SECO Félix Monasterio-Huelin y Álvaro Gutiérrez. 2 de marzo de Índice 1. Índice de Figuras 1. Índice de Tablas 1

(1)

SECO 2014

F´

elix Monasterio-Huelin y ´

Alvaro Guti´

errez

2 de marzo de 2014

´

_Indice

´_Indice ₁

´_{Indice de Figuras} ₁

´_{Indice de Tablas} ₁

1. El problema del muestreo 2

2. Objetivos de los Sistemas de Control Realimentado 2

3. Se˜nales de referencia causales 3

3.1. Funciones causales retardadas . . . 5

4. Propiedades de la Transformada de Laplace unilateralL₋ y de la Transformada Z.Transformada L₋ yZ de funciones causales

mon´omicas 6

5. Transformadas inversas de Laplace yZ 10

6. La funci´on delta de Kronecker 10

7. Ecuaciones diferencial y en diferencias lineales de primer orden. Transformada L₋ y Z de funciones causales exponenciales 12

8. Discretizaci´on exacta de una ecuaci´on diferencial lineal de

pri-mer orden 15

9. Funci´on de transferencia y polinomio de condiciones iniciales 17

10.Significado f´ısico de ceros y polos 19

(2)

A. Ap´endices 25

A.1. Motor DC . . . 25

A.2. Simplificación de las ecuaciones del Motor DC por el método de eliminación de la constante eléctrica del motor . . . 28

A.3. Simplificación de las ecuaciones del Motor DC por el método de eliminación del polo no dominante . . . 29

A.4. Ejemplo de modelado de un motor DC comercial . . . 29

´

_{Indice de Figuras}

1. Se˜nal de referencia trapezoidal . . . 5

2. Estructura de Control de Lazo Directo Continuo . . . 23

3. Estructura de Control de Lazo Directo Discreto . . . 23

4. Estructura de Control de Lazo Directo H´ıbrido . . . 24

5. MotorDC. . . 25

6. Eje, Reductora y Carga del MotorDC . . . 25

´

_{Indice de Tablas}

1. Propiedades de la Transformada Z unilateral . . . 7

2. Propiedades de la Transformada de Laplace unilateralL₋ . . . . 8

3. N´umeros eulerianos A(m, j) . . . 9

4. Caracter´ısticas del fabricante. . . 29

5. Caracter´ısticas de un motor DC en el Sistema Internacional de unidades. . . 30

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1. El problema del muestreo

En la mayor´ıa de los problemas de control el sistema que debe controlarse es un sistema de tiempo continuo t mientras que el controlador, o parte de ´el es un sistema de tiempo discreto digital. Normalmente los sistemas de control se dise˜nan de tal forma que los controladores discretos sean sistemas muestreados con un mismo periodo de muestreo T ∈ R+ _{tal que}

t = kT (1.1)

donde k es el ´ındice temporal entero positivo o nulo, k∈ {0, 1, 2, . . . } o k ≥ 0. Como consecuencia es necesario aplicar t´ecnicas que permitan combinar sis-temas de tiempo h´ıbrido. Pueden adoptarse dos perspectivas de dise˜no:

1. discretizar el sistema a controlar y dise˜nar un controlador muestreado o 2. dise˜nar controladores de tiempo continuo y posteriormente discretizarlos

para su implementaci´on.

En lo que sigue supondremos que el periodo de muestreo T es constante para cualquier parte del sistema de control.

2. Objetivos de los Sistemas de Control

Reali-mentado

Los objetivos de un Sistema de Control Realimentado pueden ser muy diver-sos. Sin embargo hay al menos tres que son la base del diseño de controladores: 1. Problema de seguimiento de una señal de referencia o de un conjunto de señales de referencia. Podemos llamarlo también problema de satisfacción de especificaciones de régimen permanente. La señal de error

e(t) = r(t)− y(t) (2.1)

donde r(t) es la se˜nal de referencia e y(t) la salida del sistema a controlar, debe tender a cero cuando t→ ∞ al menos para una se˜nal de referencia espec´ıfica.

2. Problema de supresión de la perturbación (en la entrada del sistema a controlar), d(t). Este problema consiste en lograr que la perturbaci´on de entrada no afecte a la salida del sistema a controlar en el régimen perma-nente, al menos cuando t→ ∞.

3. Problema de satisfacción de especificaciones de régimen transitorio. Las especificaciones de régimen transitorio también afectan a la forma en que se logra resolver el problema de supresión de perturbaciones.

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Rodeando a estos objetivos hay uno de car´acter cualitativo que suele ser inexcusable: el Sistema de Control Realimentado debe ser estable.

Llamaremos tiempo de establecimiento tsal instante de tiempo que

sepa-ra el régimen transitorio del régimen permanente. Aunque las especificaciones de régimen permanente se definen tendencialmente, es decir como lim

t→∞e(t) o

lim

k→∞e(k), en la pr´actica se considera que se ha entrado en el r´egimen

perma-nente cuando t≥ ts y el valor de |y(t)| ≤ ν siendo ν una tolerancia expresada

normalmente en tanto por ciento de la se˜nal de referencia r(t).

El tiempo de establecimiento se considera una especificaci´on de r´egimen transitorio.

El problema de supresión de perturbaciones a la entrada del sistema a con-trolar suele entrar en conflicto con el problema de seguimiento de señales de referencia. Sin embargo es posible resolver ambos problemas utilizando estruc-turas de control de dos grados de libertad. El concepto de grado de libertad se refiere presisamente a la capacidad de un Sistema de Control Realimentado de poder resolver independientemente el problema de seguimiento de señales de referencia y el problema de supresión de perturbaciones.

Visto desde esta perspectiva los Sistemas de Control Realimentado que estu-diaremos constan de dos entradas: r(t) y d(t), y una única salida y(t). Supondre-mos también que cualquier subsistema es lineal, por lo que se cunplirá el principo de superposición. Este hecho permite contemplar la salida como compuesta de la suma de dos salidas:

y(t) = yr(t) + yd(t) (2.2)

siendo yr(t) la salida del sistema cuando se hace d(t) = 0, e yd(t) la salida del

sistema cuando r(t) = 0.

Esto mismo es v´alido para los sistemas discretos:

y(k) = yr(k) + yd(k) (2.3)

El problema de supresi´on de la perturbaci´on consiste en lograr que lim

t→∞yd(t) = 0 (2.4)

Y el problema de seguimiento de una se˜nal de referencia consiste en lograr que

lim

t_→∞yr(t) = r(t) (2.5)

3. Se˜

nales de referencia causales

Consideraremos tres clases de señales de referencia causales continuas: mon´ omi-cas, exponenciales y sinusoidales, aunque en esta Sección solo estudiaremos las monómicas.

En la práctica las señales de referencia reales serán combinaciones lineales de ellas (como por ejemplo señales polinómicas), generalmente diseñadas para que sean funciones suaves (derivables en todos sus puntos). Sin embargo es también

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común diseñar estas señales con puntos no derivables, como por ejemplo señales de perfil trapezoidal o señales de pulsos periódicos.

