Dedicatoria.... a mis padres. iii

. . . a mis padres.

iii

Hab´ıa en el hombre algo de salvaje, de ind´omito, de inculto, que era necesario extirpar, una llama peligrosa que era necesario apagar.

El hombre, tal como la Naturaleza lo cre´o es un ser oscuro, impresionable y peligroso. . . . un bosque que no tiene trochas ni claro alguno.

un bosque as´ı debe ser limpiamente desbrozado, necesita ser limitado en su extensi´on, necesita caminos que lo surquen para ser abierto a la comunicaci´on exterior.

Tal es la funci´on de la escuela para forzar a la humana naturaleza, subyugarla y encausarla de acuerdo con los m´as sanos principios morales y sociales para hacer del hombre primitivo un miembro ´util de la comunidad, y despertar en ´el esas cualidades cuyo completo desarrollo llega a feliz t´ermino a trav´es de la bien calculada disciplina de cuartel.

Hermann Hesse.

Bajo la rueda.

Quiero agradecer a todos mis compa˜neros de la maestr´ıa. Al erudito Ivam, al perseverante Camacho, al ejemplar Roger, al sencillo Velis, al cr´ıtico Yorch y al Veto con suerte, porque con sus cr´ıticas, sus comentarios, las extensas discusiones, la sana competencia y su amistad, hicieron de la maestr´ıa una gran experiencia de aprendizaje.

A Estela, a Lili, a Lupita, a Aldrin, a Alonso, a Miguel, a Iv´an, a Juan, a Pacheco quienes compartieron esta experiencia conmigo y cuya amistad es invaluable.

A mi asesor, por el tiempo que me dedic´o en el desarrollo del presente trabajo.

A mis profesores, que comparten desinteresadamente su conocimiento con nosotros.

A Erandi, por que su forma de ver la vida me ha ense˜nado mucho.

A las secretarias, en especial a Flor y a Paty por todo su apoyo.

Al departamento de f´ısica, y al Cinvestav en general, por su brillante labor en la formaci´on de cient´ıficos.

Finalmene, al CONACYT, porque la beca que otorga a los estudiantes de ciencias, me permi- ti´o continuar con el placer de aprender, sin preocupaci´on por los recursos econ´omicos.

v

El t´ermino agregado por Holst a la 4-forma lagrangiana de Palatini, para generar las variables can´onicas utilizadas como punto de partida en la cuantizaci´on can´onica de la gravedad en la as´ı lla- mada gravedad cu´antica de lazos, describe por s´ı misma una teor´ıa de campo definida en un espacio tiempo de 4 dimensiones. El objetivo de este trabajo es estudiar, en el marco del an´alisis can´onico de Dirac, sin destruir la covarianza expl´ıcita de Lorentz local, el tipo de constricciones de esta teor´ıa.

Abstract

The term added by Holst to the Palatini Lagrangian 4-form, to generate the canonical variables used as the starting point for canonical quantization of gravity in the so-called loop quantum gravity, defines by itself a 4-dimensional field theory. The aim of this work is to study, in the framework of Dirac’s canonical analysis and without destroying local Lorentz covariance explicitly, the type of constraints of this theory.

vii

1. El algoritmo de Dirac-Bergmann 5 1.1. Sistemas con un n´umero finito de grados de libertad . . . 5 1.2. Teor´ıa de campos con constricciones . . . 14

2. Acci´on de Palatini 17

2.1. Formulaci´on lagrangiana . . . 17 2.2. Formulaci´on hamiltoniana . . . 19 2.3. An´alisis `a la Dirac reducido . . . . 22

3. Acci´on de Palatini auto-dual 25

3.1. Formulaci´on lagrangiana . . . 25 3.2. Formulaci´on hamiltoniana . . . 26 3.3. Variables de Ashtekar con ´ındices de SO(3) . . . 28

4. Acci´on definida ´unicamente por e^I∧ e^J∧ R_IJ[ω] 31

4.1. Formulaci´on lagrangiana . . . 32 4.2. Formulaci´on hamiltoniana . . . 33 4.3. An´alisis `a la Dirac reducido . . . . 35

5. Conclusiones 39

A. Igualdad de trazas 41

B. C´alculos de la acci´on de Palatini 45

C. C´alculos de la acci´on definida por el t´ermino de Holst 49

ix

En 1915 A. Einstein presenta un art´ıculo [10] donde describe los fundamentos de la teor´ıa de la relatividad general. En dicho trabajo, se describe la interacci´on gravitacional que, aunque a distan- cias peque˜nas es de muy baja intensidad comparada con las otras fuerzas de la naturaleza (como la fuerza el´ectrica), a grandes distancias sus efectos son muy importantes. Al mismo tiempo se formu- laba la teor´ıa cu´antica que describe los fen´omenos que ocurren a escalas microsc´opicas. Actualmente tenemos consolidadas estas dos teor´ıas de manera independiente, la teor´ıa de la relatividad general y la teor´ıa cu´antica de campos.

Uno de los grandes retos te´oricos actuales consiste en encontrar una teor´ıa cu´antica de la gra- vedad. Sin embargo, esta uni´on presenta problemas debido a que son teor´ıas que tienen formula- ciones conceptuales y matem´aticas muy diferentes. Por un lado, en la teor´ıa cu´antica de campos el espacio-tiempo est´a fijo y las interacciones ocurren sobre ´este. Pero en la relatividad general el espacio-tiempo es curvo por la presencia de materia.

La motivaci´on principal para unificar estas dos teor´ıas es, como hist´oricamente se ha visto, que cuando la formulaci´on de dos teor´ıas presenta incompatibilidades normalmente ´estas son debidas a que alguna parte de dichas teor´ıas, y por tanto de la naturaleza que ´estas describen, no se entiende completamente. As´ı, la unificaci´on genera no solo una teor´ıa m´as completa de la naturaleza sino una mejor comprensi´on de la misma.

Existen principalmente dos incursiones te´oricas, te´oricas porque debido a la falta de experi- mentos que nos gu´ıen s´olo podemos basarnos en argumentos matem´aticos y de consistencia, que pretenden conseguir este objetivo. Por un lado est´a la teor´ıa de cuerdas que propone que las part´ıcu- las fundamentales no son objetos puntuales, sino objetos extendidos en una dimensi´on. En alg´un sentido puede considerarse a la teor´ıa de cuerdas como una s´ıntesis de muchos intentos anteriores para cuantizar la gravedad: supergravedad, teor´ıas de Kaluza-Klein, etc. Sin embargo, recientemen- te, el optimismo se ha reducido ligeramente, debido a dificultades t´ecnicas y la ausencia de progreso.

