Tema 8 Tipos de movimiento
Tema 8: TIPOS DE MOVIMIENTO
⚫ 1.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORME
⚫ 2.- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO
⚫ 3.- MOVIMIENTO PARABÓLICO
⚫ 4.- MOVIMIENTOS CIRCULARES
⚫ 5.- MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
Tiempo aproximado: 10 sesiones de clase
TIPOS DE MOVIMIENTO
◼
Todo lo que hemos dicho hasta aquí es aplicable a cualquier tipo de movimiento. Pero se pueden simplificar las fórmulas que hemos establecido cuando la trayectoria es una recta o la aceleración es constante.
- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
◼
En este movimiento el vector velocidad es constante:
cte v =
por tanto ha de ser invariable, no sólo su módulo sino también su dirección y sentido, y si la dirección del movimiento no cambia, éste es rectilíneo.
◼
La trayectoria es una recta, siendo nula la aceleración, tanto
tangencial, puesto que no varía el módulo de la velocidad, como
normal, ya que no hay cambios de dirección
(
0)
0
v t t
r
r = + −
◼
También es frecuente usar la ecuación: s = s
0+ v ( t − t
0)
siendo “s” la posición final y “s
0” la posición inicial.
◼
La ecuación vectorial del movimiento rectilíneo y uniforme, que proporciona el vector de posición en función del tiempo es:
◼
Al desarrollarse el movimiento en línea recta, podemos situar un sistema de referencia, de forma que uno de los ejes coincida con la dirección del movimiento.
x (t)= x
0+ v (t - t
0) Observaciones:
◼
Debe tenerse en cuenta que tanto la posición como la velocidad son vectores y que pueden ser negativos.
◼
El valor de t
0suele ser cero, por lo que sólo se escribe v·t
Por ejemplo: Ԧ𝑟 𝑡 = −3Ԧ𝑖 + 5𝑡Ԧ𝑖 Ԧ𝑟 𝑡 = 2Ԧ𝑖 − 3𝑡Ԧ𝑖
◼
Gráficas posición-tiempo en el M.R.U.
◼
Gráficas velocidad-tiempo del M.R.U.
Ejercicios 5 y 7 de la página 213
Ejercicio 36 página 241
Ejercicios 38 y 39 página 241. (Alcances)
Ejercicios 41 y 42 página 241. (composición movimientos uniformes)
- MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (MRUV)
◼
Es aquel en que la trayectoria es una línea recta y el vector aceleración es constante en módulo, dirección y sentido.
◼
Uniformemente variado se refiere al cambio de velocidad, es decir, la velocidad varía de manera uniforme.
◼
La ecuación de la velocidad, que nos proporciona el vector velocidad en función del tiempo:
(
0)
0
a t t v
v = + −
◼
El vector de posición del móvil en función del tiempo viene dado por:
(
0) (
0)
20
0
a t t
2 t 1
t v r
r = + − + −
◼
Si el módulo de la velocidad aumenta con el tiempo, el movimiento
es acelerado. Por el contrario, si el módulo de la velocidad
disminuye, el movimiento es retardado.
(
0)
0
a t t
v
v = + −
(
0) (
0)
20
0 a t t
2 t 1
t v s
s = + − + −
◼
Eligiendo adecuadamente los ejes del sistema de referencia, de manera que uno de los ejes coincida con la dirección del movimiento, las ecuaciones de la velocidad y de la posición se pueden transformar en las ecuaciones escalares correspondientes.
◼
Si el movimiento es a lo largo de un eje, podemos expresar la ecuación en un sola componente, por ejemplo en el eje X.
𝑥 𝑡 = 𝑥
0+ 𝑣
0𝑡 + 1
2 𝑎𝑡
2- Gráficas posición-tiempo del MRUV
- Gráficas velocidad-tiempo del MRUV
Ejercicios 10 y 11 de la página 216
Ejercicio 50 página 242
Ejercicios 45 y 51 página 242 para casa
◼
El movimiento vertical es un caso particular del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, cuando el cuerpo cae, o del movimiento rectilíneo uniformemente retardado, cuando sube.
◼
Para simplificar el estudio, suponemos que la resistencia del aire es despreciable y que la aceleración de la gravedad (g) es constante y de módulo 9,8 m/s
2.
◼
Eligiendo un sistema de referencia con origen en el suelo, con el eje Y coincidente con la vertical, la aceleración de la gravedad es el vector:
) (m/s j -9,8
g 2
=
◼
La ecuación de movimiento y la ecuación de la velocidad son las mismas que las estudiadas para el M.R.U.V. pero sustituyendo el valor de la aceleración (a) por el de la gravedad (g).
