Instituto Tecnológico de Tijuana
Algebra Lineal
Dra. Marisela Castillo López.
Unidad II:
Matrices y determinantes.
PARTE I
Matrices y determinantes.
Introducción.
Definición. Una matriz es un arreglo rectangular de números denominados entradas, o elementos, de la matriz. Las matrices tienen propiedades algebraicas propias que nos permiten hacer cálculos con ellas, sujetos a las reglas del algebra de matrices. Los siguientes son ejemplos de matrices:
(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
2
5
1
0
1
2
,
1
, 4 , 1 1 1 1
0
3
2
17
2
5.1
1.2
1
3
0
6.9
0
4.4 , 7 , 9
5
7.3
9
8.5
1 4
Matrices y determinantes.
Introducción.
El tamaño de una matriz es una descripción de los números de renglones y columnas que tiene. Se dice que una matriz es de mxn (se lee: «m por n»), si tiene m renglones y n columnas.
a) matriz cuadrada, c)matriz columna o vector columna , d) matriz renglón o vector renglón
(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
2
5
1
0
1
2
,
1
,
4 ,
1 1 1 1
0
3
2
17
2
)2 2
)2 3
)3 1
)1 4
a
x
b
x
c x
d x
Matrices y determinantes.
Introducción.
Se utiliza una notación de subíndice doble para hacer referencia a las entradas de una matriz A: la entrada de A en el renglón i y la columna j se denota mediante;
Se puede denotar una matriz de manera compacta mediante [aij] o [aij] mxn si es importante especificar el tamaño de la matriz A.
(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
ij
a
13 22
3 9
1
,
1,
5
0
5
4
A
a
y
a
Matrices y determinantes.
Introducción.
Una matriz se puede generalizar de la siguiente forma:
Si las columnas de A son los vectores : entonces se puede representar como:
(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
11 12 1
21 22 2
1 2
n n
m m mn
a
a
a
a
a
a
A
a
a
a
1, 2, , n,
a a a
1 2
[
n]
Matrices y determinantes.
Las entradas diagonales de A son:
Si A tiene el mismo número de renglones y columnas, entonces se conoce como una
matriz cuadrada
. Una matriz cuyas entradas no diagonales sean todas cero se denominamatriz diagonal.
Una matriz diagonal en la cual todas sus entradas diagonales sean las mismas se conoce comomatriz escalar
. Si el escalar de la matriz diagonal es uno, entonces la matriz escalar se llamamatriz identidad
. La matriz identidad se denota mediante el símbolo In o simplemente I.(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
11 22 33 mn
a
a
a
a
1
0
0
0
1
0
0
0
1
n
I
Matrices y determinantes.
Operaciones con matrices.
Adición de matrices. La adición de matrices se realiza componente a componente. Si A= [aij] y B=[bij] son matrices de mxn, su suma A+B es la matriz de mxn obtenida mediante la suma de las entradas correspondientes.
A+B=[aij+bij]
A+C y B+C :no esta definida la operación.
(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
1 4 0 3 1 1 4 3
, ,
2 6 5 3 0 2 2 1
2 5 1 1 6 7
A B C
A B
Matrices y determinantes.
Multiplicación por escalares. La definición por componentes de la multiplicación por escalares se realiza cA. Si A es una matriz de mxn y c es un escalar, entonces el múltiplo escalar de cA es la matriz de mxn obtenida al multiplicar cada entrada de A por c. De otra manera:
(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
1
4
0
1
4
0
,
( 1)
2
6
5
2
6
5
1
2
0
2
8
0
1
2
2
,
,
4 12 10
2
5
1 3
2
A
A
A
A
Matrices y determinantes.
Ejercicio 1:
1) Realizar las siguientes operaciones con matrices:
1
2
3
0
4
2 1
,
,
3
4 ,
1 5
0
2
3
5
6
0
3
1
,
4
2 ,
2
1
2
A
B
C
D
E
F
Matrices y determinantes.
Ejercicio 1: 31.
2
3.
5.
7.
9. (
)
11.
13.
(
)
15.
T T T
A
D
B C
AB
D
BC
E AF
FE
B C
CB
A
2 22.3
2
4.
6.
8.
10. (
)
12.
14.
16.(
)
T TD
A
B C
BD
B B
F DF
EF
DA
AD
I
D
(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
Matrices y determinantes.
Producto de matrices
.
Definición.
Si A es una matriz de mxn y B es una matriz de nxr,
entonces el producto C=AB es una matriz mxr. La entrada (i,j) del
producto se calcula como sigue:
Las matrices A y B no necesitan ser del mismo tamaño. Sin embargo, el
número de columnas de A debe ser el mismo de renglones de B.
Las n son iguales para las dos matrices.
El tamaño de la matriz resultante AB es de mxn.
(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
1 1 2 2
ij i j i j in nj
c
a b
a b
a b
mxn
A
B AB
nxr mxnMatrices y determinantes.
La fórmula para las entradas del producto se asemejan a un producto punto. Se dice que la entrada (i,j) de la matriz AB es el producto punto del i-èsimo renglón de A y de la j-èsima columna de B:
En la expresión:
los “subíndices exteriores” en cada término ab de la suma son siempre i y j, mientras que los “subíndices interiores” siempre concuerdan y se incrementan desde 1 hasta n.
(Algebra Lineal, David Poole, Editorial Thomson, 2004).
11 12 1
11 1 1
21 2 2
1 2 1 1 2 n j r j r
i i in in
n nj nr
m m mn
a
a
a
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
a
a
a
1 1 2 2
ij i j i j in nj
Ejemplo1: Calcule AB si:
