Ejercicios Resueltos Dinámica-Singer

(1)

ESCUELA DE FORMACI ´

ON PROFESIONAL DE INGENIER´IA CIVIL

CINEM ´ATICA

PRIMERA PR ´ACTICA CALIFICADA

SOLUCI ÓN DE MEC ÁNICA VECTORIAL (DIN ÁMICA) Ferdinand L.Singer

Asignatura: DIN ´AMICA (IC - 244)

Docente:

Ing. CASTRO PER ´EZ,Cristian Alumnos:

CARBAJAL SULCA, Wilber 16105591

G ´OMEZ HUAZACCA, K´aterin Roxana 16105633

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1.1. Componente rectangular del movimiento curvil´ıneo

El pasador P se mueve por una trayectoria curva determinada por los movimientos de los eslabones ra-nurados A y B. En el instante mostrado por la figura, A tiene una velocidad de 30 cm/s y una aceleraci ´on de 25 cm/s2 , ambas hacia la derecha, mientras que B tiene una velocidad de 40 cm/s y una aceleraci ´on de 12.5

cm/s2, ambas verticalmente hacia abajo. Determinar el radio de curvatura de la trayectoria de P en ese instante.

Figura 1: Problema 01

SOLUCI ´ON:

Figura 2: Soluci ´on del problema 01

Tenemos: −−→ VA = −30ˆicm/s −−→ aA = −25ˆicm/s2 −−→ VB = −40 ˆjcm/s −→ aB = −12,5 ˆjcm/s2

(3)

La velocidad y aceleraci ón de P: − → V =−V−→A+ −−→ VB = −30î − 40 ˆjcm/s − → a =−a−→A + −→ aB = −25î − 12,5 ˆjcm/s2

La aceleraci ´on normal est´a definida por:

an= |_{V × a|} |_{V |} = V2 ρ ⇒ V3 |_{V × a|} Reemplazando en (1) obtenemos el radio de curvatura:

ρ =|V ×a|V3 ρ =50₆₂₅3 ρ = 200cm

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2.1. Componente rectangular del movimiento curvil´ıneo

La posici ón del pasador P en la ranura circular que se ve en la figura está controlada por la gu´ıa inclinada que se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 6.4cm/s en cada intervalo de movimiento .calcular la velocidad y la aceleraci ón de P en la posici ón dada.

Sugerencia: trazando la posici ón de la gu´ıa un corto tiempo t después de la posici ón dada, obtener las coordenadas absolutas del movimiento (a lo largo de la gu´ıa) en términos de tiempo. El movimiento absoluto de P en la ranura circular es igual a la suma Geométrica del movimiento de la gu´ıa más el de P a lo largo de la misma.

SOLUCI ´ON:

De la figura se obtiene: x = Rcosθ , y = Rs inθ x = 12,53₅ x = 7,5cm y = 12,54₅ y = 10cm ⇒_{x = 7,5cm ; y = 10cm} De la gr´afica se obtienes la ecuaci ´on de la circunferencia:

(5)

Derivamos la ecuaci ´on para obtener la velocidad en y: 2x ˙x + 2y ˙y = 0 si ˙x = 6,4 cm/s ˙y = −x ˙x_y ˙y = −7,5(6,4)₁₀ ˙y = −4,8 m/s2 Volvemos a derivar para obtener la aceleraci ´on en y:

2x ˙x + 2y ˙y = 0 2x ¨x + 2y ¨y + 2 ( ˙x)2+ 2 ( ˙y)2= 0 x ¨x + y ¨y + ( ˙x)2+ ( ˙y)2= 0 ¨ x = 0 ¨ y = −( ˙x)2+( ˙y)_y 2 ¨ y = −6,42+(−4,8)₁₀ 2 ¨ y = −6,4 cm/s2

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3.1. Componente rectangular del movimiento curvil´ıneo

Una varilla telesc ´opica mostrada en la figura hace mover el pasador P a lo largo de la trayectoria fija dado por y = _22,51 x2 Cuando x = 15cm se sabe que la velocidad y la aceleraci ´on de P son respectivamente

v = 30i + 40jcm/s y a = 25i + 50jcm/s2

¿Cu´al es entonces la aceleraci ´on angular de la varilla?