Las señales de referencia en los sistemas de control muestreados serán dis-cretizaciones de sus correspondientes señales continuas.

Sea r0(t) la funci´on escal´on unidad

r0(t) = {

0 t < 0

1 t≥ 0 (3.1)

La funci´on escal´on unidad discreta r0(kT ), que en adelante escribiremos por comodidad de notaci´on como r0(k), ser´a entonces

r0(k) = {

0 k < 0

1 k≥ 0 (3.2)

Si una funci´on f (t) es causal debe escribirse como f (t)r0(t),

f (t)r0(t) = {

0 t < 0

f (t) t≥ 0 (3.3)

Lo mismo debe decirse de su discretizaci´on f (k),

f (k)r0(k) = {

0 k < 0

f (k) k≥ 0 (3.4)

Tambi´en puede escribirse f (t)r0(k) en vez de f (k)r0(k) ya que el produc-to de una funci´on continua por otra discreta da como resultado una funci´on discretizada.

Por ejemplo la funci´on rampa causal de pendiente unidad r1(t) puede escri-birse como

r1(t) = tr0(t) (3.5)

Y lo mismo para la rampa discretizada:

r1(k) = tr0(k) = kT r0(k) (3.6) En general las señales de referencia monómicas tendrán la forma

ri(t) = 1 i!t i_r 0(t) ri(k) = 1 i!(kT ) i_r 0(k) (3.7)

donde i∈ {1, 2, . . . } y i! representa el factorial de i, i! = i(i − 1) . . . 3 · 2 · 1. Aunque las funciones causales continuas no sean estrictamente funciones sino funciones generalizadas es posible realizar una derivación ordinaria. Por ejemplo la derivada de la función rampa es la función escalón, la de la función parábola es la función rampa y as´ı sucesivamente. Para las funciones causales discretas el paso de los monomios de orden superior a los de orden inferior no es tan sencilla, pero pueden obtenerse discretizando su equivalente continuo después de realizar la derivación. Ser´ıa un error intentar resolver este problema utilizando alguna aproximación discreta de la derivada.

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3.1. Funciones causales retardadas

La funci´on retardada de una funci´on causal f (t) se define de la siguiente manera, f (t− t0)r0(t− t0) = { 0 t < t0 f (t− t0) t≥ t0 (3.8) donde t0≥ 0 representa el retardo.

Debe entonces tenerse en cuenta que f (t)r0(t− t0)6= f(t − t0)r0(t− t0), es decir que f (t)r0(t− t0) no es una función retardada sino una función que se anula en el intervalo [0, t0): f (t)r0(t− t0) = { 0 t < t0 f (t) t≥ t0 (3.9) Las señales de referencia en los sistemas de control muestreados serán dis-cretizaciones de sus correspondientes señales continuas. Conviene diseñar estas de tal manera que al discretizarlas tengan los puntos de discontinuidad o de no derivabilidad en múltiplos enteros del periodo de muestreo.

En la Figura1 se muestra una se˜nal de referencia de perfil trapezoidal.

t= kT r_(t)

R

t1= N1T t2= N2T

t3= N3T

Figura 1: Se˜nal de referencia trapezoidal

La se˜nal de referencia de perfil trapezoidal puede representarse matem´ atica-mente utilizando una combinaci´on de rampas retardadas de la siguiente forma:

r(t) = R t1 (r1(t)− r1(t− t1))− R t3− t2 (r1(t− t2)− r1(t− t3)) (3.10) Su discretizaci´on conviene hacerla de tal manera que

t1 = N1T

t2 = N2T

t3 = N3T

(3.11)

siendo N1, N2y N3 n´umeros enteros positivos, por lo que

r(k) = R N1T (r1(k)− r1(k− N1))− R (N3− N2)T (r1(k− N2)− r1(k− N3)) (3.12)

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4. Propiedades de la Transformada de Laplace

unilateral

L

₋

y de la Transformada

Z.Transformada

L

−

y

Z de funciones causales mon´omicas

La diferencia entre f (0+_{) y f (0}−_{) puede entenderse dentro del contexto de} la teor´ıa de sistemas din´amicos en el siguiente sentido. f (0+_{) es el valor que} toma la funci´on f (t) en t = 0 despu´es de que el sistema haya sido excitado, mientras que f (0−) lo es antes de haber sido excitado. En este sentido causal la condici´on inicial o valor pre-inicial es f (0−) y no f (0+_{). A f (0}+_{) lo llamaremos} valor inicial o valor post-inicial. Lo que esto indica es que deberemos introducir la noción de causalidad para sistemas dinámicos de manera distinta a la de funciones, que en el contexto de la teor´ıa de sistemas llamaremos señales. Las señales serán causales de acuerdo con la definición dada en la Sección3, pero los sistemas definidos por una relación funcional de entrada/salida serán causales si son nulas para t < 0−. De esta manera admitimos que las condiciones iniciales puedan ser distintas de cero, y que en general no sean coincidentes con los valores iniciales.

Este hecho plantea un problema a la hora de elegir qu´e Transformada de Laplace unilateral elegir. En lo que sigue se ha optado por la Transformada de Laplace unilateral L₋ de tal modo que se conserve la idea de causalidad y se puedan tener en cuenta condiciones iniciales no nulas. Adem´as se cumple que

L−{δ(t)} = 1 siendo δ(t) la funci´on delta de Dirac, mientras que L+{δ(t)} = 0 lo que resulta un inconveniente en el estudio de la respuesta impulsiva de los sistemas.

Para las funciones discretas, sin embargo, no se presentan estos problemas entendi´endose que para k = 0 se tiene tanto la condici´on inicial como el va-lor inicial. Sin embargo debido a que las señales son causales debe elegirse la TransformadaZ unilateral, sin distinguir si es por la derecha o por la izquierda. No obstante en la práctica, en los sistemas de control digital siempre se produ-cirá algún retardo en el cálculo de las señales de control (señal excitadora), por lo que su efecto solo se apreciará un periodo de muestreo posterior. Posiblemen-te ser´ıa m´as conveniente considerar que el valor inicial se da en k = 1 y no en

k = 0, aunque esto es discutible ya que la excitaci´on suele realizarse nada más obtener el valor de la señal de control, sin esperar a que transcurra el periodo de muestreo. Este retardo no lo tendremos en cuenta en los estudios teóricos.

En la Tablas1y2se recogen las propiedades m´as importantes de la Trans-formadaZ unilateral y de la Transformada de Laplace unilateral L₋ respecti-vamente.