- MOVIMIENTOS EN VERTICAL. ACELERACIÓN DE LA GRAVEDAD
Ejercicios 13 de la página 219
Ejercicios 54 y 56 y 57, de la página 242
Ejercicio 58 página 242 para casa
Ejercicios 59, 60 página 242 para casa
- MOVIMIENTO PARABÓLICO
◼
Un movimiento decimos que es compuesto cuando se puede descomponer como suma movimientos más simples.
◼
Un caso característico es el movimiento de un objeto lanzado sobre la superficie de la Tierra.
◼
Este tipo de movimientos
se caracterizan porque la
ecuación de la trayectoria
es una parábola, por lo que
se denominan movimientos
o tiros parabólicos.
◼
Los cuerpos que se lanzan horizontalmente, con cierta velocidad inicial, desde una altura “h” sobre la superficie de la Tierra.
(
0)
0
a t t
v
v = + −
Describen un movimiento parabólico:
◼
Los objetos lanzados desde el suelo con una velocidad inicial que forma un ángulo con la horizontal.
◼ Tiro parabólico yComposición de movimientos
◼
Como el tiro parabólico no es más que un caso particular del movimiento con aceleración constante, no necesitamos para su estudio nuevos conceptos teóricos, y las ecuaciones a utilizar son:
pero teniendo en cuenta el carácter vectorial de las magnitudes que intervienen y las condiciones iniciales.
(
0) (
0)
20
0
a t t
2 t 1
t v r
r = + − + −
Ángulo de tiro
◼
Para simplificar los cálculos, los movimientos parabólicos se pueden descomponer como suma de dos:
- Eje horizontal (eje X): Movimiento rectilíneo y uniforme, MRU, puesto que no hay aceleración actuando sobre la componente X y la componente x de la velocidad, v
0x,se mantiene constante
x (t)= x
0+ v
0x· t
- Eje vertical (eje Y): Movimiento rectilíneo uniforme variado, MRUV, en este caso la aceleración es 𝑔 = −9,8Ԧ𝑗 𝑚/𝑠 Ԧ
2,y la componente y de la velocidad, v
0y,varía con el tiempo.
y 𝑡 = y
0+ 𝑣
0y𝑡 + 1
2 g · 𝑡
2v
y(t)= v
0y+ g · t
v
x(t) = v
0X◼
Recordad que:
- en la altura máxima v
y=0
- en el suelo y=0
Ejercicios 14 y 15 página 222
Ejercicios 16 y 17 página 223
Ejercicios 19, 20 página 224
Ejercicio 68 página 243
Ejercicios 69, 70 página 243 para casa
Ejercicios 71,72 y 73 página 244
- MAGNITUDES ANGULARES
◼
Para describir los movimientos de trayectoria circular, con el del segundero de un reloj, es necesario definir unas nuevas magnitudes que tengan en cuenta las características de este movimiento.
◼
Se define el vector velocidad angular (w) como un vector de:
- modulo: el cociente entre el ángulo descrito, , por un móvil y el tiempo que tarda en describirlo.
La unidad de velocidad angular en el S.I. es el radian/s (rad/s).
También es frecuentes el uso de otras unidades: vueltas/s o revoluciones por minuto (r.p.m.)
- dirección: perpendicular al plano de la circunferencia.
- sentido: el de avance de un tornillo que girase en el mismo sentido en que se mueve el cuerpo en su trayectoria circular.
𝜔 = 𝑑𝜃 𝑑𝑡
Se lee Theta (zeta o zita)
◼
Llamamos aceleración angular (a), a la variación que experimenta la velocidad angular, en un intervalo de tiempo.
dt
= dw a
- Las unidad en el S.I. de aceleración angular es el rad/s
2- La aceleración angular es un vector paralelo a la velocidad angular y de sentido el del aumento o disminución de la misma.
◼
La relaciones que existen entre las magnitudes angulares y las lineales son:
- Para la velocidad : v = w R
donde R representa el radio de curvatura.
a
w =
= R
dt R d a
t- Para la aceleración tangencial:
- La aceleración normal puede escribirse como:
R R v
a
2 2
n = w = ◼ver
Movimientos circulares
- Movimiento circular uniforme. MCU
- Movimiento circular uniformemente variado. MCUV 𝜃 = 𝜃
0+ 𝜔 · 𝑡
𝜃 = 𝜃
0+ 𝜔
0· 𝑡 ± 1
2 𝛼 · 𝑡
2- La aceleración angular, a, se considera positiva en los movimientos acelerados y negativa en los decelerados.
