Introducción a los Números Complejos
1◦Bachillerato de Ciencias de la Naturaleza y Tecnología
Departamento de Matemáticas
I.E.S. Virgen del Puerto - PLASENCIA
Curso 2015/16
Índice
1 Introducción
¿Por qué nuevos números?
Definiciones
Representación gráfica
2 Formas de los números complejos Forma binómica, polar y trigonométrica Ejemplos
3 Operaciones con complejos
Suma, diferencia, producto y división Ejemplo
Producto y división en forma polar
Ejemplo Potenciación Radicación Ejemplo
4 Ecuaciones y soluciones Ecuaciones
5 Problemas Propuestos
6 ¡No me cuentes historias!
De Moivre y Gauss
7 Bibliografía
8 Créditos
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Complejos Curso 2015/16 2 / 31
Introducción
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1| Introdu ión
Introducción ¿Por qué nuevos números?
La ecuación cuadrática x2+ 1 = 0 no tiene solución en el sistema de los números reales porque no existe un número real cuyo cuadrado sea −1.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Complejos Curso 2015/16 4 / 31
Introducción ¿Por qué nuevos números?
La ecuación cuadrática x2+ 1 = 0 no tiene solución en el sistema de los números reales porque no existe un número real cuyo cuadrado sea −1.
En el siglo XVI se introdujo el símbolo√
−1 para dar solución a la ecuación x2+ 1 = 0, aunque su significado no era comprendido. Este símbolo se empezó a representar más tarde poriii(fue Euler quien lo llamó así) factorizando el polinomio cuadrático x2+ 1 = 0 como (x + i ) · (x − i) (siendo por tanto sus soluciones x = ±i), sin preocuparse del significado o validez de dichas fórmulas.
Introducción ¿Por qué nuevos números?
La ecuación cuadrática x2+ 1 = 0 no tiene solución en el sistema de los números reales porque no existe un número real cuyo cuadrado sea −1.
En el siglo XVI se introdujo el símbolo√
−1 para dar solución a la ecuación x2+ 1 = 0, aunque su significado no era comprendido. Este símbolo se empezó a representar más tarde poriii(fue Euler quien lo llamó así) factorizando el polinomio cuadrático x2+ 1 = 0 como (x + i ) · (x − i) (siendo por tanto sus soluciones x = ±i), sin preocuparse del significado o validez de dichas fórmulas.
En el año 1799, Gauss demuestra el teorema fundamental del álgebra, que depende de los números complejos. Esto hizo pensar que tales números tenían un significado. Éste se puso de manifiesto con el desarrollo de las funciones de variable compleja y ya en pleno siglo XX con los famosos fractales desarrollados por iteración de la función compleja f (z) = z2+ c, siendo z un complejo y c una constante.
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Introducción ¿Por qué nuevos números?
La ecuación cuadrática x2+ 1 = 0 no tiene solución en el sistema de los números reales porque no existe un número real cuyo cuadrado sea −1.
En el siglo XVI se introdujo el símbolo√
−1 para dar solución a la ecuación x2+ 1 = 0, aunque su significado no era comprendido. Este símbolo se empezó a representar más tarde poriii(fue Euler quien lo llamó así) factorizando el polinomio cuadrático x2+ 1 = 0 como (x + i ) · (x − i) (siendo por tanto sus soluciones x = ±i), sin preocuparse del significado o validez de dichas fórmulas.
En el año 1799, Gauss demuestra el teorema fundamental del álgebra, que depende de los números complejos. Esto hizo pensar que tales números tenían un significado. Éste se puso de manifiesto con el desarrollo de las funciones de variable compleja y ya en pleno siglo XX con los famosos fractales desarrollados por iteración de la función compleja f (z) = z2+ c, siendo z un complejo y c una constante.
Vemos que, en el conjunto R, no podemos extraer la raíz cuadrada de −1. Necesitamos por tanto un nuevo conjunto que, incluyendo a R, nos permita extraer la raíz cuadrada de números negativos (en general la raíz de índice par de un número negativo). A este conjunto le llamamos conjunto de los números complejos, C. Observar que√
−1 = i ∈ C y R ⊂ C.
Introducción ¿Por qué nuevos números?
La ecuación cuadrática x2+ 1 = 0 no tiene solución en el sistema de los números reales porque no existe un número real cuyo cuadrado sea −1.
En el siglo XVI se introdujo el símbolo√
−1 para dar solución a la ecuación x2+ 1 = 0, aunque su significado no era comprendido. Este símbolo se empezó a representar más tarde poriii(fue Euler quien lo llamó así) factorizando el polinomio cuadrático x2+ 1 = 0 como (x + i ) · (x − i) (siendo por tanto sus soluciones x = ±i), sin preocuparse del significado o validez de dichas fórmulas.