(8)

X(z) =Z {x(k)} =

∞

∑

k=0

x(k)z−k

Teorema Funci´on causal TransformadaZ

Linealidad α1x(k) + α2y(k) α1Z {x(k)} + α2Z {y(k)}

Desplazamiento real x(k + b) zb_X(z)₋ b₋₁ ∑ i=0 x(i)zb−i adelanto Desplazamiento real x(k− b) z−bX(z) atraso

Valor Final lim

k→∞x(k) = limz_→1(1− z

−1₎_{Z {x(k)}}

(9)

X(s) =L₋{x(t)} =

∫ _∞ 0−

x(t)e−stdt

Teorema Funci´on causal TransformadaL₋

Linealidad α1x(t) + α2y(t) α1L−{x(t)} + α2L−{y(t)}

Diferenciaci´on d b_x(t) dtb s b_X(s)₋ b ∑ i=1 sb−id i₋₁_x(t) dti−1 t=0− Integraci´on ∫ t 0 x(t)dt X(s) s Retardo x(t− t0)r0(t− t0) e−st0X(s)

Valor Final lim

t_→∞x(t) = lims→0sL−{x(t)}

Tabla 2: Propiedades de la Transformada de Laplace unilateralL₋ La TransformadaL₋ de las funciones mon´omicas causales tm_r

0(t) con m∈

{0, 1, 2, . . . } es la siguiente:

L−{tmr0(t)} =

m!

sm+1 (4.1)

La TransformadaZ de las funciones mon´omicas causales km_r

0(k) con m∈ {0, 1, 2, . . . } es la siguiente: Z {km_r 0(k)} = z m∑−1 j=0 A(m, j)zj (z− 1)m+1 (4.2)

(10)

Los n´umeros eulerianos satisfacen la ecuaci´on recursiva

A(m, j) = jA(m− 1, j) + mA(m, j − 1) (4.3) que expl´ıcitamente tienen la forma

A(m, j) = j+1 ∑ i=0 (−1)i ( m + 1 i ) (j− i + 1)m (4.4)

donde(m+1_i )representa el coeficiente binomial,(m_i)= m!

i!(m− i)!.

En la Tabla3se muestran algunos valores del tri´angulo de n´umeros euleria-nos. m j 0 1 2 3 4 0 1 1 1 2 1 1 3 1 4 1 4 1 11 11 1 5 1 26 66 26 1

Tabla 3: N´umeros eulerianos A(m, j)

En la Sección3 se definió una señal de referencia de perfil trapezoidal que se muestra en la Figura 1. Las ecuaciones 3.10 y 3.12 son la representación matemática de esta señal continua y su discretización exacta:

r(t) = R t1 (r1(t)− r1(t− t1))− R t3− t2 (r1(t− t2)− r1(t− t3)) (4.5a) r(k) = R N1T (r1(k)− r1(k− N1))− R (N3− N2)T (r1(k− N2)− r1(k− N3)) (4.5b) Puesto que la señal trapezoidal puede escribirse como combinación lineal de señales rampa unidad, podemos calcular su Transformada de Laplace yZ con facilidad utilizando las tablas de propiedades,

R(s) = R t1 ( 1− e−st1 s2 ) − R t3− t2 ( e−st2− e−st3 s2 ) (4.6a) R(z) = R N1 ( z(1− z−N1₎ (z− 1)2 ) − R N3− N2 ( z(z−N2− z−N3₎ (z− 1)2 ) (4.6b)

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donde se ha utilizado la ecuaci´on4.2para r1(k) = kT r0(k), Z {kT r0(k)} = T z (z− 1)2 (4.7) y la ecuaci´on4.1para r1(t) = tr0(t), L−{tr0(t)} = 1 s2 (4.8)

Las ecuaciones4.6pueden escribirse como

R(s) = R s2 [ 1 t1 ( est1− 1 est1 ) − 1 t3− t2 ( est3− est2 es(t2+t3) )] (4.9a) R(z) = Rz (z− 1)2 [ 1 N1 ( zN1− 1 zN1 ) − 1 N3− N2 ( zN3− zN2₎ zN2+N3 )] (4.9b) Podemos observar que los retardos introducen polos en el origen en el caso discreto (z = 0).

5. Transformadas inversas de Laplace y

Z

Definimos la Transformada Z inversa o Transformada Z−1 de la Transfor-madaZ de una funci´on causal f(k)r0(k) a la transformaci´onZ−1 tal que

Z−1_{{Z {f(k)r}

0(k)}} = f(k)r0(k) (5.1) Dada una funci´on compleja cualquiera F (z) no siempre existe su transforma-daZ−1, pero siempre existe, por definici´on, si F (z) representa la transformada

Z de alguna función f(k)r0(k). Además en este caso f (k)r0(k) es única.

En lo que sigue supondremos que dada F (z) existe su transformadaZ−1{F (z)} =

f (k)r0(k).

Definimos de la misma forma la Transformada de Laplace inversa de la Trans-formadaL₋ de una funci´on causal f (t)r0(t),

L−1− {L−{f(t)r0(t)}} = f(t)r0(t) (5.2)

6. La funci´

on delta de Kronecker

La funci´on delta de Kronecker δ(k) se define de la siguiente manera

δ(k) =

{

0 k6= 0

1 k = 0 (6.1)

La función delta de Kronecker no se obtiene como discretización de la función (continua) delta de Dirac, pero s´ı es la discretización de un pulso unidad de anchura un periodo de muestreo r0(t)− r0(t− T ).

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Las funciones discretas causales pueden expresarse de manera sencilla en fun-ci´on de deltas de Kronecker retardadas. Por ejemplo el escal´on unidad retardado un periodo de muestreo puede escribirse como

r0(k− 1) = 1 − δ(k), k ≥ 0 (6.2) El escal´on unidad retardado dos periodos de muestreo ser´a

r0(k− 2) = 1 − δ(k) − δ(k − 1) = 1 − 2 ∑ i=1 δ(k− 2 + i), k ≥ 0 (6.3) En general r0(k− k0) = 1− k0 ∑ i=1 δ(k− k0+ i), k≥ 0 (6.4) Puede comprobarse que este resultado es v´alido para cualquier funci´on causal

f (k)r0(k), f (k− k0)r0(k− k0) = f (k− k0)− f(k − k0) k0 ∑ i=1 δ(k− k0+ i), k≥ 0 (6.5)

Por ejemplo, como la rampa r1(k) = kT r0(k) entonces

r1(k− k0) = (k− k0)T− (k − k0)T

k0

∑

i=1

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7. Ecuaciones diferencial y en diferencias

linea-les de primer orden. Transformada

L

₋

y

Z de

funciones causales exponenciales

Hay dos formas de representar las ecuaciones en diferencias: la forma com´un o en adelanto y la forma programable o en atraso.

La ecuación en diferencias con la forma en adelanto debe ir acompañada de las condiciones iniciales, es decir de un vector de dimensión el orden de la ecuación.

La ecuación en diferencias con la forma en atraso no va acompañada del vector de condiciones iniciales sino que o éstas son nulas o debe aparecer en la ecuación a través de un término adicional que es una combinación de deltas de Kronecker retardadas.

En la Tabla1de propiedades de la TransformadaZ de la Secci´on4se indica la propiedad de desplazamiento real en adelanto y en atraso. Puede apreciarse que las condiciones iniciales solo aparecen en la de adelanto.

Si una misma ecuación en diferencias se expresase en la forma de adelanto y a partir de ella se realizase un desplazamiento temporal para obtener la forma en atraso se estar´ıa cometiendo un error o la Transformada Z no ser´ıa única. Puesto queZ {δ(k)} = 1 siendo δ(k) la delta de Kronecker, es posible pasar la ecuación en diferencias representada en la forma de adelanto a la de la forma en atraso añadiendo las condiciones iniciales como una función de deltas de Kronecker retardadas.

