Relación 1 - Búsqueda en espacios de estados

(1)

Inteligencia Artificial

2014 - 2015

Relaci´

on 1 - B´

usqueda en espacios de estados

Cuestiones

Cuesti´on 1. Enuncia la principal diferencia entre Inteligencia Artificial fuerte e Inteli-gencia Artificial d´ebil.

Cuestión 2. Calcular cuántos nodos se exploran (contando las repeticiones) en el algo-ritmo de profundidad iterativa en un problema de búsqueda donde el número de sucesores de cualquier nodo es b y la solución se alcanza en el último nodo a profundidad n.

Cuestión 3. Dar un ejemplo de problema de espacios de estados en el que la solución más corta esté a profundidad p, pero que la búsqueda en profundidad acotada con cota p no encuentre la solución.

Cuestión 4. Supongamos que, para resolver un problema de espacio de estados, dos alumnos deciden representar de la misma manera los estados y los operadores, y definen de la misma manera el estado inicial y las funciones es estado final y aplica. Sin embargo, aplicando el procedimiento de búsqueda en profundidad obtienen soluciones distintas ¿Por qué puede ocurrir esto?

Cuesti´on 5. ¿Son ciertas las siguientes afirmaciones? (justificar la respuesta):

La lista de ABIERTOS usada en los procedimientos de búsqueda contiene en cada momento todas las hojas del árbol de búsqueda actual.

Las listas de ABIERTOS y CERRADOS no tienen nodos en com´un.

Cuestión 6. Explicar en qué consiste (y para qué se usa) la técnica de “relajación de un problema de espacio de estados”.

Cuestión 7. Dar un ejemplo de problema de espacios de estados en los cuales aplicando el algoritmo de primero el mejor con una heur´ıstica admisible no se obtenga solución óptima.

Cuestión 8. Dadas dos funciones heur´ısticas distintas ¿es cierto que siempre una de ellas está más informada que la otra?

Cuestión 9. Dar una ventaja de la búsqueda en profundidad frente a la búsqueda en anchura, y viceversa.

Cuestión 10. Sea h una heur´ıstica admisible para un problema planteado como espacio de estados y k > 0 un número real ¿Qué efecto tiene usar en el algoritmo de búsqueda por primero el mejor, en lugar de h, la heur´ıstica que a cada estado e le asigna valor k · h(e)? ¿Y en el algoritmo A∗_{? ¿Var´ıan las respuestas anteriores si sabemos que k < 1?}

Cuestión 11. Dado un problema de espacio de estados, supongamos que definimos una heur´ıstica h que a cada estado le asigna el coste del camino encontrado por una búsqueda óptima que tiene a dicho estado como estado inicial ¿Es h una heur´ıstica admisible? ¿Qué inconvenientes presenta el uso de dicha heur´ıstica desde el punto de vista práctico?

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Cuesti´on 12. Especificar, razonando la respuesta, un problema de espacio de estados en el que la lista de cerrados en los algoritmos de b´usqueda en anchura y en profundidad sea superflua.

Cuestión 13. Considérese una modificación del algoritmo A∗ _{en el que en lugar de usar}

f (n) = g(n) + h(n) para ordenar la cola de abiertos se usa f′_{(n) = (1 − w) · g(n) + w · h(n),}

siendo w un n´umero real constante, 0 ≤ w ≤ 1

(a) ¿Qu´e algoritmo de b´usqueda estar´ıamos aplicando si tomamos w = 0? ¿Y w = 0, 5? ¿Y w = 1?

(b) Demostrar que si h es admisible y w ≤ 0, 5 entonces se obtiene soluci´on ´optima si ordenamos la lista ABIERTOS usando f′_.

(c) Dar un ejemplo de problema de espacio de estados, una heur´ıstica admisible y un valor w > 0, 5 tal que al ordenar por f′ _{no se obtenga soluci´on ´optima.}

Cuestión 14. Responder razonadamente si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Si la respuesta Verdadera debes dar razones que apoyen tu decisión. Si la respuesta es Falsa debes dar un ejemplo en el que no se verifique la afirmación.

(a) El algoritmo A∗ _{siempre encuentra soluci´on ´optima cuando usa una heur´ıstica}

ad-misible, aunque algunas de las acciones puedan tener coste cero y haya una cantidad ilimitada de estados.