Por otro lado, en a˜nos recientes, otro camino hacia la cuantizaci´on de la gravedad ha recibido mucha atenci´on, desde que Ashtekar [2] en 1986 reformulara la teor´ıa de la gravedad de Einstein en t´ermi- nos de nuevas variables, en las que pronto se observ´o que ´estas eran apropiadas para la cuantizaci´on

`a la Dirac. As´ı surge la llamada gravedad cu´antica de lazos.

Una de las caracter´ısticas de la gravitaci´on cu´antica de lazos es que no es una teor´ıa perturbativa como son principalmente las teor´ıas de part´ıculas. Esto, desde mi punto de vista, es una caracter´ıstica muy importante debido a que existen muchos ejemplos en los que el tratamiento no perturbativo

1

arroja resultados muy distintos al mismo an´alisis perturbativo. Consideremos, por ejemplo [3], la auto-energ´ıa de una carga puntual en una teor´ıa cl´asica de campos. Nosotros podemos tratar esta carga puntual como una secuencia de esferas de radio ², con densidad de masa y carga uniforme, cuando ² tiende a cero. Si ignoramos a la gravedad, la auto-energ´ıa de la esfera est´a dada por:

m(²) = m₀+ e²

²,

donde m₀ y e son, respectivamente, la masa y la carga (desnudas). Claramente, m(²) diverge cuando

² tiende a cero. Ahora consideremos la gravitaci´on Newtoniana e incluyamos el t´ermino apropiado para la auto-energ´ıa. Entonces, tenemos:

m(²) = m₀+e²

² −Gm²₀

² ,

que nuevamente diverge, a menos que los par´ametros m₀ y e sean ajustados (fine-tuned), en este caso m(²) = m₀ para todo ². Ahora utilicemos la relatividad general. La idea principal de la teor´ıa de Einstein es que toda la energ´ıa contribuye a la fuente del campo gravitacional. Lo que nos permite obtener

m(²) = m₀+e²

² −Gm²(²)

² .

Esta ecuaci´on puede resolverse para m(²) en t´erminos de los dem´as parametros, la ra´ız positiva est´a dada por

m(²) = −² 2G+ ²

2G s

1 +4G

² µ

m₀+e²

²

¶ ,

que, en el l´ımite cuando ² tiende a cero, proporciona m(² = 0) = e

√G.

Esta respuesta tiene tres caracter´ısticas muy importantes. Primero, es finita; la universalidad de la gravedad regulariza el l´ımite autom´aticamente. Segundo, el l´ımite no depende del valor (desnudo) de m₀ (no hay fine-tune). Finalmente, el resultado es esencialmente no perturbativo. Si hubi´esemos expandido en serie de potencias en t´erminos de la constante de Newton G, alrededor de G = 0, y posteriormente calculado el l´ımite ² → 0, hubi´esemos obtenido que cada t´ermino de la serie es divergente aunque la suma sea finita.

Hist´oricamente, despu´es de la formulaci´on de la teor´ıa de la relatividad general dada por Eins- tein, en los a˜nos 60, varios autores introducen el formalismo tetradial con el fin de poder acoplar part´ıculas de esp´ın semientero a la relatividad general. Esta elecci´on de variables alternativas ampl´ıa el espacio de configuraci´on, teniendo as´ı la libertad de rotaciones de Lorentz, que dejan invariante la m´etrica del espacio-tiempo.

Posteriormente se observ´o que la lagrangiana de Palatini es una lagrangiana para gravedad, en el sentido de que las ecuaciones de Einstein surgen de su variaci´on. Posteriormente Ashtekar [2]

obtiene una formulaci´on auto-dual, cuya forma lagrangiana fue por primera vez hallada por Samuel, Jacobson-Smolin [23]. ´Esta tiene la ventaja de que el an´alisis hamiltoniano es muy sencillo y de su variaci´on se obtiene gravedad compleja. Holst [13] agrega un t´ermino a la lagrangiana de Palatini de donde se obtiene la formulaci´on de Barbero [4] que es el punto de partida para cuantizaci´on en la gravedad cu´antica de lazos.

Sin embargo, el t´ermino a˜nadido por Holst forma por s´ı mismo una teor´ıa de campo. El objetivo de la presente tesis es analizar `a la Dirac la teor´ıa de campo cuya lagrangiana est´a dada por el t´ermino de Holst.

En el cap´ıtulo 1 se describe el m´etodo para tratar sistemas singulares, el m´etodo hamiltoniano `a la Dirac, el cual se utilizar´a en el cap´ıtulo 2 para analizar la lagrangiana de Palatini. En el cap´ıtulo 3 veremos la formulaci´on auto-dual. El cap´ıtulo 4 contiene la parte m´as importante de este trabajo, el an´alisis independiente del t´ermino de Holst. En el cap´ıtulo 5 se presenta un resumen de los resultados obtenidos y una breve discusi´on de ´estos.

Cap´ıtulo 1

El algoritmo de Dirac-Bergmann

Para sistemas con N grados de libertad definidos por una funci´on lagrangiana L(q, ˙qⁱ, t) las ecuaciones de Euler-Lagrange,

∂L

∂qⁱ − d dt

∂L

∂ ˙qⁱ = 0 (i = 1, . . . , N ), son expl´ıcitamente,

W_ikq¨^k= ∂L

∂qⁱ − ∂²L

∂ ˙qⁱ∂q^k ˙q^k− ∂²L

∂ ˙qⁱ∂t, con,

W_ik = ∂²L

∂ ˙qⁱ∂ ˙q^k.

De estas ecuaciones se pueden despejar las aceleraciones solamente si W = det(W_ik) 6= 0. La lagrangiana es llamada singular si el determinante de la matriz Hessiana W se anula, y regular de otro modo. De la misma forma para la definici´on de los momentos,

p_i = ∂L

∂ ˙qⁱ(q, ˙q, t),

se requiere nuevamente la condici´on W 6= 0 para que las velocidades ˙qⁱ se puedan despejar s´ola- mente en t´erminos de los momentos p_i, las coordenadas qⁱ y el tiempo t. Dada esta condici´on, es posible realizar la transformada de Legendre al sistema. En el caso singular, las coordenadas y los momentos no son independientes y por tanto, existen constricciones entre ellos. Estos sistemas requieren un tratamiento especial. Describir el tratamiento que debe utilizarse para estos “sistemas con constricciones” es el objetivo del presente cap´ıtulo.