Por ejemplo, sea la ecuaci´on en diferencias lineal de primer orden en adelanto siguiente:

y(k + 1) + ay(k) = bu(k) (7.1) con la condici´on inicial [y(0)] y a, b∈ R.

Su TransformadaZ es

zY (z)− y(0)z + aY (z) = bU(z) (7.2) Realizando un desplazamiento temporal de una unidad a la ecuaci´on en adelanto dada por7.1se obtiene

y(k) + ay(k− 1) = bu(k − 1) (7.3) cuya TransformadaZ es

Y (z) + az−1Y (z) = bz−1U (z) (7.4) que puede escribirse como

zY (z) + aY (z) = bU (z) (7.5) Podemos observar que no coincide con la obtenida en7.2.

(14)

Sin embargo si se realiza un desplazamiento temporal de una unidad y se a˜naden la condiciones iniciales con deltas de Kronecker, su Transformada Z ser´ıa la misma:

y(k)− y(0)δ(k) + ay(k − 1) = bu(k − 1) (7.6) En resumen, las ecuaciones en diferencias dadas por7.1y7.3son distintas, pero las dadas por7.1y7.6son las mismas.

Aclarado este punto podemos abordar el problema de obtener la soluci´on de la ecuaci´on en diferencias, es decir y(k). La soluci´on depende de la funci´on u(k) por lo que resolveremos el problema para dos casos particulares.

Un caso particular importante es cuando u(k) = 0 e y(0) = 1. En este caso la ecuaci´on en diferencias tiene la forma

y(k + 1) + ay(k) = 0 (7.7)

La solución de esta ecuación puede obtenerse por inducción dando valores a

k≥ 0: y(0) = 1 y(1) =−a y(2) = (−a)2 . . . y(k) = (−a)k (7.8) es decir y(k) = (−a)kr0(k) (7.9) Aplicando el teorema del desplazamiento real en adelanto (Tabla 1) a la ecuaci´on7.7puede verse que Z{(−a)k_r

0(k) } es Z{(−a)kr0(k) } = z z + a (7.10)

Cuando a =−1 la soluci´on es un escal´on unidad.

El segundo caso que vamos a estudiar es cuando u(k) = Rr0(k), es decir

u(k) es un escal´on de amplitud R. Sabemos que

U (z) = R

1− z−1 =

Rz

z− 1 (7.11)

De aqu´ı que seg´un la ecuaci´on7.2

Y (z) = y(0)z z + a+

bRz

(z− 1)(z + a) (7.12) que puede escribirse en la forma

Y (z) = y(0)z z + a+ bR a + 1 [ z z− 1− z z + a ] (7.13)

(15)

Aplicando la TransformadaZ inversa, Z−1{Y (z)}

y(k) = y(0)(−a)k+ bR

a + 1

[

1− (−a)k], k≥ 0 (7.14) Es necesario estudiar el caso indeterminado en que a =−1 de manera particular. La ecuaci´on7.12quedar´ıa en la forma

Y (z) = y(0)z z− 1 +

bRz

(z− 1)2 (7.15)

Teniendo en cuenta la relaci´on4.2, la TransformadaZ inversa, Z−1{Y (z)} es

y(k) = y(0) + bRk, k≥ 0 (7.16) Otra forma de estudiar este caso es aplicar la regla de l’Hôpital para resolver la indeterminación en la ecuación 7.14 cuando a → −1 obteniendo el mismo resultado.

Las ecuaciones diferenciales suelen representarse de una ´unica forma. Por ejemplo la ecuaci´on diferencial lineal de primer orden es:

˙

y(t) + ay(t) = bu(t) (7.17) con la condici´on inicial [y(0−)] y a, b, y(0−)∈ R.

La solución de esta ecuación puede obtenerse aplicando el teorema de dife-renciación de la Tabla2de la Sección4

sY (s)− y(0−) + aY (s) = bU (s) (7.18) Despejando Y (s), Y (s) = y(0 −₎ s + a + b s + aU (s) (7.19)

Resolveremos la ecuaci´on diferencial, como hicimos con la ecuaci´on en dife-rencias, en dos casos.

El primer caso importante es cuando u(t) = 0 e y(0−) = 1. La ecuaci´on diferencial queda en la forma

˙

y(t) + ay(t) = 0 (7.20)

Integrando esta ecuaci´on

− ∫ t 0− adt = ∫ t 0− ˙ y(τ ) y(τ )dτ = ∫ y(t) y(0−) dy y = Ln ( y(t) y(0−) ) (7.21)

que puede expresarse como (y(0−) = 1)

(16)

La Transformada de Laplace dada por la ecuaci´on 7.18 es en este caso L−{e−atr0(t)} L−{e−atr0(t) } = 1 s + a (7.23)

El caso a = 0 se corresponde con el escal´on unidad.

El segundo caso que vamos a estudiar es cuando u(t) = Rr0(t) es decir cuando u(t) es el escal´on unidad de amplitud R. Sabemos que

L−{Rr0(t)} =

R

s (7.24)

La ecuaci´on7.19puede expresarse en la forma

Y (s) = y(0 −₎ s + a + bR s(s + a) = y(0−) s + a + bR a [ 1 s − 1 s + a ] (7.25) Aplicando la Transformada de Laplace Inversa,L−1₋ {Y (s)}

y(t) = y(0−)e−at+bR

a

[

1− e−at], t≥ 0− (7.26) El caso indeterminado para a = 0 puede resolverse aplicando la regla de l’Hˆopital a la ecuaci´on7.26cuando a→ 0 o teniendo en cuenta que

Y (s) = y(0

−₎

s +

bR

s2 (7.27)

Teniendo en cuenta la relaci´on4.1, aplicando la Transformada de Laplace Inversa se obtiene

y(t) = y(0−) + bRt, t≥ 0− (7.28)

8. Discretizaci´

on exacta de una ecuaci´

on

dife-rencial lineal de primer orden

En la Secci´on7 se ha estudiado la ecuaci´on diferencial dada por ˙

y(t) + ay(t) = bu(t) (8.1)

con la condici´on inicial [y(0−)] y a, b, y(0−)∈ R.

Vimos que la soluci´on de8.1cuando u(t) = Rr0(t) es

y(t) = y(0−)e−at+bR

a

[

1− e−at], t≥ 0− (8.2) La soluci´on discretizada se obtiene haciendo t = kT siendo T ∈ R+el periodo de muestreo,

y(k) = y(0)(e−aT)k+bR [

1−(e−aT)k

]

(17)

Haciendo

aD= e−aT (8.4a)

bD=

b(1− aD)

a (8.4b)

podemos escribirla en la forma

y(k) = y(0)akD+ bDR 1− aD [ 1− akD ] , k≥ 0 (8.5)

Comparando esta expresión con la obtenida en la Sección7, dada por7.14 podemos comprobar que se corresponde con la solución de la ecuación en dife-rencias,

y(k + 1)− aDy(k) = bDRr0(k) (8.6) con la condici´on inicial [y(0)] con y(0)∈ R.

