajar es el de espacios polacos. El objetivo de este cap´ıtulo es de dar una introducci´on a este tema. Aunque la teor´ıa de espacios polacos es interesante por si misma, vamos a tratar solamente las herramientas que nos interesan para el desarrollo de los futuros temas. Primero, comenzamos fijando la terminolog´ıa que vamos a usar.

1.1

Definici´

on

Definici´on 1.1. Sea (X, d) un espacio m´etrico.Decimos que:

• (X, d) es separable si contiene un subconjunto denso contable.

• (X, d) es completo si toda sucesi´on de Cauchy converge.

• Un subconjunto de X se llama Gδ si se escribe como intersecci´on

con-table de abiertos de X.

Definici´on 1.2. Sea (X, d) un espacio m´etrico. Decimos que X es polaco si X es separable, si existe una distancia δ respecto a la cual X es completo y que induce la topolog´ıa de X .

Algunos ejemplos

• _R con su m´etrica usual es completo y es separable por _Q.

• El espacio _NN_{, equipado con la topolog´ıa producto es polaco. Este}

es-pacio se conoce como el eses-pacio de Baire.

1.2

Teorema de Alexandrov

Teorema 1.1 (Alexandrov). Si (X,d) es un espacio polaco, entonces todo subconjunto Gδ de X, equipado con la topolog´ıa de subconjunto, es un espacio

polaco.

Prueba. Primero comenzamos tratando el caso de un abiertoV ⊆X. Recorde-mos que dado A⊆X,

d(x, A) = inf

y∈Ad(x, y).

Definimos una nueva distancia sobreV :

dV(x, y) :=d(x, y) +

1

d(x, X\V)− 1

d(y, X\V)

Afirmaci´on: dV es una m´etrica en V. Sean x, y, z ∈V.

• dV(x, x) =d(x, x) +

1

d(x, X\V) − 1

d(x, X\V)

=d(x, x) = 0 pues d es una

m´etrica.

• dV(x, y) = d(x, y)+

1

d(x, X\V) − 1

d(y, X\V)

=d(y, x)+

1

d(y,X\V) − 1

d(x, X\V)

=

dV(y, x) . Esto es claro pues d(x, y) =d(y, x) ya que d es una m´etrica y adem´as ∀a, b∈_R,|a−b|=|b−a|.

• Primero, tenemos qued(x, z)≤d(x, y) +d(y, z) pues des una m´etrica. Por otro lado, tenemos que

1

d(x, X\V)− 1

d(z, X\V)

= 1

d(x, X\V)− 1

d(z, X\V)+ 1

d(y, X\V)− 1

d(y, X\V)

Por desigualdad triangular se sigue que

1

d(x, X\V)− 1

d(z, X\V)

≤ 1

d(x, X\V)− 1

d(y, X\V)

+ 1

d(y, X\V)− 1

d(z, X\V)

Tenemos entonces que dV(x, y)≤dV(x, y) +dV(y, z). Concluimos que dV es una m´etrica.

Ahora, sea x ∈ V y {xn}n∈N ⊆ V. Supongamos que dV(xn, x) → 0 cuando n → ∞. Como ∀n ∈ _N,

1

d(xn,X\V) − 1

d(x,X\V)

≥ 0 , se sigue que

d(xn, x)→0 cuando n → ∞.

Por otro lado, sabemos que tomar distancia fijando un punto es una operaci´on continua por lo que si {xn}n∈N→x entonces

d(xn, X \V)→d(x, X \V) cuando n→ ∞ . Por lo tanto, si d(xn, x)→0 entonces

1

d(xn, X \V)

− 1

d(x, X \V)

→0 y dV(xn, x)→0 cuando n→ ∞ .

En resumen, dV(xn, x) → 0⇔ d(xn, x) → 0. Por lo que dV induce en V la misma topolog´ıa que d.

Afirmacı´on: dV es completa.

Sea {xn}n∈N una sucesi´on Cauchy en el sentido de d. Sea > 0.

Ex-iste N ∈ _N tal que ∀n, m ≥ N, dV(xn, xm) < . Es decir, d(xn, xm) +

1

d(xn,X\V) − 1

d(xm,X\V)

< . Como

1

d(xn,X\V) − 1

d(xm,X\V)

≥ 0 se sigue que

d(xn, xm)< as´ı que{xn}n∈N es una sucesi´ond-Cauchy. Como la m´etrica d

es completa, existe x ∈ X tal que {xn}n∈N converge a x. Debemos mostrar

que x pertenece a V . Primero, notemos que por un argumento igual al de arriba, tenemos que dado >0 existe N ∈_N tal que

1

d(xn, X \V)

− 1

d(xm, X \V)

<

de manera que la suseci´on { 1

d(xn,X\V)}n∈N es de Cauchy. Por

completi-tud de _R, existe r ∈ _R,limn→+∞_d(x 1

n,X\V) = r. Si x no pertenece a V,

d(x, X \ V) = 0 . Ya que sabemos que {xn}n∈N converge a x, se sigue

que d(xn, X \V) converge a 0. Esto implica que limn→+∞ _d(x 1

n,X\V) = ∞.

Por contradicci´on concluimos quexpertenece aV y entoncesdV es completa.

Para el caso general, definimos V := T

n≥0

Vn donde cada Vn es un abierto

de X. Para cada n∈_N tomamos dn como una m´etrica completa compatible con la topolog´ıa de Vn. Asumimos tambi´en que dn <1∀n. Sea

dV(x, y) :=

∞

X

n=0

1

2n+1dn(x, y).

Notemos que como tanto xy y pertenecen V, pertenecen a Vn para cada

n, asi quedn(x, y) est´a bien definido. Es claro que dV es una m´etrica y que induce la topolog´ıa de V. Por lo tanto, solo basta mostrar que dV es com-pleta. Sea{yn}n∈Nuna sucesi´on de Cauchy en el sentido de dV. Esto implica que

∀ >0, ∃N ∈_N:∀n, m > N, ∞

X

j=0

1

2j+1dj(yn, ym)<

Sea k ∈ _N. Vamos a ver que {yn}n∈N es una sucesi´on de Cauchy en el

sentido de dk. Sea >0. Existe N ∈N:∀n, m > N,

∞

X

j=0

1

2j+1dn(yn, ym)<

2k+1.

Como cada t´ermino de la suma es positivo, se sigue que₂k1+1dk(yn, ym)<

2k+1.

Entonces, dk(yn, ym) < . En consecuencia la sucesi´on es de Cauchy seg´un

dk ∀k ∈N. Se sigue que existe y∈X tal que {yn}n∈N converge ay en cada

Vn.Puede que y dependa a priori de k, pero esto no sucede pues {yn}n∈N es

de cauchy. Por lo tanto y pertenece a cada Vn y entonces a su intersecci´on. Es decir, y ∈V. Concluimos que dV es completa. Esto implica que V es un espacio polaco.

Corolario 1.2. Si C es un subconjunto cerrado de un espacio polaco X, entonces C es un espacio polaco.

Prueba. Sea Cn := S x∈C

B(x,_n1) donde B(x,_n1) denota la bola de radio 1_n

alrededor de x, con la m´etrica de X. Cada Cn es abierto pues es uni´on contable de abiertos. Tenemos que C = T

n∈N

Cn asi queC es un conjunto Gδ.

1.3

Espacio de isometr´ıas

El objetivo de esta secci´on es mostrar que el espacio de insometr´ıas de un espacio polaco es a su vez polaco. Comenzamos por unas deficiones.

Sea (X, d) un espacio m´etrico. Una funci´on φ : X → X se llama una isometr´ıa si

∀x, y ∈ X, d(x, y) = d(φ(x), φ(y)).

y adem´as φ es biyectiva. Denotamos por Iso(X) el grupo de las isometr´ıas de X. Es claro que las isometr´ıas son continuas: Tome f ∈ Iso(X). Dado

>0 podemos tomar δ=.

Si d(x, y) < δ entonces d(f(x), f(y)) = d(x, y) < δ = . Antes de seguir, probamos un peque˜no lema.

Lema 1.3. Sea X un espacio m´etrico. Sea E ⊆ X un subconjunto denso de X . Sean f y g funciones continuas de X en X. Supongamos que ∀x ∈

E f(x) =g(x). Entonces f(y) = g(y) ∀y∈X.

Prueba. Sea y ∈ X. Para cada n ∈ _N considere Bn = B(y,1_n), la bola de radio _n1 al rededor de y. ComoE es denso, para cada n existexn ∈E∩Bn. Tenemos entonces una sucesi´on {xn}n∈N de elementos de E que converge a

y. Como f y g son continuas, limn→+∞f(xn) = f(y) y limn→+∞g(xn) =

g(y). Como f y g coinciden en E, se sigue que f(y) = limn→+∞f(xn) = limn→+∞g(xn) =g(y) . Asi que f(y) =g(y)∀y ∈X.

Este lema nos dice que las funciones continuas est´an determinadas por sus valores en un conjunto denso. Otra forma equivalente de decir esto es que si una funci´on definida en un subconjunto denso tiene una extensi´on continua a todo el espacio, entonces esta extenci´on es ´unica. Este resultado lo usamos para nuestro siguiente teorema.

