1405 14 MATEMATICA Plano y Recta en el espacio
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(2) EL PLANO ECUACIÓN GENERAL El plano como lugar geométrico Dados un punto p 0 y un vector no nulo n , el plano perpendicular a n que contiene a p 0 es el lugar geométrico de los puntos p tales que p0p n o p 0p o .. n . p. p b( 0; De la definición anterior, podemos 2; concluir: 0). p p 0 p n o p0p o p0p n 0 (1). La expresión (1) es la ecuación vectorial del plano perpendicular a n que contiene a p 0 .. . . Fijado un sistema o; i ; j; k , y en él un punto p0 x0 ; y0 ; z0 perteneciente a y un vector no nulo n a; b; c perpendicular a dicho plano, resulta que para todo punto p x; y; z de . p0p n 0 x - x0 ; y - y0; z - z0 a; b; c 0 Resolviendo el producto escalar, obtenemos:. x x 0 a y y 0 b z z0 c 0 ax - ax0 by - by0 cz - cz0 0. ax by cz . axo byo czo 0. Sustituyendo -axo - byo - czo por d, nos queda: ax by cz d 0. (2). A la expresión (2) la llamamos ecuación general del plano perpendicular a n que contiene a p 0 . Observación: Si el plano pasa por el origen de coordenadas, es decir por el punto 0; 0; 0 , su ecuación resulta ax by cz 0 , ya que a0 b0 c0 d 0 d 0 Si d = 0 la ecuación del plano resulta ax + by + cz =0 (0;0;0) verifica la ecuación al plano, entonces el plano pasa por el origen de coordenadas Definición:. POLITECNICO. 1. P O LI T.
(3) La recta y el plano Dadas las constantes a; b; c; d R con a ; b y c no simultáneamente nulas, se llama ecuación lineal en tres variables x ; y y z la expresión: ax by cz d 0 donde a ; b y c son los coeficientes y d es el término independiente. Teniendo en cuenta la definición anterior, resulta:. La ecuación de un plano es una ecuación lineal en tres variables. Ejemplo: Determina la ecuación del plano perpendicular al vector n 1; 2; 3 que pasa por el punto. p 1; 0; 1 . Solución: Los infinitos planos perpendiculares a n tienen por ecuación:. x 2y - 3z d 0; d R. (*). De todos ellos, el que pasa por el punto p 1; 0; 1 es el que con él se satisface la ecuación (*). De donde:. -1 2 0 - 3 1 d 0 d 4 Entonces el plano buscado tiene por ecuación:. x 2y - 3z 4 0 POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS Dos planos en el espacio pueden ser paralelos o secantes.. . PLANOS PARALELOS. Dos planos 1 y 2 son paralelos si y sólo si sus vectores normales son paralelos. En símbolos: 1 // 2 n1 // n2 siendo n1 1 y n2 2. Gráficamente resulta:. 2. P O LI T. POLITECNICO.
(4) Si 1 ) a1x b1y c1z d1 0 y 2 ) a2 x b2y c 2z d2 0 entonces: 1 // 2 n1 // n2 siendo n1 1 y n2 2 R 0 tal que n2 n1. de donde:. a2; b2; c2 a1; b1; c1 . a2 a1 b2 b1 c c 1 2. Si a1 0 ; b1 0 y c1 0 , la expresión anterior resulta equivalente a:. a2 b2 c 2 a1 b1 c1 Observación: En particular, cuando dos planos paralelos tienen algún punto en común, son a b c d coincidentes y resulta 2 2 2 2 a1 b1 c1 d1. . PLANOS SECANTES. Dos planos no paralelos se llaman secantes. Caso particular de planos secantes: Planos perpendiculares Dos planos 1 y 2 son perpendiculares sí y sólo si son perpendiculares sus vectores normales. En símbolos:. 1 2 n1 n2 siendo n1 1 y n2 2. Gráficamente resulta:. POLITECNICO. 3. P O LI T.
(5) La recta y el plano. Si 1 ) a1x b1y c1z d1 0 y 2 ) a2 x b2y c 2z d2 0 entonces:. 1 2 n1 n2 siendo n1 1 y n2 2 n1 n2 0 . a2; b2 ; c2 a1; b1; c1 0. de donde:. a1a2 b1b2 c1c 2 0 Ejemplos: a) Determina la ecuación de un plano paralelo no coincidente a 2 x - y + 3 z = 3. Solución: Basta multiplicar por un mismo número a las componentes del vector normal. Uno de los infinitos planos podría ser: 8 x - 4 y + 12 z = 3 b) Determina si los planos x y z - 5 0 y - x - y z - 3 0 son perpendiculares. Solución: Debemos calcular el producto escalar entre los vectores normales a los planos dados, esto es: 1 . (-1) + 1 . (-1) + 1 . 1 = - 1 - 1 + 1 = -1 0 los planos no son perpendiculares.. PROBLEMAS 1). Determina la ecuación del plano sabiendo que p 1; 2; 2 y a (2; 0; 1) .. 2) a) Determina, que un plano no paralelo a los ejes coordenados y que no contiene al origen, admite por ecuación una expresión de la forma:. x y z 1; p, q, r R - 0 , que se p q r. conoce con el nombre de ecuación segmentaria del plano. b) A partir de la ecuación segmentaria del plano, analiza las intersecciones del mismo con los ejes coordenados. 3) Dada la ecuación del plano 3x 2y 6z 12 0 , determina:. 4. P O LI T. POLITECNICO.
(6) a) su ecuación segmentaria b) sus intersecciones con los ejes coordenados c) su representación gráfica. 4) Tres puntos no alineados determinan un único plano. Determina la ecuación del plano que contiene a los puntos p 1; 1; 2 ; t0; 3; 3 y v1; 3; 4 . 5) Representa los siguiente conjuntos de puntos y define el lugar geométrico que determina cada uno: x y a) A x; y; z / d) D x; y / x 1 z 1 2 3 y z b) B x; y; z / e) E x; y; z / x 1 1 5 2 c) C x / x 1 6) Sea la ecuación del plano ) ax by cz d 0 . Determina las características geométricas del mismo si: a) a 0 d) a b 0 b) b 0 e) b c 0 c) c 0 f) a c 0 7) El plano es perpendicular a los planos 2x 3y z 1 0 y x y z 3 0 . Determina la ecuación de si el punto 1; 2; 4 pertenece al mismo. 8) Los vectores a 1; 1; 4 y b (0; 3; 1) son paralelos al plano y además el punto 1; 2; 2 pertenece al mismo. Determina la ecuación de . DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO Analizaremos a continuación el problema de cómo calcular la distancia desde un punto p 0 cualquiera a un plano ( p 0 no perteneciente a ). Para ello te proponemos que realices los siguientes pasos.. p0 i. Ubica y p 0 en un gráfico ii. ubica un punto p1 cualquiera de iii. determina p1p 0 iv. considera un vector n normal (perpendicular) a v. la distancia de p 0 a esta dada por. dist(p 0 ; ) proy n p1p 0. vector proy n p1p0. distp0 ; . n. p1. . POLITECNICO. 5. P O LI T.
(7) La recta y el plano PROBLEMAS 9) Demuestra que dado el plano perteneciente. dist(p0 ; ) . . y. el. punto. ) ax by cz d 0 , el punto p1 x1; y1; z1 . perteneciente. p0 x0 ; y0 ; z0 . ,. a. no. entonces. ax0 by0 cz0 d a2 b2 c 2. 10) Halla la distancia del punto r 1; 2; 4 al plano ) 2x 3y z 1 0 . 11) Determina la ecuación de el o los planos paralelos a 3x y - 5z 2 0 , cuya distancia al punto s 0; - 2; 3 es 140 . PROBLEMAS ADICIONALES 12) Determina el plano perpendicular al plano ) x + y + z - 1 = 0, paralelo al vector. u -1; 0; 2 y que pase por el punto p(0; -1; 2). 13) Determina justificando la respuesta si son V(verdaderas) o F(falsas) cada una de las siguientes proposiciones: a) Si 1 ) x y 2z 1 0 y 2 ) 2x 2y 1 0 entonces 1 // 2 b) el plano z = 3 es paralelo al eje z. c) Dos planos perpendiculares a un tercero son paralelos entre si. d) El plano x + 2y – 4 = 0 es paralelo al plano xy. e) Los planos 1 ) x 2y z 2 0 y 2 ) 2x y 3 0 son perpendiculares. 14) Dados los plano ) x 2y z 3 0 y ) x 2y z 5 0 , a) Justifica que son paralelos b) Calcula la distancia entre ambos, es decir, dist(; ) . RECTA EN EL ESPACIO ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS. T. La recta en el espacio como lugar geométrico Dados un punto p 0 y un vector no nulo u , la recta T paralela a u que pasa por p 0 , es el lugar geométrico de los puntos p tales que p 0 p // u o p 0p o .. p. po. u. De la definición, resulta: p T p 0p // u o p0p o p0p u ; R (**). A la expresión (**) ecuación vectorial de T paralela (o en la dirección de) al vector u que pasa por el punto p 0. 6. P O LI T. POLITECNICO.
