El teorema espectral de operadores normales acotados

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El teorema espectral de operadores

normales acotados

Iuliana Alexandra Loiszli

Trabajo de fin del grado de Matemáticas

Universidad de Zaragoza

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Prólogo

El teorema espectral es de gran importancia en la teoría de operadores acotados sobre espacios de Hilbert. El propósito de este trabajo es proporcionar una descripción espectral completa de la estruc-tura de los operadores normales.

Mucha de la información sobre un operador linealT se obtiene estudiando el operadorT−λI, en dondeI es el operador identidad yλ es un número complejo. Por otra parte, a veces, el inverso

de un operador es más importante que el propio operador. En particular, la teoría espectral estudia el operador inverso(T−λI)−1,cuando éste existe.

En el caso finito dimensional, se tiene que dada una aplicación linealT :Cn→Cn, su comporta-miento viene determinado por los valores{Te₁, . . . ,Ten},siendo{e1, . . . ,en}una base deCn.En este caso la matrizA= (ai j)i,j=1,...,ndefinida por

Tei= n

∑

j=1

ajiej, i=1, . . .n (1)

representa la aplicación T. Siλ es tal que (T −λI)−1 _{no existe, entonces} _λ _{recibe el nombre de}

valor propio de T.Estos valores propios son precisamente las raíces de la ecuación característica det(A−λI) =0 (donde el operadorT se identifica con su matriz asociadaA). Se llama vector propio

correspondiente al valor propioλ a todo vector no nulox∈_Cn_{que cumple que}_{T x}₌ λx.

El teorema tiene raíces enÁlgebra Lineal, donde se establece que siH es un espacio de Hilbert sobreCde dimensiónn,un operador linealT :H→Hes diagonalizable si y sólo si existe una base del espacioH,formada por los vectores propios deT,de manera que la matriz de representación de T respecto a la dicha base sea diagonal. Los elementos diagonalesλ1, . . .λnson los valores propios

correspondientes. Además, entonces el espacioHse puede poner

H=ker(T−λ1I)⊕ker(T−λ2I)⊕ · · · ⊕ker(T−λnI). (2)

La suma anterior es la suma directa ortogonal. Esta descomposición permite dar una descripción deT en sus elementos básicos. Cadax∈Hse puede escribir de manera única como

x=

n

∑

k=1

xk, conxk∈ker(T−λkI), 1≤k≤n,

con lo cual T x= n

∑

k=1 λkxk.

SiendoPkla proyección ortogonal deHsobre ker(T−λkI),1≤k≤n,entonces resulta la

descompo-sición espectral deT: T= n

∑

k=1 λkPk. (3)

En particular, la anterior descripción es aplicable a cualquier operadorT normal, pues está de-mostrado que una matriz normal es diagonalizable.

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IV Capítulo 0. Prólogo La descomposición anterior del espacio H en términos del operador T, y la representación del mismoT en sus elementos básicos, dada en (2), son de utilidad teórica y practica. Es por tanto de mucho interés extender (1) y (2) para operadores normales en espacios de dimensión infinita. En este caso existe la dificultad de que en general un operador normal puede no tener valores propios. Sin embargo es posible generalizar (1) y (2) con una adecuada interpretación de la representación anterior. En vez de utilizar proyecciones ortogonales sobre los subespacios ker(T−λI)se emplearán medidas

espectrales; y en lugar de la suma se utilizará la integral.

A continuación se da una breve descripción de esta generalización. Se considera un operador autoadjuntoT,ya que sus valores propios son números reales y por lo tanto se pueden ordenar de una manera natural:λ1<λ2<· · ·<λn.Se usan las proyeccionesPk de la fórmula (3) para definir otras

nuevas: E_λ0 =0, E_λ1 =P1, E_λ2 =P₁+P₂, . . . E_λ_n =P1+P2+· · ·+Pn.

Por lo tanto, (3) se puede reescribir de la siguiente manera:

T =λ1(Eλ1−Eλ0) +λ2(Eλ2−Eλ1) +· · ·+λn(Eλn−Eλn−1) = n

∑

k=1 λk(Eλk−Eλk−1). DenotandoE_λ

k−Eλk−1 por∆Eλk se tiene que

T=

n

∑

k=1

λk∆Eλk,

lo cual sugiere una representación integral de la forma

T =

Z

λdE_λ.

Siguiendo esta idea, la descomposición espectral del operadorT puede extenderse también en el contexto de los espacios de dimensión infinita. Un resultado semejante se obtendrá para operadores normales.

El contenido de este trabajo se divide en tres partes:

En el primer capítulo (Álgebras de Banach) el objetivo es dar definiciones, propiedades y teoremas clásicos de la teoría de Gelfand de las álgebras de Banach conmutativas que son necesarios para la teoría espectral que se presenta después.

El segundo capítulo está dedicado a la teoría espectral de operadores normales acotados que mediante el cálculo funcional relacionado con la teoría de lasC∗-álgebras presentada en el primer capítulo, nos llevará a varios enfoques del teorema espectral. Se discutirán algunas propiedades de los operadores normales acotados, incluyendo la representación espectral de los mismos.

El último capítulo, empieza con algunas propiedades de los operadores normales que son conse-cuencias inmediatas del teorema espectral. Después se presentan algunas aplicaciones para operadores normales compactos, como por ejemplo, la alternativa de Fredholm para la resolución de ecuaciones.

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Summary

The spectral theorem is of great importance in the theory of bounded operators on a infinite di-mensional complex Hilbert space. The purpose of this paper is to provide a complete description of the structure of normal operators, which is very useful in applications.

The content of this paper is divided into three parts:

In the first chapter the spectral theory for Banach algebras is outlined, including the Gelfand-Naimark theorem for commutativeC∗-algebras.

The second chapter deals with continous functional calculus, which is relevant in the theory of C∗-algebras presented in first chapter. Resolutions of the identity or spectral measures are introduced; and finally the spectral theorem for bounded normal operators on a Hilbert space is given. Some im-portant applicactions are showed in the third chapter.

CONTENTS

1. Banach Algebras

1.1 Preliminaries

1.2 Gelfand representation

2. Spectral theory of bounded normal operators

2.1 Continuous functional calculus for normal operators 2.2 Spectral measure

2.3 The Spectral Theorem

3. Applications

3.1 Basis properties

3.2 Eigenvalues of normal operators

3.3 Applications to equations with compact normal operators 3.4 Fredholm integral equations

1. Banach Algebras

1.1. Preliminaries

ABanach algebrais a Banach spaceAover the complex fieldCwhich posesses an associative, distributive multiplication, satisfying the following properties for allx,y∈A,α ∈C:

α(xy) = (αx)y=x(αy) y kxyk ≤ kxkkyk.

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VI Capítulo 0. Summary IfAcontains a unit elementesuch thatxe=ex=x,then it is asumed thatkek=1.It is said that Ais commutative ifxy=yx,∀x,y∈A.

There are two classes of Banach algebra which are important to mention. One is the algebraC(K) of all complex continuous functions on a nonempty compact Hausdorff spaceK,with pointwise ad-dition and multiplication, and the supremum norm. The other is the spaceB(X)of all bounded linear operators onX,with the usual operator norm and multiplication defined as composition. The latter is not commutative.

An elementx∈Ais said to beinvertibleif there exists an elementy∈Asuch that xy=yx=e,

whereeis the unit element of A.In this case, the unique elementyis called the inverse ofx and is denoted byx−1.LetA−1be the set of all invertible elements ofA; it is clear thatA−1is a group. Theorem. If A is a Banach algebra and x∈A withkxk<1,then

a) e−x∈A−1,

b) k(e−x)−1−e−xk ≤ kxk

2

1− kxk.

Note that this theorem implies thatA−1is an open subset ofA.

LetAbe a Banach algebra. Thespectrumofx∈Ais defined as the set

σ(x) ={λ ∈C:x−λe is not invertible}.

The complement ofσ(x)is called theresolvent setofxand thespectral radiusofxis the number ρ(x) =sup{|λ|:λ ∈σ(x)}.

Theorem. If A is a Banach algebra and x∈A,thenσ(x)is a nonempty compact subset ofC. Note that,ρ(x)≤ kxkfor allx∈A.In fact,

ρ(x) = l´ım n→∞

(kxn_k)1/n₌_´ınf n≥1(kx

n_k)1/n_.

The following theorem will be important in Gelfand theory.

Theorem(Gelfand-Mazur). If A is a Banach algebra such that∀x∈A, x6=0, ∃x−1∈A,then A is isometrically isomorphic to the algebra of complex numbers.

1.2. Gelfand representation First let introduce some definitions.

If A is a complex algebra, then a character of A is a linear functional ϕ on A, which is not

identically 0 and

ϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y), ∀x,y∈A.

LetΦAbe the set of all characters ofA.Obviously each character of a Banach algebra with unite

satisfiesϕ(e) =1.

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VII

IfAa commutative complex algebra with a unit, then a subsetJ ofAis called anidealifxy∈J wheneverx∈A, y∈J.An ideal isproperifJ6=A,and a proper ideal ismaximalif is not contained in another proper ideal ofA.

Note that every proper idealJofAis contained in a maximal ideal ofA.IfJ is an ideal then its closureJis also an ideal. Therefore every maximal ideal ofAis closed.

LetAbe a commutative Banach algebra. From the above definitions one has: a) x∈A−1⇔x∈/J,for all J proper ideal ofA.

b) x∈Ais invertible⇔ϕ(x)6=0,∀ϕ∈ΦA.

c) σ(x) ={ϕ(x):ϕ∈ΦA},∀x∈A.

d) Ifϕ∈ΦA,then ker(ϕ)is a maximal ideal.

IfMis a maximal ideal ofA,thenA/Mis a Banach algebra with multiplication defined by (x+M)(y+M) =xy+M;

and the quotient mapϕM:A→A/Mgiven byϕM(x) =x+Mis a homomorphism. The unit element

ofA/Mise+MandkϕM(e)k=1,withethe unit ofA.

The quotient mapϕM,defined as before is a character ofA, which proves that for anyϕM(x)6=0

exists its inverse inA/M. By the Gelfand-Mazur theorem, there is an isometrically isomorphismhof A/MtoC.

Putϕ=h◦ϕM.Thenϕis a character ofA(ϕ∈ΦA), withϕ(e) =1 andM=ker(ϕ).This

asser-tion means that every maximal ideal ofAis the kernel of someϕ∈ΦA.

ThespectrumofA,SpecA,is defined as the set of maximal ideals ofA.

Now using property d), it is possible to identify all maximal ideales ofAwith the set of characters ofA,SpecA≡ΦA.

Let A be a commutative Banach algebra. For each x∈A, the Gelfand transform of x is the function b x:SpecA→C defined by b x(ϕ) =ϕ(x), ϕ∈SpecA.

LetAbbe the set of allx,_b forx∈A.The Gelfand topology ofSpecAis the smallest topology that makes

everyx_bcontinuous. ThenAb⊂C(SpecA).

The termGelfand transformationis applied to the homomorphism ofAintoSpecAgiven by G:A→Ab⊆C(SpecA)

x→x_b : SpecA→C

Aninvolutionon an algebraAis an application∗:A→A,satisfying the following properties for allx,y∈A, λ∈C:

i) (x+y)∗=x∗+y∗, ii) (λx)∗=λx∗,

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VIII Capítulo 0. Summary iii) (xy)∗=y∗x∗,

iv) x∗∗=x.

Ifx∗=x,xis said to behermitian,orself-adjoint.Andx∈Ais said to benormalifxx∗=x∗x. A Banach algebraAwith an involution that satisfieskxx∗_k₌_kxk2_{for all}_x_∈_A_{is called a}_C∗_-algebra_.

The fundamental result of the theory ofC∗-algebras and the key to the proof of the spectral theo-rem that will be given in the next chapter is as follows:

Theorem(Gelfand-Naimark). If A is a commutative C∗-algebra with a unit and ∆:=SpecA is its

spectrum of maximal ideals, then the Gelfand transform G:A→C(∆)is an isometric isomorphism of A such that

(x∗)b=

b

x, ∀x∈A, or, equivalently,ϕ(x∗) =ϕ(x)for allϕ∈∆and x∈A.

Therefore, x is hermitian⇔_bx is real.

2. Spectral theory of bounded normal operators

2.1. Continuous functional calculus for normal operators

In order to fix the notation that will be used, it is convenient to recall the definition of aHilbert space, denoted byH withh·,·ithe scalar product. The scalar product leads to a normk · k,which is defined askxk=phx,xi.Every Hilbert space is also a Banach space.

Throughout this paper, will stand forB(H)the Banach algebra of bounded linear operatorsT on a Hilbert spaceHwith the norm

kTk=sup{kT xk:x∈H,kxk ≤1}. IfT ∈B(H),then there exists a unique operatorT∗∈B(H)for which

hT x,yi=hx,T∗yi ∀x,y∈H. T∗is called theadjointofT.

An operatorT ∈B(H)is said to benormalifT T∗=T∗T,and ishermitianorself-adjointifT=T∗. Then:

a) T is normal if and only ifkT xk=kT∗_xk,_∀_x_∈_H.

b) If T is normal andT x=λxfor somex∈Handλ∈C,thenT∗x=λx.

c) If T is normal, then existsλ∈σ(T)such that|λ|=kTk.

Theorem(Continuous functional calculus). Let T ∈B(H)be a normal operator. There exists a unique *-homomorphism

ΦT :C(σ(T))→B(H)

such thatΦT(u) =I yΦT(v) =T,with u(λ) =1,v(λ) =λ for allλ ∈σ(T).Furthermore,ΦT is an isometry and its range is the closed subalgebra generated by I, T and T∗,with I the identity on H.

With the notation of the previous theorem, will denote f(T) =ΦT(f)for all f∈C(σ(T)). El teorema espectral de operadores acotados

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IX

2.2. Spectral measure

As observe in the section 2.1,B(H),is aC∗-algebra, and the theory developed onC∗-algebras may be applied to it to obtain representation theorems of normal operators.

LetX be a compact Hausdorff space andB(X)be aσ-algebra of Borel subset ofX.SupposeH

is a Hilbert space. Then aresolution of the identityorspectral measureis a mapping

E:B(X)→B(H) such that

i) E(/0) =0,E(X) =I.

ii) EachE(ω)is a self-adjoint projection, i.e.E(ω)2=E(ω) =E(ω)∗, ∀ω∈B(X).

iii) Ifω0,ω00∈B(X),thenE(ω0∩ω00) =E(ω0)E(ω00).

iv) Ifω0,ω00∈B(X)withω0∩ω00=/0,thenE(ω0∪ω00) =E(ω0) +E(ω00).

v) For everyx,y∈H,the functionEx,y:B(X)→Cdefined by Ex,y(ω) =hE(ω)x,yi

is a regular complex measure onB(X).

Once established the continuous functional calculus for a normal operatorT,for fixedx,y∈H one defines a linear functional

Λx,y:C(σ(T))→C

by Λx,y(f) =hΦT(f)x,yi; and the Riesz theorem provides a Borel measure µx,y representing this

functional,

hE(ω)x,yi=µx,y(ω).

This assertion is the key to the proof of the next theorem:

Theorem. Let A be a closed subalgebra ofB(H)which contains the identity operator I, and SpecA the maximal ideal space of A.

a) There exists a unique spectral measure E on the Borel subsets of∆that satisfies

T =

Z

∆

b

TdE for every T∈A,where the integral is interpreted as

hT x,yi=

Z

∆

b

TdEx,y, x,y∈H.

In other words, it can be definedΦ:B(∆)→B(H)such that

hΦ(f)x,yi=

Z

∆

fdEx,y

for every bounded Borel function f on∆.

b) If S∈B(H),then ST =T S for all T ∈B(H)if and only if SE(ω) =E(ω)S,∀ω⊂∆.

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X Capítulo 0. Summary 2.3. The spectral theorem

As a consequence of the theorem of the previous section, we obtain the spectral theorem for boun-ded normal operators:

Theorem. If T ∈B(H) is a normal operator, then there exists a unique spectral measure E on the Borel subset ofσ(T)which satisfies:

T =

Z

σ(T)

λdE(λ).

The spectral measureEthat gives this theorem describes thespectral decomposition of T.

Clearly, the proof of the theorem is based on the previous one particularizing to a single operator. If E is the spectral decomposition of a normal operator T ∈B(H) and f is a bounded Borel functions onσ(T),sinceΦ(f) = f(T),will have

f(T) =

Z

σ(T)

f(λ)dE(λ).

In particular the spectral decomposition of the identity operatorI is I= Z σ(T) dE(λ).

3. Applications

3.1. Basis properties

LetHbe a Hilbert space, an operatorT∈B(H)andσ(T)its spectrum. A numberλ is an eigen-valueofT if ker(T−λI)6=0 and its correspondingeigenspaceis ker(T−λI).

Thepoint spectrumσp(T)ofT is the set of all eigenvalues ofT.

Ifλ ∈σp(T)andT x=λxwithx6=0,thenxis aneigenvectorofT corresponding to the

eigen-valueλ.

Theorem. A normal operator T ∈B(H)is self-adjoint if and only ifσ(T)⊂R. Theorem. If T ∈B(H),then

hT x,xi ≥0∀x∈H⇔T=T∗andσ(T)⊂[0,∞).

IfT ∈B(H)satisfies thathT x,xi ≥0,we callT apositiveoperator. 3.2. Eigenvalues of normal operators

Theorem. If T∈B(H)is a normal operator and E is its spectral decomposition, then the following assertions are true:

a) If f ∈C(σ(T)),thenker(f(T)) =Im(E(f−1(0))).

b) For everyλ∈σ(T),ker(T−λI) =Im(E({λ})).

c) Supposeλ ∈σ(T).Thenλ is an eigenvaue of T if and only if E({λ})6=0. El teorema espectral de operadores acotados

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XI

d) If the spectrum of T is a countable set, then every x∈H has a unique expansion of the form x= ∞

∑

i=1 xi with T xi=λixi.Also, xi⊥xj, i6= j.

Next, will describe the spectrum of normal compact operators in Hilbert space. But first it is necessary to define the concept of compact operator.

A linear operatorT between two Banach spacesX andY,is said to becompactifT(BX(0,1))is

compact inY,whereBX(0,1)is the open unit ball inX.

A normal operator T ∈B(H)is compact if and only if all points ofσ(T),except possibly 0, are

isolated and their corresponding eigenspaces are finite dimensional.

In the next section,3.3. Applications to equations with compact normal operators, we want to find the solution to the functional equation

x=λT x+y,

whereT∈B(H)is a compact normal operator,λ∈Candy∈H; specifying theFredlom alternative: Either, for each y∈H,the equation x=λT x+y has a unique solution, or the homogeneous equation x=λT x has a non-zero solution, in which case the complete equation has a solution if and only if y

is ortogonal to each solutions of the homogeneous equation.

The latter section, 3.4. Fredholm integral equations discusses the Fredholm equations of the second kind

f(s) =

Z b

a

K(s,t)f(t)dt+g(s)

withK, gknown functions and f a function to determine. As in the previous section, the Fredholm alternative is specified.

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Índice general

Prólogo III

Summary V

1. Álgebras de Banach 1

1.1. Definición y primeras propiedades . . . 1

1.2. Representación de Gelfand . . . 5

2. Teoría espectral de operadores normales acotados 13 2.1. Cálculo funcional continuo para operadores normales . . . 13

2.2. Medida espectral . . . 16

2.3. Teorema espectral . . . 20

3. Aplicaciones del teorema espectral 23 3.1. Primeros resultados . . . 23

3.2. Valores propios de operadores normales . . . 25

3.3. Resolución de ecuaciones con operadores normales compactos . . . 28

3.4. Ecuaciones integrales de Fredholm . . . 29

Bibliografía 31

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Capítulo 1

Álgebras de Banach

En este capítulo se exponen algunos resultados elementales sobre la teoría de Gelfand de las álgebras de Banach que hay que tener en cuenta para el posterior desarrollo del trabajo.

1.1. Definición y primeras propiedades

Se dan por sentado los hechos básicos sobreespacios de Banach, que por definición son espacios normados y completos; es decir, espacios normados tales que toda sucesión de Cauchy en ellos es convergente.

Definición 1.1.1. Un espacio A se llama álgebra de Banachsi A es un espacio de Banach sobreC con una multiplicación asociativa y distributiva tal que∀x,y∈A,α ∈Cse cumple:

α(xy) = (αx)y=x(αy) y kxyk ≤ kxkkyk.

Se dirá que A posee unidad si existe e∈A(unidad)tal que xe=ex=x,∀x∈A conkek=1. Se dirá que A es conmutativa si xy=yx, ∀x,y∈A.

Ejemplos

Un ejemplo trivial es C con el producto usual de números complejos, con elemento unidad 1+i0=1.

El espacio de las funciones continuas con valores complejos sobre un espacio topológico compactoKcon la norma del supremo, denotado porC(K), es un ejemplo de álgebra de Banach conmutativa con la función constante 1 como unidad del espacio. En este caso las operaciones son la de suma y producto punto a punto de las funciones.

Otro ejemplo de álgebra de Banach, no conmutativa, es el espacio de operadores lineales y acotados sobre un espacio de Banach X, que se denotará porB(X). El producto en este espacio se define como la composición de operadores, y la unidad es el operador identidad I.

L1(Rn) ={f :Rn→C:R_Rn|f|<∞}con el producto llamado convolución y denotado por∗.

Se define de la siguiente manera:

(f∗g)(s) =

Z

Rn

f(s−t)g(t)dt f,g∈L1(Rn). L1(Rn)es conmutativa pero no posee unidad.

Cuando X es un espacio de HilbertX =H existe una relación estrecha entre el espacioC(K) y B(H),que se manifiesta en la parte de la teoría de álgebras de Banach que se dedica a la teoría espectral.

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2 Capítulo 1. Álgebras de Banach

Definición 1.1.2. Sea A álgebra de Banach con unidad e∈A. Se dice que un elemento x∈A es

inversiblesi existe un elemento y∈A tal que

yx=xy=e. En este caso, el inverso y de x es único y se denota por x−1.

El conjunto de los elementos inversibles de A se denota como A−1. Claramente, A−1es un grupo. Proposición 1.1.3. Sea A álgebra de Banach y x∈A conkxk<1.Entonces

a) e−x∈A−1,

b) k(e−x)−1−e−xk ≤ kxk

2

1− kxk.

Demostración. Sea la sucesiónsn=e+x+x2+· · ·+xn.

Se cumple que

ksn+1−snk=kxn+1k ≤ kxkn+1

y comokxk<1 se tiene queksn+1−snk →0.

Sea ahoram,n∈_Nconm≥n.Se tiene que

ksm−snk=kxn+1+· · ·+xmk ≤ kxkn+1+· · ·+kxkm = ∞

∑

k=n kxkk− ∞

∑

k=m+1 kxkk−−−−→ n,m→∞ 0

pueskxk<1 y por lo tanto la sucesión es de Cauchy.

Por serAcompleto se deduce que existe s∈Atal quesn→s.

Además, comoxn→0 y

sn(e−x) =e−xn+1= (e−x)sn,

se deduce, haciendon→∞,ques(e−x) =e= (e−x)s; es decir,ses el inverso dee−x.

Para el segundo apartado se utiliza lo anterior y así se tiene que

ks−e−xk=ke+x+x2+· · · −e−xk=kx2+x3+· · · k ≤

∞

∑

n=2

kxkn.

La hipótesiskxk<1 implica que la última serie es convergente con suma

∞

∑

n=2

kxkn₌ kxk2

1− kxk.

Teorema 1.1.4. Si A es un álgebra de Banach entonces

El grupo A−1de los elementos inversibles de A, es un subconjunto abierto de A. La aplicación x∈A−17→x−1∈A−1es un homeomorfismo.

Demostración. Para demostrar la primera afirmación se prueba que: dadox∈A−1,h∈Acon khk<1

2kx −1_k−1

se tiene quex+h∈A−1.

(17)

1.1. Definición y primeras propiedades 3

En efecto, nótese quex+h=x e+x−1hykx−1_hk_< 1

2,con lo cual, por la proposición anterior

se tiene quee+x−1h∈A−1y por lo tantox+h∈A−1.

Además, por el apartadob)de la misma proposición, se cumple que k e+x−1h−1−e+x−1hk ≤ kx

−1_hk2

1− kx−1_hk.

Multiplicando ahora porkx−1_k_{y sabiendo que}_kx−1_hk_< 1

2,se obtiene

k e+x−1h−1x−1−ex−1+x−1hx−1k ≤2kx−1hk2kx−1k. Es decir,

k(x+h)−1−x−1+x−1hx−1k ≤2kx−1_k3_khk2_. _(1.1)

Para que la aplicaciónx7→x−1sea un homeomorfismo tiene que ser biyectiva y continua con la inversa continua.

De la formula (1.1) se deduce la continuidad de la aplicación, pues dadosx,x+h∈A−1con kx+h−xk=khk< 1

2kx −1_k−1

se cumple que

k(x+h)−1−x−1k ≤2kx−1k3khk2+kx−1k2khk.

Finalmente, ya que la aplicación coincide con su propia inversa se concluye que es un homeomorfismo deA−1enA−1.

Definición 1.1.5. Dada A álgebra de Banach y x∈A,se define comoespectrode x al conjunto

σ(x) ={λ∈C:x−λe no inversible en A}

El complementario deσ(x)se llamaconjunto resolventede x, es decir, el conjunto

{λ ∈C:∃(x−λe)−1∈A}.

Al número

ρ(x) =sup{|λ|:λ∈σ(x)}

se le llamaradio espectralde x.

Teorema 1.1.6. Si A es álgebra de Banach con unidad y x∈A, entonces el espectro de x es un compacto no vacío del plano complejo.

Demostración. Sea|λ|>kxk,lo que implica|λ−1|kxk<1 y así por la proposición anterior se tiene

quee−λ−1x∈A−1,es decirλe−x∈A−1.

Luegoλ ∈/σ(x),lo que implica queσ(x)⊆B(0,kxk)y asiσ(x)es acotado.

Para probar queσ(x)es cerrado se define la función

g:C→A

λ7→λe−x.

Evidentementeges continua y por tanto el conjunto resolvente,C\σ(x) =g−1(A−1),es un abierto

ya que lo esA−1,por el Teorema 1.1.4. Por consiguienteσ(x)es cerrado y, al ser también acotado es

compacto.

(18)

Se considera ahora la función f :C\σ(x)→A−1 definida por la fórmula f(λ) = (λe−x)−1_.

Procediendo igual que en la demostración de la Proposición 1.1.3, con

sn=e+ x λ + x2 λ2+· · ·+ xn λn y |λ −1_|kxk_<_1.

Se obtiene al hacer tenderna∞,que el inveso dee−λ−1x,es

s=

∞

∑

n=0

λ−nxn.

Es decir,(λe−x)−1=λ−1s,con lo cual

f(λ) = (λe−x)−1=∑∞n=0λ−(n+1)xn (1.2) = 1 λe+ 1 λ2x+· · ·+ 1 λn+1x n₊_{· · ·} = 1 λ · 1 1−λ−1x,

cuando|λ|>kxk.En particular, f es holomorfa (o analítica) con valores enA. Por tanto siϕ es un

funcional lineal continuo definido sobreA, se tiene que

ϕ(f(λ)) =

∞

∑

n=0

λ−(n+1)ϕ(xn)

es holomorfa sobre el conjunto resolvente dex, que se anula en el infinito.

Siσ(x)fuera vacío, entoncesϕ(f(λ))sería entera y acotada (por anularse en∞). Por el teorema

de Liouville,ϕ◦ f sería identicamente nula y luego por Hahn-Banach f(λ) = (λe−x)−1 también

sería cero, lo cual es imposible. Entoncesσ(x)no es vacío, quedando así demostrado el teorema.

Corolario 1.1.7. Sea A un álgebra de Banach con unidad y x∈A, entoncesρ(x)≤ kxk,∀x. De hecho ρ(x) = l´ım

n→∞

(kxn_k)1/n₌_´ınf n≥1(kx

n_k)1/n_.

Demostración. Se ha visto en la demostración anterior queσ(x)⊆B(0,kxk).Por lo tanto, siλ∈σ(x)

se tiene que|λ| ≤ kxk, es decir

ρ(x)≤ kxk,∀x. (1.3)

También en el curso de la demostración anterior se ha establecido que, si|λ|>kxkentonces

ϕ(f(λ)) =

∞

∑

n=0

λ−(n+1)ϕ(xn)

es analítica en la bola de centro 0 y radior>kxky que se anula en el infinito, con la función f dada por la fórmula (1.2). Por la relación (1.3), se puede reemplazar la condiciónr>kxkporr>ρ(x).

Luego{λ−(n+1)xn}∞_n₌₀es acotada para todo|λ|>ρ(x).Sea entoncesM(λ)>0 tal que

kλ−(n+1)xnk<M(λ) con |λ|>ρ(x). Se obtiene kxnk ≤ |λ|n+1M(λ). Por lo tanto l´ım sup n→∞ kxnk1/n≤ |λ|, |λ|>ρ(x).

(19)

1.2. Representación de Gelfand 5

Luego

l´ım sup

n→∞

kxnk1/n≤ρ(x). (1.4)

Por otro lado, se tiene que

λne−xn= (λe−x)(λn−1e+· · ·+xn−1),

Siλ ∈σ(x) implica queλne−xn no es inversible, con lo cualλn∈σ(xn).Utilizando de nuevo la

relación (1.3) se tiene que|λn| ≤ kxnkpara todon∈N,de donde se deduce que

ρ(x)≤´ınf n≥1kx

n_k1/n_.

Finalmente, reescribiendo la última relación y la (1.4), en la desigualdad

l´ım sup n→∞ kxnk1/n≤ρ(x)≤´ınf n≥1kx n_k1/n_≤ l´ım inf n→∞ kxnk1/n,

se tiene igualdad, pues siempre se cumple que l´ım infn→∞kxnk1/n≤l´ım supn→∞kx

n_k1/n_.

El teorema previo y el que viene a continuación son los resultados que generan la representación de Gelfand.

Teorema 1.1.8(Gelfand-Mazur). Si A es álgebra de Banach tal que∀x∈A,x6=0,∃x−1∈A, entonces A es isométricamente isomorfa al álgebra de los números complejos.

Demostración. Seax∈A. Por el Teorema 1.1.6, se tiene que el espectro dexes no vacío y así ∃λ∈σ(x)tal que@(x−λe)−1en A. Luego, comox−λe∈Ade la hipótesis se deduce que

necesa-riamentex−λe=0, es decirx=λe.

Así la aplicación que asocia a cadax∈Asu correspondienteλ∈Ces un isomorfismo que cumple |λ|=kλek=kxk,∀x∈A.

1.2. Representación de Gelfand

La teoría de Gelfand sobre álgebras de Banach conmutativas depende de tres conceptos funda-mentales: homomorfismos complejos, ideales maximales y espectros.

Definición 1.2.1. Sea A álgebra compleja. Un funcional lineal complejoϕde A se llamahomomorfismo complejode A si para cada x∈A y y∈A se cumple

ϕ(xy) =ϕ(x)ϕ(y).

Se llamacarácterde A a cualquier homorfismo complejo no idénticamente nulo.

Evidentemente, todo carácter de un álgebra de BanachAcumpleϕ(e) =1,coneelemento unidad, pues dadoy∈Atal queϕ(y)6=0 se tiene que

ϕ(y) =ϕ(ye) =ϕ(y)ϕ(e).

Se denota porΦAal conjunto de caracteres deA.

Definición 1.2.2. Sea A álgebra conmutativa con unidad. Un subespacio vectorial J de A se diceideal

si xy∈J siempre que x∈A,y∈J.Un ideal J de A se dicepropiosi J6=A y esmaximalsi es propio y no está contenido en otro ideal de A.

(20)

Observación. Todo ideal propioJdeAestá contenido en algún ideal maximal deA.SiJes un ideal entoncesJ(la clausura topológica deJ) es un ideal deA.

Nótese que si x∈Atal que ke−xk<1 entonces x∈A−1,pues si ke−xk<1,implica por la relación (1.3), que 1 es elemento del conjunto resolvente dee−xy por la Proposición 1.1.3,

x=e−(e−x)∈A−1.

Por lo tanto, siJ es un ideal propio deA,también lo esJ,ya que siJ=Aentonces existex∈J conke−xk<1,es decirxx−1=e∈Jy asíJ=A.

En particular, siM es ideal maximal deA entoncesM es un ideal propio de A, pero por serM maximal, necesariamenteM=M,luego todo ideal maximal es cerrado.

De estas definiciones se deducen las siguientes propiedades:

Propiedades 1.2.3. Sea A álgebra de Banach conmutativa con unidad yΦAel conjunto de caracteres

de A.

a) x∈A−1⇔x∈/J,para todo J ideal propio de A. b) x∈A es inversible⇔ϕ(x)6=0, ∀ϕ∈ΦA.

c) σ(x) ={ϕ(x):ϕ∈ΦA},∀x∈A.

d) Siϕ∈ΦA,entoncesker(ϕ)es ideal maximal.

Demostración. El segundo apartado es consecuencia del hecho de que dadoϕ,carácter deA,y x∈A−1se cumple

1=ϕ(e) =ϕ(xx−1) =ϕ(x)ϕ(x−1).

Por tantoϕ(x)6=0 y entonces si λ ∈σ(x)implica quex−λees no inversible y por lo anterior se tiene queϕ(x)es nulo, es decirϕ(x) =λ.Esto prueba el tercer apartado.

Para probar la propiedadd), consideramosϕ∈ΦA.Porb)se deduce que six∈ϕ−1(0)se tiene que

xes inversible y luego pora),ϕ−1(0)es un ideal propio deA.Hay que probar queϕ−1(0)es maximal.

Suponiendo que no lo sea, se tiene queϕ−1(0)⊆M,Mideal maximal deA.Si existex∈Mtal que ϕ(x)6=0,entonces de nuevo por el apartadob)se tiene que existex−1∈A,con lo cualx−1x=e∈M

y asíM=A.

SiMes un ideal maximal deAse tiene queMes cerrado y asíA/M,cuyos elementos son de la formax+Mconx∈A,es un espacio de Banach respecto a la norma

kx+Mk=´ınf

y∈Mkx+yk. (1.5)

Seax∈Ay la aplicación cocienteϕM:A→A/Mdada por ϕM(x) =x+M.

Six, y∈Ason tales queϕM(x) =ϕM(x0)yϕM(y) =ϕM(y0),es decirx−x0∈Myy−y0∈Mentonces

x0y0−xy= (x0−x)y0+x(y0−y)∈M. Por lo tantoϕM(x0y0) =ϕM(xy).Así se define el producto enA/Mcomo

(x+M)(y+M) =xy+M

o equivalentemente ϕM(x)ϕM(y) =ϕM(xy). Luego ϕM es un homomorfismo y es continuo, pues

kϕM(x)k ≤ kxk,∀x∈Apor definición de la norma (1.5). El teorema espectral de operadores acotados

(21)

La misma fórmula, (1.5), implica que parax∈Ase cumple que kx+yk ≤ kϕM(x)k

para algúny∈M.Nótese que parax,x0∈Ayy,y0∈Mse tiene (x+y)(x0+y0) =xx0+M, con lo cual

kϕM(xx0)k ≤ k(x+y)(x0+y0)k ≤ kx+ykkx0+y0k.

Es decir,

kϕM(x)ϕM(x0)k ≤ kϕM(x)kkϕM(x0)k

siendo entoncesA/Mun álgebra de Banach.

Si e es el elemento unidad de A, se cumple que ϕM(e)6=0, y la última relación implica que

kϕM(e)k ≥1=kek.Por otro lado, por la continuidad deϕM(x)se tiene quekϕM(e)k ≤ kek=1.En

consecuenciae+Mes la identidad enA/MconkϕM(e)k=1.

Teorema 1.2.4. Si A es un álgebra de Banach conmutativa con unidad y M un ideal maximal de A entonces A/M es isométricamento isomorfo aC.

Demostración. La aplicación cociente definida como antes,ϕM:A→A/Mresulta que es un carácter

de A, lo cual prueba que para cualquier ϕM(x)6=0 existe su inverso en A/M.Por el teorema de

Gelfand-Mazur,A/Mes isométricamente isomorfo aC.

Definición 1.2.5. Al conjunto de los ideales maximales de A, que se denota por SpecA,se le llama

espectro deA.

Teorema 1.2.6. Sea A álgebra de Banach conmutativa con unidad yΦAel conjunto de caracteres de

A. Entonces,

a) Todo ideal maximal de A es el núcleo de algúnϕ∈ΦA.

b) kϕk=1para todoϕ∈ΦA.

Demostración. a)SeaMun ideal maximal deA.AsíMes cerrado yA/Mes un álgebra de Banach. Por el Teorema 1.2.4,A/Mes isomorfo aC.SeaϕM la aplicación cociente

ϕM:A→A/M∼=C. Claramente,ϕMes un carácter yM=ker(ϕM).

Ahora poniendoϕ=h◦ϕM,se tiene queϕ∈ΦA,conϕ(e) =1 y queM=ker(ϕ).

b)Debido a queϕ(e) =1 se tiene quekϕk ≥1.Ahora, por definición

kϕk= sup

kxk<1

|ϕ(x)|,

y por tanto sikϕk>1,existex∈Atal que kxk<1 yϕ(x) =1.Por la Proposición 1.1.3, e−x es

inversible enA.Luego,

ϕ(e) =ϕ (1−x)(1−x)−1= (ϕ(e)−ϕ(x))ϕ (1−x)−1=0,

lo cual es contradicción conϕ(e) =1.Asíkϕk=1.

(22)

En conclusión, este teorema y el apartadod)de la Propiedad 1.2.3, afirman que: M es un ideal maximal en A si y sólo si M es el núcleo deϕ para algúnϕ∈ΦA.

Esto significa que todos ideales maximales deA se pueden identificar con los caracteres de A, SpecA≡ΦA.

Este último hecho y el quekϕk=1,permiten identificar aSpecAcon un subconjunto de la esfera

unitariaΩA del dualA0 de A.Se define la topología de Gelfanden SpecA como la topología débil inducida por la del dualA0 deA,σ(A0,A).Nótese que la topología débil enAinducida por el dualA0,

es la mínima topología que hace continuos a los elementos deΦA.

Por tantoSpecA es un compacto, ya queΩA es un compacto, por el teorema de Alaoglu-Bourbaki (véase [B, p.193]).

Definición 1.2.7. Sea A un álgebra de Banach conmutativa con SpecA su espectro de ideales maxi-males. Se define latransformada de Gelfandde x∈A como la función

b

x:SpecA→_C definida por

b

x(ϕ) =ϕ(x)

para todo x∈A yϕ∈SpecA.

SeaA el conjunto de todas las funcionesb x,_b para x∈A.Con la topología de Gelfand en SpecA inducida

porA,b se tiene quex es continua._b

Latransformación de Gelfandes el homomorfismo de A en el álgebra de las funciones continuas sobre SpecA dado por

G:A→Ab⊆C(SpecA)

x→x_b : SpecA→_C Observación. La transformada de Gelfand satisface la relación

kxk_b ∞=ρ(x)≤ kxk,∀x∈A, (1.6)

que es consecuencia del Corolario 1.1.7 y de la Propiedad 1.2.3,c), pues k_bxk∞= sup

ϕ∈SpecA

|_bx(ϕ)|= sup

ϕ∈SpecA

|ϕ(x)|=ρ(x)≤ kxk.

En la siguiente definición se introduce una versión abstracta de la conjugación compleja. Entre las álgebras de Banach, las que poseen involución son muy importantes en teoría de operadores, ya que los operadores en espacios de Hilbert tienen adjunto, y éste juega un papel importante en la descomposión espectral.

Definición 1.2.8. Unainvoluciónoconjugaciónen un álgebra A es una aplicación∗:A→A que ∀x,y∈A yλ ∈C,verifica:

i) (x+y)∗=x∗+y∗, ii) (λx)∗=λx∗,

iii) (xy)∗=y∗x∗, iv) x∗∗=x.

(23)

Si se cumple que x∗=x entonces se dice que x eshermitianooautoadjunto. Se dice que x∈A esnormalsi x x∗=x∗x.

Toda álgebra de Banach dotada de una involución que satisfacekxx∗k=kxk2_{para cada x}_∈_A,_se

llama C∗-álgebray si tiene unidad e se debe cumplir que e∗=e.

Definición 1.2.9. Si A es un álgebra con una involución, decimos que un subconjunto S⊂A es

normalcuando

i) xy=yx,∀x,y∈A ii) x∗∈A,∀x∈A.

Ejemplos

Ccon la norma dada por el valor absoluto y con involución:z∗=zparaz∈C,es unaC∗-álgebra conmutativa con unidad.

De nuevo, el espacioC(K)definido al inicio de la sección, con la involución f∗(x) = f(x)para f ∈C(K)yx∈K.

SiAes unaC∗-álgebra, toda subálgebra con involución y cerrada enAes unaC∗-álgebra. El resultado básico fundamental de la teoría deC∗-álgebras es el siguiente:

Teorema 1.2.10(Gelfand-Naimark). Si A es una C∗-álgebra conmutativa con unidad y ∆:=SpecA es su espectro de ideales maximales, entonces la transformación de Gelfand G:A→C(∆) es un

isomorfismo isométrico tal que

(x∗)b=

b

x, ∀x∈A, o equivalentementeϕ(x∗) =ϕ(x)para cadaϕ∈∆y x∈A. Por tanto, x es hermitiano⇔_bx es real.

Nótese que en particular el teorema muestra que la transformada de Gelfand convierte la involu-ción en conjugainvolu-ción compleja.

Demostración. Seau∈Atal queu=u∗ yϕ ∈∆.Se quiere verϕ(u)es real. Para esto se considera

z=u+itecont∈_Ryeel elemento unidad de A. Siϕ(u) =α+iβ conα yβ reales, entonces

ϕ(z) =α+i(β+t) y zz∗=u2+t2e,

pues

zz∗= (u+ite)(u∗−ite) =uu∗−itu+itu∗+t2e. Así

α2+ (β+t)2=|ϕ(z)|2≤ kzk2=kzz∗k ≤ kuk2+t2,

es decir,

α2+β2+2βt≤ kuk2 ∀t∈R, lo que implica que necesariamenteβ =0.

Six∈A,entoncesx=u+ivconu=u∗,v=v∗; a saber, u=x+x

∗

2 y v=

x−x∗ 2i

(24)

nótese quex∗=u−iv.Por tanto, comoϕ(u), ϕ(v)son números reales,

ϕ(x∗) =ϕ(u)−iϕ(v) =ϕ(u) +iϕ(v) =ϕ(x).

Considerando ahoray=xx∗ conx∈A se tiene quey=y∗.Como AesC∗-álgebra implica que ky2_k₌_kyk2_._{Por inducción se obtiene que}_kym_k₌_kykm_, _∀_m₌₂n_, _n_∈

N. Entonces, por la fórmula (1.6) y Corolario 1.1.7, se tiene que

k_byk_∞=ρ(y) = l´ım n→∞ ky2nk2 −n = l´ım n→∞ kyk2n2 −n =kyk. Pero b y= (xx∗)b= (x∗)b b x=bxbx=|bx| 2_,

es decir, se cumple la igualdad en normas

k_bxk2_∞=k_byk∞=kyk=kxx

∗_k₌_kxk2_, _∀x_∈_A,

lo cual significa que la transformación de Gelfand es isométrica.

Luego, por serAcompleto yGuna isometría resulta queAbes cerrado enC(∆.)En particular, la

fórmula del enunciado muestra que sibx∈Abentonces el conjugado complejobxdexbtambién está enA.b

El teorema de Stone-Weierstrass afirma que dadaAuna subálgeba cerrada deC(K),Kun espacio compacto que contiene la unidade,separa puntos deK(es decir, six,y∈Kconx6=y,∃f ∈Atal que

f(x)6= f(y)) y que si f∈Atambién f ∈A, se tiene queAes denso enC(K).

Nótese que Abcumple las hipótesis del mismo y por lo tantoAbes denso enC(∆),luegoAbdebe

coincidir conC(∆).

Un caso particular del teorema anterior es el siguiente corolario:

Corolario 1.2.11. Si A es una C∗-álgebra conmutativa con unidad generada por un elemento x∈A; es decir, tal que los polinomios en x y x∗son densos en A, entoncesψ : C(σ(x))→A dado por

(ψf)b= f◦

b

x es un isomorfismo isométrico tal que

ψf= (ψf)∗ para todo f ∈C(σ(x)).Además, si f(λ) =λ entoncesψf =x.

Demostración. Sea∆=SpecAel espectro deAyϕ∈∆.Se tiene que_bx: ∆→Ces una aplicación continua tal quebx(ϕ) =ϕ(x),dondebxes la transformada de Gelfand en∆.Por la Propiedad 1.2.3,c)

se tiene queϕ(x)∈σ(x).A continuación se prueba que la aplicación

ϕ∈∆7→ϕ(x)∈σ(x)

es un homeomorfismo entre compactos. Seaϕ1,ϕ2∈∆de manera que

b

x(ϕ1) =x(bϕ2),

es decir,ϕ1(x) =ϕ2(x).

El teorema de Gelfand-Naimark implica queϕ1(x∗) =ϕ2(x∗).SeaPun polinomio en dos

varia-bles. Ya queϕ1yϕ2son homomorfismos, resulta que

ϕ1(P(x,x∗)) =ϕ2(P(x,x∗)).

(25)

Por hipótesis, los elementos de la formaP(x,x∗)son densos enA.Se puede concluir queϕ1(y) =ϕ2(y)

paray∈A.Asíϕ1=ϕ2,con lo cualxbes inyectiva. Más aún,xbes continua con∆compacto y por tanto b

xes un homeomorfismo de∆enσ(x).

Luego existe un isomorfismo isométrico deC(σ(x)) en C(∆) tal que f 7→ f◦_bx que conserva la conjugación compleja. Y de nuevo por el teorema anterior, como(ψf) =G−1(f◦bx),se tiene la

conclusión.

Si f(λ) =λ entonces f◦x_b=_bxy asíψf=x.

A continuación se completará esta sección con un lema que también será util en la teoría del cálculo funcional continuo que se verá en el siguiente capítulo.

Observación. Si el álgebraAes una subálgebra de un álgebraB,puede ocurrir que algún elemento x∈Ano es inversible enA,pero es inversible enB.Por tanto el espectro depende del álgebra. De la definición del espectro se sigue que

σB(x)⊆σA(x),

y en general no hay coincidencia de estos dos conjuntos. En el caso deC∗-álgebras se tiene el siguiente teorema:

Teorema 1.2.12. Si B es una C∗-álgebra con x un elemento normal de B y A una subálgebra con involución y cerrada de B que contiene la unidad e y x∗∈A,∀x∈A,entonces

σA(x) =σB(x), ∀x∈A.

Demostración. Véase [Z, Theorem 24.6].

El teorema anterior permite evitar ambigüedades en la elección del espectro.

(26)

(27)

Capítulo 2

Teoría espectral de operadores normales

acotados

2.1. Cálculo funcional continuo para operadores normales

En esta sección se aplicarán los resultados de la teoría espectral de Gelfand, del capitulo anterior, al estudio de operadores normales acotados sobre un espacio de Hilbert. Con el objetivo de fijar la notación que será usada, es conveniente recordar la definición de unespacio de Hilbert, que se denotará porH conh·,·isu producto escalar. El producto escalar da lugar a una norma k · kque se define como

kxk:=phx,xi.

Hes un espacio de Hilbert si es completo con respecto a esta norma. Cada espacio de Hilbert es así también un espacio de Banach.

A lo largo del trabajo, se denotará porB(H)al álgebra de Banach de operadores lineales y acotados T sobre un espacio de HilbertHcon la norma

kTk=sup{kT xk:x∈H,kxk ≤1}. Un operadorT es acotado sikTk<∞.

El siguiente resultado de Análisis Funcional será de gran utilidad a lo largo de este capítulo.

Teorema 2.1.1(Teorema de Riesz). Sea H un espacio de Hilbert yϕ∈H0,donde se ha denota por H0el espacio dual de H. Entonces existe un único y∈H tal que

ϕ(x) =hx,yi

para todo x∈H.Además se cumple quekϕk=kyk.

Demostración. Para la demostración se puede consultar [M, p.111].

Definición 2.1.2. Dado T∈B(H)existe un único operador T∗∈B(H)definido por la relación hT x,yi=hx,T∗yi ∀x,y∈H.

Decimos entonces que el operador T∗es eloperador adjuntode T.

Un operador T se dicenormalsi T T∗=T∗T,y se dicehermitianooautoadjuntosi T =T∗. T esunitariosi T∗T =I=T T∗donde I es el operador identidad en H.

Siempre se tiene quekT∗_k₌_kT_k.

(28)

14 Capítulo 2. Teoría espectral de operadores normales acotados

La existencia y unicidad del operador adjunto es consecuencia del teorema de Riesz, porque, fijado y∈H,la aplicación

H→_C x7→ hT x,yi es lineal y continua, o sea, deH0.

La aplicaciónT →T∗es una involución enB(H)cumpliendo las propiedades 1. (αT+βS)∗=αT∗+βS∗,

2. (ST)∗=T∗S∗, 3. T∗∗=T.

4. I=I∗,y siT es inversible(T−1)∗= (T∗)−1.

Aplicando ahora las propiedades de la norma y del producto escalar se tiene que

kT∗Tk ≤ kT∗kkTk=kTk2_,

Por otra parte, de la desigualdad de Cauchy-Schwarz en espacios de Hilbert se deduce que para todo x∈H,

kT xk2₌_{hT x,}_{T xi}₌_hx,T∗_{T xi ≤ kxkkT}∗_{T xk ≤ kxk}2_kT∗ Tk. Es decir,kTk2_{≤ kT}∗_T_k._{Por lo tanto}

kTk2=kT∗Tk,∀T ∈B(H).

En consecuencia,B(H)resulta ser unaC∗-álgebra (no conmutativa), con lo cual se puede aplicar la teoría presentada en el capítulo inicial.

A continuación se destacan algunas propiedades de los operadores normales en un espacio de Hilbert:

Proposición 2.1.3. Sea T∈B(H).

a) T es normal si y sólo si para cada x∈H se tienekT xk=kT∗_xk.

b) Si T es normal y si para algunos x∈H yλ∈Cse tiene que T x=λx,entonces T∗x=λx.

c) Si T normal entonces existeλ ∈σ(T)tal que|λ|=kTk.

Demostración. El primer apartado es trivial si considerandox∈Hse calcula kT xk2₌_{hT x,T xi}₌_hT∗_{T x,xi}

y

kT∗xk2₌_hT∗_x,

T∗xi=hT T∗x,xi=hT∗T x,xi.

Para elb), comoT es normal entoncesT−λI también lo es y por la partea)se tiene que

0=kT x−λxk=k(T−λI)xk=k(T−λI)∗xk

=k(T∗−λI)xk=kT∗x−λxk.

De dondeT∗x=λx.

(29)

2.1. Cálculo funcional continuo para operadores normales 15

La propiedadc)se prueba haciendo uso de queB(H)es unC∗-álgebra, es decir quekT2_k₌_kT_k2_.

Por inducción se obtiene quekT2k

k=kTk2k

parak∈N,como en el Teorema 1.2.10. Luego, aplicando el Corolario 1.1.7, resulta que

ρ(T) =l´ım n→∞ kTn_k1/n₌_l´ım k→∞ kT2k_k1/2k₌ _l´ım k→∞ kTk=kTk. Finalmente, por serσ(T)compacto,

kTk=ρ(T) = sup

λ∈σ(T)

|λ|= m´ax

λ∈σ(T) |λ|.

Teorema 2.1.4(Cálculo funcional continuo). Sea T∈B(H)un operador normal sobre un espacio de Hilbert H, de modo que T T∗=T∗T.Existe un único *-homomorfismo

ΦT :C(σ(T))→B(H)

tal queΦT(u) =I y ΦT(v) =T,donde u(λ) =1, v(λ) =λ para cadaλ ∈σ(T).Además, ΦT es

isométrico y su rango es la subálgebra cerrada (conmutativa) C generada por I, T y T∗,donde I es la identidad sobre H.

Demostración. El último lema del capítulo anterior 1.2.12, permite escribir que

σC(T) =σB(H)(T),

conCla subálgebra cerrada (conmutativa)Cgenerada porI,T yT∗.

Por el teorema de Gelfand-Naimark, la transformación de Gelfand G de C es un isomorfismo isométrico deCenC(SpecC).Además, por el Corolario 1.2.11 se tiene queSpecCes homeomorfo a

σ(T)via el homeomorfismo

b

T :SpecC→σ(T).

Considerando f∈C(σ(T))se defineΦT(f)como el único elemento deCtal que ΦT(f) =G−1(f◦Tb).

Se verifica queΦT es un *-homomorfismo deC(σ(T))enB(H),y ΦT(u) =G−1(u◦Tb) =I, ΦT(v) =G−1(v◦Tb) =T, ΦT(v) =G−1(v◦Tb) =T∗, puesu◦Tb=1 yv◦Tb=Tb.Más aún, kΦT(f)k=k(ΦT(f))bk ∞=kf◦Tbk∞ =sup{|f(Tb(ϕ))|:ϕ∈SpecC} =sup{|f(λ)|:λ∈σ(T)}=kfk∞,

lo cual significa queΦT es isométrico.

Queda por ver que el rango de ΦT esC. De las propiedades que tiene ΦT se deduce que su

rango es una subálgebra cerrada deB(H)que contiene aI,T yT∗,es decirΦT(C(σ(T)))⊃C.Por

otra parteΦ−_T1(C) es una subálgebra cerrada deC(σ(T))conteniendo a 1 yu,lo cual implica que Φ−_T1(C) =C(σ(T))y por lo tantoΦT(C(σ(T)))⊂C.

Definición 2.1.5. Con las notaciones del teorema anterior, se define f(T) =ΦT(f)para todo

f ∈C(σ(T)).

(30)

Corolario 2.1.6(Teorema de la aplicación espectral y Regla de composición). Si T es un operador normal sobre un espacio de Hilbert H, entonces

i) Para cada f ∈C(σ(T))se tiene

σ(f(T)) = f(σ(T)).

ii) Para cada f ∈C(σ(T))y g∈C(σ(f(T)))se tiene (g◦f)(T) =g(f(T)).

Demostración. i) Sea f ∈C(σ(T)).Con la notación f(T) =ΦT(f)del teorema anterior, se tiene

queσ(f(T))es el rango de la transformada de Gelfand deΦT(f),es decir (ΦT(f))b= f◦

b

T.

ii) Considerando f ∈C(σ(T))se tiene que por el apartado i),σ(f(T)) = f(σ(T)).Esto prueba

que existeg◦f cuandog∈C(σ(f(T))). Sea entonces

Φ:C(σ(f(T)))→B(H)

tal queΦ(g) = (g◦f)(T).Se cumple que

Φ(v) = (v◦f)(T) = f(T),

cuandov(λ) =λ es la función identidad enσ(T).Además,Φ(1) = (1◦f) =1.

Esto prueba queΦes un *-homomofismo y satisface la hipótesis del Teorema 2.1.4 para f(T) normal enB(H)(ya que f(T) =ΦT(f)por la Definición 2.1.5). Por tantoΦ(g)se puede

iden-tificar conΦf(T)(g) =g(f(t)).Luego

(g◦f)(T) =Φ(g) =g(f(T))

para cadag∈C(σ(f(T))).

2.2. Medida espectral

Como se puede observar, en la sección anteriorB(H)resultó ser unC∗-álgebra, así la teoría presen-tada sobre lasC∗-álgebras se puede aplicar para obtener teoremas de representación de los operadores normales.

Definición 2.2.1. Sea X espacio compacto de Hausdorff yB(X) laσ-álgebra de los conjuntos de

Borel de X. Sea H espacio de Hilbert. Se define la medida espectralo resolución de la identidad

sobreB(X)a toda aplicación

E:B(X)→B(H) que satisface las propiedades:

i) E(/0) =0,E(X) =I.

ii) Todo E(ω)es una proyección ortogonal autoadjunta, es decir E(ω)2=E(ω) =E(ω)∗,para todoω∈B(X).

iii) Siω0,ω00∈B(X)entonces E(ω0∩ω00) =E(ω0)E(ω00). El teorema espectral de operadores acotados

(31)

2.2. Medida espectral 17

iv) Siω0,ω00∈B(X)yω0∩ω00=/0entonces E(ω0∪ω00) =E(ω0) +E(ω00).

v) Para todo x,y∈H,la función Ex,y:B(X)→Cdefinida por Ex,y(ω) =hE(ω)x,yi

es una medida regular compleja sobreB(X). A partir de la definición surgen algunas observaciones: De la segunda y última condición se deduce que

Ex,x(ω) =hE(ω)x,xi=hE(ω)2x,xi=hE(ω)x,E(ω)xi=kE(ω)xk2,

luegoEx,xes una medida positiva sobreB(X).

Más aún, se tiene queEes contablemente aditiva en la topología débil de los operadores y también en la topología fuerte de los operadores, es decir

∞

∑

n=1

E(ωn)x=E(ω)x, ∀x∈H

dondeω es la unión de losωn∈B(X),disjuntos dos a dos. La afirmación se debe a que, dado un

x∈H se tiene queE(ωn)E(ωm) =0 cuandon6=m.AsíE(ωn)xyE(ωm)xson ortogonales y por el

apartadov)se cumple

∞

∑

n=1

hE(ωn)x,yi=hE(ω)x,yi,

para todox, y∈H. Ejemplo

SeaXcompacto yB(X)la familia de los subconjuntos de Borel en X. Seaµ una medida positiva sobreB(X)yH=L2(X,µ),donde

L2(X,µ) ={f :X→Cµ-medible tal que Z

X

|f(x)|2_d

µ =:kfk2_µ<∞}.

Entonces la funciónE :B(X)→B(H) que para cadaω ∈B(X) define aE(ω) como la

multipli-cación por χω,la función característica deω,es decir E(ω)f =χωf,es una medida espectral para (X,B(X),H).

Todas las condiciones son obvias, excepto que sea contablemente aditiva. Para esto, fijando f ∈L2(X,µ)se tiene kE( ∞ [ k=1 ωk)f− n

∑

k=1 E(ωk)fk2=kχ∪∞ k=1ωkf− n

∑

k=1 χωkfk 2₌_k χ∪∞ k=1ωkf−χ∪nk=1ωkfk 2 =kχ∪∞ k=1ωk−∪nk=1ωkfk 2₌_k χ∪∞ k=n+1ωkfk 2 = Z X χ∪∞ k=n+1ωk|f| 2_d µ = Z χ∪∞ k=n+1ωk |f|2dµ−−−→n→∞ 0.

Establecido el cálculo funcional continuo para un operador normal acotado T en la sección 2.1, Teorema 2.1.4, fijadosx,y∈Hse puede definir la siguente forma lineal continua

Λx,y:C(σ(T))→C porΛx,y(f) =hΦT(f)x,yi.El funcional está acotado, pues

|hΦT(f)x,yi|=|hf(T)x,yi| ≤ kf(T)kkxkkyk=kfk_∞kxkkyk.

(32)

Por el teorema de representación de Riesz, tiene que existir una medida de Borel (compleja)µx,y

sobre σ(T). A partir de estas medidas se construirá la medida espectral asociada a T mediante la

relación

hE(ω)x,yi=µx,y(ω),

como se presenta en el siguiente teorema.

