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(1)SOLUCIONES rectas 1. Sea A(−1, 8, 7), B(4, 5, 8) y C(4, 6, 7). Determinar los vectores de dirección de las rectas AB , BC y CA . Hallar las ecuaciones paramétricas de dichas rectas. Solución x = −1 + 5λ  A = (− 1,8,7 )  AB = (4,5,8) − (− 1,8,7 ) = (5,−3,1) : rAB ≡  :  y = 8 − 3λ AB = (5,−3,1)  z = 7 + λ    x=4  B = (4,5,8)  BC = (4,6,7 ) − (4,5,8) = (0,1,−1) : rBC ≡  : y = 5 + λ BC = (0,1,−1)  z = 8 − λ  .   x = 4 − 5λ  C = (4,6,7 )  CA = (− 1,8,7 ) − (4,6,7 ) = (− 5,2,0 ) : rBC ≡  :  y = 6 + 2λ CA = (− 5,2,0 )  z = 7  . 2. Demostrar que los puntos A(−1, 8, 7), B(4, 1, 5) y C(−7, 6, 5) no están alineados. Solución Una forma distinta de comprobar la linealidad de tres puntos es calcular la ecuación de la recta que pasa por dos de esos puntos, y comprobar si el otro punto la cumple. Si la cumple los puntos están alineados en caso contrario no lo están. r x = −1 + 5λ d r = AB = (4 − ( −1),1 − 8,5 − 7 ) = (5,−7,−2 )  rAB :  :  y = 8 − 7λ A = (− 1,8,7 )   z = 7 − 2λ   despejando el parámetro en cada ecuación e igualando se obtiene la ecuación continua de la recta AB x +1 y − 8 z − 7 = = 5 −7 −2 se sustituye el punto C en la ecuación continua de la recta AB −7 + 1 6 − 8 5 − 7 −6 2 = = : ≠ ≠1 5 −7 −2 5 7 Los puntos no están alineados.. r. 3. Determinar las ecuaciones paramétricas de la recta r cuya determinación lineal es (A, v ), siendo: r a) A(−5,4,0) y v = (2,−5,6). r b) A(−5,4,0) y v =(2,−5,6) r c) A(0,0,0) y v = (−1,4,0) r d) A(0,0,1) y v = (0,1,0) r e) A(−1,2,3) y v = (0,1,0) Solución  x = − 5 + 2λ. r  a) A(−5,4,0) y v = (2,−5,6): r ≡  y = 4 − 5λ  . z = 6λ.

(2)  x = −λ. r  b) A(0,0,0) y v = (−1,4,0): r ≡  y = 4λ. c).  z=0  x = 0 r  A(0,0,1) y v = (0,1,0): r ≡  y = λ z =1 .  x = −1. r  d) A(−1,2,3) y v = (0,1,0): r ≡  y = 2 + λ  z=3 . 4. Sean las rectas. x = −3t + 8 r ≡  y = 4 + t ; r’ ≡  z = 7 t + 1.  x = −7 − 9 t   y = 4 t + 9 ; r’’ ≡  z=6  Determinar las ecuaciones continuas respecto de cada una de ellas..  x = −8 t − 2   y=2  z = −1 . Solución Se despeja el parámetro en cada una de la ecuaciones y se iguala x −8  x = −3t + 8 : t = − 3 x −8 z −1  r ≡  y = 4+t :t = y−4 ⇒ = y−4 = 3 7 − z −1  z 7 t 1 : t = + =  7 x+7  x = −7 − 9 t : t = − 9 y−9 x +7 y−9  r' ' ≡  y = 4t + 9 : t = = ;z−6 = 0 ⇒ 4 −9 4  z=6  . x = −8t − 2  r ' ' ' =  y = 2 ⇒ y − 2 = 0; z + 1 = 0  z = −1  x −1 y + 2 z 2 x + 1 3y − 2 x−2 z+2 = = ; r' ≡ = = z + 5 ; r' ' ≡ = : y +1 = 0 −3 2 3 3 −1 4 −5 Determinar las ecuaciones paramétricas respecto de cada una de ellas.. 5. Sean las rectas r ≡. Solución Cada término de la ecuación se iguala al parámetro y se despeja la variable  x −1  −3 = λ  x = 1 − 3λ  y + 2 x −1 y + 2 z  r≡ = = ⇒ = λ r ≡  y = − 2 + 2λ −3 2 3  2  z = 3λ   z =λ  3.

