APUNTES PARA EL CURSO DE CÁLCULO I. Decimos que el límite de f(x) cuando x tiende a c, es igual a L si a medida que los valores de x se

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UNIVERSIDAD DE COSTA RICA MA-1001 C ÁLCULO I LIC. LEINER VÍQUEZ GARCÍA

APUNTES PARA EL CURSO DE C ´ALCULO I

L´

IMITES DE FUNCIONES

DEFINICI ´ON:

Decimos que el l´ımite de f (x) cuando “x” tiende a “c”, es igual a “L” si a medida que los valores de “x” se aproximan a “c”, ya sea por la derecha o por la izquierda, entonces los valores de f (x) se aproximan a “L”. Esto se escribe l´ım

x→cf (x) = L lo que tambi´en se puede escribir como f (x) → L cuando x → c.

Veamos un ejemplo utilizando una tabla de valores. Consideremos la funci´on f (x) = x

2_{− 4}

x − 2, ¿a qu´e valor se aproxima f (x) si x se aproxima a 2?

· · · ·· I 2 _{J · · · ·}

x 1,5 1,9 1,99 1,999 2,001 2,01 2,1 2,5

y 3,5 3,9 3,99 3,999 4,001 4,01 4,1 4,5

· · · I 4 _{J · · · ·} Lo que en la gr´afica se ver´ıa as´ı:

Observe que aunque la función no está definida para x = 2 (restricción), para valores muy cercanos a 2, tanto a la izquierda (valores menores que 2) como a la derecha (valores mayores que 2), las imágenes se aproximan a 4. Nótese que el 4 no es imagen de 2. Esto se representa mediante los l´ımites laterales l´ım

x→2−

f (x) = 4 (l´ımite lateral izquierdo) y l´ım

x→2+

f (x) = 4 (l´ımite lateral derecho). Al coincidir ambos, decimos que 4 es el l´ımite de f (x) cuando x tiende a 2, lo que simb´olicamente se representa as´ı:

l´ım

x→2f (x) = 4 o tambi´en x→2l´ım

x2− 4 x − 2 = 4

(2)

EXISTENCIA DEL L´IMITE

Si f es una funci´on y si “c” y “L” son n´umeros reales, decimos que l´ım

x→cf (x) = L si y s´olo si: l´ım x→c−f (x) = l´ım_x→c+f (x) = L EJEMPLO. Considere la funci´on f (x) =      2x + 3, si x < −1 5, si x = −1 x2_{+ 1,} _si _{x > −1}

¿Qu´e sucede cuando los valores de x se aproximan a −1?

· · · I

-1

J · · · ·

x −1,2 −1,1 −1,01 −1,001 5 −0,999 −0,99 −0,9 −0,8

y 0,6 0,8 0,98 0,998 5 1,998 1,98 1,81 1,64

· · · I

?

J · · · ·

Observe que cuando los valores de x se aproximan a −1 por la izquierda (valores menores que −1), las im´agenes se aproximan a 1. Lo anterior se puede representar como un l´ımite lateral izquierdo l´ım

x→−1−

f (x) = 1. A la vez, cuando los valores de x se aproximan a −1 por la derecha (valores mayores que −1), las im´agenes se aproximan a 2. Esto se representa con el l´ımite lateral derecho l´ım

x→−1+

f (x) = 2. Lo anterior se cumple independientemente de que la imagen de −1 sea 5, pues f (−1) = 5.

Sin embargo, al ser diferentes los l´ımites laterales, no podemos decir que l´ım

x→−1f (x) exista. As´ı, para que un

(3)

Ejemplo. De acuerdo con los datos de la figura en la que aparece representada la funci´on f (x), determine (si existe) el valor de cada uno de los l´ımites que se le piden.

l´ım x→3−f (x) _x→3l´ım+f (x) _x→3l´ımf (x) l´ım x→−1− f (x) l´ım x→−1+ f (x) l´ım x→−1f (x) l´ım x→0− f (x) l´ım x→0+ f (x) l´ım x→0f (x) l´ım x→2− f (x) l´ım x→2+ f (x) l´ım x→2f (x) l´ım x→−2− f (x) l´ım x→−2+ f (x) l´ım x→−2f (x) l´ım x→5− f (x) l´ım x→5+ f (x) l´ım x→5f (x) l´ım x→−3− f (x) l´ım x→−3+ f (x) l´ım x→−3f (x) l´ım x→4− f (x) l´ım x→4+ f (x) l´ım x→4f (x)

(4)

PROPIEDADES DE LOS L´

IMITES

Si c, L y M son n´umeros reales tales que l´ım

x→cf (x) = L, l´ımx→cg(x) = M , k es una constante real cualquiera, n

es un entero positivo, se cumplen las siguientes propiedades: (1) El l´ımite de una suma o resta de funciones l´ım

x→c(f (x) ± g(x)) = l´ımx→cf (x) ± l´ımx→cg(x) = L ± M

(2) El l´ımite de un producto de funciones l´ım

x→c(f (x) · g(x)) = l´ımx→cf (x) · l´ımx→cg(x) = L · M

(3) El l´ımite de un cociente de funciones l´ım

x→c f (x) g(x) = l´ım x→cf (x) l´ım x→cg(x) = L M, si l´ımx→cg(x) = M 6= 0

(4) El l´ımite de un m´ultiplo escalar de una funci´on l´ım

x→c(k · f (x)) = k · l´ımx→cf (x) = k · L

(5) El l´ımite de una potencia l´ım

x→c(f (x)) n =l´ım x→cf (x) n = Ln (6) El l´ımite de un radical:

(a) Si n es par y L es real positivo o cero l´ım

x→c n p f (x)= n r l´ım x→cf (x) = √nL (b) Si n es impar y L es un real cualquiera l´ım

x→c n p f (x)= n r l´ım x→cf (x) = √nL Ejemplo. Si l´ım

x→−2f (x) = 25 y l´ımx→−2g(x) = −4, calcule los siguientes l´ımites utilizando las propiedades de los

l´ımites. (a) l´ım x→−2 1 5 p f (x) + 3 (g(x))2− 5f (x) · g(x) = l´ım x→−2 1 5 p f (x) + l´ım x→−2 3 (g(x))2− l´ım x→−2(5f (x) · g(x)) = 1 5x→−2l´ım p f (x)+ 3 l´ım x→−2 (g(x))2− 5 l´ım x→−2(f (x) · g(x)) = 1 5 q l´ım x→−2f (x) + 3 l´ım x→−2g(x) 2! − 5 · l´ım x→−2f (x) · l´ımx→−2g(x) = 1 5 √ 25+ 3(−4)2− 5 · (25 · −4) = 1 5 · 5 + 3 · 16 − 5 · −100 = 1 + 48 − −500 = 549 (b) l´ım x→−2 " 3p5 · f(x) − 0,25 · g(x)3 2f (x) + 5p8g(x)5 # (tarea moral) R/ 2₅

(5)

T´

ECNICAS PARA C ´

ALCULO DE L´

IMITES

A. LÍMITES DETERMINADOS: Método de Sustitución Directa.

l´ım x→2 x2+ 1 x + 2 l´ım x→3 x − 4 x + 5 l´ım x→−2 √ 5 + x + 1 x2_{− 3} l´ım x→5 √ x + 4 − 1 3 √ x2_{+ 2 + 1}

(6)

B. L´ıMITES INDETERMINADOS:

Ejemplos de l´ımites que se resuelven factorizando: l´ım x→−2 x3 _{+ x}2_{− 2x} x3_{+ 3x}2_{+ 2x} l´ım x→1 2 4x2_{+ 4x − 3} 8x3_{− 6x}2_{+ x} l´ım x→1 x − 1 x3_{− x}2_{+ x − 1} l´ım x→2 (8 − x3)(x2− 4x + 4) x3_{− 6x}2_{+ 12x − 8}

(7)

Ejemplos de l´ımites que se resuelven racionalizando:

EXPRESIONES BINOMIALES CON RADICALES DE ´ıNDICE DOS l´ım x→1 1 − x √ 5 − x2_{− 2} l´ım x→3 √ 6 + x − x 3 − x l´ım x→−2 x2+ x − 2 √ 6 + x − 2

EXPRESIONES BINOMIALES CON RADICALES DE ´INDICE TRES

l´ım x→3 3 −√3 9x x2_{− 9} l´ım x→3 x2_{− 4x + 3} 3 √ 3x − 1 − 2

(8)

DOBLE RACIONALIZACI ´ON l´ım x→11 3 −√x − 2 2 −√15 − x l´ım x→3 1 −√x − 2 √ x + 6 − 3 l´ım x→1 1 −√x 3 √ x − 1

L´ımites en los que se puede aplicar una sustituci´on adecuada

l´ım x→64 3 √ x − 4 √ x − 8 l´ım x→0 2x √ 2x + 1 −√3 2x + 1

(9)

L´ımites que se resuelven efectuando operaciones algebraicas. l´ım x→1 1 1 − x− 3 1 − x3 l´ım x→5 1 x − 5+ 1 x2_{+ 5x + 25} − 8x + 35 x3_{− 125} l´ım x→2     1 − 2 x 1 √ x − 1− 1    

(10)

L´

IMITES LATERALES

L´ımite Lateral Derecho:

l´ım

x→c+

f (x)

“x se acerca a c por valores mayores que c”

L´ımite Lateral Izquierdo:

l´ım

x→c−

f (x)

“x se acerca a c por valores menores que c”

Ejemplos: • l´ım x→1+ √ x − 1 • Sea f (x) =      2x − x3_, _si _{x < 1} 2x2_{− 2,} _si _{x ≥ 1} ¿Existe l´ım x→1f (x)?

(11)

• Sea f (x) =          x + 1 2 , si x ≤ 3 12 − 2x 3 , si x > 3 ¿Existe l´ım x→3f (x)? NOTA:

En algunos l´ımites se requiere el an´alisis de valor absoluto. Para ello, recordemos su definici´on:

|u| =      u, si u ≥ 0 −u, si u < 0 • Sea g(x) = 2x − 1 |1 − 2x| ¿Existe l´ımx→1₂ g(x)? • Sea h(x) = x 2 _{− 25} |x − 5| ¿Existe l´ımx→5h(x)?

(12)

Cálculo de parámetros: • Sea f (x) =        √ x − 1 x − 1 , si x > 1 mx + 4, si x ≤ 1 ¿Cuál debe ser el valor de m para que l´ım

x→1f (x) exista? Calc´ulelo.

• Sea f (x) =      Kx − 3, si x > 1 6K − x, si x ≤ 1

¿Cu´al debe ser el valor de K para que l´ım

(13)

PR ´

ACTICA

(1) Considere la siguiente gráfica de la función f (x). Calcule los siguientes l´ımites (si existen). En caso de que el l´ımite no exista ind´ıquelo escribiendo “NO EXISTE EL LÍMITE”.