En el año 1799, Gauss demuestra el teorema fundamental del álgebra, que depende de los números complejos. Esto hizo pensar que tales números tenían un significado. Éste se puso de manifiesto con el desarrollo de las funciones de variable compleja y ya en pleno siglo XX con los famosos fractales desarrollados por iteración de la función compleja f (z) = z2+ c, siendo z un complejo y c una constante.
Vemos que, en el conjunto R, no podemos extraer la raíz cuadrada de −1. Necesitamos por tanto un nuevo conjunto que, incluyendo a R, nos permita extraer la raíz cuadrada de números negativos (en general la raíz de índice par de un número negativo). A este conjunto le llamamos conjunto de los números complejos, C. Observar que√
−1 = i ∈ C y R ⊂ C.
Cuando estudiamos los números reales, vimos que éstos surgieron al aparecer ciertos números (los irracionales, I) que no podían expresarse como fracciones (racionales, Q). Los números complejos nacen de igual forma. Por una parte tenemos los números reales y por otra los números imaginarios(raíces de índice par de números negativos). El conjunto C integra a estos dos conjuntos.
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Introducción ¿Por qué nuevos números?
La ecuación cuadrática x2+ 1 = 0 no tiene solución en el sistema de los números reales porque no existe un número real cuyo cuadrado sea −1.
En el siglo XVI se introdujo el símbolo√
−1 para dar solución a la ecuación x2+ 1 = 0, aunque su significado no era comprendido. Este símbolo se empezó a representar más tarde poriii(fue Euler quien lo llamó así) factorizando el polinomio cuadrático x2+ 1 = 0 como (x + i ) · (x − i) (siendo por tanto sus soluciones x = ±i), sin preocuparse del significado o validez de dichas fórmulas.
En el año 1799, Gauss demuestra el teorema fundamental del álgebra, que depende de los números complejos. Esto hizo pensar que tales números tenían un significado. Éste se puso de manifiesto con el desarrollo de las funciones de variable compleja y ya en pleno siglo XX con los famosos fractales desarrollados por iteración de la función compleja f (z) = z2+ c, siendo z un complejo y c una constante.
Vemos que, en el conjunto R, no podemos extraer la raíz cuadrada de −1. Necesitamos por tanto un nuevo conjunto que, incluyendo a R, nos permita extraer la raíz cuadrada de números negativos (en general la raíz de índice par de un número negativo). A este conjunto le llamamos conjunto de los números complejos, C. Observar que√
−1 = i ∈ C y R ⊂ C.
Cuando estudiamos los números reales, vimos que éstos surgieron al aparecer ciertos números (los irracionales, I) que no podían expresarse como fracciones (racionales, Q). Los números complejos nacen de igual forma. Por una parte tenemos los números reales y por otra los números imaginarios(raíces de índice par de números negativos). El conjunto C integra a estos dos conjuntos.
Observar que los números imaginarios tienen la forma b · i con b ∈ R, por ejemplo
√−4 =p
4 · (−1) = 2√
−1 = 2 · i. Si a es un número real, cualquier complejo (real o imaginario) lo podemos expresar como a + b · i, pues si b = 0 tendremos un real y si a = 0 tendremos un imaginario.
Introducción Definiciones
Definición de número complejo
Se llama número complejo a la expresión a + b · i, donde a y b son números reales.
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Introducción Definiciones
Definición de número complejo
Se llama número complejo a la expresión a + b · i, donde a y b son números reales.
aes la parte real y b · i es la parte imaginaria.
Introducción Definiciones
Definición de número complejo
Se llama número complejo a la expresión a + b · i, donde a y b son números reales.
aes la parte real y b · i es la parte imaginaria.
El conjunto de los números complejos se representa mediante el símbolo C.
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Introducción Definiciones
Definición de número complejo
Se llama número complejo a la expresión a + b · i, donde a y b son números reales.
aes la parte real y b · i es la parte imaginaria.
El conjunto de los números complejos se representa mediante el símbolo C.
Esta forma de expresar los números complejos, a + b · i, se llama forma binómica.
Introducción Definiciones
Definición de número complejo
Se llama número complejo a la expresión a + b · i, donde a y b son números reales.
aes la parte real y b · i es la parte imaginaria.
El conjunto de los números complejos se representa mediante el símbolo C.
Esta forma de expresar los números complejos, a + b · i, se llama forma binómica.
Dos números complejos, a + b · i y c + d · i, son iguales cuando a = c y b = d.