SOLUCI ´ON:

y = 1 22,5x 2_{v = ( ˙x, ˙y) ¯}_¯ _{v =}_˙x, 2 22,5x ˙x = (30, 40) Comprobamos que: ˙x = 3a = ( ¨x, 2 22,5 ˙x 2₊ 2 22,5˙x ¨x) ¨x = 25tgθ = x 30 − y Derivando la ecuaci ´on

tgθ = x

30 − ysec

2_{θ ˙}_{θ =}(30 − y) ˙x − x(− ˙y)

(30 − y)2 ...(1)

(7)

2senθ ˙θ2

cos3_θ + ¨θsec

2_{θ =}(30 − y)2(30 ¨x − ( ˙y ˙x + ¨x ˙y) + ˙x ˙y + ¨yx) − 2(30 − y)( ˙y)(30 ˙x − y ˙x + x ˙y)

(30 − y)2 Para: ˙x = 30 ˙y = 40 ¨ x = 25 ¨ y = 50 Obtenemos: ¨ θ = 3,30rad/s2

La aceleracion angular es:

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4.1. Componente radial y transversal del movimiento curvil´ıneo

La manivela AB de un mecanismo de un brazo oscilante de retroceso r´apido que se ve en la figura ,gira con una rapidez constante en el sentido de giro de las manecillas del reloj a11,2rad/s .Calcular la aceleraci ´on angular del brazo CD en el instante en que la manivela AB esta horizontal como se ve en la figura

SOLUCI ´ON:

Se observa que es movimiento en coordenadas polares donde

Hallamos la velocidad y la aceleraci ´on para la manivela AB: Datos: ˙ θ = 11,2rad/s, ¨θ = 0 rAB= 25cm , ˙rAB= 0 , ¨rAB= 0 Adem´as: vr= ˙r → ˙rAB= 0 = vr vθ= r ˙θ → vθ= 25 × 11,2 = 280 Luego: v = q v2r + v_θ2= 280cm/s

Hallamos la aceleraci ´on radial:

ar= ¨r − r ˙θ2→_ar_{= 0 − 25 × 11,2}2_{= −3136} aθ= r ¨θ + 2 ˙r ˙θ → aθ= 0 + 0 = 0 Luego: a = q a2r+ a2θ= 3136cm/s2

(9)

aθ= arCosθ vr= −vbCosθ vθ= vbSenθ

De donde se obtiene la velocidad angular:

vr= ˙r → ˙rCB= −280Cosθ ≈ −250,4 vθ= r ˙θ → r ˙θ = 280Senθ → ˙θ = 2,24rad/s

Hallamos la aceleraci ´on angular:

arCosθ = 2 ˙rCB+ rCBθ¨ ¨ θ =arrCosθ−2 ˙rCB rCB ¨ θ =−3136Cosθ+2(250,4)(2,24)_55,4 ¨ θ = −30,09rad/s2

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5.1. Componente radial y transversal del movimiento curvil´ıneo

En la posici ón mostrada en la figura, el extremo de 60 cm/s A de la varilla tiene una componente de velocidad , hacia la derecha, de y una componente de aceleraci ón, hacia arriba, de . determine la aceleraci ón angular de la varilla en esta posici ón.

SOLUCI ´ON:

De la figura obtenemos: Vr= V cos θ , Vθ= −V sin θ Vr= 60 ₄ 5 Vr= 48 cm/s Vθ= −60 ₃ 5 Vθ= −36rad/s

Seg ´un las siguientes ecuaciones :

Vr= ˙r ; Vθ= r ˙θ Vr= ˙r = 48cm/s Vθ= −36 Vθ= r ˙θ , r = 25 ˙ θ = −36₂₅ ˙ θ = −1,44rad/s

(11)

De la gr´afica se obtiene lo siguientes: Vr= V cos θ , Vθ= −V sin θ Vr= 604₅ Vr= 48 cm/s Vθ= −60 ₃ 5 Vθ= −36rad/s Vr= ˙r ; Vθ= r ˙θ Vr= ˙r = 48cm/s Vθ= −36 Vθ= r ˙θ , r = 25 ˙ θ = −36₂₅ ˙ θ = −1,44rad/s

De la gr´afica se obtiene lo siguientes:

Vr= V cos θ , Vθ= −V sin θ Vr= 604₅ Vr= 48 cm/s Vθ= −60 ₃ 5 Vθ= −36rad/s Por formula se tienes :