(a) l´ım x→2− f (x) = (b) l´ım x→2+ f (x) = (c) l´ım x→2f (x) = (d) l´ım x→−1,5f (x) = (e) l´ım x→−3− f (x) = (f) l´ım x→−3+ f (x) = (g) l´ım x→−3f (x) = (h) l´ım x→3− f (x) = (i) l´ım x→3f (x) = (j) l´ım x→3+ f (x) = (k) l´ım x→−∞f (x) = (l) l´ım x→+∞f (x) =

R/(a) − 4 (b) 5 (c) no existe (d) 5 (e) + ∞ (f) − ∞ (g) no existe (h) − ∞ (i) − ∞ (j) − ∞ (k) − ∞ (l) 0 (2) Considere la siguiente gr´afica de la funci´on f (x). Calcule los siguientes l´ımites.

(a) l´ım x→−2f (x) = (b) l´ım x→1− f (x) = (c) l´ım x→1+ f (x) = (d) l´ım x→3f (x) = (e) l´ım x→0f (x) = (f) l´ım x→−∞f (x) = (g) l´ım x→+∞f (x) = (h) f (3) = (i) f (1) = (j) f (0) =

(14)

(3) Calcule los siguientes l´ımites. (a) l´ım x→1₂ 4x2_{+ 4x − 3} 8x3 _{− 6x}2_{+ x} R/ 8 (b) l´ım x→2 x3_{− 7x}2_{+ 13x − 6} x3 _{− 8} R/ −1 4 (c) l´ım x→−1₂ 4x2 _{− 1} 4x2_{+ 8x + 3} R/ − 1 (d) l´ım x→0 3x5_{− 2x}4_{− 8x}2 6x4_{− 3x}3_{+ 2x}2 R/ − 4 (e) l´ım x→−4 x4+ 3x3− 8x2_{− 12x + 16} x2_{− 16} R/ 15 2 (f) l´ım x→−3 x4+ 2x3− 5x2_{− 3x + 9} x2_{− 2x − 15} R/ 27 8 (g) l´ım x→−2 √ 2x2_{− 2x + 4 − 2} |3x − 2| R/ 1 4 (h) l´ım x→−3 √ x + 4 − 1 3 −√3 − 2x R/ 3 2 (i) l´ım x→2 x3_{− 2x}2_{+ x − 2} x5_{− 16x} R/ 5 64 (j) l´ım x→3 2x3_{− 5x}2_{− 2x − 3} 4x3_{− 13x}2_{+ 4x − 3} R/ 11 7 (k) l´ım x→2 x2 x − 2 − 4x2+ 8 x2_{+ 2x − 8} R/ 2 (l) l´ım x→−2 6x3+ 4x2− 14x + 4 6x4_{+ 11x}3_{− 3x}2_{− 2x} R/ −21 25 (m) l´ım x→20 4√x + 5 − 5√x − 4 x2_{− 400} R/ −9 1600

(15)

(n) l´ım x→6 −2x4_{+ 7x}3_{+ 53x}2_{− 148x + 60} x5_{− x}3_{− 216x}2_{+ 216} R/ −121 945 (˜n) l´ım x→−5₃ 10 + x − 3x2 √ 4 − 3x −√−6x − 1 R/ 22 (o) l´ım x→2 2√4x + 1 −√10x2_{− 4} √ 5x − 1 −√11 − x R/ − 2 (p) l´ım x→6 x3_{− 7x}2_{+ 7x − 6} −x4_{+ 37x}2_{− 36} R/ −31 420 (q) l´ım x→−2 x2+ x − 2 √ 6 + x − 2 R/ − 12 (r) l´ım x→27 3 −√3 _x √ x + 9 − 6 R/ −4 9 (s) l´ım x→2 √ 2x − 2 3 √ 4x − 2 R/ 3 2 (t) l´ım x→3 2√4x − 3 −√12x 3 √ x − 2 − 1 R/ 1 (u) l´ım x→5 √ 6x − 5 − x 3 √ 2x − 2 − 2 R/ −12 5 (v) l´ım x→3 3 √ 2x − 5 − 1 √ 4x − 3 − 3 R/ 1 (w) l´ım h→0 [3(x + h)2_{− 2(x + h) − 7] − [3x}2_{− 2x − 7]} h R/ 6x − 2 (x) l´ım ∆x→0 [2(x + ∆x)2_{+ 4(x + ∆x) − 1] − [2x}2_{+ 4x − 1]} ∆x R/ 4x + 4 (y) l´ım h→0 √ x + h −√x h R/ 1 2√x

(16)

(4) Calcule l´ım x→−2f (x) si: f (x) =        2x2_{− 3x − 6} _{si x < −2} 7x − 4 2x + 6 si x ≥ −2 R/ no existe el l´ımite (5) Si f (x) =                  3x2_{− 4} _{si x < 2} 5 si x = 2 3x + 6 3 si x > 2 Calcule l´ım x→2f (x) R/ no existe el l´ımite (6) Sea f (x) =          4x2_{+ 4x − 3} 8x3_{− 6x}2_{+ x} si x ≥ 1 2 mx2_{+ 2mx + 3} _{si x <} 1 2

definida en su dominio m´aximo.

(a) Calcule l´ım x→1 2 +f (x) y l´ım x→1 2 −f (x) (b) Si el l´ım_x→1 2

f (x) existe, calcule el valor de “m” R/ (a) l´ım x→1₂+ f (x) = 8 l´ım x→1₂− f (x) = 5m 4 + 3 (b) m = 4 (7) Considere la funci´on f (x) =          98x − 2x3 4 −√2x + 2 si x > 7 kx2− kx − 14 si x ≤ 7 Calcule: (a) l´ım

x→7−f (x) (b) l´ım_x→7+f (x) (c) El valor de k asumiendo que l´ım_x→7f (x) existe

R/ (a) 42k − 14 (b) 784 (c) k = 19 (8) Considere la funci´on f (x) =            √ 1 − x − 2 15 − x − 2x2 si x < −3 4 − 2kx 11 si x ≥ −3 Calcule: (a) l´ım

x→−3−f (x) (b) _x→−3l´ım+f (x) (c) El valor de k asumiendo que l´ım_x→−3f (x) existe

R/ (a) −1 44 (b) 4 + 6k 11 (c) −17 24

(17)

(9) Sea g(x) = x

3_{− 1}

|1 − x| Calcule los l´ımites laterales. ¿Existe l´ımx→1g(x)?

R/ l´ım x→1−g(x) = −3 l´ım x→1+g(x) = 3 l´ım x→1g(x) no existe (10) Sea h(x) = x 2_{− x − 6}

|x − 3| Calcule los l´ımites laterales. ¿Existe l´ımx→3h(x)?

R/ l´ım x→3−h(x) = −5 l´ım x→3+h(x) = 5 l´ım x→3h(x) no existe (11) Sea f (x) = |x + 1|

x3_{+ x}2_{+ x + 1} Calcule los l´ımites laterales. ¿Existe l´ım_x→−1f (x)?

R/ l´ım x→−1−f (x) = −1 2 l´ım x→−1+f (x) = 1 2 l´ım x→−1f (x) no existe

(12) Considere la funci´on h definida por

h(x) =                x, si x < 0 x2_{− 2x + 2,} _{si 0 < x ≤ 2} 8 − x, si x > 2 Calcule, si existen, los siguientes l´ımites:

(a) l´ım

x→0h(x) (b) l´ımx→1h(x) (c) l´ımx→2h(x)

R/ (a) no existe el l´ımite (b) 1

(18)

L´

IMITES INFINITOS

• Decimos que l´ım

x→cf (x) = +∞ si f (x) crece sin tope cuando “x”tiende a “c”.

• Decimos que l´ım

x→cf (x) = −∞ si f (x) decrece sin tope cuando “x”tiende a “c”.

Tambi´en se pueden dar los casos laterales: l´ım x→c− f (x) = −∞ l´ım x→c− f (x) = +∞ l´ım x→c+ f (x) = −∞ l´ım x→c+ f (x) = +∞ EJEMPLOS.

Considere las siguientes funciones y sus gr´aficas. Analice los limites que se plantean.

(1) f (x) = 2 x − 3 ¿Cu´al es el l´ım x→3f (x)? (2) g(x) = 1 (x + 1)2 ¿Cu´al es el l´ım x→−1g(x)? NOTA: Si h(x) = f (x)

g(x), con f y g continuas y “c” es un n´umero real tal que f (c) 6= 0 y g(c) = 0, entonces la gr´afica tiene una as´ıntota vertical en “c”.

(19)

Ejemplos. Calculemos los siguientes l´ımites: (1) l´ım x→5+ x2+ 5x x2_{− 25} (2) l´ım x→2+ x2− 2x x2_{− 4x + 4} (3) l´ım x→3− x2 x2_{− 9} (4) l´ım x→3 1 − x2 x2 _{− 6x + 9} (5) l´ım x→0 1 − 1 x3

(20)

L´

IMITES AL INFINITO

PREVIOS:

Propiedades de los l´ımites infinitos Si k es una constante positiva:

1) ∞ + k = ∞ 2) k · ∞ = ∞ 3) −k · ∞ = −∞ 4) ±k ∞ = 0 Formas indeterminadas 0 0 ∞ ∞ 1 0 0 · ∞ ∞ − ∞ 00 ∞0 ₁∞ Propiedad Si r es un racional positivo se cumple lo siguiente: l´ım x→∞ c xr = 0 l´ım x→−∞ c xr = 0

Concepto de L´ımites al Infinito. • l´ım

x→+∞f (x) = L si conforme x crece sin tope, f (x) tiende a L.

• l´ım

x→−∞f (x) = L si conforme x decrece sin tope, f (x) tiende a L.

Ejemplo. Considere la siguiente funci´on y su gr´afica. Calcule los l´ımites planteados.

f (x) = 3x 2 x2_{+ 1} l´ım x→+∞f (x) l´ım x→−∞f (x)

(21)

C ´

ALCULO DE L´

IMITES AL INFINITO.

Ejemplos: (1) l´ım x→+∞ 5 − 2 x2 (2) l´ım x→+∞ 2x + 5 3x2 _{+ 1} (3) l´ım x→+∞ 3x2_{− 7x + 5} 12x2_{+ 10x − 6} (4) l´ım x→+∞ 9x3 _{− 8x}2_{+ 16x + 5} 2x2_{+ 5x + 1} (5) l´ım x→−∞ (5x3+ 2x2− x + 1)2_(2x2_{+ 4)}3 (2x4_{+ 1)}2_(5x2_{− 6x + 5)}2 (6) l´ım x→−∞ 2x x − 1+ 3x x + 1

(22)

NOTA:

Observe que si f (x) = p(x)

q(x), donde p(x) es un polinomio de grado m y q(x) es un polinomio de grado n, se cumple: (1) Si m < n entonces l´ım x→∞f (x) = 0; (2) Si m > n entonces l´ım x→∞f (x) = ∞; (3) Si m = n entonces l´ım x→∞f (x) = a

b, donde a es el coeficiente principal de p(x) y b es el coeficiente principal de q(x).