(b) Si el coste de las acciones es constante, entonces la búsqueda por primero el mejor con una heur´ıstica admisible siempre devuelve una solución óptima.

(c) Sea h∗_{(n) el coste de un camino ´optimo desde el estado n hasta un estado final en un}

problema de búsqueda en espacio de estados. Afirmación: La búsqueda por primero el mejor usando h∗ _{como heur´ıstica encuentra siempre una soluci´}_{on ´}_optima.

Cuesti´on 15. Consid´erense un par de heur´ısticas h1 y h2, ambas admisibles para un

problema representado como espacio de estados. Supuesto que estamos interesados en encontrar una solución de coste m´ınimo en el menor tiempo posible, ¿qué heur´ıstica de las siguientes es la mejor para ser usada junto con el algoritmo A∗_{? (justificar la elección):}

• h1.

• h2.

• h3, definida por h3(e) = max{h1(e), h2(e)}.

• h4, definida por h4(e) = h1(e) + h2(e).

Cuestión 16. Si tenemos dos heur´ısticas admisibles, una más informada que otra, y queremos aplicar el algoritmo A∗ _{¿hay alguna diferencia a nivel teórico entre usar una u}

otra? ¿y a nivel pr´actico?

Cuestión 17. Dar un ejemplo de problema de espacios de estados con coste, donde todos los costes sean positivos, pero el algoritmo de búsqueda óptimano obtenga solución óptima.

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Problemas

Problema 1. Consideremos el problema de espacios de estados con los estados A, B, C, D, E, F . La lista siguiente representa la relaci´on sucesor de un estado y sus costes asociados:

A → B A → D B → C C → D C → E C → F D → B D → E E → F

5 3 1 1 2 8 1 7 1

El estado incial es A y el estado final es F . Tenemos tambi´en la siguiente heur´ıstica h(A) = 5, h(B) = 4, h(C) = 3, h(D) = 2, h(E) = 1, h(F ) = 0. En caso de igualdad de condiciones, usamos el orden alfab´etico. Se pide:

(a) Aplicar el algoritmo de b´usqueda en profundidad iterativa con cota inicial 2 (usando CERRADOS), rellenando la siguiente tabla y justificando cada uno de los pasos. Indicar expl´ıcitamente la profundidad de la soluci´on encontrada.

PASO ACTUAL PROF(ACTUAL) CERRADOS ABIERTOS

0 ∅ [A]

1 A 0 . . . .

. . . .

(b) Aplicar el algoritmo A∗_{mediante una tabla como la del apartado anterior,}

justifican-do la ordenaci´on de los nojustifican-dos en cada paso. Indicar expl´ıcitamente la profundidad, el coste y el camino de la soluci´on encontrada.

Problema 2. El siguiente grafo representa un espacio de estados. El estado incial es A y hay dos estados finales F y H. El coste de aplicar un operador a un estado es siempre 1. Tenemos también la siguiente heur´ıstica h(A) = 4, h(B) = 3, h(C) = 3, h(D) = 2, h(E) = 3, h(F ) = 0, h(G) = 1, h(H) = 0. En caso de igualdad de condiciones, usamos el orden alfabético. Nota: La profundidad de un nodo en un árbol de búsqueda es el número de acciones que nos han llevado hasta ese nodo desde el nodo ra´ız.

A

B

C

D

E

F

G

H

Se pide:

Aplicar el algoritmo de búsqueda en profundidad acotada (usando CERRADOS) con cota 3, rellenando la siguiente tabla y justificando cada uno de los pasos. ¿Cuál es la solución encontrada?

PASO ACTUAL PROF(ACTUAL) CERRADOS ABIERTOS

0 ∅ [A]

1 A 0 . . . .

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Aplicar el algoritmo A∗ _{mediante una tabla como la del apartado anterior,}

justifi-cando la ordenación de los nodos en cada paso. ¿Cuál es la solución encontrada? ¿Es la heur´ıstica admisible?