(8) Fijado. un. sistema. o;. . i ; j; k ,. en. él. un. z. punto. p0 x 0 ; y 0 ; z 0 y un vector no nulo u u1; u2 ; u3 , para. p0. todo punto px; y; z perteneciente a la recta T paralela a. u que pasa por p 0 resulta:. k. p0p u ; R. u. j. p. i. y. x x 0 ; y - y 0 ; z - z0 u1; u2; u3 x. x x 0 ; y - y 0 ; z - z0 u1; u2; u3 x x 0 u1 y y 0 u2 ; R z z u 0 3 . de donde:. Es decir: x x0 u1 y y0 u2 ; R z z u 0 3 . (2). Parámetro Coordenadas del punto de paso Componentes escalares del vector dirección. A la expresión (2) la llamamos ecuaciones paramétricas de la recta T que pasa por el punto p 0 y es paralela al vector u .. ECUACIÓN CANÓNICA x x0 u1 Sea la recta T dada por sus ecuaciones paramétricas: y y0 u2 ; R z z u 0 3 . Suponiendo u1 ; u 2 y u3 distintos de cero, y despejando de todas las ecuaciones, resulta: x x0 (1) u1 y y0 (2) ; R u2 z z0 (3) u3 . POLITECNICO. 7. P O LI T.
(9) La recta y el plano Igualando (1) con (2) y con (3), obtenemos:. x x 0 y y 0 z z0 u1 u2 u3 A esta última expresión la llamamos “ecuación canónica de la recta T” que pasa por el punto p 0 y es paralela al vector u .. PROBLEMAS 15) Determina la ecuación canónica de la recta que: a) es paralela al vector u 2; 5; 1 y contiene al punto p 6; 4; 2 b). pasa por los puntos a 5; 4; 1 y b 3; 1; 5 . x 2 x 1 2 y z 5 16) Dadas las rectas R) y 1 3 ; R y T) , determina: 3 6 7 z 4 a) un vector paralelo a T b) si son paralelas c) un punto de R y otro de T. RECTA DETERMINADA POR LA INTERSECCIÓN DE DOS PLANOS NO PARALELOS. Si se conocen las ecuaciones de dos planos no paralelos y , y M es la recta intersección de dichos planos, la ecuación de la misma la podemos expresar con el sistema:. a x b1y c1z d1 0 M) 1 a2 x b2 y c 2 z d2 0. (***). siendo a1x b1y c1z d1 0 la ecuación del plano y a2 x b2y c 2z d2 0 la ecuación del plano . La ecuación (***) se la conoce con el nombre de “ecuación general de la recta”. Ejemplos: a) Determinar la ecuación de la recta A que pasa por el punto p (-2 ; 0 ; 1) y es paralela al vector u -1; 2; 1 . Solución:. x -2 - La recta A) y 2 ; z 1 . 8. P O LI T. POLITECNICO. R.
(10) 2x y - z 3 b) Dada la recta B) x y 3z 1 i. Determina un punto p B. ii. Calcula un vector v // B iii. Escribe sus ecuaciones paramétricas iv. Determina la intersección entre B y el plano xy. Solución: i). Si por ejemplo tomamos x = 0, resulta: y - z 3 1 1 5 3 z 1- 3z 4z -2 z - y 3 - y 2 2 2 y 3z 1. 5 1 p 0; : - 2 2 i. ii). j. k. 2 1 -1 4; - 7; 1 . Luego un vector podría ser: v 8; - 14; 2 . 1 1 3. iii). x 4 5 y - 7 ; R 2 1 z - 2 . iv). 2x y 3 z0 3 2x 1 x x 2 y 1 2 y 1 t 2; - 1; 0 x y 1. PROBLEMAS 17). x 2 Dado el plano 3 x + 2 y - 2 z + 5 = 0 y la recta y 1 ; R . ¿Existe intersección z -2 - entre ellos? En caso afirmativo determina analíticamente la misma.. 18). 2x - y z 6 Dada la recta , Calcula: -x y - z 1 a) sus ecuaciones paramétricas. b) las coordenadas del punto p para = 1 c) su intersección con el plano “yz”. POLITECNICO. 9. P O LI T.