1.1. Sistemas con un n´ umero finito de grados de libertad

En esta secci´on trataremos solamente sistemas con un n´umero finito de grados de libertad. El c´omo estos resultados pueden ser extendidos a teor´ıas de campo ser´a indicado en la siguiente sec- ci´on. El origen de las siguientes consideraciones es debida a Dirac [8], Bergmann y sus colaboradores (principalmente Anderson y Bergmann [1]).

5

Para obtener la formulaci´on hamiltoniana de un sistema din´amico comenzaremos por la defini- ci´on de los momentos

p_i = ∂L

∂ ˙qⁱ(q, ˙q); i = 1, . . . , N. (1.1.1) Si el rango R de W_ij = _{∂ ˙q}^∂pij es m´aximo (R = N ), se pueden resolver de esta relaci´on, al menos localmente, todas las velocidades para obtener ˙qⁱ = ˙qⁱ(q, p). Sin embargo si R < N entonces existe s´olo una matriz de R × R no degenerada W_αa = ^∂p_{∂ ˙q}^αa. Entonces, al menos localmente, es posible resolver las ecuaciones (1.1.1) para ˙q^a y expresar ´estas como funci´on de las coordenadas q, los momentos p_α, y las velocidades faltantes ˙q^ρ:

˙q^a= f^a(q, p_α, ˙q^ρ). (1.1.2)

Sin p´erdida de generalidad, asumiremos que el ´ındice a toma valores de 1 a R y ρ de R + 1 a N . El

´ındice α puede asumir R valores. Sustituyendo (1.1.2) en (1.1.1),

p_i = ˜g_i(q, ˙q^a, ˙q^ρ) = ˜g_i(q, f^a(q, p_α, ˙q^ρ), ˙q^ρ) = g_i(q, p_α, ˙q^ρ), (1.1.3) entonces g_α≡ p_α y las otras N − R funciones g no pueden depender de ˙q^ρ ya que de otro modo se podr´ıan despejar m´as velocidades, resultando:

p_r = g_r(q, p_α). (1.1.4)

Estas N − R relaciones entre coordenadas y momentos son llamadas constricciones primarias, un nombre dado por Anderson y Bergmann [1].

Para sistemas regulares (1.1.1) es una transformaci´on uno a uno del espacio fase de velocidades (que en coordenadas locales esta descrito por q, ˙q) al espacio de momentos (q, p). En el caso singular tomaremos las N variables qⁱ, las R variables p_α, y las N − R variables ˙q^ρ como coordenadas.

Definiendo el hamiltoniano can´onico como la siguiente funci´on (en t´ermino de dichas variables):

H_C(q, p_α, ˙q^ρ) ≡ p_iqⁱ− L(q, ˙q), (1.1.5) donde se debe entender que cuando el ´ındice i toma alguno de los valores de r, p_r tiene que ser reemplazado por g_r(q, p_α) (1.1.3) y, cuando el ´ındice i tome alguno de los valores de a, ˙q^a debe ser reemplazado por (1.1.2). Se puede probar que ^∂H_{∂ ˙q}ρ^C = 0 debido a la definici´on de los momentos (1.1.1). Las dem´as derivadas parciales son

∂H_C

∂p_α = ˙q^α+ ∂g_r

∂p_α ˙q^r, (1.1.6a)

∂H_C

∂qⁱ = −∂L

∂qⁱ +∂g_r

∂qⁱ ˙q^r. (1.1.6b)

El primer conjunto de estas ecuaciones puede ser comparado con (1.1.2). Sin p´erdida de generalidad podemos asumir que el ´ındice a junto con α toman valores de 1 a R, y ambos ρ y r toman valores de R + 1 a N . Por lo que la matriz W_αa es sim´etrica y

f^a(q, p_α, ˙q^ρ) = f^a(q, p_a, ˙q^r) = ∂H_C

∂p_a − ˙q^r∂g_r

∂p_a. (1.1.7)

Para una soluci´on de las ecuaciones de Euler-Lagrange, _∂q^∂Li = ˙p_i, las ecuaciones (1.1.6) son equiva- lentes a:

˙q^a= ∂H_c

∂p_a − ˙q^r∂g_r

∂p_a, (1.1.8a)

˙p_i = −∂H_c

∂qⁱ + ˙q^r∂g_r

∂qⁱ. (1.1.8b)

Estas ecuaciones se reducen a las ecuaciones de Hamilton para sistemas regulares pero con las siguientes observaciones: existen t´erminos extras del lado derecho de (1.1.8) que dependen de las N − R funciones ˙q^r, y relacionadas con esto, en el caso singular hay solamente N + R ecuaciones comparadas con las 2N ecuaciones del caso regular.

Debido a las constricciones (1.1.4) el movimiento est´a restringido al subespacio Γ_p del espacio fase Γ y H_C solamente est´a definido en Γ_p.

Nosotros quisi´eramos extender las ecuaciones (1.1.8) para que sean v´alidas en todo el espacio Γ.

Para este prop´osito haremos una distinci´on entre “igualdad d´ebil y fuerte”. Consideremos F (q, p) como una funci´on definida en una vecindad finita de Γ_p. La restricci´on de F en Γ_p se obtiene reemplazando p_r por g_r(q, p_a) de la eq. (1.1.4):

F (q, p)

¯¯

¯Γp

= F (q, p_a, g_r(q, p_a)).

Si F es id´enticamente cero despu´es de tal reemplazo, se dice que es “d´ebilmente cero” de acuerdo con Dirac [8]; y se denota por F ≈ 0. Sin embargo si F es id´enticamente cero sin el uso de las constricciones primarias, es decir, es cero en todo el espacio Γ se dice que F es “fuertemente cero”.

La hipersuperficie Γ_p puede ser definida por medio de ecuaciones d´ebiles. As´ı tenemos, G_r(q, p) ≡ p_r− g_r(q, p_a) ≈ 0.