(3)  2x + 1  3 =λ  3y − 2 2 x + 1 3y − 2 r' ≡ = = z+5⇒  =λ 3 −1  −1  z+5 = λ . 1 3  x = − 2 + 2 λ  2 λ r' ≡  y = − 3 3   z = −5 + λ . 6. Calcular la ecuación continua y una determinación lineal de cada una de las siguientes rectas x + z = 2  x = 3y + 8  y = 3x + 2 x = 6z + 1 r ≡ , r’ ≡  , r’’ ≡  , r’’’≡  z = − 6 y + 2 z = − 6 x + 5 y = 7    x − z = 4 Solución r, de cada ecuación se despeja la variable común “y”, igualando las ecuaciones resultantes x −8  y = 3  x = 3y + 8 x −8 z−2 x −8 y −0 z − 2 : : : =y= = =   z 2 − 3 3 1 −6 −6  z = −6 y + 2 y = −6 .  P = (8,0,2 ) determinación lineal de r:  r d r = (3,1,−6 ). y−2  x = 3 :  z −5 x = −6   P' = (0,2,5) determinación lineal de r’:  r d r ' = (1,3,−6 )  y = 3x + 2 r’ ≡   z = −6 x + 5. :. x=. y−2 z−5 = −6 3. :. x −0 y−2 z −5 = = −6 1 3. x = 6z + 1 , dela primera ecuación se despeja z  y=7. r’’ ≡  x −1  z =  6  y − 7 = 0. :.  x −1 z − 0  =  6 1  y − 7 = 0. :. x −1 z − 0 = ;y−7 = 0 6 1.  P' ' = (1,7,0 ) determinación lineal de r’:  r d r '' = (6,0,1) x + z = 2 r’’’≡  , se resuelve el sistema: x − z = 4 P' ' ' = (3,0,−1) determinación lineal de r’’’:  r  d r ''' = (0,1,0 ). x=3   z = −1. :. x − 3 = 0; z + 1 = 0.

(4) 7. Sea A(4, −1, 3), B(2, 5, 8) y C(5, −1, 6). Hallar las ecuaciones de las rectas medianas del triángulo ABC.. Solución Mediana, recta que pasa por un vértice y por el punto medio del lado opuesto. Punto medio de un segmento, semisuma de los extremos del segmento.. 9  4 + 5 − 1 + (−1) 3 + 6   9 , , M: Punto medio de AC:   =  ,−1,  2 2  2 2  2  2 + 5 5 + (−1) 8 + 6   7  N: Punto medio de BC:  , ,  =  ,2,7  2 2 2 2     11   4 + 2 −1+ 5 3 + 8   P: Punto medio de AB:  , ,  =  3,2,  2 2   2  2. Mediana de A: rAN. Punto : A( 4,−1,3)   7    1  1 ≡ Vector : AN =  − 4,2 − (−1),7 − 3  =  − ,3,4  = (− 1,6,8)  2   2  2 x − 4 y +1 z − 3 = = rAN ≡ −1 6 8. Punto : B(2,5,8)   9 9 7 1   5 Mediana de B: rBM ≡  Vector : BM =  − 2,−1 − 5, − 8  =  ,−6,−  = (6,−12,−7 )  2 2 2 2  2 x − 2 y −5 z −8 rBM ≡ = = 6 − 12 −7. Mediana de C: rCP. Punto : C(5,−1,6)   1 1 11    ≡ Vector : CP =  3 − 5,2 − ( −1), − 6  =  − 2,3,−  = (− 4,6,−1)  2 2 2    x − 5 y +1 z − 6 rCP ≡ = = −4 6 −1.

