Algunas categorías topológicas asociadas a colecciones de conjuntos

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ASOCIADAS A COLECCIONES DE

CONJUNTOS

Reinaldo Monta˜nez Puentes Profesor de Matem´aticas

Universidad Nacional.

Alberto Donado Núñez Profesor de Matemáticas Universidad Pedagógica Nacional.

Resumen.

Utilizando los conceptos de categor´ıas topológicas, subcategor´ıas re-flexivas y subcategor´ıas correre-flexivas, se presentan dos categor´ıas de-nominadas COL y PTOP, que surgen al generalizar a colecciones la noción de abierto dada en los espacios topológicos, permitiendo en estas abordar, nociones topológicas como la conexidad, separación y compacidad entre otras. La categor´ıa PTOP resulta topológica y re-flexiva en la de los espacios topológicos y la categor´ıa COL, que no es topológica, es reflexiva en la categor´ıa PTOP.

En el estudio de estas categor´ıas se describen algunas construcciones de car´acter categ´orico, como estructuras iniciales, estructuras finales, productos y fibras.

1 Conceptos preliminares.

1.1 Categor´ıas topol´

ogicas.

Las categor´ıas topol´ogicas surgen al estudiar algunas propiedades del functor olvido de estructura de la categor´ıa de los espacios topol´ogicos en la de los conjuntos, en particular aquellas que relacionan estructuras iniciales y finales [2].

La siguiente definición de categor´ıa topológica es una modificación de la pre-sentada por Preuss [6] y se puede probar [8] que es equivalente a la prepre-sentada por Adamek [1].

1. Definici´on. Sea F : C → CONJ1 un functor. Se dice que C es una

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categor´ıa topol´ogica con respecto a F, si se satisfacen las siguientes condi-ciones:

i. F es un functor fiel. Esto es, para todo par de morfismos f, g:A→B de C tales queF(f) =F(g), se tiene quef =g.

ii. F es apto para la construcción de estructuras iniciales. Esto es, para toda función f :A→B y todo objeto B tal que F(B) =B, existe un objeto A tal que F(A) = A y un morfismo f tal queF(f) =f con la siguiente propiedad universal: para todo objeto C deC conF(C) =C y toda función h : C → A tal que f ◦h : C → B es morfismo en C, existe un morfismo h:C →A tal que F(h) =h.

iii. F es apto para la construcción de estructuras finales. Esto es, para toda funciónf :A →B y todo objeto A tal que F(A) =A, existe un objeto B tal que F(B) = B y un morfismo f tal que F(f) =f con la siguiente propiedad universal: para todo objeto DdeC conF(D) =D y toda función h : B → D tal que h◦f : A → D es morfismo en C , existe un morfismo h:B →D tal que F(h) =h.

iv. Para cada conjunto X la fibra sobre X es un ret´ıculo completo [1]. Esto es {X : F(X) = X} es un ret´ıculo completo con el orden dado por: X₁ < X₂, si y solo si, existe un morfismo f : X₁ → X₂ tal que

F(f) = 1_X.

Existen procedimientos para obtener categor´ıas topol´ogicas. En un art´ıculo de Herrlich [5] se muestra una forma de obtener una categor´ıa topol´ogica a partir de un objeto fijo A de una categor´ıa concreta [1] en la que adicional-mente todas las funciones constantes son morfismos.

El proceso de construcci´on es el siguiente: A partir de un objetoA= (A, τ) de una categor´ıa concreta C, se construye la categor´ıa MaxA considerando: Como objetos pares (X, F) donde X es un conjunto y F una colecci´on de funciones f :A→X tales que:

i. Sif ∈F yg : (A, τ)→(A, τ) es un morfismo deC, entoncesf◦g ∈F. ii. Si f :A→X es una funci´on constante, entonces f ∈F.

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Como morfismos g : (X, F)→(X, F) entre objetos deMaxA las funciones

g :X →X tales que f ∈F implica g◦f ∈F.

Se garantiza que MaxAes una categor´ıa topol´ogica, y aunque estas normal-mente son muy grandes, escogiendo algunos objetos espec´ıficos, se pueden reconocer varias categor´ıas conocidas.

Si escogemos como objeto fijo al espacio topol´ogico A = (A, τ), donde A es un conjunto unitario y τ la ´unica topolog´ıa sobre A, como para toda

f : A →X, f es constante, s´olo es posible para cada conjunto X encontrar un ´unico objeto (X, F), dondeF =XA=X. Por tantoMaxAes equivalente a la categor´ıa CONJ de los conjuntos.