Utilizando ahora la nota anterior, calcule nuevamente estos l´ımites:

(1) l´ım x→+∞ 2x + 5 3x2_{+ 1} (2) l´ım x→+∞ 3x2− 7x + 5 12x2_{+ 10x − 6} (3) l´ım x→+∞ 9x3− 8x2_{+ 16x + 5} 2x2_{+ 5x + 1} (4) l´ım x→−∞ (5x3_{+ 2x}2 _{− x + 1)}2_(2x2_{+ 4)}3 (2x4_{+ 1)}2_(5x2_{− 6x + 5)}2 (5) l´ım x→−∞ 2x x − 1+ 3x x + 1

Conviene tener presente lo siguiente: √x2 _{= |x|}

as´ı como la definici´on de valor absoluto: |x| = (

x, si x ≥ 0 −x, si x < 0

(23)

Ejemplos: (1) l´ım x→−∞ 3x − 8 √ x2_{+ 4x − 5} (2) l´ım x→∞ 2x + 1 √ x2_{− x} (3) l´ım x→∞ 3x − 2 √ 2x2_{+ 1}

(24)

(4) l´ım x→−∞ 2x − 5 √ 2x2_{+ 3x − 1} (5) l´ım x→−∞ x +√x2_{+ 3} (6) l´ım x→∞ x −√x2_{+ x}

(25)

PR ´

ACTICA

(1) Calcule los siguientes l´ımites. (a) l´ım x→1 2 8x3_{− 1} 6x2 _{− 5x + 1} R/ 6 (b) l´ım x→1 x − 1 x3_{− x}2_{+ x − 1} R/ 1 2 (c) l´ım x→1− x2_{+ x + 1} x3_{− 1} R/ − ∞ (d) l´ım x→2− x3_{− 8} |x − 2| R/ − 12 (e) l´ım x→2 √ 3x|x − 2| x − 2 R/ no existe (f) l´ım x→2 x − 2 √ x + 1 −√5 − x R/ √ 3 (g) l´ım x→1− x2− 4 x − 16 R/ 1 5 (h) l´ım x→−2 x2_{− 4} x3_{+ 8} R/ −1 3 (i) l´ım x→1 1 1 − x − 3 1 − x3 R/ − 1 (j) l´ım x→5 25 − x2 √ x + 4 − 3 R/ − 60 (k) l´ım x→3 x2_{+ x − 2} x2_{− 4x + 3} R/ no existe (l) l´ım x→2 4 − x2 3 −√x2_{+ 5} R/ 6 (m) l´ım x→5 x − 3 x2_{− 8x + 15} R/ no existe (n) l´ım x→−2 √ 2 − x − 2 x2_{+ 5x + 6} R/ −1 4 (˜n) l´ım x→−3 x2+ 2x − 3 x2_{+ x − 6} R/ 4 5 (o) l´ım x→0 √ 1 + x − 1 3 √ 1 + x − 1 R/ 3 2

(26)

(2) Calcule los siguientes l´ımites. (a) l´ım x→−1 x2_{− 2} x2_{− x − 2} R/ no existe (b) l´ım x→1 x3 x2_{− 1} R/ no existe (c) l´ım x→2+ x − 3 x − 2 R/ − ∞ (d) l´ım x→1+ 2 + x 1 − x R/ − ∞ (e) l´ım x→2 4 (x − 2)3 R/ no existe (f) l´ım x→2 −2 (x − 2)2 R/ − ∞ (g) l´ım x→2− x2− 2 x2_{− x − 2} R/ − ∞ (h) l´ım x→−2− 2x2_{+ x + 1} x + 2 R/ − ∞ (i) l´ım x→−∞ 3x +√9x2_{− x} _R/ 1 6 (j) l´ım x→+∞ √ x2_{+ 1 −}√_x2 _{− 1} _{R/ 0} (k) l´ım x→+∞ 5x3+ 1 10x3_{− 3x}2_{+ 7} R/ 1 2 (l) l´ım x→+∞ x + 4 x2_{− 2x + 5} R/ 0 (m) l´ım x→+∞ √ 1 + 4x2 4 + x R/ 2 (n) l´ım x→+∞ √ 9x2_{+ x − 3x} _R/ 1 6 (˜n) l´ım x→−∞ (1 − x)(2 + x) (1 + 2x)(2 − 3x) R/ 1 6 (o) l´ım x→+∞ x3− 8x + 5 2x2_{− x + 3} R/ + ∞

(27)

(3) Trace la gr´afica de la funci´on f que satisfaga las siguientes condiciones. (a) f es continua en ] − ∞, −5[ , ] − 5, −2[ y en ]3, +∞[. (b) f0(−3) = f0(0) = 0 y f0(6) no existe. (c) l´ım x→−∞f (x) = +∞ y x→+∞l´ım f (x) = 0 (d) l´ım x→−5−f (x) = 2 y _x→−5l´ım+f (x) = −1 (e) l´ım x→3−f (x) = −∞ y _x→3l´ım+f (x) = −∞ (f) l´ım x→2f (x) = 0 y f (−2) = 1

(28)

L´

IMITES TRIGONOM´

ETRICOS

Utilizando el método de sustitución directa, en ocasiones surgen indeterminaciones para las que se pueden aplicar las propiedades vistas de las funciones trigonométricas (ver anexo 2). Ejemplos: l´ım x→0sen x l´ım x→πx cos x l´ım x→0 tan x sen x l´ım x→πcot x l´ım x→π₂ cos x cot x l´ım x→π₄ 1 − tan x sen x − cos x

(29)

En otros casos se procura transformar la funci´on para obtener alguno de los siguientes l´ımites trigonom´etricos especiales.

L´IMITES TRIGONOM ´ETRICOS ESPECIALES

GENERALIZACI ÓN PARA EL M ÚLTIPLO ESCALAR DEL ÁNGULO l´ım x→0 sen x x = 1 l´ım x→0 1 − cos x x = 0 l´ım x→0 tan x x = 1 l´ım x→0 sen (nx) x = n l´ım x→0 1 − cos(nx) x = 0 l´ım x→0 tan(nx) x = n Ejemplos: • l´ım x→0 sen x 5x • l´ım x→0 sec x − 1 x sec x • l´ım x→0 sen2_x x • l´ım x→0 sen2x x2

(30)

• l´ım x→0 tan(3x) x • l´ım x→0 sen(2x) sen(3x) • l´ım x→0 (1 − cos x)2 x • l´ım x→0 sen2_(2x) x2 • l´ım x→0 cot(2x) cot x • l´ım x→0 sen(x − π) x • l´ım x→0 senπ 6 + x − 1 2 x

(31)

L´ımites Trigonom´etricos que se pueden resolver mediante un cambio de variable. Ejemplos. Calculemos los siguientes l´ımites.

• l´ım x→π π − x cosx − π 2 • l´ım x→π sen(−x) x − π • l´ım x→π₄ cos(2x) + sen(4x) 4x − π

(32)

PR ´ACTICA Calcule los siguientes l´ımites

(1) l´ım x→0 1 + tan x − cos x x R/ 1 (2) l´ım x→0 x2 sen x R/ 0 (3) l´ım x→0+ sen x √ x R/ 0 (4) l´ım x→0 sen 4x 5x R/ 4 5 (5) l´ım x→0x cot 3x R/ 1 3 (6) l´ım x→0 x 2_{csc 2x cot 2x} R/ 1 4 (7) l´ım x→0 1 − cos x sen x R/ 0 (8) l´ım x→0 1 − cos x x2 R/ 1 2 (9) l´ım x→0 1 − cos x x sen x R/ 1 2 (10) l´ım x→0 1 2− cos π 3 − x x R/ −√3 2 (11) l´ım x→0 6x − sen 2x 2x + 3 sen 4x R/ 2 7 (12) l´ım x→0 cos x tan x x R/ 1 (13) l´ım x→0 cos x +5π 2 x R/ − 1 (14) l´ım x→0 x + x cos x sen x cos x R/ 2 (15) l´ım x→0 sen (3x) x cos(4x) R/ 3 (16) l´ım x→0 3 x− 3 cos x x R/ 0 (17) l´ım x→πx sec x R/ − π (18) l´ım x→0 sen2 _2x x2 R/ 4 (19) l´ım x→0 cot 2x cot x R/ 1 2 (20) l´ım x→0 1 − cos 2x sen2_x R/ 2 (21) l´ım x→π cos2x 2 1 − cos2_x R/ 1 4 (22) l´ım x→π₄ 1 − tan x sen x − cos x R/ − √ 2 (23) l´ım x→π₄ cos(2x) + sen(4x) 4x − π R/ −3 2 (24) l´ım x→π sen x − sen(x − π) x − π R/ − 2 (25) l´ım x→−π₂ cos(−x) 2x + π R/ 1 2 (26) l´ım x→−π cos2x 2 1 − cos2_x R/ 1 4

(33)

TEOREMA DE INTERCALACI ´

ON

Este teorema, también conocido como teorema del encaje, se refiere al comportamiento l´ımite de una función que está “encajada”entre otras dos, cada una de las cuales tiene el mismo l´ımite en un punto dado. Dice lo siguiente:

Si h(x) ≤ f (x) ≤ g(x), para todo x en un intervalo abierto que contiene a c, excepto quiz´as en el propio c, y si se cumple que

l´ım

x→ch(x) = l´ımx→cg(x) = L

entonces:

l´ım

x→cf (x) = L

Este teorema es útil para el cálculo de l´ımites trigonométricos o su comprobación. Por ejemplo:

(1) Calcule l´ım

x→+∞

sen(2x) x

(34)

(2) Demuestre que: l´ım x→+∞ cos(3x) x = 0 Justifique su respuesta.

Nota. En algunos ejercicios y demostraciones es ´util recordar esta propiedad (k constante positiva) • |u| ≤ k ⇒ −k ≤ u ≤ k

• |u| ≥ k ⇒ u ≤ −k ∨ u ≥ k Ejemplo:

(3) Suponga que f es una funci´on que satisface: |f (x)| ≤ x2_{, para todo x en un vecindario de}

x = 0. Demuestre que l´ım

x→0f (x) = 0. Justifique su respuesta.

EJERCICIO.

(1) Utilizando el Teorema de Intercalación aplicado a áreas en el C´ırculo Trigonométrico com-pruebe que l´ım

x→0

sen (x)

x = 1

(2) Utilice el principio de intercalaci´on para calcular los siguientes l´ımites. (a) l´ım x→0x · cos 1 x R/ 0 (b) l´ım x→0x 2_{· sen} 1 3 √ x R/ 0 (c) l´ım x→5f (x) si se cumple que |f (x) − 1| < 2 · (5 − x) 2 R/ 1 (d) l´ım x→1f (x) si se cumple que |3 · f (x) + 6| < 6 · (x − 1) 4 R/ − 2

(35)

CONTINUIDAD

CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Decimos que la funci´on f es continua en un punto x = c, si su gr´afica no sufre “interrupciones”en c, no se rompe, ni tiene saltos o huecos.

Ejemplos de discontinuidades.