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Introducción Definiciones
Definición de número complejo
Se llama número complejo a la expresión a + b · i, donde a y b son números reales.
aes la parte real y b · i es la parte imaginaria.
El conjunto de los números complejos se representa mediante el símbolo C.
Esta forma de expresar los números complejos, a + b · i, se llama forma binómica.
Dos números complejos, a + b · i y c + d · i, son iguales cuando a = c y b = d.
El opuesto de z = a + b · i es el número complejo −z = −a − b · i.
Introducción Definiciones
Definición de número complejo
Se llama número complejo a la expresión a + b · i, donde a y b son números reales.
aes la parte real y b · i es la parte imaginaria.
El conjunto de los números complejos se representa mediante el símbolo C.
Esta forma de expresar los números complejos, a + b · i, se llama forma binómica.
Dos números complejos, a + b · i y c + d · i, son iguales cuando a = c y b = d.
El opuesto de z = a + b · i es el número complejo −z = −a − b · i.
Dado un número complejo z = a + b · i, llamamos conjugado de z, y lo representamos por ¯z, al número complejo ¯z= a − b · i (observar que cambiamos b · i por −b · i).
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Introducción Definiciones
Definición de número complejo
Se llama número complejo a la expresión a + b · i, donde a y b son números reales.
aes la parte real y b · i es la parte imaginaria.
El conjunto de los números complejos se representa mediante el símbolo C.
Esta forma de expresar los números complejos, a + b · i, se llama forma binómica.
Dos números complejos, a + b · i y c + d · i, son iguales cuando a = c y b = d.
El opuesto de z = a + b · i es el número complejo −z = −a − b · i.
Dado un número complejo z = a + b · i, llamamos conjugado de z, y lo representamos por ¯z, al número complejo ¯z= a − b · i (observar que cambiamos b · i por −b · i).
Si b = 0 el número complejo se convierte en un número real.
Introducción Definiciones
Definición de número complejo
Se llama número complejo a la expresión a + b · i, donde a y b son números reales.
aes la parte real y b · i es la parte imaginaria.
El conjunto de los números complejos se representa mediante el símbolo C.
Esta forma de expresar los números complejos, a + b · i, se llama forma binómica.
Dos números complejos, a + b · i y c + d · i, son iguales cuando a = c y b = d.
El opuesto de z = a + b · i es el número complejo −z = −a − b · i.
Dado un número complejo z = a + b · i, llamamos conjugado de z, y lo representamos por ¯z, al número complejo ¯z= a − b · i (observar que cambiamos b · i por −b · i).
Si b = 0 el número complejo se convierte en un número real.
Si a = 0 el número complejo se dice que es imaginario puro.
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Introducción Representación gráfica
Eje real
Eje imaginario
b a
(a, b)
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS COMPLEJOS
Los números reales se representaban en la recta real Los números complejos se representaban en elplano
complejo, tal como vemos en el dibujo.
El eje X es llamadoeje real En él se representa la parte real del complejo
El eje Y es llamadoeje imaginario En él se representa la parte imaginaria del complejo A cada complejo z = a + b · i le hacemos corresponder
el punto de coordenadas (a, b) en el plano complejo.
(a, −b)
(−a, −b) Vemos representado también el conjugado, (a, −b) y el opuesto, (−a, −b)
Formas de los números complejos
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2| Formas de los
omplejos
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Formas de los números complejos Forma binómica, polar y trigonométrica
Ya hemos visto que los complejos los expresamos como a + b · i, que se denominaforma binómica.
Formas de los números complejos Forma binómica, polar y trigonométrica
Ya hemos visto que los complejos los expresamos como a + b · i, que se denominaforma binómica.
Otra forma de expresar los complejos es mediante la llamadaforma polar. Esta consiste en dar el número en la forma mα, donde m, llamadomódulo, es la distancia del origen al punto y que es fácil ver que es igual a m = |z| =√
a2+ b2; α, que se llamaargumento, es α = arctan(b a).
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Formas de los números complejos Forma binómica, polar y trigonométrica
Ya hemos visto que los complejos los expresamos como a + b · i, que se denominaforma binómica.
Otra forma de expresar los complejos es mediante la llamadaforma polar. Esta consiste en dar el número en la forma mα, donde m, llamadomódulo, es la distancia del origen al punto y que es fácil ver que es igual a m = |z| =√
a2+ b2; α, que se llamaargumento, es α = arctan(b a).
El siguiente dibujo nos aclara la situación
Eje real
Eje imaginario
(a, b) m
α
Si m = |z| =√a2+ b2 y α = arctan(b
a), entonces
a a a + b · i = m + b · i = m + b · i = m
αααObservación: De la definición de argumento vemos que éste tiene infinitas soluciones. El problema lo solucionamos si nos restringimos al intervalo [0, 2π), obteniendo un sólo valor que llamamosargumento principal.
Formas de los números complejos Forma binómica, polar y trigonométrica
Otra forma de expresar los complejos es mediante la llamadaforma trigonométrica. Del dibujo vemos que a = m · cos α y b = m · sin α, y podemos escribir el número complejo como z= a + b · i = m · cos α + m · sin α · i = m · (cos α + i · sin α) El siguiente dibujo nos aclara la situación
Eje real
Eje imaginario
(a, b) m
α
Si a = m · cos α y b = m · sin α entonces
a a a + b · i = m · (cos α + i · sin α) + b · i = m · (cos α + i · sin α) + b · i = m · (cos α + i · sin α)
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Formas de los números complejos Ejemplos
Dado el número complejo z= 1 − i, pasarlo a forma polar y forma trigonométrica.
Formas de los números complejos Ejemplos
Dado el número complejo z= 1 − i, pasarlo a forma polar y forma trigonométrica.
Forma polar: Sabemos que |z| se encuentra en el segundo cuadrante. Tenemos que m= |z| =√12+ 12y que α = arctan−11 = 135. Así,
z= 1 − i =√ 2135
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Formas de los números complejos Ejemplos
Dado el número complejo z= 1 − i, pasarlo a forma polar y forma trigonométrica.
Forma polar: Sabemos que |z| se encuentra en el segundo cuadrante. Tenemos que m= |z| =√12+ 12y que α = arctan−11 = 135. Así,
z= 1 − i =√ 2135
Forma trigonométrica: Del apartado anterior tenemos z=√
2 (cos 135 + i · sin 135)
Formas de los números complejos Ejemplos
Dado el número complejo z= 1 − i, pasarlo a forma polar y forma trigonométrica.
Forma polar: Sabemos que |z| se encuentra en el segundo cuadrante. Tenemos que m= |z| =√12+ 12y que α = arctan−11 = 135. Así,
z= 1 − i =√ 2135
Forma trigonométrica: Del apartado anterior tenemos z=√
2 (cos 135 + i · sin 135)
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Formas de los números complejos Ejemplos
Dado el número complejo z= 1 − i, pasarlo a forma polar y forma trigonométrica.
Forma polar: Sabemos que |z| se encuentra en el segundo cuadrante. Tenemos que m= |z| =√12+ 12y que α = arctan−11 = 135. Así,
z= 1 − i =√ 2135
Forma trigonométrica: Del apartado anterior tenemos z=√
2 (cos 135 + i · sin 135)
Dado el número complejo z= 2240, pasarlo a forma trigonométrica y a forma binómica.
Formas de los números complejos Ejemplos
Dado el número complejo z= 1 − i, pasarlo a forma polar y forma trigonométrica.
Forma polar: Sabemos que |z| se encuentra en el segundo cuadrante. Tenemos que m= |z| =√12+ 12y que α = arctan−11 = 135. Así,
z= 1 − i =√ 2135
Forma trigonométrica: Del apartado anterior tenemos z=√
2 (cos 135 + i · sin 135)
Dado el número complejo z= 2240, pasarlo a forma trigonométrica y a forma binómica.
Forma trigonométrica: Sabemos que z se encuentra en el tercer cuadrante. Tenemos que α = 240 y m = 2 Así,
z= 2 · (cos 240 + i · sin 240)
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Formas de los números complejos Ejemplos
Dado el número complejo z= 1 − i, pasarlo a forma polar y forma trigonométrica.
Forma polar: Sabemos que |z| se encuentra en el segundo cuadrante. Tenemos que m= |z| =√12+ 12y que α = arctan−11 = 135. Así,
z= 1 − i =√ 2135
Forma trigonométrica: Del apartado anterior tenemos z=√
2 (cos 135 + i · sin 135)
Dado el número complejo z= 2240, pasarlo a forma trigonométrica y a forma binómica.