¿Cu´al es la relaci´on entre igualdad d´ebil y fuerte? ¿Qu´e mas podemos decir del gradiente de la funci´on F en Γ_p? En la variaci´on de F ,

δF = ∂F

∂qⁱδqⁱ+∂F

∂p_iδp_i,

donde la variaci´on δqⁱ y δp_a son independientes en Γ_p, para la variaci´on δp_r tenemos, δp_r = ∂g_r

∂qⁱδqⁱ+ ∂g_r

∂p_aδp_a. Por lo tanto,

δF

¯¯

¯Γp

= µ∂F

∂qⁱ + ∂F

∂p_r

∂g_r

∂qⁱ

¶ δqⁱ+

µ∂F

∂p_a + ∂F

∂p_r

∂g_r

∂p_a

¶ δp_a, lo que implica que, para una funci´on F que se anula d´ebilmente, se satisface

∂F

∂qⁱ + ∂F

∂p_r

∂g_r

∂qⁱ

¯¯

¯Γp

= 0, i = 1, . . . , N,

a = 1, . . . , R,

∂F

∂p_a + ∂F

∂p_r

∂g_r

∂p_a

¯¯

¯Γp

= 0, r = R + 1, . . . , N.

Para g_rsustituimos G_ren estas ecuaciones y despreciamos los t´erminos que son proporcionales a G_r, los cuales son de todos modos d´ebilmente cero. De esta forma llegamos a las siguientes ecuaciones d´ebiles

∂

∂qⁱ µ

F − G_r∂F

∂p_r

¶

≈ 0, (1.1.9a)

∂

∂p_i µ

F − G_r∂F

∂p_r

¶

≈ 0. (1.1.9b)

En el segundo conjunto de ecuaciones hemos reemplazado el ´ındice a por i. Esta extensi´on es posible porque ^∂G_∂ps^r = δ^s_r, por lo que el lado izquierdo se anula id´enticamente. En conclusi´on,

F ≈ 0 ←→ F = G_r∂F

∂p_r,

esto es: una funci´on que se anulan d´ebilmente es una combinaci´on lineal de las constricciones pri- marias que definen Γ_p.

¿Qu´e hemos obtenido con estas definiciones?. Ahora estamos listos para tomar los resultados de la teor´ıa hamiltoniana para sistemas sin constricciones y extenderlos a sistemas con constricciones.

Por medio de (1.1.5) se introdujo una funci´on H_C(q, p_a) la cual est´a definida solo en Γ_p. H_C puede ser la restricci´on a la hipersuperficie Γ_p de la funci´on H⁰ definida sobre todo el espacio (o al menos sobre una vecindad de Γ_p), eso es H_C− H⁰ ≈ 0. Como H_C no depende de p_r las ecuaciones (1.1.9) implican,

∂H_C

∂qⁱ ≈ ∂

∂qⁱ µ

H⁰− G_r∂H⁰

∂p_r

¶ ,

∂H_C

∂p_i ≈ ∂

∂p_i µ

H⁰− G_r∂H⁰

∂p_r

¶ .

Comparando estas expresiones con (1.1.6) y utilizando nuevamente G_r en lugar de g_r obtenemos,

˙q^a−∂G_r

∂p_a ˙q^r≈ ∂

∂p_a µ

H⁰− G_r∂H⁰

∂p_r

¶ ,

∂L

∂qⁱ +∂G_r

∂qⁱ ˙q^r≈ − ∂

∂qⁱ µ

H⁰− G_r∂H⁰

∂p_r

¶ .

En la primera de estas ecuaciones el rango del ´ındice a puede ser extendido para incluir todo i debido a que las ecuaciones para los valores de i faltantes son trivialmente satisfechas. Con

H = H⁰− G_r∂H⁰

∂p_r, podemos escribir las ecuaciones anteriores como,

˙qⁱ ≈ ∂H

∂p_i + ˙q^r∂G_r

∂p_i ≈©

qⁱ, H + ˙q^rG_rª ,

∂L

∂qⁱ ≈ −∂H

∂qⁱ − ˙q^r∂G_r

∂qⁱ ≈©

p_i, H + ˙q^rG_rª .

Aqu´ı hemos usado la notaci´on de los parentesis de Poisson y se debe entender que estos son calcu- lados como si las q’s y las p’s fueran independientes.

S´olo despu´es de eso podemos imponer las constricciones; (´este es justamente el significado del signo ≈). Aunque H no est´a completamente definida, la restricci´on H = H_C permite usar H_C en lugar de H en estas ecuaciones. Y para las soluciones de las ecuaciones de Euler-Lagrange, _∂q^∂Li = ˙p_i finalmente obtenemos,

˙qⁱ ≈©

qⁱ, H_C + ˙q^rG_rª

, (1.1.10a)

˙p_i ≈©

p_i, H_C+ ˙q^rG_rª

. (1.1.10b)

Adem´as, tenemos todav´ıa las ecuaciones que definen la hipersuperficie de constricciones primarias Γ_p:

G_r(q, p) ≈ 0.

Entonces, aunque G_r se anula, puede modificar la din´amica ya que G_r debe anularse d´ebilmente, esto es, anularse en Γ_p. Las ecuaciones (1.1.10) muestran el precio que hay que pagar por usar los par´entesis de Poisson definidos en todo el espacio fase, estas son solo ecuaciones d´ebiles. Aparecen sin embargo en una forma elegantemente sim´etrica, en contraste con (1.1.8), y contienen m´as seme- janzas con las ecuaciones de movimiento de Hamilton para sistemas sin constricciones. Sin embargo, las ecuaciones (1.1.10) a´un contienen funciones arbitrarias ˙q^r, y m´as adelante regresaremos al pro- blema de cu´antas de ellas pueden ser determinadas.

Antes de hacer esto mencionaremos otro punto. Nosotros derivamos los resultados anteriores resolviendo expl´ıcitamente algunas velocidades y escribiendo las constricciones en la forma (1.1.4).

Esto puede ser complicado y no deseable en los ejemplos actuales. Si por ejemplo las constricciones pueden ser escritas en forma manifiestamete covariante es posible preferir no destruir esta propiedad.

Entonces reescribamos (1.1.10) en t´erminos de constricciones impl´ıcitas,

φ_r(q, p) ≈ 0 (r = R + 1, . . . , N ). (1.1.11) Podemos considerar las anteriores G_r= p_r− g_r(q, p_a) como una soluci´on expl´ıcita de φ_r ≈ 0.

