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(1)

GEOMETRÍA PROPORCIONAL

SEMEJANZA

I. Determine la veracidad o falsedad de las siguiente proposiciones

1. _____ Dos triángulos congruentes son siempre semejantes. 2. _____ Todos los rombos son semejantes entre sí.

3. _____ Si dos triángulos tienen dos pares de lados proporcionales y un par de ángulos congruentes, entonces son siempre semejantes.

4. _____ Dos triángulos que tiene dos pares de ángulos congruentes, son siempre semejantes.

5. _____ Si la razón entre dos elementos homólogos de dos triángulos semejantes es 4

6, entonces la razón entre sus áreas respectivamente es 49.

6. _____ Al trazar la altura correspondiente al vértice del ángulo recto de un triángulo, siempre se forman dos triángulos equivalentes.

7. _____ Si la dos secantes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia son de igual longitud, entonces sus segmentos exteriores están en la razón 1 : 1.

8. _____ Las dos tangentes trazadas desde un punto exterior a una circunferencia, pueden tener distinta longitud.

II. Complete las siguientes afirmaciones

1. Dos rectas que se cortan entre paralelas forman con éstas triángulos que son siempre ___________.

2. Dos triángulos rectángulos que tienen un par de ángulos agudos congruentes son siempre ___________.

3. Si se traza la altura correspondiente al vértice del ángulo recto de un triángulo escaleno, se forman dos triángulos que son siempre ___________ y ___________ con el triángulo original.

4. En todo triángulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es

C u r s o :

Matemática

(2)

III. Dadas las siguientes figuras, determine la veracidad o falsedad de las proporciones planteadas

a)

1. _____ a = c

b d

2. _____ e = a

f b

3. _____ a = a + b

e f

4. _____ c = e c + d f 5. _____ a = b

c d

6. _____ a = e c f 7. _____ a + b = a

c + d c DE // AB; a b; ac

8. _____ Área ( DEC) Área ( ABC)



 =

2 a b    

  ABC es escaleno

9. _____ Perímetro ( DEC) Perímetro ( ABC)



 = ae

b)

1. _____ c = d

b a

2. _____ c = b

a d

3. _____ d = e

b f

4. _____ d = a

b c

5. _____ c = d c + a d + b 6. _____ c + d = a + b

e f

7. _____ Perímetro ( ABE) = c Perímetro ( DEC) a



 DC // AB ; c a

ABE es escaleno

A B

C

D E

f

b d

a c

e

fig. 1

A B

fig. 2

D C

E

b a

c d

e

(3)

c)

1. _____ DB = BE AB EC 2. _____ EB = BC ED AC 3. _____ EB = DB AB CB 4. _____ DB = CB BE AB 5. _____ AC = ED

AB EB ABC es escaleno

6. _____ Área ( DBE) = DB 2 BC Área ( ABC)

  

 

  

d)

1. _____ a = b

e f

2. _____ c = c + d

e f

3. _____ a = c

b d

4. _____ a + b = c + d

b d

5. _____ a + b = c + d a b c d 6. _____ a + b = e

c + d f

7. _____ Área (FCDE) = e 2 f Área (ABCF)

   

  ED // FC // AB ; EA y DB no son paralelas a b

e)

1. _____ AP = AP PB AB 2. _____ AP = AB PB PB 3. _____ AP = AB

PB AP P divide al segmento AB en sección áurea AP > PB 4. _____ AP = 2

PB _{5 + 1} 5. _____ AB = 2

AP _{5 1}



A _D B

C

E fig. 3

A B

E D

F C

b d

a c

f e

fig. 4

(4)

f)

1. _____ CD = DB

AD CD

2. _____ CB = DB AB CB 3. _____ AC = DB

AD AC

4. _____ AC = DB CD BC

g)

1. _____ CD = CP AB PA 2. _____ CP = DP PB AB 3. _____ DP = CP PA PB 4. _____ CD = BA DP PA

h)

1. _____ AP = AC BP BD 2. _____ DP = BP CP AP 3. _____ DB = AP AC BP 4. _____ AD = PB CB PA

i)

1. _____ BP = TB TP TA 2. _____ TB = BP

AB TB T: Punto de tangencia

3. _____ TP = BA

PB TP AT no es diámetro

4. _____ TP = PB AP TP

A B

C

D

fig. 1

AC BC y CD es altura El ABC es escaleno

C

D A

B P

fig. 2

C

D

A B

P

fig. 3

P

A

B T

(5)

SEMEJANZA RESUMEN DE MATERIA

ED // AB

1. a = c = e a + b c + d f = k 2. a = c

b d

3. Área ( EDC) Área ( ABC)



 = k

2

ED // AB

1. d = =c e b a f = k 2. d = c = e

a + d c + b e + f 3. Perímetro ( CDE)

Perímetro ( ABC) 

 = k

AB // FC // ED

1. a = c

b d

2. a = c

a + b c + d

1. Determinexen cada uno de los siguientes ejercicios

a)