En consecuencia, la ecuación en diferencias 8.6con las condiciones8.4es la discretización exacta de la ecuación diferencial8.1para u(t) = Rr0(t).

Para terminar este estudio es necesario analizar el caso a = 0, es decir la ecuaci´on diferencial

˙

y(t) = bRr0(t) (8.7)

En la Secci´on7 se obtuvo la soluci´on7.28

y(t) = y(0−) + bRt, t≥ 0− (8.8) Siguiendo el mismo procedimiento, hacemos en primer lugar t = kT ,

y(k) = y(0) + bRkT, k≥ 0 (8.9) Haciendo ahora

aD= 1 (8.10a)

bD= bT (8.10b)

y comparando con la solución dada por7.16, podemos comprobar que la ecuación en diferencias discretizada exacta de la ecuación diferencial8.7es:

y(k + 1)− y(k) = bDRr0(k) (8.11) Para este caso, a = 0, se hubiese obtenido una discretizaci´on exacta si se hu-biese utilizado la aproximaci´on de Euler en adelanto (m´etodo de Euler)

para la derivada en la ecuaci´on8.7, es decir ˙

y(t)≈y(k + 1)− y(k)

T (8.12)

Sin embargo esta aproximaci´on no conduce a una discretizaci´on exacta en el caso general en que a6= 0.

Podemos observar también que en todos los casos ha sido necesario modificar los parámetros de la ecuación diferencial, además de que los parámetros de la ecuaci´on discretizada dependen del periodo de muestreo T .

(18)

9. Funci´

on de transferencia y polinomio de

con-diciones iniciales

Definimos la funci´on de transferencia de un sistema lineal como la relaci´on entre la salida y la entrada en el dominio complejo bajo condiciones iniciales nulas.

Por ejemplo, sea un sistema representado por la siguiente ecuaci´on diferencial lineal causal de primer orden:

˙

y(t) + ay(t) = b0u(t) + b˙ 1u(t) (9.1) donde a, b0, b1∈ R y b06= 0.

Aplicando la Transformada de LaplaceL₋

(s + a)Y (s)− y(0−) = (b0s + b1)U (s)− b0u(0−) (9.2) Despejando Y (s),

Y (s) = G(s)U (s) + T (s)

s + a (9.3)

donde G(s) es la funci´on de transferencia del sistema dado por la ecuaci´on diferencial9.1y T (s) es el polinomio de condiciones iniciales,

G(s) = b0s + b1

s + a (9.4a)

T (s) = y(0−)− b0u(0−) (9.4b) Al valor o valores del n´umero complejo s∈ C que anula la funci´on de trans-ferencia G(s) se les denomina ceros del sistema, y a los que la hacen infinita se les denomina polos del sistema. En general pueden existir ceros en el infinito, es decir lim

s→∞G(s) = 0.

Se denomina orden del sistema al n´umero de polos, orden relativo del

sistema a la diferencia entre el n´umero de polos y el n´umero de ceros y tipo

del sistema al n´umero de polos en el origen, s = 0.

La funci´on de transferencia dada por9.4ano tiene ceros en el infinito. Esto ocurre siempre que el orden relativo del sistema es nulo.

El sistema representado por9.1 tiene un cero y un polo:

c =−b1 b0

(9.5a)

p =−a (9.5b)

El orden es la unidad, el orden relativo es nulo y el tipo es nulo para a6= 0 o la unidad si a = 0.

La funci´on de transferencia de un sistema discreto se define de manera si-milar. Por ejemplo, sea un sistema representado por la siguiente ecuaci´on en diferencias lineal causal de primer orden:

(19)

donde a, b0, b1∈ R y b06= 0.

Aplicando la TransformadaZ y despejando Y (z),

Y (z) = G(z)U (z) +zT (z)

z + a (9.7)

donde G(z) es la funci´on de transferencia del sistema dado por la ecuaci´on en diferencias9.6y T (z) es el polinomio de condiciones iniciales,

G(z) = b0z + b1

z + a (9.8a)

T (z) = y(0)− b0u(0) (9.8b) Los ceros y polos del sistemas son el valor o valores de z∈ C que anulan y hacen infinito respectivamente la funci´on de transferencia.

El orden del sistema y el orden relativo del sistema discreto se definen exac-tamente igual que en el caso continuo, pero el tipo del sistema es el n´umero de polos en z = 1.

Como se ha explicado en la Sección8la ecuación en diferencias dada por9.6 no es la discretización de la ecuación diferencial dada por9.1. En lo que sigue escribiremos GD(z) cuando se trate de la funci´on de transferencia discretizada

de la funci´on de transferencia continua G(s), sea cual sea la t´ecnica que se utilice para la discretizaci´on.

La función de transferencia de la ecuación diferencial estrictamete causal dada por8.1y la de su discretización exacta vienen dadas por:

G(s) = b s + a (9.9a) GD(z) = bD z− aD (9.9b) donde aDy bDsiguen las relaciones 8.4,

aD= e−aT (9.10a)

bD=

b(1− aD)

a (9.10b)

En este caso el sistema es de orden y orden relativo la unidad. Adem´as tiene un cero en el infinito. Si a = 0 entonces aD = 1 por lo que tambi´en se conserva el

tipo del sistema al discretizar de manera exacta la ecuaci´on diferencial. Las funciones de transferencia de los sistemas lineales son funciones racio-nales de dos polinomios en s o en z, por lo que en el caso continuo pueden escribirse en la forma

G(s) = N (s)

D(s) (9.11)

donde N (s) y D(s) son polinomios en s. Al polinomio D(s) se le suele llamar polinomio caracter´ıstico.

(20)

En el caso discreto,

G(z) =N (z)

D(z) (9.12)

donde N (z) y D(z) son polinomios en z. Al polinomio D(z) se le suele llamar polinomio caracter´ıstico.

Los ceros del sistema son las soluciones de la ecuaci´on:

N (s) = 0 (9.13a)

N (z) = 0 (9.13b)

Como se ha dicho tambi´en puede haber ceros en el infinito.

Los polos del sistema son las soluciones de la ecuaci´on caracter´ıstica:

D(s) = 0 (9.14a)

D(z) = 0 (9.14b)

No puede haber polos en el infinito ya que suponemos que el sistema es causal, por lo que el número de polos siempre será mayor o igual que el número de ceros.

En lo que sigue supondremos que el sistema no tiene polos y ceros comunes. Diremos que los polinomios del numerador y del denominador son coprimos.

10. Significado f´ısico de ceros y polos

En la Sección9se ha visto que la salida de un sistema puede expresarse en función de la función de transferencia y del polinomio de condiciones iniciales. Aunque ah´ı se dedujo para el caso particular de un sistema de primer orden causal, las relaciones dadas por 9.3 y 9.7 puede generalizarse para cualquier sistema de orden n. El caso general quedar´ıa en la forma

Y (s) = G(s)U (s) + T (s)

D(s) (10.1a)

Y (z) = G(z)U (z) +zT (z)

D(z) (10.1b)

donde D(s) y D(z) son los polinomios caracter´ısticos de G(s) y G(z) respecti-vamente.