Vr= ˙r ; Vθ= r ˙θ Vr= ˙r = 48cm/s Vθ= −36 Vθ= r ˙θ , r = 25 ˙ θ = −36₂₅ ˙ θ = −1,44rad/s

De la gr´afica se obtiene lo siguientes:

aθ= a cos θ , ar= a sin θ aθ= 120 ₄ 5 aθ= 95rad/s2 aθ= r ¨θ + 2 ˙r ˙θ = 95 ¨ θ =95−2 ˙r ˙_r θ ¨ θ =95−2(48)(−1,44)₂₅ ¨ θ = 9,3696rad/s2

(12)

6.1. Cinem ´atica de cuerpo r´ıgido

El cuerpo B hace que el tambor compuesto de la figura, rueda sin resbalar hacia arriba del plano. Si la aceleraci ´on lineal de B es 0.6 m/s2 hacia abajo, calcular la aceleraci ´on lineal del cuerpo A. Suponga que la cuerda que sostiene a A. Suponga que la cuerda que sostiene a A permanece vertical.

SOLUCI ´ON:

Determinamos: −−−→rB/O

−−−→

rB/O = 0,9Sen37ˆi − 0,9Cos37 ˆj

−−−→ rB/O = 0,54ˆi − 0,72 ˆj aB= 0,6m/s2 −−−→ rB/O = 0,54ˆi − 0,72 ˆj aB= 0,6m/s2

(13)

Si:−a→B

−→

aB =−aO−→+→−α ×−−−→rB/O +ωOB−−−−→×−_ωOB−−−→×−−−→_rB/O −→ aB = α ˆk × 0,54î − 0,72 ˆj+ ω ˆk ×ω ˆk ×0,54î − 0,72 ˆj −→ aB = 0,72α î − 0,54α ˆj + 0,72ω2j − 0,54ωˆ 2î −→ aB = 0,72α − 0,54ω2_{î+ 0,54α + 0,72ω}2_ˆj Pero: −→ aB = 0,6 × 4 5î + 0,6 × 3 5jˆ Entonces:

Figura 13: Soluci ´on final del problema 06

0,72α − 0,54ω2_{= 0,6 ×}4 5... (1) 0,54α + 0,72ω2= 0,6 ×3₅... (2) De (1) y (2): α = 0,667rad/s2y ω2= −0,00025rad/s2 Hallamos −a−→A : −−→

aA =−aO−→+→−α ×−rA/O−−−→+ωOA−−−−→×−_ωOA−−−→×−_rA/O−−−→ −−→ aA = α ˆk × −_0,9î_{+ ω ˆk ×}_{ω ˆk ×}−_0,9î −−→ aA = −0,9α ˆj + 0,9ω2î −−→ aA = −0,6 ˆj + 0,0025î −−→ aA = −0,6m/s2

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7.1. Cinem ´atica de cuerpo r´ıgido

Las varillas AB y CD est´an articuladas en B como se observa en la figura, y se mueven en un plano vertical con las velocidades angulares absolutas y . Determine las velocidades lineales de los puntos C y D.

SOLUCI ´ON:

(15)

De la figura tenemos: ωAB= 4rad/s ⇒ −−−→ ωAB = 4ˆkrad/s ωCD= 3rad/s ⇒−ωCD−−−→= 3ˆkrad/s −−−→ ρAB = 15îcm −−−→ ρBC = 10 ˆjcm −−−→ ρBD = −15 ˆjcm De AB: ~ VB= −−−→ ωAB × −−−→ ρAB ~ VB= 4ˆk × 15î ~ VB= 60 ˆjcm/s De BC: ~ VC= ~VC+ −−−−→ ωCD × −−−→ ρBC ~ VC= 60 ˆj + 3ˆk × 10 ˆj ~ VC= 60 ˆj − 30î ~ VC= −30î + 60 ˆjcm/s ~ VC = 75cm/s

(16)

8.1. Cinem ´atica de cuerpo r´ıgido

Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las gu´ıas horizontales e inclinadas mostradas en la figura. En la posici ´on dada ω = −4bkrad/s y α = −5bkrad/s2, ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj. Calcular la aceleraci ´on de los puntos A, B y C.