Teorema 1.4. Sea X un espacio polaco. Sea Iso(X) el grupo de isometr´ıas de X. Entonces Iso(X), equipado con la topolog´ıa de convergencia puntual es un espacio polaco.

Prueba. Primero mostramos queIso(X) es metrizable, luego que la topolog´ıa dada por la m´etrica es compatible con la topolog´ıa de Iso(X), despu´es que este espacio es separable y finalmente que es completo.

1. Afirmamos que Iso(X) es un espacio m´etrico. Como X es polaco, existe un sucesi´on {xn}n∈N densa en X. Sea d una m´etrica completa

de X. Podemos asumir que d ≤ 1. Definimos una m´etrica en Iso(X) como :

δ(f, g) :=

∞

X

n=0

1

2n+1[d(f(xn), g(xn)) +d(f

−1_(x

n), g−1(xn))].

Omitimos la prueba de que δ es una m´etrica pues es bastante claro.

2. Afirmaci´on: δinduce la misma topolog´ıa deIso(X). Para esto, vamos a tomar un elemento b´asico de la topolog´ıa deIso(X) y mostrar que hay una bola de la m´etrica δ incluida en el b´asico. Despu´es mostraremos que hay otro b´asico incluido en esta bola.Veamos:

Sea V un abierto b´asico de la topolog´ıa de Iso(X). Recordemos que

Iso(X) esta dotado de la topolog´ıa de convergencia puntual, que es la misma que la de subespacio cuando dotamos a XX con la topolog´ıa producto. Por lo tanto V es el producto de finitos abiertos de X con copias de X. Podemos asumir que estos abiertos son b´asicos de la topolog´ıa de X, esto es, bolas de la m´etrica d.

Sea f ∈ V. Sean y1, .., ym ∈ X. Estos van a ser los centros de las bolas que vamos a considerar. Sean r1, .., rm >0. Estos son los radios de las bolas. Sean α1, ..., αm ∈ X tales que Vi = {g ∈ Iso(X) :

d(g(αi), yi)< ri}. Para cada i∈ {1, ..., m}. Como f ∈ Vi para cada i,

d(f(αi), yi)< ri. Para cada i, defina

ai := ri

−d(f(αi),yi))

3 . Note que ai >0 para cadai.

Sea = min{ai, i ∈ {1, ..., m}}. Recordemos que la sucesi´on{xn}n∈N

es densa, as´ı que para cada i, tome xni ∈ {xn}n∈N : d(xni, αi) <

ai. Como tenemos finitos xni, podemos tomar k ∈ N tal que k ≥

ni ∀i{1, ..., m}.

Sea g ∈Bδ(f,₂1k). Seai∈ {1, ..., m}. Nuestro objetivo es mostrar que

Tenemos que

δ(f, g) =

∞

X

n=0

1

2n+1[d(f(xn), g(xn)) +d(f

−1_(x

n), g−1(xn))]< 1 2k.

En paricular,

k

X

n=0

1

2n+1[d(f(xn), g(xn)) +d(f

−1_(x

n), g−1(xn))]< 1 2k.

Como k es mayor que ni, se sigue que

1

2ni+1[d(f(xni), g(xni)) +d(f

−1_(x

ni), g

−1_(x

ni))]

es un t´ermino de esta suma. Entonces

1

2ni+1[d(f(xni), g(xni)) +d(f

−1_(x

ni), g

−1_(x

ni))]<

1 2k.

luego

d(f(xni), g(xni)) +d(f

−1_(x

ni), g

−1_(x

ni))<

1

2k−ni < .

Se sigue que d(f(xni), g(xni))< .

Ahora, tenemos que d(xni, αi)< ai. Como f y g son isometr´ıas,

d(g(xni), g(αi)) < ai , d(f(xni), f(αi)) < ai . En el siguente paso, las

desigualdades se justifican por desigualdad triangular.

d(g(αi), yi))≤d(g(αi), g(xni)) +d(g(xni), yi)

≤d(g(αi), g(xni)) +d(g(xni), f(xni)) +d(f(xni), yi)

≤d(g(αi), g(xni)) +d(g(xni), f(xni)) +d(f(xni), f(αi)) +d(f(αi), yi)

< ai++ai+d(f(αi), yi). Como =min{ai i∈ {1, ..., m}}

≤3ai+d(f(αi), yi) = 3(ri

−d(f(αi),yi))

3 ) +d(f(αi), yi) = ri.

En resumen, d(g(αi), yi) < ri para cada i. As´ı que g(αi) ∈ Vi ∀i ∈

Esto implica que Bδ(f, ₂1k) ⊆ V. Debemos mostrar ahora que toda

bola de la m´etrica δ contiene un b´asico de la topolog´ıa de Iso(X).

Sea > 0. Como d ≤ 1, existe k ∈ _N tal que

∞

P

n=k

1 2n+1 <

2. Debemos

encargarnos de construir un abierto de Iso(X) que asegure que

k

X

n=0

1

2n+1[d(f(xn), g(xn)) +d(f

−1_(x

n), g−1(xn))]<

2.

Primero, definimos la proyecci´on α-´esima

Πα :XX →X, Πα(f) =f(α).

Recordemos que por definici´on de topolog´ıa producto, estas proyec-ciones son continuas. Ahora, parai∈ {0, ..., k}definimosVi :=Π−xi1(Bd(f(xi),

1 4k)) y paraj ∈ {0, ..., k}definimos Wj :=Π−_f−11_(xj)(Bd(xi,₄1_k)). Para cadai

y para cadaj,Vi yWj son b´asicos deXX por definici´on de la topolog´ıa producto.

Definimos V0 := k

T

i=0

Vi∩ k

T

j=0

Wj. Finalmente, definimos V :=Iso(X)∩

V0. Se sigue queV es un abierto deIso(X) puesV0 es un abierto deXX_. Ahora, fijemos i y j en{1, ..., k}. Supongamos que g ∈Isom(X). Si g

pertenece aVi, entoncesg(xi) pertenece aBd(f(xi),₄1_k). Sigpertenece a Wj, entonces g(f−1(xj)) pertenece a Bd(xi,₄1_k). Como g es una isometr´ıa, tomandog−1_{en ambos lados (note que usamos que siges una}

isometr´ıa g−1 tambi´en lo es) tenemos quef−1(xj)∈Bd(g−1(xj),₄1_k). Sea g ∈V. Por lo anterior, tenemos que

k

X

n=0

1

2n+1[d(f(xn), g(xn)) +d(f

−1_(x

n), g−1(xn))]

≤

k

X

n=0

d(f(xn), g(xn))+d(f−1(xn), g−1(xn))< k

X

n=0

1 4k+

1 4k=

4+ 4 = 2 .

Por lo tanto, se sigue que δ(f, g) < ₂ + ₂ = . Esto quiere decir que si g pertenece a V , entonces δ(f, g) < . Es decir, V ⊆ Bδ(f, ). Concluimos que δ induce la topolog´ıa de Iso(X).

3. Iso(X) es separable. Sea E ⊆X denso contable. ComoE es contable,

XE es separable. SeaC(X) el conjunto de funciones continuas deX en

X. Como las isometr´ıas son continuas, tenemos que Iso(X) ⊆ C(X). Ahora, por el lema 2.5, C(X) se puede indentificar como un subespacio deXE _{y entoncesC(X) es separable. Se sigue queIso(X) es separable} pues es subconjunto de un conjunto separable.

4. Afirmaci´on: δ es completa. Sea x ∈ X. Sea {fm}m ∈N una sucesi´on

de Cauchy en el sentido de δ. La idea es mostrar que para todo x

la sucesi´on {fm(x)}m ∈N es de Cauchy seg´un d. Por densidad, sea

xk ∈ {xn}n ∈N tal que d(x, xn = k) < ₃. Como {fm}m ∈N es de

Cauchy, tenemos que existe N ∈ _N tal que para todo i, j mayores que N, δ(fi, fj) < ₂k. Al igual que arriba, podemos mostrar que esto

implica que

d(fi(xk), fj(xk))<

3

. Sean i, j > M. Como d(x, xk) < ₃ entonces d(fj(xk), fj(x)) y

d(fi(xk), fi(x)) son menores a ₃.

Tenemos que

d(fi(x), fj(x))≤d(fi(xk), fi(x)) +d(fi(xk), fj(xk)) +d(fj(xk), fj(x)). Por lo tanto,d(fi(x), fj(x))<3₃ =. Entonces la sucesi´on{fm(x)}m∈N

es de cauchy. Como X es completo, definimos

lim

m→∞fm(x) :=f(x).

De la misma manera, probamos que {f_m−1(x)}m∈N es de Cauchy

re-specto a d y definimos

lim m→∞f

−1

m (x) :=h(x)

Una desigualdad triangular sencilla muestra que f y h son isometr´ıas. Adem´as, es sencillo ver que para cualquier x, d(x, f−1_{(h)(x)) < y}

d(x, h−1_{(f)(x))< para todo . Esto muestra que f es efectivamente}

una isometr´ıa invertible. En conclusi´on f ∈Iso(X) as´ı que Iso(X) es completo.