Hay algo de ambig¨uedad en la forma funcional de (1.1.11) ya que podemos elegir tanto φ_r ≈ 0 como φ²_r ≈ 0, la ´ultima pudiendo ser tambi´en fuertemente cero. Por lo que tenemos que imponer una condici´on de minimalidad en la forma de (1.1.11) en el sentido de que una funci´on que se anula d´ebilmente debe ser fuertemente igual a una combinaci´on lineal de las constricciones que definen la hipersuperficie Γ_p. Esto est´a garantizado si la matriz de 2N × (N − R),

µ∂φ_r

∂qⁱ

∂φ_r

∂p_i

¶ ,

donde las derivadas deben ser evaluadas antes de usar las constricciones, tiene un n´umero finito de elementos y es de rango N − R. Derivando φ_r≈ 0 con respecto a qⁱ y p_a,

∂φ_r

∂qⁱ + ∂φ_r

∂p_s

∂g_s

∂qⁱ ≈ 0,

∂φ_r

∂p_a +∂φ_r

∂p_s

∂g_s

∂p_a ≈ 0.

La matriz V_rs ≡ ^∂φ_∂p^r

s debe ser no degenerada, de otra forma podr´ıamos eliminar algunas p’s y podr´ıamos obtener constricciones que involucren las q’s solamente, lo que es imposible dado que las constricciones primarias se obtienen de la definici´on de los momentos. Por tanto las ecuaciones anteriores pueden ser invertidas para obtener,

∂g_s

∂qⁱ ≈ −∂G_s

∂qⁱ ≈ −V_sr⁻¹∂φ_r

∂qⁱ,

∂g_s

∂p_a ≈ −∂G_s

∂p_a ≈ −V_sr⁻¹∂φ_r

∂p_a. Insertando en (1.1.10) obtenemos,

˙qⁱ≈©

qⁱ, H_Cª

+ ˙q^sV_sr⁻¹∂φ_r

∂p_i,

˙p_i ≈©

p_i, H_Cª

+ ˙q^sV_sr⁻¹∂φ_r

∂qⁱ. Entonces con µ_r = ˙q^sV_sr⁻¹ y

H_P = H_C+ µ^rφ_r, (1.1.15)

que en adelante llamaremos hamiltoniano primario. Las ecuaciones de movimiento para cualquier funci´on del espacio fase A(q, p) es:

A =˙ dA dt ≈©

A, H_Pª

ũ

A, H_Cª + µ^r©

A, φ_rª

, (1.1.16)

y los µ^r se asumen como multiplicadores de Lagrange.

Del tratamiento lagrangiano de los “sistemas din´amicos con constricciones” sabemos que algunas de las funciones arbitrarias originales se determinan por argumentos de consistencia. Consistencia significa que las derivadas temporales de las constricciones deben anulase (v´ıa las constricciones mismas). Una revisi´on an´aloga fue propuesta por Dirac [8] para la versi´on hamiltoniana de sistemas singulares. La evoluci´on temporal est´a caracterizada aqu´ı por (1.1.16). Las constricciones φ_r≈ 0 se deben preservar, por tanto tenemos

0≈ ˙φ^! _r≈©

φ_r, H_Cª + µ^s©

φ_r, φ_sª

. (1.1.17)

donde el s´ımbolo ≈ se lee como “debe ser d´ebilmente igual a”.^!

Para una teor´ıa derivada de un lagrangiano no admisible [9] estas relaciones ser´an inconsistentes.

Tomemos por ejemplo L = ˙q − q que nos lleva a H_C = q, φ = p − 1 y (1.1.17) demanda que 1 ≈ 0.

Nosotros excluiremos sistemas con estas propiedades “sin sentido” de una vez y para siempre. Asu- miremos que en (1.1.17) y en los pasos posteriores no surgen inconsistencias.

Para discutir las implicaciones de (1.1.17) definiremos, h_r ≡©

φ_r, H_Cª

, P_rs ≡© φ_r, φ_sª

, y distinguiremos cuatro casos:

Caso IA: h 6≈ 0 (no todas las h_r ≈ 0), det P 6≈ 0

Cuando esto ocurre las ecuaciones (1.1.17) forman un sistema de ecuaciones inhomogeneo para las µ’s con soluciones,

µ_s≈ −P_sr⁻¹h_r.

Las µ’s son determinadas (d´ebilmente), la ecuaci´on de movimiento para cualquier funci´on del espacio fase A(q, p) queda,

A ≈˙ ©

A, H_Cª

−© A, φ_rª

P_rs⁻¹©

φ_s, H_Cª .

Despu´es de especificar los valores iniciales de las coordenadas y momentos sujetos a las res- tricciones φ_r(q, p) ≈ 0 se pueden resolver estas ecuaciones sin ambig¨uedad.

Caso IB: h 6≈ 0, det P ≈ 0

Para que (1.1.17) tenga soluci´on debe cumplirse cierta relaci´on entre los componentes de h.

Supongamos que el rango de P es M . Como P es una matriz de (N − R) × (N − R) esto implica la existencia de (N − R) − M vectores nulos linealmente independientes e^(α), esto es,

e^(α)_s (q, p)P_sr≈ 0 (α = 1, . . . , N − R − M ).

Multiplicando (1.1.17) por estos vectores nulos obtenemos la condici´on,

0≈ e^{! (α)}_r h_r. (1.1.18)

Ahora, estas ecuaciones se deben cumplir o definir un n´umero L⁰ de nuevas constricciones independientes de las anteriores φ_r y de ellas mismas. Anderson y Bergmann [1] introduje- ron el nombre de “constricciones secundarias” para ´estas. Tales constricciones restringen el movimiento en el espacio fase a una hipersuperficie Γ⁰ de dimensi´on menor que Γ_p.

Caso IIA: h ≈ 0, det P 6≈ 0

Existe solamente la soluci´on trivial µ_r≈ 0, esto es, H_P = H_C. Si h ≈ 0 se origina de H_C = 0 se presenta una dificultad para interpretarlo ya que un Hamiltoniano nulo no permite din´amica.

Para evitar esta situaci´on debemos imponer como constricci´on secundaria a det P ≈ 0.^! Caso IIB: h ≈ 0, det P ≈ 0

Este es el caso de un sistema de ecuaciones homog´eneo para las µ’s en donde existe soluci´on no trivial. Si M es el rango de P , N − R − M multiplicadores son determinados (d´ebilmente).

