6.1 Características comunes de las máquinas eléctricas

Capítulo 6: La Máquina Generalizada

6.1 Características comunes de las máquinas eléctricas

Las máquinas eléctricas rotativas poseen características comunes entre si, y en general se asemejan al modelo representado en la figura -53-. En algunas ocasiones el elemento interior de la máquina es fijo y el exterior móvil, incluso pueden ser móviles los dos elementos, pero lo más característico de las máquinas eléctricas rotativas es la existencia de dos superficies cilíndricas con movimiento relativo entre una y otra. E j e D e v a n a d o R o t o r D e v a n a d o E s t a t o r C a rca sa R o d a m i e n t o E n t r e h i e r r o N u c l e o Ro to r Nu cl e o Estator Partes de una máquina eléctrica rotativa

Fig. -53-

En el capítulo anterior se analizó la descomposición del flujo en dos componentes ortogonales a y b. Para representar el flujo producido en el rotor se inyectan corrientes en las bobinas _{ar y br ,fijas en el rotor. El flujo del estator se} obtiene inyectando corrientes en las bobinas _{ae y be fijas en el estator. Estos} debanados no tienen necesariamente existencia física, pero pueden reproducir los campos en el interior de la máquina. La posición relativa entre el rotor y el estator queda determinada mediante el ángulo _{q, medido entre los ejes magnéticos ae y ar} respectivamente.

La máquina eléctrica generalizada posee cuatro ejes eléctricos ae, ar, be y br,

por los cuales se inyectan las corrientes y un eje mecánico o eje de giro. El flujo en el entrehierro de la máquina cambia su distribución cuando varían las corrientes iar, ibr,

iae e ibe. En la figura -54- se representa una máquina generalizada en forma

i a_e a_r b_e b_r . q q T e i _{a e} i _{b e} i _{a r} b r q Máquina Generalizada Fig. -54-

Definiendo a Tm como el torque o par mecánico en el eje de la máquina, las ecuaciones de la máquina en forma matricial compacta; tal como se desarrolló en el capítulo 3, son: [ v ] =

[

R

]

[

i

]

+ q .

[

t (q)

]

[

i

]

+

[

L (q)

]

_dtd

[

i

]

T_m = - 2 1

[

i

]

t

[

t (q)

]

[

i

]

+ J _{q + r} .. _q. 6.1

En el sistema de ecuaciones 6.1, r es el coeficiente de fricción y J es la inercia del eje de rotación. Las variables de estado de este sistema de ecuaciones diferenciales son las corrientes [i], el ángulo q y la velocidad angular dq/dt, denominada también wm.

Para poder plantear el sistema 6.1, es necesario determinar las matrices de resistencias [R], inductancias en función del ángulo [L(q)], así como la derivada con respecto al ángulo q de la matriz de inductancias [t(q)].

6.2 La matriz de resistencias

La matriz de resistencias de la máquina eléctrica generalizada es diagonal, por que todas las resistencias son propias de cada bobina:

[

R

]

=

é

ê

ë

R_{ae 0 0 0} 0 R_be 0 0 0 0 R_ar 0 0 0 0 R_br

ù

ú

û

a_{e be ar br} a_e b_e a_r b r _6.2 6.3 La matriz de inductancias

Si la máquina posee un rotor cilíndrico y homogéneo, al girar no se modifica la permeanza del camino magnético, por esta razón la inductancia propia del estator no depende de la posición del rotor. La inductancia propia del estator es constante e independiente del ángulo q. Esta inductancia se puede calcular como:

L = N2 P _6.3

Si el estator es cilíndrico, la inductancia propia del rotor es constante por el mismo razonamiento anterior. Si todos los devanados del estator poseen el mismo número de vueltas y lo mismo ocurre con las bobinas del rotor, los términos de la diagonal de la matriz de inductancia son:

[

L

]

=

é

ê

ë

Lee X X X X _Lee X X X X _Lr r X X X X _Lr r

ù

ú

û

a_e b_e a_r b_r 6.4

Las inductancias mutuas entre los devanados _{a y b del estator son cero por} que estas bobinas son ortogonales y el flujo que se produce en una de ellas no puede enlazar a la otra. La misma situación sucede con los devanados del rotor:

[

_L

]

₌

é

ê

ë

Lee 0 X X 0 _Lee X X X X _Lr r 0 X X 0 _Lr r

ù

ú

û

a e be ar br 6.5 La inductancia mutua entre la bobina a del estator y a del rotor es máxima cuando ambos devanados se encuentran alineados, es decir con q=0°. Para representar este valor de la inductancia mutua se debe utilizar un término en cos q.