El siguiente teorema lo utilizaremos m´as adelante para poder mostrar el contexto en el que vamos a trabajar en el ca´ıtulo 3.

Teorema 1.5. Sea (G, d) un espacio polaco. Entonces G×G es un espacio polaco.

Prueba. Dotamos a G×Gcon la m´etrica

d0((x1, x2),(y1, y2)) :=

d(x1, y1) +d(x2, y2)

2 .

Es claro que :

1. d0 es una m´etrica porque d lo es.

2. d0 es completa porque una sucesi´on de G×G es de Cauchy si y solo si es de Cauchy en ambas cordenadas. Si una sucesi´on es de Cauchy enG×G, como G es polaco, ambas sucesiones de Cauchy convergen y por lo tanto la la sucesi´on de Cauchy de G×Gconverge.

3. G×Ges separable porE×E dondeEes denso y contable en G. E×E

es contable porque es producto finito de conjuntos contables.

Para concluir esta secci´on, enunciamos el teorema de categor´ıa de Baire.

Teorema 1.6(Teorema de categor´ıa de Baire). Sea(X, d)un espacio m´etrico completo y{Vn∈N}una sucesi´on de abiertos densos. Entonces

T

n∈N

Vnes denso

en X.

Observaci´on 1.7. El Teorema de categor´ıa de Baire es v´alido para espacios polacos.

Aunque este teorema no lo vamos a utilizar explicitamente, es importante mencionar lo siguiente. Intuitivamente, los subconjuntos abiertos densos son grandes. El Teorema de Categor´ıa de Baire nos dice que la intersecci´on de conjuntos grandes es grande. Esto nos permite inferir que la noci´on de que un subconjunto sea grande en un espacio polaco, es que sea un Gδ denso. Esto motiva parte de las siguientes secciones, pues para averiguar si un sub-conjunto es grande en el espacio en el que vamos a trabajar, determinamos si es un Gδ denso.

Chapter 2

Acciones de

_Z

en el espacio de

transformaciones que preservan

medida

El objetivo de esta secci´on es dar una introducci´on al estudio de las acciones de_Z en el grupo de isomorfismos que preservan medida del espacio de prob-abilidad [0,1] con la medida de Borel. Vamos a presentar resultados b´asicos sobre funciones que preservan medida. Luego, mostraremos resultados de categor´ıa para estas transformaciones. Comenzamos por unas definiciones.

2.1

Preliminares

Definici´on 2.1. Sea (X,A, µ) un espacio de probabilidad. Todas las fun-ciones que vamos a considerar son funfun-ciones medibles.

• Decimos que dados A y B medibles, A=. B si A=B µ-casi siempre.

• Decimos que T : X → X preserva medida si ∀A ∈ A µ(T−1(A)) =

µ(A).

• Decimos que T :X →X es erg´odica si T preserva medida y

∀A∈A , T−1(A)=. A →A=. X o A=. ∅

• Decimos que T : X → X es peri´odica si preserva medida y si existe n ∈ _N>0 _{tal que T}n _{= Id µ −casi siempre para alg´un n natural.}

Adem´as, si para todo m < n,

{x∈X :Tm(x) = x} tiene medida 0 decimos que T tiene per´ıodo n .

• T :X →X es aperi´odica si preserva medida y

µ({x∈X : Tm(x) = x}) = 0 ∀m ∈ _N>0

Ejemplo 2.1. 1. La transformaci´on

T : [0,1]→[0,1] , T(x) =x+ 1

nM od(1)

es peri´odica de per´ıodo n.

2. La transformaci´on

S : [0,1]→[0,1] , T(x) = x+θM od(1)

donde θ es irracional es aperi´odica.

Observaci´on 2.2.

• Si T preserva medida, es invertible y su inversa preserva medida, se sigue que ∀A ∈A µ(T(A)) =µ(A).

• Toda transformaci´on erg´odica es aperi´odica.

• Toda transformaci´on que preserva la medida se separa naturalmente en partes peri´odicas y partes aperi´odicas. Definimos An := {x ∈ X :

Tn(x) =x} para n >0. Definimos A0 como X\( S

n∈N>0

Ai). Tenemos

que T es aperi´odica en A0.

De ahora en adelante, todas las transformaciones que vamos a considerar son transformaciones invertibles que preservan medida. M´as a´un, vamos a restringirnos al espacio [0,1] con su σ-´algebra B de Borel y con la medida

µ de Borel. Aunque esta parece una restricci´on fuerte, no lo es, pues todo espacio de probabilidad (X,A, λ) donde X es polaco y sin ´atomos es isomorfo a ([0,1]),B, µ). Por espacios isomorfos nos referimos a lo siguiente:

Definici´on 2.2. Los espacios de medida(X,A1, m1),(Y,A2, m2)son

isomor-fos si existen A1 ∈ A1, A2 ∈ A2 con m1(A1) = m2(A2) = 1 y una

trans-formaci´on invertible T : A1 → A2 que preserva medida. Asumimos que el

espacio Ai esta equipado con la σ-´algebra Ai ∩Ai y la restricci´on de mi a

esta σ-´algebra.

Teorema 2.3. Sea X un espacio polaco , B(X) su σ ´algebra de Borel y m un medida de probabilidad en B(X) con m({x}) = 0 ∀x ∈ X. Denotamos por ([0,1],B([0,1]), l) el intervalo unitario cerrado con suσ-´algebra de Borel y con la medida l de Lebesgue. Entonces (X,B(X), m) y ([0,1],B([0,1]), l)

son isomorfos.

Una prueba de este teorema se encuentra en [5, teorema 9, p´agina 329]. En la siguiente parte, vamos a probar primero un lema sobre funciones peri´odicas. Luego probaremos el Lema de Rokhlin que es central en este trabajo.

2.2

Resultados de aproximaci´

on

Lema 2.4. Sea (X,A, m) un espacio de probabilidad y T : X → X una transformaci´on de periodo n. Entonces existe un subcojunto E medible de X de medida 1_n tal que los conjuntosE, T(E), .., Tn−1E son disjuntos dos a dos.

Prueba. Comenzamos probando lo siguiente: Afirmaci´on: Existe un conjunto

E de medida positiva tal que E, T(E), ..., Tn−1_{E son disjuntos dos a dos.}

m(E14T(E1)) > 0. De lo contrario, T tendr´ıa per´ıodo 1 en casi todo x.

Tenemos que m(E14T(E1)) =m(E1\T(E1)∪T(E1)\E1).

Ahora, m(E1\T(E1)) =m(E1)−m(E1∩T(E1)) y

m(T(E1)\E1) = m(T(E1))−m(E1 ∩ T(E1)). Como T preserva medida,

m(E1) =m(T(E1)), as´ı que

m(E14T(E1)) = m(E1 \ T(E1)) + m(T(E1)\ E1) = 2(m(E1) −m(E1 ∩

T(E1)) = 2m(E1\T(E1))>0. Entonces

m(E1\T(E1))>0

PonemosF1 =E1\T(E1). Notemos queT(F1) =T(E1\T(E1))⊆T(E1).

As´ı que F1 y T(F1) son disjuntos. Por lo tanto F1 es un conjunto de medida

positiva tal que F1 y T(F1) son disjuntos. Si n = 2 terminamos la prueba.

Si n >2, existe un subconjunto medibleE2 de F1 tal que m(E24T2(E2))>

0. Si no, entonces T ser´ıa de per´ıodo 2 en casi todo F1 que tiene medida

positiva. PonemosF2 :=E2\T2(E2). Una prueba igual a la anterior muestra

que F2 y T2(F2) son disjuntos. Repitiendo este argumento n − 1 veces,

obtenemos una sucesi´on decreciente de conjuntos Fj de medida positiva tal que Fj y Tj(Fj) son disjuntos para 1 ≤ j ≤ n −1. Ponemos E := Fn−1.

Esto concluye la afirmaci´on. Ahora falta asegurarnos que la medida de E

es _n1. Para esto, consideramos E ∪T(E)∪...∪Tn−1(E). Este conjunto y su complemento son invariantes bajo T, as´ı que podemos aplicar el mismo argumento al complemento de E ∪T(E)∪...∪Tn−1_{(E) para encontrar un}

subconjunto E0 que satisface la afirmaci´on. Ahora considereE∪E0. Es claro que Tj(E ∪ E0) es disjunto de Ti(E ∪ E0) para 0 ≤ i < j ≤ n −1 pues

Tk_{(E ∪E}0_{) = T}k_(E)∪Tk_(E0_{) ∀k ∈ {1, ..., n−1} . Continuamos de esta}

manera por inducci´on transfinita. Como cada conjunto que encontramos por este proceso (primero encontrarmos E, luego E’ y as´ı sucesivamente) es disjunto de los anteriores y tiene medida positiva, el proceso termina en alg´un ordinal contable porque la medida de X es finita. As´ı, encontramos un conjunto E tal que E, T(E), ..., Tn−1(E) son disjuntos dos a dos y el complemento deE∪T(E)∪...∪Tn−1_{(E) tiene medida 0. Tenemos entonces}

n conjuntos disjuntos que tienen todos la misma medida y cuya uni´on mide 1. Se sigue que m(E) = _n1.