(11) La recta y el plano 19). Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos p(3; 1; 0) y q(0; 2; -1) y que es paralelo a la recta de intersección de los planos: 2x z 3 y x y 3z 12 .. 20). ¿Tienen algún punto en común las rectas L y M?. x 1 L) y 3 2 ; R z 2 21). Grafica los siguientes lugares geométricos en distintos sistemas de referencia en el espacio: a) x; y; z / z 4 d) x; y; z / x 3; y 4; z 5 b) c). 22). x 17 3 M) y 4 ; R z -8 - . e) x; y; z / x; y; z / x 0; z 0 x; y; z / x ; y ; z 4; R. 3x 2y 6; z 0. Dados en un 0; i ; j;k el punto a(1; 0; -2) y los vectores ob ( 1; 1; 2) y v j k . Determina: . a). la ecuación de la recta ab. b). la ecuación del plano tal que contenga a la recta ab y sea paralelo al vector v. c) d). las coordenadas del punto de intersección de la recta ab con el plano xy la ecuación de recta S perpendicular al plano xz que pase por el punto a. . 23). Dados en un 0; i ; j;k , el punto m (0; 1; -1) y los vectores ot (1; 1; 2) y s i k . Determina justificando las respuestas. . ¿Es mto un ángulo recto? b) Si los puntos m; t y h(0; 2; 1) son coplanares. a). . c). 24). La recta T tal que T// mt oT .. Determina justificando la respuesta si son V(verdaderas) o F(falsas) cada una de las siguientes proposiciones: a). Las rectas R). 3 x 2y z 2 0 x3 y2 z y T) son paralelas. 1 2 3 x 4y 2z 1 0 2. x b) La recta y 2 ; R es perpendicular al plano 2x + 2y - 2z = 0. z 3 . c). 10. P O LI T. x 1 x y z 1 Las rectas : y 3 ; R y son paralelas. 2x y z 1 0 z 2 . POLITECNICO.
(12) x 1 4 Dados la recta R ) y 2 4 ; R y el plano ) 6x + 9y - 4z + 12 = 0. Determina si z 3 R .. 25). x 1 Dados el plano ) - 2x 3y 2z 6 0 y la recta M) y 2 2; R . Determina z 3 las coordenadas de p y t si M p y eje z t .. 26). Dado el plano de la figura. Determina: a) su ecuación segmentaria b) la ecuación de la recta perpendicular a que pasa por b .. 27). z. c(0;0;2). y. x y. a(2;0;0) x. RESPUESTAS Plano. z. 1. 2x z 0 2.. r. a. Demostración a cargo del alumno b. Intersección con el eje x p; 0; 0 Intersección con el eje y 0; q; 0 Intersección con el eje z 0; 0; r . q. y. x 3. a.. x y z 1 4 6 2. z. c.. b. Intersección con el eje x 4; 0; 0. 2. Intersección con el eje y 0; 6; 0. -4. Intersección con el eje z 0; 0; 2. -6. y x. POLITECNICO. 11. P O LI T.
(13) La recta y el plano 4.. 4x 4z 12 0. 5.. Se determinan características, las representaciones a cargo del alumno. 1 1 ; 1 2 3 . a. Plano perpendicular al vector ; b. c. d. e.. Plano paralelo al eje x Punto en un eje Recta en el plano xy paralela al eje y Plano paralelo al plano yz. a. b. c. d. e. f.. Paralelo al eje x Paralelo al eje y Paralelo al eje z Paralelo al plano xy Paralelo al plano yz Paralelo al plano xz. 6.. 7.. ) 4x 3y z 6 0. 8.. ) 13x y 3z 17 0. 9.. Demostración a cargo del alumno. 3. 10.. 14. 11.. 3x y 5z 87 0 3x y 5z 53 0. 12.. 2x 3y z 5 0. 13.. a. F. 14.. a.. b. F. 1 2 1 1 2 1. c. F b.. d. F. e. V. 2 6. Recta en el espacio x6 y4 z2 2 5. a.. 16.. a. Un vector paralelo a T puede ser 3; 6; 7 b. No son paralelos c. 0; 1; 4 R y 1; 2; 5 T. 17.. 3 10 3 Si existe intersección y es el punto ; ; 7 7 7. 12. P O LI T. POLITECNICO. b.. x 5 y 4 z 1 8 3 4. 15..
(14) 18.. x 3 a. posibles ecuaciones paramétricas y 5 ; R z b. 3; 6; 1. c. no existe intersección con el plano “yz”. 19.. 5x 7y 22z 8 0. 20.. Si, 2; 1; 3. 21.. A cargo del alumno. 22.. x 1 2 a. y ; R z 2 4 . b. ) - 5x 2y 2z 1 0. 1 c. 0; ; 0 2 . x 1 d. y λ ; λ R z 2. . 23.. a. mto no es recto. x c. T ) y 2; R z 3 . b. Si 24.. a. F. b. V. c. F. 25.. R no está incluida en . 26.. 13 14 1 p ; ; - y t0; 0; - 3 3 3 3. 27.. x y z a. 1 2 2 2. x b. por ejemplo R) y 2 ; R z . POLITECNICO. 13. P O LI T.
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