En conclusi´on, vemos que hay situaciones que generan nuevas constricciones:©

φ_r, H_Cª

6≈ 0, det P ≈ 0 y H_C = 0, det P 6≈ 0.

Aunque el caso en que el hamiltoniano es id´enticamente cero es muy importante, ´este ser´a dejado fuera de nuestra discusi´on. Consideremos entonces el caso IB, en el que aparecen constricciones secundarias. La hipersuperficie Γ⁰ est´a definida por las N − R − L⁰ ecuaciones d´ebiles,

φ_r≈ 0

¯¯

¯Γ⁰ (r = R + 1, . . . , N ), χ_ρ⁰ ≈ 0

¯¯

¯Γ⁰ (ρ⁰ = 1, . . . , L⁰),

donde las χ’s son las relaciones funcionales independientes implicadas por (1.1.18) y, como fue in- dicado, la igualdad d´ebil se refiere ahora a Γ.

Las ecuaciones (1.1.17) despu´es de ser evaluadas en Γ, por consistencia, tienen que ser revisadas en Γ⁰. Por esto el rango de P puede disminuir (o quedarse igual) y el n´umero de relaciones (1.1.18) pueden incrementarse (o quedarse igual). Por lo que podemos obtener m´as constricciones llamadas terciarias, independientes de las primarias, las secundarias y de ellas mismas. Entonces todas las constricciones definen una hipersuperficie con dimensi´on menor que la de Γ⁰. Este proceso se continua hasta que la siguiente situaci´on es obtenida. El movimiento queda restringido a la hipersuperficie Γ⁰⁰ definida por las N − R constricciones primarias y las L⁰⁰ constricciones l-arias(l ≥ 2),

φ_r ≈ 0

¯¯

¯Γ⁰⁰ (r = R + 1, . . . , N ), χ_ρ⁰⁰ ≈ 0

¯¯

¯Γ⁰⁰ (ρ⁰⁰= 1, . . . , L⁰⁰).

La matriz con elementos© φ_r, φ_sª

tiene rango P (P ≤ N − R − L⁰⁰), y para cada vector nulo e^(p), es decir e^(p)_r ©

φ_r, H_Cª_Γ⁰⁰

≈ 0 se cumple, (P = 1, . . . , P ), la condici´on e^(p)_r ©

φ_r, H_Cª_Γ⁰⁰

≈ 0 se cumple. En lo siguiente todas las constricciones l-arias ser´an llamadas simplemente “secundarias”.

Por consistencia debemos pedir que las constricciones secundarias se preserven en el tiempo.

Esto implica un conjunto de condiciones,

©φ_r, H_Cª +©

φ_r, φ_sª µ^s ≈ 0

¯¯

¯Γ⁰⁰, (1.1.21a)

©χ_ρ⁰⁰, H_Cª +©

χ_ρ⁰⁰, φ_sª µ^s ≈ 0

¯¯

¯Γ⁰⁰. (1.1.21b)

La soluci´on de este sistema de ecuaciones para las µ’s est´a determinada por la matriz rectangular, µ ©φ_r, φ_sª

©χ_ρ⁰⁰, φ_sª

¶ ,

que tiene N − R columnas y N − R + L⁰⁰ filas. Cada vector nulo de esta matriz (e⁽ⁱ⁾_r , e⁽ⁱ⁾_ρ00), esto es e⁽ⁱ⁾_r ©

φ_r, φ_sª + e⁽ⁱ⁾_ρ00

©χ_ρ⁰⁰, φ_sª

≈ 0

¯¯

¯Γ⁰⁰, el super´ındice i numera los vectores nulos, lo que implica la condici´on

0≈ e^{! (i)}_r ©

φ_r, H_Cª + e⁽ⁱ⁾_ρ00

©χ_ρ⁰⁰, H_Cª

≈ 0

¯¯

¯Γ⁰⁰.

Estas ecuaciones nuevamente deben ser satisfechas o conducir a nuevas constricciones, que junto con las anteriores definen nuevamente una hipersuperficie. En el segundo caso debemos comenzar nuevamente este esquema iterativo en esta hipersuperficie.

Este proceso termina despu´es de un n´umero finito de pasos. En el siguiente punto, se tiene una hipersuperficie Γ_cen el espacio fase de dimensi´on 2N definida por:

φ_r ≈ 0

¯¯

¯Γc

r = R + 1, . . . , N, χ_ρ≈ 0

¯¯

¯Γc

ρ = 1, . . . , L L ≥ L⁰⁰. Para cada vector nulo e⁽ⁱ⁾ de la matriz,

D ≡

µ©φ_r, φ_sª

©χ_ρ, φ_sª

¶

, (1.1.23)

las condiciones

e⁽ⁱ⁾_r ©

φ_r, H_Cª

+ e⁽ⁱ⁾_ρ ©

χ_ρ, H_Cª

≈ 0

¯¯

¯Γc

,

se cumplen. Para los multiplicadores µ’s tenemos finalmente las ecuaciones,

©φ_r, H_Cª +©

φ_r, φ_sª µ^s≈ 0

¯¯

¯Γc

, (1.1.24a)

©χ_ρ, H_Cª +©

χ_ρ, φ_sª µ^s≈ 0

¯¯

¯Γc

. (1.1.24b)

Esta receta parece muy complicada. Podr´ıamos dibujar un diagrama de flujo pero no es necesario porque, en los casos pr´acticos, el proceso iterativo acaba despu´es de algunos pasos. Si el n´umero de constricciones es suficientemente peque˜no podemos olvidarnos completamente de todo acerca del rango, los vectores nulos, etc., y reconocer inmediatamente las implicaciones de las condiciones de consistencia, del tipo de (1.1.17) y (1.1.21).

Ahora regresemos a la pregunta ¿cu´antos de los multiplicadores en (1.1.24) pueden ser deter- minados?. La respuesta depende del rango de la matriz D, definida en (1.1.23). Si el rango de D es N − R, todos los µ^s son determinados. Este es el caso (IA) discutido anteriormente. Por otra parte si rank D = K, y K es menor que N − R, solamente K independientes combinaciones de los multiplicadores se fijan, dejando completamente libres N − R − K combinaciones lineales. Que el rango de D sea K significa que hay N − R − K relaciones,

©φ_r, φ_sª

e^(j)_s ≈ 0, (1.1.25a)

©χ_ρ, φ_sª

e^(j)_s ≈ 0, j = 1, . . . , N − R − K. (1.1.25b) Cualquier combinaci´on lineal de las constricciones φ_r es nuevamente una constricci´on. Definiendo especialmente,

φ^j ≡ e^j_rφ_r. (1.1.26)

Las ecuaciones (1.1.25a) nos dicen que todas las φ^j tienen un par´entesis de Poisson d´ebilmente nulo con todas las constricciones (primarias y secundarias):

©φ^j, φ_rª

© ≈ 0, φ^j, χ_ρª

≈ 0.