Problema 3. El problema de los misioneros y los can´ıbales se enuncia de la siguiente manera: “En la orilla izquierda de un r´ıo se encuentran M misioneros, C can´ıbales y una barca en la que caben como máximo P personas; se trata de determinar cómo pueden trasladarse los misioneros y los can´ıbales a la orilla derecha teniendo en cuenta que en la orilla en la que no esté la barca no debe haber más can´ıbales que misioneros y que queremos minimizar la suma total de cambios de orilla realizados por cada una de las personas”. Plantear el problema como un problema de espacio de estados e indicar qué algoritmo de búsqueda informada y qué heur´ıstica se usar´ıa para encontrar una solución.

A → B A → C B → D D → C C → E D → F

1 4 1 1 2 5

El estado incial es A y los estados finales son E y F . Tenemos tambi´en la siguiente heur´ıstica h(A) = 1, h(B) = 1, h(C) = 0, h(D) = 3, h(E) = 0, h(F ) = 0. En los siguientes apartados representaremos cada nodo por la terna hEstado, Camino − recorrido, V alori, donde V alor es el valor num´erico que nos permite ordenar los abiertos en cada algoritmo. Se pide:

(a) Aplicar el algoritmo de búsqueda óptima, rellenando la siguiente tabla y justifi-cando cada uno de los pasos. Indicar expl´ıcitamente la solución encontrada.

PASO EST. ACTUAL PROF(ACTUAL) CERRADOS ABIERTOS

0 ∅ {hA, [A], 0i}

1 A 0 . . . .

. . . .

(b) Aplicar el algoritmo A∗ _{mediante una tabla como la del apartado anterior,}

justifi-cando la ordenaci´on de los nodos en cada paso. Indicar expl´ıcitamente el coste y el camino de la soluci´on encontrada.

Problema 5. Dado el conjunto de valores enteros I = {i1, i2, i3, ..., i_N}, encontrar un

subconjunto no vac´ıo S ⊂ I cuyos elementos sumen cero.

1. Formaliza este problema como problema de espacio de estados indicando de forma precisa los distintos elementos que lo componen.

2. Si se pretende encontrar una solución que minimice la suma de los cuadrados de los elementos de S. ¿Qué algoritmo garantizar´ıa la misma? (Completar, con la infor-mación necesaria, la formalización dada según el algoritmo escogido).

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Problema 6. Consideremos un problema genérico de búsqueda en espacios de estados donde cada acción tiene asignado un coste mayor o igual a 1/2. Responder, razonadamente, si las siguientes funciones son heur´ısticas admisibles (en el caso general). Debes responder SI o N O en el cuadro junto a la pregunta y luego dar aparte el razonamiento.

(a) h1(n). Para calcularlo, consideramos todas las acciones que se pueden realizar desde

el estado n. El valor de h1(n) es el m´ınimo de esos valores y cero si no se puede

realizar ninguna acci´on. . . .

(b) h2(n) es el menor n´umero de acciones que debo realizar para llegar desde n a un

estado final . . . .

(c) h3(n) = 1/coste(n), donde coste(n) es el menor coste de un camino que lleva desde

el estado inicial hasta n y 0 si coste(n) = 0 . . . . (d) h4(n) = h∗(n)/(1 + h∗(n)) donde h∗(n) el coste de un camino ´optimo desde n

. . . .

A → B A → C A → D B → F C → B

6 3 2 1 2

C → E D → C D → E E → A E → F

3 4 3 1 3

El estado inicial es A y el estado final es F . En caso de igualdad de con-diciones, usamos el orden alfabético. Representaremos cada nodo como la terna Estado-Profundidad-Coste, donde Coste es el coste acumulado desde el nodo inicial. Aplicar el algoritmo de búsqueda óptima (usando CERRADOS), rellenando la siguiente tabla y justificando cada uno de los pasos.

PASO ACTUAL CERRADOS ABIERTOS

0 ∅ [A-0-0]

1 A-0-0 . . . .

. . . .

Problema 8. Problema de las torres de Hanoi: en un templo hind´u se encuentran tres varillas de platino. En una de ellas, hay 64 anillos de oro de distintos radios, colocados de mayor a menor. El trabajo de los monjes de ese templo consiste en pasarlos todos a la tercera varilla, usando la segunda como varilla auxiliar, con las siguientes condiciones:

En cada paso s´olo se puede mover un anillo.