Una situación semejante se presenta entre el eje _{b del estator y el eje b del} rotor. La inductancia mutua entre las bobinas _{a del rotor y b del estator es máxima} cuando _{q=90°; esto se representa mediante un término en sen q. La inductancia} mutua entre el devanado _{b del rotor y a del estator es máxima cuando q=-90°; por} esta razón esta inductancia se puede representar mediante un término -sen _q.

De esta forma y recordando que la matriz de inductancias es simétrica, se obtiene:

[

L (q)

]

=

é

ê

ë

Lee 0 Lercosq - Lersenq 0 _Lee _Ler_{senq L}er_cosq Lercosq Lersenq Lr r 0 - Lersenq Lercosq 0 Lr r

ù

ú

û

a_{e be ar br} a_e b e a r b_r 6.6

6.4 Matriz de torque

La matriz de torque [t(q)] se calcula derivando con respecto al ángulo q la matriz de inductancias de la máquina:

[

t(q)

]

=

dd q

[

L(q)

]

6.7

De esta forma se obtiene:

[

t(q)

]

=

é

ê

ë

0

0

_-L

er

_senq

_-L

er

_cosq

0

0

_L

er

_cosq

_-L

er

_senq

-L

er

_senq

L

er

_cosq

0

0

-L

er

_cosq

-L

er

_senq

0

0

ù

ú

û

a

_e

b

_e

a

_r

b

_r

a

_e

b

_e

a

_r

b

_r 6.8 6.5 Cálculo del torque eléctrico

A partir de las matrices 6.6 y 6.8 se puede calcular el torque eléctrico de la máquina:

T

e

=

₂

1

é

ê

ë

i

a e

i

b e

i

a r

i

b r

ù

ú

û

é

ê

ë

0

0

_-

_L

e r

_s

_-

_L

e r

_c

0

0

_L

e r

_c

_-

_L

e r

_s

-

L

e r

s

L

e r

c

0

0

-

L

e r

c

-

L

e r

s

0

0

ù

ú

û

é

ê

ë

i

a e

i

b e

i

a r

i

b r

t

ù

ú

û

6.9 Efectuando los productos matriciales en la ecuación 6.9 se obtiene:

T_e = L_er { sen q ( - i_ae i_ar - i_be i_br ) + cosq ( - i_ae i_br + i_be i_ar ) }

6.10 Si las corrientes del estator o del rotor son cero, todos los términos del torque eléctrico en la ecuación 6.10 se anulan y no se produce torque. Si se inyectan corrientes constantes en todas las bobinas del rotor y del estator el torque eléctrico que se obtiene es de la forma:

T_e = Ler ( A_{× senq + B× cosq ) 6.11} En la ecuación 6.11 se observa que para cada valor de la posición del rotor q existe un torque eléctrico, pero el promedio de ese torque en un giro completo de la máquina es cero. Esta es una razón que refuerza el concepto de la imposibilidad de que una máquina eléctrica pueda funcionar en régimen permanente con corriente continua en todos sus devanados.