SOLUCI ´ON:

Por cinem´atica de cuerpos r´ıgidos:

ω = −4ˆkrad/s α = −5bkrad/s2

(17)

aB= aA+ ˙ωxρAB+ ωx(ωxρAB)

aB= aA+ −5bkx(−1,5 cos 37obi − 1,5sen37obj) + −4bkx(−4bkx(−1,5 cos 37obi − 1,5sen37obj))

aB(− cos 53obi − sen53obj) = −aAbi + 5,9898bj − 4,5136bi + 19,1673bi + 14,4436bj

aB(−sen53obj) = 20,4334bj

aB= 25,5854m/s2 aB= aB(− cos 53oˆi − sen53oj)ˆ aB= (−15,3977ˆi − 20,4334 ˆj)m/s2

Hallando aceleraci ´on de A:

aB(− cos 53obi) = −aAbi + 14,6537bi

aA= 0,7440m/s2

aA= −0,7440bim/s2

Hallando la aceleraci ´on de C:

aA= aC+ ˙ωxρCA+ ωx(ωxρCA) −_0,7440b_{i = a}_C_{+ −5b}_kx(1,8b_{j) + −4b}_kx(−4b_kx(−1,8b_j)) −_0,7440b_{i = a}_C_{+ 9b}_{i − 28,8b}_j aCbi = −9,7440bi aCbj = −28,8bj aC= 30,4037m/s2 aC= (−9,7440ˆi − 28,8bj)m/s2

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9.1. Cinem ´atica de cuerpo r´ıgido

Cuando el mecanismo biela-manivela mostrado en la figura , esta en la posici ´on dada,la velocidad y acele-raci ´on en C son vc= 4,8m/s , ar= 0,84m/s2, ambas vertical hacia abajo.

¿ cual es la aceleraci ´on angular en la manivela AB ?

En la posici ´on mostrada:

vc= 4,8m/s , ar= 0,84m/s2↓, aAB=? De manera vectorial: ₋_→ vc = −4,8 ˆj − → ac = −0,84 ˆj SOLUCI ´ON:

(19)

Hallamos la velocidad de B: VB= VA+ VB/A VB= VA+ h −_ωABˆk ×_{0,5î − 0,4 ˆ}_ji VB= −0,5ωABj − 0,4ωˆ ABî Hallamos la velocidad de C: VC= VB+ VC/B VC= VB+ h ωBCˆk ×−_{1,19î − 0,9 ˆ}_ji VC= −0,4ωABî − 0,5ωABj +ˆ h ωBCˆk × −_{1,19î − 0,9 ˆ}_ji VC= −0,4ωABî − 0,5ωABj − 1,19ωBCˆ j + 0,9ωBCˆ î VC= 0î − 4,8 ˆj Por lo tanto: −_0,4ω_AB_{= −0,9ω}_BC→_ω_BC₌0,4 0,9ωAB −_0,5ω_AB−_1,19ω_BC_{= −4,8} ωBC= 2,07rad/s ωAB= 4,665rad/s

Finalmente hallamos las aceleraciones: −→

aB =−aA−→+−aAB−−→×_rB/A−−−→₊−−−→_ωAB ×−−−→_ωAB ×−_rB/A−−→ −→

aB = aABˆk ×

0,5ˆi − 0,4 ˆj+−_4,665ˆk×−_{2,33 ˆ}_{j − 1,87ˆi} −→

aB = (0,4aAB−10,87) ˆi + (0,5aAB+ 807) ˆj

−−→ aC = −→ aB+ −−−→ aBC × −−−→ rC/B + −−−→ ωBC × −−−→ ωBC × −−−→ rC/B −−→ aC = −→ aB+ aBCˆk × −_{1,19ˆi − 0,9 ˆ}_j₊_2,207ˆk×−_{2,47 ˆ}_{j + 1,86ˆi} −→

aB =−aB→+ 1,19aBCj + 0,9aBCˆ ˆi + 5,11ˆi + 1,86 ˆj

−−→

aC = (0,4aAB−10,87) î + (0,5aAB+ 807) ˆj + 1,19aBCj + 0,9aBCˆ î + 5,11î + 1,86 ˆj

−−→

aC = (0,4aAB+ 0,9aBC−5,76) ˆi + (0,5aAB−1,19aBC+ 12,55) ˆj

0,476aAB−6,85 = 0

0,5aAB+ 10,54 = 0

aAB= −3,98rad/s2

(20)

En el instante mostrado en la figura ,la placa ABC ,gira con una velocidad constante de 2rad/s alrededor de la arista AB que se mueve en un plano vertical. En e mismo instante ,A tiene una velocidad hacia la izquierda de 2,4m/s y una aceleraci ´on de 3m/s2.Calcule la velocidad y la aceleraci ´on absoluta en C .