Teorema 2.2.2. Sea A una subálgebra normal con unidad cerrada de B(H) y SpecA el espacio de ideales maximales de A, denotado por∆.

a) Entonces existe una única medida espectral E sobre los conjuntos de Borel de∆tal que T =

Z

∆

b

TdE (2.1)

para todo T∈A,donde la integral se interpreta como hT x,yi=

Z

∆

b

TdEx,y, x,y∈H.

Dicho de otra forma, se puede definirΦ:B(∆)→B(H)tal que

hΦ(f)x,yi= Z

∆

fdEx,y

para toda f de Borel acotada sobre∆.

b) Si S∈B(H),entonces ST =T S para todo T ∈B(H)si y sólo si SE(ω) =E(ω)S para todo ω⊂∆.

Demostración. Por la sección anterior,B(H)es unaC∗-álgebra y así es claro queAes unaC∗-álgebra conmutativa. En consecuencia, el teorema de Gelfand-Naimark afirma que la aplicaciónT 7→Tbes un

isomorfismo isométrico deAsobreC(∆).

- Existencia deE: Fijadosx,y∈H,la aplicaciónΛx,y:C(∆)→Cdefinida por

Λx,y(Tb) =hT x,yi

es un funcional lineal y acotado tal quekΛx,yk ≤ kxkkyk,pueskTbk=kTk.El teorema de Riesz

implica que∀x,y∈Hexiste una medida regular complejaµx,y sobre∆tal que

hT x,yi=

Z

∆

b

Tdµx,y, ∀T ∈A.

Dicha medida cumple queµx,y=µy,x,pues Z ∆ b Tdµy,x=hTy,xi=hy,T∗xi=hT∗x,yi = Z ∆ (T∗)bdµ_x_,_y= Z ∆ b Tdµx,y= Z ∆ b Tdµx,y.

Además se tiene quekµx,yk=kΛx,yk ≤ kxkkyk.Esto implica que, para toda f de Borel fija

acotada en∆,

(x,y)7→

Z

∆

fdµx,y

es una forma sesquilineal acotada sobre H. Ahora ampliando el cálculo funcional continuo, para cada f de Borel acotada sobre∆se puede definir un operadorΦ(f)∈B(H)tal que

hΦ(f)x,yi= Z

∆

fdµx,y, ∀x,y∈H. El teorema espectral de operadores acotados

(33)

2.2. Medida espectral 19

Este operadorΦextiende a la inversa de la transformada de Gelfand, debido a queΦ(Tb) =T.

En particular, para f real se cumple que hΦ(f)x,yi= Z ∆ fdµx,y = Z ∆ fdµx,y= Z ∆ fdµy,x=hΦ(f)y,xi,

y por la definición del adjunto, resulta queΦ(f)es hermitiano.

También se verifica que el operadorΦes multiplicativo

Φ(f g) =Φ(f)Φ(g),

para todo f ygde Borel acotados. En efecto, se sabe que esto se cumple para f,g∈C(∆),por

tanto _Z ∆ f gdµx,y=hΦ(f)Φ(g)x,yi= Z ∆ fdµΦ(g)x,y,

lo que implica que

gdµx,y=dµΦ(g)x,y

para cada x,y∈H y g∈C(∆). En consecuencia las integrales son ciertas si f es de Borel

acotada. Seaz=Φ(f)∗y.Así

Z ∆ f gdµx,y= Z ∆ fdµ_Φ₍g)x,y =hΦ(f)Φ(g)x,yi =hΦ(g)x,zi= Z ∆ gdµx,z.

De nuevo se tiene que fdµx,y=dµx,z. Por tanto

hΦ(f g)x,yi= Z ∆ f gdµx,y= Z ∆ gdµx,z=hΦ(f)Φ(g)x,yi

para cada f,gde Borel acotadas. Así queda visto que Φes multiplicativo sobre las funciones

de Borel acotadas en∆.

Para cadaωde Borel en∆se define entonces

E(ω):=Φ(f),

con f la función característica deω,denotadaχω.Para queE sea la medida espectral buscada deberá cumplir las condiciones de la Definición 2.2.1.

SeaE(ω) =Φ(f)yE(ω0) =Φ(g),entonces debido a queΦ(f)es multiplicativo, se tiene que

E(ω∩ω0) =Φ(χω∩ω0) =_Φ(_χ_ω_χ_ω0)

=Φ(χω)Φ(χω0) =E(ω)E(ω 0

).

Ahora siω=ω0implica queE(ω)es una proyección y es autoadjunta, pues si f es real,Φ(f)

es hermitiano.

Comoχ/0=0 está claro queE(/0) =Φ(0) =0.y comoΦextiende a la transformada de Gelfand

se obtiene queE(∆) =Φ(χ∆) =Φ(1) =I.

Falta probar queEes contablemente aditiva en la topología débil de operadores, es decir hE(ω)x,yi=

∞

∑

k=1

hE(ωk)x,yi

(34)

dondeωes la únion de losωk∈B(σ(T)), k=1, . . . .Esto es consecuencia de la igualdad

hE(ω)x,yi=hΦ(χω)x,yi = Z ∆ χωdµx,y= ∞

∑

k=1 Z ∆ χωkdµx,y,

ya queµx,y es una medida y por tanto contablemente aditiva. En definitiva, se tiene que

hE(ω)x,yi=µx,y(ω),

y por tantoEes la medida espectral buscada.

- Unicidad de E: La unicidad de la medida espectral construida anteriormente es inmediata, de-bido al teorema de representación de Riesz que implica la unicidad de la medida µx,y, para

cada x,y ∈H. No obstante, la definición, hE(ω)x,yi=Ex,y(ω), determina unívocamente la

proyecciónE(ω),para cada ω.Por lo tanto si existirían dos medidas espectralesE, E0,para

todoω∈B(σ(T))se tendría quehE(ω)x,yi=hE0(ω)x,yi,para todox,y∈H,lo cual implica

E(ω) =E0(ω).

Para probar el apartadob)se consideraS∈B(H),x, y∈Hy tambíenT ∈H.Aplicando la definición del operador adjunto se tiene

hST x,yi=hT x,S∗yi= Z ∆ b TdEx,S∗y y hT Sx,yi= Z ∆ b TdESx,y.

Cuando ST =T S para todoT ∈B(H), las dos medidas son iguales dEx,S∗_y =dE_Sx_,_y. Pero por la definición de la medida espectral resulta que

Ex,S∗_y(_ω) =hE(_ω)x,S∗yi=hSE(_ω)x,yi para todoω⊂∆.Análogamente,

ESx,y(ω) =hE(ω)Sx,yi,

y por lo tantoSE(ω) =E(ω)S.El recíproco es cierto utilizando el mismo razonamiento.

2.3. Teorema espectral

En el Teorema 2.2.2 se ha demostrado que toda álgebra normal en un espacio de Hilbert induce una medida espectralEsobre los conjuntos de Borel de su espectro y, recíprocamente, que a partir de Ese recuperan los operadoresT del álgebra mediante una integral del tipo (2.1).

Como consecuencia se puede establecer el teorema espectral para operadores normales y acotados:

Teorema 2.3.1 (Teorema espectral para un operador normal acotado). Sea T ∈B(H) un operador normal. Entonces existe una única medida espectral E sobre los borelianos deσ(T)tal que:

T =

Z

σ(T)

λdE(λ).

Además, todo E(ω)conmuta con cualquier operador S∈B(H)que conmute con T ∈B(H).

La medida espectralEque da este teorema describe ladescomposición espectral de T.

(35)

2.3. Teorema espectral 21

Demostración. Evidentemente, la demostración del teorema se apoya en el Teorema 2.2.2 particula-rizando a un solo operador.

Debido al cálculo funcional continuo existe un *-homomorfismo

Φ:C(σ(T))→B(H)

tal queΦ(f) =f(T).Más aún, el rango deΦes la subálgebra cerradaAdeB(H)engendrada porI,Ty T∗.Además, por el Corolario 1.2.10 se sabe queSpecAes homeomorfo aσ(T)vía el homeomorfismo

b

T :SpecA→σ(T).

Así se tiene queTb(λ) =λ para todoλ ∈σ(T).

Aplicando el Teorema 2.2.2 para la subálgebraA,existe una única medida espectralE definida sobre los borelianos deσ(T),cumpliendo que

Φ(f) = Z

σ(T)

f(λ)dE(λ).

Finalmente, por la fórmula (2.1) se tiene

f(T) =

Z

σ(T)

f(λ)dE(λ),

para toda f de Borel acotada, y en particular, reescribiendo la descomposición del operador identidad se tiene

I=

Z

σ(T)

dE(λ).

Si ST =T S con S normal, entonces también ST∗=T∗S (véase [R, p.300]) y por consiguiente S conmuta con todo elemento deA.Ahora por el apartadob)del Teorema 2.2.2 se tiene que

SE(ω) =E(ω)Spara todoω⊂∆.

En resumen, usando las mismas notaciones que anteriormente y parte del contenido del Teorema 2.2.2 y del teorema espectral se puede ampliar el cálculo funcional continuo construyendo elcálculo funcional extendido para un operador normal acotado:

Corolario 2.3.2. Dado un operador normal T ∈B(H),existe un único *-homomorfismoΦdefinido sobre las funciones de Borel acotadas sobreσ(T)en B(H)con

Φ(f) =

Z

σ(T) fdE, tal que:

i) Φ(u) =I, Φ(v) =T donde u(λ) =1,v(λ) =λ para cadaλ∈σ(T).

ii) Además,Φverfica entonces

kΦ(f)k ≤ kfk=sup{|f(λ)|:λ ∈σ(T)},

siendo válida la igualdad si f es continua.

iii) Si ST =T S con S∈B(H),se tiene que SΦ(f) =Φ(f)S para cada función f de Borel acotada. Habitualmente se usa la notación f(T) =Φ(f).