Observe que la continuidad en x = c se pierde por alguna de estas tres razones: 1. La funci´on no est´a definida en x = c (Ejemplo x = c1).

2. El l´ımite de f (x) para x → c no est´a definido (Ejemplos x = c2).

3. El l´ımite de f (x) para x → c existe pero no coincide con f (c) (Ejemplos x = c3).

As´ı, para que f (x) sea continua en x = c, f (c) debe estar definida, el l´ım

x→cf (x) debe existir y ser

igual a f (c).

DEFINICI ´

ON DE CONTINUIDAD

1. EN UN PUNTO: Una funci´on f se dice continua en un punto x = c si se verifican las siguientes condiciones: i. f (c) est´a definido ii. l´ım x→cf (x) existe iii. l´ım x→cf (x) = f (c)

2. EN UN INTERVALO ABIERTO: Una funci´on f se dice continua en el intervalo ]a, b[ si lo es en todos los puntos de ese intervalo. Nota: Si f es continua en todo ] − ∞, +∞[ se dice simplemente que es una funci´on continua (sin especificar que lo es en todo IR).

3. EN UN INTERVALO CERRADO: Una funci´on f es continua en [a, b] si es continua en ]a, b[ y l´ım

x→a+

f (x) = f (a) y l´ım

x→b−

(36)

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS.

Si b es un número real y f , g son funciones continuas en x = c, también son continuas en c las funciones: 1. Múltiplo escalar: b · f 2. Suma y diferencia: f ± g 3. Producto: f · g 4. Cociente: f g si g(c) 6= 0

Algunos tipos comunes de funciones que son continuas en cada uno de los puntos de su dominio son las siguientes:

1. Funciones polin´omicas: p(x) = anxn+ an−1xn−1+ ... + a2x2+ a1x + a0 con ai ∈ IR, n ∈ IN

Ejemplo: p(x) = 2x5_{− 3x}3_{+ x}2 _{− x + 6 es continua para todo x ∈ IR.}

2. Funciones racionales: r(x) = p(x) q(x), q(x) 6= 0 Ejemplo: r(x) = x 4_{− 3x}3_{+ x − 3} x2_{− 9} para todo x ∈ IR \ {−3, 3}. 3. Funciones radicales: f (x) = √n x Ejemplo: f (x) =√4 x para todo x ∈ [0, +∞[

Las propiedades anteriores nos permiten asegurar la continuidad de funciones en cualquier punto de su dominio, por ejemplo f (x) = x

2_{+ x + 1}

√

x es continua para todo x ∈ ]0, +∞[. En el caso de funciones compuestas tenemos el siguiente teorema:

TEOREMA: Si g es continua en c y f lo es en g(c), la funci´on compuesta dada por f (g(x)) es continua en x = c.

Ejemplo: f (x) =√x2_{+ 1 es continua para todo x en su dominio (R)}

*** NOTA:

Observe que si dos funciones f y g cumplen con las condiciones impuestas en el teorema, podemos determinar el l´ımite de f (g(x)) cuando x tiende a c, as´ı:

l´ım x→cf (g(x)) = f l´ım x→cg(x)

(37)

TIPOS DE DISCONTINUIDADES.

Las discontinuidades caen en dos categor´ıas:

1. Discontinuidades evitables: Se dice que una discontinuidad en x = c es evitable si f puede hacerse continua redefini´endola en x = c.

Ejemplo: g(x) = x

2_{− 25}

x − 5 con x 6= 5. Su gr´afica es:

Para que g(x) sea continua basta redefinir g(5) = 10 As´ı g(x) =    x2− 25 x − 5 , si x 6= 5 10, si x = 5

es una funci´on continua.

2. Discontinuidades no evitables: Se dice que una discontinuidad en x = c no es evitable si f no se puede redefinir en x = c para hacerla continua.

Ejemplo: h(x) = ( 2x − 4, si x ≥ 3 x2− 2x − 2, si x < 3 Su gr´afica es:

(38)

ESTUDIO DE LA CONTINUIDAD DE UNA FUNCI ´

ON

Ejemplos: A. Compruebe que f (x) =      x2 _{si x < 2} 5 si x = 2 −x + 6 si x > 2

tiene una discontinuidad evitable en x = 2.

B. Compruebe que f (x) = √ 1 1 − x2 es continua en ]-1,1[ pero no en [-1,1] C. Sea la funci´on f (x) =      3x + 1 si x < 1 x2_{+ 3} _{si 1 < x ≤ 3} 4x + 3 si 3 < x

Efect´ue el estudio completo de la continuidad de f (x). Adem´as clasifique las discontinuidades que encuentre.

(39)

D. Encuentre los valores de las constantes c y d, de tal modo que la función h(x), definida a continuación, sea continua en todos los números reales. Justifique su respuesta.

h(x) =      x + 2c si x < −2 3cx + d si − 2 ≤ x ≤ 1 3x − 2d si 1 < x

E. Encuentre y clasifique la(s) discontinuidad(es) de la funci´on: h(x) = x

3 _{+ 4x}2_{+ x − 6}

(40)

LA FUNCI ´ON “PARTE ENTERA DE X”

f (x) = [|x|] se define como el mayor entero menor o igual a x. As´ı: [|0| ] = 0 5 2 = 2 √ 3 = 1 [| − 0,99| ] = −1 [|3,785| ] = 3 [| − π| ] = −4 [| − 20| ] = −20 Su gr´afica es:

(41)

EL TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

Si f es continua en [a, b] y k es cualquier n´

umero entre f (a) y f (b),

existe al menos un n´

umero c en [a, b] para el que f (c) = k.

Ejemplos.

Note como al ser f continua en [a, b] para k en [f (a), f (b)] existe al menos un c tal que f (c) = k. De hecho en la figura existen tres. En cambio, en el caso de g, al no ser continua observe que existen valores de k para los que no existe c tal que g(c) = k.

Ejemplos de aplicaciones.

(1) Compruebe que f (x) = x3+ 2x − 1 tiene al menos un cero en el intervalo [0, 1]. Soluci´on: Verificamos las hip´otesis del Teorema:

i)f es continua en [1, 0] ya que al ser polin´_{omica es continua en R y en cualquier intervalo real.} ii)f (0) = −1 < 0 < 2 = f (1)

⇒ ∃c ∈ [0, 1] tal que f (c) = 0 _{∴ c es un cero de f (x) en el intervalo [0, 1]}

(2) Demuestre que la ecuación 2x3+x2 = −2 tiene una solución en el intervalo [−2, −1]. Solución: Despejamos cero en la ecuación dada as´ı: 2x3 _{+ x}2_{+ 2 = 0 Definimos la funci´}_{on para}

probar que la ecuaci´on dada tiene una soluci´on en ese intervalo.

Verificamos que la funci´on definida cumple con las hip´otesis del Teorema:

i)f es continua en [−2, −1] ya que al ser polin´_{omica es continua en R y en cualquier intervalo} real.

ii)f (−2) = −10 < 0 < 1 = f (−1) ⇒ ∃c ∈ [−2, −1] tal que f (c) = 0

∴ c es una soluci´on para la ecuaci´on 2x3_{+ x}2_{+ 2 = 0 en el intervalo [−2, −1]}

(3)TAREA MORAL: Pruebe que f (x) = x2 _{y g(x) =}√_{6 + x se intersecan en al menos}

(42)

PR ´

ACTICA

(1) Estudiar la continuidad de cada una de las siguientes funciones. Clasifique las discontinuidades que encuentre. (a) f (x) = ( |x − 2| + 3 si x < 0 x + 5 si x ≥ 0 (b) f (x) =√1 − x2 _{en el intervalo [−1, 1]} (c) f (x) =√x − 1 en el intervalo ]1, +∞[ (2) Considere la funci´on f (x) = ( 4(x2_{+ 1)} _{si x ≤ 0} 2x + 3k si x > 0

Determine el valor de k para que la funci´on f (x) sea continua. Justifique su respuesta. (3) Encuentre el valor de la constante “a”, que hace que la funci´on

g(x) = (

x3− a2_{x + 2a} _{si x ≤ −1}

x − 1 si x > −1 sea continua en todos los n´umeros reales. Justifique su respuesta. (4) Encuentre el valor de la constante “k”, que hace que la funci´on

g(x) = (

x2_{+ x} _{si x ≤ 2}

x + k si x > 2

sea continua en todos los n´umeros reales. Justifique su respuesta.

(5) Determine el valor de las constantes a, b y k para que las siguientes funciones sean continuas en toda la recta real.

(a) f (x) =    x2_(x2_{− 1) + x − 1} x − 1 , si x 6= 1 k, si x = 1 (b) f (x) = ( x3, si x ≤ 2 ax2, si x > 2 (c) g(x) =      2x, si x < −1 ax + b, si − 1 < x < 3 −2x, si x ≥ 3 (d) g(x) =    x2_{− a}2 x − a , si x 6= a 8, si x = a

(43)

(6) Hallar el valor de c para que el l´ımite exista y calc´ulelo l´ım

x→−2

3x2_{+ cx + c + 3}

x2_{+ x − 2}

(7) Hallar las as´ıntotas verticales y las discontinuidades evitables de la funci´on definida por la expresi´on

f (x) = 3x

2_{+ 3x − 18}

x(x − 1)(x − 2) (8) Considere la siguiente funci´on:

f (x) = (

4(x2_{+ 1),} _{si x ≤ 0}

2x + 3k, si x > 0 Determine el valor de k para que f sea continua.

(9) Dada la funci´on:

f (x) =                  2x − 2, si x < 2 3, si x = 2 2 x − 1, si 2 < x ≤ 3 x2_{− 10,} _{si x > 3}

(a) Determine las discontinuidades de la funci´on f .

(b) Determine cu´ales son evitables y cu´ales inevitables. Justifique.

(10) Determine las discontinuidades de la función f (x) y anote cuáles son evitables y cuáles inevitables. Justifique su respuesta.

(a) f (x) = x 3_{− x} x|x − 1| (b) f (x) = x3_{− x} x(x − 1)2 (c) f (x) = 2x 2_{+ 7x + 6} x4_{− 16} (d) f (x) = ( 1 − x, si x ≥ 2 x2 _{− 2x,} _{si x < 2}

(11) Demuestre que la ecuaci´on

cos(x) =√x tiene una soluci´on en el intervalo h0,π

2 i

. Justifique su respuesta.

(12) Suponga que f (x) es una funci´on continua en el intervalo [a, b], que cumple que f (a) < 0 y f (b) > 1

Demuestre que existe un valor c en el intervalo ]a, b[ donde f (c) = 1 2

(44)

(13) Demuestre que la ecuaci´on x3_{+ x − 1 = 0 tiene una soluci´}_{on entre x = 0 y x = 1. Justifique}

su respuesta.