Forma trigonométrica: Sabemos que z se encuentra en el tercer cuadrante. Tenemos que α = 240 y m = 2 Así,
z= 2 · (cos 240 + i · sin 240) Forma binómica: Del apartado anterior tenemos
a= 2 · cos 240 = −1 b= 2 · sin 240 = −√ 3 y por tanto
z= a + b · i = −1 −√ 3 · i
Operaciones con complejos
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3| Opera iones
on omplejos
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Operaciones con complejos Suma, diferencia, producto y división
Las operaciones que se pueden realizar con los complejos son las mismas que con lo números reales. Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se pueden realizar en forma binómica, aunque el producto (y por tanto la potenciación) y la división son más fáciles de realizar en forma polar. Veamos las distintas operaciones en forma binómica
Suma y diferencia
Operaciones con complejos Suma, diferencia, producto y división
Las operaciones que se pueden realizar con los complejos son las mismas que con lo números reales. Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se pueden realizar en forma binómica, aunque el producto (y por tanto la potenciación) y la división son más fáciles de realizar en forma polar. Veamos las distintas operaciones en forma binómica
Suma y diferencia
La suma o la diferencia de complejos es otro complejo cuya parte real es la suma o diferencia de las partes reales y la parte imaginaria la suma o diferencia de las partes imaginarias.
(a + b · i) + (c + d · i) = (a + c) + (b + d) · i (a + b · i) − (c + d · i) = (a − c) + (b − d) · i
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Operaciones con complejos Suma, diferencia, producto y división
Las operaciones que se pueden realizar con los complejos son las mismas que con lo números reales. Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se pueden realizar en forma binómica, aunque el producto (y por tanto la potenciación) y la división son más fáciles de realizar en forma polar. Veamos las distintas operaciones en forma binómica
Suma y diferencia
La suma o la diferencia de complejos es otro complejo cuya parte real es la suma o diferencia de las partes reales y la parte imaginaria la suma o diferencia de las partes imaginarias.
(a + b · i) + (c + d · i) = (a + c) + (b + d) · i (a + b · i) − (c + d · i) = (a − c) + (b − d) · i
Producto(recordar que i =√
−1 ⇒ i2= −1)
Operaciones con complejos Suma, diferencia, producto y división
Las operaciones que se pueden realizar con los complejos son las mismas que con lo números reales. Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se pueden realizar en forma binómica, aunque el producto (y por tanto la potenciación) y la división son más fáciles de realizar en forma polar. Veamos las distintas operaciones en forma binómica
Suma y diferencia
La suma o la diferencia de complejos es otro complejo cuya parte real es la suma o diferencia de las partes reales y la parte imaginaria la suma o diferencia de las partes imaginarias.
(a + b · i) + (c + d · i) = (a + c) + (b + d) · i (a + b · i) − (c + d · i) = (a − c) + (b − d) · i
Producto(recordar que i =√
−1 ⇒ i2= −1) La multiplicación se realiza como el producto de dos binóminos (a + b · i) · (c + d · i) = (ac − bd) + (ad + bc) · i
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Operaciones con complejos Suma, diferencia, producto y división
Las operaciones que se pueden realizar con los complejos son las mismas que con lo números reales. Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se pueden realizar en forma binómica, aunque el producto (y por tanto la potenciación) y la división son más fáciles de realizar en forma polar. Veamos las distintas operaciones en forma binómica
Suma y diferencia
La suma o la diferencia de complejos es otro complejo cuya parte real es la suma o diferencia de las partes reales y la parte imaginaria la suma o diferencia de las partes imaginarias.
(a + b · i) + (c + d · i) = (a + c) + (b + d) · i (a + b · i) − (c + d · i) = (a − c) + (b − d) · i
Producto(recordar que i =√
−1 ⇒ i2= −1) La multiplicación se realiza como el producto de dos binóminos (a + b · i) · (c + d · i) = (ac − bd) + (ad + bc) · i
División
Operaciones con complejos Suma, diferencia, producto y división
Las operaciones que se pueden realizar con los complejos son las mismas que con lo números reales. Las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división) se pueden realizar en forma binómica, aunque el producto (y por tanto la potenciación) y la división son más fáciles de realizar en forma polar. Veamos las distintas operaciones en forma binómica
Suma y diferencia
La suma o la diferencia de complejos es otro complejo cuya parte real es la suma o diferencia de las partes reales y la parte imaginaria la suma o diferencia de las partes imaginarias.
(a + b · i) + (c + d · i) = (a + c) + (b + d) · i (a + b · i) − (c + d · i) = (a − c) + (b − d) · i
Producto(recordar que i =√
−1 ⇒ i2= −1) La multiplicación se realiza como el producto de dos binóminos (a + b · i) · (c + d · i) = (ac − bd) + (ad + bc) · i
División
La división de dos complejos se realiza multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador
a+ b · i
c+ d · i = a+ b · i
c+ d · i·c− d · i
c− d · i =ac+ bd
c2+ d2 +bc− ad c2+ d2 · i
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Operaciones con complejos Ejemplo
Dados los complejos z1= 1 − i y z2= 1 +√
2 · i, realiza las siguientes operaciones: z1+ z2, z1− z2, z1· z2y z1/z2.