Lema 2.5. Sean E Y F dos subconjuntos medibles de X tales que E y F tienen la misma medida. Entonces existe una transformaci´on T invertible en X tal que m(T(E)4F) = 0.

Este lema se encuentra probado en [2, p´agina 74 ].

Definici´on 2.3. Sean Q y R dos transformaciones que preservan medida. Decimos que Q y R son conjugadas si existe una transformaci´on invertible S que preserva la medida y tal que

Q=S−1RS m−casi siempre.

Lema 2.6. Sean Q y R dos transformaciones de per´ıodo n. Entonces Q y R son conjugadas.

Prueba. Sean EQ y ER los conjuntos de medida 1_n dados por el lema 2.3 usando las transformaciones Q y R respectivamente. Luego m(EQ) = _n1 =

m(ER). Por el lema 2.4, existe una transformac´ıon invertible que preserva medida S : X → X tal que m(SEQ4ER) = 0. Redefinimos S afuera de EQ por:

S(x) := RiSQ−i(x), x∈QiEQ. Sea x ∈ Qi_E

Q. Tenemos que S−1RS(x) = S−1(R(RiSQ−i(x)). Ahora,

R(Ri_SQ−i_{(x)) ∈ R}i+1_E

R, por lo que en este terminoS−1 =Qi+1S−1R−(i+1). Entonces

S−1_{RS(x) = Q}i+1_S−1_R−(i+1)_RRi_SQ−i_{(x) =Q}i+1_S−1_SQ−i_{(x) =Q}i+1_Q−i_{(x) =}

Q(x).

Por lo tantoQ=S−1RS y entonces Q y R son conjugadas.

Lema 2.7 (Rokhlin ). Sea (X,A, m) un espacio de probabilidad.Sea T una transformaci´on aperi´odica deX enX. Entonces para todo entero positivo n y para todo >0, existe un conjunto medible E tal queE, T(E), T2_{(E), ..., T}n−1_(E)

son disjuntos y

m(E∪T(E)∪T2(E)∪...∪Tn−1(E))>1−.

Prueba. Sea p ∈ _N : 1_p < . Afirmaci´on: existe un conjunto F tal que

F, T F, ..., Tpn−1_{F son disjuntos dos a dos y tal que F es maximal en sentido}

de medida. Es decir que ning´un conjunto con medida estrictamente mayor a la medida de F tiene dichas propiedades. Para probar esto, vamos a usar el lema de Zorn. Sea (P,≤) el conjunto de todos los subconjuntos F medibles de X tales que F, T F, .., Tpn−1F son disjuntos dos a dos y donde F1 ≤F2 si

y solo si F1 ⊆ F2 y m(F1) < m(F2). Sea G una cadena en P. Dado que si

F1, F2 ∈ G, F1 ≤ F2 tenemos que m(F1) < m(F2) y m(X) = 1, G puede

tener a lo sumo contables elementos. Sea FG := S F∈G

F. FG es una uni´on

contable de conjuntos medibles, as´ı que es medible. Afirmamos que FG es un elemento de P.Sean 0≤i < j ≤np−1. Supongamos por contradicci´on que

∃x ∈ Ti_F

G ∩ TjFG. Como x ∈ TiFG = Ti(

S

F∈G

F) entonces T−i_{(x) ∈ F} α

para alg´un Fα ∈G. De igual manera, T−j(x)∈ Fβ para alg´unFβ ∈G. Sin perdida de generalidad, suponga que α≤β. Esto implica queFα ⊆Fβ. Por lo tanto,

T−i_(x)∈F

β y T−j(x)∈Fβ. Se sigue que x∈TiFβ y x∈TjFβ. Esto es una contradicci´on ya que Fβ es un elemento de P, por lo que TiFβ y TjFβ son disjuntos. Por contradicci´on, se sigue la afirmaci´on.

Es claro queFGes cota superior de todo elemento deG. Tenemos entonces que toda cadena enGadmite una cota superior. Por el lema de Zorn, P tiene al menos un elmento maximal. La afirmaci´on se sigue.

Ahora, Sea F0 un subconjunto de medida positiva de Tpn−1F. Si TjF0

no intersecta a F para j = 1, .., pn−1 en un conjunto de medida positiva, entonces, dado i ∈ {1, .., np−1}, Ti_{(F ∪T F}

0) =TiF ∪Ti+1F0 es disjunto

de F ∪T F0 ya que :

1. F y Ti_{F son disjuntos por propiedad de F.}

2. Ti+1F0 y F0 son disjuntos: aplicamos T−(i+1) a ambos lados para

obtener F0 y T−i+ 1(F0). El primer t´ermino esta incluido en Tnp−1F

y el segundo en F. Como estos dos ´ultimos conjuntos son disjuntos, se sigue que Ti+1F0 y F0 son disjuntos.

3. F y Ti+1_F

0 son disjuntos por la suposici´on al principio del p´arrafo.

4. T F0 es disjunto de TiF pues F0 ⊆ Tnp−1F que es disjunto de Ti−1F

para i∈ {1, ..., np−1}. (note que aqu´ı aplicamos T−1 a ambos lados). Esto contradice la m´aximalidad de F. Por lo tanto TjF0 intersecta en un

conjunto de medida positiva a F para alg´un j.

Definimos, para cadaj ∈ {1, ..., np−1}el conjunto

Claramente los conjuntosFjson disjuntos dos a dos por definici´on. Adem´as, su uni´on es casi todo Tpn−1F pues como vimos arriba, si F0 ⊆Tpn−1F tiene

medida positiva, TjF0 intersecta a F. Considere la siguente familia:

Observaci´on 2.8. Los conjuntos en las filas y las columnas del arreglo de arriba son dijuntos. M´as aun, son disjuntos de F ∪T F ∪...∪Tpn−1_F.

Afirmaci´on: los elementos de las columnas son disjuntos. Los conjuntos

Fj son disjuntos dos a dos, y las columnas est´an compuestas por la misma potencia de T de conjuntos disjuntos , as´ı que los elementos de las columnas son dijuntos.

Afirmaci´on: Los elementos de las filas son disjuntos. Consideramos la fila de Fk, k ∈ {2, ..., pn}. Sean i < j ∈ {1, ..., pn−1}. Tomando T−j de los conjuntos Ti_F

k, TjFk tenemos los conjuntos Fk y Ti−jFk. Ahora Fk ⊆

Tpn−1F y Ti−jFk ⊆Tpn−1+i−jF que son disjuntos. Esto implica que Tj−iFk y Fk son disjuntos y por lo tanto T−jFk y TiFk son disjuntos.

Afirmaci´on: Los conjuntos Ti_F

j con 1 ≤i < j ≤np son disjuntos de los conjuntos TkF con 0≤k ≤np−1:

1. Sik > i: el conjuntoTi_F

j∩TkF ⊆Ti(Tpn−1F∩Tk−iF) yTpn−1F, Tk−iF son disjuntos. As´ı que TiFj y TkF son disjuntos.

2. Sik ≤itenemos que 0≤i−k < jpor lo que el conjunto Ti−kFj∩Fes vac´ıo por definici´on deFj. Por lo tanto, ∅=Tk(Ti−kFj∩F) = TiFj∩

Tk_F.

Podemos concluir que los conjuntosTi_F

j con 1≤i < j ≤npson disjuntos de F ∪T F ∪...∪Tpn−1_F.

La observaci´on implica que los conjuntos Ti_F

i ⊆ F son disjuntos dos a dos. Veamos: dados 1 ≤ i < j ≤ pn , Tj−iFj es disjunto de Fpn−1 y

Fi ⊆Fpn−1 asi queFi y Tj−iFj son disjuntos. De esto se sigue, aplicandoTi que

Ti_F

i∩TjFj =∅. Por lo tantoT F1, T2F2, ..., TpnFpnson subconjuntos disjun-tos dos a dos deF. Como su medida es igual a la deF1, ..., Fpn y estos cubren a casi todo Tpn−1_{F, los conjuntosT F}

1, T2F2, ..., TpnFpn cubren a casi todo F.

Definimos

F∗ := pn−1

[

k=0

TkF ∪ [

0≤i<j≤pn

TiFj

Al aplicar T aF∗ Obtenemos

pn

[

k=1

TkF ∪ [

0≤i<j≤pn

Ti+1Fj

. Por las consideraciones anteriores, Tpn_{F cae en} S 0≤i<j≤pn

Ti+1_F

j. Los Fji

vuelven a caer en esta uni´on, excepto cuando i+ 1 = j, pero en este caso caen en F. Esto nos permite concluir que F∗ es invariante bajo T. Como tiene medida postiva y T es aperi´odica, tenemos que F∗ es casi todo X.