RESPUESTAS:

(1) (a) f es continua en IR (b) f es continua en el intervalo [−1, 1] (c) f es continua en el intervalo ]1, +∞[ (2) Con k = 4 3 g es continua en x = 0. (3) a = −1 para que l´ım x→−1f (x) exista. (4) k = 4 para que l´ım x→2f (x) exista. (5) (a) k = 3 (b) a = 2 (c) a = −1 b = −3 (d) a = 4 (6) a = 15 l´ım x→−2 3x2+ 15x + 18 x2_{+ x − 2} = −1

(7) As´ıntotas verticales en x = 0 y x = 1. Discontinuidad evitable en x = 2 (8) k = 4

3

(9) (a) Discontinuidades en x = 2 y x = 3.

(b) x = 2 es una discontinuidad evitable. Basta redefinir f (2) pues l´ım

x→2f (x) = 2

x = 3 es una discontinuidad no evitable pues l´ım

x→3−

f (x) 6= l´ım

x→3+

f (x) (10) (a) En x = 0 hay una discontinuidad evitable pues l´ım

x→0f (x) existe. En x = 1 hay una discontinuidad

no evitable pues l´ım

x→1−

f (x) 6= l´ım

x→1+

f (x).

(b) En x = 0 hay una discontinuidad evitable pues l´ım

x→0f (x) existe. En x = 1 hay una discontinuidad

no evitable pues hay una as´ıntota vertical.

(c) En x = 2 hay una discontinidad no evitable pues l´ım

x→2f (x) no existe. En x = −2 hay una

discontinuidad evitable pues l´ım

x→2f (x) existe.

(d) En x = 2 hay una discontinidad no evitable pues l´ım

x→2f (x) no existe.

(11) Basta definir f (x) = cos(x) −√x y aplicar el Teorema del Valor Intermedio en h

0,π 2 i

(12) Basta observar que f (a) < 0 < 1

2 < 1 < f (b) y aplicar el Teorema del Valor Intermedio en ]a, b[ (13) Basta definir f (x) = x3+ x − 1 y aplicar el Teorema del Valor Intermedio en [0, 1]

(45)

DERIVADAS

Uno de los problemas a partir de los cuales surge el C´alculo, es el problema de encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. Por ejemplo:

Algunas soluciones parciales a este problema fueron dadas por Pierre Fermat, René Descartes, Chris-tian Huygens e Isaac Barrows, se atribuye la primer solución a Isaac Newton y Gottfried Leibniz. La pendiente (m) de la recta tangente, se deduce aproximándose a la recta tangente mediante rectas se-cantes, proceso que genera un l´ımite. Suponga que se quiere calcular la pendiente de la recta tangente a f en cualquier punto (x, f (x))

La pendiente de la secante es: msec=

∆y ∆x = y2− y1 x2− x1 = f (x + h) − f (x) x + h − x = f (x + h) − f (x) h

Ahora bien, la recta secante se aproxima a la recta tangente cuando h → 0. As´ı la pendiente de la recta tangente ser´ıa:

mtan = l´ım h→0

f (x + h) − f (x) h

A partir del l´ımite utilizado para definir la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto se usa tambi´en para definir una de las dos operaciones fundamentales del C´alculo: la derivada.

Por tanto, si tenemos una funci´on f llamamos la funci´on derivada de f al siguiente l´ımite: f0(x) = l´ım

h→0

f (x + h) − f (x) h

(46)

Al proceso del cálculo de la derivada de una función se le llama derivación. Algunas notaciones para la derivada de una función son las siguientes:

f0(x), dy dx,

d

dx[f (x)], y

0

DERIVACI ÓN DE FUNCIONES UTILIZANDO LA DEFINICI ÓN (LÍMITE) Veamos algunos ejemplos del cálculo de la derivada de funciones simples a partir de la definición de derivada. Calcule la derivada de las siguientes funciones:

(1) f (x) =√x Soluci´on: f0(x) = l´ım h→0 f (x + h) − f (x) h = l´ım h→0 √ x + h −√x h = l´ım h→0 (√x + h −√x) h · (√x + h +√x) (√x + h +√x) = l´ım h→0 (√x + h)2− (√x)2 h(√x + h +√x) = l´ım h→0 x + h − x h(√x + h +√x) = l´ım h→0 h h(√x + h +√x) = l´ım h→0 1 (√x + h +√x) = 1 (√x + 0 +√x) = 1 (√x +√x) = 1 2√x ∴ f 0_{(x) =} 1 2√x

(47)

(2) g(x) = x x + 1 Soluci´on: g0(x) = l´ım h→0 g(x + h) − g(x) h = l´ım h→0 x + h x + h + 1− x x + 1 h = l´ım h→0 (x + h)(x + 1) − x(x + h + 1) (x + h + 1)(x + 1) h = l´ım h→0 x2+ x + xh + h − x2− xh − x (x + h + 1)(x + 1) h = l´ım h→0 h (x + h + 1)(x + 1) h = l´ım h→0 h h(x + h + 1)(x + 1) = l´ım h→0 1 (x + h + 1)(x + 1) = 1 (x + 0 + 1)(x + 1) = 1 (x + 1)2 ∴ g 0_{(x) =} 1 (x + 1)2 (3) y = 3x2− 5x + 6 Soluci´on: Sea y = f (x)

dy dx = h→0l´ım f (x + h) − f (x) h = l´ım h→0 [3(x + h)2− 5(x + h) + 6] − [3x2_{− 5x + 6]} h = l´ım h→0 [3(x2+ 2xh + h2) − 5x − 5h + 6] − [3x2− 5x + 6] h

(48)

= l´ım h→0 [3x2+ 6xh + 3h2− 5x − 5h + 6] − [3x2_{− 5x + 6]} h = l´ım h→0 3x2+ 6xh + 3h2− 5x − 5h + 6 − 3x2_{+ 5x − 6} h = l´ım h→0 6xh + 3h2− 5h h = l´ım h→0 h(6x + 3h − 5) h = l´ım h→0(6x + 3h − 5) = (6x + 3 · 0 − 5) = 6x − 5 ∴ dy dx = 6x − 5 NOTA:

Tri´angulo de Pascal. Para determinar los coeficientes de las f´ormulas notables (a ± b)n. 1 1 1 & . 1 2 1 & . & . 1 3 3 1

& . & . & .

1 4 6 4 1

& . & . & . & .

As´ı (a + b)2 = a2+ 2ab + b2 y (a − b)2= a2− 2ab + b2

As´ı (a + b)3 = a3+ 3a2b + 3ab2+ b3 y (a − b)3= a3− 3a2_{b + 3ab}2_{− b}3

(49)

(4) f (x) = x3+ 2x Soluci´on: f0(x) = l´ım h→0 f (x + h) − f (x) h = l´ım h→0 [(x + h)3+ 2(x + h)] − [x3+ 2x] h = l´ım h→0 [x3+ 3x2h + 3xh2+ h3+ 2x + 2h] − [x3+ 2x] h = l´ım h→0 x3+ 3x2h + 3xh2+ h3+ 2x + 2h − x3− 2x h = l´ım h→0 3x2h + 3xh2+ h3+ 2h h = l´ım h→0 h(3x2+ 3xh + h2+ 2) h = l´ım h→0(3x 2_{+ 3xh + h}2_{+ 2)} = (3x2+ 3x · 0 + 02+ 2) = 3x2+ 2 ∴ f0(x) = 3x2+ 2 (x + h)3

Formula notable(Triangulo de Pascal) (a + b)3 _{= a}3_{+ 3a}2_{b + 3ab}2_{+ b}3

EJERCICIO. Calcule las siguientes derivadas mediante la definici´on por l´ımite. (1) f (x) =√3_x _{(2) g(x) =} −1 x (3) y = −0,5x 2_{+ x − 6} _{(4) H(x) =} x − 1 x + 3 (5) g(x) = √−1 x (6) f (x) = sen x (7) y = cos x RESPUESTAS (1) f0(x) = 1 3√3x2 (2) g 0_{(x) =} 1 x2 (3) y 0_{= −x + 1} _{(4) h}0_{(x) =} 4 (x + 3)2 (5) g0(x) = 1 2√x3 (6) f 0_{(x) = cos x} ₍₇₎ dy dx = −sen x

(50)

FORMA ALTERNATIVA DE LA DERIVADA (la derivada en un punto)

La derivada de f en c viene dada por: f0(c) = l´ım

x→c

f (x) − f (c)

x − c supuesto que tal l´ımite exista Ejemplos.

(1) Sea f (x) = x2− x − 6. Calcule la derivada de f en el punto (3, 0). SOLUCI ´ON f0(3) = l´ım x→3 f (x) − f (3) x − 3 = l´ım x→3 (x2− x − 6) − 0 x − 3 −→ 0 0 = l´ım x→3 (x + 2)(x − 3) (x − 3) = l´ım x→3 (x + 2) = 3 + 2 = 5

NOTA: A partir del resultado anterior se interpreta que la pendiente (m) de la recta tangente a f (x) en el punto (3, 0) es igual a 5.

(2) Sea g(x) =√1 − 2x. Calcule la pendiente de la recta tangente a g(x) en x = −4. SOLUCI ´ON Se calcula g0(−4) = l´ım x→−4 g(x) − g(−4) x − −4 −→ g(−4) = p 1 − 2(4) =√9 = 3 = l´ım x→−4 √ 1 − 2x − 3 x + 4 −→ 0 0 = l´ım x→−4 (√1 − 2x − 3) (x + 4) · (√1 − 2x + 3) (√1 − 2x + 3) = l´ım x→−4 (√1 − 2x)2− (3)2 (x + 4)(√1 − 2x + 3) = l´ım x→−4 1 − 2x − 9 (x + 4)(√1 − 2x + 3) = l´ım x→−4 −2x − 8 (x + 4)(√1 − 2x + 3) = l´ım x→−4 −2(x + 4) (x + 4)(√1 − 2x + 3) = l´ım x→−4 −2 (√1 − 2x + 3) = −2 (p1 − 2(−4) + 3) = −2 6 = −1 3

Por lo tanto la pendiente de la recta tangente a g(x) en (−4, 3) tiene pendiente m = −1 3

(51)

DERIVADAS LATERALES

Se definen la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha a los siguientes l´ımites laterales: f−0 (c) = l´ım x→c− f (x) − f (c) x − c f 0 +(c) = l´ım x→c+ f (x) − f (c) x − c Si ambos l´ımites existen y son iguales decimos que la derivada f0(c) = l´ım

x→c

f (x) − f (c)

x − c existe o lo que es lo mismo, que f es derivable o diferenciable en x = c.

Ejemplo: calcule las derivadas laterales f₋0 (4) y f₊0 (4) para la funci´on:

f (x) =        0 ,si x ≤ 0 5 − x , si 0 < x < 4 1 5 − x ,si x ≥ 4, x 6= 5 −→ f (4) = 1 5 − 4 = 1 ←− % -f−0(4) = l´ım x→4− f (x) − f (4) x − 4 f 0 +(4) = l´ım x→4+ f (x) − f (4) x − 4 = l´ım x→4− (5 − x) − 1 x − 4 = l´ımx→4+ 1 5 − x− 1 x − 4 = l´ım x→4− −x + 4 x − 4 = l´ımx→4+ 1 − (5 − x) 5 − x x − 4 = l´ım x→4− −(x − 4) x − 4 = l´ımx→4+ 1 − 5 + x 5 − x x − 4 = l´ım x→4−−1 = l´ım_x→4+ x − 4 5 − x x − 4 = −1 = l´ım x→4+ x − 4 (5 − x)(x − 4) = l´ım x→4+ 1 5 − x = 1 5 − 4 = 1

(52)

DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD

Una función NO es derivable en un punto donde su gráfica tiene un “pico ”o una recta tangente vertical. La derivabilidad también queda destruida si no hay continuidad. Es decir, si una función es derivable en un punto, forzosamente es continua en ese punto. Sin embargo, una función puede ser con-tinua en un punto y no ser derivable en ese punto.