De acuerdo con Dirac una cantidad es llamada de primera clase si sus par´entesis de Poisson con todas las constricciones se anulan (al menos d´ebilmente). Denotaremos por φⁱ(i = N − R − K, . . . , N − R) a aquellas constricciones primarias que no son utilizadas en (1.1.26). Las φ^j son constricciones de primera clase, mientras que las φⁱ no lo son, ´estas son llamadas constricciones de segunda clase. El siguiente paso es separar las constricciones secundarias χ_ρ en estas dos clases. Esto puede lograrse con una matriz no singular A y matrices rectangulares B y C:

χ⁰_ρ= A_ρσχ_σ+ B_ρjφ^j+ C_ρiφⁱ.

Supongamos que hemos escogido estas matrices de tal forma que la mayor cantidad de χ’s sean de primera clase, llam´emoslas χ^Ay al resto χ^a.

Escribamos la suma φ_sµ^s que aparece en (1.1.24) en t´erminos de las constricciones de primera y segunda clase

φ_sµ^s= φ^jv_j+ φⁱu_i. Las ecuaciones (1.1.24) se convierten en

©φ^j, H_Cª

≈ 0, (1.1.28a)

©φ^A, H_Cª

≈ 0, (1.1.28b)

©φⁱ, H_Cª +©

φⁱ, φ^jª

u_j ≈ 0, (1.1.28c)

©χ^a, H_Cª +©

χ^a, φ^jª

u_j ≈ 0. (1.1.28d)

Como demostraremos posteriormente todos los multiplicadores u_j son determinados por (1.1.28c), (1.1.28d). Como todas las v_j desaparecen, obtenemos una importante conclusi´on: existen tantas combinaciones de multiplicadores no determinadas como constricciones de primera clase.

Para probar que los coeficientes u_j se determinan completamente, primero debemos convencernos que la matriz de todas las constricciones secundarias,

∆ =

µ©φⁱ, φ^jª © φⁱ, χ^bª

© ,

χ^a, φ^jª ©

χ^a, χ^bª

¶

, (1.1.29)

es no singular. Para una notaci´on conveniente rearreglaremos todas las constricciones secundarias en un solo conjunto ξ_λ = (φⁱ, χ^a). De todas maneras, posteriormente ser´an tratadas al mismo nivel.

Supongamos que la matriz ∆, con elementos© ξ_λ, ξ_µª

, es singular. Entonces al menos entre una de sus filas (o columnas) existe una relaci´on lineal,

r^λ∆_λµ≈ 0,

donde no todos los r^λ son cero. Como ξ es d´ebilmente cero vemos que

©r^λξ_λ, ξ_µª

≈ 0,

lo que muestra que la combinaci´on lineal r^λξ_λ tiene par´entesis de Poisson nulos con todas las cons- tricciones de segunda clase. Como estos par´entesis de Poisson con las constricciones de primera

clase tambien se anulan, r^λξ_λ deber´ıa ser de primera clase. Esto contradice la suposici´on de que comenzamos con un conjunto maximal de constricciones primarias.

En t´erminos de ∆ y ξ_µ, las ecuaciones (1.1.28c) y (1.1.28d) se pueden escribir como

©ξ_µ, H_Cª

+ ∆_µju_j ≈ 0, si multiplicamos estas ecuaciones con la inversa de ∆ obtenemos

u_j ≈ −∆⁻¹_jµ©

ξ_µ, H_Cª

, (1.1.30a)

∆⁻¹_aµ© ξ, H_Cª

≈ 0. (1.1.30b)

Como los u_j est´an determinados por (1.1.30a), la ecuaci´on de movimiento para una funci´on A del espacio fase,

A ≈˙ ©

A, H_Cª + v_i©

A, φⁱª + u_j©

A, φ^jª , queda como

A ≈˙ ©

A, H_Cª + v_i©

A, φⁱª

−© A, ξ_νª

∆⁻¹_νµ©

ξ_µ, H_Cª ,

y con la ayuda de (1.1.30b) podemos escribirla de forma que todas las constricciones de segunda clase aparecen en una forma sim´etrica:

A ≈˙ ©

A, H_Cª + v_i©

A, φⁱª

−© A, ξ_vª

∆⁻¹_νµ©

ξ_µ, H_Cª

. (1.1.31)

En una teor´ıa que posee s´olamente constricciones de segunda clase no aparecen funciones ar- bitrarias en el hamiltoniano. Un conjunto de variables can´onicas que satisfacen las constricciones determinan entonces uno y solo un estado f´ısico. Debido a que despu´es de fijar la norma solamente quedan constricciones de segunda clase, obtenemos el siguiente conteo de grados de libertad [12]:

2 ×

µn´umero de grados de libertad f´ısicos

¶

=

µ n´umero de variables can´onicas independientes

¶

=

µ n´umero total de variables can´onicas

¶

−

µ n´umero de constricciones de segunda clase originales

¶

−

µ n´umero de constricciones de primera clase independientes

¶

−

µ n´umero de condiciones de norma

¶

=

µno. de variables can´onicas

¶

−

µ no. de constricciones de segunda clase independientes

¶

− 2 ×

µ no. de constricciones de primera clase independientes

¶

(1.1.32)

1.2. Teor´ıa de campos con constricciones

Las constricciones en la teor´ıa de campo dejan de ser funciones del espacio fase, y son aho- ra funcionales que pueden depender tambi´en de las derivadas espaciales, φ_r = φ_r[Q, π, ∂_iQ, ∂_iπ].