Ya podemos definir el conjunto E que buscamos. E consiste de todos los n-´esimos elementos del arreglo F, T F, T2F, .., Tpn−1F y de los n-´esimos elementos de cada arreglo T Fj, T2Fj , .., Tj−1Fj. M´as precisamente,

E := p−1 [

k=0

TknF ∪ [

j≤pn kn<j

[

k=0

TknFj

Como los elementos de las filas son disjuntos 2 a 2 y los conjuntosF, T F, ..., Tpn−1_F

son disjuntos dos a dos, tememos que E, T E, ..., Tn−1_{E son disjuntos dos a}

dos. Ahora, para cada j, E contiene todos los elementos del arreglo TiFj salvo menos de n de ellos. Es decir, para cada j, la parte de la fila j-´esima que no esta incluida enE∪T E∪...∪Tn−1_{E tiene medida menor an·m(F}

j) . Por lo tanto

1−m(E∪T E∪...∪Tn−1E)<

pn

X

j=1

pues los conjuntos Fj cubren casi todo Tpn−1F cuya medida es igual a la de F. Por otro lado, como F, T F, ..., Tpn−1F son disjuntos, miden todos lo mismo ym(X) = 1 se sigue quem(F)≤ 1

pn. Por lo tanton·m(F)≤n·

1

pn =

1

p < . Entonces

m(E∪T E∪...∪Tn−1E)>1−.

2.3

Algebra medible

´

En esta secci´on definimos el contexto en el que vamos a probar los teoremas de categor´ıa.

Sea (X,A, m) un espacio de medida sin ´atomos donde X es polaco.Definimos en Auna relaci´on de equivalencia ∼ : dadosA, B ∈A,

A∼B ↔m(A4B) = 0.

Llamamos el conjunto de las clases de equivalenciaA∗. Definimos en este conjunto una medida m∗:

∀[A]∼∈A∗, m∗([A]∼) =m(A).

m∗ est´a bien definida, pues dados A, B ∈ [A]∼, m(A4B) = 0 entonces

m(A) = m(B) y por lo tanto m∗([A]∼) = m∗([B]∼). Como la medida est´a

bien definida, de ahora en adelante escribimosm([A]) porm∗([A]). Llamamos a la pareja (A∗, m∗) el ´algebra medible asociada a (X,A, m). Para lo sigu-iente, debemos definir la diferencia sime´etrica de dos clases de equivalencia.

Observaci´on 2.9. Dadas dos clases de equivalencia [A]∼ y [B]∼, ponemos

[A]∼4∗[B]∼ := [A4B]∼.

4∗ _{est´a bien defininida: Dados C ∈ [A]}

∼ , D ∈ [B]∼, m(A4C) = 0 = m(B4D). Ahora,

m((A4B)4(C4D)) = m((A4C)4(B4D)) ya que 4 es asociativa y con-mutativa. Se sigue que m((A4C)4(B4D)) ≤ m(A4C) + m(B4D) =

0 + 0 = 0. As´ı que C4D∼A4B.Esto es, 4∗ _{no depende del representante} de las clases. Como 4∗ _{est´a bien definida, de ahora en adelante escribimos}

4 en vez de 4∗.

Lema 2.10. El espacio (A∗, m∗) es un espacio polaco.

Prueba. Sean [A]∼ , [B]∼ ,[E]∼ ∈A∗. Definimos una m´etrica denA∗ de la

siguiente manera:

d([A]∼,[B]∼) :=m∗([A]∼4∗[B]∼).

Afirmaci´on: d es una m´etrica.

• d([A]∼,[A]∼) = m∗(A4∗A) = m(∅) = 0. Si d([A]∼,[B]∼) = 0 entonces m(A4B) = 0 y [A]∼= [B]∼.

• d([A]∼,[B]∼) = m∗([A]∼4∗[B]∼) = m(A4B) = m(B4A) = m∗([B]∼4∗[A]∼)) = d([B]∼,[A]∼)).

• d([A]∼,[E]∼) = m(A4E). Como ∅ es el elemento neutro bajo la

op-eraci´on4, se sigue quem(A4E) =m((A4B)4(B4E))≤m(A4B)+

m(B4E) =d([A]∼,[B]∼) +d([B]∼,[E]∼).

Afirmaci´on: d es una m´etrica completa. En esta parte usamos la notaci´on [A] en vez de [A]∼ por simplicidad. Sea {[An]}n∈N una sucesi´on de Cauchy.

Para probar esto, usamos el siguiente lema: Sea {cn}n∈N una sucesi´on en

A∗ tal que la suma

∞

P

n=0

m(cn4cn+1) es finita. Ponemos d0 := Liminf cn,

d1 := limsup cn. Entonces d0 = d1, y escribiendo d para su valor com´un,

lim

n→∞m(cn4d) = 0.

Este lema es sencillo de probar y su demostraci´on se encuentra en [1, Lemma 323F, p´agina 85].

Como {[An]}n∈N es de Cauchy Para cada existe unM tal que ∀n, m > M,

m([An]4[Am]) < . Tomando = ₂1k para cada k ∈ N, podemos encontrar

una subsucesi´on{[Ani]}i∈N tal que

∞

X

i=0

m([Ani]4[Ani+1])≤

∞

X

i=0

1 2i.

Esto nos permite aplicar el lema, y deducir que {[Ani]}i∈N converge a

su limsup que llamamos A. Por lo tanto la sucesi´on {[An]}n∈N tiene una

subsucesi´on convergente aA y como es de Cauchy converge a A. Por lo tanto d es completa.

Afirmaci´on: A∗ es separable. Sea >0. ComoX es polaco y sin ´atomos, (X,A, m) es isomorfo a ([0,1],B, l) por el teorema 2.2 . Sea C el conjunto de intervalos incluidos en [0,1] con extremos racionales y uniones finitas de estos. Claramente C es contable. Ahora, tome [D] ∈ B∗. Tenemos que

D∈B, por lo que existe un abierto G⊆[0,1] tal quem(D4G)< ₂.Ahora, sabemos que el conjunto de intervalos con extremos racionales forma una base para la topolog´ıa de [0,1]. Por lo tanto

G= [ i∈N

Ui.

donde los conjuntos Ui son intervalos con extremos raciones. El hecho de que la uni´on sea contable se sigue de que solo hay contables intervalos con extremos racionales.Por otro lado, podemos disjuntizar los Ui para que G sea la uni´on disjunta de los conjuntos Ui. Si los Ui son finitos, tenemos

que |l(G)−

M

P

i=0

l(Ui)| = 0. Si los Ui no son finitos, existe un M tal que

l(G)−

M

P

i=0

l(Ui)| < ₂ pues la serie l

∞

P

i=0

l(Ui) converge a l(G). en cualquier

caso, existen finitos Ui tales que |l(G)− M

P

i=0

l(Ui)| < ₂. Por desigualdad triangular se sigue que

m(D4

M

[

i=0

Ui)<

2+

2 =

. Ahora, M

S

i=0

Ui ∈C pues esta es una uni´on finita de intervalos con extremos racionales. Se sigue que C∗ :={[U] : U ∈C} es denso en B∗ y es contable. Por lo tanto B∗ es separable.

Observaci´on 2.11. El conjunto Iso(A∗) de isometr´ıas de (A∗, m∗) es un espacio polaco por el teorema 1.4 de la secci´on 1.

Por definici´on los elementos de Iso(A∗) son las isometr´ıas de A∗. En un principio, no tenemos mucha informaci´on sobre cuales son estas isometr´ıas, pero el siguiente teorema nos asegura que los elementos de Iso(A∗) son pre-cisamente las transformaciones invertibles que preservan medida, partidas bajo un relaci´on de equivalencia. Para ver esto, necesitamos la siguiente definci´on y el siguiente teorema.

Definici´on 2.4. Sean(X1,A1, m1),(X2,A2, m2)espacios de probabilidad con

´

algebras de medida(A∗₁, m∗₁),(A∗₂, m∗₂). Las ´algebras de medida son isomorfas si existe una biyecci´on

Φ :A∗₂ →A∗₁

que preserva complementos, uniones e intersecciones contables y que satisface m∗₁(Φ([B])) =m∗₂([B]) ∀ [B]∈A2(esto es, que Φ preserva medida).

Observaci´on 2.12. Si los espacios de probabilidad(X1,A1, m1),(X2,A2, m2)

son isomorfos bajo un isomorfismo φ entonces sus ´algebras medibles son iso-morfas. Para ver esto, definimos Φ :A∗₂ →A∗₁ como Φ([B]) := [φ−1_(B)]).

Es bastante intuitivo que si dos espacios de probabilidad son isomorfos entonces sus ´algebras medibles son isomorfas ya que toda funci´on puntual induce una funci´on en subconjuntos del espacio. Lo que es realmente sor-prendente es que si los espacios X1 y X2 son polacos y sin ´atomos, entonces

si sus ´algebras medibles son isomorfas, los espacios son isomorfos. Es decir que los isomorfismos de subconjuntos son siempre inducidos por isomorfismos puntuales. El siguiente teorema afirma este hecho.