𝜔 = 𝜔
0± 𝛼 · 𝑡
Ejercicios 25 página 228
Ejercicios 26 y 27 página 230
Ejercicios 79, 80 página 245
Ejercicios 81, 82 página 245 para casa
EL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE
◼
El movimiento armónico simple (M.A.S.), se llama así porque se puede expresar mediante funciones armónicas (que repiten una secuencia de valores entre dos extremos), como el seno y el coseno, de una sola variable.
◼
Si dejamos oscilar libremente un objeto colgado de un muelle, éste describe un movimiento armónico simple.
◼muelle horizontal
◼
Si O es la posición de equilibrio, cuando se suelta el objeto desde la
posición -A, comenzará a moverse hacia O con cierta aceleración
(acelera); rebasado el punto O, va disminuyendo su velocidad (frena)
hasta llegar al punto A, en que se detendrá. Después volverá a
moverse hacia O, y así sucesivamente. Si se desprecian los
rozamientos, el objeto continuará oscilando indefinidamente, siendo
-A simétrico de A, respecto de O.
Características fundamentales del M.A.S. son:
◼
El movimiento es rectilíneo, es decir, recorre indefinidamente un segmento de recta.
◼
Es un movimiento periódico. Son movimientos cuyas magnitudes características se repiten regularmente.
◼
La aceleración del mismo no es constante. La aceleración depende del desplazamiento experimentado por el cuerpo que vibra:
acelera cuando se dirige hacia el centro y frena cuando se desplaza desde el centro hacia los extremos.
◼
Si la aceleración no es constante, en virtud de la segunda ley de Newton, tampoco lo será la fuerza que actúa sobre el objeto.
◼El péndulo ◼Muelle
Magnitudes del M.A.S.
◼ La elongación (y) es la distancia a que se encuentra el objeto del punto de equilibrio. Su unidad en el S.I. es el metro.
-A A
O
◼
La amplitud (A) es la elongación máxima, es decir,
yla máxima separación del móvil de la posición de equilibrio.
◼
El período (T) es el tiempo empleado en realizar una oscilación completa. Si el objeto parte de A, es el tiempo que tarda en volver a A. Su unidad en el S.I. es el segundo.
◼
La frecuencia (f) es el número de
oscilaciones que repite el móvil en la unidad
de tiempo. Es, por tanto, la inversa del
período. Su unidad en el S.I. es el segundo
-1y recibe el nombre de Herz (Hz).
CINEMÁTICA DEL M.A.S .
◼
Para describir el M.A.S. necesitamos una ecuación que nos proporcione la posición del objeto en función del tiempo y = y (t).
◼
La ecuación de la posición que se obtiene es del tipo:
y = A · sen (w t +
0)
donde:
◼
“y” es la elongación.
◼
“A” representa la amplitud del movimiento.
◼
(w t +
0) es lo que se conoce como fase del movimiento. Su valor determina el estado de la vibración. Su unidad en el S.I. son radianes.
◼
w recibe el nombre de pulsación o frecuencia angular . Representa el incremento del ángulo de fase en la unidad de tiempo. Su unidad en el S.I es radianes/segundo.
w = 2 = 2 · · f T
◼
0es la fase inicial. Su valor determina el estado de vibración
para t = 0. Si empezamos a contar el tiempo cuando la partícula
pasa por la posición de equilibrio, resulta
0= 0.
◼
Si la fase inicial es cero, la elongación “y” pasa por los siguientes valores a lo largo de una vibración (T representa el período).
◼
A partir de la ecuación de movimiento, podemos obtener la ecuación de la velocidad derivando la ecuación y=A·sen(wt +
0) con respecto al tiempo.
v dy
dt A t
= = w cos( w +
0)
◼
Si la fase inicial es cero, la gráfica de la velocidad en función del tiempo tiene la forma:
y = A · sen (w t +
0)
◼velocidad del oscilador
◼
El valor de la aceleración, se obtiene volviendo a derivar la ecuación de la velocidad respecto del tiempo.
Si derivamos v = A · w · cos (w t +
0) a dv
dt A t
= = − w
2 sen( w +
0)
como la elongación y = A · sen (w t +
0), la aceleración puede ponerse expresarse como:
a = − w
2 y
◼
Si la fase inicial es cero, la gráfica de la aceleración en función del tiempo tiene la forma:
- De 0 a T/2 la velocidad va
disminuyendo y la
aceleración es negativa.
- De T/2 a T la velocidad va aumentando y la aceleración será positiva.
Aw
-Aw a
T/4 T/2 3T/4 T tiempo
Ejercicios 29 y 30 página 234
Ejercicios 32 y 34 página 235,237
Ejercicios 86, 87 página 246
Ejercicios 88, 89 página 246 para casa