En el art´ıculo de Montañez y Ram´ırez [7] se muestra que si A es el espacio topológico (A, τ), donde A = {a, b} y τ = {∅,{a}, A}, la categor´ıa MaxA corresponde a la categor´ıa topológica de las relaciones reflexivas y si A es el espacio topológico (A, τ), dondeA={a, b}y τ ={∅, A}, la categor´ıaMaxA corresponde a la categor´ıa topológica de las relaciones simétricas.

1.2 Subcategor´ıas reflexivas y correflexivas.

Las nociones de subcategor´ıa reflexiva y correflexiva, expresan de cierta ma-nera nociones de mejoramiento y reflejan en cierto sentido nociones de den-sidad en teor´ıa de categor´ıas.

Sean C una categor´ıa y H una subcategor´ıa de C. Se dice que H es una subcategor´ıa reflexiva de C si para todo objeto A de C existe un objeto A∗ en H y un morfismo r_A : A→ A∗ en C tal que para todo objeto B de H y todo morfismo f :A →B en C, existe un ´unico morfismo ϕ :A∗ →B en H tal que ϕ◦r_A=f.

El hecho de queH resulte reflexiva enC es equivalente a decir que el functor de inclusi´on de H en C admite adjunto a izquierda. [2]

De manera dual se define subcategor´ıa correflexiva. Esto es, se dice que H es una subcategor´ıa correflexiva de C si para todo objeto A de C existe un objeto A∗ en H y un morfismo r_A:A∗ →Aen C tal que para todo objetoB deH y todo morfismof :B →AenC, existe un ´unico morfismoϕ :B →A∗ en H tal que r_A◦ϕ=f.

La correflexividad deHenCes equivalente a decir que el functor de inclusi´on de H en C admite adjunto a derecha. [2]

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derivar bajo determinadas condiciones, la existencia de l´ımites y col´ımites en H, cuando C los tiene, más precisamente se tiene el siguiente teorema [1], relacionado con la completitud. Antes de enunciarlo veamos algunas definiciones que en él están involucradas:

H es una subcategor´ıa plena de C si para todo par de objetos de H, la colecci´on de sus morfismos en C y enH coinciden.

H es cerrada bajo isomorfismos, si para cada objeto de H, todos sus objetos isomorfos est´an tambi´en en H.

1. Teorema. Si H es una subcategor´ıa plena de C, cerrada bajo

isomorfis-mos y C es completa entoncesH es completa, tambi´en siC es cocompletaH

resulta cocompleta.

En particular, si C es apta para construir estructuras iniciales o finales en-tonces H tambi´en lo es.

2 Las categor´ıas

COL

,

P T OP

y

T OP

.

En esta sección se describen las categor´ıas de colecciones, de los espacios pretopológicos y topológicos, notadasCOL,P T OP yT OP respectivamente. Estas categor´ıas surgen de extender la noción de abierto a colecciones arbi-trarias de subconjuntos y consideramos que éstas son un ambiente adecuado para generalizar, de cierta manera, conceptos de carácter topológico tales como compacidad, separación y conexidad, a colecciones de conjuntos que no necesariamente son espacios topológicos [4].

2.1 La categor´ıa

COL

.

Dado un conjunto X, una colecci´on sobre X es un elemento de ℘2(X). Si

α ∈℘2₍_X_{), al par (}_{X, α}_{) lo llamaremos un espacio.}

Dado un espacio (X, α), para cada A⊆X y x∈X diremos que x∈_α A◦ (x pertenece al interior de A seg´un α) si existe T ∈α tal que x∈T ⊆A. Conviene resaltar que, al igual que en los espacios topol´ogicos, un conjunto

A es abierto (seg´un α) si y solo si A=A◦ y que si A es un conjunto abierto, se tiene que

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La colecci´on de abiertosρ_α ={A⊆X :A =A◦}tiene entre sus propiedades: i. α⊆ρ_α

ii. φ ∈ρ_α

iii. Si A_λ ⊆ρ_α entonces_x_∈_LA_λ ⊆ρ_α La categor´ıa COL se define por:

• Objetos de COL: La clase de los espacios.

• Morfismos de COL: f : X → Y es un morfismo entre los espacios (X, α) y (Y, β), si y solo si, para todoB ∈β, f!(B)∈ρ_α

• La ley de composici´on entre los morfismos del COL corresponde a la composici´on usual de funciones.

Para el estudio de esta categor´ıa, en cuanto a su estructura de carácter topológico, consideramos el functor olvido de estructura de la categor´ıa COL en la de los conjuntos, functor que por su definición, resulta fiel de manera natural.

2.2 La categor´ıa

P T OP

.

Dado X conjunto y ρ∈ ℘2(X), diremos que ρ es una pretopolog´ıa sobre X si

i. φ ∈ρ

ii. Si {A_λ} ⊆ρ entonces_λ_∈_LA_λ ∈ρ

Al par (X, ρ), lo llamaremos un espacio pretopol´ogico. La categor´ıa P T OP se define por:

• Objetos de P T OP: La clase de los espacios pretopol´ogicos.

• Morfimos de P T OP: f : X → Y es un morfismo entre (X, ρ) y (Y, µ) si y solo si f!(M)∈ρ para todoM ∈µ.

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• La ley de composici´on de morfismos corresponde a la composici´on usual de funciones.

Nuevamente se considera el functor olvido de estructura de la categor´ıa

P T OP en la de los conjuntos.

2.3 La categor´ıa

T OP

.

Es la de los espacios topol´ogicos. [1]

3 Algunos resultados obtenidos en el estudio

de estas categor´ıas.

3.1 Estructuras iniciales en

COL

.

El problema de encontrar una colecci´on a para X que haga de una funci´on

f :X →Y un morfismo enCOLa partir de un espacio (Y, β), tiene soluci´on ´

optima en COL, debido a que:

COL (X,?) −→f (Y, β)

CONJ X −→f Y

i. Si α = {f!(B) : B ∈ β}, la funci´on f : (X, α) → (Y, β) es claramente un morfismo.

ii. Si existe un espacio (Z, γ) y una funci´on h : Z → X tal que f ◦h : (Z, γ)→ (X, β) es un morfismo, entonces para todo A ∈ ρ_α , se tiene que (X, α) f -(Y, β) (Z, γ) 6 h f◦h

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A=_λ_∈_Lf!(B_λ) con B_λ ∈β y por lo tanto h!₍_A_{) =}_h!₍ λ∈L f!₍_B λ)) = λ∈L h!₍_f!₍_B λ)) = λ∈L (h!◦f!)(B_λ) = λ∈L (f◦h)!(B_λ)

y por ser f ◦h un morfismo de COL, podemos afirmar que

λ∈L

(f◦h)!(B_λ)∈ρ_γ

lo que nos permite concluir que h: (Z, γ)→(X, α) es un morfismo de

COL.

3.2 Estructuras finales en

COL

.

COL (X, α)−→f (Y,?)

CONJ X −→f Y

Dado un espacio (X, α) y una funciónf :X →Y, la colección óptima sobre

Y que hace de f un morfismo en COLes:

β ={B ⊆Y :f!(B)∈a} debido a que: (X, α) f -(Y, β) h◦f @ @ @ @ @ @@R (Z, γ?) h

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i. f : (X, α)→(Y, β) es un morfismo

ii. Si existe un espacio (Z, γ) y una funci´on h : Y → Z tal que h ◦f : (X, α) → (Z, γ) es un morfismo, entonces para todo C ∈ γ, como (h ◦ f)!(C) = f!(h!(C)) ∈ α, se tiene que h!(C) ∈ β y por tanto

h : (Y, β)→(Z, γ) es un morfismo en COL.

3.3 COL

no es una categor´ıa topol´

ogica.

La fibra en COLno es completa, debido a que el functor olvido no es fuerte-mente fiel, esto es, existen objetos distintos que son isomorfos. Por ejemplo, si

X={a, b},

a={{a},{b}},

b ={X,{a},{b}},

se tiene que la funci´on identidad enX es un isomorfismo de (X, α) en (X, β), lo cual implica que (X, α)≤(X, β) y (X, β)≤(X, α) y sin embargo α=β. De lo anterior se sigue que la categor´ıa COLno es topol´ogica

3.4 La categor´ıa

P T OP

como subcategor´ıa reflexiva de

COL

.

La categor´ıa P T OP es una subcategor´ıa deCOL. La reflexividad deP T OP en COL expresa que a todo espacio de COL se le puede asociar de manera ´

optima una pretopolog´ıa, lo cual se describe a continuaci´on.

Sea (X, α) un espacio en la categor´ıa COL. Como ρ_α es una pretopolog´ıa sobre X, (X, ρ_α) es un objeto de la categor´ıa P T OP.