Teorema 2.13. Sean X1, X2 espacios polacos. Sean B(X1),B(X2) sus

σ-´

algebras de Borel y m1, m2 medidas de probabilidad en B(X1) y B(X2). Sea

Φ : B∗(X2) → B∗(X1) un isomorfismo de ´algebras de medida. Entonces

existe M1 ∈B(X1), M2 ∈B(X2) con m1(M1) = 1 = m2(M2) y una funci´on

invertible que preserva medida φ : M1 → M2 que induce Φ. Es decir que

Φ([B]) = [φ−1_(B∩M

2)] ∀B ∈B(X2). M´as aun, si ψ es otro isomorfimos de

isomorfismo de (X1,B(X1), m1)→(X2,B(X2), m2) que induce Φ, entonces

Una prueba de este teorema se encuentra en [5, teorema 12, p´agina 329]. Este teorema nos dice que todos los isomorfimos de ´algebras de medida en espacios polacos est´an dados por isomorfimos que preservan medida.

Corolario 2.14. SeaΦun isomorfismo entre las ´algebras de medida(A∗₁, m∗₁)

y (A∗₂, m∗₂).Entonces Φes una isometr´ıa de (A∗₁, d1) en (A∗2, d2).

Prueba. Sean [A], [B] ∈A∗₂. Seaφel isomorfismo que induce Φ.(Asumimos que los conjuntosM1 yM2 dados por el teorema anterior cumplen queM1 =

X1 y M2 =X2). Como M1 y M2 solo difieren de X1 y X2 por conjuntos de

medida 0, esta suposici´on no altera la prueba.

d2([A],[B]) = m∗2(A4B) = m∗1(Φ(A4B)) pues Φ preserva medida.

m∗₁(Φ(A4B)) = m∗₁([φ−1_{(A4B)]) pues φ induce Φ. Como φ}−1 _preserva

complementos e intersecciones, φ−1 _{preserva diferencia sim´etrica. entonces}

m∗₁([φ−1(A4B)]) = m1(φ−1(A) 4 φ−1(B)) = m∗1([φ−1(A)] 4 [φ−1(B)]) =

m∗₁(Φ(A)4Φ(B)) =d1(Φ(A),Φ(B)). Por lo tanto Φ es una isometr´ıa.

Del corolario anterior, tenemos que las isometr´ıas de A∗ son inducidas por isomorfismos que preservan medida. Esto justifica que para estudiar el espacio Iso(A∗),vamos a trabajar con el espacio de funciones de X → X

invertibles que preservan medida (note que como estas transformaciones son invertibles, preservan complementos e intersecciones y uniones contables), donde identificamos dos transformaciones si difieren en un conjunto de me-dida 0.

Observaci´on 2.15. De ahora en adelante, nos referimos a Iso(A∗) por Iso(X). Este es el espacio de funciones invertibles que preservan medida de X en X.

Observaci´on 2.16. Por el teorema 1.4 Iso(X) es un espacio polaco con la topolog´ıa que este teorema indica. Llamamos esta topolog´ıa la topolog´ıa d´ebil sobre Iso(X).

Definici´on 2.5. Consideramos la siguiente m´etrica sobre Iso(X):

d(S, T) :=m(x∈X :S(x)6=T(x))

Es claro que d es una m´etrica sobre Iso(X). Llamamos la topolog´ıa in-ducida por d la topolog´ıa uniforme sobre Iso(X).

2.4

Topolog´ıa uniforme

En esta secci´on, consideramos el espacio (Iso(X), d).

Teorema 2.17. (Teorema de aproximaci´on Uniforme)

Sea T una transformaci´on aper´ıodica.Entonces para todo entero n y para todo >0 existe una transformaci´on S tal que S es peri´odica con per´ıodo n y d(S, T)≤ 1

n +.

Prueba. Aplicamos el lema de Rokhlin para obtener un conjunto medible E

tal que E, T E, ..., Tn−1_{E son disjuntos dos a dos y}

m(E∪T E∪...∪Tn−1_{E)>1−. Si x ∈E∪T E∪...∪T}n−2_{E definimos}

S(x) :=T(x). Si x∈Tn−1E definimos S(x) :=T−n+1(x).

Primero notemos que si x ∈ Tk_{E, k ∈ {0, .., n−2} entonces S}n_{(x) =}

Sk+1_(Tn−(k+1)_{(x)) = S}k+1_(T−(k+1)_{(x)) = T}k+1_(T−(k+1)_{(x)) = x. Si x ∈}

Tn−1E, x=Tn−1(y) para alg´uny∈E y se tiene:

Sn_{(x) = S}n−1_(T−n+1_{(x)) = S}n−1_(T−n+1_(Tn−1_{(y))) = S}n−1_{(y) = T}n−1_{(y) =}

x. Por lo tanto S es peri´odica de periodo n enE∪T E∪...∪Tn−1_E.

Ahora, a S lo podemos definir arbitrariamente en el complemento de

E ∪T E ∪...∪Tn−1_{E asegurandonos que sea peri´odica de periodo n. Por}

(donde m∗(C) = m(C) ∀C ∈ A∩A) es isomorfo bajo una transformaci´on

L a ([0,1],B, l). Definimos S0 : [0,1] → [0,1] S(x) := x+ _n1mod(1). S’ es peri´odica de periodo n y tomamos L◦S0◦L−1, que es peri´odica de periodo n en A. Ponemos S(x) :=L◦S0◦L−1_{(x), x∈A. De cualquier manera,}

d(S, T)≤m(Tn−1E) +=m(E) +≤ 1

n +.

Corolario 2.18. Las transformaciones per´ıodicas son densas en Iso(X) con la topolog´ıa uniforme.

Sea >0 y seaT ∈Iso(X). Por el tercer punto de la observac¯i´on 2.1 T se separa en una uni´on de partes peri´odicas y una parte aperi´odica. Puede que la uni´on de partes peri´odicas contenga pedazos de peri´odo arbitrariamente grande, pero como el espacio tiene medida finita, sabemos que para todo

>0 , existe un K tal que si el pedazoAi tiene per´ıodo mayor a K, entonces la medida de Ai es menor a . Por lo tanto podemos asumir que la parte peri´odica contiene pedazos de per´ıodo a lo sumo K. Por lo tanto T se separa en una parte T1 de per´ıodo n1 en un conjunto A, una parte con periodos

arbitrariamente grandesT3 pero que est´a definida en un conjunto de medida

menor a ₃ y una parte aperi´odicaT2 en un conjunto B. Sean2 ∈N: _n1₂ < ₃.

Por el teorema de aproximaci´on uniforme existeS de per´ıodon2 definida en

B tal que d(S, T2)≤ _n1

2 +

3. DefinimosS(x) :=T1(x) si x pertenece a A. Se

sigue qued(S, T)< ₃ +₃+₃ =. Notemos que al definir S de esta manera, S tiene como per´ıodo el m´ınimo com´un m´ultiplo entre n1 y n2.

Corolario 2.19. Las transformaciones erg´odicas son nunca densas enIso(X)

con la topolog´ıa uniforme.

Prueba. Por el lema anterior sabemos que cualquier abierto V de Iso(X) contiene una transformaci´on S per´ıodica, digamos de per´ıodo n. Searun real positivo tal quer < _n1 la bola B de radioralrededor de S esta completamente incluida en V. Para probar la afirmaci´on, debemos mostrar que ninguna transformaci´on T en B es erg´odica. Sea T ∈ B. Ponemos E := {x ∈ X :

S(x)6=T(x)}. Por definici´on de la m´etrica d, tenemos que m(E)< 1_n. PonemosE∗ :=E∪SE∪...∪Sn−1_{E. Se sigue quem(E}∗_{)<1 y S(E*)=E}∗_{. Si} x∈X\E∗ entoncesS(x) = T(x) por definici´on de E. Por lo que six∈X\E∗

S(x) = T(x) no pertenece aE∗. Esto implica queT(X\E∗) =X\E∗. Como

a su vez si m(E) = 0 y entonces T =S, pero la transformaciones per´ıodicas no pueden ser erg´odicas. En cualquier caso T no puede ser erg´odica.

Este pr´oximo teorema afirma que cualquier transformaci´on aperi´odica puede ser aproximada por conjugadas de otra funci´on aperi´odica en la topolog´ıa uniforme.

Teorema 2.20. Sean Q y R dos transformaciones aperi´odicas. Entonces

∀ >0 existe una tranformaci´on S ∈Iso(X) tal que d(Q, S−1_{RS)< .}

Prueba. Sea > 0. Sea δ < . Sea n ∈ _N tal que _n1 < . Por el lema de Rokhlin, existen conjuntos mediblesE, F tales queE, .., Qn−1_{E son disjuntos}

dos a dos, m(E ∪...∪Qn−1E) > 1−δ y F, ..., Rn−1F son disjuntos dos a dos con m(F ∪...∪Rn−1_{F) > 1−δ. No estamos seguros cuanto miden E}

y F, pero al menos tenemos que m(E) > 1−_nδ y m(F) > 1−_nδ. Sea A ⊆

E : m(A) = 1−_nδ y sea B tal que B ⊆ F : m(B) = 1−_nδ. Tenemos que

A, .., Qn−1_{Ason disjuntos dos a dos ym(A∪...∪Q}n−1_{A) = 1−δ. Igualmente}

B, .., Rn−1_{B son disjuntos dos a dos y m(B ∪... ∪R}n−1_{B) = 1− δ. Al}

igual que en la prueba del lema 2.5, existe una transformaci´on S invertible que preserva medida tal que Q(x) = S−1_{RS(x) para todo x ∈ Q}i_Adonde

i∈ {0, ..., n−1}. Ahora,Q y S−1_{RS difieren en E\A, .., Q}n−2_{(E \A) y en}

Qn−1(E). m(Qi(E\A)) =m(E\A) = m(E)−m(A) parai∈ {0, .., n−1}. Por lo tanto Q y S−1_{RS difieren en todo X por un conjunto de medida}

m(E)−1−δ

n +...+m(Q

n−1_E)−1−δ n +

1

n =m(E∪...∪Q

n−1_E)−n·1−δ n +

1

n =

m(E ∪...∪Qn−1E)−(1−δ) + _n1 <1−(1−δ) + _n1 =δ+_n1 <2. Esto es,

d(Q, S−1_RS)<2.