Se tiene como datos:

←_vA_{= 2,4m/s, → a}_A_{= 3m/s}2_{, ω = 2rad/s ,}−−−→_rC/A _{= 2,4 ˆ}_j SOLUCI ´ON:

−−→ VC = −−→ VA + −−−−→ ωAC × −−−→ rC/A −−−−→ ωAC = 2ˆk −−−→ rC/A = 2,4 ˆj

(21)

Adem´as se tiene que: −−−−→ ωAC = −−−→ ωAB = 2ˆi −−→ VC = −−→ VA + −−−−→ ωAC × −−−→

rC/A = −2,4ˆi + 2ˆi ×

2,4 ˆj −−→ VC = −2,4ˆi + 4,8ˆk −−→ VC = 5,37m/s

Hallando la aceleraci ´on: ₋₋_→

aC =−aA−→+−aAC−−→×_rB/A−−−→₊−_ωAC−−−→×−_ωAC−−−→×−−−→_rC/A −−→

aC = −3î + 2î ×2î × 2,4 ˆj

−−→ aC = −3î + 2î × 4,8ˆk −−→ aC = −3î − 9,6 ˆj aC= 10,058m/s2

(22)

11.1. Cinem ´atica de cuerpo r´ıgido

La rueda de la figura gira libremente sobre el arco circular. Mostrar que :

vA= rw y aAt = rα

SOLUCI ´ON:

(23)

Se observa en la figura y se tienes que la velocidad en O como en A respecto al piso en que se encuentra la rueda de lo cual se tiene l siguiente :

wo= ˙θ wA= ˙θ

wo= wA= ˙θ = w

De lo cual se obtiene y queda demostrado lo :

vA= rw sabemos que : v = wr ˙v = at ˙v =_dtd (wr) ˙v = r ˙w + ˙rw de donde r = constante ⇒ ˙r = 0 ˙v = r ˙w ˙ w = α at= rα

(24)

12.1. Cinem ´atica de cuerpo r´ıgido

Una placa ABC se mueve con sus extremos A y B sobre las gu´ıas horizontales e inclinadas mostradas en la figura. En la posici ´on dada ω = −4bkrad/s y α = −5bkrad/s2, ambas en sentido de giro de la manecillas del reloj. Calcular la aceleraci ´on de los puntos A, B y C.

SOLUCI ´ON:

Por cinem´atica de cuerpos r´ıgidos:

ω = −4ˆkrad/s α = −5bkrad/s2

(25)

aB= aA+ ˙ωxρAB+ ωx(ωxρAB)

aB= aA+ −5bkx(−1,5 cos 37obi − 1,5sen37obj) + −4bkx(−4bkx(−1,5 cos 37obi − 1,5sen37obj))

aB(− cos 53obi − sen53obj) = −aAbi + 5,9898bj − 4,5136bi + 19,1673bi + 14,4436bj

aB(−sen53obj) = 20,4334bj

aB= 25,5854m/s2 aB= aB(− cos 53oˆi − sen53oj)ˆ aB= (−15,3977ˆi − 20,4334 ˆj)m/s2

Hallando aceleraci ´on de A:

aB(− cos 53obi) = −aAbi + 14,6537bi

aA= 0,7440m/s2

aA= −0,7440bim/s2

Hallando la aceleraci ´on de C:

aA= aC+ ˙ωxρCA+ ωx(ωxρCA) −_0,7440b_{i = a}_C_{+ −5b}_kx(1,8b_{j) + −4b}_kx(−4b_kx(−1,8b_j)) −_0,7440b_{i = a}_C_{+ 9b}_{i − 28,8b}_j aCbi = −9,7440bi aCbj = −28,8bj aC= 30,4037m/s2 aC= (−9,7440ˆi − 28,8bj)m/s2