Ejemplos: 1) Considere la función f (x) =        0 ,si x ≤ 0 5 − x , si 0 < x < 4 1 5 − x , si x ≥ 4, x 6= 5 ¿En qué valores de x la función f no es diferenciable?

SOLUCI ´ON:

(a) x = 4. Justificaci´on:

Las derivadas laterales no coinciden (ver p´agina anterior). Nota: Observe sin embargo, que f es continua en x = 4, pues l´ım

x→4+f (x) = f (4) = 1, lo

cual es un ejemplo del hecho de que una funci´on f puede ser continua en un punto y no ser derivable en ese punto.

(b) x = 5. Justificaci´on:

f no es continua en 5, pues f (5) no est´a definida. (c) x = 0. Justificaci´on:

f no es continua en x = 0, pues l´ım

x→0−f (x) = 0 6= 5 = l´ım_x→0+f (x) = f (0)

y si no hay continuidad en 0, f no puede ser derivable en 0.

(2) Verifique que la funci´on definida por f (x) = √3_{x no es derivable en x = 0. Haga una interpretaci´}_on

gr´afica. SOLUCI ´ON.

(a) Note que la funci´on f es continua en x = 0 [ justificaci´on: l´ım

x→0f (x) = 3 √ 0 = 0 = f (0) ] (b) Derivada en el punto (0 , 0): f0(0) = l´ım x→0 f (x) − f (0) x − 0 = l´ımx→0 3 √ x − 0 x = l´ımx→0 x13 x = l´ımx→0 x−23 x = l´ımx→0 1 x23 = ∞

(c) Interpretación gráfica: Al obtener infinito en la derivada se concluye que la recta a f en (0 , 0) es vertical. Cuando esto sucede se concluye a la vez que la función no es derivable en (0 , 0).

(53)

(3) Verifique que la función f (x) = |x − 2| es continua en x = 2 pero no es derivable en x = 2. Haga una interpretación gráfica. SOLUCI ÓN: (a) Continuidad en x = 2 i. f (2) = |2 − 2| = |0| = 0 ii. l´ım x→2−f (x) = l´ım_x→2−(2 − x) = 2 − 2 = 0 l´ım x→2+f (x) = l´ım_x→2+(x − 2) = 2 − 2 = 0 Por lo tanto l´ım x→2f (x) = 0 iii. l´ım x→2f (x) = 0 = f (2) ∴ f es continua en x = 2

An´alisis del valor absoluto

|x − 2| = ( x − 2 si x − 2 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2 2 − x si x − 2 < 0 ⇒ x < 2 (b) Derivabilidad en x = 2 f−0 (2) = l´ım x→2− f (x) − f (2) x − 2 f 0 +(2) l´ım x→2+ f (x) − f (2) x − 2 = l´ım x→2− |x − 2| − 0 x − 2 = l´ımx→2+ |x − 2| − 0 x − 2 = l´ım x→2− 2 − x x − 2 = l´ımx→2+ x − 2 x − 2 = l´ım x→2− −(x − 2) x − 2 = l´ımx→2+1 = l´ım x→2−−1 = 1 = −1 ⇒ f0(2) = l´ım x→2 f (x) − f (2) x − 2 no existe ∴ f no es derivable en x = 2

(54)

TAREA MORAL. Verifique que la funci´on f definida por f (x) = |x2− 9| no es derivable en x = −3 ni en x = 3. Sugerencia: Al analizar el valor absoluto, tome en cuenta que para saber en que intervalos x2− 9 ≥ 0 (y en consecuencia en cuales x2_{− 9 < 0), la desigualdad cuadr´}_{atica se resuleve as´ı:}

x2− 9 ≥ 0 (x + 3)(x − 3) ≥ 0 ceros x = −3 x = 3 As´ı: |x2 _{− 9| =}      x2− 9 , si x ≤ −3 ∨ x ≥ 3 9 − x2 , si − 3 < x < 3

DERIVACI ´ON CON F ´ORMULAS

Aparte del método de cálculo por la definición, la derivada de una función puede encontrarse de manera directa con fórmulas. Veamos algunos ejemplos del uso de las fórmulas.

(1)La derivada de una constante: d

dx[c] = 0 c constante real. Ejemplos: . Si f (x) = 2 entonces f0(x) = 0 . Si g(x) = −3π 5 entonces g 0_{(x) = 0}

(2) La derivada de la funci´on identidad: d

dx[x] = 1 . Si f (x) = x entonces f0(x) = 1

(3) la derivada de una potencia cuya base es la variable de derivaci´on elevada a un exponente num´erico:

d dx[x n_{] = n·x}n−1 Ejemplos: . Si f (x) = x7 entonces f0(x) = 7x6 . Si g(x) = xπ entonces g0(x) = πxπ−1

. Si h(x) = xe−6 entonces h0(x) = (e − 6)xe−7 . Si y = 1 x = x −1 _entonces dy dx = −1x −2₌ −1 x2 . Si g(x) = 1 x4 = x −4 entonces g0(x) = −4x−5= −4 x5 . Si f (x) = √3_{x = x}1₃ _{entonces f}0_{(x) =} 1 3x −2 3 = 1 3x23 = 1 3√3x2 . Si h(x) = √1 x = 1 x12 = x−12 entonces h0(x) = −1 2 x −3 2 = −1 2x32 = −1 2√x3

(4) La derivada de las funci´on Ra´ız cuadrada d dx[ √ x] = 1 2√x Ejemplos: . Si f (x) =√x entonces f0(x) = 1 2√x

(55)

(5)La derivada de las funciones trigonom´etricas: d dx[sen x] = cos x d dx[cos x] = −sen x d dx[tan x] = sec 2 _x d dx[cot x] = −csc 2 _x d

dx[sec x] = sec x · tan x

d

dx[csc x] = −csc x · cot x Ejemplos:

. Si f (x) = cos x entonces f0(x) = −sen x . Si g(x) = tan x entonces g0(x) = sec2 x

. Si h(x) = csc x entonces h0(x) = −csc x · cot x

(6)La derivada del m´ultiplo constante de una funci´on: d

dx[c · f (x)] = c · f 0 (x) Ejemplos: . Si f (x) = −3√x entonces f0(x) = − 3 2√x . Si f (x) = −π 2 tan x entonces f 0_{(x) = −}π 2 sec 2 _x . Si g(x) = 2πx 2 3 entonces g 0 (x) = 2π 3 · 2x = 4πx 3 . Si h(x) = 3 √ x 4 entonces h 0_{(x) =} 1 4· 1 3 · x −2 3 = 1 123 √ x2 . Si y = 2ln3 x2 = 2 ln3 · x −2 _{entonces y}0 _{= 2 ln3 · −2x}−3 ₌ −4ln3 x3 . Si g(x) = 0,75x entonces g0(x) = 0,75 · 1 = 0,75

(7) La derivada de sumas o restas de funciones: d

dx[f (x) ± g(x)] = f 0_{(x) ± g}0_(x) Ejemplos: . Si f (x) =√x − 3 5x π₋π 4 entonces f 0_{(x) =} 1 2√x − 3π 5 x π−1 . Si f (x) = 2sec x − 10√3 x −π 4 entonces f 0 (x) = 2sec x · tan x − 10 33 √ x2 . Si g(x) = 8 x4 + 3πx − 5 √ x4_{+ 4x}6_{− e}2 _{entonces g}0_{(x) =} −32 x5 + 3π − 4 5√5_x + 24x 5 . Si y = √₄1 x3 − 1 x2 − 13 3x+ √ 6 entonces y0 = −3 4 x −7 4 − −2 · x−3−13 3 · −x −2 ₌ −3 4√4x7 + 2 x3 + 13 3x2

NOTA: Esta regla de derivaci´on, junto con la del m´ultiplo constante, permite derivar polinomios como los siguientes:

. Si h(x) = −9x4− 6x3_{+ 13x}2_{− 16x + 1 entonces h}0_{(x) = −36x}3_{− 18x}2_{+ 26x − 16} . Si p(x) = 0,75x4−2 3x 3_{+ 0,5x}2_{+ 0,5x}2₋3x 2 + π 5 entonces p 0 (x) = 3x3− 2x2+ x − 3 2

(56)

(8) La derivada de la multiplicaci´on de dos funciones: d dx[f (x) · g(x)] = f 0 (x) · g(x) + f (x) · g0(x) Ejemplos: . Si f (x) = 3x9·√x entonces f0(x) = [3x9]0·√x + 3x9· [√x]0 = f0(x) = 27x8·√x + 3x9· 1 2√x . Si g(x) = (3x3− 4x2_{− πx + e) · (−3}√5_{x) entonces} g0(x) = [(3x3− 4x2− πx + e)]0· (−3√5 x) + (3x3− 4x2− πx + e) · [(−3√5 x)]0 ∴ g0(x) = (9x2− 8x − π) · (−3√5_{x) + (3x}3_{− 4x}2_{− πx + e) ·} − 3 5√5x4 . Si h(x) = −2π 3x2 · 2 3 − 5cotx + √ 3 2π entonces h0(x) = −2πx −2 3 0 · 2 3 − 5cotx + −2π 3x2 ·h(2 3 − 5cotx) i0 ∴ h0(x) = 4π 3x3 · 2 5 − 5cotx + −2π 3x2 · (5csc2x)

(9) La derivada de una multiplicaci´on de tres funciones: d dx[f (x) · g(x) · h(x)] = f 0_{(x) · g(x) · h(x) + f (x) · g}0_{(x) · h(x) + f (x) · g(x) · h}0_(x) Ejemplo: .Si f (x) = (1 − 4x2) · cscx · 2√5 x entonces f0(x) = [(1 − 4x2)]0· cscx · 2√5_{x + (1 − 4x}2_{) · [cscx]}0_{· 2}√5_{x + (1 − 4x}2_{) · cscx · [2}√5_x]0 f0(x) = −8x · cscx · 2√5 x + (1 − 4x2) · (−cscx · cotx) · 2√5 x + (1 − 4x2) · cscx ·2 5x −4 5 ∴ f0(x) = −16x√5_{x cscx − 2}√5_{x(1 − 4x}2_{) · cscx · cotx +}2(1 − 4x2)cscx 5√5x4