El problema con la m´etrica d es que es muy dif´ıcil que dos trasformaciones est´en cerca. De hecho la topolog´ıa uniforme es casi discreta. Por lo tanto vamos a estudiar la topolog´ıa d´ebil que tiene menos abiertos y que es polaca.

2.5

Topolog´ıa d´

ebil

En esta secci´on vamos a considerar un espacio (X,A, m) de probabilidad sin ´

atomos donde X es polaco. Por lo discutido anteriormente, Iso(X) tiene la topolog´ıa de convergencia puntual (que llamamos topolog´ıa d´ebil), y es polaco con esta topolog´ıa. Aunque el teorema 1.4 nos indica cual es la m´etrica que

induce esta topolog´ıa, esta m´etrica es bastante complicada y no nos aporta mucho. Para tener un poco m´as de informaci´on sobre la topolog´ıa d´ebil, damos las siguientes observaciones. Recordemos que siempre vamos a estar trabajando en el ´algebra de medida (A∗, m∗) as´ı que por simplicidad notamos

m en vez de m∗.

Observaci´on 2.21. Los siguiente hechos son ciertos:

1. una sucesi´on {Tj}n∈N converge a T en la topolog´ıa d´ebil si y solo si

{Tj(E)}n∈N converge a T(E) para todo E ∈ A∗. Por la convergencia

anterior nos referimos a que m∗(Tj(E)4 T(E)) tienda a 0 cuando j

tiende a infinito.

2. una subbase para la topolog´ıa d´ebil est´a tada por conjuntos de la forma N(T, E, ) :={S ∈ Iso(X) :m(T E4SE) = 0} donde E ∈A∗. 3. La topolog´ıa d´ebil es primero contable. Es decir que todo punto tiene

una base contable alrededor de ´el.

4. La topolog´ıa uniforme es m´as fina que la topolog´ıa d´ebil.

De las observaciones anteriores, la ´unica que no es obvia es la tercera. Sin embargo, este hecho no lo utilizamos explicitamente en ninguna prueba. Intuitivamente, esto se sigue de que los intervalos con extremos raciones son densos en [0,1]. Con estas observaciones, ya estamos listos para formular y probar los teoremas de categor´ıa que nos interesan.

Teorema 2.22. Las transformaciones peri´odicas son densas en Iso(X) con la topolog´ıa d´ebil.

Prueba. Este teorema se sigue que del corolario 2.18 junto con la afirmaci´on 4 de la observaci´on anterior.

Teorema 2.23(Lema de conjugaci´on). SeaT0una transformaci´on aperi´odica.

La clase de conjugaci´on de T0, es decir el conjunto de todas las

tranforma-ciones S−1T S es denso en Iso(X).

Prueba. Considere el espacio ([0,1],B, l) el intervalo unitario cerrado con su σ-´algebra de Borel y con la medida de Lebesgue l. En esta prueba tra-bajamos en Iso([0,1]). Recordemos que esto lo podemos hacer sin perdida

de generalidad por el teorema 2.2 . Sea T0 ∈ Iso([0,1]) una

tranfor-maci´on aperi´odica. Sea Q ∈ Iso([0,1]). Sean A1, ..., An ∈ B, > 0 y

N := {S ∈ Iso([0,1]) : l(T Ai4SAi) < i = 1, .., n} N es una abierto b´asico alrededor de T. Sin p´erdida de generalidad podemos asumir que los

Ai son disjuntos dos a dos (esto se puede pues si dos transformaciones di-fieren menos de en n conjuntos, difieren menos de en sus intersecciones). Debemos mostrar que existe una conjugada de T0 enN. Para cada i,

defini-mos Bi :=T(Ai).

Note que T0([0,1]) = [0,1]. Consideremos ahora la transformaci´on

(T ×T0) : [0,1]2 →[0,1]2

. Afirmaci´on: (T ×T0) es aperi´odica. Si l2({(x, y) : (T ×T0)i(x, y)}) > 0

para alg´uni ∈_Ndonde l2 _{denota la medida de Lebesgue de [0,1]}2 _entonces

l({y:T₀i(y) =y})>0. Pero esto contradice queT0 es aperi´odica.

Por otro lado, tenemos que (T ×T0)(Ai ×[0,1]) = T(Ai)×T0([0,1]) =

Bi×[0,1]. Ahora para cadaAitenemos quel(Ai) = l(Ai)·1 = l(Ai)·l([0,1]) =

l2(Ai×[0,1]). Por lema 2.4 , existe una funci´on invertible que preserva medida

Gi : [0,1] → [0,1]2 tal que Gi(Ai) = Ai×[0,1] con Gi invertible y preserva medida. Notemos que aqu´ı useamos implicitamente que [0,1] y [0,1]2 _son

isomorfos como espacios de medida para poder aplicar el lema 2.4 . Como los Ai son disjuntos, podemos definir G : [0,1] → [0,1]2 : G(x) = Gi(x) si x ∈ Ai y G de manera arbitraria (de forma que preserve medida y sea invertible) en el complemento de los conjuntos Ai. Gest´a definida por partes de funciones que preservan medida y son invertibles, as´ı que G preserva medida y es invertible.

Tenemos que G(Ai) =Ai×[0,1]. Ahora, (T ×T0)(G(Ai)) = (T ×T0)(Ai× [0,1]) =Bi×[0,1]. Entonces Bi =G−1((T ×T0)(G(Ai)))

Esto es que G−1_{(T ×T}

0)G(Ai) = Bi =T(Ai) , i = 1, ..., n. Como (T ×T0)

es aperi´odica, G−1(T ×T0)G es una transformaci´on aperi´odica que adem´as

coincide conT en losAi. Se sigue queG−1(T×T0)G ∈ N. Como tantoT0 y

G−1_(T×T

0)Gson aperi´odicas, por el teorema 2.19, existe una tranformaci´on

conjugada S de T0 que difiere menos de a G−1(T ×T0)G. En perticular,

difiere menos de de G−1_{(T ×T}

0)G en cada Ai. Esto implica que S ∈ N como quer´ıamos ver.

Prueba. SeaG⊆Iso(X) el conjunto de todas las transformaciones aperi´odicas. Dada T0 ∈ G, las clase de conjugaci´on deT0 es densa en Iso(X) por el

teo-rema anterior. Adem´as, esta clase est´a incluida enGpues una conjugaci´on de una transformaci´on aperi´odica es aperi´odica. Esto implica que G es denso. Afirmaci´on: G es un Gδ. La clave para mostrar esto es usar el lema de Rokhlin. veamos que

G= \ k<n

\

n∈N

\

q∈Q+

\

i∈Q+

[

E∈A∗

{T :m(E∩TkE)< i y m(E∪...Tn−1E)>1−q}.

Por claridad, llamamos a esta intersecci´onC. Recordemos que la condici´on de queE yTmE, m < nsean disjuntos implica queE, T E, ..., Tn−1E son dis-juntos dos a dos. Primero notemos que por el lema de Rokhlin tenemos que

G⊆C. Ahora veamos que C ⊆G.

Supongamos por contradicci´on que T ∈ Iso(X) satisface el lema de Rokhlin pero que no pertenece a G. Entonces T no es aperi´odica y por lo tanto existe un conjunto medible B con medida positiva tal queB =Tn_B. En esta prueba vamos a suponer quen = 1. El caso general es an´alogo a este. Tenemos entonces que B=T(B). sea =m(B). Sea k ∈_Ntal que k es par y tal que 1_k < ₂ y seaδ tal queδ < ₂. Aplicamos el lema de Rokhlin a T con k y con δ. Esto implica que existe un conjunto E tal que E, T E, .., Tk−1E son disjuntos dos a dos y m(E∪...∪Tk−1_{E).Ahora, como T preseverva medida}

tenemos que m(E) =m(T E) =...=m(Tk−1_{E) Como el espacio X mide 1,}

tenemos que m(Tk−1E)≤ 1

k. Notemos que

m(E∪...∪Tk−1E)>1−δ

y entonces

m(E∪...∪Tk−2E) +m(Tk−1E)>1−δ

de lo que se sigue

m(E∪...∪Tk−2E)>1−δ−m(Tk−1E)≥1−δ− 1

k >1−

2−

2 = 1−. Como B mide y m(E∪...∪Tk−2E)> 1−, se sigue que B intersecta a E∪...∪Tk−2E . Ahora, definimos

Es decir, A es la uni´on de las potencias pares de T aplicadas a E (notemos que como k es par, k-2 es par). Finalmente, observervemos que

T(A) =T1E∪T3E∪...∪Tk−1E.