En la Secci´on9se han definido los ceros y los polos de manera formal, pero nos interesa darles una interpretaci´on f´ısica. Por un lado conviene saber que las unidades de los ceros y los polos son las de tiempo−1, y por eso suele hablarse de ellos como de frecuencias.

Una de las razones por las que conviene entender que los ceros y polos tienen un significado f´ısico es porque en ocasiones es necesario realizar experimentos de laboratorio para estimarlos.

En cuanto a los ceros suele decirse que si el sistema es excitado con una se˜nal que contenga la frecuencia de alguno de los ceros, la salida ser´a nula. Sin

(21)

embargo esto no es completamente cierto ya que la salida solo ser´a nula bajo ciertas condiciones iniciales.

Si los ceros de la función de transferencia son reales la señal de excitación debe ser una exponencial, y si los ceros son complejos conjugados debe ser una señal sinusoidal.

En cuanto a los polos el problema experimental es m´as complejo dado que las salidas infinitas no se pueden medir. Sin embargo los polos pueden carac-terizarse porque es posible obtener una salida y(t) no nula cuando la entrada

u(t) es id´enticamente nula. Por un lado se cumple la definición formal de que los polos hacen infinita la función de transferencia, y por otro lado se logra una interpretación f´ısica de los polos.

Puede demostrarse (Teorema de los Ceros) que cuando la entrada u(t) es una exponencial de la forma

u(t) = ect (10.2)

donde c ∈ R y el sistema no tiene polos en s = c, la ecuaci´on 10.1 puede escribirse en la forma

Y (s) = G(c) s− c +

T (s) + Q(s)

D(s) (10.3)

donde Q(s) es un polinomio que resulta de desarrollar en fracciones simples la expresi´on G(s) 1 s− c, es decir que G(s) 1 s− c = α0 s− c + Q(s) D(s) (10.4)

El coeficiente α0= G(c), ya que N (s) = α0D(s) + Q(s)(s− c). Puesto que s = c no es un polo del sistema, D(c)6= 0.

La expresi´on10.3indica que si se eligen las condiciones iniciales de tal forma que T (s) = −Q(s) (identificaci´on de coeficientes de los polinomios) entonces

Y (s) = 0 si s = c es un cero del sistema, es decir si G(c) = 0.

Como ejemplo podemos escoger el sistema de primer orden causal represen-tado por la ecuaci´on diferencial 9.1. En la Secci´on9 se ha visto que la salida puede escribirse como

Y (s) = b0s + b1 s + a 1 s− c+ y(0−)− b0u(0−) s + a (10.5)

Expresando10.5en la forma de la ecuaci´on10.3,

Y (s) = G(c) s− c + q0+ y(0−)− b0u(0−) s + a (10.6) donde Q(s) = q0= ab0− b1 c + a .

Si la exponencial de entrada es causal, entonces u(0−) = 0. En este caso haciendo

y(0−) =−ab0− b1

(22)

se obtiene que

Y (s) = G(c) 1

s− c (10.8)

por lo que si c =−b1

b0

, es decir es un cero del sistema, entonces G(c) = 0 y de aqu´ı que Y (s) = 0, y por tanto y(t) = 0. En este caso debe hacerse y(0−) =−b0. El caso discreto se estudiar´ıa de la misma forma, para una entrada exponen-cial como la siguiente:

u(k) = βk (10.9)

donde β∈ R.

En cuanto al significado f´ısico de los polos puede demostrarse (Teorema de los Polos) que para una entrada nula u(t) = 0 (y todas sus derivadas) existen condiciones iniciales para las cuales

y(t) = Cept (10.10)

donde p es un polo del sistema y C es una constante.

Puesto que U (s) = 0, la expresi´on10.1aqueda en la forma

Y (s) = T (s)

D(s) (10.11)

Puesto que p es un polo del sistema, entonces es soluci´on de la ecuaci´on carac-ter´ıstica D(s) = 0, por lo que existir´a un polinomio ´unico eD(s) tal que

D(s) = eD(s)(s− p) (10.12) Desarrollando en fracciones simples T (s)

D(s), se puede escribir como Y (s) = α0 s− p + Q(s) e D(s) (10.13) donde α06= 0 y Q(s) es un polinomio en s. Haciendo Q(s) = 0 (10.14a) T (s) = α0D(s)e (10.14b) se obtienen, identificando los coeficientes de los polinomios, las condiciones ini-ciales para las cuales

Y (s) = α0

s− p (10.15)

por lo que se cumple que la salida es exponencial y dada por10.10para C = α0. Este resultado indica que para una entrada id´enticamente nula es posible obtener una salida que muestra cada polo excitado por separado para ciertas condiciones iniciales. Desde un punto de vista experimental, no obstante, no

(23)

es sencillo lograr imponer condiciones inciales a un sistema. Este resultado es fundamentalmente te´orico, pero nos informa sobre el significado f´ısico de los polos, en cuanto a que son frecuencias que pueden excitarse independientemente de la entrada al sistema.

El caso discreto se estudiar´ıa de forma similar.

En lo anterior se ha tenido en cuenta que los ceros y los polos son simples y reales, pero puede llegarse a conclusiones similares si son m´ultiples o complejos.

(24)

11. Funci´

on de Transferencia de lazo cerrado

Definimos la funci´on de transferencia de lazo cerrado de un sistema de control lineal como la relaci´on entre la salida y(t) o y(k) y la se˜nal de referencia r(t) o r(k) en el dominio complejo bajo condiciones iniciales nulas. La escribiremos como H(s) o H(z) seg´un que el sistema sea continuo o discreto.

Definimos la funci´on de transferencia de lazo abierto de un sistema de control lineal como la relaci´on entre la salida y(t) o y(k) y la se˜nal de control u(t) o

u(k) en el dominio complejo bajo condiciones iniciales nulas. La escribiremos

como G(s) o G(z) seg´un que el sistema sea continuo o discreto.

El dise˜no de sistemas de control exige definir su estructura. En las Figuras2 y3se muestra el esquema de bloques de una estructura en la que el controlador se sit´ua en el lazo directo. La llamaremos estructura de control de lazo

directo. La funci´on de transferencia del controlador la escribiremos como Gc(s)

o Gc(z) seg´un que sea continuo o discreto.

+ −

Gc(s) G(s)

r(t) e(t) u(t) y(t)

Figura 2: Estructura de Control de Lazo Directo Continuo

+ −

Gc(z) G(z)

r(k) e(k) u(k) y(k)

Figura 3: Estructura de Control de Lazo Directo Discreto

En los sistemas de control h´ıbrido, es decir en los sistemas de control que tengan subsistemas continuos y subsistemas discretos aparecen al menos dos elementos que acoplan convenientemente susbsistemas continuos y discretos: los muestreadores de periodo de muestreo T ∈ R+, que transforman una señal con-tinua en una señal muestreada y los dispositivos de retención, que transforman una señal muestreada en una señal continua (quizá con discontinuidades de salto finito). El dispositivo de retención más sencillo es el de orden cero que llama-remos ZOH por sus siglas en ingl´es (Zero Order Hold). El ZOH retiene cada muestra generada en un instante de muestreo de manera constante durante un intervalo de muestreo completo [kT, (k + 1)T ). En la Figura 4 se muestra un ejemplo de controlador discreto en el lazo directo y un sistema a controlar con-tinuo. Es posible definir una función de transferencia de lazo cerrado para esta clase de sistemas h´ıbridos utilizando la notaci´on “asterisco” o “estrella”: H∗(s)

(25)

y un muestrador ideal definido como un tren de impulsos (deltas de Dirac).