Operaciones con complejos Ejemplo
Dados los complejos z1= 1 − i y z2= 1 +√
2 · i, realiza las siguientes operaciones: z1+ z2, z1− z2, z1· z2y z1/z2.
Suma:
z1+ z2= (1 − i) + (1 +√
2 · i) = (1 + 1) + (−1 +√
2) · i = 2 + (√ 2 − 1) · i
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Operaciones con complejos Ejemplo
Dados los complejos z1= 1 − i y z2= 1 +√
2 · i, realiza las siguientes operaciones: z1+ z2, z1− z2, z1· z2y z1/z2.
Suma:
z1+ z2= (1 − i) + (1 +√
2 · i) = (1 + 1) + (−1 +√
2) · i = 2 + (√ 2 − 1) · i Resta:
z1− z2= (1 − i) − (1 +√
2 · i) = (1 − 1) + (−1 −√
2) · i = −(√ 2 + 1) · i
Operaciones con complejos Ejemplo
Dados los complejos z1= 1 − i y z2= 1 +√
2 · i, realiza las siguientes operaciones: z1+ z2, z1− z2, z1· z2y z1/z2.
Suma:
z1+ z2= (1 − i) + (1 +√
2 · i) = (1 + 1) + (−1 +√
2) · i = 2 + (√ 2 − 1) · i Resta:
z1− z2= (1 − i) − (1 +√
2 · i) = (1 − 1) + (−1 −√
2) · i = −(√ 2 + 1) · i Producto:
z1·z2= (1−i)·(1+√
2·i) = 1·1+1·√
2i −i·1−i·√
2i = 1+√ 2i −i+√
2 = (1+√ 2)+(√
2−1)·i
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Operaciones con complejos Ejemplo
Dados los complejos z1= 1 − i y z2= 1 +√
2 · i, realiza las siguientes operaciones: z1+ z2, z1− z2, z1· z2y z1/z2.
Suma:
z1+ z2= (1 − i) + (1 +√
2 · i) = (1 + 1) + (−1 +√
2) · i = 2 + (√ 2 − 1) · i Resta:
z1− z2= (1 − i) − (1 +√
2 · i) = (1 − 1) + (−1 −√
2) · i = −(√ 2 + 1) · i Producto:
z1·z2= (1−i)·(1+√
2·i) = 1·1+1·√
2i −i·1−i·√
2i = 1+√ 2i −i+√
2 = (1+√ 2)+(√
2−1)·i División:
z1: z2= 1 − i 1 +√
2 · i·1 −√ 2 · i 1 −√
2 · i =(1 −√
2) − (1 +√ 2) · i
12− (√2i)2 =1 −√ 2
3 −1 +√ 2 3 · i
Operaciones con complejos Ejemplo
Dados los complejos z1= 1 − i y z2= 1 +√
2 · i, realiza las siguientes operaciones: z1+ z2, z1− z2, z1· z2y z1/z2.
Suma:
z1+ z2= (1 − i) + (1 +√
2 · i) = (1 + 1) + (−1 +√
2) · i = 2 + (√ 2 − 1) · i Resta:
z1− z2= (1 − i) − (1 +√
2 · i) = (1 − 1) + (−1 −√
2) · i = −(√ 2 + 1) · i Producto:
z1·z2= (1−i)·(1+√
2·i) = 1·1+1·√
2i −i·1−i·√
2i = 1+√ 2i −i+√
2 = (1+√ 2)+(√
2−1)·i División:
z1: z2= 1 − i 1 +√
2 · i·1 −√ 2 · i 1 −√
2 · i =(1 −√
2) − (1 +√ 2) · i
12− (√2i)2 =1 −√ 2
3 −1 +√ 2 3 · i
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Complejos Curso 2015/16 13 / 31
Operaciones con complejos Ejemplo
Dados los complejos z1= 1 − i y z2= 1 +√
2 · i, realiza las siguientes operaciones: z1+ z2, z1− z2, z1· z2y z1/z2.
Suma:
z1+ z2= (1 − i) + (1 +√
2 · i) = (1 + 1) + (−1 +√
2) · i = 2 + (√ 2 − 1) · i Resta:
z1− z2= (1 − i) − (1 +√
2 · i) = (1 − 1) + (−1 −√
2) · i = −(√ 2 + 1) · i Producto:
z1·z2= (1−i)·(1+√
2·i) = 1·1+1·√
2i −i·1−i·√
2i = 1+√ 2i −i+√
2 = (1+√ 2)+(√
2−1)·i División:
z1: z2= 1 − i 1 +√
2 · i·1 −√ 2 · i 1 −√
2 · i =(1 −√
2) − (1 +√ 2) · i
12− (√2i)2 =1 −√ 2
3 −1 +√ 2 3 · i Observación:el producto y la división se realizan mejor cuando el complejo está en forma polar
Operaciones con complejos Producto y división en forma polar
El producto (y por tanto la potenciación) y la división son más fáciles de realizar en forma polar.