Esto es que T(A) es la uni´on de las potencias impares de T aplicadas a E. Como E, T E, ..., Tk−1_{E son disjuntos dos a dos, tenemos que A y T(A) son}

disjuntos. Ahora, ponemos C := T(A)\Tk−1_{E. T(C) son potencias pares}

de T aplicadas a E, as´ı que C y T(C) son disjuntos. Recordemos que B intersecta A∪C y B =T(B). SiB intersectaA,T(B) =B intersecta T(A) y por lo tanto A no es disjunto de T(A). Igualmente, si B intersecta C, C

no es disjunto de T(C) . Por contradicci´on, no existe tal conjunto B. Para el caso general, si suponemos que B =Tj_{(B), definimosAcomo la uni´on de} las potencias j-´esimas de T para obtener una contradicci´on.

Lo anterior indica que si T no es aperi´odica entonces T no satisface el lema de Rokhlin. Es decir, C ⊆G. Por lo tantoG=C.

Sean n∈_N, m < n ei, q ∈_Q+_{, E ∈A}∗_.

Ponemos V := {T : m(E ∩TkE) < i y m(E ∪...Tn−1E) > 1−q}. Para terminar, debemos mostrar que V es abierto en la topolog´ıa d´ebil.

PonemosV1 :={T :m(E∩TkE)< i}yV2 :=m(E∪...Tn−1E)>1−q}.

Claramente V =V1∩V2.

• V1 es abierto: Sea T ∈V1 y >0 tal que m(E∩TkE)< i−. Tome

Nj(T, TjE,_k) := {S : m(S(TjE)4T(TjE)) < _k},0 ≤ j < k. Sea

N := T

j<k

Nj.SeaS ∈N. Entoncesm(SE4T E)< _k.ComoS preserva medida, se sigue que m(S2_{E4S(T E)) <}

k. Ahora, tambi´en tenemos por definici´on deN que m(S(T E)4T2E)< _k. Por desigualdad trian-gular, tenemos que m(S2_E4T2_E)< 2

k. Repitiendo este argumento k veces, tenemos que m(Sm_E4Tk_{E)< k·}

k =.

Ahora notemos que m(E∩Tk_{E) +m(E4T}k_{E) = m(E).} y m(E ∩Sk_{E) +m(E4S}k_{E) = m(E).Por lo tanto}

m(E ∩SkE) = m(E ∩TkE) +m(E4TkE)−m(E4SkE). Por de-sigualdad triangular inversa se sigue que

m(E∩Sk_E)≤m(E∩Tk_{E) +m(T}k_4Sk_{E)< i−+=i. Como esta} desigualdad es cierta para todo se sigue que m(E ∩SmE) < i. Por lo tanto S pertenece a V1 y entoncesT tiene un abierto completamente

• V2 es abierto: Sea > 0 tal que m(E ∪...Tn−1E) > 1−q +. Sea

N como en el item anterior pero con _n en vez de _k. Sea T ∈ V2. Sea

S ∈N. Es claro que

E∪T E∪...∪Tn−1E ⊆E∪SE∪...∪Sn−1E∪(SE4T E)∪...∪(Sn−1E4Tn−1).

De esto se sigue que

1−q+ < m(E∪...∪Tn−1_{E)< m(E∪...∪S}n−1_{E) +m(SE4T E) +}

...+m(Sn−1_E4Tn−1_{E)≤m(E∪...∪S}n−1_{E) +n·} n.

Esto es, 1−q+epsilon < m(E∪...∪Sn−1_{E) +. Y entonces 1−q <}

m(E ∪...∪Sn−1E). Por lo tanto S ∈ V2. Esto muestra que N ⊆ V2.

Entonces V2 contiene una bola abierta al rededor de T y por lo tanto

V2 es abierto.

V es entonces una unı´on de abiertos y por lo tanto es abierto. Concluimos que G es una intersecci´on contable de abiertos y por lo tanto es un Gδ.

Terminamos este cap´ıtulo con un teorema que afirma que el conjunto de las transformaciones erg´odicas contiene un Gδ denso. Para esto usamos los lemas y definiciones siguientes. Consideramos un espacio de probabilidad (X,A, m) dondeX es polaco y sin ´atomos.

Lema 2.25. Sea T ∈Iso(X). T es erg´odica si y solo si ∀A, B ∈A∗ se tiene que

lim n→+∞

1

n

n−1 X

i=0

m(T−1A∩B) = m(A)·m(B).

Este lema se encuentra probado en [6, corolario 1.14.2, p´agina 37]. Esta caracterisaci´on de la transformaciones erg´odicas motiva la siguiente definici´on.

Definici´on 2.6. Sea T ∈ Iso(X). Decimos que T es d´ebilmente mezclante si ∀A, B ∈A∗ se tiene que

lim n→+∞

1

n

n−1 X

i=0

Observaci´on 2.26. Toda transformaci´on d´ebilmente mezclante es erg´odica, pues si {an}n∈N es una sucesi´on de n´umeros reales, si se tiene que

lim n→+∞

1

n

n−1 X

i=0

|ai|= 0 , entonces lim n→+∞

1

n

n−1 X

i=0

ai = 0.

La siguiente definici´on la damos pues nos interesa conocer una forma funcional de las trasformaciones d´ebilmente mezclantes.

Definici´on 2.7. Sea T ∈Iso(X). Definimos el operador UT inducido por T

UT :L2(X)→L2(X), UT(f)(x) :=f(T(x)).

Observaci´on 2.27. UT es un operador positivo , unitario y

∀B ∈A, UT χB =χT−1B. Adem´as, UT es una isometr´ıa de L 2_(X).

Una prueba se encuentra en [6, lema 1.2, p´agina 25]. La ´ultima afirmaci´on se encuentra probada en [6, teorema 1.3, p´agina 25], pero estos resultados son f´aciles de probar.

Lema 2.28(Forma funcional de una transformaci´on d´ebilmente mezclante.). Sea T ∈Iso(X). Entonces T es d´ebilmente mezclante si y solo si

∀f ∈L2(X) lim n→+∞

1

n

n−1 X

i=0

|(U_Tif, f)−(f,1)(1, f)|= 0.

Este lema est´a probado en [6, teorema 1.23, p´agina 45].

Lema 2.29(Forma de una transformaci´on d´ebilmente mezclante en t´erminos de conjuntos de densidad 0). Decimos que un conjuntoJ ⊆_Ntiene densidad 0 si

lim

n→∞cardinalidad(

J∩ {0, ..., n−1}

Si (X,A, m) es un espacio de probabilidad donde X tiene base contable, en-tonces T es d´ebilmente mezclante si y solo si existe un subconjunto J ⊆ _N

con densidad 0 tal que

lim n /∈J,n→∞(U

n

Tf, g) = (f,1)(1, g) ∀f, g∈L2(X) Este lema est´a probado en [6, Remark, p´agina 46].

Teorema 2.30 (Teorema mezclante). Una transformaci´on T ∈ Iso(X) es d´ebilmente mezlcante si y solo si UT admite como un ´unico vector propio a

la funci´on 1.

Encontramos la prueba de este resultado en [2, p´agina 39].

Con estas definiciones y teoremas, ya estamos listos para probar otro teorema sobre familias grandes en el sentido de Categor´ıa de Baire.

Teorema 2.31. SeaD⊆Iso(X)el conjunto de las transformaciones d´ebilmente mezclantes.Entonces D es una Gδ denso en Iso(X).

Prueba. Toda trasformaci´on d´ebilmente mezclante es erg´odica y toda trans-formaci´on erg´odica es aperi´odica, por lo que toda transformaci´on d´ebilmente mezclante es aperi´odica. Ahora D es invariante bajo conjugaci´on, esto sig-nifica que que la clase conjugada de D, es decir el conjunto S−1T S : S ∈

Iso(X), T ∈ D es igual a D. Para la parte siguiente de la prueba, necesita-mos los dos hechos siguientes:

1. La funci´on que asigna a una transformaci´on T su inversa T−1 es con-tinua. SeaT ∈Iso(X). SeaN(T−1_{, E, ) un abierto al rededor de T}−1_.

Ahora tome M := (T, T−1_{E, ). Sea S ∈ M. Entonces por definici´on}

m(S(T−1E)4T(T−1E) < as´ı que m(S(T−1E)4E) < . Como S preserva medida, podemos aplicar S−1_{y obtener que}

m(S−1_S(T−1_E)4S−1_{E) < y se sigue que m(T}−1_E4S−1_{E) < .}

En-tonces S−1 ∈ N. Por lo tanto la transformaci´on que asigna a una transfromaci´on su inversa es continua.

2. Seanf, g dos funciones enL2(X). Definimos Φ como la transformaci´on que env´ıa T ∈ Iso(X) en (UT(f), g), donde denotamos el producto punto de L2_{(X) por (·,·). Afirmamos que Φ es continua. Para probar}