La reflexión de (X, α) es (X, ρ_α) junto con el morfismoi_X : (X, α)→(X, ρ_α) definido por i_X(x) = x para toda x ∈ X; en efecto, si (Y, µ) es un espacio pretopológico y f : (X, α)→ (Y, µ) es un morfismo de la categor´ıa COL, la misma función f definida de (X, ρ_α) en (Y, µ) resulta morfismo en P T OP,

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ya que para todo M ∈µse tiene que f!(M)∈ρ_α. (X, α) iX -(X, ρ_α) f @ @ @ @ @ @@R (Y, µ?) f

Esta reflexividad nos permite garantizar que enP T OP hay también estructu-ras iniciales y finales y se obtienen de la misma manera que en las colecciones. En efecto, si en (3.1) la colecciónβ es una pretopolog´ıa sobreY, la colección

α = {f!(B) :B ∈ β}= f!(β) que es la estructura inicial en COL, también es una pretopolog´ıa y es la estructura inicial en P T OP; y si en (3.2) α es una pretopolog´ıa sobre X, la colección β = {B ⊆ Y : f!(B) ∈α} que es la estructura final en COL también es una pretopolog´ıa, correspondiente a la estructura final en P T OP.

As´ı pues, se determina un functor ρ : COL → P T OP el cual determina el mejoramiento de la estructura y asigna a cada espacio (X, α) el objeto (X, ρ_α) y a cada morfismo f : (X, α) → (Y, β) le asigna el morfismo ρ(f) : (X, ρ_α)→(Y, ρ_β) definido por ρ(f) := i_Y ◦f. COL ρ -P T OP (Y, β) -(Y, ρ_β) i_Y (X, α) iX -(X, ρ_α) ? f ? ρ(f) = 1_Y ◦f

3.5 P T OP

es una subcategor´ıa reflexiva de

T OP

.

La reflexividad deP T OP enT OP expresa cómo construir de manera óptima un espacio topológico a partir de una pretopolog´ıa, considerando la pretopo-log´ıa como subbase.

(10)

Sea (X, ρ) un espacio pretopológico. Si ρ es la topolog´ıa generada por ρ como subbase, al espacio pretopológico (X, ρ) le asignamos el espacio topológico (X, ρ ), el cual, junto con el morfismo i_X : (X, ρ) → (X,

ρ ) definido por i_X(x) = x es la reflexi´on de (X, ρ), puesto que si f : (X, ρ)→ (Y, µ) es un morfismo en P T OP, la misma funci´on f de (X, ρ) en (X,ρ ) resulta ser un morfismo en T OP ya que ρ⊆ρ .

(X, ρ) iX-(X,ρ ) f @ @ @ @ @ @@R (Y, µ?) f

El functor : P T OP → T OP que determina esta reflexividad asigna a cada espacio pretopol´ogico (X, ρ) el espacio topol´ogico (X,ρ ) y a cada morfismo f : (X, ρ)→(Y, µ) en P T OP el morfismof =i_Y ◦f : (X, ρ )→(Y,µ ) P T OP ρ -T OP (Y, µ) _i -(Y,ρ ) Y (X, ρ) iX- (X,ρ ) ? f ? ρ(f) = 1_Y ◦f

Por tanto, como T OP es una categor´ıa completa P T OP también lo es, esto es, existen productos, coproductos, igualadores, etc..., además la fibra es un ret´ıculo completo. As´ı por ejemplo, en la fibra, dada {ρ_i}_i_∈_I una colección de pretopolog´ıas sobre un conjunto X,

i∈I

ρ_i = inf{ρ_i}_i_∈_I y

ρ*

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Las pretopolog´ıas 0 = {∅} y 1 = ℘(X) son respectivamente el m´ınimo y el m´aximo elemento en el ret´ıculo de pretopolog´ıas sobreX.

En lo que al producto se refiere, si (X, ρ) y (Y, µ) son espacios pretopológicos, sobre X×Y, p₁ : X×Y →X y p₂ : X×Y → Y las funciones proyección del producto, la colección

π =p!₁(α)∪p!₂(β)

no necesariamente es una pretopolog´ıa, pero sus abiertos (ρ_π) corresponden a la pretopolog´ıa producto.

Referencias

[1] Adamek J., Herrlich H., Strecker G.,Abstract and concrete categories:

The joy of Cats, Wiley .- international, New York, 1990.

[2] Adamek J., Theory of mathematical structures. D. Reidel Publishing Company. Boston, Lancaster. 1983.

[3] Arbib M., Manes E., Arrows, Structures, and Functors. Academic Press Inc. New York. 1995.

[4] Donado A., Topolog´ıa y Colecciones. Publicación del Departamento de Matemáticas. Universidad Pedagógica Nacional. 1.998.

[5] Herrlich Horst. Sequential Structures. 24 categorical aspects. Writes Re-search 24. Akademic-Verlag-Berl´ın. 1985.

[6] Preuss Gerhard. Theory of topologycal structures “An aproach to

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cate-gor´ıas topol´ogicas. Memorias VII encuentro de Geometr´ıa y sus

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Volumen VII, Número 1, Junio de 2000. Publicación del Departamento de Matemáticas y Estad´ıstica, Facultad de Ciencias, Universidad Nacional de Colombia.