Nunca puede haber un anillo de mayor di´ametro encima de uno de menor di´ametro. Se pide:

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1. Formalizarlo como un problema de espacio de estados, y obtener una función heur´ıstica admisible que sirva para obtener una solución óptima (entendiendo que el coste de aplicar un operador es siempre 1).

2. ¿Qué algoritmo de búsqueda habrá que emplear? Razónese la respuesta.

Problema 9. El siguiente grafo representa un problema de espacio de estados. Los nodos del grafo son los estados del problema, las aristas conectan estados con sus sucesores y el valor num´erico de cada arista representa el coste de pasar de un estado a su sucesor:

I A B G C D F E 6 6 6 5 1 8 5 1 87

El estado inicial del problema es I y el ´unico estado final es F . Se consideran las funciones heur´ısticas H1 y H2 dadas por la siguiente tabla:

Estado H1 H2 I 16 20 A 8 8 B 10 6 C 3 12 D 2 2 E 9 9 F 0 0 G 1 1

Resolver los siguientes apartados:

Construir los árboles de búsqueda generados por los algoritmos de búsqueda en profundidad y búsqueda óptima. Indicar, en cada caso, el orden en el que se analizan los nodos y la solución obtenida junto con su coste.

An´alogamente, con el algoritmo de b´usqueda A∗_{, usando las dos heur´ısticas H}₁ _y

H2 anteriormente definidas ¿Son admisibles? Justificar las respuestas.

Nota: Considerar que distintos sucesores de un mismo nodo se ordenan alfab´etica-mente.

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Problema 10. El siguiente grafo representa un problema de espacio de estados. Los nodos del grafo son los estados del problema, las aristas conectan cada estado con sus sucesores, y el valor num´erico de cada arista representa el coste de pasar de un estado al sucesor correspondiente.

El estado inicial del problema es el nodo A, y los estados finales son H e I. Se considera la funci´on heur´ıstica h dada por la siguiente tabla:

2 7 H I F E A B C D G 4 9 10 1 6 1 7 1 1 6 4 1 5 10 Nodo Heur´ıstica A 7 B 7 C 2 D 7 E 4 F 9 G 1 H 0 I 0

Resolver los siguientes apartados:

(a) Construir el árbol de búsqueda generado por los algoritmos de búsqueda por primero el mejor y búsqueda óptima.

(b) Para cada uno de ellos decir cual es la solución obtenida, el número de nodos que en cada caso ha sido necesario expandir, y el coste de cada camino solución. ¿Es alguna de las soluciones obtenidas óptima? ¿Cuál? ¿Por qué la otra no lo es? (c) Construir el árbol de búsqueda generado por el algoritmo A∗_{. Teniendo en cuenta la}

solución obtenida responda a la pregunta ¿es h admisible?. Modificar m´ınimamente la heur´ıstica para que A∗ _{encuentre la solución óptima.}

Nota: Considerar que los sucesores de un mismo nodo se ordenan alfab´eticamente. En caso de empate a la hora de gestionar la cola de abiertos, resolverlo igualmente atendiendo al orden alfab´etico.

Problema 11. Explicar esquemáticamente (sin entrar en detalles de implementación) la representación como espacio de estados del siguiente problema. Especificar la repre-sentación de estados y operadores, el estado inicial, los estados finales, el conjunto de operadores, cómo se aplican estos operadores y el coste de dicha aplicación. Definir tam-bién una heur´ıstica, indicando si es admisible y justificando la respuesta.

El problema es el siguiente: dados cuatro números naturales n, m, r y T , encontrar una secuencia m´ınima de operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) que usando n y m únicamente y partiendo de 0, obtenga como resultado T , con la restricción adicional de que ni n ni m se pueden usar más de r veces.

Por ejemplo, si n = 2, m = 3, r = 3 y T = 28, una posible soluci´on (no necesariamente m´ınima) es ((((((0 + 3) × 3) × 2) − 3) × 2) − 2), ya que el resultado es 28 y ni 2 ni 3 se han usado m´as de tres veces cada uno.

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Problema 12. Consideremos un problema de espacio de estados con factor de ramifica-ción constante b y con una única solución que se encuentra a profundidad d.

Calcular, tanto en el mejor como en el peor de los casos, el número de nodos que se necesitan analizar para encontrar la solución, al aplicar un algoritmo de búsqueda en anchura. Análogamente para la búsqueda en profundidad.