+ −

Gc(z) ZOH G(s)

T

r(k) e(k) u(k) u(t) y(t)

y(k)

Figura 4: Estructura de Control de Lazo Directo H´ıbrido

En esta Secci´on obtendremos solamente H(s) y H(z) para la estructura de control de lazo directo.

La funci´on de transferencia de lazo cerrado del sistema de control represen-tado en la Figura2 viene dado por

H(s) = Y (s) R(s) =

Gc(s)G(s)

1 + Gc(s)G(s)

(11.1) La funci´on de transferencia de lazo cerrado del sistema de control represen-tado en la Figura3 viene dado por

H(z) = Y (z) R(z) =

Gc(z)G(z)

1 + Gc(z)G(z)

(11.2) La demostraci´on es sencilla resolviendo el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

E(s) = R(s)− Y (s) (11.3a)

U (s) = Gc(s)E(s) (11.3b)

Y (s) = G(s)U (s) (11.3c)

Las ecuaciones son similares para el caso discreto.

En lo anterior debe entenderse que estamos suponiendo que G(s) y G(z) son funciones de transferencia cualesquiera, y no que G(z) sea la discretizaci´on de

G(s). Si este fuese el caso escribir´ıamos GD(z). Y lo mismo puede decirse del

controlador Gc(s) y Gc(z) para el que escribir´ıamos GcD(z). Adem´as, salvo en

el caso en que se realizasen discretizaciones exactas el valor de u(k) no es necesa-riamente la discretizaci´on de u(t), y como consecuencia tampoco lo ser´a y(k) ni

e(k), aunque lo normal es que s´ı lo sea r(k), ya que la se˜nal de referencia es una función de diseño. En otra Sección abordamos el problema de la discretización.

(26)

A. Ap´

endices

A.1.

Motor DC

En las Figuras 5 y 6 se representan esquem´aticamente un motor DC, la Reductora y la Carga del motor.

Rm Lm Jm Bm um(t) i(t) eb(t) ˙ θm(t) τm(t) Figura 5: MotorDC. Jm Bm r, η JL mL τm _θ˙m τl τL ˙ θL

Figura 6: Eje, Reductora y Carga del MotorDC La ecuaci´on el´ectrica del motor tiene la forma,

um(t) = Rmi(t) + Lm

di(t)

dt + eb (A.1)

donde um representa la tensi´on de entrada al motor, i(t) la corriente el´ectrica

del motor, eb la fuerza contraelectromotr´ız, Rmla resistencia teriminal y Lmla

inductancia del rotor.

La ecuación mecánica del motor (despreciando el par de fricción est´atica τs)

es

τm(t) = Jmθ¨m(t) + Bmθ˙m(t) + τl(t) + τC (A.2)

donde τmrepresenta el par motor, ˙θm(t) la velocidad angular del motor, Bmθ˙m(t)

el par de fricci´on viscosa con Bmla constante de fricci´on viscosa (damping

vis-cous constant), Jmla inercia del rotor, τl(t) el par de la carga visto desde el eje

del motor y τC el par de fricci´on seca o de Coulomb (este par es proporcional

(27)

Se cumplen las siguientes relaciones de acoplo electromec´anico:

eb= kbθ˙m(t) (A.3a)

τm= kmi(t) (A.3b)

donde kb y km son constantes del motor, constante de la fuerza

contraelectro-motr´ız (back-EMF constant) y constante de par respectivamente (torque cons-tant). Cuando se expresan en unidades del mismo sistema de unidades kb= km.

Suele definirse kn= 1/ke como la constante de velocidad del motor.

Con estas ecuaciones y relaciones pueden obtenerse diversas funciones de transferencia. Las m´as importantes (suponiendo el par de la carga nulo) son las que relacionan la velocidad angular ˙θm(t), la posici´on angularθm(t) y la corriente

el´ectrica i(t) con la tensi´on de entrada um(t). Las escribiremos como G_Θ˙

m(s), GΘm(s) y GI(s) respectivamente. Puesto que ˙θm(t) = dθm(t) dt se cumple que GΘ˙m(s) = sGΘm(s) (A.4)

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones del motor bajo con-diciones iniciales nulas, y eliminando la variable de la corriente el´ectrica I(s) se obtiene la funci´on de transferencia del motor:

GΘ˙m(s) =

km

(Jms + Bm)(Lms + Rm) + kbkm

(A.5) Se denomina constante de tiempo el´ectrica (te) (cuya unidad en el sistema

internacional es de segundos s) a la siguiente relaci´on:

te=

Lm

Rm

(A.6a) Se denomina constante de tiempo mec´anica tm a la constante de tiempo

obtenida suponiendo que la constante de tiempo eléctrica es despreciable. Más adelante se demuestra que queda definida por la siguiente expresión:

tm=

RmJm

RmBm+ kbkm

(A.7a) Puede comprobarse que la funci´on de transferencia de velocidad angular dada porA.5tiene dos polos reales (cuyas unidades en el sistema internacional son s−1) dados por la relaci´on siguiente:

p1,2=− 1 2 ( 1 te + 1 t0_m ) ±1 2 √( 1 te− 1 t0_m )2 − 4 kmkb JmLm (A.8) donde t0_m= Jm Bm .

(28)

Podemos entonces escribir la función de transferencia en la forma G_Θ˙ m(s) = K_m0 (s + p1)(s + p2) (A.9) donde K_m0 = km JmLm (A.10) Normalmente los motores DC cumplen que te tm, adem´as de que p1 p2. Estos hechos sugieren dos métodos distintos de simplificación de las ecuaciones del motor: eliminar la constante de tiempo el´ectrica te (dando lugar a la

defi-nición de constante de tiempo mec´anica) o eliminar el polo no dominante p1. Los resultados serán distintos, aunque similares, pero ambos métodos reducen el orden de las funciones de transferencia del motor a la forma:

G_Θ˙_m(s) =

K

s + p (A.11)

donde K y p son constantes.

La ecuaci´on diferencial simplificada que representa al motor ser´a por lo tanto de segundo orden en θ(t) y de primer orden en ˙θ(t),

¨

θm(t) + p ˙θm(t) = Kum(t) (A.12)

Las constantes de tiempo el´ectrica y mec´anica definidas anteriormente son, aproximadamente la inversa de los polos exactos: te ≈ 1/|p1| y tm ≈ 1/|p2|, siendo p2 el polo dominante.

Por otro lado, siempre que se hace alguna simplificación de los modelos matemáticos debe imponerse la restricción de que la ganancia a bajas frecuencias coincida con la del modelo no simplificado, lo que permite calcular el parámetro

K de la expresi´onA.11.