(5) 8. Ecuación de la recta que pasa por (1,−1,0) y es paralela a la recta:. x −1 y z = = . 2 −1 3. Solución Se pide calcular la ecuación de una recta s conocida una paralela r y un punto de s. La determinación lineal de s vendrá dada por  A = (1,−1,0 ) r s : r d s = d r = (2,−1,3) s≡. x −1 y +1 z = = 2 3 −1. 9. Ecuación de la recta que pasa por (3, 0, 2) y (−4, 1, 3). Solución. r r AB = b − a = (− 4 − 3, 1 − 0, 3 − 2 ) = (− 7, 1, 1) Determinación lineal:   A = (3, 0, 2 ) x −3 y−0 z−2 = = rAB ≡ −7 1 1. r r r r 10. Ecuación de la recta que pasa por (1, 0, −2) y es paralela al vector v =3 u 1+ u 2−2 u 3. Solución r  d = vr = (3, 1, − 2 ) Determinación lineal:  A = (1, 0, − 2 ) x − 1 y − 0 z − (−2) = = r: 3 1 −2 x −1 z+2 =y= r: 3 −2. 11. Ecuaciones de las rectas que son paralelas a los ejes y pasan por (2, 3, −4). Solución • Paralela a OX: r r  d = i = (1, 0, 0 ) Determinación lineal:  A = (2, 3, − 4 ) x = 2 + λ  y=3  Paramétricas:  y = 3 Ecuaciones reducidas:   z = −4  z = −4  •. Paralela a OY:. r r  d = j = (0, 1, 0) Determinación lineal:  A = (2, 3, − 4)  x=2  Paramétricas:  y = 3 + λ  z = −4 . x=2 Ecuaciones reducidas:  z = −4.

(6) •. Paralela a OZ:. r r d = k = (0, 0, 1) Determinación lineal:  A = (2, 3, − 4 )  x=2  Paramétricas:  y = 3  z = −4 + λ . x = 2 Ecuaciones reducidas:  y = 3. 12. Dados A(2, 6, −3), B(3 , 3, −2), hallar los puntos de la recta AB que tengan al menos una coordenada nula. Solución Se calcula la recta AB y se buscan los punto de intersección con los planos coordenados. Recta AB.. r r  AB = b − a = (3 − 2, 3 − 6, − 2 − (− 3)) = (1, − 3, 1) Determinación lineal:  A = (2, 6, − 3) x −2 y−6 z+3 = = rAB ≡ −3 1 1 1ª componente nula (x = 0).   x − 2 y − 6 z + 3 0 − 2 y − 6 z + 3 − 2 =  = = = : =  1 1 : −3 1 −3 1 − 2 =  x=0 . y−6 : y = 12 −3 ⇒ P1 = (0, 12, − 5) z+3 : z = −5 1. 2ª componente nula (y = 0).  x−2 x − 2 y − 6 z + 3 x − 2 0 − 6 z + 3  = 2:x = 4  = = : 1 ⇒ P2 = (4, 0, − 1) = =  1 −3 1 : 1 1 2 = z + 3 : z = −1 −3  y=0 1 . 3ª componente nula (z = 0).  x−2 = 3: x = 5 x − 2 y − 6 z + 3 x − 2 y − 6 0+ 3   = = 1 : : ⇒ P3 = (5, − 3, 0) = =   1 1 −3 1 1  y − 6 = 3 : y = −3 −3  z=0  −3. 13. Ecuación de la radicación de rectas de vértice Q(−1, 3, 1). Recta de dicha radicación paralela a y−2 z+3 r≡x−3 = = . 3 −1 Solución Radicación de vértice Q: x − (−1) y − 3 z − 1 = = ∀α, β, γ ∈ R α β γ La recta de esta radicación paralela a r tendrá igual vector de dirección x +1 y − 3 z −1 = = −1 1 3.

(7) 14. Ecuación de la radicación de rectas de vértice V(−7, 3, −4). Recta de esa radicación perpendicular al plano 3x − 8y + z = 0. Solución Radicación de vértice V: x − (−7 ) y − 3 z − (−4 ) = = ∀α, β, γ ∈ R α β γ La recta de dicha radicación perpendicular al plano π, tendrá como vector de dirección un vector r paralelo al vector característico de π n = (3, − 8, 1) x +7 y−3 z+4 = = −8 3 1. 15. Ecuación de la recta perpendicular a las recta r ≡. x −5 y−3 z−2 x − 2 y +1 z y = = ys≡ = = 8 7 3 5 2 4. que pasa por (1, 2, 0). Solución El vector de dirección de la recta buscada (t) se obtiene como producto vectorial de los vectores de dirección de las dos rectas. r r r 2 4 8 4 8 2  = (− 2, − 12, 10) = 2 ⋅ (− 1, − 6, 5) d t = d r × d s = (8, 2, 4)× (7, 3, 5) =  ,− ,  3 5 7 5 7 3  A = (1, 2, 0) x −1 y − 2 z − 0 t : r :t ≡ = = ( ) d 1 , 6 , 5 = − − 5 −6 −1  t.

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