DE // AB CB = 18 cm CE = 8 cm AD = 7,5 cm AC = x

b)

L1// L2

c)

GH // FE

GF : GD = 4 : 1 FE = x

d)

FE // GD // CA

BE : ED : DA = 5 : 4 : 3 AB = 48 cm

FE = 15 cm AC = x C A B E D a c b d f e A B E D C b a c d e

f A B

E D

F C

b d

a c

x – 2 x + 3

24 cm 18 cm

L1 L2 D E F G H 3y

4y + 22

(6)

e)

ED // AB CD : DA = 2 : 3

x = Perímetro ( CDE) Perímetro ( ABC)

 

f)

DE // AB CD = 2y – 1 CE = y + 1 DA = 6 cm EB = 12 cm x = Área ( CDE)

Área ( ABC)  

g)

FH // QR HP = y + 3 RH = 4y – 1 FH = 4 cm QR = 12 cm RP = x

h)

TGD _THF GT = 2

FT = q FD = P TH = x

i)

FG // DE // AB AD = 14 k DF = 4 k FC = 3 k BE = m EG = n GC = 12 x = m – n

j)

BC AB ABPQ es un trapecio QC = 13 cm QA = 26 cm QP = 12 cm x = Área (ABPQ) C

E

D

B

A

R P

F Q

H

A B

C

D E

B C

A D

F

E G A B

P C

Q

G F

D

H

(7)

k)

BCDE es un Paralelogramo

FD = 2 cm CD = 3 cm BC = 6 cm AE = x

l)

FA = CF + 4 CH = 30 cm HB = 40 cm AC = x

m)

B, A y E son puntos colineales

AB // DC

DF : FA = 3 : 2 AB = 15 cm AE = x

n)

CAB DBC AC = 20 cm BC = 16 cm AD = x

o)

DB AC DC = 4 cm AB = 16 cm

x = Perímetro (ABC)

p)

ED // FC // GB // HA EF : FG : GH = 3 : 4 : 6

ED = 10 cm AH = 36 cm FC = x E

C

F

B

A

D _30º

30º A

C

D

E _B

H F

A B

C

D

40º 140º

D C

A B

E F

A B

D C

H A

E D

G B

(8)

APLICACIONES DE LA SEMEJANZA RESUMEN DE MATERIA

1. h2 _{= p · q}

2. a2_{= p · c b}2_{= q · c}

3. h = a · b c

CD : Bisectriz

a₌ v

b u

División Áurea

AP > PB AB₌AP₌ 5 + 1

AP PB 2

1. Determinexen cada uno de los siguientes ejercicios a)

AC BC CD: Altura AD = 2 cm AB = 10 cm CD = x

b)

PRQ = 90º TR: Altura TP = 4 cm QT = 8 cm PR = x

c)

DF FE

FHD = 90º FH = 6 cm HE = 5 cm x = Área (DHF)

d)

QMN = 90º MF QN FN = 5 cm QN = 25 cm x = Perímetro (QMF)

A P B

A C

D B

b _h a

q

c p

A C

D B

b a

v u

b

a t b a

c d

b

d

a

c

a · b = c · d

t2_{= a(a + b)}

a(a + b) = c(c + d)

B

D

C A Q R

P T

D H E

F Q F N

(9)

e)

CD: Altura AC = 5 cm BC = 12 cm

x = DB – AD

f)

RQ QP QP = 6 cm HP = 5 cm RH = x

g)

FD = 12 cm DE = 5 cm HD = x

h)

AC = 9 cm BC = 12 cm AD = x

i)

TH HR HM : Altura TM = t MR = t + 3 HM = 28 cm x = Área (RTH)

j)

Pdivide en sección áurea al trazo QR QP > PR

QR = 8 cm QP = x

A D B

C R

H

Q P

F D

E H

A B

C

45º 45º

D

T

M

H R

(10)

k)

FG: Altura GE < DG DE = 25 cm FG = 12 cm x = Área (FGE)

l)

ACB = 90º DC: Altura ED BC BE = 2 cm EC = 8 cm x = DA m)

DB AC EC = 3 cm EB = 9 cm DE = x

n)

HQ = 2 cm TQ = 20 cm PH = 4 cm RP = x

D G E

F _B _D _A

C E

A B

D C

E P

Q R T

(11)

o)

PC : CB = 1 : 2 PD = 6 cm BC = 8 cm AD = x

p)

DF = 6 cm FB = 8 cm FA = 3 FC AC = x

q)

B: Punto de tangencia

PC = 25 9 cm CA = 11

9 cm PB = x

r)

GH = 3 cm HE = 24 cm FH : HD = 2 : 9 FD = x

A D

C F

B

A

D C

P B

A C

P

B

D G

F

(12)

s)

RG = 4 cm GD = 5 cm FE = 9 cm RE = x

t)

DF = 12 cm DB = 15 cm CA = 13 cm

CF < FA FA = x u)