(10) La derivada de una divisi´on de funciones: d dx hf (x) g(x) i = g(x) · f 0_{(x) − g}0_{(x) · f (x)} [g(x)]2 Ejemplos: . Si g(x) = x 3_{− x}2_{+ 2} π −√3_x entonces g 0_{(x) =} (π − 3 √ x)[x3− x2_{+ 2]}0_{− [π −}√3_x]0_(x3_{− x}2_{+ 2)} (π −√3 _x)2 ∴ g0(x) = (π −√3_x)(3x2_{− 2x) −} − 1 3√3x2 (x3− x2_{+ 2)} (π −√3_x)2

(57)

. Si h(x) = √ x − 2√3_x 3 + xe entonces h 0_{(x) =} (3 + xe)[ √ x − 2√3_x]0_{− [(3 + x}e_)]0₍√_{x − 2}√3_x) (3 + xe₎2 ∴ h0(x) = (3 + xe) 1 2√x − 2 3√3x2 − (exe−1)(√x − 2√3_x) (3 + xe₎2 . Si g(x) = 2tanx + 5senx (x3_{− 5x}2_{− x + 1)}√_x entonces g0(x) = ((x

3_{− 5x}2_{− x + 1)}√_{x)[2tanx + 5senx]}0_{− [(x}3_{− 5x}2_{− x + 1)}√_x]0_{(2tanx + 5senx)}

((x3_{− 5x}2_{− x + 1)}√_x)2 ∴ g0(x) = ((x 3_{− 5x}2_{− x + 1)}√_x)(2sec2_{x + 5cosx) − [(3x}2_{− 10x − 1)}√_{x + (x}3_{− 5x}2_{− x + 1) ·}1 2 √ x](2tanx + 5senx) ((x3_{− 5x}2_{− x + 1)}√_x)2

(*)Tarea moral: Compruebe las 2 primeras fórmulas trigonométricas usando la definición de derivadas y las cuatro restantes usando otras fórmulas de derivación y las identidades trigonométricas. Ver ANEXO 2.

(58)

RESUMEN :*********************************************************************

REGLAS B ÁSICAS DE DERIVACI ÓN Derivadas Básicas:

d

dx

[c] = 0

d

dx

[x] = 1

d

dx

_{(x)·g(x)·h(x)+f (x)·g}

0

_{(x)·h(x)+f (x)·g(x)·h}

0

_(x)

d

dx

h

f (x)

g(x)

i

=

g(x) · f

0

_{(x) − g}

0

_{(x) · f (x)}

[g(x)]

2

d

dx

[sen x] = cos x

d

dx

[cos x] = −sen x

d

dx

[tan x] = sec

2

_x

d

dx

[cot x] = −csc

2

x

d

REGLAS B ´ASICAS DE DERIVACI ´ON

(utilizaci´on de la Regla de la Cadena para funciones compuestas) u = f (x) d dx[u n_{] = n · u}n−1_{· u}0 d dx[ √ u] = 1 2√u · u 0

Derivada de las funciones trigonom´etricas: d dx[sen u] = cos u · u 0 d dx[cos u] = −sen u · u 0 d dx[tan u] = sec 2_{u · u}0 d dx[cot u] = −csc 2_{u · u}0 d

dx[sec u] = secu · tan u · u

0 d

dx[csc u] = −csc u · cotu · u

0

Ejemplos: Derive las siguientes funciones: (1) g(x) = −π 2 · p 5x2_{+ 5x − 1 −} 5 √ 3 π SOLUCI ´ON: g0(x) = −π 2[ p 5x2_{+ 5x − 1]}0 g0(x) = −π 2 · 1 2√5x2_{+ 5x − 1} · [5x 2_{+ 5x − 1]}0 ⇒ g0_{(x) = −}π 2 · 1 2√5x2_{+ 5x − 1} · (10x + 5) ∴ g0(x) = −5π(2x + 1) 4√5x2_{+ 5x − 1}

(60)

(2) h(x) = 6√3ax3_{− bx}2_{+ cx − d , donde a, b, c, d son constantes.} SOLUCI ÓN: h0(x) = 6h(ax3− bx2_{+ cx − d)} 1 3i0 ⇒ h0(x) = 6 ·1 3(ax 3_{− bx}2_{+ cx − d)} −2 3 · (3ax2_{− 2bx + c)} ∴ h0(x) = 2 · (3ax 2_{− 2bx + c)} 3 p(ax3_{− bx}2_{+ cx − d)}2 (3) y = −73 s tan2 x 2_{+ 1} π − 2x3 +1 2 SOLUCI ÓN: dy dx = −7 " tan x 2_{+ 1} π − 2x3 2₃#0 ⇒ dy dx = −7 · 2 3 tan x 2_{+ 1} π − 2x3 −1₃ · tan x 2_{+ 1} π − 2x3 0 ⇒ dy dx = −14 3 tan x 2_{+ 1} π − 2x3 −1₃ · sec2 x 2_{+ 1} π − 2x3 · x 2_{+ 1} π − 2x3 0 ⇒ dy dx = −14 3 tan x 2_{+ 1} π − 2x3 −1₃ · sec2 x 2_{+ 1} π − 2x3 · (π − 2x 3_{)(2x) − (−6x}2_)(x2_{+ 1)} (π − 2x3₎2 (4) f (x) = 2sen 3x3− 4x2₊6 5x − 3π 5 SOLUCI ÓN: f0(x) = 2cos 3x3− 4x2₊ 6 5x − 3π 5! · " 3x3− 4x2₊ 6 5x − 3π 5#0 f0(x) = 2cos 3x3− 4x2₊ 6 5x − 3π 5! · 5 3x3− 4x2₊6 5x − 3π 4 ·3x3_{− 4x}2₊6 5x − 3π 0 f0(x) = 2cos 3x3− 4x2₊ 6 5x − 3π 5! · 5 3x3− 4x2₊6 5x − 3π 4 · 9x2− 8x +6 5 ∴ f0(x) = 10cos 3x3− 4x2₊6 5x − 3π 5! · 3x3− 4x2₊ 6 5x − 3π 4 · 9x2− 8x + 6 5 (5) f (x) = (3x10− 5x5_{+ 3e)}−2_·√_{1 + x + x}2 SOLUCI ÓN: f0(x) =(3x10− 5x5_{+ 3e)}−20 ·√1 + x + x2_{+ (3x}10_{− 5x}5_{+ 3e)}−2_·h√_{1 + x + x}2i0 ∴ f0(x) = −2(3x10−5x8_5+3e)−3_·(30x9_−25x4_)·√_{1 + x + x}2_+(3x10_−5x5_+3e)−2_· 1 2√1 + x + x2·(1+2x)

(61)

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La segunda derivada es la derivada de la primer derivada. La tercer derivada es la derivada de la segunda derivada, etc.

f00(x) = [f0(x)]0 f000(x) = [f00(x)]0 Notaciones: Segunda derivada: f00(x) , d

2_y dx2, d2 dx2[f (x)] , y 00 Tercer derivada: f000(x) , d 3_y dx3, d3 dx3[f (x)] , y 000 n-´esima derivada: f(n)(x) , d n_y dxn, dn dxn[f (x)] , y (n) Ejemplos:

1-Encuentre la tercer derivada de y = x4+ 5x3− 7x + 2 SOLUCI ´ON: Sea y0 = dy_dx

y0 = 4x3+ 15x2− 7 y00= 12x2+ 30x ∴ y000 = 24x + 30 2- Encuentre la segunda derivada de y = sen(4x3− 2x)

SOLUCI ´ON: Sea y0 = dy_dx

y0 = cos(4x3_{− 2x) · (12x}2_{− 2)}

y00= [cos(4x3− 2x)]0· (12x2_{− 2) + cos(4x}3_{− 2x) · [(12x}2_{− 2)]}0

∴ y000 = −sen(4x3_{− 2x) · (12x}2_{− 2)}2_{+ cos(4x}3_{− 2x) · (24x)}

3- Encuentre la segunda derivada de: f (x) = x − 1 x2_{− x − 6}

SOLUCI ´ON: Sea y0 = dy_dx

f0(x) = (x2−x−6)[x−1]_(x2_−x−6)0−[x2−x−6]2 0(x−1) f 00_{(x) =} (x2_−x−6)2_[−x2_+2x−7]0_−[(x2_−x−6)2_]0_(−x2_+2x−7) ((x2_−x−6)2₎2 f0(x) = (x2−x−6)(1)−(2x−1)(x−1)_(x2_−x−6)2 f 00_{(x) =} (x2_−x−6)2_{(−2x+2)−2(x}2_{−x−6)(2x−1)(−x}2_+2x−7) (x2_−x−6)4 f0(x) = (x2−x−6)(1)−(2x−1)(x−1)_(x2_−x−6)2 f 00_{(x) =} (x2_−x−6)[(x2_{−x−6)(−2x+2)−2(2x−1)(−x}2_+2x−7)] (x2_−x−6)4 ∴ f0(x) = x2−x−6−2x_(x2_−x−6)2+3x−12 ∴ f 00_{(x) =} (x2_{−x−6)(−2x+2)−2(2x−1)(−x}2_+2x−7) (x2_−x−6)3 f0(x) = _(x−x+2x−72_−x−6)2

(62)

EJERCICIO:

1) Calcule la segunda derivada de la siguiente expresi´on: y = √ x x − 1 R/ y00 1₂ =    (x − 1)32 − 3 2(x − 1) 1 2(x − 2) (x − 1)3   

2) Calcule la tercer derivada de la funci´on y = cos(b + ax) donde a y b son constantes. R/ y000 = a3_{sen(b + ax)}

Derivaci´

on Impl´ıcita

Hay funciones despejadas en la forma explicita y = f (x). Ejemplo: y = 5x 2_{+ 3x} x + 1 O y = 1 2tan √ x2_{− 1} 2x + 8 + x3

As´ı mismo, hay funciones o ecuaciones donde “y” est´a planteada de forma impl´ıcita. Por ejemplo: x2y + xy = 5y3 O √x + y = x2+ y2

En todas estas funciones o ecuaciones consideramos que “y” depende de “x” y para su derivaci´on y0= dy

dx = f

0

(x)

Ejemplos de derivaci´on impl´ıcita. Derive las siguientes funciones:

1)x2y + 3x = xy2 2)xy3− 7y + 2xy = 5

Soluci´on: Sea y0 = dy_dx Soluci´on: Sea y0 = dy_dx 2xy + x2y0+ 3 = y2+ x · 2yy0

2xy + x2_y0_{+ 3 = y}2_{+ 2xyy}0 _y3_{+ 3xy}2_y0_{− 7y}0_{+ 2y + 2xy}0_{= 0}

x2y0− 2xyy0 = y2− 2xy − 3 3xy2y0− 7y0+ 2xy0 = −y3− 2y y0(x2_{− 2xy) = y}2_{− 2xy − 3} _y0_(3xy2_{− 7 + 2x) = −y}3_{− 2y}

y0 = y 2_{− 2x − 3} x2_{− 2xy} y 0₌ −y3− 2y 3xy2_{− 7 + 2x} Ejercicios

1) Calcule la derivada de la funci´on denominada como Bifolio: (x2+ y2)2 = 4x2y R/ y0 = 2xy−x_x2_y+y33−xy_−x22