Otra formulación de interés, que puede relacionarse directamente con la diagonalización de una matriz normal, es la siguiente:

(36)

Teorema 2.3.3(Teorema de representación espectral de un operador normal acotado). Si T∈B(H)es normal, existe un espacio de medida(X,M,µ)conµmedida positiva regular, una funciónϕ∈L∞(µ)

y un isomorfismo isométrico U:L2(µ)→H tales que el diagrama

L2(µ) U // H T L2(µ) Mϕ O O H U−1 o o

es conmutativo ( U−1TU =Mϕ ). Mϕ :L2(µ)→L2(µ)es el operador multiplicación definido porϕ. En esta formulación se pierde la unicidad: el espacio(X,M,µ)y la funciónϕno están

determi-nados unívocamente porT.

Idea de la demostración. Anteriormente en el ejemplo de medida espectral se ha probado que en el espacioL2(µ) para cada ω ∈B(X) se puede construir la aplicación E :B(X)→B(H) con H=L2(X,µ)definido por la fórmulaE(ω)f =χωf conχω la función característica deω.E es así una medida espectral para(X,B(X),H).

A partir de este ejemplo y ahora aplicando el teorema espectral se tiene que siT es un operador normal, existeE la descomposición espectral deT,

T =

Z

σ(T)λdE(λ).

Un paso critico de la medida espectralE(ω)asociado aT a la medidaµ es el siguiente: six∈H se

tiene que

µ(ω) =hE(ω)x,xi

es una medida finita yω un conjunto de Borel.

Si se escribeUχω=E(ω)x,entoncesUpuede ser extendido a un isomorfismo del espacioL

2₍

µ).Para

este isomorfismoU se tiene

U−1E(ω)U f =χωf. Por lo tanto el operador multiplicativo definido por

M_ϕ(f) =ϕf, f∈L2(µ)yϕ∈L∞(µ)

se identifica con la descomposición espectral deT,pues siϕ es la función característicaχω,se tiene Mϕf =χωf.

(37)

Capítulo 3

Aplicaciones del teorema espectral

3.1. Primeros resultados

Definición 3.1.1. Sea H un espacio de Hilbert, un operador T∈B(H)yσ(T)su espectro. Un número λ∈Cse dice que es unvalor propiode T siker(T−λI)6=0.

El conjunto de los valores propios de T se llamaespectro puntualde T y se denotaσp(T).

Obser-var queσp(T)⊂σ(T).

Siλ ∈σp(T)y T(x) =λx con x6=0,entonces x se llamavector propiode T correspondiente al

valor propioλ.

Al subespacioker(T−λI)se le llamasubespacio propiooautoespaciocorrespondiente al valor propioλ.

Observación. SeaT ∈B(H)normal. Siλ,µ ∈σp(T)yλ 6=µentonces los vectores propios

corres-pondientes a los valores propios son ortogonales. Es decir, ker(T−λI)⊥ker(T−µI). Proposición 3.1.2. Sea un operador T∈B(H)normal. Entonces

kTk=sup{|hT x,xi|:x∈H, kxk ≤1}. Demostración. Es evidente que

sup{|hT x,xi|:x∈H,kxk ≤1} ≤ kTk, por la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Por otra parte, seaε >0.Hay que probar que

|hT x₀,x0i|>kTk −ε

para algúnx0∈Hconkx0k=1.Por el teorema de Gelfand-Naimark se tiene quekTbk_∞=kTky por

la Proposición 2.1.3,c), existeλ0∈σ(T)tal que|λ0|=kTk.Sea el conjunto ω={λ ∈σ(T):|λ−λ0|<ε}.

SiE es la descomposición espectral deT conE(ω)6=0, entonces existe x0 ∈H conkx0k=1 y

E(ω)x0=x0. Se define f(λ) = λ−λ0 siλ ∈ω 0 siλ ∈/ω Entonces, f(T) = (T−λoI)E(ω) y f(T)x0=T x0−λ0x0. 23

(38)

24 Capítulo 3. Aplicaciones del teorema espectral Luego, |hT x₀,x₀i| − |λ₀| ≤ |hT x₀,x₀i −λ₀|=|hT x₀,x₀i −λ₀hx₀,x₀i| ≤ kf(T)k<ε,

pues|f(λ)|<ε, ∀λ∈σ(T).Finalmente, como|λ0|=kTkse tiene la desigualdad buscada.

Proposición 3.1.3. Un operador normal T ∈B(H)es autoadjunto si y sólo siσ(T)⊂R.

Demostración. SeaAla subálgebra normal deB(H)generada porT.Entonces, por el Teorema 2.3.1,

b

T(λ) =λ sobreσ(T).Así,

(T∗)b(_λ) =

b

T(λ) =λ,

para todoλ ∈σ(T).Luego,T =T∗si y sólo siλ =λ. Teorema 3.1.4. Sea T ∈B(H).Entonces,

hT x,xi ≥0∀x∈H si y sólo si T=T∗yσ(T)⊂[0,∞).

Demostración. SihT x,xi ≥0,entonceshT x,xies real y

hx,T∗xi=hT x,xi=hx,T xi, ∀x∈H.

Por tanto,T =T∗y por la Proposición 3.1.3 se tiene queσ(T)⊂R.Con la misma hipótesis y para

λ>0,se cumple

λkxk2=λhx,xi ≤ h(T+λI)x,xi ≤ k(T+λI)xkkxk, es decir,

k(T+λI)xk ≥λkxk.

Entonces,T+λI es inversible enB(H)y así−λ∈/σ(T).Esto prueba queσ(T)⊂[0,∞).

Por otro lado, seaT autoadjunto yσ(T)⊂[0,∞).Aplicando el teorema espectral se tiene que

hT x,xi=

Z

σ(T)

λdEx,x(λ), x∈H.

Como ya se ha visto en la sección 2.2, Ex,x es una medida positiva. Además, λ ≥0, y por tanto

hT x,xi ≥0,∀x∈H.

Para el siguiente teorema es necesario definir qué se entiende por un operador positivo.

Definición 3.1.5. Sea un operador T ∈B(H).Se dice que T espositivoóno negativo, y se escribe T ≥0,sihT x,xi ≥0,∀x∈H.

Teorema 3.1.6. Sea T ∈B(H)es un operador positivo. Entonces existe un único operador positivo S∈B(H)tal que S2=T.Se dice que S es la raíz cuadrada positiva de T. Además, si T es inversible, también lo es S.

Demostración. SeaA una subálgebra normal con unidad cerrada enB(H) que contiene aT,y∆el

espacio de ideales maximales deA.Entonces, por el teorema de Gelfand-Naimark (1.1.8) se tiene que

b

A=C(∆).

Por hipótesisT es positivo, lo que implica que T es autoadjunto yσ(T)⊂[0,∞)(Teorema 3.1.4).

Por otro lado, se tiene queTb(λ) =λ,enσ(T),es decirTb(∆) =σ(T).Por lo tanto, Tb≥0.Luego, b

T ≥0 es equivalente conT ≥0.

Ya que toda función continua positiva tiene una única raíz cuadrada continua, se tiene que existe un únicoS∈Atal queS2=T ySb≥0.

(39)

3.2. Valores propios de operadores normales 25

Falta probar que efectivamente S es único en B(H). Se considera A0 la más pequeña de estos

álgebrasA.Entonces existe S0∈A0 tal que S2₀=T yS0≥0.Sea ahoraS∈B(H)la raíz cuadrada

positiva deT yAla menor subálgebra con unidad cerrada deB(H)que contiene aS,entoncesT ∈A, puesT =S2.Luego, comoA0⊂A,se tiene queS0∈A,y por lo tantoS=S0.

Por último, siT es inversible,S2=T implica que(T−1S)S=I.De hecho,ST =T S=S3,con lo cualS=T−1ST.Entonces,

S(T−1S) =T−1ST T−1S=I, es decirS−1=T−1S.

3.2. Valores propios de operadores normales

SiTes normal, sus valores propios guardan una relación sencilla con su descomposición espectral. Esta relación se deducirá de la siguiente aplicación al cálculo funcional extendido:

Lema 3.2.1. Sea T ∈B(H) un operador normal y E su descomposición espectral. Si f ∈C(σ(T)),

entonces

ker(f(T)) =Im(E(f−1(0))). Demostración. Considerandoω0= f−1(0), se define

g(λ) =

1 siλ ∈ω0

0 siλ ∈/ω0

Entonces, siλ ∈ω0,se sabe que f(λ) =0,y por lo tanto f(λ)g(λ) =0.Por otro lado, siλ∈/ω0,se

tiene queg(λ) =0.Luego, f g=0,es decir que f(T)g(T) =0.Comoges la función característica

deω0,por el cálculo funcional extendido (Corolario 2.3.2) se tiene queE(ω0) =Φ(g) =g(T),y por

lo tanto

Im(E(ω0))⊂ker(f(T)). (3.1)

Por otro lado, si consideramosωel complementario deω0relativo aσ(T),entoncesωes la unión

de los conjuntos disjuntos de Borelωnconn=1,2, . . . ,cada uno de los cuales está a distancia positiva

del conjunto compactoω0.Para cadan=1,2, . . . ,se define fn(λ) =1/f(λ)sobreωny fn(λ) =0 en

el resto deσ(T).Por construcción, fn∈B(σ(T))y además

fn(T)f(T) =E(ωn) n=1,2, . . . .

Six∈ker(f(T)),es decir f(T)x=0,entoncesE(ωn)x=0,y por la propiedad de aditividad

conta-ble de la medida espectral se tiene queE(ω)x=0.Pero comoE(ω) +E(ω0) =I y por lo anterior

E(ω0)x=x,se cumple que

ker(f(T))⊆Im(E(ω0)). (3.2)

Por lo tanto, las relaciones (3.1) y (3.2) implican la igualdad del enunciado.

Proposición 3.2.2. Sea T∈B(H)un operador normal y E su descomposición espectral. Para cada

λ∈σ(T)se tiene

i) ker(T−λI) =Im(E({λ})).

ii) λ es valor propio de T si y sólo si E({λ})6=0.

Demostración. Considerandoλ ∈σ(T)y aplicando el lema previo a f(λ0) =λ0−λ,se tiene f−1(0) ={λ}y por lo tanto f(T) =T−λI.Con esto queda probada la igualdad del apartadoi).

El segundo apartado es trivial usando eli)y sabiendo que por definiciónλ ∈σp(T)implica que

ker(T−λI)6=0.