Veamos estas operaciones en forma polar. Sean los complejos en forma polar mαy mβ′. Tenemos Producto
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Complejos Curso 2015/16 14 / 31
Operaciones con complejos Producto y división en forma polar
El producto (y por tanto la potenciación) y la división son más fáciles de realizar en forma polar.
Veamos estas operaciones en forma polar. Sean los complejos en forma polar mαy mβ′. Tenemos Producto
mα· m′β = m(cos α + i · sin α) · m′(cos β + i · sin β)
= mm′[(cos α cos β − sin α sin β) + i · (cos α sin β + sin α cos β)]
= mm′[cos(α + β) + i · sin(α + β)]
= (mm′)α+β
Operaciones con complejos Producto y división en forma polar
El producto (y por tanto la potenciación) y la división son más fáciles de realizar en forma polar.
Veamos estas operaciones en forma polar. Sean los complejos en forma polar mαy mβ′. Tenemos Producto
mα· m′β = m(cos α + i · sin α) · m′(cos β + i · sin β)
= mm′[(cos α cos β − sin α sin β) + i · (cos α sin β + sin α cos β)]
= mm′[cos(α + β) + i · sin(α + β)]
= (mm′)α+β División
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Operaciones con complejos Producto y división en forma polar
El producto (y por tanto la potenciación) y la división son más fáciles de realizar en forma polar.
Veamos estas operaciones en forma polar. Sean los complejos en forma polar mαy mβ′. Tenemos Producto
mα· m′β = m(cos α + i · sin α) · m′(cos β + i · sin β)
= mm′[(cos α cos β − sin α sin β) + i · (cos α sin β + sin α cos β)]
= mm′[cos(α + β) + i · sin(α + β)]
= (mm′)α+β División
mα m′
β
= m(cos α + i · sin α)
m′(cos β + i · sin β) = m(cos α + i · sin α)
m′(cos β + i · sin β)·m′(cos α − i · sin α) m′(cos β − i · sin β)
= Operando
= m
m′ · [cos(α − β) + i · sin(α − β)]
= Äm
m′
ä
α−β
Operaciones con complejos Ejemplo
Dados los complejos z1= 1 − i y z2= 1 +√
2 · i, realiza las siguientes operaciones: z1· z2y z1/z2.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Complejos Curso 2015/16 15 / 31
Operaciones con complejos Ejemplo
Dados los complejos z1= 1 − i y z2= 1 +√
2 · i, realiza las siguientes operaciones: z1· z2y z1/z2.
Producto: Pasamos a forma polar z1= 1 − i =√
2315y z2= 1 +√ 2 · i =√
354,74
z1· z2=√ 2315·√
354,74=√
69,74≡ (1 +√ 2) + (√
2 − 1) · i
Operaciones con complejos Ejemplo
Dados los complejos z1= 1 − i y z2= 1 +√
2 · i, realiza las siguientes operaciones: z1· z2y z1/z2.
Producto: Pasamos a forma polar z1= 1 − i =√
2315y z2= 1 +√ 2 · i =√
354,74
z1· z2=√ 2315·√
354,74=√
69,74≡ (1 +√ 2) + (√
2 − 1) · i División: Pasamos a forma polar
z1= 1 − i =√
2315y z2= 1 +√ 2 · i =√
354,74
z1: z2=
√2315
√354,74
=
Å√ 6 3
ã
260,26
≡1 −√ 2
3 −1 +√ 2 3 · i
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Operaciones con complejos Potenciación
Potencia n-ésima
La potencia n-ésima de un número complejo es otro complejo que obtenemos al multiplicar el complejo por si mismo n veces. La forma polar es la forma mejor para esta operación. Tenemos
(mα)n=
n
z }| {
mα· mα· mα· . . . mα= (mn)nα
Fórmula de De Moivre
La fórmula de Moivre es una fórmula útil para cálculos en trigonometría y cálculo de series.