Para calcular el torque eléctrico promedio de la máquina bifásica en un período:

T_e = T 1

ò

0 T Ler _{{sen q(- iae}i_ar- i beib r) +cosq (- iaeibr+ ibeiar)} d q 6.12 El ángulo q se puede expresar como:

q = w_m t + q₀

6.13 Sustituyendo la expresión 6.14 en 6.13 se obtiene:

T_e = T Ler

ò

0 T { sen (w_mt + q 0) (- iaeiar- ibei_br) + cos(w_mt + q 0) (- iaeibr + i_beiar) } dwmt _6.14

Si se expresan las corrientes en forma de cosenos:

i_{ae = 2 Iae} cos( w_aet + q_ae) i be = 2 Ibecos( wbet + qbe) i_{ar = 2 Iar} cos( w_art + q_ar) i br = 2 Ibr cos( wbrt + qbr) _6.15 Recordando que:

T 1

_ò

0 T sen q× cos q dq = 0 6.16

Los únicos términos que pueden producir torque promedio diferente de cero son los productos de cosenos, por lo tanto:

T_e = T 1

ò

0 T cos (w_mt + q 0) (- iaeib r+ ibeiar) d q 6.17 Si se expresan las corrientes mediante series de Fourier en cosenos:

i_e =

å

k=1 ¥ I ke cos(kwet - ge) 6.18 i_r =

å

j=1 ¥ I jr cos(jwrt - gr) 6.19

Los términos del torque son de la forma: cos(w_mt + q₀)

å

k=1 ¥ I ke cos(kwet - ge)

å

j=1 ¥ I jr cos(jwrt - gr) 6.20 Recordando la propiedad trigonométrica:

cos a× cos b× cos g º ₄1

[

cos(a+b-g) + cos(b+g -a) + cos(g+a -b) + cos(a+b+g)

]

6.21 Se puede aplicar esta propiedad al término genérico de torque eléctrico 6.20. El término genérico queda entonces así:

cos ( _wmt + _q

0 +_ kwet +_ jwrt +_ ge +_ gr ) _6.22

Para que un término igual al 6.23 tenga un promedio diferente de cero en un período, es necesario que se anule la dependencia del tiempo en el argumento de la función coseno. En otras palabras:

w_mt +_ k_wet +_ j_wrt = 0

6.23

La ecuación 6.23 es fundamental en el análisis de las máquinas eléctricas rotativas y se conoce como condición de torque promedio. En la ecuación 6.23, _wm es la velocidad mecánica del sistema, _we representa la frecuencia angular de las corrientes inyectadas en las bobinas del estator y _wr es la frecuencia angular de las corrientes inyectadas en el rotor.

6.6 La máquina sincrónica

A las máquinas sincrónicas se les inyecta corriente continua en las bobinas rotóricas, por esta razón:

w_r = 0

6.24

Aplicando la condición de torque promedio 6.23 con la restricción 6.24 para las máquinas sincrónicas, se obtiene:

w_m +_ kw_e = 0 _6.25

La ecuación 6.25 justifica el nombre de estas máquinas, ya que las máquinas sincrónicas sólo pueden producir torque promedio diferente de cero cuando la velocidad mecánica coincide con la velocidad angular de las corrientes inyectadas en el estator. En otras palabras la máquina debe girar en sincronismo con las corrientes estatóricas.

Las máquinas de corriente continua son un caso particular de máquina sincrónica, donde la igualdad de frecuencias entre las corrientes -rotóricas en este caso- y la velocidad mecánica se obtiene mediante un inversor mecánico constituido por un colector y un juego de carbones que conmuta las corrientes en las bobinas del rotor con una frecuencia igual a la velocidad mecánica de giro.

6.7 La máquina de inducción

En la máquina de inducción se permite un grado de libertad adicional. En esta máquina se puede obtener torque promedio diferente de cero en un amplio rango de velocidades mecánicas. Las corrientes que circulan por el rotor se ajustan -por el fenómeno de inducción electromagnética- y cumplen la condición 6.23. En la máquina de inducción se fija la frecuencia de las corrientes en el estator _we, se produce un campo electromagnético en el entrehierro de la máquina que gira mecánicamente con la frecuencia angular de estas corrientes. Como el rotor gira a la velocidad mecánica wm , los conductores del rotor cortan el campo magnético producido en el estator con

una velocidad que es la diferencia entre _we y _wm. La diferencia porcentual entre estas dos velocidades se conoce como deslizamiento de la máquina:

s = _w e w_e-_wm

´ 100

6.26

La velocidad angular _we se conoce como velocidad sincrónica de la máquina de inducción.