El termino “espacial” se refiere a derivadas con respecto a ~x (s´olo en la forma instant´anea de la din´amica tiene el significado ordinario de “espacial”). Por tanto, en general, las constricciones ya no son relaciones algebraicas sino ecuaciones diferenciales. Otra caracter´ıstica especial de las teor´ıas de campo es el hecho de que, junto con φ_r ≈ 0, tambi´en todas las derivadas espaciales de φ_r e integrales con respecto a las variables espaciales son d´ebilmente cero. Por lo que la afirmaci´on de que las funciones que se anulan d´ebilmente son combinaci´on lineal de las constricciones, ya no es v´alida. Aunque las constricciones se escriben con un ´ındice discreto r, debe tenerse en mente que las constricciones son infinitas, es decir, existe una para cada r y cada punto del espacio. Por tanto, la suma que aparece en sistemas con un n´umero finito de grados de libertad debe reemplazarse por una integral.

El hamiltoniano primario queda, H_P = H_C+X

r

Z

d~x u^r(x)φ_r(x) = Z

d~x H_P, (1.2.1)

donde u^r(x) son funciones multiplicadoras. La condici´on que las constricciones primarias se conser- ven en el tiempo es,

0≈^! ©

φ_s, H_Pª

=©

φ_s, H_Cª +

Z

d~y u_r(y)©

φ_s(x), φ_r(y)ª

. (1.2.2)

Los par´entesis de Poisson© φ_r, φ_sª

definen la matriz P, P_rs(~x, ~y) =©

φ_r(x), φ_s(y)ª

x⁰=y⁰, (1.2.3)

que es discreta en r y s, y continua en x y y.

Si el determinante de P no es nulo, entonces tiene inversa P⁻¹. Pero n´otese que la inversa es tambi´en en el sentido continuo:

Z

d~y P_rs(~x, ~y)P_st⁻¹(~y, ~z) = Z

d~y P_rs⁻¹(~x, ~y)P_st(~y, ~z) = δ_rtδ(~x, ~z). (1.2.4) Por tanto puede ocurrir que no solo P⁻¹ sea una inversa sino que P⁻¹+ ˆP⁻¹ tambi´en lo sean, es

decir Z

dy P_rs(x, y) ˆP⁻¹(y, z) ≡ 0.

La inversa por lo tanto en general no es ´unica. Esta arbitrariedad, peculiar en las teor´ıas de campo, puede ser vista directamente en (1.2.2). La matriz P y los parentesis de Poisson ©

φ_r, H_Cª

son en general una superposici´on de funciones delta y de sus derivadas, por ejemplo

P_rs(~x, ~y) = a_rsδ(~x, ~y) + bⁱ_rs∂_iδ(~x, ~y) + (derivadas de orden superior).

Esta suma termina despu´es de un n´umero finito de t´erminos, dependiendo del orden de las deri- vadas que existan en el lagrangiano. La forma expl´ıcita de las funciones a_rs, bⁱ_rs no es importante para el siguiente argumento. S´olo si no aparecen derivadas de las funciones delta, las ecuaciones (1.2.2) pueden ser escritas como relaciones algebraicas; de otro modo es equivalente a un sistema de ecuaciones diferenciales para las u^r. En tal caso los multiplicadores no se fijan solamente por estas ecuaciones, a menos que se impongan condiciones de frontera.

Si det P = 0, la receta general de la secci´on anterior describe el manejo de los vectores nulos e^α_r,

es decir, Z

d~x e^(α)_r (x)P_rs(~x, ~y) = 0. (1.2.5) Pero de nuevo, estos vectores nulos no son determinados solamente por estas relaciones integrales.

Dejando estas dificultades, asumiremos que encontramos todas las constricciones primarias y se- cundarias. El siguiente paso ser´ıa identificar el n´umero m´aximo de constricciones de primera clase.

Aqu´ı otras peculiaridades pueden aparecer. Al contrario del caso con un n´umero finito de constric- ciones donde las constricciones de primera clase pueden ser encontradas algebraicamente, en las teor´ıas de campo podemos tener, por ejemplo, que una combinaci´on lineal de constricciones y de derivadas espaciales de constricciones se conviertan en constricciones de primera clase.

De cualquier modo, asumiremos que la separaci´on en constricciones de primera (ϕ) y segunda (ξ) clase se ha realizado. Los par´entesis de Poisson de las constricciones (ξ) definen una matriz ∆ con elementos

∆λ_µ(~x, ~y) =©

ξ_λ(x), ξ_µ(y)ª .

Pero contrariamente al caso con un n´umero finito de grados de libertad no existe una raz´on, `a priori, para que ∆ no sea singular. A´un si lo es, su inversa no es necesariamente ´unica.

Cap´ıtulo 2

Acci´on de Palatini

La lagrangiana de Einstein-Hilbert, dada por S_EH[e] =

Z

M

f ²_IJKLe^I∧ e^J∧ R^KL[ω[e]],

es una lagrangiana para gravedad, en el sentido de que las ecuaciones de movimiento de este sistema son las ecuaciones de Einstein, que depende funcionalmente de la t´etrada e. La lagrangiana de Pa- latini tiene la misma forma, pero ahora permitimos que la conexi´on ω sea un campo independiente, por lo que dependen funcionalmente de e y ω. Normalmente esto provoca que sea necesario intro- ducir multiplicadores de Lagrange que impliquen la relaci´on original. Sin embargo, esta lagrangiana tiene la peculiaridad que, al permitir que la conexi´on ω sea un campo independiente, la variaci´on de este mismo campo genera la relaci´on correcta.

En este cap´ıtulo analizamos la lagrangiana de Palatini. Realizamos la formulaci´on lagrangiana y observamos como ´esta es una buena lagrangiana para gravedad pura dado que describe relatividad general sin materia.

Posteriormente aplicamos el m´etodo de Dirac, descrito en el cap´ıtulo anterior, para obtener la formulaci´on hamiltoniana del sistema. ´Este muestra que surgen 10 constricciones de primera clase que identificamos como las generadoras de las simetr´ıas del sistema (las transformaciones de Lo- rentz y de difeomorfismos) y 12 constricciones de segunda clase que dan un total 2 grados de libertad.

Finalmente aplicamos una versi´on reducida del m´etodo de Dirac-Bergmann en donde, mediante el tratamiento algebraico de la lagrangiana, reducimos el n´umero de variables de nuestro sistema identificando directamente los momentos asociados. Vemos que este tratamiento alternativo arroja los mismos resultados de una manera m´as sencilla.

2.1. Formulaci´ on lagrangiana

Consideramos como punto de partida la acci´on de Palatini S_P[e, ω] =

Z

M

f ²_IJKLe^I∧ e^J ∧ F^KL[ω], (2.1.1) 17