CA: Diámetro BD CA BD = 8 3 cm

CF = 4 cm

x = Área del círculo v)

T: Punto de tangencia PB = PT – 3

BA = PB + 6 PA = x

EJERCICIOS

1. En la figura 1, L1// L2// L3. ¿Cuánto mide AB ?

A) 110 cm B) 100 cm C) 90 cm D) 70 cm E) 66 cm

D G

R

E F

A C

F

D B

A B

F

D C

T B

P

A

fig. 1 x

24 cm L3

L2

L1 A

x + 4

(13)

2. En la figura 2, L1// L2, AE : EB = 5 : 9 y DC = 70 cm. Entonces, DE mide

3. En la figura 3, L1// L2. Entonces, Área ( ECD)

Área ( ABD) 

 =

A) 25 36 B) 1

3 C) 1 4 D) 1 9 E) 1 16

4. En la figura 4, Q divide en sección áurea a PR . Entonces,siemprese cumple que

A) a2_{– b}2 _{= 2ab}

B) b2_{– a}2 _{= 5ab}

C) a2_{– b}2 _{= 0}

D) a2_{– b}2 _{= 4ab}

E) a2_{– b}2 _{= 3ab}

5. Si en el rectángulo ABCD de la figura 5, BC = 4 cm y EF = 14 cm, entonces la diagonal AC mide

D

A E B

C

L1 L2

fig. 2

D

B C

E

A L1

L2

4x – 10 x

x + 2

4x – 4

fig. 3

P a + b Q a – b R fig. 4

A B

D C

E

F

(14)

6. En el triángulo ABC rectángulo en C, de la figura 6, DB mide 9 cm más que AD y la altura CD mide 20 cm. ¿Cuál es el área del triángulo ABC?

A) 160 cm2

B) 360 cm2

C) 410 cm2

D) 534 cm2

E) 820 cm2

7. En la circunferencia de la figura 7, AP : AB = 2 : 5. Si CP = 8 cm y PD = 3 cm, entonces la medida de PB es

8. En la circunferencia de la figura 8, la cuerda AB es perpendicular al diámetro CD . Si CP = 5 cm y PB = 8 cm, ¿cuánto mide el diámetro de la circunferencia?

A) 6,4 cm B) 8,9 cm C) 9,5 cm D) 12,8 cm E) 17,8 cm

9. En la figura 9, AD es tangente en D a la circunferencia de centro O. Si AD = 6 cm y AC = 9 cm, entonces el perímetro de la circunferencia es

A) 2,5 cm B) 4 cm C) 5 cm D) 6,25 cm E) 10cm

A D B

C

fig. 6

A _D

C

P

B

fig. 7

fig. 8 D

B

P

A C

fig. 9 A D

(15)

10. En la figura 10, PA y PB son secantes. Si BC : PD : DA = 1 : 2 : 4 y PC = 9 cm, entonces DA mide

A) 18 B) 12 C) 8 D) 6 E) 3

RESPUESTAS

Página 1 I.

1. V 2. F 3. F 4. V

5. V 6. F 7. F 8. F II.

1. Semejantes 2. Semejantes

3. Semejantes ; semejantes

4. Media proporcional geométrica ; proyecciones Página 2

III. a) 1. V 2. F 3. V 4. V 5. V

6. F 7. V 8. F 9. F

b) 1. F 2. F 3. V 4. F

5. 6. V 7. V 8. F Página 3

c) 1. F

2. F 3. V4. V 5. V6. V

B

C

D P

A

(16)

d) 1. F

2. F 3. V4. V 5. V6. F 7. F

e) 1. F

2. F 3. V4. F 5. V

Página 4

f)

1. V 2. V 3. F 4. F

g)

1. F 2. F 3. V 4. V

h)

1. V 2. V 3. F 4. F

i)

1. V 2. F 3. F 4. V

Página 5

1.

a) 13,5 cm b) 17 cm c) 30 cm d) 36 cm

Página 6

e) 2 5 f) 1

49

g) 19,5 cm h) 2q

q p

i) 40 j) 240 cm2

Página 7

k) 6 cm

(17)

Página 8

a) 4 cm b) 4 3 cm

c) 21,6 cm2

d) (30 + 10 5 ) cm

Página 9

e) 119 13 cm f) 2,2 cm

g) 60 13 cm h) 45

7 cm

i) 11 7 cm2

j) (4 5 – 4) cm

Página 10

k) 54 cm2

l) 8 5 cm m) 3

3₃ _cm n) 13 cm

o) 2 cm p) 16 cm

Página 11

q) 3 1 3 cm r) 22 cm

s) 12 cm

t) 9 cm u) 64 cm

2

v) 12

CLAVES EJERCICIOS SELECCIÓN MÚLTIPLE

1. A 6. C 2. C 7. C 3. E 8. E 4. D 9. C 5. D 10. B

DMCAMA-M05T

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Matemática

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