Calcular, tanto en el mejor como en el peor de los casos, el máximo número de nodos que podr´ıan estar a la espera de ser analizados en la lista de ABIERTOS, al aplicar el algoritmo de búsqueda en anchura. Lo mismo para el algoritmo de búsqueda en profundidad iterativa.

Problema 13. Consideremos el siguiente puzle: se dispone de 3 fichas negras (N), 3 fichas blancas (B) y una casilla vac´ıa, en la siguiente posici´on inicial:

N N N B B B V

El objetivo del puzle consiste en colocar todas las fichas blancas a la izquierda de las fichas negras, independientemente de la posici´on de la casilla vac´ıa. Para ello, los movimientos permitidos son los siguientes:

Una ficha puede moverse a una celda adyacente vac´ıa, con coste 1.

Una ficha puede desplazarse a una celda vac´ıa saltando dos fichas como m´aximo, con un coste igual al n´umero de fichas saltadas.

Se pide:

Definir una función heur´ıstica para este problema, justificando su admisibilidad. Para resolverlo, ¿utilizar´ıas el algoritmo de búsqueda por primero el mejor o el algoritmo A∗_{? ¿Por qué?}

Problema 14. Consid´erese el problema del 3-puzle, versi´on reducida del problema del 8-puzle, en el que en un cuadrado 2 × 2 se disponen tres bloques (y por tanto un hueco) numerados del 1 al 3. Los estados inicial y final son, respectivamente:

1

2

3

1

2

3

Estado inicial Estado final

Tomamos como operadores del problema el movimiento del hueco arriba, abajo, a la izquierda y a la derecha (en ese orden) y como coste de aplicar un operador el valor 1. Representar gráficamente los árboles correspondientes a los siguientes algoritmos de búsqueda.

B´usqueda en profundidad. B´usqueda A∗ _{con la heur´ıstica h}

1 que cuenta la distancia Manhattan desde la

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B´usqueda por primero el mejor con la heur´ıstica h2 que cuenta el n´umero de bloques

que no est´an en la posici´on que deben ocupar en el estado final.

En cada caso, anotar junto a cada nodo el orden en el que se analiza y su heur´ıstica o coste más heur´ıstica, cuando sea relevante. A igualdad de valoración, resolver los conflictos escogiendo el nodo que más tiempo lleve en la cola de espera. ¿Es h1 admisible? ¿Es h2

admisible? ¿Cuál está más informada?

Problema 15. Consideremos un robot m´ovil que se puede desplazar por la malla si-guiente, donde los lados de la malla son de longitud 1 metro.

Cada localización L del robot viene dada por las coordenadas (i, j) del nodo en el que se encuentra, junto con su orientación: Norte, Sur, Este, Oeste. Por ejemplo, la localización del robot situado en la malla anterior es (1,1), orientación Oeste.

En cada momento, el robot puede:

desplazarse en el sentido de su orientaci´on actual hasta el siguiente nodo, o

girar sobre s´ı mismo 90 grados en un sentido u otro, manteni´endose en las mismas coordenadas.

Adem´as, sabemos que:

tarda 4 s. en realizar un giro sobre s´ı mismo.

se desplaza a 0.5 m/s por los tramos de trazo grueso. se desplaza a 1 m/s por los tramos de trazo fino. Se pide:

(a) Formalizar el problema de trasladar el robot desde una localizaci´on a otra en el m´ınimo tiempo como un problema de b´usqueda en espacio de estados.

(b) En el caso concreto de trasladar el robot desde la localización L1 ((1, 1), orientación Oeste), hasta la localización L2 ((2, 2), orientación Norte):

• Definir una funci´on heur´ıstica admisible, lo m´as informada posible, y justificar su admisibilidad.

• Aplicar el algoritmo A*, utilizando la función heur´ıstica definida en el aparta-do anterior, especificanaparta-do el orden de generación y el orden de análisis de los nodos. Describir la solución encontrada y el coste de la misma ¿Es la solución encontrada la que tiene tiempo de recorrido m´ınimo? Justifica la respuesta. Nota: en caso de empate en la valoración de los nodos, ordenar según la orien-tación dada por la lista (E, S, O, N ).