6.8 La Máquina de Corriente Continua

En la figura -55- se muestra una máquina de corriente continua simplificada. Esta máquina posee un devanado estatórico por el cual se inyecta corriente continua y una armadura en el rotor alimentada mediante una fuente de corriente continua y un colector que permite la inversión de las corrientes en la armadura. Para calcular el torque eléctrico que produce esta máquina se utiliza la expresión del torque deducida en el capitulo 3 para los sistemas lineales:

T_e = 2

1

[

i

]

t

[

t (q)

]

[

i

]

6.27

Sustituyendo los términos en la ecuación 6.27 se obtiene:

T_{e =} 2 1

_[

i_e i_r

]

é

_ê

ë

0 - M senq - M sen_q 0

ù

ú

û

é

ê

ë

i e i_r

ù

ú

û

_6.28

En la expresión anterior, M es la inductancia mutua entre el estator y el rotor. Realizando las operaciones matriciales en la ecuación 6.28:

T_e = - M i_e i_r se n _q 6.29 I 1 V 2 q a w w r a e Conmutador Campo i 2 =I r 0 p _2p q i r I _r I_r -Armadura

Máquina elemental de corriente continua Fig. -55-

El colector o conmutador mecánico de la máquina de corriente continua permite alternar la polaridad de la tensión de alimentación de la bobina del rotor V_r al mismo tiempo que gira el rotor. En la figura -55- se observa también la corriente que circula por la armadura de la máquina.

El torque promedio en el eje de la máquina se calcula como: T_{e =} 21 p

ì

í

î

0

ò

p - M I_e I_r senq dq +

ò

p 2p M I_e I_r senq dq

ü

ý

þ

6.30 Resolviendo las integrales de la ecuación 6.31 se obtiene:

T

_e

_{= - p}

2M I

e

I

r

= k I

e

I

_{r 6.32} La expresión anterior determina el torque eléctrico promedio en la máquina de corriente continua. El coeficiente k depende de la construcción física de los devanados del rotor y del estator.

6.9 Cálculo del Torque a Partir de las Fuerzas Magnetomotrices

En la figura -56- se representa el diagrama de una máquina eléctrica cilíndrica con un estator (e) y un rotor (r). En el estator y rotor, se producen las fuerzas magnetomotrices F_e y F_{r respectivamente, cuya amplitud y dirección se representa} vectorialmente en la figura. Estas fuerzas magnetomotrices se encuentran separadas en un ángulo q, una de la otra. La suma de las fuerzas magnetomotriz del rotor y del estator produce la fuerza magnetomotriz resultante en el entrehierro de la máquina F_t. Para calcular el torque eléctrico de una máquina en función de las fuerzas electromotrices, se determina la coenergía en el campo y luego se deriva con respecto a la posición angular q: T_e = ¶q ¶W_c, ( F , q ) 6.32 q Rotor F F F r e t Estator

Torque eléctrico a partir de las fuerzas magnetomotrices Fig. -56-

De la figura -56- se deduce:

F _t2 = F _r2 + F _e2 + 2 F _rF _e cos _q

6.33

Si la permeabilidad del material magnético es muy grande, es decir m tiende a infinito, toda la energía está concentrada en el entrehierro y la coenergía se puede calcular de la siguiente forma:

W_c, = W_c = v olu m en x w_c

6.34 En la ecuación 6.34, <wc> representa la energía promedio en el campo por unidad de volumen. De esta forma:

W_c, = 2_{p r d l} 1 H.B₂

6.35

donde:

r es el radio medio del entrehierro [m] d es el espesor del entrehierro [m] l es la longitud activa de la máquina [m]

Como la densidad de campo magnético B en el entrehierro es igual a _moH: W_c, = 2_{p r d l}

2

1 m_o H2

6.36

La primera armónica de la intensidad de campo magnético H es sinusoidal y su valor promedio es:

H2 = 2p 1

ò

0 2_p

(

H_max.senq

)