Aplicando la transformada de Laplace inversa a la anterior funci´on de trans-ferenciaA.11, teniendo en cuenta condiciones iniciales nulas y una entrada es-cal´on de amplitud A se obtiene la salida de velocidad angular del motor:

˙ θm(t) = AK p ( 1− e−pt), t≥ 0 (A.13)

Si las condiciones iniciales no son nulas sino [ ˙θ(0−)], entonces para una en-trada escal´on de amplitud A,

˙ θm(t) = AK p ( 1− e−pt)+ ˙θ(0−)e−pt, t≥ 0 (A.14) Si la entrada al motor es nula y las condiciones iniciales no son nulas se obtiene una salida que decae con el tiempo seg´un la ecuaci´on

˙

θm(t) = ˙θ(0−)e−pt, t≥ 0 (A.15)

Esta última relación permite realizar un experimento para la obtención del polo dominante del motor.

(29)

A.2.

Simplificaci´

on de las ecuaciones del Motor DC por el

m´

etodo de eliminaci´

on de la constante el´

ectrica del

motor

Las ecuaciones del motor DC pueden simplificarse teniendo en cuenta que la constante eléctrica del motor es mucho menor que la constantre mecánica, lo que se traduce en despreciar el factor de la inductancia Lm en la ecuación

el´ectrica.

Siguiendo este método de simplificación la ecuación eléctrica dada porA.1 quedar´ıa en la forma:

um(t) = Rmi(t) + kbθ˙m(t) (A.16)

Despejando la corriente el´ectrica i(t) de la ecuaci´on mec´anicaA.2 (suponien-do τl(t) = 0) y substituyendo en la ecuaci´on anteriorA.16se tiene

um(t) = RmJm km ¨ θm(t) + ( RmBm km + kb ) ˙ θm(t) (A.17)

La ecuación del motor simplificada dada por A.17 representa una ecuación diferencial de primer orden para la variable de velocidad angular y de segundo orden para la variable de posición angular.

Aplicando la transformada de Laplace a esta ecuación se obtienen inmedia-tamente las funciones de transferencia de posición y de velocidad angular en relación a la entrada del motor:

GΘm(s) = Θm(s) Um(s) = km s(RmJms + RmBm+ kbkm) (A.18) y G_Θ˙_m(s) = ˙ Θm(s) Um(s) = km RmJms + RmBm+ kbkm (A.19) Podemos escribir la funci´on de transferencia de velocidad angular en la forma siguiente:

G_Θ˙_m(s) =

Km

s + pm

(A.20) La ganancia a bajas frecuencias (s = 0) del motor es:

k0=

km

RmBm+ kbkm

(A.21) Puede comprobarse que esta constante coincide con la del motor sin simplificar.

Puede verse tambi´en que

Km= pmk0 (A.22)

La función de transferencia del motor simplificada por este método tiene un polo de valor s =−pm=− RmBm+ kbkm RmJm =− 1 tm (A.23) donde tmes la constante de tiempo mecánica.

(30)

A.3.

Simplificaci´

on de las ecuaciones del Motor DC por el

m´

etodo de eliminaci´

on del polo no dominante

La funci´on de transferencia de velocidad angular del motor puede expresarse en la forma siguiente:

G_Θ˙_m(s) =

K_m0

(s +|p1|)(s + |p2|)

(A.24) donde p1 y p2 son los polos dados por la relaci´onA.8.

La ganancia a bajas frecuencias del motor es,

k0=

Km0

p1p2

(A.25) Normalmente p1 p2 por lo que puede simplificarse el modelo matemático despreciando el polo no dominante. Siguiendo este método, la anterior función de transferencia quedará en la forma

GΘ˙m(s) =

Km

s +|p2|

(A.26) Puesto que se debe cumplir la restricci´on de ganancia a bajas frecuencias,

Km=|p2|k0=

K_m0 |p1|

(A.27) Teniendo en cuenta la relaci´onA.10 se cumple que,

Km=|p2|k0=

km

JmLm|p1|

(A.28) El polo de la función de transferencia de velocidad angular simplificada por este método será, por dise˜no, el polo dominante p2.

A.4.

Ejemplo de modelado de un motor DC comercial

La Tabla4recoge las caracter´ısticas de un motor comercial1_.

Par´ametro Valor Unidades

UN 12 V Rm 5, 3 Ω Lm 580 µH Jm 14 g cm2 tm 15 ms kb 2, 3 mV /rpm km 22 mN m/A

Tabla 4: Caracter´ısticas del fabricante.

1_{Se trata del motor 2842}_{− 012C de Minimotor, que tiene un material del magneto de}

(31)

Con esta informaci´on puede calcularse la constante el´ectrica del motor te

utilizando la relaci´onA.6a, obteniendo te= 109, 43µs. Como vemos te tm.

Ser´a necesario expresar todos estos par´ametros en las mismas unidades. Uti-lizaremos el SI de unidades como se muestra en la Tabla5.

Par´ametro Valor Unidades

Rm 5, 3 Ω Lm 5, 8× 10−4 H Jm 1, 4× 10−6 kg m2 tm 1, 5× 10−2 s te 1, 1× 10−4 s kb 2, 2× 10−2 V s/rad km 2, 2× 10−2 N m/A

Tabla 5: Caracter´ısticas de un motor DC en el Sistema Internacional de unida-des.

Podemos observar que las constantes del par y de la fuerza contraelectro-motr´ız coinciden, km= kb, cuando se expresan en el mismo sistema de unidades.

Puede comprobarse con las expresi´on A.5haciendo Bm = 0, que los polos

del motor son

p1=−9000

p2=−65, 45

El polo dominante es p2 que adem´as cumple que|p2| |p1|.

Utilizando el método de simplificación de eliminación de la constante el´ ectri-ca del motor, se obtiene pm=−66, 66 utilizando la expresión 1/tmenA.23. Este

polo es ligeramente superior al polo dominante calculado de manera exacta con

Bm= 0. Esta diferencia puede ser m´as significativa en otros motores.

Podemos comprobar tambi´en que para Bm= 0 en la expresi´onA.23se

obtie-ne pm=−65, 23. Esto sugiere que te´oricamente puede hacerse una estimaci´on

de la constante de fricci´on viscosa Bm a partir de la ecuaci´onA.23 utilizando

las caracter´ısticas del fabricante:

Bm= Jm tm −kbkm Rm (A.29) obteniendo el valor Bm= 2, 01× 10−6 Nms.

Utilizando este valor podr´ıa rehacerse el c´alculo de p1y p2anterior utilizando la expresi´onA.8.

Ambos modelos simplificados deberán cumplir la condición de que la ganan-cia a bajas frecuenganan-cias sea la misma. En ambos casos se obtendrá un modelo de la forma

GΘm(s) =

Km

s(s + pm)

(32)

1. Modelo simplificado del motor por el método de eliminación de la cons-tante de tiempo eléctrica.

GΘm(s) =

3066, 05

s(s + 66, 66) (A.31)

2. Modelo simplificado del motor por el m´etodo de eliminaci´on del polo no dominante.

GΘm(s) =

3010, 4

s(s + 65, 45) (A.32)