2) La función “ y” está dada impl´ıcitamente por la ecuación que se indica. Calcule la derivada: x2+ 2xy + y2− 4x + 2y − 2 = 0

R/ y0= 2−x−y_x+y+1

3) Derive las siguientes funciones dadas impl´ıcitamente (a) √x + y = y + 6x (b) sen(x + y) + x = x − y R/ (a) y0 = 12 √ x + y − 1 1 − 2√x + y (b) y 0₌ −cos(x + y) 1 + cos(x + y)

(63)

DERIVADAS PUNTUALES Sea x23 − y

2

3 − y = 1 Calcule dy

dx en(1, −1) Soluci´on: Sea y0 = dy

dx 2 3x −1 3 −2 3y −1 3 y0− y0 = 0 −2 3y −1 3 y0 − y0 = −2 3 x −1 3 y0(−2 3y −1 3 − 1) = −2 3 x −1 3 y0 = −2 3 x −1 3 −2 3 y −1 3 − 1 ! As´ı y 0 (1,−1)= −2 3 (1) −1 3 −2 3 (−1) −1 3 − 1 = −2 3 −1 3 = 2

EJERCICIO. Considere 2xy

π + sen y = 2. Calcule dy dx en 1,π 2 . R/ −π 2

Derivadas Impl´ıcitas de Orden Superior

Encuentre “y” para las siguientes funciones dadas impl´ıcitamente: 1) 2y − 6xy2 = 2

Soluci´on: Sea y0 = dy_dx 2y0− 6y2_{− 6x · 2yy}0_{= 0} 2y0− 12xyy0 = 6y2 2y0(1 − 6xy) = 6y2 y0= 6y 2 2(1 − 6xy) y0= 3y 2 1 − 6xy y00= (1 − 6xy)[3y 2_]0_{− [1 − 6xy]}0_(3y2₎ (1 − 6xy)2 y00= (1 − 6xy)(6yy

0_{) − (−6y − 6xy}0_)(3y2₎

(1 − 6xy)2

y00= 6yy

0_{− 36xy}2_y0_{+ 18y}3_{+ 18xy}2_y0

(1 − 6xy)2

y00= 6yy

0_{− 18xy}2_y0_{+ 18y}3

(1 − 6xy)2

(64)

2) cos(x + y) = 2x Soluci´on: Sea y0= _dxdy

−sen (x + y) · (1 + y0₎ ₌ ₂ −sen (x + y) − sen (x + y) · y0 = 2 −sen (x + y) · y0 ₌ _{2 + sen (x + y)} y0 = 2 + sen (x + y) −sen (x + y) y0 = −2 − sen (x + y) sen (x + y) y00= sen(x + y)[−2 − sen (x + y)]

0_{− [sen (x + y)]}0_{(−2 − sen (x + y))}

sen2 _{(x + y)}

y00= sen(x + y)(−cos (x + y)(1 + y

0_{)) − (cos (x + y)(1 + y}0_{))(−2 − sen (x + y))}

sen2 _{(x + y)}

y00= cos(x + y)(1 + y

0_{)[−sen (x + y) − (−2 − sen (x + y))]}

sen2 _{(x + y)}

y00= cos(x + y)(1 + y

0_{)[−sen (x + y) + 2 + sen (x + y))]}

sen2 _{(x + y)}

y00= 2cos(x + y)(1 + y

0₎

sen2 _{(x + y)}

Nota: Se debe sustituir y0 para que y00 quede en t´erminos de “x” y “y”(tarea).

Ejercicio: Calcule y00 para ax2+ 2hxy = a2b2 (a, b, h son constantes)

R/ y00= yh

2_{− xh}2_y0

x2_h2 (tarea sustituir y

(65)

Aplicaciones de la derivada

A) Ecuaci´on de la recta normal y la recta tangente a una curva en un punto dado.

Si f (x) es una función derivable, la derivada de f (x), a saber f0(x) proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva o gráfica de f (x) en el punto (x0, y0) perteneciente a la gráfica.

La recta normal al punto (x0, y0) de la funci´on f (x), es la recta perpendicular a la recta tangente a la

funci´on, en el punto (x0, y0)

Nota:

1-Como la tangente y la normal son rectas, su f´ormula tiene la forma: y = mx + b. 2-Para funciones lineales recuerde las siguientes f´ormulas:

a.Pendiente mT = f0(x0) (evaluada en el punto dado)

b.La intersecci´on con eje y es b = y − mx

c.Dos funciones son perpendiculares si sus pendientes son inversos multiplicativos y tienen signo opuesto o lo que es equivalente, su producto es igual a -1.

3-Forma alternativa para calcular la ecuaci´on de:

a.La recta tangente a una curva en el punto de tangencia (x0, y0)

y − y0 = y0|(x0,y0)· (x − x0)

b.La recta normal a una curva en el punto de tangencia (x0, y0)

y − y0 =

−1

(66)

Ejemplo:

1)Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente y la recta normal a y = 5x2+ 3x en el punto (3,54). Soluci´on: Sea y0= _dxdy

Recta tangente Recta normal

y0= 10x + 3 mN = −1 33 ⇒ mT = y0|(3,54) = 10 · 3 + 3 = 33 bN = y − mN · x bT = y − mT · x = 54 − 33 · 3 R2/ yN = −x 33 + 595 11 R1/ yT = 33x − 45

2)Encontrar la recta normal a la curva x2+ xy + y2− 3y = 10 en el punto (2, 3). Soluci´on: Sea y0= _dxdy

Pendiente de la tangente Recta normal 2x + y + xy0+ 2yy0− 3y0_{= 0} _m N = 5 7 y0(x + 2y − 3) = −2x − y bN = y − mN· x y0 = −2x − y x + 2y − 3 bN = 3 − 5 7· 2 R2/ bN = 11 7 mT = y0|(2,3)= −2 · 2 − 3 2 + 2 · 3 − 3 = −7 5 R/ yN = 5x + 11 7

3) Hallar la recta normal para: sen(2x − 3y) = 12x2y − 1 en 1₂,1₃ Soluci´on

Pendiente de la tangente Recta normal

cos (2x − 3y) · (2 − 3y0) = 24xy + 12x2y0 mN = 3

2cos (2x − 3y) − 3y0cos (2x − 3y) = 24xy + 12x2y0

2cos (2x − 3y) − 24xy = 12x2y0+ 3y0cos (2x − 3y) bN =

1 3− 3 · 1 2 = − 7 6 2cos (2x − 3y) − 24xy = y0(12x2+ 3cos (2x − 3y))

y0 = 2cos (2x − 3y) − 24xy 12x2_{+ 3cos (2x − 3y)} As´ı mT = y0|(1 2, 1 3) = 2cos (2 · 1₂− 3 · 1 3) − 24 · 1 2 · 1 3 12 · (1₂)2_{+ 3cos (2 ·} 1 2− 3 · 1 3) = −1 3 ∴ yN = 3x − 7 6

(67)

Verifiquemos el m´etodo, utilizando los mismos ejemplos de la p´agina anterior.

1)Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente y la recta normal a y = 5x2+ 3x en el punto (3,54). Soluci´on: Sea y0 = dy_dx

y0= 10x + 3 mN = −1 33 ⇒ mT = y0|(3,54) = 10 · 3 + 3 = 33 bN = y − mN· x Recta Tangente y − y0= y0|(x0,y0)· (x − x0) y − 54 = y0|_(3,54)· (x − 3) y − 54 = 33 · (x − 3) y = 33x − 99 + 54 y = 33x − 45 Recta Normal y − y0= −1 y0_| (x0,y0) · (x − x₀) y − 54 = −1 y0_| (3,54) · (x − 3) y − 54 = −1 33 · (x − 3) y = −x 33 + 1 11 + 54 y = −x 33 + 595 11 R1/ yT = 33x − 45 R2/ yN = −x 33 + 595 11 2)Encontrar la recta normal a la curva x2+ xy + y2− 3y = 10 en el punto (2, 3).

(68)

PR ´

ACTICA

1) Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la curva x3− 2x2_{y + 3xy}2 _{= 38 en el punto (2, 3)}

R/ yT =

−15 28 +

57 14 2) Hallar la ecuaci´on de la recta tangente a la curva y2 ₌ x2

xy−4 en el punto (4, 2)

R/ yT = 2 (Tangente horizontal)

3) Hallar la ecuaci´on de la recta y la recta normal a la curva: y3x2− 2xy = 6x − y − 1 en el punto x = 0

R/ yT = 4x − 1 yN =

−1 4 x − 1

4) Encuentre la ecuaci´on de la recta tangente a la curva: sen (xy) = y en el punto π₂, 1)

R/ yT = 1 (Tangente horizontal)

5) Encontrar la recta normal a la curva y = sen x + csc x en el punto π 4, f π 4 R/ yn= √ 2x + 3 2− π 4 √ 2

(69)

B) C´

alculo de rectas tangentes (verticales, horizontales o con una

pendiente dada) a una curva

Una funci´on tiene una tangente horizontal en el punto x = c, si es continua en c y la derivada de la funci´on en x = c se hace cero.

Una función tiene una tangente vertical en el punto x = c, si es continua en c y la derivada de la función en x=c genera la indeterminación k

0, con k 6= 0 (l´ımite infinito).

(1) Determine si la gr´afica de la funci´on y = (2x − 8)23 tiene tangentes verticales.

SOLUCI ´ON. Derivamos: dy dx = 2 3 · (2x − 8) −1

3 · 2 Se calcula el valor que indefine la derivada

dy dx = 4 3 ·p(2x − 8)3 3 3 √ 2x − 8 = 0 3 √ 2x − 8 = 0 2x − 8 = 0 x=4 Verificamos con un l´ımite lateral de la derivada

l´ım x→4+ dy dx = l´ımx→4+ 4 3 ·√3 2x − 8 = +∞ Ahora bien, el punto (4, 0) pertence a la funci´on. ∴ y = (2x − 8)23 tiene una tangente vertical en x = 4

(2)Encuentre todos los puntos de la curva dada por f (x) = x + 1

1 − x en que: (a)La recta tangente sea horizontal (si existen)

(b)La pendiente de la recta tangente sea 4. SOLUCI ´ON.

(a) La recta tangente es horizontal si su pendiente es 0, lo que significa que la tangente es horizontal en los puntos en que la derivada se hace 0. Por lo tanto, es necesario derivar e igualar la derivada a 0 y resolver la ecuaci´on para hallar los ceros de la derivada.

f0(x) = (1 − x)1 − (−1)(1 + x) (1 − x)2 = 1 − x + 1 + x (1 − x)2 = 2 (1 − x)2

Igualamos a cero la derivada 2

(1 − x)2 = 0 (No hay soluci´on para la ecuaci´on pues 2 6= 0)

De lo anterior se concluye que la derivada nunca se hace cero y por lo tanto la funci´on no tiene tangentes horizontales.