2 dq = 2 1 H_max2 6.37 Sustituyendo 6.37 en 6.36: W_c , = p r d l m₀ Hmax₂ 2 6.38 En la ecuación 6.38, es necesario expresar la amplitud de la intensidad de campo magnético de primera armónica en función de las fuerzas magnetomotrices. En la figura -57-, se representa una máquina con un devanado en el estator. Como la permeabilidad del hierro es infinita toda la fuerza magnetomotriz se utiliza para que el flujo cruce el entrehierro. Aplicando la ley de Ampere a esta máquina, se tiene:

F = N . I = _{H . d l = Hai r e.d lai r e+ Hhi er r o.d lhi er r o}

6.39

H_{hierro = m} 0mhierro B _{= 0} 6.40 Sustituyendo 6.40 en 6.41: F = N . I = H . d l = H_{ai r e}.dl_{ai r e} 6.41

En la figura -57- también se representa la distribución de la intensidad del campo magnético en función de la posición q de la trayectoria de Ampère. De esta forma se obtiene a partir de la ecuación 6.41:

F = N . I = H . d l = H_{ai r e}.dl_{ai r e}= H_{ai r e}. 2d 6.42 NI NI Entrehierro a a H m a x H m a x -p 2_p

Fuerzas magnetomotrices e intensidades de campo magnético Fig. -57-

Despejando de la ecuación 6.42 la intensidad de campo magnético en función de la fuerza electromotriz:

H = 2_d

F

6.43

Sustituyendo la ecuación 6.43 en la ecuación 6.38 se obtiene:

W_c , = 8d p r l m₀

F 2

6.44

W_c , = 8 _d p r l m₀

( F _r2 + F _e2 + 2 F _r F _e cos_{q )}

6.45 Para calcular el torque eléctrico se utiliza la ecuación 6.32:

T_e = ¶q ¶W_c , (F , q ) = 8 d p r l m₀ ( -2 F _rF _e senq ) = - p r l m_4d 0 F _rF _e senq 6.46 Mediante la ecuación 6.46 se puede calcular el torque eléctrico en función de las fuerzas magnetomotrices de la máquina. La fuerza magnetomotriz depende de las corrientes y del número de vueltas de las bobinas. Si se conocen las dimensiones de la máquina, las corrientes y el número de conductores de cada bobina, es posible utilizar la ecuación 6.46 para determinar el torque.

Si la distribución de las corrientes en la máquina no es puntual, se puede utilizar la misma técnica para calcular la intensidad de campo magnético H pero se tiene en cuenta que:

H.d l = J . ds

6.47

En la figura -58- se muestran dos distribuciones diferentes de los conductores en la superficie de una máquina así como su respectiva distribución de intensidades de campo magnético H. Cuando el entrehierro es constante la densidad de campo magnético B posee la misma distribución que H.

H H

q

q

Diferentes distribuciones de conductores y campos en las máquinas Fig.

-58-6.10 El campo magnético rotatorio

Cuando se analizaron las bases de la máquina eléctrica generalizada, se utilizaron dos grados de libertad para la representación del campo magnético, uno dado por la bobina a y el otro por la bobina b. Mediante este esquema se puede determinar el campo en cualquier punto del plano.

En la figura -59- se muestran dos corrientes i_a e i_b que pueden ser inyectadas en las bobinas a y b de la máquina.

I -I 2 w p w p 4 w 3p t i(t) i_a i_b

Corrientes inyectadas en la máquina generalizada Fig. -59-

En el instante inicial -t=0- la corriente i_a vale cero e i_b es -I, por lo tanto el campo resultante apunta en la dirección negativa del eje b. Cuando el tiempo se incrementa y llega al instante p/2w , la corriente i_b se anula, mientras que la corriente i_a es +I, el campo en estas condiciones apunta en la dirección positiva del eje a. En el instante p/w el flujo se orientará según la dirección positiva del eje b, ya que la corriente i_b tiene como valor +I y la corriente i_a es cero. Para el instante de tiempo 2p/w, la corriente i_a es cero, la corriente i_b vale -I y el vector del campo apunta nuevamente en la dirección negativa del eje b, repitiéndose de esta forma las condiciones iniciales. En la figura -60- se representa la situación anterior.