Para obtener la fórmula escribimos la potencia n-ésima del número complejo en forma trigonométrica y tenemos:
(mα)n= (mn)nα= [m · (cos α + i · sin α)]n= mn· (cos nα + i · sin nα) Si ahora hacemos m = 1, obtenemos la fórmula de De Moivre
(cos α + i · sin α)n= cos nα + i · sin nα (cos α + i · sin α)n= cos nα + i · sin nα (cos α + i · sin α)n= cos nα + i · sin nα
En la siguiente diapositiva tenemos un ejemplo de uso de la fórmula de De Moivre
Operaciones con complejos Radicación
Para hallarraícesde un número complejo se utiliza laforma polar.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Complejos Curso 2015/16 17 / 31
Operaciones con complejos Radicación
Para hallarraícesde un número complejo se utiliza laforma polar.
El número de raíces es igual al índice de la raíz. Así, la raíz cuadrada nos dará dos raíces, la raíz cúbica tres raíces y, en general, la raíz n-ésima nos dará n raíces.
Operaciones con complejos Radicación
Para hallarraícesde un número complejo se utiliza laforma polar.
El número de raíces es igual al índice de la raíz. Así, la raíz cuadrada nos dará dos raíces, la raíz cúbica tres raíces y, en general, la raíz n-ésima nos dará n raíces.
Partimos de un complejo en forma polar, z = mα. La raíz n-ésima de z será un nuevo complejo de módulo r y argumento β; es decir
√nmα= rβ⇔ mα= rβ
n
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Complejos Curso 2015/16 17 / 31
Operaciones con complejos Radicación
Para hallarraícesde un número complejo se utiliza laforma polar.
El número de raíces es igual al índice de la raíz. Así, la raíz cuadrada nos dará dos raíces, la raíz cúbica tres raíces y, en general, la raíz n-ésima nos dará n raíces.
Partimos de un complejo en forma polar, z = mα. La raíz n-ésima de z será un nuevo complejo de módulo r y argumento β; es decir
√nmα= rβ⇔ mα= rβ
n
De la igualdad mα= rβ
n
, tenemos que
mα= (rβ)n⇔
ß rn= m ⇒ r =√n m nβ = α + 360 · k ⇒ β =α+360·kn
k = 0, 1, 2, · · · , n − 1
Operaciones con complejos Radicación
Para hallarraícesde un número complejo se utiliza laforma polar.
El número de raíces es igual al índice de la raíz. Así, la raíz cuadrada nos dará dos raíces, la raíz cúbica tres raíces y, en general, la raíz n-ésima nos dará n raíces.
Partimos de un complejo en forma polar, z = mα. La raíz n-ésima de z será un nuevo complejo de módulo r y argumento β; es decir
√nmα= rβ⇔ mα= rβ
n
De la igualdad mα= rβ
n
, tenemos que
mα= (rβ)n⇔
ß rn= m ⇒ r =√n m nβ = α + 360 · k ⇒ β =α+360·kn
k = 0, 1, 2, · · · , n − 1
Nota: si representamos gráficamente las n raíces de un complejo y unimos estos mediante lineas, obtenemos un polígono regular de n lados.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Complejos Curso 2015/16 17 / 31
Operaciones con complejos Ejemplo
Calcula las siguientes raíces: √3
−1 y √41.
Operaciones con complejos Ejemplo
Calcula las siguientes raíces: √3
−1 y √41.
√3
−1: Pasamos el número complejo −1 a forma polar. Tenemos
√3
−1 =p3
1180
y, por tanto, sus raíces son
√3
−1 =p3
1180=√3
1180+360·k
3 ⇔
® k= 0 ⇒ 1
60
k= 1 ⇒ 1180
k= 2 ⇒ 1300
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Complejos Curso 2015/16 18 / 31
Operaciones con complejos Ejemplo
Calcula las siguientes raíces: √3
−1 y √41.
√3
−1: Pasamos el número complejo −1 a forma polar. Tenemos
√3
−1 =p3
1180
y, por tanto, sus raíces son
√3
−1 =p3
1180=√3
1180+360·k
3 ⇔
® k= 0 ⇒ 1
60
k= 1 ⇒ 1180
k= 2 ⇒ 1300
Operaciones con complejos Ejemplo
Calcula las siguientes raíces: √3
−1 y √41.
√3
−1: Pasamos el número complejo −1 a forma polar. Tenemos
√3
−1 =p3
1180
y, por tanto, sus raíces son
√3
−1 =p3
1180=√3
1180+360·k
3 ⇔
® k= 0 ⇒ 1
60
k= 1 ⇒ 1180
k= 2 ⇒ 1300
Representación gráfica de soluciones
b
b b
160
1180
1300
La tres soluciones forman un triángulo equilátero inscrito en una circunferrencia
de radio m, módulo de las soluciones.
J.P. Expósito (I.E.S. Virgen del Puerto) Complejos Curso 2015/16 18 / 31