El análisis anterior señala las corrientes que varían en el tiempo, producen un campo magnético que gira en el espacio. Aun cuando los campos de cada eje tienen igual amplitud, el desfasaje en el tiempo y en el espacio origina un campo magnético rotatorio. La frecuencia de giro del campo magnético en el espacio es igual a la frecuencia de variación de las corrientes en el tiempo.

Si la bobina _{a no es idéntica a la bobina b, o las corrientes inyectadas a la} máquina en cada eje difieren en amplitud, el campo no es circular sino elíptico. Los campos elípticos también son considerados campos magnéticos rotatorios o rotantes. Las máquinas trifásicas también funcionan mediante el principio del campo magnético rotatorio. t=0 a b i i a b t= 2w p t=_wp t= ₄3 p NI NI -NI -NI q ,t

Campo magnético rotatorio Fig.

-60-6.11 La máquina trifásica

La máquina trifásica dispone de tres devanados repartidos simétricamente en la periferia del cilindro. En la figura -61- se representa la configuración esquemática de este tipo de máquinas así como las tres corrientes que se han inyectado en las bobinas a, b y c. En la figura se representan las corrientes a, b y c, y las fuerzas magnetomotrices que estas corrientes producen en el tiempo inicial (t=0) como fasores. En el instante inicial las corrientes que circulan por las tres bobinas son:

i_a = I_{m ax} i b = - 1 I2 m ax i_c = -2 1 I_{m ax} 6.48 Para demostrar que el campo magnético originado por las corrientes de la figura -61-es rotatorio, se expresan estas corriente como:

i_a(t ) = I cos (wt - a) i b(t) = I cos (wt - a - 3 2p ) i_c(t ) = I cos (wt - a - 4₃p ) 6.49 a b c i i a b i _c i (t ) i _a i_b i _c 1 20° 1 2 0 ° 1 2 0 ° t

Corrientes y fuerzas magnetomotrices de la máquina trifásica Fig. -61-

Si q es la dirección de un punto cualquiera en el entrehierro medido a partir del eje magnético de la bobina a, se obtiene:

F (q,t ) = N i_a cosq + N i_b cos(q + 4₃p ) + N i_c cos(q + 2₃p )

6.50 Sustituyendo las expresiones 6.49 en la ecuación 6.50 se obtiene:

F (q,t ) = N I { cos(wt- a) cosq + cos(wt- a-3 2_{p ) cos(q +} 3 4_{p ) +} + cos(wt- a-3 4_{p ) cos(q +} 3 2_{p ) }} 6.51 Aplicando las propiedades trigonométricas para el producto de cosenos se obtiene: F (q,t ) = 2 N I { cos(wt - a + q) + cos(wt - a - q) + + cos(wt - a + q + 3 2_{p ) + cos(wt - a - q) +} + cos(wt a + q -3 2_{p ) + cos(wt - a - q) }} 6.52

En la ecuación anterior los términos primero, tercero y quinto de la sumatoria de cosenos suman cero, por que el desfase entre ellos es de 120°. Con esta consideración, se obtiene:

F (q,t ) = 3 N I cos( wt - a - q )₂

6.53 Esta expresión permite determinar la fuerza magnetomotriz en el espacio y en el tiempo. Si se fija la posición, es decir, el ángulo q es constante, la ecuación 6.53 determina que en esa posición la fuerza magnetomotriz varía sinusoidalmente en el tiempo. Si se congela el tiempo en un instante determinado, la expresión 6.53 determina una distribución sinusoidal de la fuerza magnetomotriz en el espacio. La ecuación 6.53 demuestra que en una máquina eléctrica trifásica, alimentada por tres corrientes balanceadas y desfasadas 120° en el tiempo produce un campo magnético rotatorio similar al producido por dos devanados ortogonales a los cuales se les inyecten corrientes sisusoidales desfasadas 90°.